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11.6.7: Traçar um par ordenado


Resultados de Aprendizagem

  1. Desenhe os eixos (x ) e (y ).
  2. Trace um ponto no plano xy

Já entramos em detalhes sobre como plotar pontos em uma reta numérica, e isso é muito útil para apresentações de variáveis ​​únicas. Agora vamos passar para as questões que envolvem a comparação de duas variáveis. Trabalhar com duas variáveis ​​é freqüentemente encontrado em estudos estatísticos e gostaríamos de ser capazes de exibir os resultados graficamente. Isso é feito melhor plotando pontos no plano xy.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Trace os pontos: ((3,4) ), ((- 2,1) ) e ((0, -1) )

Solução

A primeira coisa a fazer ao plotar pontos é esboçar o eixo xey e decidir sobre as marcas de escala. Aqui, os números são todos menores que 5, por isso é razoável contar por 1's. A seguir, plotamos o primeiro ponto, ((3,4) ). Isso significa começar na origem, onde os eixos se cruzam. Em seguida, mova 3 unidades para a direita e 4 unidades para cima. Depois de chegar lá, basta desenhar um ponto. Para o próximo ponto, ((- 2,1) ), começamos na origem, movemos 2 unidades para a esquerda e 1 unidade para cima e desenhamos o ponto. Para o terceiro ponto, ((0, -1) ), não movemos para a esquerda ou direita, pois a coordenada x é 0, mas movemos 1 unidade para baixo e desenhamos o ponto. O gráfico é mostrado abaixo.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Foi feita uma pesquisa para verificar a relação entre a idade de uma pessoa e sua renda. As três primeiras respostas são mostradas na tabela abaixo:

Tabela de idades e renda
Idade492435
Renda69,00032,00040,000

Represente graficamente os três pontos no plano xy.

Solução

Observe que os números são todos relativamente grandes. Portanto, contar por 1 não faria sentido. Em vez disso, faz mais sentido contar o eixo da Idade, (x ), por 10's e o eixo da Receita, (y ), por 1000's. Os pontos são plotados abaixo.

Exercício

Um gerente de hotel estava interessado em ver a relação entre o preço por noite, (x ), que o hotel cobrava e o número de quartos ocupados, (y ). Os resultados foram (75,83), (100,60), (110,55) e (125,40). Trace esses pontos no plano xy.


Álgebra 1: como representar graficamente um par ordenado

Os pontos e são plotados em um quadrante. Qual gráfico mostra os pontos corretos?

Um quadrante é configurado de forma que os números positivos fiquem à direita e no topo, enquanto os números negativos fiquem à esquerda e embaixo. O valor x (o primeiro número no par ordenado) é a distância à esquerda ou à direita do centro. O valor y (o segundo número no par ordenado) é a distância acima ou abaixo do eixo.

serão unidades à direita e unidades para cima.

serão unidades à esquerda e unidades acima.

Exemplo de pergunta # 1: como representar graficamente um par ordenado

Qual dos quadrantes a seguir conteria o ponto?

Nenhuma das outras respostas está correta.

Nenhuma das outras respostas está correta.

tem 0 como seu -cordinado e, portanto, está no -eixo, que não faz parte de nenhum dos quatro quadrantes.

Exemplo de pergunta nº 3: como representar graficamente um par ordenado

Qual dos seguintes pontos estaria no quadrante III no plano de coordenadas?

Nenhum dos pontos listados estaria no quadrante III.

O quadrante III compreende os pontos cujas coordenadas - e - são negativas. Isso faz a escolha correta.

Pergunta de exemplo nº 1: funções e linhas

Qual dos quadrantes a seguir conteria o ponto?

Nenhuma das outras respostas está correta.

Nenhuma das outras respostas está correta.

tem 0 como sua -coordenada e, portanto, está no -eixo, que não faz parte de nenhum dos quatro quadrantes.

Exemplo de pergunta # 1: como representar graficamente um par ordenado

Qual dos seguintes pares ordenados está no terceiro quadrante?

O terceiro quadrante é o quadrante inferior esquerdo, onde os valores e são negativos. O ponto é o único ponto que está neste quadrante.

Exemplo de pergunta # 2: como representar graficamente um par ordenado

Qual dos seguintes pontos está no quadrante IV no plano de coordenadas?

Dois desses pontos estão no quadrante IV.

O quadrante IV consiste nos pontos com coordenadas positivas e coordenadas negativas. Portanto, é a escolha correta.

Exemplo de pergunta nº 7: como representar graficamente um par ordenado

Encontre o ponto que corresponde ao seguinte par ordenado:

Para chegar ao ponto, comece na origem e mova as unidades para a direita e para baixo.

Exemplo de pergunta # 8: como representar graficamente um par ordenado

Encontre o ponto que corresponde ao seguinte par ordenado:

Para chegar ao ponto, comece na origem e mova a unidade para a direita e para cima.

Exemplo de pergunta # 9: como representar graficamente um par ordenado

Encontre o ponto que corresponde ao seguinte par ordenado:

Para chegar ao ponto, comece na origem e mova a unidade para a esquerda e para baixo.

Exemplo de pergunta # 10: como representar graficamente um par ordenado

Encontre o ponto que corresponde ao seguinte par ordenado:

Para chegar ao ponto, comece na origem e mova as unidades para a direita e para cima.

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Sistema de coordenadas e pares ordenados

Um sistema de coordenadas é uma linha numérica bidimensional, por exemplo, duas linhas numéricas perpendiculares ou eixos.

Este é um sistema de coordenadas típico:

O eixo horizontal é chamado de eixo x e o eixo vertical é chamado de eixo y

O centro do sistema de coordenadas (onde as linhas se cruzam) é chamado de origem. Os eixos se cruzam quando x e y são zero. As coordenadas da origem são (0, 0).

Um par ordenado contém as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas. Um ponto é nomeado por seu par ordenado da forma de (x, y). O primeiro número corresponde à coordenada xe o segundo à coordenada y.

Para representar graficamente um ponto, você desenha um ponto nas coordenadas que correspondem ao par ordenado. É sempre uma boa ideia começar na origem. A coordenada x informa quantos passos você deve dar para a direita (positivo) ou para a esquerda (negativo) no eixo x. E a coordenada y informa que você tem muitos passos para mover para cima (positivo) ou para baixo (negativo) no eixo y.

O par ordenado (3, 4) é encontrado no sistema de coordenadas quando você move 3 etapas para a direita no eixo x e 4 etapas para cima no eixo y.

O par ordenado (-7, 1) é encontrado no sistema de coordenadas quando você move 7 passos para a esquerda no eixo xe 1 passo para cima no eixo y.

Para descobrir as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas, você faz o oposto. Comece no ponto e siga uma linha vertical para cima ou para baixo até o eixo x. Aqui está sua coordenada x. E então faça o mesmo, mas seguindo uma linha horizontal para encontrar a coordenada y.


As equações lineares [latex] x = 2 [/ latex] e [latex] y = −3 [/ latex] possuem apenas uma variável em cada uma delas. No entanto, como essas são equações lineares, elas representarão um gráfico em um plano de coordenadas, assim como as equações lineares acima. Pense na equação [latex] x = 2 [/ latex] como [latex] x = 0y + 2 [/ latex] e pense em [latex] y = −3 [/ latex] como [latex] y = 0x– 3 [/ latex].

Exemplo

x valores [latex] 0x – 3 [/ latex] y valores
[latex] 0 [/ latex] [latex] 0 (0) –3 [/ latex] [latex] −3 [/ latex]
[latex] 1 [/ latex] [latex] 0 (1) –3 [/ latex] [latex] −3 [/ latex]
[latex] 2 [/ latex] [latex] 0 (2) –3 [/ latex] [latex] −3 [/ latex]
[latex] 3 [/ latex] [latex] 0 (3) –3 [/ latex] [latex] −3 [/ latex]

Escreva [latex] y = −3 [/ latex] como [latex] y = 0x – 3 [/ latex] e avalie y quando x tem vários valores. Ou apenas perceba que [latex] y = −3 [/ latex] significa todo y o valor será [latex] −3 [/ latex], não importa o que x é.

Trace os pares ordenados (mostrado abaixo).

Desenhe uma linha através dos pontos para indicar todos os pontos da linha.

Responder

Observe que [latex] y = −3 [/ latex] representa graficamente como uma linha horizontal.

No vídeo a seguir, você verá mais exemplos de gráficos de linhas horizontais e verticais.


Definição de par ordenado

O par ordenado nada mais é do que um ponto no plano de coordenadas bidimensional. É usado para localizar um ponto no gráfico. Cada par ordenado tem duas coordenadas, nomeadamente abscissa e ordenada.

Como você plota um par ordenado de pontos em um plano cartesiano?

As etapas a seguir são simples e fáceis para localizar um ponto em um plano cartesiano. Verifique as diretrizes, termos e condições para traçar pares ordenados.

  • Tomemos um par ordenado.
  • Obtenha o sinal da coordenada x, coordenada y do par ordenado.
  • Com base nesses sinais, identifique a qual quadrante o par ordenado pertence.
  • Conte o valor da coordenada x no eixo x começando na origem.
  • Da mesma forma, conte o valor da coordenada y no eixo y a partir da origem.
  • Marque o ponto obtido como o par ordenado.

Perguntas de exemplo resolvidas

A coordenada x do ponto é positiva, 4. Enquanto a coordenada y também é positiva, 1.

Portanto, ambas as coordenadas são positivas, o ponto P pertence ao primeiro quadrante.

Para localizar este ponto P, meça 4 unidades no eixo x da origem (para a direita). E conte 1 unidade no eixo y da origem (para cima). Desenhe uma linha de 4 e 1, o ponto em que essas linhas se encontram é chamado de par ordenado P (4, 1).

Plote os seguintes pares ordenados em um plano de coordenadas.

uma. A (5, 0) b. B (-2, -6) c. C (6, -3) d. D (7, -1)

Os pares ordenados dados são A (5, 0), B (-2, -6), C (6, -3), D (-7, 1)

A abscissa de A é 5, a ordenada é 0, ambas são positivas. Portanto, este par ordenado encontra-se no primeiro quadrante. Pegue 5 unidades no eixo x (para a direita) e 0 unidades no eixo y e marque o ponto com estrito ou qualquer outro símbolo.

A coordenada x é -2, a coordenada y é -6, ambas são negativas. Portanto, o ponto B encontra-se no terceiro quadrante. Meça 2 unidades da origem no eixo x (para a esquerda), 6 unidades no eixo y (para baixo). Marque esse ponto específico como B (-2, -6).

Para o par ordenado C (6, -3), a coordenada x é positiva e a coordenada y é negativa. Então, o ponto encontra-se no quarto quadrante. Para representar o par ordenado no gráfico de coordenadas, você precisa desenhar linhas horizontais nomeando XOX ', YOY ”. Conte 6 unidades no eixo x em direção à direita da origem e conte 3 unidades no eixo y em direção à origem. Trace esse ponto no gráfico como C.

A abscissa do ponto D é -7 e negativa e a ordenada é positiva e 1. Você pode dizer que o ponto está no segundo quadrante. Em primeiro lugar, desenhe uma linha horizontal (eixo x), linha vertical (eixo y) se encontram na origem O. Escreva os números como um gráfico de coordenadas. Agora, meça 7 unidades no eixo para a esquerda da origem, 1 unidade no eixo y para cima.

Traçar os três pontos indicados abaixo no gráfico?

Os pares ordenados dados são P (5, 4), Q (0, 3), R (-2, 0)

O primeiro ponto P (5, 4) está a 5 unidades de distância da origem no eixo x, 4 unidades no eixo y. Como as coordenadas do ponto são positivas, ele fica no primeiro quadrante.

Como o segundo ponto possui a coordenada x é zero, o ponto disponível no eixo y está a 3 unidades da origem. Também se encontra no quadrante 1.

Da mesma forma, o terceiro ponto também contém a coordenada y é zero, ela está presente no eixo x. E sua coordenada x é negativa, então ela está no terceiro quadrante.


A lição principal

Depois de lermos Voe no teto, Disse aos meus alunos que íamos praticar a representação gráfica de pares ordenados em matemática IXL. Primeiro, precisamos revisar o conceito geral de gráficos.

Desenhei uma grade simples no quadro branco e listei um par ordenado de (3,5) e plotei o ponto na grade. Pedi aos meus alunos que explicassem se eles achavam que eu traçava o par ordenado corretamente a partir do que entendíamos sobre as regras de como fazê-lo.

Todos concordaram que estava correto. Perguntei por que o pedido era importante. Nenhum dos meus alunos conseguiu responder a essa pergunta. O CCSS espera que eu me aprofunde no "porquê" da matemática, bem como em como.

Portanto, era importante atacar essa questão e ajudá-los a entender. Expliquei que, como as regras de ordens de operações, essa regra de plotagem também deu aos matemáticos uma maneira consistente de plotar. Em seguida, virei-me para o quadro e plotei (3,5) como (5,3) para que eles pudessem perceber que, se não o plotássemos da mesma forma, obteríamos uma localização diferente na grade. Eu perguntei: Como isso afetaria a leitura do mapa no que diz respeito à localização exata de um lugar?

As mãos de duas pessoas se ergueram. Eu obtive a resposta que estava procurando. Um menino disse: "Se você não tivesse a mesma regra, um local poderia ser mais de um lugar no mapa."

Para esclarecer o que ele disse, reformulei o que ele quis dizer. Eu disse: "Para sermos precisos e claros sobre um local, devemos seguir as mesmas regras ao mapear um local usando uma grade ou plano de coordenadas."

Eu disse a eles que era hora de praticar um pouco no IXL.com para aprimorar nossas habilidades. Entrei no IXL para mostrar a eles exatamente o que esperava. Esta lição apresenta uma imagem das grades de coordenadas e, em seguida, o aluno escolhe o par ordenado correto que representa a imagem. Depois de fazermos dois juntos, pedi a eles que pegassem seus iPads e fizessem logon.

Eles se conectaram ao IXL e trabalharam por cerca de 15 minutos para revisar a plotagem e ler as grades de coordenadas. Percorri a sala de aula para ver se os alunos estavam trabalhando. Um aluno teve que usar papel quadriculado para responder à pergunta.


Traçando pares ordenados

Vídeos, planilhas, histórias e músicas para ajudar os alunos da 7ª série.

Pares ordenados do gráfico do plano de coordenadas

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Personalização com PairGrid

Em contraste com a função sns.pairplot, sns.PairGrid é uma classe que significa que ela não preenche automaticamente os gráficos para nós. Em vez disso, criamos uma instância de classe e, em seguida, mapeamos funções específicas para as diferentes seções da grade. Para criar uma instância PairGrid com nossos dados, usamos o seguinte código que também limita as variáveis ​​que mostraremos:

Se tivéssemos que exibir isso, obteríamos um gráfico em branco porque não mapeamos nenhuma função para as seções da grade. Existem três seções de grade para preencher para um PairGrid: o triângulo superior, o triângulo inferior e a diagonal. Para mapear plotagens para essas seções, usamos o método grid.map na seção. Por exemplo, para mapear um gráfico de dispersão para o triângulo superior, usamos:

O método map_upper aceita qualquer função que aceite duas matrizes de variáveis ​​(como plt.scatter) e palavras-chave associadas (como cor). O método map_lower é exatamente o mesmo, mas preenche o triângulo inferior da grade. O map_diag é um pouco diferente porque leva em uma função que aceita um único array (lembre-se que a diagonal mostra apenas uma variável). Um exemplo é plt.hist, que usamos para preencher a seção diagonal abaixo:

Neste caso, estamos usando uma estimativa de densidade do kernel em 2-D (um gráfico de densidade) no triângulo inferior. Juntos, esse código nos dá o seguinte gráfico:

Os benefícios reais de usar a classe PairGrid surgem quando queremos criar funções personalizadas para mapear diferentes informações no gráfico. Por exemplo, posso querer adicionar o coeficiente de correlação de Pearson entre duas variáveis ​​no gráfico de dispersão. Para fazer isso, eu escreveria uma função que pega em duas matrizes, calcula a estatística e a desenha no gráfico. O código a seguir mostra como isso é feito (crédito para esta resposta do Stack Overflow):

Nossa nova função é mapeada para o triângulo superior porque precisamos de duas matrizes para calcular um coeficiente de correlação (observe também que podemos mapear várias funções para seções de grade). Isso produz o seguinte gráfico:

O coeficiente de correlação agora aparece acima do gráfico de dispersão. Este é um exemplo relativamente simples, mas podemos usar PairGrid para mapear qualquer função que quisermos no gráfico. Podemos adicionar quantas informações forem necessárias, desde que possamos descobrir como escrever a função! Como um exemplo final, aqui está um gráfico que mostra as estatísticas de resumo na diagonal em vez de um gráfico.

Isso precisa de uma pequena limpeza, mas mostra a ideia geral, além de usar qualquer função existente em uma biblioteca como matplotlib para mapear dados na figura, podemos escrever nossa própria função para mostrar informações personalizadas.


Um par ordenado é a combinação de coordenadas que são coordenadas x (abscissa) e coordenadas y (ordenadas). Essas coordenadas são valores reais entre parênteses e separados por uma vírgula. O par ordenado é útil para localizar um ponto no gráfico de coordenadas bidimensional para melhor compreensão visual. Os valores podem ser inteiros ou frações.

Par ordenado de um sistema de coordenadas

Dois números escritos em uma determinada ordem com parênteses também são chamados de par ordenado. A representação usual de um par ordenado é (x, y). Onde x é o valor horizontal ey é o valor vertical e x, y são chamados de coordenadas. O par ordenado (x, y) nunca é igual ao par ordenado (y, x). Sempre que escrevemos as coordenadas de um ponto, primeiro escrevemos a coordenada xe, em seguida, o valor da coordenada y. Como o par ordenado sugere, a ordem em que os valores são escritos em um par é muito importante.

Tomemos um ponto P (2, 5)

O primeiro número no par ordenado mostra a distância do eixo x, que é 2

O segundo número no par ordenado mostra a distância do eixo y, que é 5

Para plotar esse ponto no gráfico de coordenadas, conte 2 passos em direção ao eixo x (para a direita) e comece a contar a partir da origem. E então 5 etapas no eixo y (direção para cima).

Formulários:

  • Este conceito é útil na compreensão de dados e estatísticas.
  • A geometria coordenada usa pares ordenados para representar as figuras geométricas em um espaço aberto para compreensão virtual.
  • As formas geométricas podem ser círculos, triângulos, quadrados, retângulo, se polígonos usam os pares ordenados para representar o centro, vértices e o comprimento dos lados com coordenadas.

Perguntas de exemplo resolvidas

Quais são as coordenadas de um par ordenado A (9, -7)?

O par ordenado dado é A (9, -7)

Suas coordenadas são a coordenada x é 9 e a coordenada y é -7.

Como a coordenada x é positiva e a coordenada y é negativa, o ponto pertence ao quarto quadrante.

Descubra a abscissa e as ordenadas de um ponto P (-9, 7)?

A abscissa do ponto é -9.

A ordenada do ponto é 7.

Como a abscissa do ponto é um número inteiro negativo e a ordenada é um número inteiro positivo, o ponto fica no terceiro quadrante.

O par ordenado A (5, 8) e B (8, 5) são iguais?

Os números reais em ambos os pares ordenados são os mesmos. Mas tanto A quanto B não são iguais.

Por que, porque o primeiro par ordenado A tem 5 como coordenada x, 8 como coordenada y e o segundo par ordenado B (8, 5) tem 8 como coordenada x e 5 como coordenada y. Então, A ≠ B.

∴ Dados pares ordenados, A e B não são iguais.

Perguntas frequentes sobre o par solicitado de um sistema de coordenadas

1. O que é um exemplo de par ordenado?

Poucos exemplos de um par ordenado são (8, 6), (-8, 6), (8, -6), (-8, -6). Todos esses pares ordenados não são iguais. Porque pertencem a quadrantes diferentes.

2. O que vem primeiro em um par ordenado?

Para cada par ordenado, a coordenada x vem primeiro seguida pela coordenada y. É importante escrever ambas as coordenadas em pares ordenados.

3. Qual é a ordem de um par ordenado?

Um par ordenado é um par de números presentes em uma ordem específica e contém dois números. A ordem em que você escreve esses números é muito importante. Esses números são chamados de coordenadas de um ponto. A coordenada x é o primeiro número e a coordenada y é o segundo número. O par ordenado é útil para localizar um ponto no plano de coordenadas.


Os sistemas de coordenadas retangulares e gráficos

  • Plote pares ordenados em um sistema de coordenadas cartesianas.
  • Gráfico de equações por pontos de plotagem.
  • Representar graficamente as equações com um utilitário gráfico.
  • Encontrar -intercepta e -intercepts.
  • Use a fórmula da distância.
  • Use a fórmula do ponto médio.

Figura 1.

Tracie partiu de Elmhurst, IL, para ir para Franklin Park. No caminho, ela fez algumas paradas para fazer recados. Cada parada é indicada por um ponto vermelho na (Figura). Colocando uma grade de coordenadas retangular sobre o mapa, podemos ver que cada parada se alinha com uma interseção de linhas de grade. Nesta seção, aprenderemos como usar linhas de grade para descrever locais e mudanças em locais.

Traçando pares ordenados no sistema de coordenadas cartesianas

Uma velha história descreve como o filósofo / matemático do século XVII René Descartes inventou o sistema que se tornou a base da álgebra quando estava doente na cama. De acordo com a história, Descartes estava olhando para uma mosca rastejando no teto quando percebeu que poderia descrever a localização da mosca em relação às linhas perpendiculares formadas pelas paredes adjacentes de seu quarto. Ele viu as linhas perpendiculares como eixos horizontais e verticais. Além disso, ao dividir cada eixo em comprimentos unitários iguais, Descartes viu que era possível localizar qualquer objeto em um plano bidimensional usando apenas dois números - o deslocamento do eixo horizontal e o deslocamento do eixo vertical.

Embora haja evidências de que ideias semelhantes ao sistema de grade de Descartes existiam séculos antes, foi Descartes quem introduziu os componentes que compõem o sistema de coordenadas cartesianas, um sistema de grade com eixos perpendiculares. Descartes chamou o eixo horizontal de x-eixo e o eixo vertical o y-eixo.

O sistema de coordenadas cartesianas, também chamado de sistema de coordenadas retangulares, é baseado em um plano bidimensional que consiste no x-eixo e o y-eixo. Perpendiculares entre si, os eixos dividem o plano em quatro seções. Cada seção é chamada de quadrante, os quadrantes são numerados no sentido anti-horário, conforme mostrado na (Figura)

Figura 2.

O centro do plano é o ponto em que os dois eixos se cruzam. É conhecido como origem ou pontoA partir da origem, cada eixo é dividido em unidades iguais: números crescentes e positivos à direita no x-eixo e para cima o y-eixo decrescente, números negativos à esquerda no x-eixo e para baixo o y-eixo. Os eixos se estendem até o infinito positivo e negativo, conforme mostrado pelas pontas de seta na (Figura).

Figura 3.

Cada ponto no plano é identificado por seu x-coordenada, ou deslocamento horizontal da origem, e sua y-coordenada ou deslocamento vertical da origem. Juntos, nós os escrevemos como um par ordenado, indicando a distância combinada da origem no formulárioUm par ordenado também é conhecido como par de coordenadas porque consiste em x- e y-coordenadas. Por exemplo, podemos representar o pontono plano, movendo três unidades para a direita da origem na direção horizontal e uma unidade para baixo na direção vertical. Veja a figura).

Figura 4.

Ao dividir os eixos em incrementos igualmente espaçados, observe que o x-eixo pode ser considerado separadamente do y-eixo. Em outras palavras, enquanto o x-eixo pode ser dividido e rotulado de acordo com inteiros consecutivos, o y-o eixo pode ser dividido e rotulado por incrementos de 2, 10 ou 100. Na verdade, os eixos podem representar outras unidades, como anos contra o saldo em uma conta de poupança, ou quantidade contra custo e assim por diante. Considere o sistema de coordenadas retangulares principalmente como um método para mostrar a relação entre duas quantidades.

Sistema de coordenada cartesiana

Um plano bidimensional onde o

Um ponto no plano é definido como um par ordenado,de tal modo que x é determinado por sua distância horizontal da origem e y é determinado por sua distância vertical da origem.

Pontos de plotagem em um sistema de coordenadas retangulares

Trace os pontos[latex] left (3,3 right), [/ latex] eno avião.

Para traçar o pontocomece na origem. O x-coordenada é –2, então mova duas unidades para a esquerda. O y-coordenada é 4, então mova quatro unidades para cima no positivo y direção.

Para traçar o pontocomece novamente na origem. O x-coordenada é 3, então mova três unidades para a direita. O y-coordenada também é 3, então mova três unidades para cima no positivo y direção.

Para traçar o pontocomece novamente na origem. O x-coordenada é 0. Isso nos diz para não nos movermos em nenhuma direção ao longo do x-eixo. O y-coordenada é –3, então mova três unidades para baixo no negativo y direção. Veja o gráfico na (Figura).

[/ resposta-oculta]

Análise

Observe que quando qualquer coordenada é zero, o ponto deve estar em um eixo. Se o x-coordenada é zero, o ponto está no y-eixo. Se o y-coordenada é zero, o ponto está no x-eixo.

Representação gráfica de equações por pontos de plotagem

Podemos traçar um conjunto de pontos para representar uma equação. Quando tal equação contém um x variável e um y variável, é chamada de equação em duas variáveis. Seu gráfico é denominado gráfico em duas variáveis. Qualquer gráfico em um plano bidimensional é um gráfico em duas variáveis.

Suponha que queremos representar graficamente a equaçãoPodemos começar substituindo um valor por x na equação e determinar o valor resultante de y. Cada par de x& # 8211 e y-values ​​é um par ordenado que pode ser plotado. (Figura) lista os valores de x de –3 a 3 e os valores resultantes para y.

Podemos traçar os pontos na tabela. Os pontos para esta equação particular formam uma linha, para que possamos conectá-los. Veja a figura). Isso não é verdade para todas as equações.

Figura 5.

Observe que o x-os valores escolhidos são arbitrários, independentemente do tipo de equação que representamos no gráfico. Claro, algumas situações podem exigir valores particulares de x a ser plotado a fim de ver um resultado específico. Caso contrário, é lógico escolher valores que podem ser calculados facilmente e é sempre uma boa ideia escolher valores que sejam negativos e positivos. Não há regra que determine quantos pontos traçar, embora precisemos de pelo menos dois para representar graficamente uma linha. Lembre-se, entretanto, de que quanto mais pontos traçarmos, mais precisamente podemos esboçar o gráfico.

Como

Dada uma equação, represente graficamente os pontos.

  1. Faça uma tabela com uma coluna rotulada x, uma segunda coluna rotulada com a equação e uma terceira coluna listando os pares ordenados resultantes.
  2. Digitar x-valores abaixo da primeira coluna usando valores positivos e negativos. Selecionando o x-valores em ordem numérica tornarão a representação gráfica mais simples.
  3. Selecione x-valores que irão render y-valores com pouco esforço, de preferência aqueles que podem ser calculados mentalmente.
  4. Trace os pares ordenados.
  5. Conecte os pontos se eles formarem uma linha.

Representando graficamente uma equação em duas variáveis ​​por pontos de plotagem

Represente graficamente a equaçãotraçando pontos.

Primeiro, construímos uma tabela semelhante a (Figura). Escolher x valores e calcular y.

Agora, plote os pontos. Conecte-os se eles formarem uma linha. Veja a figura)

Figura 6.

Tente

Construir uma tabela e representar graficamente a equação traçando pontos:

[revelar-resposta q = & # 82213155135 & # 8243] Mostrar solução [/ revelar-resposta] [hidden-answer a = & # 82213155135 & # 8243]

[/ resposta-oculta]

Representação gráfica de equações com um utilitário de representação gráfica

A maioria das calculadoras gráficas requer técnicas semelhantes para representar graficamente uma equação. As equações às vezes precisam ser manipuladas para que sejam escritas no estilo= _____. A TI-84 Plus, e muitas outras marcas e modelos de calculadora, têm uma função de modo, que permite que a janela (a tela para visualizar o gráfico) seja alterada para que as partes pertinentes de um gráfico possam ser vistas.

Por exemplo, a equaçãofoi inserido na TI-84 Plus mostrado na (Figura)uma. Em (Figura)b, o gráfico resultante é mostrado. Observe que não podemos ver na tela onde o gráfico cruza os eixos. A tela da janela padrão na TI-84 Plus mostraeVeja a figura)c.

Figura 7. a. Insira a equação. b. Este é o gráfico da janela original. c. Estas são as configurações originais.

Alterando a janela para mostrar mais do que é positivo x-eixo e mais do negativo y-eixo, temos uma visão muito melhor do gráfico e do x- e y-intercepta. Veja a figura)uma e (Figura)b.

Figura 8. uma. Esta tela mostra as novas configurações da janela. b. Podemos ver claramente as interceptações na nova janela.

Usando um utilitário de representação gráfica para representar graficamente uma equação

Use um utilitário gráfico para representar graficamente a equação:

[Revelar-resposta q = & # 82211513712 & # 8243] Mostrar Solução [/ Revelar-resposta] [hidden-answer a = & # 82211513712 & # 8243]

Insira a equação no y = função da calculadora. Defina as configurações da janela para que ambos x- e y- interceptações estão aparecendo na janela. Veja a figura).

Figura 9.

Encontrando x-intercepta e y-intercepta

As interceptações de um gráfico são pontos nos quais o gráfico cruza os eixos. O x-interceptar é o ponto em que o gráfico cruza o x-eixo. Neste ponto, o y-coordenada é zero. O y-interceptar é o ponto em que o gráfico cruza o y-eixo. Neste ponto, o x-coordenada é zero.

Para determinar o x-interceptar, nós definimos y igual a zero e resolva para x. Da mesma forma, para determinar o y-interceptar, nós definimos x igual a zero e resolva para y. Por exemplo, vamos encontrar as interceptações da equação

Para encontrar o x-interceptar, definir

Para encontrar o y-interceptar, definir

Podemos confirmar que nossos resultados fazem sentido observando um gráfico da equação como na (Figura). Observe que o gráfico cruza os eixos onde previmos que cruzaria.

Figura 10.

Dada uma equação, encontre as interceptações.

  1. Encontre o x-interceptar por configuraçãoe resolvendo para
  2. Encontre o y-interceptar por configuraçãoe resolvendo para

Encontrando as Interceptações da Equação Dada

Encontre as interceptações da equaçãoEm seguida, esboce o gráfico usando apenas as interceptações.

Definirpara encontrar o x-interceptar.

Definirpara encontrar o y-interceptar.

Trace os dois pontos e desenhe uma linha passando por eles como na (Figura).

Figura 11.

Tente

Encontre as interceptações da equação e esboce o gráfico:

x-intercept éy-interceptar é

[/ resposta-oculta]

Usando a fórmula de distância

Derivado do Teorema de Pitágoras, a fórmula da distância é usada para encontrar a distância entre dois pontos no plano. O Teorema de Pitágoras,é baseado em um triângulo retângulo onde uma e b são os comprimentos das pernas adjacentes ao ângulo reto, e c é o comprimento da hipotenusa. Veja a figura).

Figura 12.

A relação dos ladosepara o lado d é o mesmo dos lados uma e b para o lado c. Usamos o símbolo de valor absoluto para indicar que o comprimento é um número positivo porque o valor absoluto de qualquer número é positivo. (Por exemplo,) Os símboloseindicam que os comprimentos dos lados do triângulo são positivos. Para encontrar o comprimento c, tire a raiz quadrada de ambos os lados do Teorema de Pitágoras.

Segue-se que a fórmula da distância é dada como

Não precisamos usar os símbolos de valor absoluto nesta definição porque qualquer número ao quadrado é positivo.

A Fórmula da Distância

Endpoints dadosea distância entre dois pontos é dada por

Encontrando a distância entre dois pontos

Encontre a distância entre os pontose

Vejamos primeiro o gráfico dos dois pontos. Conecte os pontos para formar um triângulo retângulo como na (Figura).

Figura 13.

Em seguida, calcule o comprimento de d usando a fórmula da distância.

[/ resposta-oculta]

Tente

Encontre a distância entre dois pontos:e

Encontrando a distância entre dois locais

Voltemos à situação apresentada no início desta seção.

Tracie partiu de Elmhurst, IL, para ir para Franklin Park. No caminho, ela fez algumas paradas para fazer recados. Cada parada é indicada por um ponto vermelho na (Figura). Encontre a distância total que Tracie viajou. Compare isso com a distância entre as posições inicial e final.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar pares ordenados para descrever cada posição. Se definirmos a posição inicial na origem, podemos identificar cada um dos outros pontos contando as unidades leste (direita) e norte (para cima) na grade. Por exemplo, a primeira parada fica a 1 quarteirão ao leste e 1 quarteirão ao norte, então está emA próxima parada fica a 5 quarteirões a leste, então é emDepois disso, ela viajou 3 quarteirões a leste e 2 quarteirões ao norte paraPor último, ela viajou 4 quarteirões ao norte paraPodemos rotular esses pontos na grade como na (Figura).

Figura 14.

Em seguida, podemos calcular a distância. Observe que cada unidade da grade representa 1.000 pés.

  • De sua localização inicial até sua primeira parada emTracie pode ter dirigido para o norte 300 metros e depois para o leste 300 metros, ou vice-versa. De qualquer maneira, ela dirigiu 2.000 pés até sua primeira parada.
  • Sua segunda parada é emEntão deparaTracie dirigiu para leste a 4.000 pés.
  • Sua terceira parada é emExistem várias rotas deparaQualquer que seja a rota que Tracie decidiu usar, a distância é a mesma, já que não há ruas angulares entre os dois pontos. Digamos que ela dirigiu para o leste 3.000 pés e depois para o norte 2.000 pés, num total de 5.000 pés.
  • A última parada de Tracie é emEste é um caminho direto para o norte depara um total de 4.000 pés.

A seguir, adicionaremos as distâncias listadas na (Figura).

De para Número de pés acionados
para 2,000
para 4,000
para 5,000
para 4,000
Total 15,000

A distância total que Tracie dirigiu foi de 15.000 pés, ou 2,84 milhas. Esta não é, entretanto, a distância real entre suas posições inicial e final. Para encontrar essa distância, podemos usar a fórmula da distância entre os pontose

A 1.000 pés por unidade de grade, a distância entre Elmhurst, IL, para Franklin Park é 10.630,14 pés, ou 2,01 milhas. A fórmula da distância resulta em um cálculo mais curto porque é baseada na hipotenusa de um triângulo retângulo, uma diagonal reta da origem ao pontoTalvez você já tenha ouvido o ditado "em linha reta", que significa a distância mais curta entre dois pontos porque um corvo pode voar em linha reta, mesmo que uma pessoa no solo tenha que percorrer uma distância maior nas estradas existentes. [/ Oculto -responder]

Usando a fórmula do ponto médio

Quando os pontos finais de um segmento de linha são conhecidos, podemos encontrar o ponto intermediário entre eles. Este ponto é conhecido como ponto médio e a fórmula é conhecida como fórmula do ponto médio. Dados os pontos finais de um segmento de linha,ea fórmula do ponto médio indica como encontrar as coordenadas do ponto médio

Uma visão gráfica de um ponto médio é mostrada na (Figura). Observe que os segmentos de linha em cada lado do ponto médio são congruentes.

Figura 15.

Encontrando o Ponto Médio do Segmento de Linha

Encontre o ponto médio do segmento de linha com os pontos finaise

Use a fórmula para encontrar o ponto médio do segmento de linha.

[/ resposta-oculta]

Tente

Encontre o ponto médio do segmento de linha com os pontos finaise

Encontrando o Centro de um Círculo

O diâmetro de um círculo tem pontos finaiseEncontre o centro do círculo.

O centro de um círculo é o centro, ou ponto médio, de seu diâmetro. Assim, a fórmula do ponto médio produzirá o ponto central.

[/ resposta-oculta]

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com o sistema de coordenadas cartesianas.

Conceitos chave

  • Podemos localizar, ou plotar, pontos no sistema de coordenadas cartesianas usando pares ordenados, que são definidos como deslocamento do x-eixo e deslocamento do y-eixo. Veja a figura).
  • Uma equação pode ser representada graficamente no plano criando uma tabela de valores e pontos de plotagem. Veja a figura).
  • Usar uma calculadora gráfica ou um programa de computador torna a representação gráfica das equações mais rápida e precisa. As equações geralmente devem ser inseridas no formulário y =_____. Veja a figura).
  • Encontrando o x- e y-as interceptações podem definir o gráfico de uma linha. Esses são os pontos onde o gráfico cruza os eixos. See (Figure).
  • The distance formula is derived from the Pythagorean Theorem and is used to find the length of a line segment. Veja (Figura) e (Figura).
  • The midpoint formula provides a method of finding the coordinates of the midpoint dividing the sum of the x-coordinates and the sum of the y-coordinates of the endpoints by 2. See (Figure) and (Figure).

Exercícios de seção

Verbal

Is it possible for a point plotted in the Cartesian coordinate system to not lie in one of the four quadrants? Explique.

Answers may vary. sim. It is possible for a point to be on the x-axis or on the y-axis and therefore is considered to NOT be in one of the quadrants.

Describe the process for finding the x-intercept and the y-intercept of a graph algebraically.

Describe in your own words what the y-intercept of a graph is.

O y-intercept is the point where the graph crosses the y-eixo.

When using the distance formulaexplain the correct order of operations that are to be performed to obtain the correct answer.

Algébrico

For each of the following exercises, find the x-intercept and the y-intercept without graphing. Write the coordinates of each intercept.

O x-intercept ise a y-intercept is

O x-intercept ise a y-intercept is

O x-intercept ise a y-intercept is

For each of the following exercises, solve the equation for y in terms of x.

For each of the following exercises, find the distance between the two points. Simplify your answers, and write the exact answer in simplest radical form for irrational answers.

e

e

e

e

Find the distance between the two points given using your calculator, and round your answer to the nearest hundredth.

e

For each of the following exercises, find the coordinates of the midpoint of the line segment that joins the two given points.

e

e

e

e

e

Graphical

For each of the following exercises, identify the information requested.

What are the coordinates of the origin?

If a point is located on the y-axis, what is the x-coordinate?

If a point is located on the x-axis, what is the y-coordinate?

For each of the following exercises, plot the three points on the given coordinate plane. State whether the three points you plotted appear to be collinear (on the same line).

[reveal-answer q=”fs-id1319659″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”fs-id1319659″]not collinear[/hidden-answer]

Name the coordinates of the points graphed.

Name the quadrant in which the following points would be located. If the point is on an axis, name the axis.

For each of the following exercises, construct a table and graph the equation by plotting at least three points.

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer][hidden-answer a=�″]

1
0 2
3 3
6 4

[/hidden-answer]

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer][hidden-answer a=�″]

[/hidden-answer]

Numeric

For each of the following exercises, find and plot the x- e y-intercepts, and graph the straight line based on those two points.

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer][hidden-answer a=�″] [/hidden-answer]

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer][hidden-answer a=�″] [/hidden-answer]

For each of the following exercises, use the graph in the figure below.

Find the distance between the two endpoints using the distance formula. Round to three decimal places.

Find the coordinates of the midpoint of the line segment connecting the two points.

Find the distance thatis from the origin.

Find the distance thatis from the origin. Round to three decimal places.

Which point is closer to the origin?

Tecnologia

For the following exercises, use your graphing calculator to input the linear graphs in the Y= graph menu.

After graphing it, use the 2 nd CALC button and 1:value button, hit enter. At the lower part of the screen you will see “x=” and a blinking cursor. You may enter any number for x and it will display the y value for any x value you input. Use this and plug in x = 0, thus finding the y-intercept, for each of the following graphs.

For the following exercises, use your graphing calculator to input the linear graphs in the Y= graph menu.

After graphing it, use the 2 nd CALC button and 2:zero button, hit enter. At the lower part of the screen you will see “left bound?” and a blinking cursor on the graph of the line. Move this cursor to the left of the x-intercept, hit ENTER. Now it says “right bound?” Move the cursor to the right of the x-intercept, hit enter. Now it says “guess?” Move your cursor to the left somewhere in between the left and right bound near the x-interceptar. Hit enter. At the bottom of your screen it will display the coordinates of the x-intercept or the “zero” to the y-value. Use this to find the x-interceptar.

Note: With linear/straight line functions the zero is not really a “guess,” but it is necessary to enter a “guess” so it will search and find the exact x-intercept between your right and left boundaries. With other types of functions (more than one x-intercept), they may be irrational numbers so “guess” is more appropriate to give it the correct limits to find a very close approximation between the left and right boundaries.

Round your answer to the nearest thousandth.

Extensões

A man drove 10 mi directly east from his home, made a left turn at an intersection, and then traveled 5 mi north to his place of work. If a road was made directly from his home to his place of work, what would its distance be to the nearest tenth of a mile?

If the road was made in the previous exercise, how much shorter would the man’s one-way trip be every day?

mi shorter

Given these four points:find the coordinates of the midpoint of line segmentse

After finding the two midpoints in the previous exercise, find the distance between the two midpoints to the nearest thousandth.

Given the graph of the rectangle shown and the coordinates of its vertices, prove that the diagonals of the rectangle are of equal length.

In the previous exercise, find the coordinates of the midpoint for each diagonal.

Midpoint of each diagonal is the same pointNote this is a characteristic of rectangles, but not other quadrilaterals.

Real-World Applications

The coordinates on a map for San Francisco areand those for Sacramento areNote that coordinates represent miles. Find the distance between the cities to the nearest mile.

If San Jose’s coordinates arewhere the coordinates represent miles, find the distance between San Jose and San Francisco to the nearest mile.

mi

A small craft in Lake Ontario sends out a distress signal. The coordinates of the boat in trouble wereOne rescue boat is at the coordinatesand a second Coast Guard craft is at coordinatesAssuming both rescue craft travel at the same rate, which one would get to the distressed boat the fastest?

A man on the top of a building wants to have a guy wire extend to a point on the ground 20 ft from the building. To the nearest foot, how long will the wire have to be if the building is 50 ft tall?

If we rent a truck and pay a $75/day fee plus $.20 for every mile we travel, write a linear equation that would express the total costusingto represent the number of miles we travel. Graph this function on your graphing calculator and find the total cost for one day if we travel 70 mi.

Glossário

Cartesian coordinate system a grid system designed with perpendicular axes invented by René Descartes distance formula a formula that can be used to find the length of a line segment if the endpoints are known equation in two variables a mathematical statement, typically written in x e y, in which two expressions are equal graph in two variables the graph of an equation in two variables, which is always shown in two variables in the two-dimensional plane intercepts the points at which the graph of an equation crosses the x-eixo e o y-axis midpoint formula a formula to find the point that divides a line segment into two parts of equal length ordered pair a pair of numbers indicating horizontal displacement and vertical displacement from the origin also known as a coordinate pair, origin the point where the two axes cross in the center of the plane, described by the ordered pair quadrant one quarter of the coordinate plane, created when the axes divide the plane into four sections x-axis the common name of the horizontal axis on a coordinate plane a number line increasing from left to right x-coordinate the first coordinate of an ordered pair, representing the horizontal displacement and direction from the origin x-intercept the point where a graph intersects the x-axis an ordered pair with a y-coordinate of zero y-axis the common name of the vertical axis on a coordinate plane a number line increasing from bottom to top y-coordinate the second coordinate of an ordered pair, representing the vertical displacement and direction from the origin y-intercept a point where a graph intercepts the y-axis an ordered pair with an x-coordinate of zero


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