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10.1: Introdução aos Sistemas de Equações Diferenciais - Matemática


Muitas situações físicas são modeladas por sistemas de (n ) equações diferenciais em (n ) funções desconhecidas, onde (n ge2 ). Os próximos três exemplos ilustram problemas físicos que levam a sistemas de equações diferenciais. Nestes exemplos e ao longo deste capítulo, denotaremos a variável independente por (t ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Fluxo

Os tanques (T_1 ) e (T_2 ) contêm 100 galões e 300 galões de soluções de sal, respectivamente. Soluções de sal são adicionadas simultaneamente a ambos os tanques de fontes externas, bombeadas de cada tanque para o outro e drenadas de ambos os tanques (Figura ( PageIndex {1} )). Uma solução com (1 ) libra de sal por galão é bombeada para (T_1 ) de uma fonte externa a (5 ) gal / min, e uma solução com (2 ) libras de sal por galão é bombeado para (T_2 ) de uma fonte externa a (4 ) gal / min. A solução de (T_1 ) é bombeada para (T_2 ) a 2 gal / min, e a solução de (T_2 ) é bombeada para (T_1 ) a (3 ) gal / min. (T_1 ) é drenado a (6 ) gal / min e (T_2 ) é drenado a 3 gal / min. Sejam (Q_1 (t) ) e (Q_2 (t) ) o número de libras de sal em (T_1 ) e (T_2 ), respectivamente, no tempo (t> 0 ). Derive um sistema de equações diferenciais para (Q_1 ) e (Q_2 ). Suponha que ambas as misturas estejam bem mexidas.

Como na Seção 4.2, deixe taxa em e avalie denote as taxas (lb / min) nas quais o sal entra e sai de um tanque; portanto,

[ begin {alinhados} Q_1 '& = ( mbox {taxa de entrada}) _ 1 - ( mbox {taxa de saída}) _ 1, [4pt] Q_2' & = ( mbox {taxa de entrada}) _ 2- ( mbox {taxa de saída}) _ 2. end {alinhado} ]

Observe que os volumes das soluções em (T_1 ) e (T_2 ) permanecem constantes em 100 galões e 300 galões, respectivamente.

(T_1 ) recebe sal da fonte externa à taxa de

[ mbox {(1 lb / gal)} times mbox {(5 ~ gal / min)} = mbox {5 lb / min}, nonumber ]

e de (T_2 ) à taxa de

[ mbox {(lb / gal in} T_2) times mbox {(3 ~ gal / min)} = {1 over300} Q_2 times3 [4pt] = {1 over100} Q_2 mbox { lb / min}. nonumber ]

Portanto

[ label {eq: 10.1.1} mbox {(taxa em)} _ 1 = 5+ {1 over100} Q_2. ]

A solução sai de (T_1 ) a uma taxa de 8 gal / min, uma vez que 6 gal / min são drenados e 2 gal / min são bombeados para (T_2 ); por isso,

[ label {eq: 10.1.2} ( mbox {taxa de saída}) _ 1 = ( mbox {lb / gal em T} _1) times mbox {(8 ~ gal / min)} = {1 mais de100} Q_1 times8 = {2 over25} Q_1. ]

Equações ref {eq: 10.1.1} e Equação ref {eq: 10.1.2} implicam que

[ label {eq: 10.1.3} Q_1 '= 5 + {1 over100} Q_2- {2 over25} Q_1. ]

(T_2 ) recebe sal da fonte externa à taxa de

[ mbox {(2 lb / gal)} times mbox {(4 ~ gal / min)} = mbox {8 lb / min}, nonumber ]

e de (T_1 ) à taxa de

[ mbox {(lb / gal in} T_1) times mbox {(2 ~ gal / min)} = {1 over100} Q_1 times2 [4pt] = {1 over50} Q_1 mbox { lb / min}. nonumber ]

Portanto

[ label {eq: 10.1.4} mbox {(taxa em)} _ 2 = 8+ {1 over50} Q_1. ]

A solução sai de (T_2 ) na taxa de (6 ) gal / min, uma vez que (3 ) gal / min são drenados e (3 ) gal / min são bombeados para (T_1 ); por isso,

[ label {eq: 10.1.5} ( mbox {taxa de saída}) _ 2 = ( mbox {lb / gal em T} _2) times mbox {(6 ~ gal / min)} = {1 mais de 300} Q_2 times6 = {1 over50} Q_2. ]

As equações ref {eq: 10.1.4} e ref {eq: 10.1.5} implicam que

[ label {eq: 10.1.6} Q_2 '= 8 + {1 over50} Q_1- {1 over50} Q_2. ]

Dizemos que as Equações ref {eq: 10.1.3} e ref {eq: 10.1.6} formam um sistema de duas equações de primeira ordem em duas incógnitas, e escrevê-los juntos como

[ begin {align *} Q_1 '& = 5- dfrac {2} {25} Q_1 + dfrac {1} {100} Q_2 Q_2' & = 8+ dfrac {1} {50} Q_1 - dfrac {1} {50} Q_2. end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {2} ): Molas acopladas

Uma massa (m_1 ) é suspensa de um suporte rígido em uma mola (S_1 ) e uma segunda massa (m_2 ) é suspensa da primeira em uma mola (S_2 ) (Figura ( PageIndex { 2} )). As molas obedecem à lei de Hooke, com constantes de mola (k_1 ) e (k_2 ). O atrito interno faz com que as molas exerçam forças de amortecimento proporcionais às taxas de variação de seus comprimentos, com constantes de amortecimento (c_1 ) e (c_2 ). Sejam (y_1 = y_1 (t) ) e (y_2 = y_2 (t) ) os deslocamentos das duas massas de suas posições de equilíbrio no tempo (t ), medidos positivamente para cima. Derive um sistema de equações diferenciais para (y_1 ) e (y_2 ), assumindo que as massas das molas são desprezíveis e que as forças externas verticais (F_1 ) e (F_2 ) também atuam nos objetos.

Solução

Em equilíbrio, (S_1 ) suporta ambos (m_1 ) e (m_2 ) e (S_2 ) suporta apenas (m_2 ). Portanto, se ( Delta ell_1 ) e ( Delta ell_2 ) são os alongamentos das molas em equilíbrio, então

[ label {eq: 10.1.7} (m_1 + m_2) g = k_1 Delta ell_1 quad mbox {e} quad m_2g = k_2 Delta ell_2. ]

Seja (H_1 ) a força da lei de Hooke agindo em (m_1 ), e seja (D_1 ) a força de amortecimento em (m_1 ). Da mesma forma, sejam (H_2 ) e (D_2 ) a lei de Hooke e as forças de amortecimento atuando em (m_2 ). De acordo com a segunda lei do movimento de Newton,

[ label {eq: 10.1.8} begin {array} {ccl} m_1y_1 '' = - m_1g + H_1 + D_1 + F_1, [4pt] m_2y_2 '' = - m_2g + H_2 + D_2 + F_2. end {array} ]

Quando os deslocamentos são (y_1 ) e (y_2 ), a mudança no comprimento de (S_1 ) é (- y_1 + Delta ell_1 ) e a mudança no comprimento de (S_2 ) é (-y_2 + y_1 + Delta ell_2 ). Ambas as molas exercem a força da lei de Hooke em (m_1 ), enquanto apenas (S_2 ) exerce a força da lei de Hooke em (m_2 ). Essas forças estão em direções que tendem a restaurar as molas ao seu comprimento natural. Portanto

[ label {eq: 10.1.9} H_1 = k_1 (-y_1 + Delta ell_1) -k_2 (-y_2 + y_1 + Delta ell_2) quad mbox {e} quad H_2 = k_2 (-y_2 + y_1 + Delta ell_2). ]

Quando as velocidades são (y_1 ') e (y_2' ), (S_1 ) e (S_2 ) estão mudando de comprimento nas taxas (- y_1 ') e (- y_2' + y_1 '), respectivamente. Ambas as molas exercem forças de amortecimento em (m_1 ), enquanto apenas (S_2 ) exerce força de amortecimento em (m_2 ). Uma vez que a força devido ao amortecimento exercida por uma mola é proporcional à taxa de variação do comprimento da mola e em uma direção que se opõe à mudança, segue-se que

[ label {eq: 10.1.10} D_1 = -c_1y_1 '+ c_2 (y_2'-y_1') quad mbox {e} quad D_2 = -c_2 (y_2'-y_1 '). ]

Das Equações ref {eq: 10.1.8}, ref {eq: 10.1.9}, e ref {eq: 10.1.10},

[ label {eq: 10.1.11} begin {array} {m_1y_1 ''} & {= -m_1g + k_1 (-y_1 + Delta ell_1) -k_2 (-y_2 + y_1 + Delta ell_2) -c_1y_1 '+ c_2 (y_2'-y_1') + F_1} {} & {= - (m_1g-k_1 Delta ell_1 + k_2 Delta ell_2) -k_1y_1 + k_2 (y_2-y_1) -c_1y_1 '+ c_2 (y_2'-y_1 ') + F_1} end {array} ]

e

[ label {eq: 10.1.12} begin {array} {ccl} m_2y_2 '' & = -m_2g + k_2 (-y_2 + y_1 + Delta ell_2) -c_2 (y_2'-y_1 ') + F_2 [4pt] & = - (m_2g-k_2 Delta ell_2) -k_2 (y_2-y_1) -c_2 (y_2'-y_1 ') + F_2. end {array} ]

Da Equação ref {eq: 10.1.7},

[m_1g-k_1 Delta ell_1 + k_2 Delta ell_2 = -m_2g + k_2 Delta ell_2 = 0. enhum número ]

Portanto, podemos reescrever a Equação ref {eq: 10.1.11} e a Equação ref {eq: 10.1.12} como

[ begin {align *} m_1y_1 '' & = - (c_1 + c_2) y_1 '+ c_2y_2' - (k_1 + k_2) y_1 + k_2y_2 + F_1 m_2y_2 '' & = c_2y_1'-c_2y_2 '+ k_2y_1- k_2y_2 + F_2. quad end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Gravidade

Seja ({ bf X} = { bf X} (t) = x (t) , { bf i} + y (t) , { bf j} + z (t) , { bf k} ) ser o vetor de posição no tempo (t ) de um objeto com massa (m ), em relação a um sistema de coordenadas retangular com origem no centro da Terra (Figura ( PageIndex {3} )) .

De acordo com a lei da gravitação de Newton, a força gravitacional da Terra ({ bf F} = { bf F} (x, y, z) ) no objeto é inversamente proporcional ao quadrado da distância do objeto ao centro da Terra , e direcionado para o centro; portanto,

[ label {eq: 10.1.13} bf {F} = dfrac {K} {|| bf {X} || ^ 2} left (- dfrac { bf {X}} {|| bf {X} ||} right) = -K {x , { bf i} + y , { bf j} + z , { bf k} over left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 right) ^ {3/2}}, ]

onde (K ) é uma constante. Para determinar (K ), observamos que a magnitude de ({ bf F} ) é

[ | { bf F} | = K { | { bf X} | over | { bf X} | ^ 3} = {K over | { bf X} | ^ 2} = {K over (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)}. enhum número ]

Seja (R ) o raio da Terra. Uma vez que ( | { bf F} | = mg ) quando o objeto está na superfície da Terra,

[mg = {K over R ^ 2}, quad mbox {so} quad K = mgR ^ 2. enhum número]

Portanto, podemos reescrever a Equação ref {eq: 10.1.13} como

[{ bf F} = - mgR ^ 2 {x , { bf i} + y , { bf j} + z , { bf k} over mbox {} left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 right) ^ {3/2}}. enhum número]

Agora suponha que ({ bf F} ) seja a única força agindo sobre o objeto. De acordo com a segunda lei do movimento de Newton, ({ bf F} = m { bf X} '' ); isso é,

[m (x '' , { bf i} + y '' , { bf j} + z '' , { bf k}) = -mgR ^ 2 {x , { bf i } + y , { bf j} + z , { bf k} over left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 right) ^ {3/2}}. enhum número]

Cancelar o fator comum (m ) e equacionar os componentes nos dois lados desta equação resulta no sistema [ label {eq: 10.1.14} begin {array} {ll} {x ''} & {= - dfrac {gR ^ 2x} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2}}} {y ''} & {= - dfrac {gR ^ 2y} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2}}} {z ''} & {= - dfrac {gR ^ 2z} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) ^ {3/2}}.} End {array} ]

Reescrevendo Sistemas de Ordem Superior como Sistemas de Primeira Ordem

Um sistema do formulário

[ label {eq: 10.1.15} begin {array} {ccl} y_1 '& = g_1 (t, y_1, y_2, dots, y_n) y_2' & = g_2 (t, y_1, y_2, dots, y_n) & vdots & y_n '& = g_n (t, y_1, y_2, dots, y_n) end {array} ]

é chamado de sistema de primeira ordem, uma vez que os únicos derivados que ocorrem nele são os primeiros derivados. A derivada de cada uma das incógnitas pode depender da variável independente e de todas as incógnitas, mas não das derivadas de outras incógnitas. Quando quisermos enfatizar o número de funções desconhecidas na Equação ref {eq: 10.1.15}, diremos que a Equação ref {eq: 10.1.15} é um sistema (n vezes n ).

Sistemas envolvendo derivadas de ordem superior podem frequentemente ser reformulados como sistemas de primeira ordem pela introdução de desconhecidos adicionais. Os próximos dois exemplos ilustram isso.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Reescrever o sistema

[ label {eq: 10.1.16} begin {array} {ll} {m_1y_1 ''} & {= - (c_1 + c_2) y_1 '+ c_2y_2' - (k_1 + k_2) y_1 + k_2y_2 + F_1} {m_2y_2 ''} & {= c_2y_1'-c_2y_2 '+ k_2y_1-k_2y_2 + F_2.} end {array} ]

derivado em Exemplo ( PageIndex {2} ) como um sistema de equações de primeira ordem.

Solução

Se definirmos (v_1 = y_1 ') e (v_2 = y_2' ), então (v_1 '= y_1' ') e (v_2' = y_2 '' ), então Equação ref {eq : 10.1.16} torna-se

[ começar {alinhado} m_1v_1 '& = - (c_1 + c_2) v_1 + c_2v_2- (k_1 + k_2) y_1 + k_2y_2 + F_1 [4pt] m_2v_2' & = c_2v_1-c_2v_2 + k_2y_1-k_2y_2 + F_2. end {alinhado} nonumber ]

Portanto ( {y_1, y_2, v_1, v_2 } ) satisfaz o sistema de primeira ordem (4 times4 )

[ label {eq: 10.1.17} begin {array} {ll} {y_1 '} & {= v_1} {y_2'} & {= v_2} {v_1 '} & {= dfrac {1} {m_1} left [- (c_1 + c_2) v_1 + c_2v_2- (k_1 + k_2) y_1 + k_2y_2 + F_1 right]} {v_2 '} & {= dfrac {1} {m_2} left [c_2v_1-c_2v_2 + k_2y_1-k_2y_2 + F_2 right].} end {array} ]

Observação

A diferença na forma entre a Equação ref {eq: 10.1.15} e a Equação ref {eq: 10.1.17}, devido à forma como as incógnitas são denotadas nos dois sistemas, não é importante; A equação ref {eq: 10.1.17} é um sistema de primeira ordem, em que cada equação na Equação ref {eq: 10.1.17} expressa a primeira derivada de uma das funções desconhecidas de uma forma que não envolve derivadas de qualquer uma das outras incógnitas.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Reescrever o sistema

[ begin {array} {ccc} x '' & = f (t, x, x ', y, y', y '') [4pt] y '' '& = g (t, x, x ', y, y'y' ') end {array} nonumber ]

como um sistema de primeira ordem.

Solução

Consideramos (x ), (x '), (y ), (y' ) e (y '' ) como funções desconhecidas e as renomeamos

[x = x_1, ; x '= x_2, quad y = y_1, quad y' = y_2, quad y '' = y_3. nonumber ]

Essas incógnitas satisfazem o sistema

[ começar {alinhado} x_1 '& = x_2 [4pt] x_2' & = f (t, x_1, x_2, y_1, y_2, y_3) [4pt] y_1 '& = y_2 [4pt] y_2 '& = y_3 [4pt] y_3' & = g (t, x_1, x_2, y_1, y_2, y_3). end {alinhado} nonumber ]

Reescrevendo Equações Diferenciais Escalares como Sistemas

Neste capítulo, vamos nos referir a equações diferenciais envolvendo apenas uma função desconhecida como escalar equações diferenciais. As equações diferenciais escalares podem ser reescritas como sistemas de equações de primeira ordem pelo método ilustrado nos próximos dois exemplos.

Exemplo ( PageIndex {6} )

Reescreva a equação

[ label {eq: 10.1.18} y ^ {(4)} + 4y '' '+ 6y' '+ 4y' + y = 0 ]

como um sistema de primeira ordem (4 times4 ).

Solução

Consideramos (y ), (y '), (y' ') e (y' '' ) como desconhecidos e os renomeamos

[y = y_1, quad y '= y_2, quad y' '= y_3, quad text {e} quad y' '' = y_4. enhum número]

Então (y ^ {(4)} = y_4 '), então a Equação ref {eq: 10.1.18} pode ser escrita como

[y_4 '+ 4y_4 + 6y_3 + 4y_2 + y_1 = 0. enhum número]

Portanto ( {y_1, y_2, y_3, y_4 } ) satisfaz o sistema

[ begin {align *} y_1 '& = y_2 y_2' & = y_3 y_3 '& = y_4 y_4' & = -4y_4-6y_3-4y_2-y_1. end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {7} )

Reescrever

[x '' '= f (t, x, x', x '') não numérico ]

como um sistema de equações de primeira ordem.

Solução

Consideramos (x ), (x ') e (x' ') como desconhecidos e os renomeamos

[x = y_1, quad x '= y_2, quad text {e} quad x' '= y_3. enhum número]

Então

[y_1 '= x' = y_2, quad y_2 '= x' '= y_3, quad text {e} quad y_3' = x '' '. enhum número]

Portanto ( {y_1, y_2, y_3 } ) satisfaz o sistema de primeira ordem

[ begin {align *} y_1 '& = y_2 [4pt] y_2' & = y_3 [4pt] y_3 '& = f (t, y_1, y_2, y_3). end {align *} ]

Uma vez que sistemas de equações diferenciais envolvendo derivadas mais altas podem ser reescritos como sistemas de primeira ordem pelo método usado em Exemplos ( PageIndex {5} ) - ( PageIndex {7} ), consideraremos apenas sistemas de primeira ordem.

Solução Numérica de Sistemas

Os métodos numéricos que estudamos no Capítulo 3 podem ser estendidos aos sistemas, e a maioria dos pacotes de software de equações diferenciais incluem programas para resolver sistemas de equações. Não entraremos em detalhes sobre métodos numéricos para sistemas; no entanto, para fins ilustrativos, descreveremos o método Runge-Kutta para a solução numérica do problema do valor inicial

[ begin {alinhado} y_1 '& = g_1 (t, y_1, y_2), quad y_1 (t_0) = y_ {10}, [4pt] y_2' & = g_2 (t, y_1, y_2), quad y_2 (t_0) = y_ {20} end {alinhado} ]

em pontos igualmente espaçados (t_0 ), (t_1 ),…, (t_n = b ) em um intervalo ([t_0, b] ). Desse modo,

[t_i = t_0 + ih, quad i = 0,1, pontos, n, não número ]

Onde

[h = {b-t_0 sobre n}. enhum número]

Denotaremos os valores aproximados de (y_1 ) e (y_2 ) nesses pontos por (y_ {10}, y_ {11}, dots, y_ {1n} ) e (y_ {20 }, y_ {21}, dots, y_ {2n} ). O método Runge-Kutta calcula esses valores aproximados da seguinte forma: dados (y_ {1i} ) e (y_ {2i} ), calcule

[ begin {alinhado} I_ {1i} & = g_1 (t_i, y_ {1i}, y_ {2i}), [4pt] J_ {1i} & = g_2 (t_i, y_ {1i}, y_ { 2i}), [4pt] I_ {2i} & = g_1 left (t_i + {h over2}, y_ {1i} + {h over2} I_ {1i}, y_ {2i} + {h over2 } J_ {1i} right), [4pt] J_ {2i} & = g_2 left (t_i + {h over2}, y_ {1i} + {h over2} I_ {1i}, y_ {2i} + {h over2} J_ {1i} direita), [4pt] I_ {3i} & = g_1 esquerda (t_i + {h over2}, y_ {1i} + {h over2} I_ {2i} , y_ {2i} + {h over2} J_ {2i} right), [4pt] J_ {3i} & = g_2 left (t_i + {h over2}, y_ {1i} + {h over2 } I_ {2i}, y_ {2i} + {h over2} J_ {2i} right), [4pt] I_ {4i} & = g_1 (t_i + h, y_ {1i} + hI_ {3i} , y_ {2i} + hJ_ {3i}), [4pt] J_ {4i} & = g_2 (t_i + h, y_ {1i} + hI_ {3i}, y_ {2i} + hJ_ {3i}), end {alinhado} ]

e

[ begin {alinhados} y_ {1, i + 1} & = y_ {1i} + {h over6} (I_ {1i} + 2I_ {2i} + 2I_ {3i} + I_ {4i}), [4pt] y_ {2, i + 1} & = y_ {2i} + {h over6} (J_ {1i} + 2J_ {2i} + 2J_ {3i} + J_ {4i}) end {alinhados} ]

para (i = 0 ),…, (n-1 ). Sob condições apropriadas em (g_1 ) e (g_2 ), pode ser mostrado que o erro de truncamento global para o método Runge-Kutta é (O (h ^ 4) ), como no caso escalar considerado em Seção 3.3.


Modelagem Matemática e Computação

As equações diferenciais são a base para modelos de qualquer sistema físico que exiba mudanças suaves. Este livro combina muito do material encontrado em um curso tradicional sobre equações diferenciais ordinárias com uma introdução à teoria mais moderna de sistemas dinâmicos. As aplicações desta teoria à física, biologia, química e engenharia são mostradas por meio de exemplos em áreas como modelagem populacional, dinâmica de fluidos, eletrônica e mecânica.

Sistemas Dinâmicos Diferenciais começa com a cobertura de sistemas lineares, incluindo álgebra de matriz, o foco então muda para o material básico em equações diferenciais não lineares, fazendo uso pesado do teorema do mapeamento de contração. Os capítulos subsequentes lidam especificamente com os conceitos de sistemas dinâmicos - fluxo, estabilidade, variedades invariantes, o plano de fase, bifurcação, caos e dinâmica hamiltoniana.

Ao longo do livro, o autor inclui exercícios para ajudar os alunos a desenvolver uma compreensão analítica e geométrica da dinâmica. Muitos dos exercícios e exemplos são baseados em aplicativos e alguns envolvem computação. Um apêndice oferece códigos simples escritos em software Maple®, Mathematica® e MATLAB® para dar aos alunos prática com computação aplicada a problemas de sistemas dinâmicos.

Em um nível, este texto pode ser visto como adequado para um curso tradicional em equações diferenciais ordinárias (EDOs). Uma vez que as equações diferenciais são a base para modelos de qualquer sistema físico que exiba mudanças suaves, os alunos de todas as áreas das ciências matemáticas e da engenharia precisam de ferramentas para compreender os métodos de resolução dessas equações. É tradicional que essa exposição comece durante o segundo ano de treinamento em cálculo, onde os métodos básicos de resolução de EDOs uni e bidimensionais (principalmente lineares) são estudados. O leitor típico deste texto terá feito tal curso, bem como uma introdução à análise onde os fundamentos teóricos (os ε's e δ's) do cálculo são elucidados. O material para este texto foi desenvolvido ao longo de uma década em um curso ministrado a alunos de graduação da divisão superior e alunos de pós-graduação iniciantes em matemática aplicada, engenharia e física na Universidade do Colorado. Em um curso de um semestre, normalmente cubro a maior parte do material dos Capítulos 1–6 e adiciono uma seleção de seções dos capítulos posteriores.

Existem vários textos clássicos para um curso de equações diferenciais tradicionais, por exemplo (Coddington e Levinson 1955 Hirsch e Smale 1974 Hartman 2002). Esses cursos geralmente começam com um estudo de sistemas lineares; começamos lá também no Capítulo 2. A álgebra de matrizes é fundamental para esse tratamento; portanto, faremos uma breve discussão dos métodos de autovetores e um tratamento extensivo da exponencial de matrizes. A próxima etapa do curso tradicional é fornecer uma base para o estudo de equações diferenciais não lineares, mostrando que, sob certas condições, essas equações têm soluções (existência) e que há apenas uma solução que satisfaça uma determinada condição inicial (unicidade) . A base teórica desse resultado, assim como de muitos outros resultados em matemática aplicada, é o majestoso teorema do mapeamento da contração. O Capítulo 3 fornece uma introdução independente aos fundamentos analíticos necessários para compreender esse teorema. Uma vez que essa ferramenta seja concretamente compreendida, os alunos vêem que muitas provas rapidamente cedem ao seu poder. É possível omitir os §§3.3-3.5, visto que a maior parte do material não é muito usada nos capítulos posteriores, embora pelo menos um conhecimento prévio do Teorema 3.10 e do Lema 3.13 (Grönwall) deva ser encorajado.


10.1: Introdução aos Sistemas de Equações Diferenciais - Matemática

Como trabalharemos quase exclusivamente com sistemas de equações em que o número de incógnitas é igual ao número de equações, restringiremos nossa revisão a esses tipos de sistemas.

Tudo o que faremos aqui pode ser facilmente estendido a sistemas com mais incógnitas do que equações ou mais equações do que incógnitas, se necessário.

Vamos começar com o seguinte sistema de (n ) equações com as (n ) incógnitas, (x_ <1> ), (x_ <2> ),…, (x_).

Observe que nos índices dos coeficientes neste sistema, (a_), o (i ) corresponde à equação em que está o coeficiente e o (j ) corresponde à incógnita que é multiplicada pelo coeficiente.

Para usar álgebra linear para resolver este sistema, vamos primeiro escrever o matriz aumentada para este sistema. Uma matriz aumentada é, na verdade, apenas todos os coeficientes do sistema e os números do lado direito do sistema escritos em forma de matriz. Aqui está a matriz aumentada para este sistema.

Para resolver este sistema, usaremos operações de linha elementares (que definiremos em breve) para reescrever a matriz aumentada em forma triangular. A matriz terá a forma triangular se todas as entradas abaixo da diagonal principal (a diagonal contendo (a_ <11> ), (a_ <22> ),…, (a_)) são zeros.

Feito isso, podemos lembrar que cada linha da matriz aumentada corresponde a uma equação. Em seguida, converteremos nossa nova matriz aumentada de volta em equações e, neste ponto, será muito fácil resolver o sistema.

Antes de trabalhar com um exemplo, vamos primeiro definir as operações elementares de linha. Há três deles.

    Troque duas linhas. Isso é exatamente o que diz. Trocaremos a linha (i ) com a linha (j ). A notação que usaremos para denotar esta operação é: ( leftrightarrow )

É sempre um pouco mais fácil entender essas operações se as vemos em ação. Então, vamos resolver alguns sistemas.

O primeiro passo é escrever a matriz aumentada para este sistema. Não se esqueça de que os coeficientes de termos que não estão presentes são zero.

Agora, queremos que as entradas abaixo da diagonal principal sejam zero. A diagonal principal foi colorida de vermelho para que possamos acompanhá-la durante o primeiro exemplo. Por razões que eventualmente ficarão aparentes, preferiríamos que todas as entradas diagonais principais também fossem uns.

Podemos obter um na posição mais superior observando que, se trocarmos a primeira e a segunda fileira, obteremos um na posição mais alta gratuitamente. Então vamos fazer isso.

Agora precisamos fazer com que as duas últimas entradas (-2 e 3) na primeira coluna sejam zero. Podemos fazer isso usando a operação da terceira linha. Observe que se pegarmos 2 vezes a primeira linha e adicioná-la à segunda linha, obteremos um zero na segunda entrada da primeira coluna e se pegarmos -3 vezes a primeira linha na terceira linha, obteremos 3 a seja um zero. Podemos fazer essas duas operações ao mesmo tempo, então vamos fazer isso.

Antes de prosseguir para a próxima etapa, vamos garantir que você seguiu o que acabamos de fazer. Vamos dar uma olhada na primeira operação que realizamos. Esta operação diz para multiplicar uma entrada na linha 1 por 2 e adicionar isso à entrada correspondente na linha 2 e, em seguida, substituir a entrada antiga na linha 2 por esta nova entrada. A seguir estão as quatro operações individuais que executamos para fazer isso.

[começar2 esquerda (1 direita) + esquerda (<- 2> direita) & = 0 2 esquerda (2 direita) + 1 & = 5 2 esquerda (3 direita) + esquerda (<- 1> direita) & = 5 2 esquerda (<13> direita) + 4 & = 30 fim]

Ok, a próxima etapa é opcional, mas novamente é conveniente fazer. Tecnicamente, o 5 na segunda coluna está certo para sair. No entanto, isso tornará nossa vida mais fácil se for um 1. Podemos usar a operação da segunda linha para cuidar disso. Podemos dividir toda a linha por 5. Isso resulta em,

A próxima etapa é usar a operação da terceira linha para transformar -6 na segunda coluna em zero.

Agora, oficialmente terminamos, mas, novamente, é um pouco conveniente colocar todos na diagonal principal, então faremos uma última etapa.

Agora podemos converter de volta para equações.

Neste ponto, a solução é bastante fácil. Obtemos (x_ <3> ) gratuitamente e, uma vez que o obtemos, podemos conectá-lo à segunda equação e obter (x_ <2> ). Podemos então usar a primeira equação para obter (x_ <1> ). Observe também que ter 1 ao longo da diagonal principal ajudou um pouco neste processo.

A solução para este sistema de equação é

O processo usado neste exemplo é chamado Eliminação gaussiana. Vamos dar uma olhada em outro exemplo.

Primeiro, escreva a matriz aumentada.

Não colocaremos tantas palavras ao trabalhar este exemplo. Aqui está o trabalho para esta matriz aumentada.

Não iremos mais longe neste exemplo. Vamos voltar às equações para ver o porquê.

A última equação deve causar alguma preocupação. Há uma das três opções aqui. Primeiro, de alguma forma conseguimos provar que 0 é igual a 8 e sabemos que isso não é possível. Em segundo lugar, cometemos um erro, mas depois de voltarmos ao nosso trabalho, não parece que cometemos um erro.

Isso deixa a terceira opção. Quando obtemos algo como a terceira equação que simplesmente não faz sentido, sabemos imediatamente que não há solução. Em outras palavras, não existe um conjunto de três números que tornará todas as três equações verdadeiras ao mesmo tempo.

Vamos trabalhar outro exemplo. Vamos obter o sistema para este novo exemplo fazendo uma pequena alteração no sistema do exemplo anterior.

Portanto, a única diferença entre este sistema e o sistema do segundo exemplo é que alteramos o 1 no lado direito do sinal de igual na terceira equação para a -7.

Agora escreva a matriz aumentada para este sistema.

As etapas para este problema são idênticas às etapas para o segundo problema, portanto, não as escreveremos todas. Ao realizar as mesmas etapas, chegamos à seguinte matriz.

Desta vez, a última equação se reduz a

e, ao contrário do segundo exemplo, isso não é um problema. Zero na verdade é igual a zero!

Poderíamos parar aqui e voltar às equações para obter uma solução e, neste caso, há uma solução. No entanto, se dermos mais um passo e obtivermos um zero acima do da segunda coluna, bem como abaixo dele, nossa vida será um pouco mais simples. Fazer isso dá,

Se voltarmos à equação, obteremos as duas equações a seguir.

Temos duas equações e três incógnitas. Isso significa que podemos resolver duas das variáveis ​​em termos da variável restante. Como (x_ <3> ) está em ambas as equações, resolveremos em termos disso.

O que esta solução significa é que podemos escolher o valor de (x_ <3> ) para ser qualquer coisa que quisermos e, em seguida, encontrar os valores de (x_ <1> ) e (x_ <2> ) . Nesses casos, normalmente escrevemos a solução da seguinte maneira,

Desta forma, obtemos um número infinito de soluções, uma para cada valor de (t ).

Esses três exemplos nos levam a um fato interessante sobre sistemas de equações.

Dado um sistema de equações, ( eqref), teremos uma das três possibilidades para o número de soluções.

Antes de passar para a próxima seção, precisamos dar uma olhada em mais uma situação. O sistema de equações em ( eqref) é chamado de sistema não homogêneo se pelo menos um dos beus não é zero. Se, no entanto, todos os (b_) 's são zero, chamamos o sistema homogêneo e o sistema será,

Agora, observe que no caso homogêneo temos a garantia de ter a seguinte solução.

Esta solução é frequentemente chamada de solução trivial.

Para sistemas homogêneos, o fato acima pode ser modificado para o seguinte.

Dado um sistema homogêneo de equações, ( eqref), teremos uma das duas possibilidades para o número de soluções.

    Exatamente uma solução, a solução trivial

Na segunda possibilidade, podemos dizer solução diferente de zero porque se houver infinitas soluções e sabemos que uma delas é a solução trivial, então todo o resto deve ter pelo menos um dos (x_) é diferente de zero e, portanto, obtemos uma solução diferente de zero.


Introdução aos Sistemas

Baixe o vídeo do iTunes U ou do Internet Archive.

No restante do semestre, estudaremos não apenas uma equação diferencial por vez, mas o que são chamados de sistemas de equações diferenciais.

Esses são como sistemas de equações lineares.

Eles devem ser resolvidos simultaneamente, em outras palavras, não apenas um de cada vez.

Então, como fica um sistema quando você o escreve?

Bem, como vamos falar sobre sistemas de equações diferenciais ordinárias, ainda haverá apenas uma variável independente, mas haverá várias variáveis ​​dependentes. Vou ligar, digamos dois. As variáveis ​​dependentes serão, vou chamá-las de xey, e então o sistema de primeira ordem, algo que envolve apenas derivadas iniciais, terá esta aparência. No lado esquerdo estará x primo, em outras palavras. No lado direito estarão as variáveis ​​dependentes e também as variáveis ​​independentes.

Vou indicar isso, vou separar tudo dos outros colocando um ponto e vírgula lá.

E da mesma forma y linha, a derivada de y em relação a t, será alguma outra função de (x, y) e t. Vamos escrever explicitamente que x e y são variáveis ​​dependentes.

E eles dependem da variável independente t, tempo. Um sistema como esse será chamado de primeira ordem. E vamos considerar basicamente apenas sistemas de primeira ordem por um motivo secreto que explicarei no final do período.

Este é um sistema de primeira ordem, o que significa que os únicos tipos de derivadas que estão aqui são as primeiras derivadas.

Portanto, x linha é dx sobre dt e assim por diante.

Agora, ainda há mais terminologia.

É claro que praticamente todas as equações após o termo começou, virtualmente todas as equações que estivemos considerando são equações lineares, então deve ser verdade que os sistemas lineares são o melhor tipo.

E, cara, eles certamente são. Quando vamos chamar um sistema de linear? Acho que no começo você deve aprender um pouco de terminologia antes de começarmos e realmente tentar começar a resolver essas coisas.

Bem, oxey, as variáveis ​​dependentes devem ocorrer linearmente. Em outras palavras, deve ser assim, machado mais perto.

Agora, o t pode ser uma bagunça. E então vou adicionar uma função extra de t lá. E y linha será alguma outra combinação linear de xey, mais alguma outra função confusa de t. Mas mesmo a, b, c e d podem ser funções de t.

Eles podem ter um cubo ou um seno ou algo parecido. Portanto, tenho que distinguir esses casos. O caso em que a, b, c e d são constantes, que chamarei - bem, existem diferentes coisas que você pode chamá-lo.

Vamos simplesmente chamá-lo de sistema de coeficientes constantes.

Um sistema com coeficientes provavelmente seria um inglês melhor. Por outro lado, a, b, c e d, este sistema ainda será chamado de linear se forem funções de t.

Também podem ser funções de t.

Portanto, seria um sistema linear perfeitamente bom ter x linha igual a tx mais seno t vezes y mais e elevado a menos t ao quadrado.

Você nunca veria algo assim, mas está tudo bem.

O que mais você precisa saber? Bem, o que seria um sistema homogêneo? Um sistema homogêneo é aquele sem esses caras extras. Isso não significa que não haja nada nele. Pode haver t em a, b, c e d, mas esses termos sem x e y neles não devem ocorrer. Então, um homogêneo linear.

E esse é o tipo que vamos começar a estudar primeiro, da mesma maneira quando estudamos equações de ordem superior.

Estudamos primeiro homogêneo. Você tinha que saber como resolvê-los primeiro, e então você poderia aprender como resolver o tipo mais geral. Portanto, linear homogêneo significa que r1 é zero e r2 é zero para sempre.

Eles são idênticos a zero. Eles não estão lá.

Você não os vê. Eu deixei alguma coisa de fora?

Sim, as condições iniciais. Já que isso é bastante geral, vamos falar sobre como seriam as condições iniciais?

Bem, de uma maneira geral, a razão pela qual você tem que ter condições iniciais é obter valores para as constantes arbitrárias que aparecem na solução.

A questão é: quantas constantes arbitrárias vão aparecer nas soluções dessas equações?

Bem, vou apenas dar-lhe a resposta.

Dois. O número de constantes arbitrárias que aparecem é a ordem total do sistema.

Por exemplo, se esta fosse uma segunda derivada e esta fosse uma primeira derivada, eu esperaria três constantes arbitrárias no sistema - - porque o total, a soma de dois e um são três. Portanto, você deve ter tantas condições iniciais quantas constantes arbitrárias na solução. E isso, é claro, explica quando estudamos equações de segunda ordem, tínhamos que ter duas condições iniciais.

Tive que especificar o ponto de partida inicial e a velocidade inicial. E a razão de termos duas condições era porque a solução geral continha duas constantes arbitrárias. The same thing happens here but the answer is it is more natural, the conditions here are more natural. I don't have to specify the velocity. Por que não?

Well, because an initial condition, of course, would want me to say what the starting value of x is, some number, and it will also want to know what the starting value of y is at that same point.

Well, there are my two conditions.

And since this is going to have two arbitrary constants in it, it is these initial conditions that will satisfy, the arbitrary constants will have to be picked so as to satisfy those initial conditions.

In some sense, the giving of initial conditions for a system is a more natural activity than giving the initial conditions of a second order system.

You don't have to be the least bit cleaver about it.

Anybody would give these two numbers.

Whereas, somebody faced with a second order system might scratch his head. And, in fact, there are other kinds of conditions.

There are boundary conditions you learned a little bit about instead of initial conditions for a second order equation.

I cannot think of any more general terminology, so it sounds like we are going to actually have to get to work.

Okay, let's get to work. I want to set up a system and solve it. And since one of the things in this course is supposed to be simple modeling, it should be a system that models something.

In general, the kinds of models we are going to use when we study systems are the same ones we used in studying just first-order equations. Mixing, radioactive decay, temperature, the motion of temperature.

Heat, heat conduction, in other words.

Diffusion. I have given you a diffusion problem for your first homework on this subject.

What else did we do? That's all I can think of for the moment, but I am sure they will occur to me.

When, out of those physical ideas, are we going to get a system? The answer is, whenever there are two of something that there was only one of before. For example, if I have mixing with two tanks where the fluid goes like that.

Say you want to have a big tank and a little tank here and you want to put some stuff into the little tank so that it will get mixed in the big tank without having to climb a big ladder and stop and drop the stuff in. That will require two tanks, the concentration of the substance in each tank, therefore, that will require a system of equations rather than just one. Or, to give something closer to home, closer to this backboard, anyway, suppose you have dah, dah, dah, don't groan, at least not audibly, something that looks like that. And next to it put an EMF there. That is just a first order.

That just leads to a single first order equation.

But suppose it is a two loop circuit.

Now I need a pair of equations. Each of these loops gives a first order differential equation, but they have to be solved simultaneously to find the current or the charges on the condensers. And if I want a system of three equations, throw in another loop.

Now, suppose I put in a coil instead.

What is this going to lead to? This is going to give me a system of three equations of which this will be first order, first order. And this will be second order because it has a coil. You are up to that, right? You've had coils, inductance? Good.

So the whole thing is going to count as first-order, first-order, second-order.

To find out how complicated it is, you have to add up the orders. That is one and one, and two. This is really fourth-order stuff that we are talking about here.

We can expect it to be a little complicated.

Well, now let's take a modest little problem.

I am going to return to a problem we considered earlier in the problem of heat conduction. I had forgotten whether it was on the problem set or I did it in class, but I am choosing it because it leads to something we will be able to solve.

And because it illustrates how to add a little sophistication to something that was unsophisticated before.

A pot of water. External temperature Te of t.

I am talking about the temperature of something. And what I am talking about the temperature of will be an egg that is cooking inside, but with a difference. This egg is not homogenous inside. Instead it has a white and it has a yolk in the middle. In other words, it is a real egg and not a phony egg.

That is a small pot, or it is an ostrich egg.

[LAUGHTER] That is the yoke. The yolk is contained in a little membrane inside. And there are little yucky things that hold it in position. And we are going to let the temperature of the yolk, if you can see in the back of the room, be T1. That is the temperature of the yolk. The temperature of the white, which we will assume is uniform, is going to be T2.

Oh, that's the water bath. The temperature of the white is T2, and then the temperature of the external water bath.

In other words, the reason for introducing two variables instead of just the one variable for the overall temperature of the egg we had is because egg white is liquid pure protein, more or less, and the T1, the yolk has a lot of fat and cholesterol and other stuff like that which is supposed to be bad for you. It certainly has different conducting. It is liquid, at the beginning at any rate, but it certainly has different constants of conductivity than the egg white would.

And the condition of heat through the shell of the egg would be different from the conduction of heat through the membrane that keeps the yoke together.

So it is quite reasonable to consider that the white and the yolk will be at different temperatures and will have different conductivity properties.

I am going to use Newton's laws but with this further refinement. In other words, introducing two temperatures. Whereas, before we only had one temperature. But let's use Newton's law.

Let's see. The question is how does T1, the temperature of the yolk, vary with time?

Well, the yolk is getting all its heat from the white.

Therefore, Newton's law of conduction will be some constant of conductivity for the yolk times T2 minus T1.

The yolk does not know anything about the external temperature of the water bath. It is completely surrounded, snug and secure within itself. But how about the temperature of the egg white? That gets heat and gives heat to two sources, from the external water and also from the internal yolk inside.

So you have to take into account both of those.

Its conduction of the heat through that membrane, we will use the same a, which is going to be a times T1 minus T2. Remember the order in which you have to write these is governed by the yolk outside to the white. Therefore, that has to come first when I write it in order that a be a positive constant.

But it is also getting heat from the water bath.

And, presumably, the conductivity through the shell is different from what it is through this membrane around the yolk. So I am going to call that by a different constant. This is the conductivity through the shell into the white.

And that is going to be T, the external temperature minus the temperature of the egg white.

Here I have a system of equations because I want to make two dependent variables by refining the original problem.

Now, you always have to write a system in standard form to solve it. You will see that the left-hand side will give the dependent variables in a certain order.

In this case, the temperature of the yolk and then the temperature of the white.

The law is that in order not to make mistakes -- And it's a very frequent source of error so learn from the beginning not to do this. You must write the variables on the right-hand side in the same order left to right in which they occur top to bottom here. In other words, this is not a good way to leave that.

This is the first attempt in writing this system, but the final version should like this.

T1 prime, I won't bother writing dT / dt, is equal to -- T1 must come first, so minus a times T1 plus a times T2.

And the same law for the second one.

It must come in the same order. Now, the coefficient of T1, that is easy. That's a times T1.

The coefficient of T2 is minus a minus b, so minus (a plus b) times T2.

But I am not done yet. There is still this external temperature I must put into the equation.

Now, that is not a variable. This is some given function of t. And what the function of t is, of course, depends upon what the problem is.

So that, for example, what might be some possibilities, well, suppose the problem was I wanted to coddle the egg. I think there is a generation gap here. How many of you know what a coddled egg is? How many of you don't know?

Well, I'm just saying my daughter didn't know.

I mentioned it to her. I said I think I'm going to do a coddled egg tomorrow in class. And she said what is that?

And so I said a cuddled egg? She said why would someone cuddle an egg? I said coddle.

And she said, oh, you mean like a person, like what you do to somebody you like or don't like or I don't know. Whatever.

I thought a while and said, yeah, more like that.

[LAUGHTER] Anyway, for the enrichment of your cooking skills, to coddle an egg, it is considered to produce a better quality product than boiling an egg. That is why people do it.

You heat up the water to boiling, the egg should be at room temperature, and then you carefully lower the egg into the water. And you turn off the heat so the water bath cools exponentially while the egg inside is rising in temperature. And then you wait four minutes or six minutes or whatever and take it out.

You have a perfect egg. So for coddling, spelled so, what will the external temperature be?

Well, it starts out at time zero at 100 degrees centigrade because the water is supposed to be boiling.

The reason you have it boiling is for calibration so that you can know what temperature it is without having to use a thermometer, unless you're on Pike's Peak or some place.

It starts out at 100 degrees. And after that, since the light is off, it cools exponential because that is another law. You only have to know what K is for your particular pot and you will be able to solve the coddled egg problem. In other words, you will then be able to solve these equations and know how the temperature rises. I am going to solve a different problem because I don't want to have to deal with this inhomogeneous term. Let's use, as a different problem, a person cooks an egg. Coddles the egg by the first process, decides the egg is done, let's say hardboiled, and then you are supposed to drop a hardboiled egg into cold water. Not just to cool it but also because I think it prevents that dark thing from forming that looks sort of unattractive. Let's ice bath.

The only reason for dropping the egg into an ice bath is so that you could have a homogenous equation to solve.

And since this a first system we are going to solve, let's make life easy for ourselves.

Now, all my work in preparing this example, and it took considerably longer time than actually solving the problem, was in picking values for a and b which would make everything come out nice. It's harder than it looks.

The values that we are going to use, which make no physical sense whatsoever, but a equals 2 and b equals 3. These are called nice numbers.

What is the equation? What is the system?

Can somebody read it off for me?

It is T1 prime equals, what is it, minus 2T1 plus 2T2.

I think this is 2T1. And the other one is minus a plus b, so minus 5.

This is a system. Now, on Wednesday I will teach you a fancy way of solving this. But, to be honest, the fancy way will take roughly about as long as the way I am going to do it now. The main reason for doing it is that it introduces new vocabulary which everyone wants you to have. And also, more important reasons, it gives more insight into the solution than this method. This method just produces the answer, but you want insight, also.

And that is just as important. But for now, let's use a method which always works and which in 40 years, after you have forgotten all other fancy methods, will still be available to you because it is method you can figure out yourself. You don't have to remember anything. The method is to eliminate one of the dependent variables. It is just the way you solve systems of linear equations in general if you aren't doing something fancy with determinants and matrices.

If you just eliminate variables.

We are going to eliminate one of these variables.

Let's eliminate T2. You could also eliminate T1.

The main thing is eliminate one of them so you will have just one left to work with. How do I eliminate T2?

Beg your pardon? Is something wrong?

If somebody thinks something is wrong raise his hand.

Why do I want to get rid of T1? Well, I can add them.

But, on the left-hand side, I will have T1 prime plus T2 prime. What good is that?

[LAUGHTER] I think you will want to do it my way.

[APPLAUSE] Solve for T2 in terms of T1. That is going to be T1 prime plus 2T1 divided by 2.

Now, take that and substitute it into the second equation.

Wherever you see a T2, put that in, and what you will be left with is something just in T1.

To be honest, I don't know any other good way of doing this. There is a fancy method that I think is talked about in your book, which leads to extraneous solutions and so on, but you don't want to know about that. This will work for a simple linear equation with constant coefficients, always. Substitute in.

What do I do? Now, here I do not advise doing this mentally. It is just too easy to make a mistake. Here, I will do it carefully, writing everything out just as you would.

T1 prime plus 2T1 over 2, prime, equals 2T1 minus 5 time T1 prime plus 2T1 over two.

I took that and substituted into this equation. Now, I don't like those two's.

Let's get rid of them by multiplying.

And now write this out. What is this when you look at it? This is an equation just in T1.

It has constant coefficients. And what is its order?

Its order is two because T1 prime primed.

In other words, I can eliminate T2 okay, but the equation I am going to get is no longer a first-order.

It becomes a second-order differential equation.

And that's a basic law. Even if you have a system of more equations, three or four or whatever, the law is that after you do the elimination successfully and end up with a single equation, normally the order of that equation will be the sum of the orders of the things you started with. So two first-order equations will always produce a second-order equation in just one dependent variable, three will produce a third order equation and so on. So you trade one complexity for another. You trade the complexity of having to deal with two equations simultaneously instead of just one for the complexity of having to deal with a single higher order equation which is more trouble to solve.

It is like all mathematical problems.

Unless you are very lucky, if you push them down one way, they are really simple now, they just pop up some place else. You say, oh, I didn't save anything after all.

That is the law of conservation of mathematical difficulty.

[LAUGHTER] You saw that even with the Laplace transform.

In the beginning it looks great, you've got these tables, take the equation, horrible to solve.

Take some transform, trivial to solve for capital Y.

Now I have to find the inverse Laplace transform.

And suddenly all the work is there, partial fractions, funny formulas and so on. It is very hard in mathematics to get away with something. It happens now and then and everybody cheers. Let's write this out now in the form in which it looks like an equation we can actually solve.

Just be careful. Now it is all right to use the method by which you collect terms.

There is only one term involving T1 double prime.

It's the one that comes from here.

How about the terms in T1 prime?

There is a 2. Here, there is minus 5 T1 prime. If I put it on the other side it makes plus 5 T1 prime plus this two makes 7 T1 prime.

And how many T1's are there? Well, none on the left-hand side. On the right-hand side I have 4 here minus 10. 4 minus 10 is negative 6.

Negative 6 T1 put on this left-hand side the way we want to do makes plus 6 T1.

There are no inhomogeneous terms, so that is equal to zero.

If I had gotten a negative number for one of these coefficients, I would instantly know if I had made a mistake. Por quê?

Why must those numbers come out to be positive?

It is because the system must be, the system must be, fill in with one word, stable.

And why must this system be stable?

In other words, the long-term solutions must be zero, must all go to zero, whatever they are.

Why is that? Well, because you are putting the egg into an ice bath. Or, because we know it was living but after being hardboiled it is dead and, therefore, dead systems are stable.

That's not a good reason but it is, so to speak, the real one. It's clear anyway that all solutions must tend to zero physically.

That's obvious. And, therefore, the differential equation must have the same property, and that means that its coefficients must be positive.

All its coefficients must be positive.

If this weren't there, I would get oscillating solutions, which wouldn't go to zero.

That is physical impossible for this egg.

Now the rest is just solving. The characteristic equation, if you can remember way, way back in prehistoric times when we were solving these equations, is this.

And what you want to do is factor it.

This is where all the work was, getting those numbers so that this would factor. So it's r plus 1 times r plus 6 And so the solutions are, the roots are r equals negative 1. I am just making marks on the board, but you have done this often enough, you know what I am talking about.

So the characteristic roots are those two numbers.

And, therefore, the solution is, I could write down immediately with its arbitrary constant as c1 times e to the negative t plus c2 times e to the negative 6t. Now, I have got to get T2.

Here the first worry is T2 is going to give me two more arbitrary constants. It better not.

The system is only allowed to have two arbitrary constants in its solution because that is the initial conditions we are giving it. By the way, I forgot to give initial conditions. Let's give initial conditions.

Let's say the initial temperature of the yolk, when it is put in the ice bath, is 40 degrees centigrade, Celsius. And T2, let's say the white ought to be a little hotter than the yolk is always cooler than the white for a soft boiled egg, I don't know, or a hardboiled egg if it hasn't been chilled too long.

Let's make this 45. Realistic numbers.

Now, the thing not to do is to say, hey, I found T1.

Okay, I will find T2 by the same procedure.

I will go through the whole thing.

I will eliminate T1 instead. Then I will end up with an equation T2 and I will solve that and get T2 equals blah, blah, blah. That is no good, A, because you are working too hard and, B, because you are going to get two more arbitrary constants unrelated to these two. And that is no good.

Because the correct solution only has two constants in it.

Not four. So that procedure is wrong.

You must calculate T2 from the T1 that you found, and that is the equation which does it.

That's the one we have to have. Where is the chalk?

sim. Maybe I can have a little thing so I can just carry this around with me.

That is the relation between T2 and T1.

Or, if you don't like it, either one of these equations will express T2 in terms of T1 for you.

It doesn't matter. Whichever one you use, however you do it, that's the way you must calculate T2. So what is it?

T2 is calculated from that pink box.

It is one-half of T1 prime plus T1.

Now, if I take the derivative of this, I get minus c1 times the exponential. The coefficient is minus c1, take half of that, that is minus a half c1 and add it to T1. Minus one-half c1 plus c1 gives me one-half c1.

And here I take the derivative, it is minus 6 c2.

Take half of that, minus 3 c2 and add this c2 to it, minus 3 plus 1 makes minus 2.

That is T2. And notice it uses the same arbitrary constants that T1 uses.

So we end up with just two because we calculated T2 from that formula or from the equation which is equivalent to it, not from scratch. We haven't put in the initial conditions yet, but that is easy to do.

Everybody, when working with exponentials, of course, you always want the initial conditions to be when T is equal to zero because that makes all the exponentials one and you don't have to worry about them.

But this you know. If I put in the initial conditions, at time zero, T1 has the value 40.

So 40 should be equal to c1 + c2.

And the other equation will say that 45 is equal to one-half c1 minus 2 c2. Now we are supposed to solve these. Well, this is called solving simultaneous linear equations. We could use Kramer's rule, inverse matrices, but why don't we just eliminate. Let me see.

If I multiply by, 45, so multiply by two, you get 90 equals c1 minus 4 c2.

Then subtract this guy from that guy.

So, 40 taken from 90 makes 50. And c1 taken from c1, because I multiplied by two, makes zero.

And c2 taken from minus 4 c2, that makes minus 5 c2, I guess.

I seem to get c2 is equal to negative 10.

And if c2 is negative 10, then c1 must be 50.

There are two ways of checking the answer.

One is to plug it into the equations, and the other is to peak. Yes, that's right.

[LAUGHTER] The final answer is, in other words, you put a 50 here, 25 there, negative 10 here, and positive 20 there. That gives the answer to the problem. It tells you, in other words, how the temperature of the yolk varies with time and how the temperature of the white varies with time. As I said, we are going to learn a slick way of doing this problem, or at least a very different way of doing the same problem next time, but let's put that on ice for the moment.

And instead I would like to spend the rest of the period doing for first order systems the same thing that I did for you the very first day of the term.

Remember, I walked in assuming that you knew how to separate variables the first day of the term, and I did not talk to you about how to solve fancier equations by fancier methods.

I instead talked to you about the geometric significance, what the geometric meaning of a single first order equation was and how that geometric meaning enabled you to solve it numerically. And we spent a little while working on such problems because nowadays with computers it is really important that you get a feeling for what these things mean as opposed to just algorithms for solving them.

As I say, most differential equations, especially systems, are likely to be solved by a computer anyway.

You have to be the guiding genius that interprets the answers and can see when mistakes are being made, stuff like that. The problem is, therefore, what is the meaning of this system?

Well, you are not going to get anywhere interpreting it geometrically, unless you get rid of that t on the right-hand side. And the only way of getting rid of the t is to declare it is not there.

So I hereby declare that I will only consider, for the rest of the period, that is only ten minutes, systems in which no t appears explicitly on the right-hand side. Because I don't know what to do if it does up here. We have a word for these.

Remember what the first order word was?

A first order equation where there was no t explicitly on the right-hand side, we called it, anybody remember? Just curious.

This is an autonomous system. It is not a linear system because these are messy functions.

This could be x times y or x squared minus 3y squared divided by sine of x plus y.

It could be a mess. Definitely not linear.

But autonomous means no t. t means the independent variable appears on the right-hand side.

Of course, it is there. It is buried in the dx/dt and dy/dt. But it is not on the right-hand side. No t appears on the right-hand side.

Because no t appears on the right-hand side, I can now draw a picture of this.

But, let's see, what does a solution look like?

I never even talked about what a solution was, did I? Well, pretend that immediately after I talked about that, I talked about this.

What is the solution? Well, the solution, maybe you took it for granted, is a pair of functions, x of t, y of t if when you plug it in it satisfies the equation. And so what else is new?

The solution is x equals x of t, y equals y of t.

If I draw a picture of that what would it look like?

This is where your previous knowledge of physics above all 18.02, maybe 18.01 if you learned this in high school, what is x equals x of t and y equals y of t?

How do you draw a picture of that? What does it represent?

A curve. And what will be the title of the chapter of the calculus book in which that is discussed?

Parametric equations. This is a parameterized curve.

So we know what the solution looks like.

Our solution is a parameterized curve.

And what does a parameterized curve look like?

Well, it travels, and in a certain direction.

Why do I have several of those curves?

Well, because I have several solutions.

In fact, given any initial starting point, there is a solution that goes through it.

I will put in possible starting points.

And you can do this on the computer screen with a little program you will have, one of the visuals you'll have.

It's being made right now. You put down starter point, put down a click, and then it just draws the curve passing through that point.

Didn't we do this early in the term?

sim. But there is a difference now which I will explain. These are various possible starting points at time zero for this solution, and then you see what happens to it afterwards.

In fact, through every point in the plane will pass a solution curve, parameterized curve. Now, what is then the representation of this? Well, what is the meaning of x prime of t and y prime of t?

I am not going to worry for the moment about the right-hand side. What does this mean by itself?

If this is the curve, the parameterized motion, then this represents its velocity vector.

It is the velocity of the solution at time t.

If I think of the solution as being a parameterized motion.

All I have drawn here is the trace, the path of the motion.

This hasn't indicated how fast it was going.

One solution might go whoosh and another one might go rah.

That is a velocity, and that velocity changes from point to point. It changes direction.

Well, we know its direction at each point.

That's tangent. What I cannot tell is the speed. From this picture, I cannot tell what the speed was.

Too bad. Now, what is then the meaning of the system? What the system does, it prescribes at each point the velocity vector.

If you tell me what the point (x, y) is in the plane then these equations give you the velocity vector at that point.

And, therefore, what I end up with, the system is what you call in physics and what you call in 18.02 a velocity field. So at each point there is a certain vector. The vector is always tangent to the solution curve through there, but I cannot predict from just this picture what its length will be because at some points, it might be going slow. The solution might be going slowly. In other words, the plane is filled up with these guys.

So on and so on. We can say a system of first order equations, ODEs of first order equations, autonomous because there must be no t on the right-hand side, is equal to a velocity field. A field of velocity.

The plane covered with velocity vectors.

And a solution is a parameterized curve with the right velocity everywhere.

Now, there obviously must be a connection between that and the direction fields we studied at the beginning of the term.

And there is. It is a very important connection. It is too important to talk about in minus one minute. When we need it, I will have to spend some time talking about it then.


An Introduction to Nonlinear Differential Equations , Second Edition

"This book is well conceived and well written. The author has succeeded in producing a text on nonlinear PDEs that is not only quite readable but also accessible to students from diverse backgrounds."
—SIAM Review

A practical introduction to nonlinear PDEs and their real-world applications

Now in a Second Edition, this popular book on nonlinear partial differential equations (PDEs) contains expanded coverage on the central topics of applied mathematics in an elementary, highly readable format and is accessible to students and researchers in the field of pure and applied mathematics. This book provides a new focus on the increasing use of mathematical applications in the life sciences, while also addressing key topics such as linear PDEs, first-order nonlinear PDEs, classical and weak solutions, shocks, hyperbolic systems, nonlinear diffusion, and elliptic equations. Unlike comparable books that typically only use formal proofs and theory to demonstrate results, An Introduction to Nonlinear Partial Differential Equations, Second Edition takes a more practical approach to nonlinear PDEs by emphasizing how the results are used, why they are important, and how they are applied to real problems.

The intertwining relationship between mathematics and physical phenomena is discovered using detailed examples of applications across various areas such as biology, combustion, traffic flow, heat transfer, fluid mechanics, quantum mechanics, and the chemical reactor theory. New features of the Second Edition also include:

Additional intermediate-level exercises that facilitate the development of advanced problem-solving skills

New applications in the biological sciences, including age-structure, pattern formation, and the propagation of diseases

An expanded bibliography that facilitates further investigation into specialized topics

With individual, self-contained chapters and a broad scope of coverage that offers instructors the flexibility to design courses to meet specific objectives, An Introduction to Nonlinear Partial Differential Equations, Second Edition is an ideal text for applied mathematics courses at the upper-undergraduate and graduate levels. It also serves as a valuable resource for researchers and professionals in the fields of mathematics, biology, engineering, and physics who would like to further their knowledge of PDEs.

Reviews

Author Bios

J. David Logan, PhD, is Willa Cather Professor of Mathematics at the University of Nebraska–Lincoln. He has authored several texts on elementary differential equations and beginning partial differential equations, including Applied Mathematics, Third Edition, also published by Wiley. Dr. Logan's research interests include mathematical physics, combustion and detonation, hydrogeology, and mathematical biology.


Differential Equations

This introductory differential equations textbook presents a convenient way for professors to integrate symbolic computing into the study of differential equations and linear algebra. Mathematica provides the necessary computational power and is employed from the very beginning of the text. Each new idea is interactively developed using it.

After first learning about the fundamentals of differential equations and linear algebra, the student is immediately given an opportunity to examine each new concept using Mathematica. All ideas are explored utilizing Mathematica, and though the computer eases the computational burden, the student is encouraged to think about what the computations reveal, how they are consistent with the mathematics, what any conclusions mean, and how they may be applied.

This new edition updates the text to Mathematica 5.0 and offers a more extensive treatment of linear algebra. It has been thoroughly revised and corrected throughout.

Dr. Clay C. Ross taught mathematics at the university level from 1967 through his retirement in May of 2003. He continues to pursue his interests in mathematics, travel and nature photography, still plays in the University orchestra, and serves as organist at his church. Those activities and much reading keep him productively occupied.

From the reviews of the second edition:

"The introductory differential equations textbook presents a convenient way for professors to integrate … . Each new idea is interactively developed … . After first learning about the fundamentals of differential equations and linear algebra, the student is immediately given an opportunity to examine … . the student is encouraged to think about what the computations reveal, how they are consistent with the mathematics … . The new revised edition updates … and offers a more extensive treatment of linear algebra." (Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, January, 2005)

"This text instructs students in solving and using differential equations with both paper-and-pencil techniques and the Mathematica symbolic manipulation program. … This is a good, thorough standard textbook with good explanations." (Steven Dunbar, MathDL, January, 2005)


An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences

This book is intended to be an introduction to Delay Differential Equations for upper level undergraduates or beginning graduate mathematics students who have a good background in ordinary differential equations and would like to learn about the applications. It may also be of interest to applied mathematicians, computational scientists, and engineers. It focuses on key tools necessary to understand the applications literature involving delay equations and to construct and analyze mathematical models. Aside from standard well-posedness results for the initial value problem, it focuses on stability of equilibria via linearization and Lyapunov functions and on Hopf bifurcation. It contains a brief introduction to abstract dynamical systems focused on those generated by delay equations, introducing limit sets and their properties. Differential inequalities play a significant role in applications and are treated here, along with an introduction to monotone systems generated by delay equations. The book contains some quite recent results such as the Poincare-Bendixson theory for monotone cyclic feedback systems, obtained by Mallet-Paret and Sell. The linear chain trick for a special family of infinite delay equations is treated. The book is distinguished by the wealth of examples that are introduced and treated in detail. These include the delayed logistic equation, delayed chemostat model of microbial growth, inverted pendulum with delayed feedback control, a gene regulatory system, and an HIV transmission model. An entire chapter is devoted to the interesting dynamics exhibited by a chemostat model of bacteriophage parasitism of bacteria. The book has a large number of exercises and illustrations. Hal Smith is a Professor at the School of Mathematical and Statistical Sciences at Arizona State University.

Hal Smith is a Professor at the School of Mathematical and Statistical Sciences at Arizona State University.

“This text is designed to be an introduction to the theory of differential equations with delay for advanced undergraduates and beginning graduate students.” (William J. Satzer, The Mathematical Association of America, November, 2010)

“This textbook would serve as an excellent reference text to help a mathematics faculty develop an introductory mathematics course on DDEs … . This textbook clearly places the study of DDEs firmly within the standard curriculum of a graduate program in mathematics and well within the scope of a strong final-year undergraduate mathematics major. … this text will have a positive impact on biomathematics education and be a welcome addition. We certainly find it so.” (John G. Milton and Michael C. Mackey, Mathematical Reviews, Issue 2011 k)

“This book gives a first introduction to delay differential equations that is intended for mathematics students. Thanks to the emphasis on applications to life sciences, it can be recommended also to scientists from this discipline that wish to get a deeper understanding of the theoretical aspects for this widely used class of models.” (Matthias Wolfrum, Zentralblatt MATH, Vol. 1227, 2012)


Methods of Mathematical Modelling

This book presents mathematical modelling and the integrated process of formulating sets of equations to describe real-world problems. It describes methods for obtaining solutions of challenging differential equations stemming from problems in areas such as chemical reactions, population dynamics, mechanical systems, and fluid mechanics.

Chapters 1 to 4 cover essential topics in ordinary differential equations, transport equations and the calculus of variations that are important for formulating models. Chapters 5 to 11 then develop more advanced techniques including similarity solutions, matched asymptotic expansions, multiple scale analysis, long-wave models, and fast/slow dynamical systems.

Methods of Mathematical Modelling will be useful for advanced undergraduate or beginning graduate students in applied mathematics, engineering and other applied sciences.

Thomas Witelski is a Professor of Mathematics at Duke University specializing in nonlinear partial differential equations and fluid dynamics. He is a long-time participant in many study groups on mathematical modelling and industrial problems. He is the co-Editor-in-Chief of the Journal of Engineering Mathematics and also serves on the editorial board for the European Journal of Applied Mathematics. Witelski received his Ph.D. in Applied Mathematics from the California Institute of Technology in 1995 and was a postdoctoral fellow at the Massachusetts Institute of Technology.

Mark Bowen is an Associate Professor in the International Center for Science and Engineering Programs at Waseda University, where he teaches courses in differential equations and nonlinear dynamics. His expertise is in asymptotic analysis, nonlinear differential equations and fluid dynamics. He received his Ph.D. in Applied Mathematics in 1998 from the University of Nottingham.

“The text is well written. The authors have provided a clear and concise presentation of many important topics in a way that should be accessible to students following a first course in differential equations. … More advanced students could easily learn a significant amount of useful mathematics reading the text independently. … Methods of Mathematical Modelling is a welcome addition to the SUMS series and should prove to be useful for many instructors and students.” (Jason M. Graham, MAA Reviews, maa.org, February, 2016)

“The purpose of this text is to introduce the reader to the art of mathematical modeling … . The book provides an account of a number of useful for mathematical modelling techniques which are illustrated with examples and complemented with problems for self study.” (Yuriy V. Rogovchenko, zbMATH 1333.00025, 2016)


Introduction to Differential Equations with Dynamical Systems

Many textbooks on differential equations are written to be interesting to the teacher rather than the student. Introduction to Differential Equations with Dynamical Systems is directed toward students. Este livro conciso e atualizado aborda os desafios que os alunos de matemática, engenharia e ciências enfrentam durante um primeiro curso sobre equações diferenciais. E, ao mesmo tempo que cobre todas as partes padrão do assunto, o livro enfatiza aplicações e equações de coeficiente constante linear, incluindo os tópicos essenciais para estudantes de engenharia. Stephen Campbell e Richard Haberman & thinsp & # 8212 & thinspusing derivações cuidadosamente formuladas, explicações elementares e exemplos, exercícios e figuras em vez de teoremas e provas & thinsp & # 8212 & thinsphave escreveram um livro que torna o aprendizado e ensino de equações diferenciais mais fácil e relevante. O livro também apresenta sistemas dinâmicos elementares de uma forma única e flexível que é adequada para todos os cursos, independentemente da duração.

"Esses dois experientes matemáticos aplicados procuraram fornecer uma introdução fácil de ler às equações diferenciais para alunos típicos ... A redação é clara e bem ilustrada."—Robert E. O'Mally, Jr., Revisão SIAM

"Introdução às equações diferenciais com sistemas dinâmicos é direcionado aos alunos. Este livro conciso e atualizado aborda os desafios que os alunos de matemática, engenharia e ciências enfrentam durante um primeiro curso sobre equações diferenciais. "L'Enseignement Mathematique


Representação Matemática de Sistemas Físicos Lineares

Esta página descreve as diferentes maneiras pelas quais os sistemas físicos podem ser representados matematicamente. Geralmente as equações do sistema são derivadas como um conjunto de equações diferenciais. Por exemplo, considere o sistema mostrado abaixo (junto com diagramas de corpo livre e equações diferenciais do sistema).

Diagramas de corpo livre:

Equações: Corpo Livre 1 (em x1) Corpo Livre 2 (em x2)

Essa representação representa completamente o sistema, mas é difícil de usar. Requer duas equações com vários símbolos e subscritos. Ele não generaliza bem para uma ampla variedade de sistemas. Neste documento, primeiro revisamos a representação de sistemas com equações diferenciais e, em seguida, desenvolvemos vários sistemas que geralmente são mais fáceis de trabalhar.

Lembre-se de que este documento descreve as várias formas (por exemplo, função de transferência, espaço de estado), mas não discute sua solução. Essa discussão está em outro lugar, e separada por disciplina:


Assista o vídeo: Cálculo III - Aula 21 - Introdução ao estudo das equações diferenciais parciais (Outubro 2021).