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1.2: Conceitos Básicos


UMA equação diferencial é uma equação que contém uma ou mais derivadas de uma função desconhecida. O pedido de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta que ela contém. Uma equação diferencial é um equação diferencial ordinária se envolve uma função desconhecida de apenas uma variável, ou um Equação diferencial parcial se envolver derivadas parciais de uma função de mais de uma variável. Por enquanto, vamos considerar apenas as equações diferenciais ordinárias, e vamos apenas chamá-las equações diferenciais.

Ao longo deste texto, todas as variáveis ​​e constantes são reais, a menos que seja declarado de outra forma. Normalmente usaremos (x ) para a variável independente, a menos que a variável independente seja o tempo; então usaremos (t ).

As equações diferenciais mais simples são equações de primeira ordem da forma

[{dy over dx} = f (x) nonumber ]

ou equivalente

[y '= f (x), nonumber ]

onde (f ) é uma função conhecida de (x ). Já sabemos de cálculo como encontrar funções que satisfaçam este tipo de equação. Por exemplo, se

[y '= x ^ 3, nonumber ]

então

[y = int x ^ 3 , dx = {x ^ 4 over4} + c, não numérico ]

onde (c ) é uma constante arbitrária. Se (n> 1 ) podemos encontrar funções (y ) que satisfazem as equações da forma

[ label {eq: 1.2.1} y ^ {(n)} = f (x) ]

por integração repetida. Novamente, este é um problema de cálculo.

Exceto para fins ilustrativos nesta seção, não há necessidade de considerar equações diferenciais como Equação ref {eq: 1.2.1}. Normalmente consideraremos equações diferenciais que podem ser escritas como

[ label {eq: 1.2.2} y ^ {(n)} = f (x, y, y ', dots, y ^ {(n-1)}), ]

onde pelo menos uma das funções (y ), (y '),…, (y ^ {(n-1)} ) realmente aparece à direita. aqui estão alguns exemplos:

begin {array} {rcll} {dy over dx} -x ^ 2 & = & 0 & mbox {(primeira ordem)}, {dy over dx} + 2xy ^ 2 & = & - 2 & mbox {(primeiro pedido)}, {d ^ 2y sobre dx ^ 2} +2 {dy sobre dx} + y & = & 2x & mbox {(segundo pedido)}, xy '' '+ y ^ 2 & = & sin x & mbox {(terceira ordem)}, y ^ {(n)} + xy '+ 3y & = & x & mbox {(n-ésima ordem)}. nonumber end {array}

Embora nenhuma dessas equações seja escrita como na Equação ref {eq: 1.2.2}, todas elas posso ser escrito desta forma:

[ begin {array} {rcl} y '& = & x ^ 2, y' & = & - 2-2xy ^ 2, y '' & = & 2x-2y'-y, y ' '' & = & dfrac { sin xy ^ 2} {x}, [4pt] y ^ {(n)} & = & x-xy'-3y. end {array} nonumber ]

Soluções de Equações Diferenciais

UMA solução de uma equação diferencial é uma função que satisfaz a equação diferencial em algum intervalo aberto; assim, (y ) é uma solução da Equação ref {eq: 1.2.2} se (y ) é (n ) vezes diferenciável e

[y ^ {(n)} (x) = f (x, y (x), y '(x), dots, y ^ {(n-1)} (x)) nonumber ]

para todos (x ) em algum intervalo aberto ((a, b) ). Neste caso, também dizemos que (y ) é uma solução of Equação ref {eq: 1.2.2} em ((a, b) ). Funções que satisfazem uma equação diferencial em pontos isolados não são interessantes. Por exemplo, (y = x ^ 2 ) satisfaz

[xy '+ x ^ 2 = 3x nonumber ]

se e somente se (x = 0 ) ou (x = 1 ), mas não é uma solução desta equação diferencial porque não satisfaz a equação em um intervalo aberto.

O gráfico de uma solução de uma equação diferencial é um curva de solução. Mais geralmente, uma curva (C ) é considerada um curva integral de uma equação diferencial se cada função (y = y (x) ) cujo gráfico é um segmento de (C ) é uma solução da equação diferencial. Assim, qualquer curva de solução de uma equação diferencial é uma curva integral, mas uma curva integral não precisa ser uma curva de solução.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Se (a ) for qualquer constante positiva, o círculo

[ label {eq: 1.2.3} x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 ]

é uma curva integral de

[ label {eq: 1.2.4} y '= - {x over y}. ]

Solução

Para ver isso, observe que as únicas funções cujos gráficos são segmentos da Equação ref {eq: 1.2.3} são

[y_1 = sqrt {a ^ 2-x ^ 2} quad text {and} quad y_2 = - sqrt {a ^ 2-x ^ 2}. nonumber ]

Deixamos para você verificar se essas funções satisfazem a Equação ref {eq: 1.2.4} no intervalo aberto ((- a, a) ). No entanto, a Equação ref {eq: 1.2.3} não é uma curva de solução da Equação ref {eq: 1.2.4}, pois não é o gráfico de uma função.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Verifique isso

[ label {eq: 1.2.5} y = {x ^ 2 over3} + {1 over x} ]

é uma solução de

[ label {eq: 1.2.6} xy '+ y = x ^ 2 ]

em ((0, infty) ) e em ((- infty, 0) ).

Solução

Substituindo a Equação ref {eq: 1.2.5} e

[y '= {2x over3} - {1 over x ^ 2} nonumber ]

na Equação ref {eq: 1.2.6} rendimentos

[xy '(x) + y (x) = x left ({2x over3} - {1 over x ^ 2} right) + left ({x ^ 2 over3} + {1 over x} right) = x ^ 2 nonumber ]

para todos (x ne0 ). Portanto, (y ) é uma solução da Equação ref {eq: 1.2.6} em ((- infty, 0) ) e ((0, infty) ). No entanto, (y ) não é uma solução da equação diferencial em qualquer intervalo aberto que contém (x = 0 ), uma vez que (y ) não é definido em (x = 0 ).

A Figura ( PageIndex {2} ) mostra o gráfico da Equação ref {eq: 1.2.5}. A parte do gráfico da Equação ref {eq: 1.2.5} on ((0, infty) ) é uma curva de solução da Equação ref {eq: 1.2.6}, como é a parte do gráfico em ((- infty, 0) ).

Exemplo ( PageIndex {3} )

Mostre que se (c_1 ) e (c_2 ) são constantes, então

[ label {eq: 1.2.7} y = (c_1 + c_2x) e ^ {- x} + 2x-4 ]

é uma solução de [ label {eq: 1.2.8} y '' + 2y '+ y = 2x ] em ((- infty, infty) ).

Solução

Diferenciando a Equação ref {eq: 1.2.7} duas vezes resulta

[y '= - (c_1 + c_2x) e ^ {- x} + c_2e ^ {- x} +2 não numérico ]

e

[y '' = (c_1 + c_2x) e ^ {- x} -2c_2e ^ {- x}, nonumber ]

assim

[ begin {align *} y '' + 2y '+ y & = (c_1 + c_2x) e ^ {- x} -2c_2e ^ {- x} + 2 left [- (c_1 + c_2x) e ^ {- x} + c_2e ^ {- x} +2 direita] + (c_1 + c_2x) e ^ {- x} + 2x-4 [4pt] & = (1-2 + 1) (c_1 + c_2x) e ^ {- x} + (- 2 + 2) c_2e ^ {- x} + 4 + 2x-4 [4pt] & = 2x end {alinhar *} ]

para todos os valores de (x ). Portanto (y ) é uma solução da Equação ref {eq: 1.2.8} em ((- infty, infty) ).

Exemplo ( PageIndex {4} )

Encontre todas as soluções de

[ label {eq: 1.2.9} y ^ {(n)} = e ^ {2x}. ]

Solução

Integrar a Equação ref {eq: 1.2.9} produz

[y ^ {(n-1)} = {e ^ {2x} over2} + k_1, não numérico ]

onde (k_1 ) é uma constante. Se (n ge2 ), integrar novamente produz

[y ^ {(n-2)} = {e ^ {2x} over4} + k_1x + k_2. enhum número]

Se (n ge3 ), integrando rendimentos repetidamente

[ label {eq: 1.2.10} y = {e ^ {2x} over2 ^ n} + k_1 {x ^ {n-1} over (n-1)!} + k_2 {x ^ {n -2} over (n-2)!} + Cdots + k_n, ]

onde (k_1 ), (k_2 ),…, (k_n ) são constantes. Isso mostra que toda solução da Equação ref {eq: 1.2.9} tem a forma Equação ref {eq: 1.2.10} para alguma escolha das constantes (k_1 ), (k_2 ),…, (k_n ). Por outro lado, diferenciar a Equação ref {eq: 1.2.10} (n ) vezes mostra que se (k_1 ), (k_2 ),…, (k_n ) são constantes arbitrárias, então o função (y ) na Equação ref {eq: 1.2.10} satisfaz a Equação ref {eq: 1.2.9}.

Uma vez que as constantes (k_1 ), (k_2 ),…, (k_n ) na Equação ref {eq: 1.2.10} são arbitrárias, então são as constantes

[{k_1 over (n-1)!}, , {k_2 over (n-2)!}, , cdots, , k_n. enhum número]

Portanto, Exemplo ( PageIndex {4} ) realmente mostra que todas as soluções da Equação ref {eq: 1.2.9} podem ser escritas como

[y = {e ^ {2x} over2 ^ n} + c_1 + c_2x + cdots + c_nx ^ {n-1}, nonumber ]

onde renomeamos as constantes arbitrárias na Equação ref {eq: 1.2.10} para obter uma fórmula mais simples. Como regra geral, constantes arbitrárias que aparecem em soluções de equações diferenciais devem ser simplificadas, se possível. Você verá exemplos disso em todo o texto.

Problemas de valor inicial

No Exemplo ( PageIndex {4} ) vimos que a equação diferencial (y ^ {(n)} = e ^ {2x} ) tem uma família infinita de soluções que dependem do (n ) arbitrário constantes (c_1 ), (c_2 ),…, (c_n ). Na ausência de condições adicionais, não há razão para preferir uma solução de uma equação diferencial em vez de outra. No entanto, frequentemente estaremos interessados ​​em encontrar uma solução para uma equação diferencial que satisfaça uma ou mais condições específicas. O próximo exemplo ilustra isso.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Encontre uma solução de [y '= x ^ 3 nonumber ] tal que (y (1) = 2 ).

Solução

No início desta seção, vimos que as soluções de (y '= x ^ 3 ) são

[y = {x ^ 4 over4} + c. enhum número]

Para determinar um valor de (c ) tal que (y (1) = 2 ), definimos (x = 1 ) e (y = 2 ) aqui para obter

[2 = y (1) = {1 over4} + c não numérico ]

assim

[c = {7 over4}. enhum número]

Portanto, a solução necessária é

[y = {x ^ 4 + 7 over4}. enhum número]

A Figura ( PageIndex {2} ) mostra o gráfico desta solução. Observe que impor a condição (y (1) = 2 ) é equivalente a exigir que o gráfico de (y ) passe pelo ponto ((1,2) ).

Podemos reescrever o problema considerado em Exemplo ( PageIndex {5} ) mais brevemente como

[y '= x ^ 3, quad y (1) = 2. nonumber ]

Nós chamamos isso de problema de valor inicial. O requisito (y (1) = 2 ) é um condição inicial. Problemas de valor inicial também podem ser apresentados para equações diferenciais de ordem superior. Por exemplo,

[ label {eq: 1.2.11} y '' - 2y '+ 3y = e ^ x, quad y (0) = 1, quad y' (0) = 2 ]

é um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem em que (y ) e (y ') devem ter valores especificados em (x = 0 ). Em geral, um problema de valor inicial para uma equação diferencial de (n ) -ésima ordem requer que (y ) e suas primeiras derivadas (n-1 ) tenham valores especificados em algum ponto (x_0 ). Esses requisitos são os condições iniciais. Vamos denotar um problema de valor inicial para uma equação diferencial escrevendo as condições iniciais após a equação, como na Equação ref {eq: 1.2.11}. Por exemplo, escreveríamos um problema de valor inicial para a Equação ref {eq: 1.2.2} como

[ label {eq: 1.2.12} y ^ {(n)} = f (x, y, y ', dots, y ^ {(n-1)}), , y (x_0) = k_0 , , y '(x_0) = k_1, , dots, , y ^ {(n-1)} = k_ {n-1}. ]

Consistente com nossa definição anterior de uma solução da equação diferencial na Equação ref {eq: 1.2.12}, dizemos que (y ) é uma solução do problema de valor inicial Equação ref {eq: 1.2.12} se (y ) é (n ) vezes diferenciável e

[y ^ {(n)} (x) = f (x, y (x), y '(x), dots, y ^ {(n-1)} (x)) nonumber ]

para todos (x ) em algum intervalo aberto ((a, b) ) que contém (x_0 ), e (y ) satisfaz as condições iniciais na Equação ref {eq: 1.2.12}. O maior intervalo aberto que contém (x_0 ) no qual (y ) é definido e satisfaz a equação diferencial é o intervalo de validade de (y ).

Exemplo ( PageIndex {6} )

Em Exemplo ( PageIndex {5} ), vimos que

[ label {eq: 1.2.13} y = {x ^ 4 + 7 over4} ]

é uma solução para o problema do valor inicial

[y '= x ^ 3, quad y (1) = 2. nonumber ]

Uma vez que a função na Equação ref {eq: 1.2.13} é definida para todos (x ), o intervalo de validade desta solução é ((- infty, infty) ).

Exemplo ( PageIndex {7} )

Em Exemplo ( PageIndex {2} ), verificamos que

[ label {eq: 1.2.14} y = {x ^ 2 over3} + {1 over x} ]

é uma solução de

[xy '+ y = x ^ 2 nonumber ]

em ((0, infty) ) e em ((- infty, 0) ). Ao avaliar a Equação ref {eq: 1.2.14} em (x = pm1 ), você pode ver que a Equação ref {eq: 1.2.14} é uma solução para os problemas de valor inicial

[ label {eq: 1.2.15} xy '+ y = x ^ 2, quad y (1) = {4 over3} ]

e

[ label {eq: 1.2.16} xy '+ y = x ^ 2, quad y (-1) = - {2 over3}. ]

O intervalo de validade da Equação ref {eq: 1.2.14} como uma solução da Equação ref {eq: 1.2.15} é ((0, infty) ), visto que este é o maior intervalo que contém (x_0 = 1 ) em que a Equação ref {eq: 1.2.14} é definida. Da mesma forma, o intervalo de validade da Equação ref {eq: 1.2.14} como uma solução da Equação ref {eq: 1.2.16} é ((- infty, 0) ), uma vez que este é o maior intervalo que contém (x_0 = -1 ) em que a Equação ref {eq: 1.2.14} é definida.

Queda livre sob gravidade constante

O termo problema de valor inicial originado em problemas de movimento onde a variável independente é (t ) (representando o tempo decorrido), e as condições iniciais são a posição e a velocidade de um objeto no momento inicial (início) de um experimento.

Exemplo ( PageIndex {8} )

Um objeto cai sob a influência da gravidade perto da superfície da Terra, onde pode ser assumido que a magnitude da aceleração devido à gravidade é uma constante (g ).

  1. Construa um modelo matemático para o movimento do objeto na forma de um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem, supondo que a altitude e a velocidade do objeto no tempo (t = 0 ) sejam conhecidas. Suponha que a gravidade seja a única força agindo sobre o objeto.
  2. Resolva o problema do valor inicial derivado acima para obter a altitude em função do tempo.

Solução a

Seja (y (t) ) a altitude do objeto no tempo (t ). Uma vez que a aceleração do objeto tem magnitude constante (g ) e está na direção para baixo (negativa), (y ) satisfaz a equação de segunda ordem

[y '' = - g, nonumber ]

onde o primo agora indica diferenciação em relação a (t ). Se (y_0 ) e (v_0 ) denotam a altitude e a velocidade quando (t = 0 ), então (y ) é uma solução para o problema do valor inicial

[ label {eq: 1.2.17} y '' = - g, quad y (0) = y_0, quad y '(0) = v_0. ]

Solução b

Integrar a Equação ref {eq: 1.2.17} duas vezes produz

[ begin {alinhado} y '& = - gt + c_1, y & = - {gt ^ 2 over2} + c_1t + c_2. end {alinhado} ]

A imposição das condições iniciais (y (0) = y_0 ) e (y '(0) = v_0 ) nessas duas equações mostra que (c_1 = v_0 ) e (c_2 = y_0 ). Portanto, a solução do problema de valor inicial da Equação ref {eq: 1.2.17} é

[y = - {gt ^ 2 over2} + v_0t + y_0. enhum número]


1.2 O Processo da Ciência

Figura 1.14 Anteriormente chamadas de algas verde-azuladas, as (a) cianobactérias vistas através de um microscópio óptico são algumas das formas de vida mais antigas da Terra. Esses (b) estromatólitos ao longo das margens do Lago Thetis, na Austrália Ocidental, são estruturas antigas formadas por camadas de cianobactérias em águas rasas.

Assim como a geologia, a física e a química, a biologia é uma ciência que reúne conhecimento sobre o mundo natural. Especificamente, a biologia é o estudo da vida. As descobertas da biologia são feitas por uma comunidade de pesquisadores que trabalham individualmente e em conjunto usando métodos combinados. Nesse sentido, a biologia, como todas as ciências, é um empreendimento social como a política ou as artes. Os métodos científicos incluem observação cuidadosa, manutenção de registros, raciocínio lógico e matemático, experimentação e submissão de conclusões ao escrutínio de outros. A ciência também requer considerável imaginação e criatividade - um experimento bem planejado é comumente descrito como elegante ou bonito. Como a política, a ciência tem implicações práticas consideráveis ​​e alguma ciência se dedica a aplicações práticas, como a prevenção de doenças. Outras atividades científicas são amplamente motivadas pela curiosidade. Qualquer que seja seu objetivo, não há dúvida de que a ciência, incluindo a biologia, transformou a existência humana e continuará a fazê-lo.

Figura 1.15 Os biólogos podem escolher estudar Escherichia coli (E. coli), uma bactéria que é um residente normal de nosso trato digestivo, mas que às vezes também é responsável por surtos de doenças. Nesta micrografia, a bactéria é visualizada usando um microscópio eletrônico de varredura e colorização digital.


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Conteúdo

Como em outras partes da matemática, problemas e exemplos concretos desempenharam papéis importantes no desenvolvimento da álgebra abstrata. Até o final do século XIX, muitos - talvez a maioria - desses problemas estavam de alguma forma relacionados à teoria das equações algébricas. Os principais temas incluem:

  • Resolução de sistemas de equações lineares, o que levou à álgebra linear
  • Tentativas de encontrar fórmulas para soluções de equações polinomiais gerais de alto grau que resultaram na descoberta de grupos como manifestações abstratas de simetria
  • Investigações aritméticas de formas quadráticas e de grau superior e equações diofantinas, que produziram diretamente as noções de anel e ideal.

Numerosos livros de álgebra abstrata começam com definições axiomáticas de várias estruturas algébricas e, a seguir, estabelecem suas propriedades. Isso cria uma falsa impressão de que os axiomas da álgebra vieram primeiro e depois serviram como motivação e base para estudos posteriores. A verdadeira ordem do desenvolvimento histórico era quase exatamente o oposto. Por exemplo, os números hipercomplexos do século XIX tinham motivações cinemáticas e físicas, mas desafiavam a compreensão. A maioria das teorias que agora são reconhecidas como partes da álgebra começaram como coleções de fatos díspares de vários ramos da matemática, adquiriram um tema comum que serviu como um núcleo em torno do qual vários resultados foram agrupados e finalmente se tornaram unificados com base em um conjunto comum de conceitos. Um exemplo arquetípico dessa síntese progressiva pode ser visto na história da teoria dos grupos. [ citação necessária ]

Teoria de grupo inicial Editar

Houve vários tópicos no desenvolvimento inicial da teoria dos grupos, na linguagem moderna correspondendo vagamente a Teoria dos Números, teoria das equações, e geometria.

Leonhard Euler considerou as operações algébricas no módulo de números um inteiro - aritmética modular - em sua generalização do pequeno teorema de Fermat. Essas investigações foram levadas muito mais longe por Carl Friedrich Gauss, que considerou a estrutura dos grupos multiplicativos de resíduos mod n e estabeleceu muitas propriedades dos grupos abelianos cíclicos e mais gerais que surgem dessa maneira. Em suas investigações sobre a composição de formas quadráticas binárias, Gauss afirmou explicitamente a lei associativa para a composição de formas, mas, como Euler antes dele, parece ter se interessado mais em resultados concretos do que na teoria geral. Em 1870, Leopold Kronecker deu uma definição de um grupo abeliano no contexto de grupos de classes ideais de um campo numérico, generalizando o trabalho de Gauss, mas parece que ele não vinculou sua definição a trabalhos anteriores sobre grupos, particularmente grupos de permutação. Em 1882, considerando a mesma questão, Heinrich M. Weber percebeu a conexão e deu uma definição semelhante que envolvia a propriedade de cancelamento, mas omitiu a existência do elemento inverso, que era suficiente em seu contexto (grupos finitos). [ citação necessária ]

As permutações foram estudadas por Joseph-Louis Lagrange em seu artigo de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Reflexões sobre a solução algébrica de equações) dedicado a soluções de equações algébricas, em que introduziu resolventes de Lagrange. O objetivo de Lagrange era entender por que as equações de terceiro e quarto graus admitem fórmulas para soluções e ele identificou como objetos-chave as permutações das raízes. Um novo passo importante dado por Lagrange neste artigo foi a visão abstrata das raízes, ou seja, como símbolos e não como números. No entanto, ele não considerou a composição das permutações. Por acaso, a primeira edição do livro de Edward Waring Meditationes Algebraicae (Meditações sobre álgebra) apareceu no mesmo ano, com uma versão expandida publicada em 1782. Waring provou o teorema fundamental dos polinômios simétricos e considerou especialmente a relação entre as raízes de uma equação quártica e sua cúbica resolvente. Mémoire sur la résolution des équations (Memorando sobre a resolução de equações) de Alexandre Vandermonde (1771) desenvolveu a teoria das funções simétricas a partir de um ângulo ligeiramente diferente, mas como Lagrange, com o objetivo de compreender a resolubilidade das equações algébricas.

Kronecker afirmou em 1888 que o estudo da álgebra moderna começou com este primeiro artigo de Vandermonde. Cauchy afirma claramente que Vandermonde tinha prioridade sobre Lagrange para essa ideia notável, que acabou levando ao estudo da teoria dos grupos. [1]

Paolo Ruffini foi a primeira pessoa a desenvolver a teoria dos grupos de permutação e, como seus predecessores, também no contexto da resolução de equações algébricas. Seu objetivo era estabelecer a impossibilidade de uma solução algébrica para uma equação algébrica geral de grau maior que quatro. No caminho para este objetivo, ele introduziu a noção da ordem de um elemento de um grupo, a conjugação, a decomposição do ciclo de elementos de grupos de permutação e as noções de primitivo e imprimitivo e provou alguns teoremas importantes relacionando esses conceitos, como

se G é um subgrupo de S5 cuja ordem é divisível por 5, então G contém um elemento de ordem 5.

No entanto, ele passou sem formalizar o conceito de grupo, ou mesmo de grupo de permutação. O passo seguinte foi dado por Évariste Galois em 1832, embora sua obra tenha permanecido inédita até 1846, quando ele considerou pela primeira vez o que hoje é chamado de propriedade de fechamento de um grupo de permutações, que ele expressou como

se em tal grupo alguém tiver as substituições S e T, então terá a substituição ST.

A teoria dos grupos de permutação recebeu um desenvolvimento de longo alcance nas mãos de Augustin Cauchy e Camille Jordan, tanto por meio da introdução de novos conceitos quanto, principalmente, de uma grande riqueza de resultados sobre classes especiais de grupos de permutação e até mesmo alguns teoremas gerais. Entre outras coisas, Jordan definiu uma noção de isomorfismo, ainda no contexto de grupos de permutação e, aliás, foi ele quem colocou o termo grupo em amplo uso.

A noção abstrata de um grupo apareceu pela primeira vez nos papéis de Arthur Cayley em 1854. Cayley percebeu que um grupo não precisa ser um grupo de permutação (ou mesmo finito), e pode, em vez disso, consistir em matrizes, cujas propriedades algébricas, como multiplicação e inversas, ele investigou sistematicamente nos anos seguintes. Muito mais tarde, Cayley revisitaria a questão de se os grupos abstratos eram mais gerais do que os grupos de permutação e estabeleceria que, de fato, qualquer grupo é isomórfico a um grupo de permutações.

Álgebra moderna Editar

O final do século 19 e o início do século 20 viram uma mudança na metodologia da matemática. A álgebra abstrata surgiu por volta do início do século 20, com o nome álgebra moderna. Seu estudo foi parte da busca por mais rigor intelectual na matemática. Inicialmente, os pressupostos da álgebra clássica, da qual depende toda a matemática (e a maior parte das ciências naturais), tomaram a forma de sistemas axiomáticos. Não mais satisfeitos em estabelecer propriedades de objetos concretos, os matemáticos começaram a voltar sua atenção para a teoria geral. As definições formais de certas estruturas algébricas começaram a surgir no século XIX. Por exemplo, os resultados sobre vários grupos de permutações passaram a ser vistos como instâncias de teoremas gerais que dizem respeito a uma noção geral de um grupo abstrato. Questões de estrutura e classificação de vários objetos matemáticos vieram à tona.

Esses processos ocorriam em toda a matemática, mas tornaram-se especialmente pronunciados na álgebra. A definição formal por meio de operações primitivas e axiomas foram propostas para muitas estruturas algébricas básicas, como grupos, anéis e campos. Conseqüentemente, coisas como a teoria dos grupos e a teoria dos anéis ocuparam seu lugar na matemática pura. As investigações algébricas de campos gerais por Ernst Steinitz e de anéis comutativos e, em seguida, gerais por David Hilbert, Emil Artin e Emmy Noether, com base no trabalho de Ernst Kummer, Leopold Kronecker e Richard Dedekind, que haviam considerado ideais em anéis comutativos, e de Georg Frobenius e Issai Schur, a respeito da teoria da representação de grupos, chegou a definir a álgebra abstrata. Esses desenvolvimentos do último quarto do século 19 e do primeiro quarto do século 20 foram sistematicamente expostos na obra de Bartel van der Waerden Álgebra Moderna, a monografia de dois volumes publicada em 1930–1931 que mudou para sempre para o mundo matemático o significado da palavra álgebra a partir de a teoria das equações ao teoria das estruturas algébricas.

Ao abstrair várias quantidades de detalhes, os matemáticos definiram várias estruturas algébricas que são usadas em muitas áreas da matemática. Por exemplo, quase todos os sistemas estudados são conjuntos, aos quais se aplicam os teoremas da teoria dos conjuntos. Os conjuntos que têm uma determinada operação binária definida sobre eles formam magmas, aos quais se aplicam os conceitos relativos aos magmas, bem como aqueles relativos aos conjuntos. Podemos adicionar restrições adicionais à estrutura algébrica, como identidade de associatividade (para formar semigrupos) e inversos (para formar grupos) e outras estruturas mais complexas. Com estrutura adicional, mais teoremas podem ser provados, mas a generalidade é reduzida. A "hierarquia" de objetos algébricos (em termos de generalidade) cria uma hierarquia das teorias correspondentes: por exemplo, os teoremas da teoria dos grupos podem ser usados ​​ao estudar anéis (objetos algébricos que têm duas operações binárias com certos axiomas) desde um anel é um grupo sobre uma de suas operações. Em geral, há um equilíbrio entre a quantidade de generalidade e a riqueza da teoria: estruturas mais gerais geralmente têm menos teoremas não triviais e menos aplicações.

Exemplos de estruturas algébricas com uma única operação binária são:

Exemplos envolvendo várias operações incluem:

Por causa de sua generalidade, a álgebra abstrata é usada em muitos campos da matemática e das ciências. Por exemplo, a topologia algébrica usa objetos algébricos para estudar topologias. A conjectura de Poincaré, comprovada em 2003, afirma que o grupo fundamental de uma variedade, que codifica informações sobre conectividade, pode ser usado para determinar se uma variedade é uma esfera ou não. A teoria algébrica dos números estuda vários anéis numéricos que generalizam o conjunto de inteiros. Usando ferramentas da teoria algébrica dos números, Andrew Wiles provou o Último Teorema de Fermat.

Na física, os grupos são usados ​​para representar operações de simetria, e o uso da teoria dos grupos pode simplificar as equações diferenciais. Na teoria de calibre, o requisito de simetria local pode ser usado para deduzir as equações que descrevem um sistema. Os grupos que descrevem essas simetrias são grupos de Lie, e o estudo de grupos de Lie e álgebras de Lie revela muito sobre o sistema físico, por exemplo, o número de portadores de força em uma teoria é igual à dimensão da álgebra de Lie, e esses bósons interagem com a força que medeiam se a álgebra de Lie for não-fabiana. [2]


Habilidades de investigação científica e raciocínio - Habilidade 1: Conhecimento de conceitos e princípios científicos

As perguntas nesta categoria de habilidade pedirão que você demonstre seu conhecimento dos 10 conceitos básicos descritos nos capítulos subsequentes. Essas perguntas pedirão que você reconheça, identifique, lembre ou defina conceitos básicos nas ciências naturais, comportamentais e sociais, bem como suas relações mútuas. Os conceitos e princípios científicos podem ser representados por palavras, gráficos, tabelas, diagramas ou fórmulas.

Conforme você trabalha nessas questões, pode ser solicitado que você identifique um fato científico ou defina um conceito. Ou pode ser solicitado que você aplique um princípio científico a um problema. As perguntas podem solicitar que você identifique as relações entre conceitos intimamente relacionados ou relacione declarações, princípios ou conceitos escritos a representações gráficas de conteúdo científico. Eles podem pedir que você identifique exemplos de observações naturais ou baseadas em dados que ilustram princípios científicos. As perguntas podem pedir que você reconheça um conceito científico mostrado em um diagrama ou representado em um gráfico.

Ou eles podem fornecer uma equação matemática e pedir que você a use para resolver um problema.

Por exemplo, as perguntas que testam essa habilidade irão pedir-lhe para mostrar que você entende os conceitos e princípios científicos por:

  • Reconhecer princípios científicos de um exemplo, situação ou estudo. Identificar as relações entre conceitos intimamente relacionados.
  • Identificar as relações entre as diferentes representações de conceitos (por exemplo, escrito, simbólico, gráfico).
  • Identificar exemplos de observações que ilustram princípios científicos.
  • Usando determinadas equações matemáticas para resolver problemas.
  • Identificar a molécula simples ou familiar que é um exemplo de um aminoácido específico.

A título de exemplo, as perguntas da seção de Fundamentos Psicológicos, Sociais e Biológicos do Comportamento podem solicitar que você demonstre seu conhecimento de conceitos e princípios científicos por meio de:

  • Reconhecendo o princípio da interferência retroativa.
  • Usando a lei de Weber para identificar diferenças físicas que são detectáveis.
  • Identificar a mudança comportamental (extinção) que ocorrerá quando uma resposta aprendida não for mais seguida por um reforçador.
  • Identificar as semelhanças ou diferenças conceituais entre o condicionamento operante e o condicionamento clássico.
  • Identificar um gráfico que ilustra a relação entre realização educacional e expectativa de vida.
  • Reconhecer condições que resultam em desamparo aprendido.
  • Concluir em qual estágio de desenvolvimento cognitivo uma criança se encontra, de acordo com a teoria de Piaget, quando apresentada a uma descrição de como uma criança responde a um problema de conservação.

Os três exemplos de perguntas que se seguem ilustram as perguntas de Habilidade 1, respectivamente, da seção Fundamentos Psicológicos, Sociais e Biológicos do Comportamento, da seção Fundamentos Biológicos e Bioquímicos dos Sistemas Vivos e da seção Fundamentos Químicos e Físicos do Sistema Biológico do exame MCAT.

Exemplo de habilidade 1 da seção de fundamentos psicológicos, sociais e biológicos do comportamento

Em um estudo, cada ensaio envolve a administração de uma gota de suco de limão na língua do participante e a medição do nível de salivação do participante. À medida que mais testes são realizados, o pesquisador descobre que a magnitude da salivação diminui. After a certain point, the researcher switches to administering lime juice. This researcher is most likely studying which process?

  1. Sensory perception
  2. Habituation and dishabituation
  3. Stimulus generalization in classical conditioning
  4. Conditioned responses in classical conditioning

The correct answer is B. This Skill 1 question tests your knowledge of the scientific concepts and principles described by Content Category 7C, Attitude and behavior change, and is a Skill 1 question because it requires you to relate scientific concepts. This question asks you to identify the process involved in the study that connects reduced responding to a repeated stimulus and then a change in the stimulus, which is habituation and dishabituation, allowing for the conclusion that B is the correct answer.

Skill 1 Example From the Chemical and Physical Foundations of Biological Systems Section

What type of functional group is formed when aspartic acid reacts with another amino acid to form a peptide bond?

The correct answer is C. This is a Skill 1 question and relates to Content Category 5D, Structure, function, and reactivity of biologically relevant molecules. It is a Skill 1 question because you must recognize the structural relationship between free amino acids and peptides. To answer the question, you must know that the functional group that forms during peptide bond formation is an amide group.


Maharashtra Board Class 9 Maths Solutions Chapter 1 Basic Concepts in Geometry Practice Set 1.2

Question 1.
The following table shows points on a number line and their co-ordinates. Decide whether the pair of segments given below the table are congruent or not.

eu. seg DE and seg AB
ii. seg BC and seg AD
iii. seg BE and seg AD
Solução:
eu. Co-ordinate of the point E is 9.
Co-ordinate of the point D is -7.
Since, 9 > -7
∴ d(D, E) = 9 – (-7) = 9 + 7 = 16
∴ l(DE) = 16 …(i)
Co-ordinate of the point A is -3.
Co-ordinate of the point B is 5.
Since, 5 > -3
∴ d(A, B) = 5 – (-3) = 5 + 3 = 8
∴ l(AB) = 8 …(ii)
∴ l(DE) ≠ l(AB) …[From (i) and (ii)]
∴ seg DE and seg AB are not congruent.

ii. Co-ordinate of the point B is 5.
Co-ordinate of the point C is 2.
Since, 5 > 2
∴ d(B, C) = 5 – 2 = 3
∴ l(BC) = 3 …(i)
Co-ordinate of the point A is -3.
Co-ordinate of the point D is -7.
Since, -3 > -7
∴ d(A, D) = -3 – (-7) = -3 + 7 = 4
∴ l(AD) = 4 . ..(ii)
∴ l(BC) ≠ l(AD) … [From (i) and (ii)]
∴ seg BC and seg AD are not congruent.

iii. Co-ordinate of the point E is 9.
Co-ordinate of the point B is 5.
Since, 9 > 5
∴ d(B, E) = 9 – 5 = 4
∴ l(BE) = 4 …(i)
Co-ordinate of the point A is -3.
Co-ordinate of the point D is -7.
Since, -3 > -7
∴ d(A, D) = -3 – (-7) = 4
∴ l(AD) = 4 …(ii)
∴ l(BE) =l(AD) …[From (i) and (ii)]
∴ seg BE and seg AD are congruent.
i.e, seg BE ≅ seg AD

Question 2.
Point M is the midpoint of seg AB. If AB = 8, then find the length of AM.
Solução:
Point M is the midpoint of seg AB and l(AB) = 8. …[Given]

Question 3.
Point P is the midpoint of seg CD. If CP = 2.5, find l(CD).
Solução:
Point P is the midpoint of seg CD and l(CP) = 2.5 …[Given]

∴ l(CD) = 2.5 x 2
∴ l(CD) = 5

Question 4.
If AB = 5 cm, BP = 2 cm and AP = 3.4 cm, compare the segments.
Solução:
Given, l(AB) = 5 cm, l(BP) = 2 cm,
l(AP) = 3.4 cm … [Given]
r Since, 2 < 3.4 < 5
∴ l(BP) < l(AP) < l(AB)
i.e., seg BP < seg AP < seg AB

Question 5.
Write the answers to the following questions with reference to the figure given below:

eu. Write the name of the opposite ray of ray RP
ii. Write the intersection set of ray PQ and ray RP.
iii. Write the union set of ray PQ and ray QR.
iv. State the rays of which seg QR is a subset.
v. Write the pair of opposite rays with common end point R.
vi. Write any two rays with common end point S.
vii. Write the intersection set of ray SP and ray ST.
Responder:
eu. Ray RS or ray RT
ii. Ray PQ
iii. Line QR
iv. Ray QR, ray QS, ray QT, ray RQ, ray SQ, ray TQ
v. Ray RP and ray RS, ray RQ and ray RT vi. Ray ST, ray SR
vii. Point S

Question 6.
Answer the questions with the help of figure given below.

eu. State the points which are equidistant from point B.
ii. Write a pair of points equidistant from point iii. Find d(U,V), d(P,C), d(V,B), d(U, L).
Responder:
eu. Points equidistant from point B are a. A and C, because d(B, A) = d(B, C) = 2 b. D and P, because d(B, D) = d(B, P) = 4
ii. Points equidistant from point Q are a. L and U, because d(Q, L) = d(Q, U) = 1 b. P and R, because d(P, Q) = d(Q, R) = 2
iii. uma. Co-ordinate of the point U is -5. Co-ordinate of the point V is 5. Since, 5 > -5
∴ d(U, V) = 5 – (-5)
= 5 + 5
∴ d(U, V) = 10

b. Co-ordinate of the point P is -2.
Co-ordinate of the point C is 4.
Since, 4 > -2
∴ d(P, C) = 4 – (-2)
= 4 + 2
∴ d(P, C) = 6

c. Co-ordinate of the point V is 5.
Co-ordinate of the point B is 2.
Since, 5 > 2
∴ d(V, B) = 5 – 2
∴ d(V, B) = 3

d. Co-ordinate of the point U is -5.
Co-ordinate of the point L is -3.
Since, -3 > -5
∴ d(U, L) = -3 – (-5)
= -3 + 5
∴ d(U, L) = 2


Thread Formation and Repair

Tapping a derailleur hanger using a TAP-10 and TH-2

Tapping a fork using an FTS-1

Taps and dies can cut threads. Taps cut an internal thread, such as a bottom bracket shell in the frame. Dies cut an external thread, such as a steering column. Thread may also be cut using a lathe, or they may be rolled, such as threads on a spoke end, or on hub axles. For example, a common spoke diameter is 2mm diameter. However, the spoke threading is larger (2.2mm) than the 2.0mm shaft. This is because the crest was displaced upwards when the threads were rolled.

When a thread becomes damaged, there are sometimes options for repair. Typically, when an internal thread becomes damaged, it is damaged at end of the threads, not the middle. If only minor damage has occurred, it may be possible to re-tap the thread. This assumes that enough undamaged thread is remaining to allow proper tightness. As a practical test, after tapping the thread, slightly over-torque from the recommended specification. If the thread is weakened, it will strip and not pass this test. If it does not strip, the thread is adequate, and should survive the use.

Internal threads may sometimes be repaired using a coil system. Recoil® and Helicoil® Companies supply a tap, coil inserts, and coil driver. The damaged thread is drilled out to a specific size. New larger threads are installed with a specifically sized tap. The inserted coil has the outside diameter of the tap, but the coil inside diameter matches the original thread.

Taps and dies are cut to match the desired thread, and also have a helix angle. This is more difficult to see because the threads are not continuous around the tap or die. In a die, the cutting area is referred to as the “lands.” The lands are separated by “flutes,” the gap between the lands. Larger tap sizes are generally made as “skip toothed” taps, with every other thread missing. This helps prevent build up of cut material in the tap.

It is sometimes possible to tap a damaged internal thread to a larger size, and then use the corresponding bolt or screw. This repair may not work if there is little extra material around the damaged threads. If the internal thread is a bottom bracket, the next larger thread is often the “Italian” threading of 36mm. This repair is sometimes possible, but the bottom bracket should have all threads removed before tapping. The original thread inside diameter is approximately 34mm. The bottom bracket shell inside diameter should be 35mm to correctly cut threads of 36mm. Generally, tapping a bottom bracket to the larger 36mm x 24TPI standard is a very difficult slow process. It is also very hard on the taps.

Another option for some external thread repair is a thread file. These are available in both SAE (“English”) and metric thread pitches. This tool acts as a “straight die,” and will trim metal from flattened threads. Hold the die parallel to the helix angle and push the file across the damaged threads.


1.2 Microeconomics and Macroeconomics

Economics is concerned with the well-being of tudo people, including those with jobs and those without jobs, as well as those with high incomes and those with low incomes. Economics acknowledges that production of useful goods and services can create problems of environmental pollution. It explores the question of how investing in education helps to develop workers’ skills. It probes questions like how to tell when big businesses or big labor unions are operating in a way that benefits society as a whole and when they are operating in a way that benefits their owners or members at the expense of others. It looks at how government spending, taxes, and regulations affect decisions about production and consumption.

It should be clear by now that economics covers considerable ground. We can divide that ground into two parts: Microeconomics focuses on the actions of individual agents within the economy, like households, workers, and businesses. Macroeconomics looks at the economy as a whole. It focuses on broad issues such as growth of production, the number of unemployed people, the inflationary increase in prices, government deficits, and levels of exports and imports. Microeconomics and macroeconomics are not separate subjects, but rather complementary perspectives on the overall subject of the economy.

To understand why both microeconomic and macroeconomic perspectives are useful, consider the problem of studying a biological ecosystem like a lake. One person who sets out to study the lake might focus on specific topics: certain kinds of algae or plant life the characteristics of particular fish or snails or the trees surrounding the lake. Another person might take an overall view and instead consider the lake's ecosystem from top to bottom what eats what, how the system stays in a rough balance, and what environmental stresses affect this balance. Both approaches are useful, and both examine the same lake, but the viewpoints are different. In a similar way, both microeconomics and macroeconomics study the same economy, but each has a different viewpoint.

Whether you are scrutinizing lakes or economics, the micro and the macro insights should blend with each other. In studying a lake, the micro insights about particular plants and animals help to understand the overall food chain, while the macro insights about the overall food chain help to explain the environment in which individual plants and animals live.

In economics, the micro decisions of individual businesses are influenced by whether the macroeconomy is healthy. For example, firms will be more likely to hire workers if the overall economy is growing. In turn, macroeconomy's performance ultimately depends on the microeconomic decisions that individual households and businesses make.

Microeconomics

What determines how households and individuals spend their budgets? What combination of goods and services will best fit their needs and wants, given the budget they have to spend? How do people decide whether to work, and if so, whether to work full time or part time? How do people decide how much to save for the future, or whether they should borrow to spend beyond their current means?

What determines the products, and how many of each, a firm will produce and sell? What determines the prices a firm will charge? What determines how a firm will produce its products? What determines how many workers it will hire? How will a firm finance its business? When will a firm decide to expand, downsize, or even close? In the microeconomics part of this book, we will learn about the theory of consumer behavior, the theory of the firm, how markets for labor and other resources work, and how markets sometimes fail to work properly.

Macroeconomics

What determines the level of economic activity in a society? In other words, what determines how many goods and services a nation actually produces? What determines how many jobs are available in an economy? What determines a nation’s standard of living? What causes the economy to speed up or slow down? What causes firms to hire more workers or to lay them off? Finally, what causes the economy to grow over the long term?

We can determine an economy's macroeconomic health by examining a number of goals: growth in the standard of living, low unemployment, and low inflation, to name the most important. How can we use government macroeconomic policy to pursue these goals? A nation's central bank conducts monetary policy , which involves policies that affect bank lending, interest rates, and financial capital markets. For the United States, this is the Federal Reserve. A nation's legislative body determines fiscal policy , which involves government spending and taxes. For the United States, this is the Congress and the executive branch, which originates the federal budget. These are the government's main tools. Americans tend to expect that government can fix whatever economic problems we encounter, but to what extent is that expectation realistic? These are just some of the issues that we will explore in the macroeconomic chapters of this book.


The 4 Major Math Concepts Your Kids Learn in Grades 1-2

So many fun and important ideas are being introduced in first and second grade! I love when I get to work with this age group because they get excited trying new things and are open to new ways of learning. Below are some of the major concepts taught in first and second grade math, as well as tips on how you can support your child(ren) at home.

1. Addition & Subtraction. 1st and 2nd graders extend their previous understanding from kindergarten with adding and subtracting. They begin to memorize their addition and subtraction facts up to 20, as well as solve word problems using objects, drawings, and equations. Children also begin to solve problems with more than two numbers and determine if a number is even or odd.

  • Create and draw stories about adding and subtracting. Por exemplo:

    Addition
    : Some bunnies were sitting on the grass. Three more bunnies hopped over to sit with them. Then there were five bunnies. How many bunnies were on the grass before? ? + 3 = 5
    Subtraction: Five apples were on the table. I ate some apples. Then only three apples were left. How many apples did I eat? 5 – ? = 3
  • Practice their addition and subtraction facts by playing games with numbers, dice, online, etc.
  • Decide if numbers they see in the real world are even or odd.

2. Number Sense. Your 1st and 2nd grader is also beginning to understand the concept of place value. Your child is learning about each place — ones, tens, and hundreds — by drawing pictures, counting in groups, and using base ten blocks. They are writing numbers up to 1,000 and comparing numbers. They are also building their mental math skills by solving problems mentally.

  • Read numbers out loud and record numbers you say verbally.
  • Practice understating place value by deciding what the value of a digit is in a specific number. For example: How much is the digit 7 worth in the number 379? 70 because the 7 is in the tens place.
  • Compare numbers using symbols: > (greater than), < (less than), or = (equal to). Play a game where you give them two numbers: 14 and 40. They can answer 14 < 40. Or 40 is > 14.
  • Solve problems mentally. For example: What is 75 + 20? 95

3. Measurement & Data. 1st and 2nd graders are beginning to understand measurement by estimating and measuring using rulers to the nearest inch, foot, yard, etc. They are beginning to count and use money to solve problems. Children are also figuring out how to tell time using both analog and digital clocks, as well as describing and creating different graphs.

  • Estimate how long they think different objects are around the house and use rulers or tape measures to determine the actual size.
  • Read different looking clocks and use appropriate language describing the time using a.m. and p.m.
  • Collect and organize different data.
  • Find graphs in newspapers, magazines, online and compare them.

4. Geometry. In 1st and 2nd grade, children extend their previous understanding from kindergarten with 2-D and 3-D shapes. They examine the attributes of these shapes and are looking at the number of sides, angles, faces, etc. Children also beginning to partition shapes into equal pieces and use appropriate language.

  • Identify 2-D shapes in the world: triangles, quadrilaterals, pentagons, hexagons, and octagons.
  • Identify 3-D shapes in the world: cubes, cones, cylinders, spheres, and triangular and rectangular prisms.
  • Count and find the number of sides or faces and angles each shape has.
  • Cut (partition) circles and rectangles into equal size pieces and use language such as halves, thirds, half of, a third of, etc.

Featured Photo Credit: Ableimages/Thinkstock

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Assista o vídeo: - Conceitos Básicos de Ecologia: Comunidades, ecossistemas e biosfera (Outubro 2021).