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8.1: Adição e subtração polinomial (e combinação de termos semelhantes)


8.1: Adição e subtração polinomial (e combinação de termos semelhantes)

Adição e subtração de polinômios

Diferentes operações podem ser realizadas nos polinômios, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Um polinômio é uma expressão dentro da qual um número finito de constantes e variáveis ​​são combinados usando adição, subtração, multiplicação e expoentes. Adicionar e subtrair polinômios é apenas adicionar e subtrair seus termos semelhantes. A soma de dois monômios é chamada de binômio e a soma de três monômios é chamada de trinômio. A soma de um número finito de monômios em x é chamada de polinômio em x. Os coeficientes dos monômios em um polinômio são chamados de coeficientes do polinômio. Se todos os coeficientes de um polinômio são zero, então o polinômio é chamado de polinômio zero. Várias operações podem ser feitas com polinômios.

Esses são os termos cujas variáveis, assim como o expoente, são iguais.

Exemplo: x -2x 7x são todos os termos semelhantes porque as variáveis ​​são todas x.

Exemplo: x -2y 5xy não são como os termos porque as variáveis ​​são diferentes.


Recursos matemáticos do PCC SLC

Vou começar esta discussão com uma analogia reversa - isto é, vou apresentar a analogia antes de dizer para que é uma analogia. Aqui está a analogia:

Bill e Todd vão morar juntos. Bill e Todd gostam muito de fotos emolduradas de cachorros. Bill traz para o novo apartamento (7 ) fotos emolduradas com apenas um cachorro e (4 ) fotos emolduradas com dois cães. Todd traz para o apartamento (2 ) fotos emolduradas que têm apenas um cachorro e (10 ​​) fotos emolduradas que têm dois cães. Aqui está uma pergunta para você: entre os dois, quantas fotos emolduradas têm apenas um cachorro e quantas fotos emolduradas têm dois cachorros?

Essa situação é qualquer analogia para este problema de álgebra: Determine a seguinte soma:

Na analogia, (x ) está representando uma imagem com apenas um cachorro e (x ^ 2 ) está representando uma imagem que tem dois cães. Entre Bill e Todd, eles têm um total de (9 ) fotos com apenas um cachorro e um total de (14 ) fotos com dois cães. Da mesma forma, a soma algébrica é simplificada da seguinte maneira.

No cenário da foto, estamos basicamente contando como objetos adicionando o número de fotos de um cachorro ( (7 + 2) ) e, em seguida, adicionando o número de fotos com dois cães ( (4 + 10 )). Estamos fazendo a mesma coisa no cenário algébrico, neste caso os dois tipos de objetos são (x ) e (x ^ 2 text <,> ) e estamos adicionando os coeficientes em cada tipo de objeto.

(7x ) e (2x ) são chamados de termos semelhantes como são (4x ^ 2 ) e (10x ^ 2 text <.> ) Termos polinomiais semelhantes são termos que têm exatamente as mesmas variáveis, e qualquer variável que aparece tem o mesmo expoente em todos os termos semelhantes. Como não escrevemos o expoente em termos lineares ou constantes, é esclarecedor afirmar que todos os termos constantes são como termos com todos os outros termos constantes e todos os termos lineares de uma determinada variável são como termos de todos os outros termos lineares da mesma variável. Vamos ver alguns exemplos.


Adição e subtração de polinômios

A soma de dois números específicos pode ser escrita como um terceiro número específico. Dados os números específicos 2 e 3, podemos escrever sua soma como 2 + 3 ou 5.

A soma dos números literais aeb pode ser simplesmente indicada como a + b. O a e b são chamados termos da soma.

Os termos que têm fatores literais idênticos são chamados termos como: 2abc, 3bac, - 10cba são termos semelhantes. Por outro lado, 2abc e 3abd são ao contrário dos termos, uma vez que 2abc tem c como fator, enquanto 3abd não. Os coeficientes numéricos dos termos não afetam se os termos são semelhantes ou não.

Quando os termos a serem adicionados são termos semelhantes, como 5a e 7a, a soma 5a + 7a pode ser simplificada pelo uso da lei distributiva da multiplicação.

Usando a lei distributiva da multiplicação, temos

É importante perceber que

e 5a - 3a = (5-3) a = 2a (não apenas 2)

Quando adicionamos polinômios, combinamos apenas termos semelhantes nos polinômios

Vamos ver como nosso solucionador polinomial simplifica esse e outros problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos resolvidos passo a passo.

Exemplo Adicione 3a - 5b e - 2a + 2b

Solução (3a - 5b) + (-2a + 3b) = 3a - 5b - 2a + 3b

Exemplo Adicione 3a - 2b + c e 6a + 4b - 5c

Solução (3a + 2b + c) + (6a + 4b -5c) = 3a - 2b + c + 6a + 4b -5c

Uma maneira fácil de encontrar a soma dos polinômios é escrever os polinômios em linhas um abaixo do outro, de modo que termos semelhantes fiquem na mesma coluna. Isso é semelhante à adição de

Números específicos, quando escrevemos números específicos em linhas de modo que as unidades. dezenas, centenas e assim por diante estão em colunas separadas.

Exemplo Encontre a soma dos seguintes polinômios

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp (2ab - 6c + d) + (3c - 5d) + (2d - 4ab + 4c) = -2ab + c - 2d

Vamos ver como nosso solucionador polinomial mostra todas as etapas de solução para este e outros problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

Subtração de polinômios

Na linguagem algébrica, simbolizamos o subtração de b de a por a - b, que é o mesmo que a + (-b). Isso é. para subtrair b de a, adicionamos o inverso aditivo (o negativo) de b a a.

O inverso aditivo de + 6x é - 6x. Ou seja, - (+ 6x) = - 6x.

O inverso aditivo de - 10y é + 10y. Ou seja, - (-10y) = + 10y

Quando os termos a serem subtraídos são semelhantes aos termos. a diferença pode ser simplificada usando a lei distributiva da multiplicação.

Exemplo 1. Subtraia (3a) de (8a)

Para subtrair um polinômio, chamado de subtraendo, de outro polinômio, chamado de minuendo, adicione o minuendo ao inverso aditivo do subtraendo e combine termos semelhantes.

O inverso aditivo de um polinômio é o inverso aditivo de cada termo no polinômio.

Subtração de polinômios

O inverso aditivo de 5a - 6b + 8 é -5a + 6b -8 Ou seja,

Exemplo Subtrair (3a - 5b) de (6a - 7b)

Solução (6a - 7b) - (3a - 5b) = 6a - 7b - 3a + 5b

Vamos ver como nosso solucionador polinomial simplifica esse problema passo a passo. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

Exemplo Subtrair (3a - 2b + 5) de (8a + 6b -2)

Solução (8a + 6b -2) - (3a -2b +5) = 8a + 6b -2 -3a + 2b -5

Podemos subtrair polinômios de forma mais simples, escrevendo-os em linhas. Escreva o minuendo na primeira linha e o subtraendo na segunda linha, de modo que termos semelhantes fiquem na mesma coluna. O inverso aditivo de um polinômio é o mesmo polinômio com os sinais dos termos alterados. Assim, mudamos os sinais de cada termo no subtraendo. escreva os novos sinais em círculos acima dos sinais originais e adicione termos semelhantes usando os novos sinais.

Exemplo De 7ab -2c +8 subtrair 8ab -5c +4

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

Vamos ver como nosso simplificador polinomial mostra soluções passo a passo para este e outros problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

Exemplo Subtraia 2x - 3y - 6 de 4x - 3y +10

Como 0, y = 0, esse termo tem que ser escrito.

Exemplo Subtraia 6ab + 2c -4 de 8ab -2b +3

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp


8.1: Adição e subtração polinomial (e combinação de termos semelhantes)

Adicionando e subtraindo polinômios

· Encontre o oposto de um polinômio.

Somando e subtraindo polinômios pode parecer complicado, mas realmente não é muito diferente da adição e subtração que você faz todos os dias. A principal coisa a lembrar é procurar e combinar termos como.

Você pode adicionar dois (ou mais) polinômios à medida que adicionou expressões algébricas. Você pode remover os parênteses e combinar termos semelhantes.

Adicionar. (3b + 5) + (2b + 4)

(3b + 5) + (2b + 4) = 5b + 9

Um jardim retangular tem um lado com um comprimento de x + 7 e outro com comprimento 2x + 3. Encontre o perímetro do jardim.

(x + 7) + (2x + 3) + (x + 7) + (2x + 3)

O perímetro de um retângulo é a soma de seus comprimentos laterais.

(x + 2x + x + 2x) + (7 + 3 + 7 + 3)

Reagrupe por termos semelhantes usando propriedades comutativas e associativas.

O perímetro é 6x + 20.

O procedimento é o mesmo quando você adiciona polinômios que contêm coeficientes negativos ou subtração:

Adicionar. (-5x 2 – 10x + 2) + (3x 2 + 7x - 4)

-5x 2 + (-10x) + 2 + 3x 2 + 7x + (-4)

Reescreva a subtração como adição do oposto.

(-5x 2 + 3x 2 ) + (-10x + 7x) + (2 – 4)

Reagrupe usando propriedades comutativas e associativas.

(−5x 2 – 10x + 2) + (3x 2 + 7x - 4) = −2x 2 – 3x – 2

Os exemplos acima mostram a adição de polinômios horizontalmente, lendo da esquerda para a direita ao longo da mesma linha. Algumas pessoas gostam de organizar seu trabalho verticalmente, porque acham mais fácil ter certeza de que estão combinando termos semelhantes. O exemplo abaixo mostra este método “vertical” de adição de polinômios:

Adicionar. (3x 2 + 2x - 7) + (7x 2 - 4x + 8)

Escreva um polinômio abaixo do outro, certificando-se de alinhar os termos semelhantes.

Combine os termos semelhantes, prestando muita atenção aos sinais.

(3x 2 + 2x - 7) + (7x 2 - 4x + 8) = 10x 2 – 2x + 1

Às vezes, em uma disposição vertical, você pode alinhar todos os termos abaixo de um termo semelhante, como no exemplo acima. Mas às vezes não é tão organizado. Quando não houver um termo igual para cada termo, haverá lugares vazios na organização vertical.

Adicionar. (4x 3 + 5x 2 – 6x + 2) + (−4x 2 + 10)

Escreva um polinômio abaixo do outro, alinhando os termos semelhantes verticalmente.

Deixe um espaço em branco acima ou abaixo de cada termo sem um termo correspondente.

Combine os termos semelhantes, prestando muita atenção aos sinais.

(4x 3 + 5x 2 – 6x + 2) + (−4x 2 + 10) = 4x 3 + x 2 – 6x + 12

(4uma 2 + 5uma + 7) + (8uma + 2)

A) 9uma 2 + 8uma + 9

C) 12uma 2 + 5uma + 9

D) 4uma 2 + 13uma + 9

A) 9uma 2 + 8uma + 9

Incorreta. 4uma 2 e 5uma não podem ser combinados porque não são termos semelhantes. Reagrupe por termos semelhantes para obter 4uma 2 + (5uma + 8uma) + (7 + 2). A resposta correta é 4uma 2 + 13uma + 9.

Incorreta. Você deve primeiro reagrupar por termos semelhantes antes de adicionar coeficientes. O reagrupamento dá 4uma 2 + (5uma + 8uma) + (7 + 2). A resposta correta é 4uma 2 + 13uma + 9.

C) 12uma 2 + 5uma + 9

Incorreta. Você não pode combinar 4uma 2 e 8uma porque eles não são como termos. Reagrupar por termos semelhantes para obter 4uma 2 + (5uma + 8uma) + (7 + 2). A resposta correta é 4uma 2 + 13uma + 9.

D) 4uma 2 + 13uma + 9

Correto. Reagrupe por termos semelhantes para obter 4uma 2 + (5uma + 8uma) + (7 + 2), que é 4uma 2 + 13uma + 9.

Encontrando o Oposto de um Polinômio

Ao subtrair polinômios, você adicionará o oposto, como fez com os números reais. Então, como você encontra o oposto de um polinômio? Lembre-se de que o oposto de 3 é - 3, e o oposto de - 3 é 3. Assim como o oposto de um número é encontrado multiplicando o número por - 1, podemos encontrar o oposto de um polinômio multiplicando-o por - 1 .

Encontre o oposto de 9x 2 + 10x + 5.

( − 1)(9x 2 + 10x + 5)

Encontre o oposto multiplicando por - 1.

( − 1)9x 2 + ( − 1)10x + ( − 1)5

Distribua - 1 para cada termo no polinômio.

− 9x 2 + (-10x) + ( − 5)

Multiplique cada coeficiente por - 1.

O oposto de 9x 2 + 10x + 5 é −9x 2 – 10x – 5.

Reescreva a adição de um termo negativo como subtração.

Tenha cuidado quando já houver valores negativos ou subtrações no polinômio.

Encontre o oposto de 3p 2 – 5p + 7.

Encontre o oposto multiplicando por -1.

Altere a subtração para adicionar o oposto.

(-1)3p 2 + (-1)(-5)p + (-1)7

Distribua -1 para cada termo no polinômio e multiplique cada coeficiente por -1.

Reescreva a adição de um termo negativo como subtração.

O oposto de 3p 2 – 5p + 7 é -3p 2 + 5p – 7.

Observe que, ao encontrar o oposto de um polinômio, você altera o sinal de cada termo no polinômio.

Encontre o oposto do polinômio.

A) -8uma 3 – 3uma – 2

C) 8uma 3 + 3uma + 2

D) -8uma 3 + 3uma + 2

A) -8uma 3 – 3uma – 2

Incorreta. Cada termo deve ter o sinal alterado. A resposta correta é -8uma 3 + 3uma + 2.

Incorreta. Cada termo deve ter o sinal alterado. A resposta correta é -8uma 3 + 3uma + 2.

C) 8uma 3 + 3uma + 2

Incorreta. Cada termo deve ter o sinal alterado. A resposta correta é -8uma 3 + 3uma + 2.

D) -8uma 3 + 3uma + 2

Correto. Cada termo deve ter o sinal alterado, então a resposta é -8uma 3 + 3uma + 2.

Subtraindo Polinômios

Assim como subtrair números reais é o mesmo que adicionar o oposto, você pode subtrair polinômios adicionando o oposto do segundo polinômio. Vejamos um exemplo:

Subtrair. (15x 2 + 12x + 20) – (9x 2 + 10x + 5)

(15x 2 + 12x + 20) + (-9x 2 – 10x – 5)

Altere a subtração para adicionar o oposto. Tome cuidado mudar o sinal de cada prazo!

(15x 2 + -9x 2 ) + (12x – 10x) + (20 – 5)

Reagrupe para corresponder aos termos semelhantes.

(15x 2 + 12x + 20) – (9x 2 + 10x + 5) = 6x 2 + 2x + 15

Quando os polinômios incluem muitos termos, pode ser fácil perder o controle dos sinais. Tenha cuidado para transferi-los corretamente, especialmente ao subtrair um termo negativo.

Subtrair. (14x 3 + 3x 2 – 5x + 14) – (7x 3 + 5x 2 – 8x + 10)

(14x 3 + 3x 2 – 5x + 14) + (-7x 3 – 5x 2 + 8x – 10)

Reescreva adicionando o oposto.

14x 3 + 3x 2 + (-5)x + 14 + (-7)x 3 + (-5)x 2 + 8x +(-10)

Você pode querer reescrever todas as subtrações adicionando o oposto.

14x 3 + (-7)x 3 + 3x 2 + (-5)x 2 + (-5)x + 8x + 14 + (-10)

Reagrupar para colocar termos semelhantes juntos.

7x 3 + (-2)x 2 + 3x + 4

(14x 3 + 3x 2 – 5x + 14) – (7x 3 + 5x 2 – 8x + 10) = 7x 3 – 2x 2 + 3x + 4

Problemas complexos, como o acima, podem ser resolvidos mais facilmente usando a abordagem vertical (mostrada abaixo). A escolha de combinar polinômios depende de você - o ponto principal é identificar os termos semelhantes e ser capaz de organizá-los com precisão.

Subtrair. (14x 3 + 3x 2 – 5x + 14) – (7x 3 + 5x 2 – 8x + 10)


Adicionando e subtraindo polinômios

Nessas lições, veremos como adicionar e subtrair polinômios.

O diagrama a seguir mostra exemplos de adição e subtração de polinômios. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções sobre como adicionar e subtrair polinômios.

Adicionando Polinômios

Adicionar polinômios envolve combinar termos semelhantes.

Exemplo:
Adicione os polinômios 5x - 2 + y e –3y + 5x + 2

Solução:
5x - 2 + y + (–3y + 5x + 2)
= 5x + 5x + y - 3y - 2 + 2
= 10x - 2y

Exemplo:
Encontre a soma de –7x 3 y + 4x 2 y 2 - 2 e 4x 3 y + 1 - 8x 2 y 2

Solução:
–7x 3 a + 4x 2 a 2 - 2 + 4x 3 a + 1 - 8x 2 a 2
= –7x 3 y + 4x 3 y + 4x 2 y 2 - 8x 2 y 2 - 2 + 1
= –3x 3 y - 4x 2 y 2 - 1

Subtraindo Polinômios

Para subtrair polinômios, lembre-se de distribuir o sinal - em todos os termos entre parênteses.

Exemplo:
Simplifique –4x + 7 - (5x - 3)

Solução:
–4x + 7 - (5x - 3)
= –4x + 7 - 5x + 3
= –9x + 10

Exemplo:
Simplifique (5x 2 + 2) - (- 4x 2 + 7) + (- 3x 2 - 5)

Solução:
(5x 2 + 2) - (- 4x 2 + 7) + (- 3x 2 - 5)
= 5x 2 + 2 + 4x 2 - 7 - 3x 2 - 5
= 5x 2 + 4x 2 - 3x 2 + 2 - 7 - 5
= 6x 2 - 10

Como adicionar e subtrair polinômios?

  1. (4x 2 + 8x - 7) + (2x 2 - 5x - 12)
  2. (5 + 24y 3 - 7y 2) + (-6y 3 + 7y 2 + 5)
  3. (t 2 - t + 5) + (7t 2 - 4t - 20)

Para transformar subtração em adição, devemos adicionar o oposto, ou inverso aditivo. 2. Combine termos semelhantes. 3. Escreva em ordem decrescente.

  1. (4x 2 + 8x - 7) - (2x 2 - 5x - 12)
  2. (6x 4 + 3x 3 - 1) - (4x 3 - 5x + 9)
  3. (1,5y 3 + 4,8y 2 + 12) - (y 3 - 1,7y 2 + 2y)

Exemplos de adição e subtração de polinômios

Adicionando e subtraindo polinômios

Adicionar polinômios e subtrair polinômios é essencialmente combinar termos semelhantes de expressões polinomiais. Ao adicionar e subtrair polinômios, eles podem ser organizados verticalmente ou agrupados de acordo com o grau. Um conhecimento do vocabulário polinomial é importante antes de adicionar e subtrair polinômios. Multiplicar monômios e binômios é outro tipo de operação com polinômios.

  1. (4x 2 - 3x + 2) + (5x 2 + 2x - 7)
  2. (5x 3 + 7x 2 - x) + (8x 3 + 4x - 5)
  3. (8x 2 + 2x) - (10x 2 + 2x - 9)
  4. - (6x 3 - 4x) - (2x 3 + x 2 -2x)

Adicionando e subtraindo polinômios

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10.4 Trabalho com colchetes em expressões algébricas

Às vezes, usamos colchetes para agrupar termos em expressões algébricas.

Se substituirmos o por, da mesma maneira:

Podemos usar a adição repetida para calcular qualquer multiplicação, então:

Precisamos remover os colchetes antes de coletar os termos semelhantes e simplificar a expressão:

começar & amp phantom <000> 2 vezes (x + y) & amp = (x + y) + (x + y) & amp = x + y + x + y & amp = x + x + y + y & amp = 2x + 2y end

Exemplo trabalhado 10.7: Removendo colchetes usando adição repetida

. Substitua por. Em seguida, remova os colchetes e simplifique a expressão.

Passo 2: Use a adição repetida para calcular esta multiplicação.

começar & amp phantom <000> 4 vezes (a + b) & amp = (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b) end

Etapa 3: remova os suportes.

começar & amp phantom <000> 4 vezes (a + b) & amp = (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b) & amp = a + b + a + b + a + b + a + b end

Etapa 4: colete os termos semelhantes e simplifique.

Exercício 10.6: Remova os colchetes e simplifique

Remova os colchetes usando adição repetida e simplifique.

Sinais negativos antes dos colchetes

Até agora só trabalhamos com colchetes que têm um sinal positivo na frente deles. Quando há um sinal negativo antes de um colchete, isso afeta todos os termos dentro do colchete.

Podemos simplificar da seguinte forma:

Portanto, se removermos um colchete com um sinal negativo na frente dele, mudamos os sinais de todos os termos dentro do colchete. aqui estão alguns exemplos:

Exemplo trabalhado 10.8: Removendo colchetes com sinais negativos na frente

Remova os colchetes e simplifique a seguinte expressão:

Etapa 1: use a adição repetida para calcular a multiplicação dos colchetes.

começar & amp phantom <000> 2 (4m + n) - (5m + 3n) & amp = (4m + n) + (4m + n) - (5m + 3n) end

Etapa 2: Remova os suportes. Se houver um sinal negativo na frente de um colchete, altere os sinais de todos os termos dentro do colchete.

começar & amp phantom <000> 2 (4m + n) - (5m + 3n) & amp = (4m + n) + (4m + n) - (5m + 3n) & amp = 4m + n + 4m + n -5m-3n end

Etapa 3: colete os termos semelhantes e simplifique.

Exercício 10.7: Remova os colchetes com sinais negativos e simplifique

Remova os colchetes e simplifique.

Quando mudamos os sinais dos termos dentro de um colchete que tem um sinal negativo na frente dele, na verdade, multiplicamos cada termo por 1. Você aprenderá mais sobre isso no próximo ano.


Como podemos adicionar polinômios?

A adição de polinômios é simples. Ao adicionar polinômios, simplesmente adicionamos termos semelhantes. Podemos usar colunas para combinar os termos corretos em uma soma complicada. Lembre-se de duas regras ao realizar a adição de polinômios.

  • Regra 1: Sempre tome os termos semelhantes juntos ao realizar a adição.
  • Regra 2: Os sinais de todos os polinômios permanecem os mesmos.

Por exemplo, adicione 2x 2 + 3x +2 e 3x 2 - 5x -1

  • Passo 1: Organizando o polinômio na forma padrão. Nesse caso, eles já estão em seus formulários padrão.
  • Passo 2: Termos semelhantes nos dois polinômios acima são:
    2x 2 e 3x 2 3x e -5x 2 e -1.
  • Etapa 3: Cálculos com sinais permanecendo os mesmos:

Termos semelhantes são termos cujas variáveis, junto com seus expoentes, são as mesmas. Por exemplo, 2x, 7x, -2x, etc. são todas variáveis ​​semelhantes.

Ao contrário dos termos

Diferentemente dos termos, os termos cujas variáveis, expoentes ou ambas as variáveis ​​e expoentes não são iguais. Por exemplo, 2, 7x 2, -2y 2, etc. são variáveis ​​diferentes.


61 Adicionar e subtrair polinômios

  1. Simplificar:
    Se você não percebeu este problema, revise (Figura).
  2. Subtrair:
    Se você não percebeu este problema, revise (Figura).
  3. Avalie: quando
    Se você não percebeu este problema, revise (Figura).

Identificar polinômios, monômios, binômios e trinômios

Em Avaliar, Simplificar e Traduzir Expressões, você aprendeu que um termo é uma constante ou o produto de uma constante e uma ou mais variáveis. Quando é da forma Onde é uma constante e é um número inteiro, é chamado de monômio. Um monômio, ou uma soma e / ou diferença de monômios, é chamado de polinômio.

polinômio - um monômio, ou dois ou mais monômios, combinados por adição ou subtração

monomial - Um polinômio com exatamente um termo

binomial - um polinômio com exatamente dois termos

trinomial - Um polinômio com exatamente três termos

Aqui estão alguns exemplos de polinômios:

Polinomial
Monômio
Binomial
Trinômio

Observe que todo monômio, binômio e trinômio também é um polinômio. Eles são membros especiais da família dos polinômios e, portanto, têm nomes especiais. Usamos as palavras 'monômio', 'binômio' e 'trinômio' quando nos referimos a esses polinômios especiais e apenas chamamos todos os demais de 'polinômios'.

Determine se cada polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio:

Polinomial Número de termos Modelo
3 Trinômio
1 Monômio
5 Polinomial
2 Binomial
1 Monômio

Determine se cada polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio.

Determine se cada polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio.

Determine o grau de polinômios

Nesta seção, trabalharemos com polinômios que possuem apenas uma variável em cada termo. O grau de um polinômio e o grau de seus termos são determinados pelos expoentes da variável.

Um monômio sem variável, apenas uma constante, é um caso especial. O grau de uma constante é —Não tem variável.

O grau de um termo é o expoente de sua variável.

O grau de uma constante é

O grau de um polinômio é o grau mais alto de todos os seus termos.

Vamos ver como isso funciona observando vários polinômios. Faremos isso passo a passo, começando com monômios e depois progredindo para polinômios com mais termos.

Lembre-se: qualquer base escrita sem um expoente tem um expoente implícito de

Encontre o grau dos seguintes polinômios:

O expoente de é um. O grau é 1.
O grau mais alto de todos os termos é 3. O grau é 3
O grau de uma constante é 0. O grau é 0.
O grau mais alto de todos os termos é 2. O grau é 2.
O grau mais alto de todos os termos é 1. O grau é 1.

Encontre o grau dos seguintes polinômios:

Encontre o grau dos seguintes polinômios:

Trabalhar com polinômios é mais fácil quando você lista os termos em ordem decrescente de graus. Quando um polinômio é escrito dessa maneira, diz-se que está no formato padrão. Olhe novamente para os polinômios na (Figura). Observe que todos eles estão escritos no formato padrão. Adquira o hábito de escrever o termo com o maior grau primeiro.

Adicionar e subtrair monômios

Em The Language of Algebra, você simplificou expressões combinando termos semelhantes. Adicionar e subtrair monômios é o mesmo que combinar termos semelhantes. Termos semelhantes devem ter a mesma variável com o mesmo expoente. Lembre-se de que, ao combinar termos semelhantes, apenas os coeficientes são combinados, nunca os expoentes.

Adicionar:

Combine termos semelhantes.

Adicionar:

Adicionar:

Subtrair:

Combine termos semelhantes.

Subtrair:

Subtrair:

Simplificar:

Combine termos semelhantes.

Lembrar, e não são como termos. As variáveis ​​não são as mesmas.

Adicionar:

Adicionar:

Adicionar e subtrair polinômios

Adicionar e subtrair polinômios pode ser considerado apenas adicionar e subtrair termos semelhantes. Procure termos semelhantes - aqueles com as mesmas variáveis ​​com o mesmo expoente. A propriedade comutativa nos permite reorganizar os termos para colocar termos semelhantes juntos. Também pode ser útil sublinhar, circular ou marcar termos semelhantes.

Encontre a soma:

Identifique termos semelhantes.
Reorganize para reunir os termos semelhantes.
Combine termos semelhantes.

Encontre a soma:

Encontre a soma:

Os parênteses são símbolos de agrupamento. Quando adicionamos polinômios como fizemos em (Figura), podemos reescrever a expressão sem parênteses e, em seguida, combinar termos semelhantes. Mas quando subtraímos polinômios, devemos ter muito cuidado com os sinais.

Encontre a diferença:

Distribua e identifique termos semelhantes.
Reorganize os termos.
Combine termos semelhantes.

Encontre a diferença:

Encontre a diferença:

Subtrair: a partir de

Distribua e identifique termos semelhantes.
Reorganize os termos.
Combine termos semelhantes.

Subtrair: a partir de

Subtrair: a partir de

Avalie um polinômio para um determinado valor

Em The Language of Algebra, avaliamos expressões. Como os polinômios são expressões, seguiremos os mesmos procedimentos para avaliar os polinômios - substitua o valor fornecido pela variável no polinômio e simplifique.

Avalie quando

Substituir 3 por
Simplifique a expressão com o expoente.
Multiplicar.
Simplificar.
Substituir -1 por
Simplifique a expressão com o expoente.
Multiplicar.
Simplificar.

Avalie: quando

Avalie: quando

O polinômio dá a altura de um objeto segundos depois de cair de um pé de ponte de altura. Encontre a altura depois segundos.

Substituir 3 por
Simplifique a expressão com o expoente.
Multiplicar.
Simplificar.

O polinômio dá a altura, em pés, de uma bola segundos depois de ser lançado ao ar, de uma altura inicial de pés. Encontre a altura depois segundos.

O polinômio dá a altura, em pés, de uma bola segundos depois de ser lançado ao ar, de uma altura inicial de pés. Encontre a altura depois segundos.


Assista o vídeo: Redução de termos semelhantes (Outubro 2021).