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Apêndice A: Diretrizes para escrever provas matemáticas


Uma das formas mais importantes de escrita matemática é escrever provas matemáticas. Essas diretrizes estão nas Seções 1.1, 1.2, 3.1, 3.2, 3.3 e 4.1.

A seguir está um resumo de todas as diretrizes de redação introduzidas no texto. Este resumo contém algumas convenções padrão que geralmente são seguidas ao escrever uma prova matemática.

  1. Conheça o seu público. Todo escritor deve ter uma ideia clara do público-alvo de um texto. Dessa forma, o redator pode fornecer a quantidade certa de informações no nível adequado de sofisticação para se comunicar com eficácia. Isso é especialmente verdadeiro para a escrita matemática. Por exemplo, se um matemático está escrevendo uma solução para um problema de livro didático para um manual de soluções para instrutores, a redação seria breve, com muitos detalhes omitidos. No entanto, se a redação fosse para um manual de solução dos alunos, mais detalhes seriam incluídos.
  2. Como exemplo, um exercício em um texto pode ser: “Prove que se (x ) é um inteiro ímpar, então (x ^ 2 ) é um inteiro ímpar.” Isso pode ser iniciado da seguinte maneira:

    Teorema. Se (x ) é um número inteiro ímpar, então (x ^ 2 ) é um número inteiro ímpar.
    Prova: Assumimos que (x ) é um número inteiro ímpar ....

  3. Comece a prova com uma declaração de suas suposições. Siga a declaração de suas suposições com uma declaração do que você irá provar.

    Prova. Assumimos que (x ) e (y ) são inteiros ímpares e provaremos que (x cdot y ) é um inteiro ímpar.

  4. Use o pronome “nós”. Se um pronome for usado em uma prova, a convenção usual é usar “nós” em vez de “eu”. A ideia é enfatizar que você e o leitor estão fazendo matemática juntos. Isso ajudará a encorajar o leitor a continuar trabalhando com a matemática. Observe que começamos a prova do Teorema 1.8 com "Assumimos que ..."
  5. Use itálico para variáveis ​​ao usar um processador de texto. Ao usar um processador de texto para escrever matemática, o processador de texto precisa ser capaz de produzir os símbolos e equações matemáticos apropriados. A matemática que é escrita com um processador de texto deve ser semelhante à matemática tipificada. Isso significa que as variáveis ​​precisam estar em itálico, negrito é usado para vetores e fonte regular é usada para termos matemáticos, como nomes de funções trigonométricas e funções logarítmicas.

    Por exemplo, não escrevemos sin x ou (sin x ). A maneira correta de escrever isso é sin (x ).

  6. Não use ( ast ) para multiplicação ou ˆ para expoentes. Deixe este tipo de notação para escrever código de computador. O uso desta notação dificulta a leitura por humanos. Além disso, evite usar / para divisão ao usar uma fração complexa.
    Por exemplo, é muito difícil de ler ((x ^ 3 - 3x ^ 2 + 1/2) / (2x / 3 - 7) ); a fração
    [ dfrac {x ^ 3 - 3x ^ 2 + dfrac {1} {2}} { dfrac {2x} {3} - 7} ]
    é muito mais fácil de ler.
  7. Use frases completas e estrutura de parágrafo adequada. A boa gramática é uma parte importante de qualquer escrita. Portanto, esteja em conformidade com as regras gramaticais aceitas. Preste muita atenção à estrutura das frases. Escreva provas usando frases completas mas evite frases contínuas. Além disso, não se esqueça da pontuação e sempre use um corretor ortográfico ao usar um processador de texto.
  8. Mantenha o leitor informado. Às vezes, um teorema é provado provando o contrapositivo ou usando uma prova por contradição. Se qualquer um dos métodos de prova for usado, isso deve ser indicado nas primeiras linhas da prova. Isso também se aplica se o resultado for ser provado usando indução matemática.

    Exemplo

    • Provaremos esse resultado provando a contraposição do enunciado.
    • Provaremos essa afirmação usando uma prova por contradição.
    • Assumiremos o contrário que ....
    • Usaremos indução matemática para provar este resultado.

    Além disso, certifique-se de que o leitor saiba o status de cada afirmação feita. Ou seja, certifique-se de que esteja claramente afirmado se uma asserção é uma suposição do teorema, um resultado comprovado anteriormente, um resultado conhecido ou algo do background matemático do leitor.

  9. Exiba equações e expressões matemáticas importantes. Equações e manipulações costumam ser parte integrante da exposição. Não escreva equações, manipulações algébricas ou fórmulas em uma coluna com os motivos dados em outra coluna (como geralmente é feito em textos de geometria). Devem ser apresentadas equações e manipulações importantes. Isso significa que eles devem ser centralizados com linhas em branco antes e depois da equação ou manipulações e, se um lado da equação não mudar, ela não deve ser repetida. Por exemplo,

    Usando álgebra, obtemos
    [ begin {array} {rcl} {x cdot y} & = & {(2m + 1) (2n + 1)} {} & = & {4mn + 2m + 2n + 1} { } & = & {2 (2mn + m + n) + 1.} end {array} ]
    Como (m ) e (n ) são inteiros, concluímos que ....

  10. Diretrizes para numeração de equações. Se for necessário referir-se a uma equação posteriormente em uma prova, essa equação deve ser centralizada e exibida, e deve receber um número. O número da equação deve ser escrito entre parênteses na mesma linha da equação na margem direita.

    Exemplo

    Uma vez que (x ) é um número inteiro ímpar, existe um número inteiro (n ) tal que
    [x = 2n + 1 ]

    Mais tarde na prova, pode haver uma linha como

    Então, usando o resultado da equação (A.3), obtemos ....

    Observe que devemos apenas numerar as equações às quais nos referiremos mais adiante na prova. Além disso, observe que a palavra “equação” não é maiúscula quando nos referimos a uma equação por número. Embora possa ser apropriado usar um “E” maiúsculo, a convenção usual em matemática é não capitalizar.

  11. Não use um símbolo matemático no início de uma frase.
    Por exemplo, não devemos escrever, “Seja (n ) um inteiro. (n ) é um número inteiro ímpar, desde que ... ”. Muitas pessoas acham isso difícil de ler e muitas vezes precisam relê-lo para entendê-lo. Seria melhor escrever, “Um inteiro (n ) é um inteiro ímpar desde que ...”.
  12. Use o inglês e minimize o uso de notação. Não use os símbolos especiais para quantificadores ( forall ) (para todos), ( existe ) (existe), ( backepsilon ) (tal que), ou ( portanto ) (portanto ) na escrita matemática formal. Freqüentemente, é mais fácil escrever e geralmente mais fácil ler se as palavras em inglês forem usadas no lugar dos símbolos. Por exemplo, por que fazer o leitor interpretar
    [( forall x in mathbb {R}) ( existe y in mathbb {R}) (x + y = 0) ]
    onde é possível escrever

    Para cada número real (x ), existe um número real (y ) tal que (x + y = 0 ), ou mais sucintamente (se apropriado)

    Cada número real tem um inverso aditivo.

  13. Diga ao leitor quando a prova for concluída. Talvez a melhor maneira de fazer isso seja dizer abertamente: "Isso completa a prova". Embora possa parecer repetitivo, uma boa alternativa é terminar uma prova com uma frase que declare precisamente o que foi provado. Em qualquer caso, geralmente é uma boa prática usar algum “símbolo de fim de prova” como ( blacksquare ).
  14. Mantenha simples. Freqüentemente, é difícil entender um argumento matemático, não importa o quão bem ele esteja escrito. Não deixe que sua escrita ajude a dificultar as coisas para o leitor. Use frases simples e declarativas e parágrafos curtos, cada um com um ponto simples.
  15. Escreva um primeiro rascunho de sua prova e, em seguida, revise-o. Lembre-se de que uma prova é escrita de forma que os leitores possam ler e entender o raciocínio na prova. Seja claro e conciso. Inclua detalhes, mas não divague. Não fique satisfeito com o primeiro rascunho de uma prova. Leia e refine-o. Assim como qualquer atividade que valha a pena, aprender a escrever bem matemática requer prática e muito trabalho. Isso pode ser frustrante. Todos podem ter certeza de que haverá algumas provas difíceis de construir, mas lembre-se de que as provas são uma parte muito importante da matemática. Portanto, trabalhe duro e divirta-se.

Descrição

Para cursos de um semestre em Transição para Matemática Avançada que enfatizam a construção e redação de provas matemáticas.

Com foco no desenvolvimento formal da matemática, este texto ensina os alunos a ler e compreender as provas matemáticas e a construir e escrever provas matemáticas. Desenvolvido como um texto para um requisito de curso de redação, as questões relacionadas à redação são abordadas diretamente e as práticas de boa redação são enfatizadas ao longo do texto. O aprendizado ativo é enfatizado com atividades de visualização para cada seção e atividades em cada seção que permitem que professores e alunos testem a compreensão e explorem ideias em um ambiente tradicional ou não letivo. A teoria elementar dos números e a aritmética de congruência são usadas em todo o livro.


Provas Matemáticas

  • Autor: Gary Chartrand
  • Editora:
  • Data de lançamento : 2013-11-01
  • Gênero: Matemática
  • Páginas : 418
  • ISBN 10: 1292040645

Provas matemáticas: uma transição para matemática avançada, terceira edição, prepara os alunos para os cursos de matemática mais abstratos que seguem o cálculo. Apropriado para estudo individual ou para uso em sala de aula, este texto apresenta aos alunos técnicas de prova, análise de provas e redação de suas próprias provas. Escrito em um estilo claro de conversação, este livro fornece uma introdução sólida a tópicos como relações, funções e cardinalidades de conjuntos, bem como os aspectos teóricos de campos como teoria dos números, álgebra abstrata e teoria dos grupos. É também um ótimo texto de referência que os alunos podem consultar ao escrever ou ler provas em seus cursos mais avançados.


Cada formato é baseado na seguinte estrutura. Porém, eles variam. Aprender a estrutura geral é o primeiro passo para aprender sobre este tópico. O apêndice APA e o formulário MLA são diferentes, mas seguem a mesma estrutura.

Cada apêndice deve conter:

  • Número ou letra do apêndice
  • Referências para os parágrafos do seu corpo.
  • Para referência ao seu apêndice, mas (#) após a frase.
  • Números de página para vários aplicativos
  • Rótulo + Título (centro da página, fontes normais em maiúsculas). O título é seguido estritamente pelo rótulo.
  • O cruzamento do Apêndice e do Texto do Corpo.
  • O parágrafo 1 não se destina.
  • O corpo do texto a seguir são os parágrafos 2 e 3.
  • Cada parágrafo é formatado com espaçamento duplo.
  • Caso seu apêndice contenha dados, inclua o número de referência no corpo do texto.
  • Se as referências usadas forem de fontes de terceiros, cite-as normalmente no apêndice e no corpo do texto. É uma má ideia criar uma lista de referência separada.

Provas de generalizações

Muitos teoremas são condicionais. Se for um condicional,

Analise a conclusão.

Traduzir novos termos da conclusão para termos mais primitivos (usando definições na forma de sentença)

"Traduza, trabalhe com os termos mais antigos, traduza de volta."

Se a forma traduzida se encaixa em uma de nossas equivalências lógicas, pode ser provado na forma alternativa, e freqüentemente é.
Se a própria conclusão for condicional, use "Uma hipótese na conclusão":

"H = & gt (A = & gt B)" é logicamente equivalente a "(A e H) = & gt B", onde "A" é dado intencionalmente primeiro. Normalmente, começar com "A" é uma boa ideia.

Exemplo:

Suponha que o problema seja provar que f (x) = 2x + 3 é um para um.

  1. Pesquise o que significa "um para um". "f é um-para-um iff f (x1) = f (x2) = & gt x1 = x2."
  2. Use a definição da forma de frase para substituir a frase por um novo termo com sua definição em termos mais primitivos.
  3. É uma condição, então comece com sua hipótese.
  4. Use uma prova de caso representativo e comece com "Let f (x1) = f (x2)."
  5. Trabalhe a partir daí, com a intenção de terminar com "x1 = x2."

Se uma prova direta não parece funcionar, tente usar a contrapositiva.

Se você não tem ideia de como fazer a prova, comece pelo lugar sugerido por nossas equivalências lógicas e veja aonde isso o leva.
Se não parece estar funcionando, a conjectura pode ser falsa.

Comece com um caso geral e arbitrário (não um caso construído).
Procure resultados anteriores que possam ser semelhantes e úteis.

Se a variável tiver um valor inteiro, a indução pode funcionar
Memorize e use definições em forma de frase. (Porque as provas são sequências de sentenças.)

As declarações de existência são geralmente provadas em duas etapas:

Exemplo:

Prove: Se y & gt 10 existe x & gt 5 tal que 2x & lt y.
É uma generalização, então comece com um caso representativo:
"Vamos & gt 10."
Agora se tornou uma prova de existência. Use o trabalho de rascunho para encontrar um x que tenha duas propriedades: 1) x & gt 5 e 2) 2x & lt y.
Prova: vamos & gt 10.
Escolha x = 5 + (y - 10) / 4. [Este é um candidato possível - não o único que funcionará.]
Uma vez que y & gt 10, x = 5 + (y - 10) / 4 & gt 5 [Isso fez uma propriedade]
Além disso, 2x = 2 (5 + (y - 10) / 4) = 10 + (y - 10) / 2 = 5 + y / 2 & lt y / 2 + y / 2 = y. [Isso faz a outra propriedade.]

Sobre uma conjectura:

Decida se é verdade. Experimente exemplos para testar sua veracidade. Procure possíveis contra-exemplos. Se você não conseguir encontrar um, procure uma prova.
Se for verdade, prove.
Se for falso, dê um contra-exemplo específico.
Os contra-exemplos devem atribuir valores específicos a todas as letras.
Contra-exemplos mais simples são melhores.
(porque são mais memoráveis ​​e têm maior probabilidade de ilustrar a ideia-chave sem complicações desnecessárias).

Quando você está preso:

  • Use as hipóteses. Se uma condicional for verdadeira, é provável que você precise usar todas as hipóteses.
  • Reveja as definições. Freqüentemente, a chave está em saber precisamente e então usar a definição de algum termo.
  • Se você tentar uma prova e não conseguir concluir uma etapa, procure um contra-exemplo em que essa etapa seja falsa.

Se você pretende afirmar que algo existe, mencione a existência explicitamente.

Provas de singularidade: Dê dois nomes à (s) coisa (s) e mostre que devem ser dois nomes para a mesma coisa.

Conselhos para problemas mais difíceis:
Se o problema for abstrato,
construa um exemplo simples (ênfase em "simples") para ter certeza de que sabe o que o problema diz.
Além disso, construa exemplos simples de resultados imediatamente anteriores para ter certeza de que sabe o que eles dizem.


Recursos

Fornece aos alunos exemplos de provas bem escritas e garante que cada prova apresentada seja escrita de acordo com as diretrizes introduzidas no cap. 1

Ajuda os alunos a organizar seus pensamentos para que possam escrever uma prova de maneira coerente que transmita uma compreensão da prova ao leitor.

Prepara alunos para participar na discussão do material em sala de aula. Habilita instrutores para atribuir explorações antes da aula para que os alunos estejam prontos para o novo material.

Permite que alunos e instrutores testem a compreensão e explorem ideias em um ambiente sem aula na sala de aula. Também pode ser usado como exercícios.

alunos uma forte base de conhecimento de uma ideia matemática importante, ao mesmo tempo que fornece instrutores com um ponto de referência consistente e exemplos de como a notação matemática pode simplificar muito um conceito.

Ensina aos alunos muito sobre raciocínio matemático, enquanto adiciona conteúdo matemático importante.


Desenvolva apêndices separados para diferentes tipos de materiais de apoio, aconselha o Purdue University Online Writing Lab. Por exemplo, as tabelas podem entrar em um apêndice com detalhes da pesquisa de outro autor em outro.

Retire informações de apoio relevantes da fonte e condensar em suas próprias palavras. Você pode usar qualquer coisa que apóie o seu artigo, desde que você se refira à origem no seu artigo. Você não está escrevendo uma sinopse, que seria o resumo de um livro ou artigo inteiro, e não está escrevendo um resumo, que seria uma sinopse com comentários críticos. Respeite apenas as informações que você realmente citar em seu artigo.


Técnicas de Prova

A prova é essencial para a estrutura da matemática, pois fornece enunciados matemáticos com uma certeza que é impossível em praticamente todos os outros campos da investigação intelectual. Uma prova válida fornece uma ligação absoluta entre axiomas e verdades da matemática estabelecidos e um novo conhecimento matemático conhecido como teorema. A proficiência com essas técnicas é um pré-requisito para o estudo da matemática superior. Esta bibliografia cobre os métodos básicos usados ​​para construir uma prova de um teorema, enquanto a teoria da prova, a prova assistida por computador e outros tópicos em lógica matemática estão fora de seu escopo.

Pré-requisitos:

Os leitores podem estudar métodos de prova sem nenhum conhecimento prévio. No entanto, familiaridade com a lógica proposicional básica e de primeira ordem pode ser útil, uma vez que as provas são essencialmente argumentos informais com uma estrutura lógica formal subjacente. Por exemplo, uma das técnicas de prova básicas é provar o contrapositivo, em vez do enunciado original de um teorema, e os leitores que estudaram a lógica compreenderão imediatamente por que o contrapositivo é logicamente equivalente ao próprio enunciado condicional. Muitos livros de prova introdutórios conterão esses aspectos da lógica formal, portanto, um estudo separado não é estritamente necessário.

É difícil demonstrar os métodos de prova sem ter algo a provar e, portanto, diferentes textos introdutórios irão tipicamente assumir (ou explicar) algum conhecimento matemático básico. Os leitores devem verificar se as fontes que usam não presumem muito conhecimento além de seu nível atual, no entanto, isso geralmente não representará um problema intransponível para aqueles familiarizados com matemática elementar e álgebra.

Onde começar:

Os leitores que desejam aprender como construir provas devem obter um livro introdutório. As técnicas de prova devem ser aprendidas em duas etapas: primeiro entenda como a estratégia funciona, depois use essa técnica para provar afirmações matemáticas simples até que a estratégia de prova se torne uma segunda natureza. Por exemplo, para entender a prova por contradição, você deve primeiro entender a ideia por trás da técnica - as afirmações só podem ser verdadeiras ou falsas, então se você pode demonstrar que é impossível que uma afirmação seja falsa derivando uma contradição, então a afirmação deve seja verdade - então pratique através de afirmações de prova o exemplo clássico de prova por contradição é a prova de que a raiz quadrada de dois é irracional: se você assumir que a raiz quadrada de dois é uma fração reduzida a / b, você pode mostrar que a , b deve ter o fator 2 em comum, o que contradiz a suposição de que a / b é uma fração reduzida e, portanto, a raiz quadrada de dois deve ser irracional. Escolha várias afirmações matemáticas simples e pratique o uso de cada estratégia várias vezes.

Os leitores que completam um estudo de métodos de prova devem compreender a estrutura condicional dos teoremas, entender como escrever provas concisas e conhecer os seguintes métodos de prova: prova direta, prova por contradição, prova do contrapositivo, prova por exaustão (casos), existência e provas de exclusividade, quantificadores universais e existenciais e contra-exemplos, provando declarações bicondicionais e indução matemática. Depois de concluir este estudo, os leitores estarão preparados para estudar matemática formal, embora seja aconselhável estudar matemática básica por meio de cálculo elementar antes de começar a trabalhar em matemática pura. Bons lugares para começar são a análise real, a matemática discreta ou a teoria dos números.


Layout e modelos de amplificador

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Uma parte fundamental do processo de publicação (e em resposta às mudanças nos requisitos da indústria do livro) são as capas corporativas padrão que a Springer introduziu para cada área temática em que publica. Essas capas fornecem uma identidade de marca corporativa forte para os livros da Springer, tornando-os instantaneamente reconhecíveis pela comunidade científica. Além disso, as capas também auxiliam na velocidade de publicação, já que ter versões padronizadas reduz muito o tempo tradicionalmente gasto na criação de capas de livros individuais para cada título.

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O uso desses modelos não é obrigatório. Alternativamente, você pode usar um documento do Word em branco ou a classe de livro LaTeX padrão (para monografias) ou classe de artigo (para contribuições individuais) e aplicar as configurações e estilos padrão (por exemplo, para estilos de título, listas, notas de rodapé, etc.).

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