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5.1: Encontrando Pontos de Equilíbrio


Quando você analisa um sistema dinâmico de tempo discreto autônomo de primeira ordem (também conhecido como mapa iterativo)

[x_ {t} = F (x_ {t-1}). label {(5.1)} ]

uma das primeiras coisas que você deve fazer é encontrar seu pontos de equilíbrio (também chamados de pontos fixos ou estados estacionários), ou seja, estados onde o sistema pode permanecer inalterado ao longo do tempo. Os pontos de equilíbrio são importantes por razões teóricas e práticas. Teoricamente, eles são pontos-chave no espaço de fase do sistema, que servem como referências significativas quando entendemos a estrutura do espaço de fase. E, na prática, existem muitas situações em que queremos sustentar o sistema em um determinado estado que é desejável para nós. Nesses casos, é muito importante saber se o estado desejado é um ponto de equilíbrio e, se for, se é estável ou instável. Para encontrar os pontos de equilíbrio de um sistema, você pode substituir todos os (x ) 's na equação por uma constante (x_ {eq} ) (escalar ou vetorial) para obter

[x_ {eq} = F (x_ {eq}). label {(5.2)} ]

e então resolva esta equação em relação a (x_ {eq} ). Se você tiver mais de uma variável de estado, deve fazer o mesmo para todas elas.

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Por exemplo, aqui está como você pode encontrar os pontos de equilíbrio do modelo de crescimento logístico:

[x_ {t} = x_ {t-1} + rx_ {t-1} left (1- frac {x_ {t-1}} {K} right) label {(5.3)} ]

Solução

Substituindo todos os (x ) ’s por (x_ {eq} ) na Equação ref {(5.3)}, obtemos o seguinte:

[x_ {eq} & = x_ {eq} + rx_ {eq} (1- frac {x_ {eq}} {K}) label {(5.4)} ]

[0 & = rx_ {eq} (1- frac {x_ {eq}} {K} label {(5.5)} ]

[x_ {eq} & = 0, qquad {K} label {(5.6)} ]

O resultado mostra que a população não mudará se não houver organismos ((x_ {eq} = 0) ) ou se o tamanho da população atingir o capacidade de carga do ambiente ((x_ {eq} = K) ). Ambos fazem todo o sentido.

Exercício ( PageIndex {1} )

Obtenha o (s) ponto (s) de equilíbrio da seguinte equação de diferença:

[x_ {t} = 2x_ {t-1} -x ^ {2} _ {t-1} label {(5.7)} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Obtenha o (s) ponto (s) de equilíbrio do seguinte modelo de equação de diferença bidimensional:

[x_ {t} = x_ {t-1} y_ {t-1} label {(5.8)} nonumber ]

[y_ {t} = y_ {t-1} (x_ {t-1} -1) label {(5.9)} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Obtenha o (s) ponto (s) de equilíbrio da seguinte equação de diferença:

[x_ {t} = x_ {t-1} -x ^ {2} _ {t-2} +1 label {(5.10)} nonumber ]

Observe que esta é uma equação de diferença de segunda ordem, então você precisará primeiro convertê-la em uma forma de primeira ordem e então encontrar o (s) ponto (s) de equilíbrio.


5.1 Elasticidade de Preço da Demanda e Elasticidade de Preço da Oferta

Tanto a curva de demanda quanto a de oferta mostram a relação entre o preço e o número de unidades demandadas ou fornecidas. Elasticidade de preço é a razão entre a variação percentual na quantidade demandada (Qd) ou fornecida (Qs) e a variação percentual correspondente no preço. O elasticidade de preço da demanda é a variação percentual na quantidade exigiu de um bem ou serviço dividido pela variação percentual do preço. O elasticidade de preço da oferta é a variação percentual na quantidade fornecido dividido pela variação percentual do preço.

As elasticidades podem ser divididas de maneira útil em três categorias amplas: elástica, inelástica e unitária. Um demanda elástica ou oferta elástica é aquele em que a elasticidade é maior do que um, indicando uma alta capacidade de resposta às mudanças no preço. Elasticidades menores que um indicam baixa capacidade de resposta às mudanças de preço e correspondem a Demanda inelástica ou suprimento inelástico. Elasticidades unitárias indicam responsividade proporcional de demanda ou oferta, conforme resumido na Tabela 1.

Para calcular a elasticidade, em vez de usar mudanças percentuais simples na quantidade e no preço, os economistas usam a mudança percentual média tanto na quantidade quanto no preço. Isso é chamado de Método do Ponto Médio para Elasticidade e é representado nas seguintes equações:

A vantagem do é Método do Ponto Médio é que se obtém a mesma elasticidade entre dois pontos de preço, haja um aumento ou diminuição de preço. Isso ocorre porque a fórmula usa a mesma base para os dois casos.


Diâmetro ideal da parite

Aumentar o diâmetro da partícula diminui a queda de pressão e aumenta a taxa e a conversão.

No entanto, existe um efeito competitivo. A taxa de reação específica diminui à medida que o tamanho da partícula aumenta, portanto, diminui a conversão.

Maior k, maior conversão

Quanto maior a partícula, mais tempo leva para o reagente entrar e sair da partícula de catalisador. Para um determinado peso de catalisador, há uma área de contorno externa maior para partículas menores do que para partículas maiores. Portanto, existem mais vias de entrada na partícula do catalisador.

No CD-ROM, capítulo 12, aprenderemos que o fator de eficácia diminui à medida que o tamanho da partícula aumenta

Análise de Engenharia - Pensamento Crítico e Pensamento Criativo topo

Queremos aprender como os vários parâmetros (diâmetro da partícula, porosidade, etc.) afetam a queda de pressão e, portanto, a conversão. Precisamos saber como responder às perguntas & quot E se & quot, como:

& quotSe dobrarmos o tamanho da partícula, diminuir a porosidade por um fator de 3 e dobrar o tamanho do tubo, o que acontecerá com D P e X? & quot

(Consulte Pensamento crítico na página xx do prefácio. Por exemplo, Questões sobre as consequências da sonda)

Para responder a essas perguntas, precisamos ver como a varia com esses parâmetros.

Compare o caso 1 e o caso 2:

Por exemplo, o Caso 1 pode ser nossa situação atual e o Caso 2 pode ser os parâmetros para os quais queremos mudar.

Para fluxo de massa constante através do sistema = constante

Aqui estão mais links para exemplos de problemas que lidam com reatores de leito fixo. Novamente, você também pode usar esses problemas como autotestes.


1.2 Perguntas rápidas

Comentário do estudo Você pode responder ao seguinte Perguntas rápidas? Se você responder às perguntas com sucesso, você só precisa dar uma olhada no módulo antes de olhar para o Subseção 4.1 Resumo do módulo e a Subseção 4.2 Conquistas. Se você tem certeza de que pode cumprir cada uma dessas conquistas, tente o Subseção 4.3 Teste de saída. Se você tiver dificuldade com apenas uma ou duas das perguntas, deve seguir as orientações fornecidas nas respostas e ler as partes relevantes do módulo. No entanto, se você tiver dificuldade com mais de duas das perguntas de saída, é altamente recomendável estudar todo o módulo.

Um sistema estável, se ligeiramente perturbado, oscila em torno de sua posição de equilíbrio. Explique por que ele faz isso, com referência a um pêndulo simples.

Em posições próximas ao equilíbrio, o pêndulo está sujeito a uma força restauradora que tende a devolvê-lo à posição de equilíbrio. Quando está se movendo em direção à posição de equilíbrio, acelera sob a ação da força. Quando ele está se afastando, a força o desacelera e o faz parar, ao que ele se move mais uma vez para a posição de equilíbrio.

Um corpo de massa m oscila com SHM em uma dimensão sobre uma posição de equilíbrio (x = 0) e tem uma frequência f, frequência angular &ómega e amplitude UMA. O deslocamento da posição de equilíbrio é x, e este deslocamento é UMA no t = 0. Escreva uma expressão para o deslocamento do corpo do equilíbrio no momento t e derivar expressões para a velocidade, aceleração e a força agindo ao mesmo tempo. Escreva uma expressão dando a força em termos de m, x e &ómega.

Uma expressão para o deslocamento é

e por diferenciação no que diz respeito ao tempo, isso leva a

e umax(t) = & menos&ómega 2 x& thinsp(t) (Eq. 12)

Usando F = muma e Equação 12 chegamos a

Comentário do estudo Tendo visto o Perguntas rápidas você pode achar que seria mais sensato seguir a rota normal através do módulo e prosseguir diretamente para o seguinte Pronto para estudar? Subseção.

Alternativamente, você ainda pode estar suficientemente confortável com o material coberto pelo módulo para prosseguir diretamente para o Seção 4 Itens de fechamento.


5.1: Encontrando Pontos de Equilíbrio

Na seção anterior, modelamos uma população com base na suposição de que a taxa de crescimento seria uma constante. No entanto, na realidade, isso não faz muito sentido. Claramente, uma população não pode crescer para sempre na mesma taxa. A taxa de crescimento de uma população precisa depender da própria população. Quando uma população atinge um certo ponto, a taxa de crescimento começa a reduzir, muitas vezes drasticamente. Um modelo muito mais realista de crescimento populacional é dado pelo equação de crescimento logístico. Aqui está a equação de crescimento logístico.

Na equação de crescimento logístico (r ) é o taxa de crescimento intrínseca e é o mesmo (r ) da última seção. Em outras palavras, é a taxa de crescimento que ocorrerá na ausência de quaisquer fatores limitantes. (K ) é chamado de nível de saturação ou o capacidade de carga.

Agora, afirmamos que este era um modelo mais realista para uma população. Vamos ver se isso de fato está correto. Para nos permitir esboçar um campo de direção, vamos escolher alguns números para (r ) e (K ). Usaremos (r = frac <1> <2> ) e (K = 10 ). Para esses valores, a equação logística é.

Se você precisar de uma atualização sobre os campos de direção do esboço, volte e dê uma olhada nessa seção. Primeiro observe que a derivada será zero em (P = 0 ) e (P = 10 ). Observe também que essas são, na verdade, soluções para a equação diferencial. Esses dois valores são chamados soluções de equilíbrio uma vez que são soluções constantes para a equação diferencial. Deixaremos o resto dos detalhes sobre o esboço do campo de direção para você. Aqui está o campo de direção, bem como algumas soluções esboçadas também.

Observe que incluímos uma pequena porção de (P ) 's negativos aqui, embora eles realmente não façam nenhum sentido para um problema populacional. A razão para isso ficará aparente no futuro. Além disso, observe que uma população de, digamos, 8 não faz muito sentido, então vamos supor que a população esteja em milhares ou milhões, de modo que 8 realmente representa 8.000 ou 8.000.000 de indivíduos em uma população.

Observe que, se começarmos com uma população de zero, não haverá crescimento e a população permanecerá em zero. Então, a equação logística descobrirá isso corretamente. Em seguida, observe que se começarmos com uma população no intervalo (0 & lt P left (0 right) & lt 10 ), então a população vai crescer, mas começa a se estabilizar quando chegarmos perto de uma população de 10. Se começarmos com uma população de 10, a população permanecerá em 10. Finalmente, se começarmos com uma população maior do que 10, a população vai realmente morrer até começarmos a nos aproximar de uma população de 10, ponto em que o o declínio da população começará a diminuir.

Agora, de um ponto de vista realista, isso deve fazer algum sentido. As populações não podem simplesmente crescer para sempre sem limites. Eventualmente, a população atingirá um tamanho tal que os recursos de uma área não serão mais capazes de sustentar a população e o crescimento populacional começará a desacelerar à medida que se aproxima desse limite. Além disso, se você começar com uma população maior do que a que uma área pode sustentar, haverá uma extinção até que nos aproximemos desse limite.

Nesse caso, esse limite parece ser 10, que também é o valor de (K ) para o nosso problema. Isso deve explicar o nome que demos inicialmente (K ). A capacidade de suporte ou nível de saturação de uma área é a população máxima sustentável para aquela área.

Portanto, a equação logística, embora ainda bastante simplista, faz um trabalho muito melhor de modelagem do que acontecerá com uma população.

Agora, vamos prosseguir para o ponto desta seção. A equação logística é um exemplo de um equação diferencial autônoma. Equações diferenciais autônomas são equações diferenciais que têm a forma.

O único lugar onde a variável independente, (t ) neste caso, aparece é na derivada.

Observe que if (f left (<> right) = 0 ) para algum valor (y = ) então esta também será uma solução para a equação diferencial. Esses valores são chamados soluções de equilíbrio ou pontos de equilíbrio. O que gostaríamos de fazer é classificar essas soluções. Por classificar, queremos dizer o seguinte. Se as soluções começarem “perto” de uma solução de equilíbrio, elas se moverão para longe da solução de equilíbrio ou em direção à solução de equilíbrio? Ao classificar as soluções de equilíbrio, podemos saber o que todas as outras soluções da equação diferencial farão a longo prazo, simplesmente observando em quais soluções de equilíbrio elas começam perto.

Então, o que queremos dizer com “próximo”? Volte para nossa equação de logística.

Como apontamos, existem duas soluções de equilíbrio para esta equação (P = 0 ) e (P = 10 ). Se ignorarmos o fato de que estamos lidando com população, esses pontos dividem a reta numérica (P ) em três regiões distintas.

Diremos que uma solução começa “perto” de uma solução de equilíbrio se começa em uma região que está em qualquer lado dessa solução de equilíbrio. Assim, as soluções que começam "perto" da solução de equilíbrio (P = 10 ) começarão em qualquer

e as soluções que começam "perto" (P = 0 ) começarão em qualquer

Para regiões que se encontram entre duas soluções de equilíbrio, podemos pensar em quaisquer soluções iniciando nessa região como começando “perto” de qualquer uma das duas soluções de equilíbrio conforme necessário.

Agora, todas as soluções que começam “perto” de (P = 0 ) se afastam da solução à medida que (t ) aumenta. Observe que se afastar não significa necessariamente que eles cresçam sem limites à medida que se afastam. Significa apenas que eles se afastam. Soluções que começam maiores que (P = 0 ) se afastam, mas permanecem limitadas conforme (t ) cresce. Na verdade, eles se movem em direção a (P = 10 ).

Soluções de equilíbrio em que as soluções que começam "perto" deles se afastam da solução de equilíbrio são chamadas pontos de equilíbrio instáveis ou soluções de equilíbrio instável. Portanto, para nossa equação logística, (P = 0 ) é uma solução de equilíbrio instável.

Em seguida, todas as soluções que começam “perto” de (P = 10 ) se movem em direção a (P = 10 ) à medida que (t ) aumenta. Soluções de equilíbrio em que as soluções que começam "perto" deles se movem em direção à solução de equilíbrio são chamadas pontos de equilíbrio assintoticamente estáveis ou soluções de equilíbrio assintoticamente estáveis. Portanto, (P = 10 ) é uma solução de equilíbrio assintoticamente estável.

Há mais uma classificação, mas vou esperar até termos um exemplo em que isso ocorra para apresentá-la. Então, vamos dar uma olhada em alguns exemplos.

Primeiro, encontre as soluções de equilíbrio. Isso geralmente é fácil de fazer.

Então, parece que temos duas soluções de equilíbrio. Ambos (y = -2 ) e (y = 3 ) são soluções de equilíbrio. Abaixo está o esboço de algumas curvas integrais para esta equação diferencial. Um esboço das curvas integrais ou campos de direção pode simplificar o processo de classificação das soluções de equilíbrio.

A partir deste esboço, parece que as soluções que começam "perto" (y = -2 ) todas se movem em direção a ele conforme (t ) aumenta e então (y = -2 ) é uma solução de equilíbrio assintoticamente estável e soluções que comece “próximo” (y = 3 ) todos se afastam dele conforme (t ) aumenta e, portanto, (y = 3 ) é uma solução de equilíbrio instável.

Este próximo exemplo irá apresentar a terceira classificação que podemos dar às soluções de equilíbrio.

As soluções de equilíbrio para esta equação diferencial são (y = -2 ), (y = 2 ) e (y = -1 ). Abaixo está o esboço das curvas integrais.

Disto fica claro (esperançosamente) que (y = 2 ) é uma solução de equilíbrio instável e (y = -2 ) é uma solução de equilíbrio assintoticamente estável. No entanto, (y = -1 ) se comporta de maneira diferente de qualquer um desses dois. As soluções que começam acima dele se movem em direção a (y = -1 ) enquanto as soluções que começam abaixo de (y = -1 ) se afastam conforme (t ) aumenta.

Nos casos em que as soluções de um lado de uma solução de equilíbrio se movem em direção à solução de equilíbrio e do outro lado da solução de equilíbrio se afastam dela, chamamos a solução de equilíbrio semi-estável.


Folha de trabalho da lição: O equilíbrio de um corpo em um plano horizontal áspero Matemática

Nesta planilha, praticaremos a solução de problemas que envolvem o equilíbrio de um corpo em um plano horizontal aproximado.

Dado que o coeficiente de atrito estático entre um corpo e um plano é

, qual é o ângulo de atrito? Arredonde sua resposta para o minuto mais próximo, se necessário.

Um corpo pesando 8,5 newtons repousa sobre um plano horizontal aproximado. Uma força horizontal está agindo sobre ele, fazendo com que esteja a ponto de se mover. Dado que a força de atrito foi de 3,4 newtons, encontre o coeficiente de atrito estático.

Um corpo pesando 5 N repousa sobre um plano horizontal aproximado. O coeficiente de atrito entre o corpo e o avião é

é a magnitude da força de atrito medida em newtons, expressa a faixa de seus valores possíveis como um intervalo.

Um corpo pesando 68 kg-wt repousa sobre um plano horizontal aproximado. Quando uma força horizontal de 59,5 kg-wt atua sobre ele, ele está a ponto de se mover. Determine o coeficiente de atrito entre o corpo e o plano.

Um corpo está apoiado em um plano horizontal aproximado. O coeficiente de atrito entre o corpo e o plano é de 0,2 e a força de atrito limite que atua no corpo é de 80 N. Dado que

é a resultante da força de atrito e da força de reação normal, encontre a magnitude de

Um corpo pesando 25,5 N repousa sobre um plano horizontal aproximado. Uma força horizontal atua sobre o corpo fazendo-o estar no ponto de se mover. Dado que o coeficiente de atrito entre o corpo e o avião é

, determine a magnitude da força.

Um corpo de peso 45 N repousa sobre um plano horizontal aproximado. Se uma força horizontal de 11 N agisse sobre o corpo, ele estaria no ponto de se mover. Em vez disso, uma força, cuja linha de ação estava inclinada para a horizontal em um ângulo de

, estava agindo no corpo. Dado que o corpo estava prestes a se mover, encontre a magnitude dessa força arredondando sua resposta para duas casas decimais, se necessário.

Um corpo pesando 47 N repousa sobre um plano horizontal aproximado. Duas forças horizontais de 1 N e 4 N atuam no corpo fazendo com que ele esteja no ponto de movimento. Dado que o ângulo entre as linhas de ação das duas forças é

, encontre o coeficiente de atrito estático entre o corpo e o avião.

A figura mostra um corpo de massa de 30 kg sendo empurrado contra uma parede vertical áspera por uma força horizontal

. Dado que o coeficiente de atrito estático entre o corpo e a parede é

, determine a força horizontal mínima

isso fará com que o corpo fique em equilíbrio.

Um corpo de 79 N de peso repousa sobre uma mesa horizontal áspera. Ele é preso por um fio leve inextensível que passa sobre uma polia lisa fixada na borda da mesa com um peso de 41 N pendurado livremente na vertical abaixo da polia. Nessas condições, o sistema está a ponto de se mover. O corpo é então preso por uma segunda corda inextensível que passa por uma segunda polia fixada na extremidade oposta da mesa a um segundo peso de

N pendurado livremente na vertical abaixo da polia. Determine o peso

o que fará com que o corpo esteja a ponto de se mover.

Esta lição inclui 28 perguntas adicionais e 243 variações de perguntas adicionais para assinantes.


12.2 Exemplos de equilíbrio estático

Todos os exemplos neste capítulo são problemas planos. Consequentemente, usamos as condições de equilíbrio na forma de componente de (Figura) a (Figura). Introduzimos uma estratégia de resolução de problemas na (Figura) para ilustrar o significado físico das condições de equilíbrio. Agora generalizamos essa estratégia em uma lista de etapas a seguir ao resolver problemas de equilíbrio estático para corpos rígidos estendidos. Prosseguimos em cinco etapas práticas.

Estratégia de resolução de problemas: equilíbrio estático

  1. Identifique o objeto a ser analisado. Para alguns sistemas em equilíbrio, pode ser necessário considerar mais de um objeto. Identifique todas as forças que atuam no objeto. Identifique as perguntas que você precisa responder. Identifique as informações fornecidas no problema. Em problemas realistas, algumas informações importantes podem estar implícitas na situação, em vez de fornecidas explicitamente.
  2. Configure um diagrama de corpo livre para o objeto. (a) Escolha o xy-quadro de referência para o problema. Desenhe um diagrama de corpo livre para o objeto, incluindo apenas as forças que atuam sobre ele. Quando adequado, represente as forças em termos de seus componentes no referencial escolhido. Ao fazer isso para cada força, risque a força original para não incluir erroneamente a mesma força duas vezes nas equações. Rotule todas as forças - você precisará disso para cálculos corretos das forças líquidas no x& # 8211 e y-instruções. Para uma força desconhecida, a direção deve ser atribuída arbitrariamente, pense nela como uma "direção de trabalho" ou "direção suspeita". A direção correta é determinada pelo sinal que você obtém na solução final. Um sinal de mais

significa que a direção de trabalho é a direção real. Um sinal de menos

Observe que a configuração de um diagrama de corpo livre para um problema de equilíbrio de corpo rígido é o componente mais importante no processo de solução. Sem a configuração correta e um diagrama correto, você não será capaz de escrever as condições corretas para o equilíbrio. Observe também que um diagrama de corpo livre para um corpo rígido estendido que pode sofrer movimento rotacional é diferente de um diagrama de corpo livre para um corpo que experimenta apenas movimento translacional (como você viu nos capítulos sobre as leis do movimento de Newton). Na dinâmica translacional, um corpo é representado como seu CM, onde todas as forças no corpo são aplicadas e nenhum torque aparece. Isso não é verdade na dinâmica rotacional, onde um corpo rígido estendido não pode ser representado por um único ponto. Isso porque, na análise da rotação, devemos identificar os torques que atuam sobre o corpo, sendo que o torque depende tanto da força atuante quanto de seu braço de alavanca. Aqui, o diagrama de corpo livre para um corpo rígido estendido nos ajuda a identificar torques externos.

Exemplo

O Balanço de Torque

Três massas são presas a uma régua de medição uniforme, conforme mostrado na (Figura). A massa da régua métrica é 150,0 ge as massas à esquerda do fulcro são

que equilibra o sistema quando ele é conectado na extremidade direita do manche, e a força de reação normal no ponto de apoio quando o sistema está equilibrado.

Figura 12.9 Em uma balança de torque, uma viga horizontal é apoiada em um fulcro (indicado por S) e as massas são fixadas em ambos os lados do fulcro. O sistema está em equilíbrio estático quando o feixe não gira. É equilibrado quando o feixe permanece nivelado.

Estratégia

Para o arranjo mostrado na figura, identificamos as seguintes cinco forças atuando na régua de medição:

é o peso de toda a régua de medição

é o peso da massa desconhecida

é a força de reação normal no ponto de apoio S.

Escolhemos um quadro de referência onde a direção do y-eixo é a direção da gravidade, a direção do x- o eixo está ao longo da régua métrica, e o eixo de rotação (o z-eixo) é perpendicular ao x-eixo e passa pelo ponto de apoio S. Em outras palavras, escolhemos o pivô no ponto em que a régua métrica toca o suporte. Esta é uma escolha natural para o pivô, porque esse ponto não se move enquanto o manche gira. Agora estamos prontos para configurar o diagrama de corpo livre para a régua métrica. Indicamos o pivô e anexamos cinco vetores que representam as cinco forças ao longo da linha que representa a régua, localizando as forças em relação ao pivô (Figura). Nesta fase, podemos identificar os braços de alavanca das cinco forças dadas as informações fornecidas no problema. Para as três massas suspensas, o problema é explícito sobre suas localizações ao longo da vara, mas a informação sobre a localização do peso C é fornecido implicitamente. A palavra-chave aqui é “uniforme”. Sabemos de nossos estudos anteriores que o CM de uma vara uniforme está localizado em seu ponto médio, então é aqui que colocamos o peso C, na marca de 50 cm.

Figura 12.10 Diagrama de corpo livre para a régua de medição. O pivô é escolhido no ponto de apoio S.

Solução

Com (Figura) e (Figura) como referência, começamos encontrando os braços de alavanca das cinco forças que atuam no manche:

Agora podemos encontrar os cinco torques em relação ao pivô escolhido:

A segunda condição de equilíbrio (equação para os torques) para a régua de medidor é

Ao substituir os valores de torque nesta equação, podemos omitir os torques dando contribuições zero. Desta forma, a segunda condição de equilíbrio é

-direcção a ser paralela

a primeira condição de equilíbrio para o stick é

Substituindo as forças, a primeira condição de equilíbrio torna-se

Resolvemos essas equações simultaneamente para os valores desconhecidos

Na (Figura), cancelamos o g fatorar e reorganizar os termos para obter

Para encontrar a força de reação normal, reorganizamos os termos na (Figura), convertendo gramas em quilogramas:

Significado

Observe que (Figura) é independente do valor de g. O balanço de torque pode, portanto, ser usado para medir a massa, uma vez que variações na g-valores na superfície da Terra não afetam essas medições. Este não é o caso de uma balança de mola porque ela mede a força.

Verifique sua compreensão

Repita (Figura) usando a extremidade esquerda da régua para calcular os torques, ou seja, colocando o pivô na extremidade esquerda da régua.

[Revelar-resposta q = & # 8221fs-id1163713490954 & # 8243] Mostrar Solução [/ Revelar-resposta]

No próximo exemplo, mostramos como usar a primeira condição de equilíbrio (equação para forças) na forma vetorial dada por (Figura) e (Figura). Apresentamos esta solução para ilustrar a importância de uma escolha adequada do referencial. Embora todos os referenciais inerciais sejam equivalentes e as soluções numéricas obtidas em um referencial sejam as mesmas que em qualquer outro, uma escolha inadequada de referencial pode tornar a solução bastante longa e complicada, enquanto uma escolha sábia de referencial torna a solução direta. Mostramos isso na solução equivalente para o mesmo problema. Este exemplo particular ilustra uma aplicação de equilíbrio estático à biomecânica.

Exemplo

Forças no antebraço

Um levantador de peso está segurando um peso de 50,0 lb (equivalente a 222,4 N) com o antebraço, conforme mostrado na (Figura). Seu antebraço está posicionado em

em relação ao braço. O antebraço é sustentado por uma contração do músculo bíceps, que causa um torque ao redor do cotovelo. Supondo que a tensão no bíceps atue ao longo da direção vertical dada pela gravidade, que tensão o músculo deve exercer para segurar o antebraço na posição indicada? Qual é a força na articulação do cotovelo? Suponha que o peso do antebraço seja insignificante. Dê suas respostas finais em unidades SI.

Figura 12.11 O antebraço é girado em torno do cotovelo (E) por uma contração do músculo bíceps, o que causa tensão

Estratégia

Identificamos três forças agindo no antebraço: a força desconhecida

no cotovelo a tensão desconhecida

no músculo e no peso

Adotamos o quadro de referência com o x-eixo ao longo do antebraço e o eixo no cotovelo. A direção vertical é a direção do peso, que é a mesma que a direção do braço. O x-eixo faz um ângulo

com a vertical. O y-eixo é perpendicular ao x-eixo. Agora configuramos o diagrama de corpo livre para o antebraço. Primeiro, desenhamos os eixos, o pivô e os três vetores que representam as três forças identificadas. Então localizamos o ângulo

e representar cada força por sua x& # 8211 e y-componentes, lembrando-se de riscar o vetor de força original para evitar a contagem dupla. Finalmente, rotulamos as forças e seus braços de alavanca. O diagrama de corpo livre para o antebraço é mostrado na (Figura). Neste ponto, estamos prontos para estabelecer as condições de equilíbrio para o antebraço. Cada força tem x& # 8211 e y-componentes, portanto, temos duas equações para a primeira condição de equilíbrio, uma equação para cada componente da força resultante atuando no antebraço.

Figura 12.12 Diagrama de corpo livre para o antebraço: O pivô está localizado no ponto E (cotovelo).

Observe que, em nosso quadro de referência, as contribuições para a segunda condição de equilíbrio (para torques) vêm apenas da y-componentes das forças porque o x-componentes das forças são todos paralelos aos seus braços de alavanca, de modo que para qualquer um deles temos

em (Figura). Para o y-componentes que temos

em (Figura). Observe também que o torque da força no cotovelo é zero porque essa força está ligada ao pivô. Portanto, a contribuição para o torque líquido vem apenas dos torques de

Solução

Vemos no diagrama de corpo livre que o x-componente da força resultante satisfaz a equação

e a y-componente da rede de força satisfaz

(Figura) e (Figura) são duas equações da primeira condição de equilíbrio (para forças). Em seguida, lemos no diagrama de corpo livre que o torque líquido ao longo do eixo de rotação é

(Figura) é a segunda condição de equilíbrio (para torques) para o antebraço. O diagrama de corpo livre mostra que os braços de alavanca são

Neste ponto, não precisamos converter polegadas em unidades SI, porque, desde que essas unidades sejam consistentes em (Figura), elas se cancelam. Usando o diagrama de corpo livre novamente, encontramos as magnitudes das forças componentes:

Substituímos essas magnitudes em (Figura), (Figura) e (Figura) para obter, respectivamente,

Quando simplificamos essas equações, vemos que ficamos com apenas duas equações independentes para as duas magnitudes de força desconhecidas, F e T, porque (Figura) para o x-componente é equivalente a (Figura) para o y-componente. Desta forma, obtemos a primeira condição de equilíbrio para as forças

e a segunda condição de equilíbrio para torques

A magnitude da tensão no músculo é obtida resolvendo (Figura):

A força no cotovelo é obtida resolvendo (Figura):

O sinal negativo na equação nos diz que a força real no cotovelo é antiparalela à direção de trabalho adotada para desenhar o diagrama de corpo livre. Na resposta final, convertemos as forças em unidades de força do SI. A resposta é

Significado

Duas questões importantes aqui são dignas de nota. O primeiro diz respeito à conversão em unidades SI, que pode ser feita no final da solução, desde que mantenhamos a consistência nas unidades. A segunda questão importante diz respeito às articulações da dobradiça, como o cotovelo. Na análise inicial de um problema, as juntas de dobradiça devem sempre ser assumidas para exercer uma força em um direção arbitrária, e então você deve resolver para todos os componentes de uma força de dobradiça de forma independente. Neste exemplo, a força do cotovelo é vertical porque o problema pressupõe que a tensão pelo bíceps também seja vertical. Essa simplificação, entretanto, não é uma regra geral.

Solução

Suponha que adotemos um referencial com a direção do y-eixo ao longo do peso de 50 lb e o pivô colocado no cotovelo. Neste quadro, todas as três forças têm apenas y-componentes, então temos apenas uma equação para a primeira condição de equilíbrio (para forças). Desenhamos o diagrama de corpo livre para o antebraço conforme mostrado na (Figura), indicando o pivô, as forças atuantes e seus braços de alavanca em relação ao pivô e os ângulos

(respectivamente) fazem com seus braços de alavanca. Na definição de torque dada por (Figura), o ângulo

é o ângulo de direção do vetor

contado sentido anti-horário da direção radial do braço de alavanca que sempre aponta para longe do pivô. Pela mesma convenção, o ângulo

é medido sentido anti-horário da direção radial do braço de alavanca para o vetor

Feito desta forma, os torques diferentes de zero são mais facilmente calculados substituindo-os diretamente em (Figura) da seguinte forma:

Figura 12.13 Diagrama de corpo livre para o antebraço para a solução equivalente. O pivô está localizado no ponto E (cotovelo).

A segunda condição de equilíbrio,

A partir do diagrama de corpo livre, a primeira condição de equilíbrio (para forças) é

(Figure) is identical to (Figure) and gives the result

We see that these answers are identical to our previous answers, but the second choice for the frame of reference leads to an equivalent solution that is simpler and quicker because it does not require that the forces be resolved into their rectangular components.

Check Your Understanding

Repeat (Figure) assuming that the forearm is an object of uniform density that weighs 8.896 N.

[reveal-answer q=”fs-id1163709773449″]Show Solution[/reveal-answer]

Exemplo

A Ladder Resting Against a Wall

long and weighs 400.0 N. The ladder rests against a slippery vertical wall, as shown in (Figure). The inclination angle between the ladder and the rough floor is

Find the reaction forces from the floor and from the wall on the ladder and the coefficient of static friction

at the interface of the ladder with the floor that prevents the ladder from slipping.

Figure 12.14 A 5.0-m-long ladder rests against a frictionless wall.

Estratégia

We can identify four forces acting on the ladder. The first force is the normal reaction force N from the floor in the upward vertical direction. The second force is the static friction force

directed horizontally along the floor toward the wall—this force prevents the ladder from slipping. These two forces act on the ladder at its contact point with the floor. The third force is the weight C of the ladder, attached at its CM located midway between its ends. The fourth force is the normal reaction force F from the wall in the horizontal direction away from the wall, attached at the contact point with the wall. There are no other forces because the wall is slippery, which means there is no friction between the wall and the ladder. Based on this analysis, we adopt the frame of reference with the y-axis in the vertical direction (parallel to the wall) and the x-axis in the horizontal direction (parallel to the floor). In this frame, each force has either a horizontal component or a vertical component but not both, which simplifies the solution. We select the pivot at the contact point with the floor. In the free-body diagram for the ladder, we indicate the pivot, all four forces and their lever arms, and the angles between lever arms and the forces, as shown in (Figure). With our choice of the pivot location, there is no torque either from the normal reaction force N or from the static friction f because they both act at the pivot.

Figure 12.15 Free-body diagram for a ladder resting against a frictionless wall.

Solução

From the free-body diagram, the net force in the x-direction is

the net force in the y-direction is

and the net torque along the rotation axis at the pivot point is

is the torque of the weight C e

is the torque of the reaction F. From the free-body diagram, we identify that the lever arm of the reaction at the wall is

and the lever arm of the weight is

With the help of the free-body diagram, we identify the angles to be used in (Figure) for torques:

for the torque from the reaction force with the wall, and

for the torque due to the weight. Now we are ready to use (Figure) to compute torques:

We substitute the torques into (Figure) and solve for

We obtain the normal reaction force with the floor by solving (Figure):

The magnitude of friction is obtained by solving (Figure):

The coefficient of static friction is

The net force on the ladder at the contact point with the floor is the vector sum of the normal reaction from the floor and the static friction forces:

We should emphasize here two general observations of practical use. First, notice that when we choose a pivot point, there is no expectation that the system will actually pivot around the chosen point. The ladder in this example is not rotating at all but firmly stands on the floor nonetheless, its contact point with the floor is a good choice for the pivot. Second, notice when we use (Figure) for the computation of individual torques, we do not need to resolve the forces into their normal and parallel components with respect to the direction of the lever arm, and we do not need to consider a sense of the torque. As long as the angle in (Figure) is correctly identified—with the help of a free-body diagram—as the angle measured counterclockwise from the direction of the lever arm to the direction of the force vector, (Figure) gives both the magnitude and the sense of the torque. This is because torque is the vector product of the lever-arm vector crossed with the force vector, and (Figure) expresses the rectangular component of this vector product along the axis of rotation.

Significado

This result is independent of the length of the ladder because eu is cancelled in the second equilibrium condition, (Figure). No matter how long or short the ladder is, as long as its weight is 400 N and the angle with the floor is

our results hold. But the ladder will slip if the net torque becomes negative in (Figure). This happens for some angles when the coefficient of static friction is not great enough to prevent the ladder from slipping.

Check Your Understanding

For the situation described in (Figure), determine the values of the coefficient

of static friction for which the ladder starts slipping, given that

is the angle that the ladder makes with the floor.

[reveal-answer q=”fs-id1163713423927″]Show Solution[/reveal-answer]

Exemplo

Forces on Door Hinges

A swinging door that weighs

is supported by hinges UMA e B so that the door can swing about a vertical axis passing through the hinges (Figure). The door has a width of

and the door slab has a uniform mass density. The hinges are placed symmetrically at the door’s edge in such a way that the door’s weight is evenly distributed between them. The hinges are separated by distance

Find the forces on the hinges when the door rests half-open.

Figure 12.16 A 400-N swinging vertical door is supported by two hinges attached at points A and B.

Estratégia

The forces that the door exerts on its hinges can be found by simply reversing the directions of the forces that the hinges exert on the door. Hence, our task is to find the forces from the hinges on the door. Three forces act on the door slab: an unknown force

attached at the center of mass of the door slab. The CM is located at the geometrical center of the door because the slab has a uniform mass density. We adopt a rectangular frame of reference with the y-axis along the direction of gravity and the x-axis in the plane of the slab, as shown in panel (a) of (Figure), and resolve all forces into their rectangular components. In this way, we have four unknown component forces: two components of force

and two components of force

In the free-body diagram, we represent the two forces at the hinges by their vector components, whose assumed orientations are arbitrary. Because there are four unknowns

we must set up four independent equations. One equation is the equilibrium condition for forces in the x-direction. The second equation is the equilibrium condition for forces in the y-direction. The third equation is the equilibrium condition for torques in rotation about a hinge. Because the weight is evenly distributed between the hinges, we have the fourth equation,

To set up the equilibrium conditions, we draw a free-body diagram and choose the pivot point at the upper hinge, as shown in panel (b) of (Figure). Finally, we solve the equations for the unknown force components and find the forces.

Figure 12.17 (a) Geometry and (b) free-body diagram for the door.

Solução

From the free-body diagram for the door we have the first equilibrium condition for forces:

We select the pivot at point P (upper hinge, per the free-body diagram) and write the second equilibrium condition for torques in rotation about point P:

We use the free-body diagram to find all the terms in this equation:

we use the geometry of the triangle shown in part (a) of the figure. Now we substitute these torques into (Figure) and compute

Therefore the magnitudes of the horizontal component forces are

The forces on the door are

The forces on the hinges are found from Newton’s third law as

Significado

Note that if the problem were formulated without the assumption of the weight being equally distributed between the two hinges, we wouldn’t be able to solve it because the number of the unknowns would be greater than the number of equations expressing equilibrium conditions.

Check Your Understanding

Solve the problem in (Figure) by taking the pivot position at the center of mass.

[reveal-answer q=”fs-id1163713175857″]Show Solution[/reveal-answer]

Check Your Understanding

A 50-kg person stands 1.5 m away from one end of a uniform 6.0-m-long scaffold of mass 70.0 kg. Find the tensions in the two vertical ropes supporting the scaffold.

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=�″]711.0 N 466.0 N[/hidden-answer]

Check Your Understanding

A 400.0-N sign hangs from the end of a uniform strut. The strut is 4.0 m long and weighs 600.0 N. The strut is supported by a hinge at the wall and by a cable whose other end is tied to the wall at a point 3.0 m above the left end of the strut. Find the tension in the supporting cable and the force of the hinge on the strut.

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=�″]1167 N 980 N directed upward at

above the horizontal[/hidden-answer]

Resumo

  • A variety of engineering problems can be solved by applying equilibrium conditions for rigid bodies.
  • In applications, identify all forces that act on a rigid body and note their lever arms in rotation about a chosen rotation axis. Construct a free-body diagram for the body. Net external forces and torques can be clearly identified from a correctly constructed free-body diagram. In this way, you can set up the first equilibrium condition for forces and the second equilibrium condition for torques.
  • In setting up equilibrium conditions, we are free to adopt any inertial frame of reference and any position of the pivot point. All choices lead to one answer. However, some choices can make the process of finding the solution unduly complicated. We reach the same answer no matter what choices we make. The only way to master this skill is to practice.

Conceptual Questions

Is it possible to rest a ladder against a rough wall when the floor is frictionless?

Show how a spring scale and a simple fulcrum can be used to weigh an object whose weight is larger than the maximum reading on the scale.

[reveal-answer q=”fs-id1163709751583″]Show Solution[/reveal-answer]

A painter climbs a ladder. Is the ladder more likely to slip when the painter is near the bottom or near the top?

Problems

A uniform plank rests on a level surface as shown below. The plank has a mass of 30 kg and is 6.0 m long. How much mass can be placed at its right end before it tips? (Hint: When the board is about to tip over, it makes contact with the surface only along the edge that becomes a momentary axis of rotation.)

The uniform seesaw shown below is balanced on a fulcrum located 3.0 m from the left end. The smaller boy on the right has a mass of 40 kg and the bigger boy on the left has a mass 80 kg. What is the mass of the board?

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=�″]40 kg[/hidden-answer]

In order to get his car out of the mud, a man ties one end of a rope to the front bumper and the other end to a tree 15 m away, as shown below. He then pulls on the center of the rope with a force of 400 N, which causes its center to be displaced 0.30 m, as shown. What is the force of the rope on the car?

A uniform 40.0-kg scaffold of length 6.0 m is supported by two light cables, as shown below. An 80.0-kg painter stands 1.0 m from the left end of the scaffold, and his painting equipment is 1.5 m from the right end. If the tension in the left cable is twice that in the right cable, find the tensions in the cables and the mass of the equipment.

[reveal-answer q=�″]Show Answer[/reveal-answer]
[hidden-answer a=�″]right cable, 444.3 N left cable, 888.5 N weight of equipment 156.8 N 16.0 kg[/hidden-answer]

When the structure shown below is supported at point P, it is in equilibrium. Find the magnitude of force F and the force applied at P. The weight of the structure is negligible.

To get up on the roof, a person (mass 70.0 kg) places a 6.00-m aluminum ladder (mass 10.0 kg) against the house on a concrete pad with the base of the ladder 2.00 m from the house. The ladder rests against a plastic rain gutter, which we can assume to be frictionless. The center of mass of the ladder is 2.00 m from the bottom. The person is standing 3.00 m from the bottom. Find the normal reaction and friction forces on the ladder at its base.

[reveal-answer q=”fs-id1163713204708″]Show Solution[/reveal-answer]

A uniform horizontal strut weighs 400.0 N. One end of the strut is attached to a hinged support at the wall, and the other end of the strut is attached to a sign that weighs 200.0 N. The strut is also supported by a cable attached between the end of the strut and the wall. Assuming that the entire weight of the sign is attached at the very end of the strut, find the tension in the cable and the force at the hinge of the strut.

The forearm shown below is positioned at an angle

with respect to the upper arm, and a 5.0-kg mass is held in the hand. The total mass of the forearm and hand is 3.0 kg, and their center of mass is 15.0 cm from the elbow. (a) What is the magnitude of the force that the biceps muscle exerts on the forearm for

(b) What is the magnitude of the force on the elbow joint for the same angle? (c) How do these forces depend on the angle


[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=�″]a. 539 N b. 461 N c. do not depend on the angle[/hidden-answer]

The uniform boom shown below weighs 3000 N. It is supported by the horizontal guy wire and by the hinged support at point UMA. What are the forces on the boom due to the wire and due to the support at UMA? Does the force at UMA act along the boom?

The uniform boom shown below weighs 700 N, and the object hanging from its right end weighs 400 N. The boom is supported by a light cable and by a hinge at the wall. Calculate the tension in the cable and the force on the hinge on the boom. Does the force on the hinge act along the boom?

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=�″]tension 778 N at hinge 778 N at

above the horizontal no[/hidden-answer]

A 12.0-m boom, AB, of a crane lifting a 3000-kg load is shown below. The center of mass of the boom is at its geometric center, and the mass of the boom is 1000 kg. For the position shown, calculate tension T in the cable and the force at the axle UMA.

A uniform trapdoor shown below is 1.0 m by 1.5 m and weighs 300 N. It is supported by a single hinge (H), and by a light rope tied between the middle of the door and the floor. The door is held at the position shown, where its slab makes a

angle with the horizontal floor and the rope makes a

angle with the floor. Find the tension in the rope and the force at the hinge.

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=�″]1500 N 1620 N at

A 90-kg man walks on a sawhorse, as shown below. The sawhorse is 2.0 m long and 1.0 m high, and its mass is 25.0 kg. Calculate the normal reaction force on each leg at the contact point with the floor when the man is 0.5 m from the far end of the sawhorse. (Hint: At each end, find the total reaction force first. This reaction force is the vector sum of two reaction forces, each acting along one leg. The normal reaction force at the contact point with the floor is the normal (with respect to the floor) component of this force.)


Continuous Income Stream

In precalculus, you learned about compound interest in that really simple situation where you made a single deposit into an interest-bearing account and let it sit undisturbed, earning interest, for some period of time. Recall:

Compound Interest Formulas

Let (P) be the principal (initial investment), (r) be the annual interest rate expressed as a decimal, and (A(t)) be the amount in the account at the end of (t) years.

Compounding (n) times per year
Compounded continuously

If you’re using this formula to find what an account will be worth in the future, (t gt 0) and (A(t)) is called the future value.

If you're using the formula to find what you need to deposit today to have a certain value (P) sometime in the future, (t lt 0) and (A(t)) is called the present value.

You may also have learned somewhat more complicated annuity formulas to deal with slightly more complicated situations &ndash where you make equal deposits equally spaced in time.

But real life is not usually so neat.

Calculus allows us to handle situations where deposits are flowing continuously into an account that earns interest. As long as we can model the flow of income with a function, we can use a definite integral to calculate the present and future value of a continuous income stream. The idea here is that each little bit of income in the future needs to be multiplied by the exponential function to bring it back to the present, and then we'll add them all up (a definite integral).

Continuous Income Stream

Suppose money can earn interest at an annual interest rate of r, compounded continuously. Let F(t) be a continuous income function (in dollars per year) that applies between year 0 and year T.

Then the present value of that income stream is given by [ PV = intlimits_0^T F(t)e^<-rt>, dt. ]

The future value can be computed by the ordinary compound interest formula [ FV = PVe^. ]

This is a useful way to compare two investments &ndash find the present value of each to see which is worth more today.

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Example 3

You have an opportunity to buy a business that will earn $75,000 per year continuously over the next eight years. Money can earn 2.8% per year, compounded continuously. Is this business worth its purchase price of $630,000?

First, please note that we still have to make some simplifying assumptions. We have to assume that the interest rates are going to remain constant for that entire eight years. We also have to assume that the $75,000 per year is coming in continuously, like a faucet dripping dollars into the business. Neither of these assumptions might be accurate.

But moving on: The present value of the $630,000 is, well, $630,000. This is one investment, where we put our $630,000 in the bank and let it sit there.

To find the present value of the business, we think of it as an income stream. The function (F(t)) in this case is a constant $75,000 dollars per year, so (F(t) = 75,!000). The interest rate is 2.8% and the term we're interested in is 8 years, so (r = .028), and (T = 8): [ PV=intlimits_0^8 75000e^<-0.028t>, dt approx 537,!548.75 ]

The present value of the business is about $537,500, which is less than the $630,000 asking price, so this is not a good deal.

While this integral could have been done using substitution, for many of the integrals in this section we don't have the techniques to use antiderivatives or, in some cases, no antiderivative exists. Technology will work quickly, and it will give you an answer that is good enough.

Example 4

A company is considering purchasing a new machine for its production floor. The machine costs $65,000. The company estimates that the additional income from the machine will be a constant $7000 for the first year, then will increase by $800 each year after that. In order to buy the machine, the company needs to be convinced that it will pay for itself by the end of 8 years with this additional income. Money can earn 1.7% per year, compounded continuously. Should the company buy the machine?

We'll assume that the income will come in continuously over the 8 years. We’ll also assume that interest rates will remain constant over that 8-year time period.

We're interested in the present value of the machine, which we will compare to its $65,000 price tag. Let (t) be the time, in years, since the purchase of the machine. The income from the machine is different depending on the time.

From (t = 0) to (t = 1) (the first year), the income is constant $7000 per year. From (t = 1) to (t = 8), the income is increasing by $800 each year the income flow function (F(t)) will be ( F(t)=7000+800(t-1)=6200+800t ). To find the present value, we'll have to divide the integral into the two pieces, one for each of the functions: [ PV=intlimits_0^1 7000e^<-0.017t>, dt + intlimits_1^8 (6200+800t)e^<-0.017t>, dt approx 70166. ]

The present value is greater than the cost of the machine, so the company should buy the machine.


Step 1: Combine and balance the two half-reactions.

The oxidation half-reaction produces 2 electrons and the reduction half-reaction needs 6 electrons. To balance the charge, the oxidation reaction must be multiplied by a factor of 3.
3 SO2(g) + 6 H20(ℓ) → 3 SO4 - (aq) + 12 H + (aq) + 6 e -
+ Cr2O7 2- (aq) + 14 H + (aq) + 6 e - → 2 Cr 3+ (aq) + 7 H2O(ℓ)
3 SO2(g) + Cr2O7 2- (aq) + 2 H + (aq) → 3 SO4 - (aq) + 2 Cr 3+ (aq) + H2O(ℓ)
By balancing the equation, we now know the total number of electrons exchanged in the reaction. This reaction exchanged six electrons.

Step 2: Calculate the cell potential.
This electrochemical cell EMF example problem shows how to calculate cell potential of a cell from standard reduction potentials.**
célula = E°ox + E°vermelho
célula = -0.20 V + 1.33 V
célula = +1.13 V

Step 3: Find the equilibrium constant, K.
When a reaction is at equilibrium, the change in free energy is equal to zero.

The change in free energy of an electrochemical cell is related to the cell potential of the equation:
ΔG = -nFEcélula
Onde
ΔG is the free energy of the reaction
n is the number of moles of electrons exchanged in the reaction
F is Faraday's constant (96484.56 C/mol)
E is the cell potential.

The cell potential and free energy example shows how to calculate free energy of a redox reaction.
If ΔG = 0:, solve for Ecélula
0 = -nFEcélula
Ecélula = 0 V
This means, at equilibrium, the potential of the cell is zero. The reaction progresses forward and backward at the same rate, meaning there is no net electron flow. With no electron flow, there is no current and the potential is equal to zero.
Now there is enough information known to use the Nernst equation to find the equilibrium constant.

The Nernst equation is:
Ecélula = E°célula - (RT/nF) x log10Q
Onde
Ecélula is the cell potential
célula refers to standard cell potential
R is the gas constant (8.3145 J/mol·K)
T is the absolute temperature
n is the number of moles of electrons transferred by the cell's reaction
F is Faraday's constant (96484.56 C/mol)
Q is the reaction quotient

**The Nernst equation example problem shows how to use the Nernst equation to calculate cell potential of a non-standard cell.**

At equilibrium, the reaction quotient Q is the equilibrium constant, K. This makes the equation:
Ecélula = E°célula - (RT/nF) x log10K
From above, we know the following:
Ecélula = 0 V
célula = +1.13 V
R = 8.3145 J/mol·K
T = 25 &degC = 298.15 K
F = 96484.56 C/mol
n = 6 (six electrons are transferred in the reaction)

Solve for K:
0 = 1.13 V - [(8.3145 J/mol·K x 298.15 K)/(6 x 96484.56 C/mol)]log10K
-1.13 V = - (0.004 V)log10K
registro10K = 282.5
K = 10 282.5
K = 10 282.5 = 10 0.5 x 10 282
K = 3.16 x 10 282
Responder:
The equilibrium constant of the cell's redox reaction is 3.16 x 10 282 .


5.1 Price Elasticity of Demand and Price Elasticity of Supply

Both the demand and supply curve show the relationship between price and the number of units demanded or supplied. Price elasticity is the ratio between the percentage change in the quantity demanded (Qd) or supplied (Qs) and the corresponding percent change in price. The price elasticity of demand is the percentage change in the quantity demanded of a good or service divided by the percentage change in the price. The price elasticity of supply is the percentage change in quantity fornecido divided by the percentage change in price.

We can usefully divide elasticities into three broad categories: elastic, inelastic, and unitary. Because price and quantity demanded move in opposite directions, price elasticity of demand is always a negative number. Therefore, price elasticity of demand is usually reported as its absolute value, without a negative sign. The summary in Table 5.1 is assuming absolute values for price elasticity of demand. An elastic demand or elastic supply is one in which the elasticity is greater than one, indicating a high responsiveness to changes in price. Elasticities that are less than one indicate low responsiveness to price changes and correspond to inelastic demand or inelastic supply . Unitary elasticities indicate proportional responsiveness of either demand or supply, as Table 5.1 summarizes.

Link It Up

Before we delve into the details of elasticity, enjoy this article on elasticity and ticket prices at the Super Bowl.

To calculate elasticity along a demand or supply curve economists use the average percent change in both quantity and price. This is called the Midpoint Method for Elasticity, and is represented in the following equations:

The advantage of the Midpoint Method is that one obtains the same elasticity between two price points whether there is a price increase or decrease. This is because the formula uses the same base (average quantity and average price) for both cases.

Calculating Price Elasticity of Demand

Let’s calculate the elasticity between points A and B and between points G and H as Figure 5.2 shows.

First, apply the formula to calculate the elasticity as price decreases from $70 at point B to $60 at point A:

This means that, along the demand curve between point B and A, if the price changes by 1%, the quantity demanded will change by 0.45%. A change in the price will result in a smaller percentage change in the quantity demanded. For example, a 10% aumentar in the price will result in only a 4.5% decrease in quantity demanded. A 10% decrease in the price will result in only a 4.5% aumentar in the quantity demanded. Price elasticities of demand are negative numbers indicating that the demand curve is downward sloping, but we read them as absolute values. The following Work It Out feature will walk you through calculating the price elasticity of demand.

Work It Out

Finding the Price Elasticity of Demand

Calculate the price elasticity of demand using the data in Figure 5.2 for an increase in price from G to H. Has the elasticity increased or decreased?

Step 2. From the Midpoint Formula we know that:

Step 3. So we can use the values provided in the figure in each equation:

Step 4. Then, we can use those values to determine the price elasticity of demand:

Therefore, the elasticity of demand from G to is H 1.47. The magnitude of the elasticity has increased (in absolute value) as we moved up along the demand curve from points A to B. Recall that the elasticity between these two points was 0.45. Demand was inelastic between points A and B and elastic between points G and H. This shows us that price elasticity of demand changes at different points along a straight-line demand curve .

Calculating the Price Elasticity of Supply

Assume that an apartment rents for $650 per month and at that price the landlord rents 10,000 units are rented as Figure 5.3 shows. When the price increases to $700 per month, the landlord supplies 13,000 units into the market. By what percentage does apartment supply increase? What is the price sensitivity?

Using the Midpoint Method ,

Again, as with the elasticity of demand, the elasticity of supply is not followed by any units. Elasticity is a ratio of one percentage change to another percentage change—nothing more—and we read it as an absolute value. In this case, a 1% rise in price causes an increase in quantity supplied of 3.5%. The greater than one elasticity of supply means that the percentage change in quantity supplied will be greater than a one percent price change. If you're starting to wonder if the concept of slope fits into this calculation, read the following Clear It Up box.

Clear It Up

Is the elasticity the slope?

It is a common mistake to confuse the slope of either the supply or demand curve with its elasticity. The slope is the rate of change in units along the curve, or the rise/run (change in y over the change in x). For example, in Figure 5.2, at each point shown on the demand curve, price drops by $10 and the number of units demanded increases by 200 compared to the point to its left. The slope is –10/200 along the entire demand curve and does not change. The price elasticity, however, changes along the curve. Elasticity between points A and B was 0.45 and increased to 1.47 between points G and H. Elasticity is the percentagem change, which is a different calculation from the slope and has a different meaning.

When we are at the upper end of a demand curve, where price is high and the quantity demanded is low, a small change in the quantity demanded, even in, say, one unit, is pretty big in percentage terms. A change in price of, say, a dollar, is going to be much less important in percentage terms than it would have been at the bottom of the demand curve. Likewise, at the bottom of the demand curve, that one unit change when the quantity demanded is high will be small as a percentage.

Thus, at one end of the demand curve, where we have a large percentage change in quantity demanded over a small percentage change in price, the elasticity value would be high, or demand would be relatively elastic. Even with the same change in the price and the same change in the quantity demanded, at the other end of the demand curve the quantity is much higher, and the price is much lower, so the percentage change in quantity demanded is smaller and the percentage change in price is much higher. That means at the bottom of the curve we'd have a small numerator over a large denominator, so the elasticity measure would be much lower, or inelastic.

As we move along the demand curve, the values for quantity and price go up or down, depending on which way we are moving, so the percentages for, say, a $1 difference in price or a one unit difference in quantity, will change as well, which means the ratios of those percentages and hence the elasticity will change.


Assista o vídeo: Arvore do Reggae - Ponto de Equilibrio Com legenda (Outubro 2021).