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7.1: Encontrando Pontos de Equilíbrio - Matemática


Encontrar pontos de equilíbrio de um modelo de tempo contínuo ( frac {dx} {dt} = G (x) ) pode ser feito da mesma maneira que para um modelo de tempo discreto, ou seja, substituindo todos (x ) 's com (x_ {eq} )' s (novamente, observe que estes podem ser vetores). Na verdade, isso torna o lado esquerdo zero, porque (x_ {eq} ) não é mais uma variável dinâmica, mas apenas uma constante estática. Portanto, as coisas se resumem a apenas resolver a seguinte equação

[0 = G (x_ {eq}) ]

em relação a (x_ {eq} ). Por exemplo, considere o seguinte modelo de crescimento logístico:

[ frac {dx} {dt} = rx left (1- dfrac {x} {K} right) label {7.1} ]

Substituindo todos os (x ) ’s por (x_ {eq} )’ s, obtemos

[0 = rx_ {eq} left (1- dfrac {x} {K} right) label {7.3} ]

[x_ {eq} = 0, K label {7.4} ]

Acontece que o resultado é o mesmo de sua contraparte de tempo discreto (ver Eq. (5.1.6)).

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre os pontos de equilíbrio do seguinte modelo:

[ frac {dx} {dt} = x ^ {2} -rx +1 rótulo {7.5} ]

Exercício ( PageIndex {2} ): Pêndulo Simples

Encontre os pontos de equilíbrio do seguinte modelo de um pêndulo simples:

[ frac {d ^ {2} theta} {dt ^ {2}} = - frac {g} {L} sin { theta} ]

Exercício ( PageIndex {3} ): modelo Susceptível-infectado-recuperado

O modelo a seguir é chamado de Modelo Susceptible-Infected-Recovered (SIR), um modelo matemático de dinâmica epidemiológica. (S ) é o número de indivíduos suscetíveis, (I ) é o número de infectados e (R ) é o número de indivíduos recuperados. Encontre os pontos de equilíbrio deste modelo.

[ begin {align} frac {dS} {dt} & = -aSI label {7.7} [4pt] frac {dI} {dt} & = aSI -bI label {7.8} [ 4pt] frac {dR} {dt} & = bI label {7.9} end {align} ]


7.1: Encontrando Pontos de Equilíbrio - Matemática

Às vezes, a expressão matemática usada na resolução de um problema de equilíbrio pode ser resolvida tirando a raiz quadrada de ambos os lados da equação. Isso pode ser feito quando as variáveis ​​no numerador e no denominador da expressão de equilíbrio são multiplicadas por si mesmas (ao quadrado).

Se você conseguir calcular a raiz quadrada de ambos os lados, perderá menos tempo resolvendo uma equação!

Topo Usando a Equação Quadrática

Se você não pode tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação, você pode usar a equação quadrática para uma equação da forma:

  • Reorganize para a forma: ax 2 + bx + c = 0.
  • Substitua os coeficientes na equação quadrática e resolva para x.

Resolvendo Equações Contendo x 3, x 4, etc.

Às vezes, você terá problemas envolvendo expressões de equilíbrio com a variável "x" elevada a uma potência "n".

    Usando qualquer um dos métodos, a primeira etapa é simplificar a equação.

    Pegue o log de ambos os lados da equação.

log x 5 = log (2,2 x 10 -20)

    A maioria das calculadoras terá um botão rotulado:

Freqüentemente, esse botão está em conjunto com o botão "y x". Você pode precisar apertar "2ND" ou "INV" antes do botão para encontrar a enésima raiz. Consulte o manual que acompanha a calculadora para obter o procedimento exato.

O Método das Aproximações Sucessivas

  • assuma um valor aproximado para a variável que irá simplificar a equação
  • resolver para a variável
  • use a resposta como o segundo valor aproximado e resolva a equação novamente
  • repita este processo até que um valor constante para a variável seja obtido

    Aproxime um valor para a variável que simplificará a equação.

Como 8,4 x 10 -4 é um número pequeno, o valor de x deve ser pequeno. Faremos a suposição de que:

0,200 - x = 0,200 - 0,013 = 0,187

Topo Supondo que a mudança seja pequena

  • Calcule Q, o quociente de reação e compare com K.
  • Faça um gráfico ICE.
  • Substitua as concentrações na expressão de equilíbrio. Suponha que [A] - x = [A], simplifique a equação e resolva a mudança.
  • Verifique se a alteração é inferior a 5% da quantidade inicial ou se está dentro dos limites definidos pelo seu instrutor.
  • Calcule os valores de equilíbrio, se solicitado.
  • Verifique seu trabalho.

Exemplo: Determine a concentração de cada espécie presente em uma solução 0,500 M de um ácido fraco HA. HA reage com água de acordo com a equação:

HA (aq) + H2O (aq) H3O + (aq) + A - (aq) Kuma = 4,6 x 10 -8

Neste exemplo, inicialmente não há produtos, então Q = 0. K> Q, então a reação continuará na direção para frente. No entanto, K e Q são & lt 1. A mudança na concentração será pequena.

HA (aq) H3O + (aq) A - (aq)
Conc. Inicial (M) 0.500 0 0
Mudança na Conc. (M) - x + x + x
Equilibirum Conc. (M) 0,500 - x x x

A mudança é de apenas 0,03% do valor inicial e é insignificante.

[H3O +] = [A -] = x = 1,5 x 10 -4 M

[HA] = 0,500 - 1,5 x 10 -4 = 0,500 M

K e Q estão em lados opostos de um (K >> Q ou K & lt & ltQ)

  • Quando K >> Q e K> 1, assume 100% de conversão em produtos, seguido pela reação de retorno para estabelecer o equilíbrio. Quando K & lt & ltQ e K & lt 1, assume 100% de conversão em reagentes, seguido pela reação direta para estabelecer o equilíbrio.
  • Faça um gráfico de ICE para determinar as quantidades de mudança e equilíbrio começando com aquelas resultantes da conversão de 100%.
  • Substitua as quantidades na expressão de equilíbrio.
  • Suponha que a mudança seja próxima de zero, de modo que "[A] - x" seja igual a "[A]."
  • Resolva para a variável.
  • Verifique se a alteração é inferior a 5% do valor máximo ou se está dentro dos limites definidos pelo seu instrutor. Caso contrário, use o método de aproximações, uma calculadora programável ou outro método para resolver.
  • Resolva as concentrações de equilíbrio, se solicitado.
  • Verifique seu trabalho.

    Inicialmente o [HI] = 0, então K >> Q e K é> 1. A mudança na concentração de cada espécie será grande, então calculamos a quantidade de produto formado assumindo 100% de conversão.

A conversão de 100% resultará na formação de 1,24 M HI (proporção de 1 a 1 a 2) sem nenhum reagente restante.

A mudança no HI é "2x" ou 2 (0,044) = 0,088 M

Isso é maior que 5%. Usando um dos outros métodos de solução (quadrática, aproximações sucessivas ou calculadora programável), chegamos a:


Respostas e Respostas

Os pontos de equilíbrio são pontos onde a derivada de xey é igual a zero.

Os pontos de equilíbrio satisfazem o sistema de (algébrico) equações:

O que significa que você tem apenas (0,0) como ponto de equilíbrio.

Portanto, continuo cometendo erros ao tentar encontrar todos os pontos de equilíbrio de diferentes sistemas não lineares simples. Esses problemas não são difíceis, só que continuo adotando abordagens diferentes para encontrar os pontos de equilíbrio.

Existe uma maneira metodológica de saber se encontrei todos os pontos de equilíbrio de um sistema?

Eu tenho alguns exemplos (abaixo)

Uma & quot solução de equilíbrio & quot é simplesmente uma solução constante e, portanto, sua derivada é 0. Em um ponto de equilíbrio, devemos ter
[tex] ponto= x (3-x-2y) = 0 [/ tex]
[tex] ponto= y (2-x-y) = 0 [/ tex]

x (3- x- 2y) = 0 quando x = 0 ou quando 3- x- 2y = 0.

Se x = 0, então y (2-xy) = 0 se torna y (2- y) = 0, então y = 0 ou y = 2. Até agora, dois pontos de equilíbrio são (0, 0) e (0, 2 )

y (2- x- y) = 0 quando y = 0 ou 2- x- y = 0.

Se y = 0, então x (3- x- 2y) = 0 torna-se x (3- x) = 0, então x = 0 ou x = 3. Já tínhamos (0, 0), mas agora temos (3, 0) como um terceiro ponto de equilíbrio.

Se nem x nem y for 0, então temos 3- x- 2y = 0 e 2- xy = 0. Subtraindo a segunda equação do primeiro 1- y = 0 ou y = 1. Com y = 1, ambas as equações se tornam 1 - x = 0 então x = 1. O quarto e último ponto de equilíbrio é (1, 1).

PS, isso não é lição de casa. Esse é um componente de um exame no qual preciso ser aprovado e estou apenas procurando uma maneira estruturada de abordar esse tipo de problema.


Exemplos

Anteriormente, você foi solicitado a escrever uma regra geral para a sequência 80, 72, 64,8, 58,32,.

Precisamos saber duas coisas, o primeiro termo e a proporção comum, para escrever a regra geral. O primeiro termo é 80 e podemos encontrar a razão comum dividindo um par de termos sucessivos, ( frac <72> <80> = frac <9> <10> ). O ( n ^) regra de termo é, portanto, ( a_= 80 left ( frac <9> <10> right) ^)

Para os Exemplos 2-4, identifique quais das sequências são sequências geométricas. Se a sequência for geométrica, encontre a proporção comum.


Pontos de equilíbrio de sistemas autônomos lineares

Seja dado um sistema homogêneo linear de segunda ordem com coeficientes constantes:

Este sistema de equações é autônomo, pois os lados direitos das equações não contêm explicitamente a variável independente (t. )

Na forma de matriz, o sistema de equações pode ser escrito como

As posições de equilíbrio podem ser encontradas resolvendo a equação estacionária

Esta equação tem a solução única ( mathbf = mathbf <0> ) se a matriz (A ) for não singular, ou seja, desde que ( det A ne 0. ) No caso de uma matriz singular, o sistema possui um número infinito de pontos de equilíbrio .

A classificação dos pontos de equilíbrio é determinada pelos valores próprios (< lambda _1>, < lambda _2> ) da matriz (A. ) Os números (< lambda _1>, < lambda _2> ) pode ser encontrada resolvendo a equação auxiliar

Em geral, quando a matriz (A ) é não singular, existem (4 ) diferentes tipos de pontos de equilíbrio:

A estabilidade dos pontos de equilíbrio é determinada pelos teoremas gerais sobre estabilidade. Portanto, se os autovalores reais (ou partes reais de autovalores complexos) são negativos, o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável. Exemplos de tais posições de equilíbrio são nó estável e foco estável.

Se a parte real de pelo menos um autovalor for positiva, o ponto de equilíbrio correspondente é instável. Por exemplo, pode ser uma sela.

Finalmente, no caso de raízes puramente imaginárias (quando o ponto de equilíbrio é um centro), estamos lidando com a estabilidade clássica no sentido de Lyapunov.

Nosso próximo objetivo é estudar o comportamento das soluções próximas às posições de equilíbrio. Para sistemas de segunda ordem, é conveniente fazer isso graficamente usando o retrato de fase, que é um conjunto de trajetórias de fase no plano de coordenadas. As setas nas trajetórias de fase mostram a direção do movimento do ponto (ou seja, um estado particular do sistema) ao longo do tempo.

Vamos discutir cada tipo de ponto de equilíbrio e os retratos de fase correspondentes.

Nó Estável e Instável

Os valores próprios (<< lambda _1>, < lambda _2 >> ) dos pontos do tipo & # 8220node & # 8221 satisfazem as condições:

Os seguintes casos particulares podem surgir aqui.

As raízes (, > ) são distintas ( left ( ne > right) ) e negativas ( esquerda ( lt 0, > lt 0 direita). )

Desenhe um retrato esquemático da fase para este sistema. Suponha para definição que ( left | << lambda _1 >> right | lt left | << lambda _2 >> right |. ) A solução geral tem a forma

Uma vez que ambos os valores próprios são negativos, a solução ( mathbf = mathbf <0> ) é assintoticamente estável. Esse ponto de equilíbrio é chamado de nó estável. Como (t to infty, ) as curvas de fase tendem para a origem ( mathbf = mathbf <0>. )

Especifique a direção das trajetórias de fase. Desde

a derivada ( large frac <><> normalsize ) é

Divida o numerador e o denominador por (<t >>>: )

Nesse caso, (< lambda _2> & # 8211 < lambda _1> lt 0. ) Portanto, os termos com a função exponencial tendem a zero como (t a infty. ) Como resultado , no ( ne 0, ) obtemos:

isto é, as trajetórias de fase tornam-se paralelas ao vetor próprio (< mathbf_1> ) como (t a infty. )

Se ( = 0, ) a derivada em qualquer (t ) é igual

ou seja, a trajetória de fase encontra-se em uma linha direcionada ao longo do autovetor (< mathbf_2>.)

Agora consideramos o comportamento das trajetórias de fase como (t to - infty. ) Obviamente, as coordenadas (x left (t right), y left (t right) ) tendem ao infinito, e a derivada ( large frac <><> normalsize ) em ( ne 0 ) assume a seguinte forma:

isto é, as curvas de fase nos pontos no infinito tornam-se paralelas ao vetor (< mathbf_2>.)

Assim, quando ( = 0, ) a derivada é

Neste caso, a trajetória da fase é determinada pela direção do autovetor (< mathbf_1>.)

Dadas as propriedades acima das trajetórias de fase, o retrato da fase de um nó estável é mostrado esquematicamente na Figura (2. )

Da mesma forma, podemos estudar o comportamento das trajetórias de fase para outros tipos de pontos de equilíbrio. Além disso, omitindo a análise detalhada, consideramos as características qualitativas básicas dos demais pontos de equilíbrio.

As raízes (, > ) são distintas ( left ( ne > right) ) e positivas ( esquerda ( gt 0, > gt 0 direita). )

Neste caso, o ponto ( mathbf = mathbf <0> ) é um nó instável. Seu retrato de fase é mostrado na Figura (3. )

Observe que, tanto no caso do nó estável quanto no instável, as trajetórias de fase tocam a linha, que é direcionada ao longo do autovetor correspondente ao menor (em valor absoluto) autovalor ( lambda. )

Nó Dicrítico

Deixe a equação auxiliar ter uma raiz zero de multiplicidade (2, ) ou seja, considere o caso (< lambda _1> = < lambda _2> = < lambda> ne 0. ) O sistema tem uma base de dois autovetores, ou seja, a multiplicidade geométrica do autovalor ( lambda ) é (2. ) Em termos de álgebra linear, isso significa que a dimensão do autoespaço de (A ) é igual a (2 : ) ( dim ker A = 2. ) Esta situação ocorre em sistemas da forma

A direção das trajetórias de fase depende do sinal de ( lambda. ) Aqui os dois casos a seguir podem surgir:

Case ( = = lt 0. )

Tal posição de equilíbrio é chamada de nó dicrítico estável (Figura (4 )).

Case ( = = gt 0. )

Esta combinação de valores próprios corresponde a um nó dicrítico instável (Figura (5 )).

Nó Singular

Sejam os valores próprios de (A ) novamente coincidentes: (< lambda _1> = < lambda _2> = < lambda> ne 0. ) Ao contrário do caso anterior, assumimos que a multiplicidade geométrica do valor próprio (ou em outras palavras, a dimensão do espaço próprio) agora é (1. ) Isso significa que a matriz (A ) tem apenas um vetor próprio (< mathbf_1>. ) O segundo vetor linearmente independente necessário para a base é definido como um autovetor generalizado (< mathbf_1> ) conectado a (< mathbf_1>.)

Case ( = = lt 0 ).

O ponto de equilíbrio é denominado nó singular estável (Figura (6 )).

Case ( = = gt 0 ).

A posição de equilíbrio é chamada de nó singular instável (Figura (7 )).

Selim

O ponto de equilíbrio é uma sela nas seguintes condições:

Como um dos valores próprios é positivo, a sela é um ponto de equilíbrio instável. Suponha, por exemplo, (< lambda _1> lt 0, < lambda _2> gt 0. ) Os valores próprios (< lambda _1> ) e (< lambda _2> ) estão associados com os autovetores correspondentes (< mathbf_1> ) e (< mathbf_2>. ) As linhas retas direcionadas ao longo dos vetores próprios (< mathbf_1>, ) (< mathbf_2>, ) são chamadas de separatrizes. Essas são as assíntotas de outras trajetórias de fase que têm a forma de uma hipérbole. Cada uma das separatrizes pode ser associada a uma certa direção de movimento.

Se a separatriz estiver associada a um autovalor negativo (< lambda _1> lt 0, ) ou seja, em nosso caso, está direcionada ao longo do vetor (< mathbf_1>, ) o movimento ao longo dele ocorre em direção ao ponto de equilíbrio ( mathbf = mathbf <0>. ) E, inversamente, em (< lambda _2> gt 0, ) ou seja, para a separatriz associada ao vetor (< mathbf_2>, ) o movimento é dirigido da origem. O retrato da fase da sela é mostrado esquematicamente na Figura (8. )

Foco estável e instável

Agora, suponha que os autovalores (< lambda _1>, < lambda _2> ) sejam números complexos cujas partes reais são diferentes de zero. Se a matriz (A ) for composta de números reais, as raízes complexas serão apresentadas na forma de números conjugados complexos:

Descubra que tipo de trajetórias de fase estão na vizinhança da origem. Construa uma solução complexa (< mathbf_1> left (t right) ) correspondendo ao autovalor (< lambda _1> = alpha + i beta: )

onde (< mathbf_1> = mathbf + i mathbf) é o autovetor de valor complexo associado ao autovalor (< lambda _1>, ) ( mathbf) e ( mathbf) são funções vetoriais reais. Como resultado, obtemos:

As partes reais e imaginárias na última expressão formam a solução geral do tipo

[< mathbf left (t right) = exto left [<< mathbf_1> left (t right)> right] + exto left [<< mathbf_1> left (t right)> right]> = <> left [< left (< mathbf cos beta t & # 8211 mathbf sin beta t> right)> right. > + < left. < left (< mathbf sin beta t + mathbf cos beta t> right)> right]> = <> left [< mathbf left (< cos beta t + sin beta t> right)> right. > + < left. < mathbf left (< cos beta t & # 8211 sin beta t> right)> right].> ]

Nós representamos a constante (,) Como

onde ( delta ) é um ângulo auxiliar. Então a solução é escrita como

Assim, a solução ( mathbf left (t right) ) pode ser expandido na base dos vetores ( mathbf) e ( mathbf:)

[ mathbf left (t right) = mu left (t right) mathbf + eta left (t right) mathbf,]

onde os coeficientes ( mu left (t right), ) ( eta left (t right) ) são dados por

Isso mostra que as trajetórias de fase são espirais. Quando ( alpha lt 0, ) as espirais se torcem se aproximando da origem. Essa posição de equilíbrio é chamada de foco estável. Consequentemente, quando ( alpha gt 0, ) temos um foco instável.

A direção da torção pode ser identificada pelo sinal do coeficiente (> ) na matriz original (A. ) Na verdade, considere a derivada (< large frac <><

> normalsize>, ) por exemplo, no ponto ( left (<1,0> right): )

O coeficiente positivo (> gt 0 ) corresponde à torção no sentido anti-horário, conforme mostrado na Figura (9. ) Quando (> lt 0, ) as espirais irão girar no sentido horário (Figura (10 ​​)).

Assim, levando em consideração a direção da torção, existem apenas (4 ) diferentes tipos de foco. Esquematicamente, eles são mostrados nas Figuras (9-12. )


Comparação com a solução gráfica

Uma vez que P * e Q * representam a condição em que a quantidade ofertada e a quantidade demandada são iguais a um determinado preço, é, de fato, o caso em que P * e Q * representam graficamente a interseção das curvas de oferta e demanda.

Geralmente é útil comparar o equilíbrio que você encontrou algebricamente com a solução gráfica para verificar se nenhum erro de cálculo foi cometido.


7.1: Encontrando Pontos de Equilíbrio - Matemática

Problema adicional da quarta edição de Serway

(4ed) 12. * Um fio de aço de piano de 1,12 m de comprimento tem uma área de seção transversal de 6,0 x 10 -3 cm 2. Quando sob uma tensão de 115 N, quanto ela estica?

Da Tabela 12.1, p 346, o módulo de Young para o aço é 20 x 10 10 N / m 2.

A = 6,0 x 10 -3 cm 2 [1 m 2/10 4 cm 2] = 6,0 x 10 -7 m 2

estresse = F / A = 115 N / 6,0 x 10 -7 m 2

F / A = 1,92 x 10 8 N / m 2

Q12.4 O centro de gravidade de um objeto pode estar localizado fora do objeto. Dê alguns exemplos em que esse é o caso.

Prestar atenção. Esta é essencialmente a Questão 9.12 reformulada. Lá encontramos exemplos de um donut, um quadrado de carpinteiro e um salto com vara.

Q12.5 Você recebe um pedaço de compensado de formato arbitrário, junto com um martelo, prego e prego. Como você poderia usar os itens para localizar o centro de gravidade do compensado?

Se você suspender a peça de madeira compensada com formato arbitrário para que ela possa girar, o centro de massa terminará diretamente abaixo do ponto de apoio. Você pode pendurar o prumo ou o fio de prumo nesse ponto de suporte e traçar uma linha ao longo do fio de prumo. O CoM está em algum lugar nessa linha. Em seguida, pendure o pedaço de madeira compensada em outro ponto e faça isso novamente. O CoM está na interseção dessas duas linhas. Você pode querer & quotverificar & quotar suspendendo-o de um terceiro ponto e garantir que as três linhas se cruzem com um ponto comum como deveriam.

Q12.9 Ao levantar um objeto pesado, por que é recomendado manter as costas o mais vertical possível, levantando dos joelhos ao invés de dobrar e levantar da cintura?

Isso reduz as forças exercidas pelos músculos das costas - as forças em sua coluna.

Q12.10 Dê alguns exemplos em que várias forças estão agindo em um sistema de tal forma que sua soma é zero, mas o sistema não está em equilíbrio.

Isso também é semelhante a uma pergunta anterior, a pergunta 10.7. Se duas forças em direções opostas, mas de igual magnitude e não ao longo da mesma linha, agir sobre um objeto, seu força resultante é zero então o objeto faz não acelerar. No entanto, essas forças ainda exercem uma torque líquido no objeto para que tenha um aceleração angular.

Q12.11 Se você medir o torque líquido e a força líquida em um sistema para ser zero,

(a) O sistema ainda pode estar girando em relação a você?

Um torque líquido de zero significa que não haverá angular aceleração mas o a velocidade angular não precisa ser zero.

(b) Isso poderia estar traduzindo em relação a você?

A tradução não tem a ver com o torque líquido, então, sim, pode muito bem ser a tradução.

Q12.12 Uma escada está apoiada inclinada contra uma parede. Você se sentiria mais seguro subindo a escada se lhe dissessem que o solo não tem atrito, mas a parede é áspera ou que a parede não tem atrito, mas o solo é áspero?

Um atritomenos superfície ainda pode exercer um normal (perpendicular!) força.

Considere torques sobre o Centro de Massa. Sobre isso, como o centro de rotação, o peso do escalador cria um sentido horário torque. Fricção do piso irá criar um sentido anti-horário torque para equilibrar isso.

Eu iria querer um chão áspero.

12.1 Um jogador de beisebol segura um taco de 36 onças (peso = 10,0 N) com uma das mãos no ponto O (Fig. P12.1). O morcego está em equilíbrio. O peso do taco atua ao longo de uma linha 60 cm (ou 0,60 m) à direita de O. Determine a força e o torque exercido pelo jogador no taco.

A primeira condição de equilíbrio é que a soma de todas as forças deve ser zero.

A segunda condição de equilíbrio é que a soma dos torques seja zero ou a soma dos torques no sentido horário seja igual à soma dos torques no sentido anti-horário. Vamos medir o torque em torno do ponto O.

ccw = cw

ccw = ext = (0,60 m) (10,0 N) = cw

ext = 6,0 m-N

12.2 Escreva as condições necessárias de equilíbrio para o corpo mostrado na Figura P12.2. Pegue a origem da equação de torque no ponto O.

Os torques serão calculados sobre o ponto O na extremidade esquerda inferior da haste

R x: = 0

R y: = 0

w: = cw = (L / 2) (w) sin (180 o -) = (L / 2) (w) cos

F x: = cw = (L) (F x) sen

F y: = ccw = (L) (F y) sin (180 o -) = (L) (F y) cos

ccw = cw

ccw = (L) (F y) cos =

= (L) (F x) sin + (L / 2) (w) cos = cw

12.7 Um quadrado de carpinteiro tem a forma de um "L", como na Figura P 12.8. Localize seu centro de gravidade.

Trate isso como dois objetos retangulares.

Agora, isso é apenas encontrar o centro de massa de um sistema de duas massas.

X = [X1 mx + X2 m2 ] / [m1 + m2 ]

X = [(2) (72) + (8) (22)] / [72 + 32]

X = 3,1 cm

Y = [Y1 mx + Y2 m2 ] / [m1 + m2 ]

Y = [(9) (72) + (2) (22)] / [72 + 32]

Y = 6,7 cm

12.20 Um sinal hemisférico de 1,0 m de diâmetro e de densidade de massa uniforme é suportado por duas cordas, conforme mostrado na Figura P12.19. Qual fração do peso do sinal é suportada por cada string?

12.21 Sir Lost-a-Lot veste sua armadura e sai do castelo em seu fiel corcel em sua busca para resgatar donzelas de dragões (Fig. P12.20). Infelizmente, seu ajudante abaixou a ponte levadiça muito e finalmente a parou 20,0o abaixo da horizontal. Sir Lost e seu corcel param quando seu centro de massa combinado está a 1,0 m do final da ponte. A ponte tem 8,0 m de comprimento e 2 000 kg de massa e o cabo do elevador está ligado à ponte a 5,0 m da extremidade do castelo e a um ponto 12,0 m acima da ponte. A massa de Sir Lost combinada com sua armadura e corcel é de 1 000 kg.

(a) Determine a tensão no cabo e

(b) os componentes de força horizontal e vertical atuando na ponte na extremidade do castelo.

Primeiro, um diagrama de corpo livre mostrando todas as forças envolvidas.

Meus diagramas rapidamente se tornaram bastante confusos, então espalhei algumas dessas informações em dois ou três diagramas. Acima, o diagrama de corpo livre mostra todas as forças. Abaixo, adicionei vetores e dimensões, mostrando Onde as forças são aplicadas.

É sempre possível que eu tenha tornado as coisas mais difíceis do que deveriam ser. Mas foi interessante e divertido (!?) encontrar o ângulo de 44,2 o entre a ponte levadiça na sua posição atual e o cabo. Envolve um triângulo que é não um triângulo retângulo, então eu tive que voltar para a "Lei de Sines" e a "Lei dos Cossenos" que não uso há muito tempo. A bolsa de ferramentas de um Físico (ou de um Engenheiro) inclui muitas coisas, de vários cursos de matemática, que não devem ser esquecidas. Este ângulo de 44,2 o é o ângulo entre a ponte levadiça e o cabo. O ângulo entre o horizontal e o cabo é 64,2 o.

Agora estamos prontos para começar a aplicar o duas condições de equilíbrio. Cuidado com todos os ângulos.

O primeira condição de equilíbrio é que a soma vetorial de todas as forças é igual a zero.

Fx = 0

Fx = Rx - T cos 64,2 o = 0

Rx = T cos 64,2 o = 0,435 T

Fy = Ry + T sen 64,2 o - W - w = 0

W = (2.000 kg) (9,8 m / s 2) = 19.600 N

w = (1 000 kg) (9,8 m / s 2) = 9 800 N

Ry + 0,900 T sen 64,2 o = 29 400 N

Como já deveríamos esperar, nesta fase, temos três incógnitas - Rx, Ry, e T - mas apenas duas equações. Obteremos a terceira equação aplicando o segunda condição de equilíbrio, que a soma dos torques deve ser igual a zero. Vamos calcular os torques sobre a dobradiça da ponte levadiça.

W: = cw = (4 m) (19 600 N) sen 90 o = 78 400 N-m

w: = cw = (7 m) (9 800 N) sen 90 o = 68 600 N-m

Agora que a tensão é conhecida, podemos voltar e determinar a "força de reação" Rx e Ry,

Ry = 29 400 N - 0,900 T sen 64,2 o

O que isto sinal negativo significar? Quando eu adivinhou aquele Ry pontiagudo pra cima, Adivinhei errado! As forças são tais - e estão localizadas de tal forma - que a dobradiça exerce uma para baixo força então Ry aponta para baixo e isso é mostrado pelo negativo valor que calculamos para Ry.

12.22 Dois tijolos uniformes idênticos de comprimento L são colocados em uma pilha sobre a borda de uma superfície horizontal com o máximo deslocamento possível sem cair, como na Figura P12.21. Encontre a distância x.

O centro de gravidade deve permanecer acima do ponto de apoio, portanto,

12.38 Uma letra "A" é formada por duas peças uniformes de metal, cada uma com peso de 26,0 N e comprimento de 1,00 m, articuladas no topo e mantidas juntas por um fio horizontal de comprimento de 1,20 m (Fig. P12.4). A estrutura está apoiada em uma superfície sem atrito. Se o fio estiver conectado em pontos a uma distância de 0,65 m do topo da carta, determine a tensão no fio.

Faça um diagrama de corpo livre das forças agindo, digamos, no membro certo. Poderíamos fazer um diagrama de corpo livre semelhante das forças que atuam no membro esquerdo. Por simetria, eles serão imagens espelhadas um do outro.

F h é a força horizontal fornecida pela barra esquerda atuando na barra direita.

T é a tensão no cabo (e o valor solicitado nesta pergunta)

W é o peso do membro 26 N e está localizado no centro de massa a 0,50 m da dobradiça.

F N é a força normal exercida pelo solo no membro.

Agora aplique as duas condições de equilíbrio:

A soma de todas as forças deve ser zero.

F x = F h - T = 0

F h = T

Isso fornece apenas duas equações, embora tenhamos três incógnitas. Ou, como F N é totalmente conhecido, temos apenas uma equação F h = T, mas duas incógnitas. Precisamos de mais informações. . .

A segunda condição de equilíbrio é que

A soma de todos os torques deve ser zero.

ccw = cw

Com um pouco de geometria podemos calcular os ângulos como mostrado.

Vamos agora calcular torques sobre a dobradiça:

F h: = 0

W: = cw = (0,50 m) (26 N) sen 67,4 o = 12 N-m

T: = cw = (0,65 m) (T) sen 22,6 o = 0,25 m T

F N: = ccw = (1,0) (F N) sen 67,4 o = 0,92 F N

= ccw = (1,0) (26 N) sen 67,4 o = 24 N-m

E já sabemos F h = T, então agora conhecemos todas as forças envolvidas.

12.30 Um fio de aço cilíndrico de 2,0 m de comprimento com um diâmetro de seção transversal de 4,0 mm é colocado sobre uma polia sem atrito, com uma extremidade do fio conectada a uma massa de 5,00 kg e a outra extremidade conectada a uma massa de 3,00 kg. Em quanto o fio estica enquanto as massas estão em movimento?

Isso começa como outro problema da máquina de Atwood.

a = (m1 - m2 ) g / (m1 + m2 )

a = (2 kg) (9,8 m / s 2) / (8 kg)

a = 2,45 m / s 2

Para fornecer esta aceleração, a tensão no fio deve ser

Frede, 1 = T - (3 kg) (9,8 m / s 2) = 3 kg (2,45 m / s 2)

T = 36,75 N

A = r 2 = (0,002 m) 2 = 1,26 x 10 -5 m 2

(a) Desenhe um diagrama de corpo livre para a viga.

(b) Quando o urso está em x = 1,00 m, encontre a tensão no fio e os componentes da força exercida pela parede na extremidade esquerda da viga.

(c) Se o fio pode suportar uma tensão máxima de 900 N, qual é a distância máxima que o urso pode caminhar antes que o fio se quebre?

12.43 O Velho MacDonald tinha uma fazenda, e nessa fazenda ele tinha um portão (Fig P12.43). O portão tem 3,0 m de comprimento e 1,8 m de altura, com dobradiças presas na parte superior e inferior. O cabo de sustentação faz um ângulo de 30,0 o com o topo do portão e é apertado pelo esticador a uma tensão de 200 N. A massa do portão é de 40,0 kg.

(a) Determine a força horizontal exercida na comporta pela dobradiça inferior.

(b) Encontre a força horizontal exercida pela dobradiça superior.

(c) Determine a força vertical combinada exercida por ambas as dobradiças.

(d) Qual deve ser a tensão no arame de sustentação para que a força horizontal exercida pela dobradiça superior seja zero?

12.51 Uma pessoa se inclina e levanta um objeto 200-N como na Figura P12.45a, com as costas na posição horizontal (uma maneira terrível de levantar um objeto). O músculo das costas preso a um ponto dois terços acima da coluna vertebral mantém a posição das costas, onde o ângulo entre a coluna e esse músculo é de 12,0 o. Usando o modelo mecânico mostrado na Figura P12.45b e considerando o peso da parte superior do corpo de 350 N, encontre a tensão no músculo das costas e a força de compressão na coluna.


O dilema do prisioneiro é um dos exemplos mais conhecidos de teoria dos jogos não cooperativos. Dois amigos são presos por cometer um crime. A polícia pergunta-lhes de forma independente se o fizeram ou não. Se ambos mentirem e disserem que não o fizeram, ambos pegarão três anos de prisão porque a polícia tem apenas algumas evidências contra eles.

Se ambos disserem a verdade que são culpados, cada um receberá sete anos. Se um disser a verdade e o outro mentir, aquele que disser a verdade receberá um ano de prisão e o outro dez. Este jogo é mostrado na matriz abaixo. Na matriz, as estratégias do jogador A são exibidas verticalmente e as estratégias do jogador B horizontalmente. O resultado x, y significa que o jogador A obtém x e o jogador B obtém y.


7.1: Encontrando Pontos de Equilíbrio - Matemática

Calculando Constantes de Equilíbrio

  • a equação balanceada para o sistema de reação, incluindo os estados físicos de cada espécie. A partir disso, a expressão de equilíbrio para o cálculo de Kc ou Kp é derivado.
  • as concentrações ou pressões de equilíbrio de cada espécie que ocorre na expressão de equilíbrio, ou informações suficientes para determiná-las. Esses valores são substituídos na expressão de equilíbrio e o valor da constante de equilíbrio é então calculado.
  • Calculando K a partir de quantidades de equilíbrio conhecidas
  • Calculando K a partir de quantidades iniciais e uma quantidade de equilíbrio conhecida
  • Calculando K a partir das quantidades iniciais conhecidas e da mudança conhecida na quantidade de uma das espécies
  • Escreva a expressão de equilíbrio para a reação.
  • Determine as concentrações molares ou pressões parciais de cada espécie envolvida.
  • Substitua na expressão de equilíbrio e resolva para K.

[CO2] = 0,1908 mol CO2/ 2,00 L = 0,0954 M
[H2] = 0,0454 M
[CO] = 0,0046 M
[H2O] = 0,0046 M


Lição 1

In a previous unit, students studied quadratic functions in some depth. They built quadratic expressions to represent situations and wrote equivalent expressions. They also graphed, analyzed, and evaluated quadratic functions to solve problems. In some cases, they investigated and interpreted the outputs of the functions. In others, they looked for the input values that produce certain outputs, and they found these values mainly by reasoning with graphs.

This unit picks up on where that unit left off. Sometimes we have a relationship that can be expressed with a quadratic function, and we want to know what input generates a particular output. How do we find out other than by graphing and estimating, or by guessing and checking?

In this lesson, students encounter a problem that cannot be easily solved by familiar strategies, which gives them a chance to persevere in problem solving (MP1). They write a quadratic equation and interpret what a solution means in the given situation. The work here motivates the need to solve quadratic equations. The formal definition of a quadratic equation will be introduced until the next lesson, after students have seen some variations of such equations and worked with them in context.


Assista o vídeo: Constante de EQUILIBRIO..Químico Clase 1: Definición Matemática (Outubro 2021).