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2: Notação de intervalo


2: Notação de intervalo

Intervalos de confiança

Um intervalo de confiança fornece um intervalo estimado de valores que provavelmente inclui um parâmetro desconhecido da população, o intervalo estimado sendo calculado a partir de um determinado conjunto de dados de amostra. (Definição retirada de Valerie J. Easton e John H. McColl's Statistics Glossary v1.1)

O nível C de um intervalo de confiança dá a probabilidade de que o intervalo produzido pelo método empregado inclua o valor verdadeiro do parâmetro.

Suponha que um aluno medindo a temperatura de ebulição de um determinado líquido observe as leituras (em graus Celsius) 102,5, 101,7, 103,1, 100,9, 100,5 e 102,2 em 6 amostras diferentes do líquido. Ele calcula a média da amostra em 101,82. Se ele sabe que o desvio padrão para esse procedimento é de 1,2 grau, qual é o intervalo de confiança para a média da população em um nível de confiança de 95%?

Em outras palavras, o aluno deseja estimar a verdadeira temperatura média de ebulição do líquido usando os resultados de suas medições. Se as medidas seguirem uma distribuição normal, a média da amostra terá a distribuição N (,). Como o tamanho da amostra é 6, o desvio padrão da média da amostra é igual a 1,2 / sqrt (6) = 0,49. A seleção de um nível de confiança para um intervalo determina a probabilidade de que o intervalo de confiança produzido conterá o valor verdadeiro do parâmetro. As escolhas comuns para o nível de confiança C são 0,90, 0,95 e 0,99. Esses níveis correspondem a porcentagens da área da curva de densidade normal. Por exemplo, um intervalo de confiança de 95% cobre 95% da curva normal - a probabilidade de observar um valor fora desta área é inferior a 0,05. Como a curva normal é simétrica, metade da área está na cauda esquerda da curva e a outra metade na cauda direita da curva. Conforme mostrado no diagrama à direita, para um intervalo de confiança com nível C, a área em cada cauda da curva é igual a (1- C) / 2. Para um intervalo de confiança de 95%, a área em cada cauda é igual a 0,05 / 2 = 0,025.

O valor z * que representa o ponto na curva de densidade normal padrão de modo que a probabilidade de observar um valor maior que z * é igual ap é conhecido como o valor crítico de p superior da distribuição normal padrão. Por exemplo, se p = 0,025, o valor z * tal que P (Z & gt z *) = 0,025, ou P (Z & lt z *) = 0,975, é igual a 1,96. Para um intervalo de confiança com nível C, o valor p é igual a (1- C) / 2. Um intervalo de confiança de 95% para a distribuição normal padrão, então, é o intervalo (-1,96, 1,96), uma vez que 95% da área sob a curva cai dentro desse intervalo.

Intervalos de confiança para média desconhecida e desvio padrão conhecido

Nota: Este intervalo é exato apenas quando a distribuição da população é normal. Para grandes amostras de outras distribuições de população, o intervalo é aproximadamente correto pelo Teorema do Limite Central. No exemplo acima, o aluno calculou a média da amostra das temperaturas de ebulição como 101,82, com desvio padrão de 0,49. O valor crítico para um intervalo de confiança de 95% é 1,96, onde (1-0,95) / 2 = 0,025. Um intervalo de confiança de 95% para a média desconhecida é ((101,82 - (1,96 * 0,49)), (101,82 + (1,96 * 0,49))) = (101,82 - 0,96, 101,82 + 0,96) = (100,86, 102,78).

À medida que o nível de confiança diminui, o tamanho do intervalo correspondente diminui. Suponha que o aluno esteja interessado em um intervalo de confiança de 90% para a temperatura de ebulição. Nesse caso, C = 0,90 e (1- C) / 2 = 0,05. O valor crítico z * para este nível é igual a 1,645, então o intervalo de confiança de 90% é ((101,82 - (1,645 * 0,49)), (101,82 + (1,645 * 0,49))) = (101,82 - 0,81, 101,82 + 0,81 ) = (101,01, 102,63) Um aumento no tamanho da amostra diminuirá o comprimento do intervalo de confiança sem reduzir o nível de confiança. Isso ocorre porque o desvio padrão diminui à medida que n aumenta. A margem de erro m de um intervalo de confiança é definida como o valor adicionado ou subtraído da média da amostra que determina a extensão do intervalo: m = z *.

Suponha que no exemplo acima, o aluno deseja ter uma margem de erro igual a 0,5 com 95% de confiança. Substituindo os valores apropriados na expressão de me resolvendo para n, obtém-se o cálculo n = (1,96 * 1,2 / 0,5) & sup2 = (2,35 / 0,5) & sup2 = 4,7 & sup2 = 22,09. Para atingir um intervalo de confiança de 95% para o ponto de ebulição médio com comprimento total menor que 1 grau, o aluno terá que fazer 23 medições.

Intervalos de confiança para média desconhecida e desvio padrão desconhecido

Para uma população com média desconhecida e desvio padrão desconhecido, um intervalo de confiança para a média da população, com base em uma amostra aleatória simples (SRS) de tamanho n, é + t *, onde t * é o superior (1- C) / 2 valor crítico para a distribuição t com n-1 graus de liberdade, t (n-1). Exemplo

O conjunto de dados "Temperatura corporal normal, gênero e frequência cardíaca" contém 130 observações da temperatura corporal, junto com o sexo de cada indivíduo e sua frequência cardíaca. O uso do comando "DESCRIBE" do MINITAB fornece as seguintes informações: Para encontrar um intervalo de confiança de 95% para a média com base na média da amostra 98,249 e desvio padrão da amostra 0,733, primeiro encontre o valor crítico de 0,025 t * para 129 graus de liberdade. Esse valor é de aproximadamente 1,962, o valor crítico para 100 graus de liberdade (encontrado na Tabela E em Moore e McCabe). O desvio padrão estimado para a média da amostra é 0,733 / sqrt (130) = 0,064, o valor fornecido na coluna SE MEAN da estatística descritiva do MINITAB. Um intervalo de confiança de 95%, então, é de aproximadamente ((98,249 - 1,962 * 0,064), (98,249 + 1,962 * 0,064)) = (98,249 - 0,126, 98,249+ 0,126) = (98,123, 98,375).

Para um resultado mais preciso (e alcançado de forma mais simples), o comando "TINTERVAL" do MINITAB, escrito como segue, fornece um intervalo de confiança exato de 95% para 129 graus de liberdade: De acordo com esses resultados, a temperatura corporal normal assumida usual de 98,6 graus Fahrenheit não está dentro de um intervalo de confiança de 95% para a média.


2: Notação de intervalo

Muitos de nossos aplicativos neste capítulo irão girar em torno dos valores mínimo e máximo de uma função. Embora possamos todos visualizar os valores mínimo e máximo de uma função, queremos ser um pouco mais específicos em nosso trabalho aqui. Em particular, queremos diferenciar entre dois tipos de valores mínimos ou máximos. A definição a seguir fornece os tipos de valores mínimos e / ou máximos que veremos.

Definição

  1. Dizemos que (f left (x right) ) tem um máximo absoluto (ou global) em (x = c ) se (f left (x right) le f left (c right) ) para cada (x ) no domínio em que estamos trabalhando.

Observe que quando dizemos um "intervalo aberto em torno de (x = c )", queremos dizer que podemos encontrar algum intervalo ( left ( right) ), não incluindo os terminais, de modo que (a & lt c & lt b ). Ou, em outras palavras, (c ) estará contido em algum lugar dentro do intervalo e não será nenhum dos pontos de extremidade.

Além disso, chamaremos coletivamente os pontos mínimo e máximo de uma função de extremo da função. Assim, extremos relativos se referem aos mínimos e máximos relativos, enquanto extremos absolutos se referem aos mínimos e máximos absolutos.

Agora, vamos falar um pouco sobre a diferença sutil entre o absoluto e o relativo na definição acima.

Teremos um máximo (ou mínimo) absoluto em (x = c ) desde que (f left (c right) ) seja o maior (ou menor) valor que a função irá assumir no domínio que nós estão trabalhando. Além disso, quando dizemos o "domínio em que estamos trabalhando", isso significa simplesmente o intervalo de (x ) 's que escolhemos trabalhar para um determinado problema. Pode haver outros valores de (x ) que podemos realmente inserir na função, mas os excluímos por algum motivo.

Um máximo ou mínimo relativo é ligeiramente diferente. Tudo o que é necessário para um ponto ser um máximo ou mínimo relativo é que esse ponto seja um máximo ou mínimo em algum intervalo de (x ) 's em torno de (x = c ). Pode haver valores maiores ou menores da função em algum outro lugar, mas em relação a (x = c ), ou local a (x = c ), (f left (c right) ) é maior ou menor do que todos os outros valores de função que estão próximos a ele.

Observe também que, para que um ponto seja um extremo relativo, devemos ser capazes de olhar para os valores da função em ambos os lados de (x = c ) para ver se ele realmente é um máximo ou mínimo naquele ponto. Isso significa que extremos relativos não ocorrem nos pontos finais de um domínio. Eles só podem ocorrer no interior do domínio.

Na verdade, há algum debate sobre o ponto anterior. Algumas pessoas acham que extremos relativos podem ocorrer nos pontos finais de um domínio. No entanto, nesta aula usaremos a definição que diz que eles não podem ocorrer nos pontos finais de um domínio. Isso será discutido com um pouco mais de detalhes no final da seção, uma vez que tenhamos cuidado de um fato relevante.

Normalmente, é mais fácil ter uma ideia das definições dando uma rápida olhada em um gráfico.

Para a função mostrada neste gráfico, temos máximos relativos em (x = b ) e (x = d ). Ambos os pontos são máximos relativos, uma vez que são internos ao domínio mostrado e são o maior ponto no gráfico em algum intervalo em torno do ponto. Também temos um mínimo relativo em (x = c ) uma vez que este ponto é interior ao domínio e é o ponto mais baixo no gráfico em um intervalo em torno dele. O ponto final da extrema direita, (x = e ), não será um mínimo relativo, pois é um ponto final.

A função terá um máximo absoluto em (x = d ) e um mínimo absoluto em (x = a ). Esses dois pontos são os maiores e os menores que a função jamais será. Também podemos notar que os extremos absolutos para uma função ocorrerão nos pontos finais do domínio ou nos extremos relativos. Usaremos essa ideia em seções posteriores, por isso é mais importante do que pode parecer no momento.

Vamos dar uma olhada rápida em alguns exemplos para ter certeza de que temos as definições de extremos absolutos e extremos relativos retos.

Uma vez que esta função é fácil de representar graficamente, vamos fazer isso. No entanto, queremos apenas o gráfico no intervalo ( left [<- 1,2> right] ). Aqui está o gráfico,

Observe que usamos pontos no final do gráfico para nos lembrar que o gráfico termina nesses pontos.

Agora podemos identificar os extremos do gráfico. Parece que temos um mínimo relativo e absoluto de zero em (x = 0 ) e um máximo absoluto de quatro em (x = 2 ). Observe que (x = - 1 ) não é um máximo relativo, pois está no ponto final do intervalo.

Esta função não tem máximos relativos.

Como vimos no exemplo anterior, as funções não precisam ter extremos relativos. É totalmente possível que uma função não tenha um máximo relativo e / ou mínimo relativo.

Aqui está o gráfico para esta função.

Nesse caso, ainda temos um mínimo relativo e absoluto de zero em (x = 0 ). Ainda temos um máximo absoluto de quatro. No entanto, ao contrário do primeiro exemplo, isso ocorrerá em dois pontos, (x = - 2 ) e (x = 2 ).

Novamente, a função não tem nenhum máximo relativo.

Como este exemplo mostrou, pode haver apenas um único valor máximo absoluto ou mínimo absoluto, mas eles podem ocorrer em mais de um local no domínio.

Neste caso, não fornecemos nenhum domínio e, portanto, presume-se que usaremos o maior domínio possível. Para esta função, isso significa todos os números reais. Aqui está o gráfico.

Neste caso, o gráfico não para de aumentar em nenhuma das extremidades e, portanto, não há máximos de qualquer tipo para esta função. Não importa qual ponto escolhermos no gráfico, haverá pontos maiores e menores do que ele em cada lado, então não podemos ter nenhum máximo (de qualquer tipo, relativo ou absoluto) em um gráfico.

Ainda temos um valor mínimo relativo e absoluto de zero em (x = 0 ).

Portanto, alguns gráficos podem ter mínimos, mas não máximos. Da mesma forma, um gráfico pode ter máximos, mas não mínimos.

Aqui está o gráfico para esta função.

Esta função tem um máximo absoluto de oito em (x = 2 ) e um mínimo absoluto de oito negativos em (x = - 2 ). Esta função não tem extremos relativos.

Portanto, uma função não precisa ter extremos relativos, como este exemplo mostrou.

Novamente, não estamos restringindo o domínio desta vez, então aqui está o gráfico.

Nesse caso, a função não tem extremos relativos e absolutos.

Como vimos no exemplo anterior, as funções não precisam ter nenhum tipo de extremo, relativo ou absoluto.

Não restringimos o domínio para esta função. Aqui está o gráfico.

Coseno tem extremos (relativos e absolutos) que ocorrem em muitos pontos. O cosseno tem máximos relativos e absolutos de 1 em

[x = ldots - 4 pi, , - 2 pi, , , 0, , , 2 pi, , , 4 pi, ldots ]

O cosseno também tem mínimos relativos e absolutos de -1 em

[x = ldots - 3 pi, , - pi, , , pi, , , 3 pi, ldots ]

Como este exemplo mostrou, um gráfico pode de fato ter extremos ocorrendo em um grande número (infinito neste caso) de pontos.

Já trabalhamos com alguns exemplos e podemos usar esses exemplos para ver um bom fato sobre extremos absolutos. Primeiro, vamos notar que todas as funções acima eram funções contínuas. Em seguida, observe que toda vez que restringimos o domínio a um intervalo fechado (ou seja, o intervalo contém seus pontos finais), obtivemos máximos e mínimos absolutos. Finalmente, em apenas um dos três exemplos em que não restringimos o domínio, obtivemos um máximo absoluto e um mínimo absoluto.

Essas observações nos levam ao seguinte teorema.

Teorema de valor extremo

Suponha que (f left (x right) ) seja contínuo no intervalo ( left [ right] ) então há dois números (a le c, d le b ) de modo que (f left (c right) ) é um máximo absoluto para a função e (f left (d right) ) é um mínimo absoluto para a função.

Então, se tivermos uma função contínua em um intervalo ( left [ right] ) então temos a garantia de ter um máximo absoluto e um mínimo absoluto para a função em algum lugar no intervalo. O teorema não nos diz onde eles ocorrerão ou se ocorrerão mais de uma vez, mas pelo menos nos diz que eles existem em algum lugar. Às vezes, tudo o que precisamos saber é que eles existem.

Este teorema não diz nada sobre extremos absolutos se não estivermos trabalhando em um intervalo. Vimos exemplos de funções acima que tinham extremos absolutos, um extremo absoluto e nenhum extremo absoluto quando não nos restringíamos a um intervalo.

O requisito de que uma função seja contínua também é necessário para que possamos usar o teorema. Considere o caso de

Esta função não é contínua em (x = 0 ) conforme avançamos em direção a zero, a função está se aproximando do infinito. Portanto, a função não possui um máximo absoluto. Observe que, no entanto, ele tem um mínimo absoluto. Na verdade, o mínimo absoluto ocorre duas vezes em (x = - 1 ) e (x = 1 ).

Se mudássemos um pouco o intervalo para dizer,

a função agora teria ambos extremos absolutos. Só podemos ter problemas se o intervalo contiver o ponto de descontinuidade. Se não, então o teorema será válido.

Devemos também apontar que só porque uma função não é contínua em um ponto, isso não significa que ela não terá ambos os extremos absolutos em um intervalo que contém esse ponto. Abaixo está o gráfico de uma função que não é contínua em um ponto no intervalo dado e ainda tem ambos extremos absolutos.

Este gráfico não é contínuo em (x = c ), embora tenha um máximo absoluto ( (x = b )) e um mínimo absoluto ( (x = c )). Observe também que, neste caso, um dos extremos absolutos ocorreu no ponto de descontinuidade, mas não é necessário. O mínimo absoluto poderia facilmente estar no outro ponto final ou em algum outro ponto no interior da região. O ponto aqui é que este gráfico não é contínuo e ainda assim tem ambos extremos absolutos

O ponto de tudo isso é que precisamos ter cuidado para usar apenas o Teorema do Valor Extremo quando as condições do teorema forem atendidas e não interpretar mal os resultados se as condições não forem atendidas.

Para usar o Teorema de Valor Extremo, devemos ter um intervalo que inclua seus pontos finais, geralmente chamado de intervalo fechado, e a função deve ser contínua nesse intervalo. Se não tivermos um intervalo fechado e / ou a função não for contínua no intervalo, a função pode ou não ter extremos absolutos.

Precisamos discutir um tópico final nesta seção antes de passar para a primeira aplicação principal da derivada que veremos neste capítulo.

Teorema de Fermat

Se (f left (x right) ) tem um extremo relativo em (x = c ) e (f ' left (c right) ) existe, então (x = c ) é um ponto crítico de (f left (x right) ). Na verdade, será um ponto crítico tal que (f ' left (c right) = 0 ).

Para ver a prova desse teorema, consulte a seção Provas de aplicativos derivados do capítulo Extras.

Observe também que podemos dizer que (f ' left (c right) = 0 ) porque também estamos assumindo que (f' left (c right) ) existe.

Este teorema nos diz que existe uma boa relação entre extremos relativos e pontos críticos. Na verdade, nos permitirá obter uma lista de todos os extremos relativos possíveis. Visto que um extremo relativo deve ser um ponto crítico, a lista de todos os pontos críticos nos dará uma lista de todos os extremos relativos possíveis.

Considere o caso de (f left (x right) = ). Vimos que essa função tinha um mínimo relativo em (x = 0 ) em vários exemplos anteriores. Portanto, de acordo com o teorema de Fermat (x = 0 ) deve ser um ponto crítico. A derivada da função é,

Com certeza (x = 0 ) é um ponto crítico.

Tenha cuidado para não fazer mau uso deste teorema. Não quer dizer que um ponto crítico será um extremo relativo. Para ver isso, considere o seguinte caso.

[f left (x right) = hspace <0.25in> hspace <0.25in> f ' left (x right) = 3]

Claramente (x = 0 ) é um ponto crítico. No entanto, vimos em um exemplo anterior que essa função não tem extremos relativos de qualquer tipo. Portanto, os pontos críticos não precisam ser extremos relativos.

Observe também que este teorema não diz nada sobre extremos absolutos. Um extremo absoluto pode ou não ser um ponto crítico.

Antes de sairmos desta seção, precisamos discutir algumas questões.

Primeiro, o Teorema de Fermat só funciona para pontos críticos em que (f ' left (c right) = 0 ). Isso não significa, no entanto, que extremos relativos não ocorrerão em pontos críticos onde a derivada não existe. Para ver isso, considere (f left (x right) = left | x right | ). Esta função claramente tem um mínimo relativo em (x = 0 ) e ainda na seção anterior mostramos em um exemplo que (f ' left (0 right) ) não existe.

O que tudo isso significa é que, se quisermos localizar extremos relativos, tudo o que realmente precisamos fazer é olhar para os pontos críticos, pois esses são os locais onde podem existir extremos relativos.

Finalmente, lembre-se de que naquele início da seção afirmamos que extremos relativos não existirão nos pontos finais do intervalo que estamos olhando. A razão para isso é que, se permitirmos que extremos relativos ocorram lá, pode muito bem (e de fato na maioria das vezes) violar o teorema de Fermat. Não há razão para esperar que os pontos finais dos intervalos sejam pontos críticos de qualquer tipo. Portanto, não permitimos que extremos relativos existam nas extremidades dos intervalos.


Como você exclui números na notação de intervalo?

Por exemplo, tome f (x) = x + 2x & menos3. Podemos ver que seu domínio é todos os números reais exceto 3. Em notação de intervalo que está escrito (& menos & infin, 3) & xícara (3, & infin). Não é tão fácil ver o que o alcance devemos ser.

Também se pode perguntar: o que é um exemplo de notação de intervalo? Notação de intervalo. UMA notação por representar um intervalo como um par de números. Os números são os pontos finais do intervalo. Parênteses e / ou colchetes são usados ​​para mostrar se os pontos finais foram excluídos ou incluídos. Para exemplo, [3, 8) é o intervalo de números reais entre 3 e 8, incluindo 3 e excluindo 8.

Correspondentemente, como você escreve todos os números reais, exceto 0 na notação de intervalo?

Um conjunto incluindo todos os números reais exceto um único número. Por exemplo, podemos expressar o conjunto, 0>, usando notação de intervalo como, (& menos & infin, 0) &copo (0, & infin).


Exemplos

Esta seção contém alguns exemplos de problemas envolvendo desigualdades que podem surgir

Resolva as seguintes desigualdades 1) 3 x + 5 & # x2264 6 x + 14

Ao resolver desigualdades, às vezes é necessário que a resposta final seja em notação de intervalo. Para este problema que é [& # x2212 3, & # x221E)

2) Aqui podemos resolver cada desigualdade individualmente, e x deve satisfazer ambas as desigualdades. Assim, temos que resolver & # x2212 3 & lt 2 x + 5 & # xA0and & # xA0 2 x + 5 & # x2264 10 < displaystyle -3 & lt2x + 5 < text > 2x + 5 leq 10>

Para o primeiro, obtemos -8 & lt 2x e -4 & lt x. Para o último temos 2 x & # x2264 5 & # xA0and & # xA0 x & # x2264 5 2 < displaystyle 2x leq 5 < text > x leq < frac <5> <2>> >

3) Para este problema, precisamos que o numerador e o denominador sejam ambos positivos ou negativos. Portanto, queremos resolver quando 3x - 5 & gt 0. Observe que não incluímos 3x - 5 = 0, pois não podemos dividir por 0. Resolvendo essa desigualdade encontramos x & gt 5 3 < displaystyle x & gt < frac <5> < 3 >>>. Na notação de intervalo, temos (5 3, & # x221E) < displaystyle (< frac <5> <3>>, infty)>


Como escrever a notação de intervalo de soluções para desigualdades:

Passo 1. Represente graficamente o conjunto de soluções na reta numérica. Use um ponto aberto () no (s) ponto (s) limite excluído (s) na solução. Use um ponto fechado (●) no (s) ponto (s) limite incluído (s) na solução.

Passo 2. Escreva a notação de intervalo começando com o limite inferior e depois com o limite superior. Usar quadrado colchetes ([ ]) para indicar o inclusão dos limites da solução, ou parênteses ( ) para indicar seu exclusão.

NOTA: Os infinitos (-∞, + ∞) estão sempre entre parênteses. Além disso, os conjuntos de soluções podem ter um colchete e um parêntese em cada lado, dependendo da inclusão ou exclusão dos limites.

Por exemplo, olhe para a imagem abaixo.

x & gt 4
Solução:
Passo 1.
Represente graficamente a solução. Use um ponto aberto em 4 e sombreie todos os números reais maiores que 4. Coloque o infinito positivo acima para indicar que o conjunto de solução é ilimitado à direita da reta numérica (ou todos os números reais positivos).
Passo 2. Escreva a notação de intervalo usando um parêntese porque o limite inferior (4) não está incluído e, em seguida, coloque o infinito positivo como o limite superior, que é automaticamente colocado entre parênteses.
Notação de intervalo: (4, + ∞)

x ≤ 4
Solução:
Passo 1. Represente graficamente a solução. Use um ponto fechado em 4 e sombreie todos os números reais abaixo de 4, incluindo 4. Coloque o infinito negativo acima para indicar que o conjunto de solução é ilimitado à esquerda da reta numérica (ou todos os números reais negativos).
Passo 2. Escreva a notação de intervalo. Use um parêntese com o limite inferior (-∞) e um colchete com o limite superior (4).
Notação de intervalo: (-∞, 4]


Breve introdução à álgebra online

Notação de intervalo

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Uma planilha de álgebra é um método excelente para desenvolver suas habilidades matemáticas e também uma maneira de fazer um teste futuro de matemática ou obter algumas dicas úteis de álgebra. As planilhas de álgebra geralmente consistem em centenas de problemas e equações que você pode utilizar para verificar por conta própria. Geralmente, o site que fornece as planilhas de álgebra certamente avaliará suas respostas para você ou oferecerá um segredo de resposta.

Para ferramentas de software de álgebra que ajudarão a corrigir fórmulas de álgebra, calculadoras de álgebra podem ser a resposta que você está procurando.


Pesquisa de Álgebra e Probabilidade: MAT 101

Quando resolvemos uma equação, encontramos um único valor para nossa variável. Com as desigualdades, daremos uma gama de valores para nossa variável. Para fazer isso, não usaremos um sinal de igual, mas um dos seguintes símbolos:

WeBWorK: Inserindo Símbolos de Desigualdade.

Digite os dois símbolos juntos:

& gt = para ( geq ) (maior ou igual a)

& lt = para ( leq ) (menor ou igual a)

A expressão (x lt 4 ) significa que nossa variável (x ) pode ser qualquer número menor que (4 ), como (- 2, 0, 3, 3,9 ) ou mesmo (3,999999999 ) contanto que seja menor que (4 text <.> ) Em outras palavras, (x lt 4 ) é o conjunto de todos os números menores que (4 text <.> ) 4 NÃO é menor que 4. Escrevemos (4 n menos 4 text <.> ) No entanto (4 ) É menor ou igual a (4 text <.> ) Escrevemos (4 leq 4 text <.> )

A expressão (y geq -2, ) significa que a variável (y ) pode ser qualquer número maior ou igual a (- 2, ) como (5, 0, -1, -1,9999 , ) ou mesmo (- 2 text <.> ) Em outras palavras, (x geq -2 ) é o conjunto de todos os números maiores ou iguais a (- 2 text <.> )

Muitas vezes é útil traçar uma imagem das soluções para a desigualdade em uma reta numérica. Começaremos a partir do valor do problema e colocaremos em negrito a parte inferior da linha numérica se a variável for menor que o número e em negrito a parte superior da linha numérica se a variável for maior. O valor em si marcaremos com um círculo aberto ou fechado: aberto para menor ou maior que e um círculo fechado para menor ou igual ou maior ou igual a.

Uma vez que o gráfico é desenhado, podemos convertê-lo rapidamente no que é chamado. A notação de intervalo fornece dois números, o primeiro é o menor valor (mais à esquerda na linha do número), o segundo é o maior valor (mais à direita da linha do número). Usaremos colchetes se a desigualdade incluir ou igual a (portanto, ( leq ) ou ( geq )). Usaremos colchetes se a desigualdade for estritamente menor ou maior que (portanto, ( lt ) ou ( gt )). Se não houver valor maior, podemos usar ( infty ) (infinito). Se não houver o menor valor, podemos usar (- infty ) (infinito negativo). Se usarmos infinito positivo ou negativo, sempre usaremos um colchete ao lado do símbolo.

Exemplo 2.B.1. Relacionando uma Desigualdade, Gráfico e Intervalo.

Represente graficamente a inequação (x geq 4 ) e dê a notação de intervalo.

Comece em (4 ) e sombreie à direita. Use um círculo fechado para maior ou igual a.

Notação de intervalo: ([4, infty) checkmark )

WeBWorK: Entrando em intervalos.

Digite [4, inf) para o intervalo ([4, infty) text <.> )

Exemplo 2.B.2. Relacionando uma Desigualdade, Gráfico e Intervalo.

Represente graficamente a inequação (x lt -4 ) e dê a notação de intervalo.

Comece em (- 4 ) e sombreie à esquerda. Use um círculo aberto por menos de.

Notação de intervalo: ((- infty, -4) checkmark )

WeBWorK: Inserindo um símbolo de infinito.

Digite (-inf, -4) para o intervalo ((- infty, -4) text <.> )

Exemplo 2.B.3. Relacionando uma Desigualdade, Gráfico e Intervalo.

Represente graficamente a inequação (- 3 lt x lt 1 ) e dê a notação de intervalo.

Comece em (- 3 ) e sombreie à direita para (1 text <.> ) Use círculos abertos em ambas as extremidades por menos de.

Notação de intervalo: ((- 3, -1) marca de seleção )

Subseção 2.B.2 Desigualdades Lineares

Resolver desigualdades é muito semelhante a resolver equações, com uma exceção. Para entender a exceção, considere as ferramentas que usamos para resolver uma equação: somar / subtrair, multiplicar / dividir os números em ambos os lados da equação para isolar a variável. Consideramos a desigualdade (1 lt 3 ) e observamos o que acontece com o sinal de desigualdade conforme adicionamos, subtraímos, multiplicamos e dividimos por números positivos e negativos.


Notação de intervalo

Os matemáticos frequentemente querem falar sobre intervalos de números reais, como “todos os números reais entre (1 ) e (2 )”, sem mencionar uma variável. Como exemplo, “O intervalo da função (f: x mapsto sin x ) são todos os números reais entre (- 1 ) e (1 )”.

Uma notação compacta frequentemente usada para esses intervalos de números reais é a seguinte:

((1,2) ) significa todos os números reais entre (1 ) e (2 ), excluindo os pontos finais

([1,2] ) significa todos os números reais entre (1 ) e (2 ), incluindo os pontos finais

Também podemos escrever esses intervalos usando a notação de conjunto como () e () respectivamente.

Se necessário, também podemos misturar os dois tipos de colchetes, então ((1,2] ) significa o intervalo () e ([1,2) ) significa () .

O intervalo "todos os números reais maiores que (- 5 )" é escrito como ((- 5, infty) ), e "todos os números reais menores ou iguais a (7 )" é escrito como ((- infty, 7] ). Isso não significa que ( infty ) seja um número, é apenas uma abreviação conveniente.

Embora a notação ((1,2) ) seja exatamente a mesma que a notação para coordenadas, as duas raramente são confundidas porque o contexto deixará claro o que significa.


Assista o vídeo: Czym jest potęga o wykładniku ujemnym? #2 Notacja wykładnicza (Outubro 2021).