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8.2: Bifurcações em Modelos de Tempo Contínuo 1-D - Matemática


Para a análise de bifurcação, os modelos de tempo contínuo são realmente mais simples do que os modelos de tempo discreto (discutiremos as razões para isso mais tarde). Então, vamos começar com o exemplo mais simples, um sistema dinâmico autônomo de primeira ordem em tempo contínuo com apenas uma variável:

[ frac {dx} {dt} = F (x) label {(8.1)} ]

Neste caso, a matriz Jacobiana é uma matriz 1 × 1 cujo autovalor é o seu próprio conteúdo (porque é um escalar), que é dado por ( frac {dF} {dx} ). Uma vez que este é um modelo de tempo contínuo, a condição crítica em que uma bifurcação ocorre neste sistema é dada por

[Re left. Frac {dF} {dx} right | _ {x = x_ {eq}} = left. Dfrac {dF} {dx} right | _ {x = x_ {eq}} = 0. Label {(8.2)} ]

Vamos trabalhar no seguinte exemplo:

[ frac {dx} {dt} = r-x ^ {2} label {(8.3)} ]

A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar os pontos de equilíbrio, o que é fácil neste caso. Deixando ( frac {dx} {dt} = 0 ) dá imediatamente

[x_ {eq} = pm sqrt {r}, label {(8.4)} ]

o que significa que os pontos de equilíbrio existem apenas para (r ) não negativo. A condição crítica quando ocorre uma bifurcação é dada da seguinte forma:

[ frac {dF} {dx} = -2x label {(8.5)} ]

[ frac {dF} {dx} | _ {x = x_ {eq}} = pm2 sqrt {r} = 0 rótulo {(8.6)} ]

[r = 0 rótulo {(8.7)} ]

Portanto, agora sabemos que uma bifurcação ocorre quando (r = 0 ). Além disso, conectando cada solução da Eq. ref {8.4} into ( frac {dF} {dx} = −2x ), sabemos que um ponto de equilíbrio é estável enquanto o outro é instável. Esses resultados estão resumidos na Tabela 8.1.

Tabela ( PageIndex {1} ): Resumo da análise de bifurcação de (dx / dt = r − x ^ 2 ).

Ponto de equilíbrio (r <0 ) (0
(x_ {eq} = √r )não existeestábulo
(x_ {eq} = -√r )não existeinstável

Existe uma forma mais visual de ilustrar os resultados. É chamado de diagrama de bifurcação. Isso funciona apenas para sistemas com uma variável e um parâmetro, mas ainda é conceitualmente útil na compreensão da natureza das bifurcações. Um diagrama de bifurcação pode ser desenhado usando o parâmetro sendo variado como o eixo horizontal, enquanto usa a (s) localização (ões) do (s) ponto (s) de equilíbrio do sistema como o eixo vertical. Em seguida, você desenha como cada ponto de equilíbrio depende do parâmetro, usando cores e / ou estilos de linha diferentes para indicar a estabilidade do ponto. Aqui está um exemplo de como desenhar um diagrama de bifurcação em Python:

O resultado é mostrado na Fig. 8.2.1, onde a curva sólida azul indica um ponto de equilíbrio estável (x_ {eq} = √r ), e a curva tracejada vermelha indica um ponto de equilíbrio instável (x_ {eq} = −√r ), com o círculo verde no meio mostrando um ponto de equilíbrio neutro. Este tipo de bifurcação é chamado de (nó de sela bifurcação ), em que um par de pontos de equilíbrio aparece (ou colide e aniquila, dependendo de como você varia (r )).

Cada fatia vertical do diagrama de bifurcação para um determinado valor de parâmetro representa um espaço de fase do sistema dinâmico que estamos estudando. Por exemplo, para (r = 5 ) no diagrama acima, existem dois pontos de equilíbrio, um estável (azul / sólido) e o outro instável (vermelho / tracejado). Você pode visualizar os fl uxos do estado do sistema adicionando uma seta para baixo acima do ponto de equilíbrio estável, uma seta para cima do instável para o estável e, em seguida, outra seta para baixo abaixo do instável. Desta forma, é claro que o estado do sistema está convergindo para o ponto de equilíbrio estável enquanto repele do instável. Se você fizer o mesmo para vários valores diferentes de (r ), obterá a Fig. 8.2.2, que mostra como interpretar este diagrama.

Existem outros tipos de bifurcações. UMA transcrítico bifurcação é uma bifurcação onde um ponto de equilíbrio “passa” por outro, trocando suas estabilidades. Por exemplo:

[ frac {dx} {dt} = rx-x ^ {2} label {(8.8)} ]

Este sistema dinâmico sempre tem os seguintes dois pontos de equilíbrio

[x_ {eq} = 0, r, label {(8.9)} ]

exceto que eles colidem quando (r = 0 ), que é quando eles trocam suas estabilidades. Seu diagrama de bifurcação é mostrado na Fig. 8.2.3.

Outro é um bifurcação do forcado, onde um ponto de equilíbrio se divide em três. Dois deles (os dois mais externos) têm a mesma estabilidade do ponto de equilíbrio original, enquanto o um entre eles tem uma estabilidade oposta à estabilidade do original. Existem dois tipos de bifurcações do forcado. UMA bifurcação de forquilha supercrítica faz um estábulo

ponto de equilíbrio dividido em três, dois estáveis ​​e um instável. Por exemplo:

[ frac {dx} {dt} = rx-x ^ {3} label {(8.10)} ]

Este sistema dinâmico tem os seguintes três pontos de equilíbrio

[x_ {eq} = 0 pm sqrt {r}, label {(8.11)} ]

mas os dois últimos existem apenas para (r ≥ 0 ). Você pode mostrar que (x_ {eq} = 0 ) é estável para (r <0 ) e instável para (r> 0 ), enquanto (x_ {eq} = ± √r ) são sempre estáveis, se existirem. Seu diagrama de bifurcação é mostrado na Fig. 8.2.4.

Nesse ínterim, um bifurcação de forquilha subcrítica torna um ponto de equilíbrio instável dividido em três, dois instáveis ​​e um estável. Por exemplo:

[ frac {dx} {dt} = rx + x ^ {3} label {(8.12)} ]

Este sistema dinâmico tem os seguintes três pontos de equilíbrio

[x_ {eq} = 0 pm sqrt {-r}, label {(8.13)} ]

mas os dois últimos existem apenas para (r ≤ 0 ). Seu diagrama de bifurcação é mostrado na Fig. 8.2.5.

Essas bifurcações também podem surgir em formas combinadas. Por exemplo:
[ frac {dx} {dt} = r + x-x ^ {3} label {(8.14)} ]

Este sistema dinâmico tem três pontos de equilíbrio, que são bastante complicados de calcular de maneira direta. No entanto, se resolvermos ( frac {dx} {dt} = 0 ) em termos de (r ), podemos facilmente obter

[r = -x + x ^ {3}, label {(8.15)} ]

que é suficiente para desenhar o diagrama de bifurcação. Também podemos saber a estabilidade de cada ponto de equilíbrio calculando

[Re frac {dF} {dx} | _ {x = x_ {eq}} = 1-3x ^ {3}, label {(8.16)} ]

ou seja, quando (x ^ {2}> frac {1} {3} ), os pontos de equilíbrio são estáveis, caso contrário, eles são instáveis. O diagrama de bifurcação desse sistema é mostrado na Fig. 8.2.6.

Este diagrama é uma combinação de duas bifurcações de nó sela, mostrando que este sistema tem histerese como sua propriedade dinâmica. A histerese é a dependência da saída de um sistema (estado assintótico neste caso) não apenas na entrada (parâmetro (r ) neste caso), mas também em seu histórico. Para entender o que isso significa, imagine que você está mudando lentamente (r ) de (- 1 ) para cima. Inicialmente, o estado do sistema permanece em equilíbrio estável na parte inferior do diagrama, que continua até você atingir um limite crítico em (r ≈ 0,4 ). Assim que você cruza esse limite, o estado do sistema de repente salta para outro ponto de equilíbrio estável no topo do diagrama. Esse salto repentino no estado do sistema costuma ser chamado de catástrofe. Você fica chateado e tenta trazer o estado do sistema de volta para onde estava, reduzindo (r ). No entanto, contrariando sua expectativa, o estado do sistema permanece alto mesmo depois de reduzir (r ) abaixo de (0,4 ). Isso é histerese; o estado assintótico do sistema depende não apenas de (r ), mas também de onde seu estado estava no passado imediato. Em outras palavras, o estado do sistema funciona como uma memória de sua história. A fim de trazer o estado do sistema de volta ao valor original, você tem que gastar um esforço extra para reduzir r totalmente abaixo de outro limite crítico, (r ≈ − 0,4 ).

Essa histerese pode ser útil; cada bit (dígito binário) da memória do computador tem esse tipo de dinâmica de bifurcação, e é por isso que podemos armazenar informações nele. Mas em outros contextos, a histerese pode ser devastadora - se o estado de um ecossistema tem essa propriedade (muitos estudos indicam que sim), é preciso muito esforço e recursos para reverter um ecossistema deserto a um habitat com vegetação, por exemplo.

Exercício ( PageIndex {1} )

Conduza uma análise de bifurcação do seguinte sistema dinâmico com o parâmetro (r ):

[ frac {dx} {dt} = rx (x + 1) -x label {(8.17)} ]

Encontre o limite crítico de (r ) no qual ocorre uma bifurcação. Desenhe um diagrama de bifurcação e determine que tipo de bifurcação é.

Exercício ( PageIndex {2} )

Suponha que duas empresas, A e B, estejam competindo entre si pela participação de mercado em uma região local. Sejam xey a participação de mercado de A e B, respectivamente. Supondo que não haja outros concorrentes terceirizados, (x + y = 1 ) (100%) e, portanto, este sistema pode ser entendido como um sistema de uma variável. O crescimento / queda da participação de mercado de A pode, portanto, ser modelado como

[ frac {dx} {dt} = ax (1-x) (x-y), label {(8.18)} ]

aqui x é a participação de mercado atual de A, (1 − x ) é o tamanho da base de clientes potencial disponível e (x - y ) é a vantagem competitiva relativa de A, que pode ser reescrita como ( x− (1 − x) = 2x − 1 ). Obtenha os pontos de equilíbrio deste sistema e suas estabilidades. Em seguida, faça uma suposição adicional de que este mercado regional está conectado e influenciado por um mercado global muito maior, onde a participação de mercado da empresa A é de alguma forma mantida em p (cuja mudança é muito lenta, então podemos considerá-la constante):

[ frac {dx} {dt} = ax (1-x) (x-y) + r (p-x) label {(8.19)} ]

Aqui (r ) está a força de influência do mercado global para o local. Determine uma condição crítica em relação a (r ) e (p ) na qual uma bifurcação ocorre neste sistema. Desenhe seu diagrama de bifurcação variando (r ) com (a = 1 ) e (p = 0,5 ) e determine que tipo de bifurcação é. Finalmente, usando os resultados da análise de bifurcação, discuta que tipo de estratégia de marketing você adotaria se fosse o diretor de um departamento de marketing de uma empresa que atualmente está sobrecarregada por seu concorrente no mercado local. Como você pode “virar” o mercado?