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2.16: Resolver equações usando números inteiros; A Propriedade da Divisão da Igualdade (Parte 2)


Traduzir para uma equação e resolver

Em vários exemplos anteriores, recebemos uma equação contendo uma variável. Nos próximos exemplos, primeiro teremos que traduzir palavras-sentenças em equações com variáveis ​​e, em seguida, resolveremos as equações.

Exemplo ( PageIndex {7} ): traduzir

Traduza e resolva: cinco a mais que (x ) é igual a (- 3 ).

Solução

Traduzir.x + 5 = −3
Subtraia 5 de ambos os lados.x + 5 - 5 = −3 - 5
Simplificar.x = −8

Verifique a resposta substituindo-a na equação original.

[ begin {split} x + 5 & = -3 -8 + 5 & stackrel {?} {=} -3 -3 & = -3 ; checkmark end {split} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {13} )

Traduza e resolva: Sete mais que (x ) é igual a (- 2 ).

Responder

(x + 7 = -2 ); (x = -9 )

Exercício ( PageIndex {14} )

Traduza e resolva: Onze a mais que (y ) é igual a (2 ).

Responder

(y + 11 = 2 ); (y = -9 )

Exemplo ( PageIndex {8} ): traduzir

Traduza e resolva: a diferença de (n ) e (6 ) é (- 10 ).

Solução

Traduzir.n - 6 = −10
Adicione 6 para cada lado.n - 6 + 6 = −10 + 6
Simplificar.n = −4

Verifique a resposta substituindo-a na equação original.

[ begin {split} n - 6 & = -10 -4 - 6 & stackrel {?} {=} -10 -10 & = -10 ; checkmark end {split} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {15} )

Traduza e resolva: a diferença de (p ) e (2 ) é (- 4 ).

Responder

(p-2 = -4 ); (p = -2 )

Exercício ( PageIndex {16} )

Traduzir e resolver: a diferença de (q ) e (7 ) é (- 3 ).

Responder

(q-7 = -3 ); (q = 4 )

Exemplo ( PageIndex {9} ): traduzir

Traduza e resolva: o número (108 ) é o produto de (- 9 ) e (y ).

Solução

Traduzir.108 = −9y
Divida por -9.$$ dfrac {108} {- 9} = dfrac {-9y} {- 9} $$
Simplificar.−12 = y

Verifique a resposta substituindo-a na equação original.

[ begin {split} 108 & = -9y 108 & stackrel {?} {=} - 9 (-12) 108 & = 108 ; checkmark end {split} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {17} )

Traduza e resolva: o número (132 ) é o produto de (- 12 ) e (y ).

Responder

(132 = -12y ); (y = -11 )

Exercício ( PageIndex {18} )

Traduza e resolva: O número (117 ) é o produto de (- 13 ) e (z ).

Responder

(117 = -13z ); (z = -9 )

Conceitos chave

  • Como determinar se um número é uma solução para uma equação.
    • Etapa 1. Substitua o número da variável na equação.
    • Etapa 2. Simplifique as expressões em ambos os lados da equação.
    • Etapa 3. Determine se a equação resultante é verdadeira.
      • Se for verdade, o número é uma solução.
      • Se não for verdade, o número não é solução.
  • Propriedades das Igualdades
    Subtração Propriedade da IgualdadeAdição de Propriedade de Igualdade
  • Propriedade da Divisão da Igualdade
    • Para quaisquer números (a, b, c ) e (c neq 0 ), se (a = b ), então ( dfrac {a} {c} = dfrac {b} {c } )

A prática leva à perfeição

Determine se um número é a solução de uma equação

Nos exercícios a seguir, determine se cada número é uma solução da equação fornecida.

  1. 4x - 2 = 6
    1. x = −2
    2. x = -1
    3. x = 2
  2. 4y - 10 = −14
    1. y = −6
    2. y = -1
    3. y = 1
  3. 9a + 27 = −63
    1. a = 6
    2. a = −6
    3. a = −10
  4. 7c + 42 = −56
    1. c = 2
    2. c = −2
    3. c = −14

Resolva equações usando as propriedades de adição e subtração de igualdade

Nos exercícios a seguir, resolva o desconhecido.

  1. n + 12 = 5
  2. m + 16 = 2
  3. p + 9 = −8
  4. q + 5 = -6
  5. u - 3 = −7
  6. v - 7 = −8
  7. h - 10 = −4
  8. k - 9 = −5
  9. x + (−2) = −18
  10. y + (−3) = −10
  11. r - (−5) = −9
  12. s - (−2) = −11

Modelar a Propriedade da Divisão de Igualdade

Nos exercícios a seguir, escreva a equação modelada pelos envelopes e contadores e, em seguida, resolva-a.

Resolva equações usando a propriedade de divisão da igualdade

Nos exercícios a seguir, resolva cada equação usando a propriedade de divisão de igualdade e verifique a solução.

  1. 5x = 45
  2. 4p = 64
  3. -7c = 56
  4. -9x = 54
  5. −14p = −42
  6. −8m = −40
  7. -120 = 10q
  8. −75 = 15a
  9. 24x = 480
  10. 18n = 540
  11. -3z = 0
  12. 4u = 0

Traduzir para uma equação e resolver

Nos exercícios a seguir, traduza e resolva.

  1. Quatro a mais que n é igual a 1.
  2. Nove mais do que m é igual a 5.
  3. A soma de oito ep é −3.
  4. A soma de dois eq é −7.
  5. A diferença de a e três é -14.
  6. A diferença de be 5 é -2.
  7. O número −42 é o produto de −7 e x.
  8. O número −54 é o produto de −9 e y.
  9. O produto de f e −15 é 75.
  10. O produto de ge −18 é 36.
  11. −6 mais c é igual a 4.
  12. -2 mais d é igual a 1.
  13. Nove a menos que n é −4.
  14. Treze a menos que n é −10.

Prática Mista

Nos exercícios a seguir, resolva.

  1. (a) x + 2 = 10 (b) 2x = 10
  2. (a) y + 6 = 12 (b) 6y = 12
  3. (a) −3p = 27 (b) p - 3 = 27
  4. (a) −2q = 34 (b) q - 2 = 34
  5. a - 4 = 16
  6. b - 1 = 11
  7. −8m = −56
  8. −6n = −48
  9. −39 = u + 13
  10. -100 = v + 25
  11. 11r = −99
  12. 15s = −300
  13. 100 = 20d
  14. 250 = 25n
  15. −49 = x - 7
  16. 64 = y - 4

Matemática cotidiana

  1. Embalagem de biscoitos Um pacote de 51 cookies possui 3 fileiras iguais de cookies. Encontre o número de cookies em cada linha, c, resolvendo a equação 3c = 51.
  2. Aula de jardim de infância A turma do jardim de infância de Connie tem 24 crianças. Ela quer que eles formem 4 grupos iguais. Encontre o número de crianças em cada grupo, g, resolvendo a equação 4g = 24.

Exercícios de escrita

  1. A modelagem da propriedade de divisão da igualdade com envelopes e contadores é útil para entender como resolver a equação 3x = 15? Explique por que ou por que não.
  2. Suponha que você esteja usando envelopes e contadores para modelar a solução das equações x + 4 = 12 e 4x = 12. Explique como você resolveria cada equação.
  3. Frida começou a resolver a equação −3x = 36 adicionando 3 a ambos os lados. Explique por que o método de Frida não resolverá a equação.
  4. Raoul começou a resolver a equação 4y = 40 subtraindo 4 de ambos os lados. Explique por que o método de Raoul não resolverá a equação.

Auto-verificação

(a) Depois de completar os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

(b) De modo geral, depois de olhar a lista de verificação, você acha que está bem preparado para o próximo capítulo? Por que ou por que não?


2.16: Resolva Equações Usando Inteiros A Propriedade Divisão da Igualdade (Parte 2)

As maçãs são colhidas & # 8211agora & # 8217s hora de dividi-las!

Depois de um dia colhendo maçãs, Jessica, Mark e Kim decidem dividir suas maçãs igualmente. Em sua cesta compartilhada, eles contam [látex] 39 [/ látex] no total. Quantas maçãs cada um pode levar para casa? Para descobrir, eles precisarão usar a divisão em uma equação de variável de uma etapa. Nesta seção, você aprenderá como manter a igualdade em ambos os lados da equação e resolver para uma variável.

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

Teste de prontidão

Se você não percebeu esse problema, revise este exemplo.

Avalie [latex] x + 7 [/ latex] quando

1. Para avaliar, substitua [latex] 3 [/ latex] por [latex] x [/ latex] na expressão e simplifique.

[latex] x + 7 [/ latex]
Substituto. [latex] color<3> +7 [/ latex]
Adicionar. [latex] 10 [/ latex]

Quando [latex] x = 3 [/ latex], a expressão [latex] x + 7 [/ latex] tem um valor de [latex] 10 [/ latex].
2. Para avaliar, substitua [latex] 12 [/ latex] por [latex] x [/ latex] na expressão e simplifique.

[latex] x + 7 [/ latex]
Substituto. [latex] color<12> +7 [/ latex]
Adicionar. [latex] 19 [/ latex]

Quando [latex] x = 12 [/ latex], a expressão [latex] x + 7 [/ latex] tem um valor de [latex] 19 [/ latex].

Se você não percebeu esse problema, analise o exemplo abaixo.

Avalie [latex] 9x - 2, [/ latex] quando

Solução
Lembre-se de [latex] ab [/ latex] significa [latex] a [/ latex] vezes [latex] b [/ latex], então [latex] 9x [/ latex] significa [latex] 9 [/ latex] vezes [latex] x [/ latex].
1. Para avaliar a expressão quando [latex] x = 5 [/ latex], substituímos [latex] 5 [/ latex] por [latex] x [/ latex] e, em seguida, simplificamos.

[latex] 9x-2 [/ latex]
Substituir [látex] cor<5> [/ latex] para x. [latex] 9 cdot color<5> -2 [/ latex]
Multiplicar. [látex] 45-2 [/ látex]
Subtrair. [latex] 43 [/ latex]

2. Para avaliar a expressão quando [latex] x = 1 [/ latex], substituímos [latex] 1 [/ latex] por [latex] x [/ latex] e, em seguida, simplificamos.

[latex] 9x-2 [/ latex]
Substituir [látex] cor<1> [/ latex] para x. [latex] 9 ( color<1>) -2 [/ latex]
Multiplicar. [látex] 9-2 [/ látex]
Subtrair. [latex] 7 [/ latex]

Observe que na parte 1 escrevemos [latex] 9 cdot 5 [/ latex] e na parte 2 escrevemos [latex] 9 left (1 right) [/ latex]. Tanto o ponto quanto os parênteses nos dizem para multiplicar.

Se você perdeu este problema, analise o seguinte vídeo


2.3.1: Equações de duas etapas

Como um projeto de meio termo em uma aula de música, alguns alunos têm a oportunidade de assistir a um concerto de jazz ao vivo e descrever a música para a classe. O professor de música, Sr. Cooper, comprou alguns ingressos. A taxa de serviço para comprar ingressos para o concerto de jazz é de 9 dólares, e cada ingresso custa 12 dólares. Se o custo total dos ingressos fosse de 93 dólares, você consegue descobrir quantos ingressos o Sr. Cooper comprou?

Neste conceito, você aprenderá a resolver equações de duas etapas.

Resolvendo Equações de Duas Etapas

Às vezes, quando os números são inteiros pequenos, você pode ser capaz de resolver um equação de duas etapas pensando nisso. Por exemplo, você pode resolver 3x + 3 = 9?

Aqui os números são pequenos. Você provavelmente pode olhar para esta equação e se perguntar: & ldquoQue número vezes três mais três é nove? & Rdquo A resposta lógica é 2. Você pode verificar sua resposta substituindo 2 por x, para ver se os dois lados da equação são iguais . Se estiverem, seu trabalho é preciso.

Deixe & rsquos inserir 2 para x para verificar essa possível resposta.

Como é verdade que 9 = 9, a resposta x = 2 funciona.

À medida que as equações ficam mais complexas, é importante usar propriedades de igualdade para isole a variável e resolver a equação.

Aqui estão as propriedades de igualdade de que você precisa para isolar termos e resolver equações.

O Subtração Propriedade da Igualdade é usado quando você tem uma equação com adição. Ele afirma que você pode subtrair a mesma quantidade de ambos os lados da equação sem alterar a igualdade.

O Adição de Propriedade de Igualdade é usado quando você tem uma equação com subtração. Ele afirma que você pode adicionar a mesma quantidade a ambos os lados da equação sem alterar a igualdade.

O Propriedade da Divisão da Igualdade é usado quando você tem uma equação com uma variável multiplicada por um número. Ele afirma que você pode dividir os dois lados de uma equação pela mesma quantidade (desde que essa quantidade não seja igual a zero) sem alterar a igualdade.

O Propriedade de multiplicação da igualdade é usado quando você tem uma equação com uma variável dividida por um número. Ele afirma que você pode multiplicar os dois lados de uma equação pela mesma quantidade sem alterar a igualdade.

Vamos dar uma olhada em um exemplo e usar propriedades de igualdade para isolar a variável e resolver a equação.

Existem dois termos no lado esquerdo da equação, 2 e 3n.

A primeira etapa é obter o termo com a variável, 3n, sozinho em um lado do sinal de igual (=).

Na equação, 2 é adicionado a 3n. Então, você usa o inverso da adição, que é a subtração, e subtrai 2 de ambos os lados da equação.

Você pode fazer isso por causa da propriedade de subtração de igualdade. Essa propriedade afirma que, para manter os valores em ambos os lados da equação iguais, tudo o que é subtraído de um lado da equação também deve ser subtraído do outro lado.

Vamos & rsquos ver o que acontece quando subtraímos 2 de ambos os lados da equação

Agora o problema é muito mais simples. Você reduziu uma equação de duas etapas a uma equação de uma etapa.

Em seguida, use a propriedade de divisão de igualdade e divida ambos os lados da equação por 3. Em seguida, simplifique.

Esta é uma equação de duas etapas. O objetivo final é isolar a variável x. Isso será mais fácil de fazer se o termo com a variável, 2x estiver sozinho em um lado da equação.

Primeiro, para obter 2x sozinho em um lado da equação, use a propriedade de adição de igualdade para adicionar 5 a ambos os lados da equação.

Agora, a equação de duas etapas é uma equação de uma etapa e é muito mais fácil de resolver.

Em seguida, use a propriedade de divisão de igualdade e divida ambos os lados da equação por 2, para isolar a variável x.

Primeiro, use a propriedade de adição de igualdade para obter x5 sozinho em um lado da equação. Adicione 8 a ambos os lados da equação.

Agora, a equação de duas etapas foi reduzida a uma equação de uma etapa. Como x é dividido por 5, você precisa usar o inverso da divisão, multiplicação, para isolar a variável x.

Em seguida, use a propriedade de multiplicação de igualdade e multiplique ambos os lados da equação por 5. Em seguida, simplifique os dois lados da equação.

Exemplos

Anteriormente, você teve um problema sobre o Sr. Cooper e sua aula de música.

Ele comprou ingressos para um show de jazz incrível para alguns alunos. Havia uma taxa de serviço de US $ 9 por pedido e cada ingresso custava US $ 12. O custo total do pedido foi de $ 93. Você pode escrever uma equação para representar esta situação e então resolvê-la?

Primeiro, seja n o número de ingressos comprados. O custo total é de 9 mais 12 vezes o número de ingressos comprados. Esse custo total é 93. Traduza isso para uma equação.

Em seguida, resolva a equação de duas etapas.

Primeiro isole 12n. Use a propriedade de subtração de igualdade e subtraia 9 de ambos os lados da equação.

Agora, resolva a equação de uma etapa. Use a propriedade de divisão de igualdade e divida ambos os lados da equação por 12.

A resposta é que o Sr. Cooper comprou 7 ingressos.

Um paisagista cobra US $ 35 por cada trabalho de paisagismo, mais US $ 20 por cada hora trabalhada. Depois de um trabalho de paisagismo, o paisagista cobrou US $ 95.

  1. Escreva uma equação algébrica para representar h, o número de horas que o paisagista trabalhou naquele trabalho de $ 95.
  2. Quantas horas esse trabalho demorou?

O paisagista ganhava $ 20 para cada hora trabalhada naquele trabalho, então você multiplica $ 20 por h, o número de horas trabalhadas, para descobrir como o paisagista cobrava pelas horas trabalhadas e, em seguida, soma os $ 35 iniciais. Isso equivale à cobrança total de $ 95.

Resolva a equação para encontrar o número de horas que o paisagista trabalhou naquele trabalho.

Primeiro, para isolar o termo 20h use a propriedade de subtração de igualdade e subtraia 35 de ambos os lados da equação.

A equação de duas etapas foi reduzida a uma equação de uma etapa.

Em seguida, use a propriedade de divisão de igualdade para isolar a variável h e divida ambos os lados da equação por 20.

A resposta é que o paisagista trabalhou por 3 horas no emprego de US $ 95.

Resolva cada equação.

Primeiro, use a propriedade de subtração de igualdade e subtraia 7 de ambos os lados da equação.

Em seguida, use a propriedade de divisão de igualdade e divida cada lado da equação por 5.

Primeiro, use a propriedade de subtração de igualdade e subtraia 9 de ambos os lados da equação.

Em seguida, use a propriedade de divisão de igualdade e divida ambos os lados da equação por 3.

Primeiro, use a propriedade de adição de igualdade e adicione 8 a ambos os lados da equação.

Em seguida, use a propriedade de multiplicação de igualdade e multiplique ambos os lados da equação por 4.

Análise

Resolva cada equação de duas etapas para a variável desconhecida.

  1. 3x + 2 = 14
  2. 6y + 5 = 29
  3. 7x + 3 = 24
  4. 5x + 7 = 42
  5. 6y + 1 = 43
  6. 9a + 7 = 88
  7. 11b + 12 = 56
  8. 12x e menos 3 = 21
  9. 4a e menos 5 = 19
  10. 3a e menos9 = 21
  11. 5b e menos 8 = 37
  12. 7x e menos10 = 39
  13. 6x e menos 12 = 30

Escreva uma equação para cada problema de palavra e, em seguida, resolva para a variável desconhecida.

  1. Augusta vende camisetas na loja da escola. Na terça-feira, Augusta vendeu 7 menos do que o dobro de camisetas que vendeu na segunda-feira. Ela vendeu 3 camisetas na terça-feira. Escreva uma equação algébrica para representar m, o número de camisetas que agosto vendeu na segunda-feira.
  2. Existem 19 berlindes verdes em uma caixa. O número de berlindes verdes na caixa é 6 mais da metade do número de berlindes vermelhos na caixa. Escreva uma equação algébrica para representar r, o número de bolinhas vermelhas na caixa.

Revisão (respostas)

Para ver as respostas da revisão, abra este arquivo PDF e procure a seção 7.12.

Vocabulário

Prazo Definição
Adição de Propriedade de Igualdade A propriedade de adição de igualdade afirma que você pode adicionar a mesma quantidade a ambos os lados de uma equação sem alterar a verdade relativa da afirmação. Se 2x = 6, então 2x + 2 = 6 + 2.
Propriedade da Divisão da Igualdade A propriedade de divisão da igualdade afirma que dois valores iguais permanecem iguais se ambos forem divididos pelo mesmo número. Por exemplo: Se 2x = 8, então 1x = 4.
Operação Inversa As operações inversas são operações que se & quotam & quotam. A multiplicação é a operação inversa da divisão. A adição é a operação inversa da subtração.
Isole a variável Isolar a variável significa manipular uma equação de forma que a variável indicada fique sozinha em um lado do sinal de igual.
Propriedade de multiplicação da igualdade A propriedade de multiplicação da igualdade afirma que, se a mesma constante for multiplicada para ambos os lados da equação, a igualdade é verdadeira.
Subtração Propriedade da Igualdade A propriedade de subtração de igualdade afirma que você pode subtrair a mesma quantidade de ambos os lados de uma equação e ela ainda ficará equilibrada.
Equação de duas etapas Uma equação de duas etapas é uma equação algébrica com duas operações e que requer duas etapas para ser resolvida.

Recursos adicionais

PLIX: Brinque, Aprenda, Interaja, eXplore: Equação da camiseta

Atividade: Equações de duas etapas e propriedades de questões para discussão de igualdade


2.16: Resolva Equações Usando Inteiros A Propriedade Divisão da Igualdade (Parte 2)

O tópico de resolução de equações quadráticas foi dividido em duas seções para o benefício de quem vê isso na web. Como uma única seção, o tempo de carregamento da página teria sido muito longo. Esta é a segunda seção sobre como resolver equações quadráticas.

Na seção anterior, examinamos o uso de fatoração e a propriedade da raiz quadrada para resolver equações quadráticas. O problema é que esses dois métodos de solução nem sempre funcionam. Nem todo quadrático é fatorável e nem todo quadrático está na forma exigida para a propriedade da raiz quadrada.

Agora é hora de começar a procurar métodos que funcionem para todas as equações quadráticas. Portanto, nesta seção, veremos como completar o quadrado e a fórmula quadrática para resolver a equação quadrática,

Completando o quadrado

O primeiro método que veremos nesta seção é completar o quadrado. É chamado assim porque usa um processo chamado completar o quadrado no processo de solução. Portanto, devemos primeiro definir o que é completar o quadrado.

e observe que o x 2 tem um coeficiente de um. Isso é necessário para fazer isso. Agora, vamos adicionar (< left (< frac<2>> right) ^ 2> ). Fazer isso dá o seguinte fatorável Equação quadrática.

Este processo é chamado Completando o quadrado e se fizermos toda a aritmética corretamente, podemos garantir que o quadrático será fatorado como um quadrado perfeito.

Vamos fazer alguns exemplos para apenas completar o quadrado antes de ver como usamos isso para resolver equações quadráticas.

Este é o número que adicionaremos à equação.

Observe que mantivemos o sinal de menos aqui, embora ele sempre caia depois de acertarmos as coisas. A razão para isso ficará aparente em um segundo. Vamos agora completar o quadrado.

Agora, este é um quadrático que espero que você possa fatorar rapidamente. No entanto, observe que ele sempre será fatorado como (x ) mais o número azul que calculamos acima que está entre parênteses (em nosso caso, é -8). Este é o motivo de deixar o sinal de menos. Isso garante que não cometamos erros no processo de factoring.

Este é o número de que precisaremos desta vez.

É uma fração e isso vai acontecer com bastante frequência com eles, então não fique animado com isso. Além disso, deixe-o como uma fração. Não converta para um decimal. Agora complete o quadrado.

Este não é tão fácil de calcular. No entanto, se você lembrar novamente que isso SEMPRE será fatorado como (y ) mais o número azul acima, não precisamos nos preocupar com o processo de fatoração.

Agora é hora de ver como usamos o preenchimento do quadrado para resolver uma equação quadrática. O processo é melhor visto quando trabalhamos com um exemplo, então vamos fazer isso.

Faremos o primeiro problema detalhadamente dando explicitamente cada passo. Nos problemas restantes, apenas faremos o trabalho sem tantas explicações.

Passo 1 : Divida a equação pelo coeficiente do x 2 prazo. Lembre-se de que completar o quadrado exigia um coeficiente de um neste termo e isso garantirá que o conseguiremos. Não precisamos fazer isso para esta equação, no entanto.

Passo 2 : Configure a equação para que os (x ) ’s estejam no lado esquerdo e a constante no lado direito.

etapa 3 : Complete o quadrado do lado esquerdo. No entanto, desta vez, precisaremos adicionar o número a ambos os lados do sinal de igual, em vez de apenas ao lado esquerdo. Isso ocorre porque temos que lembrar a regra de que o que fazemos para um lado de uma equação, precisamos fazer para o outro lado da equação.

Primeiro, aqui está o número que adicionamos a ambos os lados.

Passo 4 : Agora, neste ponto, observe que podemos usar a propriedade da raiz quadrada nesta equação. Esse foi o objetivo das três primeiras etapas. Isso nos dará a solução para a equação.

[x - 3 = pm sqrt 8 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = 3 pm sqrt 8 ]

E esse é o processo. Vamos fazer as partes restantes agora.

Não incluiremos explicitamente as etapas desta vez, nem daremos muitas explicações para essa equação. Dito isso, observe que teremos que dar o primeiro passo desta vez. Não temos um coeficiente de um no x 2 termo e, portanto, precisaremos dividir a equação por aquele primeiro.

Aqui está o trabalho para esta equação.

Não se esqueça de converter raízes quadradas de números negativos em números complexos!

Novamente, não vamos dar muitas explicações para esse problema.

Neste ponto, devemos ter cuidado ao calcular o número para completar o quadrado, já que (b ) agora é uma fração pela primeira vez.

Nesse caso, observe que podemos realmente fazer a aritmética aqui para obter duas soluções inteiras e / ou fracionárias. Devemos sempre fazer isso quando houver apenas números inteiros e / ou frações em nossa solução. Aqui estão as duas soluções.

Um comentário rápido sobre a última equação que resolvemos no exemplo anterior está em ordem. Uma vez que recebemos inteiros e frações como soluções, poderíamos apenas fatorar essa equação desde o início, em vez de usar o preenchimento do quadrado. Em casos como este, podemos usar qualquer um dos métodos e obteremos o mesmo resultado.

Agora, a realidade é que completar o quadrado é um processo bastante longo e é fácil cometer erros. Portanto, raramente o usamos para resolver equações. Isso não significa que não seja importante conhecer o processo. Nós o usaremos em várias seções nos capítulos posteriores e é freqüentemente usado em outras classes.

Fórmula quadrática

Este é o método final para resolver equações quadráticas e sempre funcionará. Não só isso, mas se você conseguir se lembrar da fórmula, é um processo bastante simples também.

Podemos derivar a fórmula quadrática completando o quadrado da fórmula quadrática geral na forma padrão. Vamos fazer isso e vamos devagar para ter certeza de que todas as etapas estão claras.

Primeiro, DEVEMOS ter a equação quadrática na forma padrão, conforme já observado. Em seguida, precisamos dividir ambos os lados por (a ) para obter um coeficiente de um no x 2 prazo.

Em seguida, mova a constante para o lado direito da equação.

Agora, precisamos calcular o número de que precisaremos para completar o quadrado. Novamente, isso é metade do coeficiente de (x ), ao quadrado.

Agora, adicione isso a ambos os lados, complete o quadrado e obtenha denominadores comuns no lado direito para simplificar um pouco as coisas.

Agora podemos usar a propriedade da raiz quadrada nisso.

Resolva para (x ) e também simplificaremos um pouco a raiz quadrada.

Como última etapa, notaremos que temos denominadores comuns nos dois termos e, portanto, vamos adicioná-los. Fazer isso dá,

Então, resumindo, desde que comecemos na forma padrão,

e isso é muito importante, então a solução para qualquer equação quadrática é,

Vamos trabalhar alguns exemplos.

A parte importante aqui é garantir que, antes de começar a usar a fórmula quadrática, tenhamos a equação na forma padrão.

Portanto, a primeira coisa que precisamos fazer aqui é colocar a equação na forma padrão.

Neste ponto, podemos identificar os valores para uso na fórmula quadrática. Para esta equação temos.

Observe o “-” com (c ). É importante certificar-se de que carregamos qualquer sinal de menos junto com as constantes.

Neste ponto, realmente não há nada mais a fazer além de conectar-se à fórmula.

Existem duas soluções para esta equação. Também existe alguma simplificação que podemos fazer. Precisamos ter cuidado, no entanto. Um dos maiores erros neste ponto é "cancelar" dois 2 no numerador e denominador. Lembre-se de que, para cancelar qualquer coisa do numerador ou denominador, ele deve ser multiplicado por todo o numerador ou denominador. Como o 2 no numerador não é multiplicado pelo denominador inteiro, ele não pode ser cancelado.

Para fazer qualquer simplificação aqui, primeiro precisaremos reduzir a raiz quadrada. Nesse ponto, podemos fazer alguns cancelamentos.

Essa é uma resposta muito mais agradável de se lidar e quase sempre faremos esse tipo de simplificação quando for possível.

Agora, neste caso, não fique animado com o fato de que a variável não é um (x ). Tudo funciona da mesma forma, independentemente da letra usada para a variável. Então, vamos primeiro colocar a equação na forma padrão.

Agora, isso não está exatamente na forma padrão típica. No entanto, precisamos deixar claro aqui para que não cometamos um erro muito comum que muitos alunos cometem ao aprender a fórmula quadrática.

Muitos alunos irão apenas colocar tudo de um lado como fizemos aqui e, em seguida, obter os valores de (a ), (b ) e (c ) com base na posição. Em outras palavras, muitas vezes os alunos irão apenas deixar (a ) ser o primeiro número listado, (b ) ser o segundo número listado e então (c ) ser o número final listado. No entanto, isso não é correto. Para a fórmula quadrática (a ) é o coeficiente do termo ao quadrado, (b ) é o coeficiente do termo com apenas a variável nele (não ao quadrado) e (c ) é o termo constante. Portanto, para evitar esse erro, devemos sempre colocar a equação quadrática na forma padrão oficial.

Agora podemos identificar o valor de (a ), (b ) e (c ).

[a = 3 hspace <0,25in> b = - 5 hspace <0,25in> c = 11 ]

Mais uma vez, tenha cuidado com os sinais negativos. Eles precisam ser levados junto com os valores.

Finalmente, conecte-se à fórmula quadrática para obter a solução.

Tal como acontece com todos os outros métodos que vimos para resolver equações quadráticas, não se esqueça de converter raízes quadradas de números negativos em números complexos. Além disso, quando (b ) é negativo, tenha muito cuidado com a substituição. Isso é particularmente verdadeiro para a parte quadrada sob o radical. Lembre-se de que quando você eleva ao quadrado um número negativo, ele se tornará positivo. Um dos erros mais comuns aqui é se apressar e esquecer de soltar o sinal de menos após a quadratura (b ), então tome cuidado.

Não colocaremos muitos detalhes com este que fizemos para os dois primeiros. Aqui está a forma padrão desta equação.

Aqui estão os valores para a fórmula quadrática, bem como para a própria fórmula quadrática.

Agora, lembre-se de que, quando obtivermos soluções como essa, precisamos dar um passo extra e realmente determinar as soluções inteiras e / ou fracionárias. Neste caso, eles são,

Agora, como no caso de completar o quadrado, o fato de termos soluções inteiras e / ou fracionárias significa que poderíamos ter fatorado essa equação quadrática também.

Então, uma equação com frações. A primeira etapa é identificar o LCD.

Portanto, parece que precisaremos ter certeza de que nem (y = 0 ) ou (y = 2 ) está em nossas respostas para que não obtenhamos a divisão por zero.

Multiplique os dois lados pelo LCD e coloque o resultado no formato padrão.

[começar left (y right) left ( direita) esquerda (< frac <3> <>> right) & = left (< frac <1> + 1> direita) esquerda (y direita) esquerda ( right) 3y & = y - 2 + y left ( right) 3y & = y - 2 + - 2a 0 & = - 4a - 2 fim]

Ok, parece que temos os seguintes valores para a fórmula quadrática.

[a = 1 hspace <0.25in> b = - 4 hspace <0.25in> c = - 2 ]

Conectar-se à fórmula quadrática dá,

Observe que ambos serão soluções, pois nenhum deles são os valores que precisamos evitar.

Vimos uma equação semelhante a esta na seção anterior quando examinamos as equações de fatoração e seria definitivamente mais fácil resolvê-la por fatoração. No entanto, vamos usar a fórmula quadrática de qualquer maneira para fazer alguns comentários.

Primeiro, vamos reorganizar um pouco o pedido apenas para torná-lo mais parecido com o formulário padrão.

Aqui estão as constantes para uso na fórmula quadrática.

[a = - 1 hspace <0.25in> b = 16 hspace <0.25in> c = 0 ]

Há duas coisas a serem observadas sobre esses valores. Primeiro, temos um (a ) negativo pela primeira vez. Não é grande coisa, mas é a primeira vez que vimos um. Em segundo lugar, e mais importante, um dos valores é zero. Isto é bom. Isso vai acontecer de vez em quando e de fato, ter um dos valores zero tornará o trabalho muito mais simples.

Aqui está a fórmula quadrática para esta equação.

Reduzindo-os para inteiros / frações dá,

Portanto, obtemos as duas soluções, (x = 0 ) e (x = 16 ). Essas são exatamente as soluções que teríamos obtido fatorando a equação.

Até este ponto, tanto nesta seção quanto na seção anterior, examinamos apenas as equações com coeficientes inteiros. No entanto, esse não precisa ser o caso. Poderíamos ter coeficientes que são frações ou decimais. Então, vamos trabalhar alguns exemplos para que possamos dizer que vimos algo assim também.

Existem duas maneiras de trabalhar este. Podemos deixar as frações ou multiplicar pelo LCD (10 neste caso) e resolver a equação. Qualquer uma das formas dará a mesma resposta. Faremos apenas o caso fracionário aqui, pois esse é o ponto do problema. Você deve tentar a outra maneira para verificar se obteve a mesma solução.

Neste caso, aqui estão os valores para a fórmula quadrática, bem como a fórmula quadrática funcionam para esta equação.

Nesses casos, geralmente damos o passo extra de eliminar a raiz quadrada do denominador, então vamos fazer isso também,

Se você limpar as frações e executar a fórmula quadrática, deverá obter exatamente o mesmo resultado. Para a prática, você realmente deveria tentar isso.

Nesse caso, não se empolgue com os decimais. A fórmula quadrática funciona exatamente da mesma maneira. Aqui estão os valores e a fórmula quadrática que funcionam para esse problema.

Agora, para isso será a única diferença entre esses problemas e aqueles com coeficientes inteiros ou fracionários. Quando temos coeficientes decimais, geralmente avançamos e calculamos os dois números individuais. Então, vamos fazer isso,

Observe que usamos alguns arredondamentos na raiz quadrada.

Ao longo das duas últimas seções, resolvemos bastante. É importante que você entenda a maior parte, se não tudo, do que fizemos nessas seções, pois será solicitado que você faça esse tipo de trabalho em algumas seções posteriores.


2.16: Resolva Equações Usando Inteiros A Propriedade Divisão da Igualdade (Parte 2)

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To solve the current equation, do any of the following:

Click or tap the Select an action box and then choose the action you want Math Assistant to take. The available choices in this drop-down menu depend on the selected equation.

Learn more: check the Supported Equations tab and Problem types supported by Math Assistant

Review the solution that OneNote displays underneath the action you selected. In the example below, the selected option Solve for x displays the solution.

To learn how OneNote solved the problem, you can click or tap Show steps, and then select the detail of what you want to view. The available choices in this drop-down menu depend on the selected equation.

To hear the solution steps read out loud, select Immersive Reader to launch it from OneNote.


2.16: Solve Equations Using Integers The Division Property of Equality (Part 2)

Square Roots and Completing the Square

· Solve quadratic equations by using the Square Root Property.

· Identify and complete perfect square trinomials.

· Solve quadratic equations by completing the square.

Quadratic equations can be solved in many ways. You may already be familiar with factoring to solve some quadratic equations. However, not all quadratic equations can be factored. In this topic, you will use square roots to learn another way to solve quadratic equations—and this method will work with tudo quadratic equations.

Solving Quadratics Using Square Roots

One way to solve the quadratic equation x 2 = 9 is to subtract 9 from both sides to get one side equal to 0: x 2 – 9 = 0. The expression on the left can be factored:

(x + 3)(x – 3) = 0. Using the zero factor property, you know this means x + 3 = 0 or x – 3 = 0, so x = − 3 or 3.

Another property would let you solve that equation more easily.

Se x 2 = uma, então x = or .

The property above says that you can take the square root of both sides of an equation, but you have to think about two cases: the positive square root of uma and the negative square root of uma.

A shortcut way to write “ ” or “ ” is . The symbol ± is often read “positive or negative.” If it is used as an operation (addition or subtraction), it is read “plus or minus.”

Solve using the Square Root Property. x 2 = 9

Since one side is simply x 2 , you can take the square root of both sides to get x on one side. Don’t forget to use both positive and negative square roots!

x = ±3 (that is, x = 3 or −3)

Notice that there is a difference here in solving x 2 = 9 and finding . For x 2 = 9, you are looking for all numbers whose square is 9. For , you only want the principal (nonnegative) square root. The negative of the principal square root is both would be . Unless there is a symbol in front of the radical sign, only the nonnegative value is wanted!

In the example above, you can take the square root of both sides easily because there is only one term on each side. In some equations, you may need to do some work to get the equation in this form. You will find that this involves isolating x 2 .

Solve. 10x 2 + 5 = 85

If you try taking the square root of both sides of the original equation, you will have on the left, and you can’t simplify that. Subtract 5 from both sides to get the x 2 term by itself.

You could now take the square root of both sides, but you would have

as a coefficient, and you would need to divide by that coefficient. Dividing by 10 before you take the square root will be a little easier.

Now you have only x 2 on the left, so you can use the Square Root Property easily.

Be sure to simplify the radical if possible.

Sometimes more than just the x is being squared:

Solve. (x – 2) 2 – 50 = 0

Again, taking the square root of both sides at this stage will leave something you can’t work with on the left. Start by adding 50 to both sides.

Because (x – 2) 2 is a squared quantity, you can take the square root of both sides.

To isolate x on the left, you need to add 2 to both sides.

Be sure to simplify the radical if possible.

This method can be helpful when solving real-world problems.

The formula for compounding interest annually is

UMA = P(1 + r) t , where UMA is the balance after t years, when P is the principal (initial amount invested) and r is the interest rate.

Find the interest rate r if $3,000 is invested and grows to $3,307.50 after 2 years.

UMA = P(1 + r) t

First identify what you know. The amount after 2 years is 3,307.50, so

UMA = 3,307.50. This also means t = 2. The principal P is the original amount invested, so that is 3,000.

Substitute the values for the variables you know. Only r is left, so try to isolate r.

Dividing both sides by 3000 leaves only (1 + r) 2 on the right. Because (1 + r) 2 is a squared quantity you can use the Square Root Property.

Using a calculator, you can find that is 1.05.

Subtract 1 from both sides to isolate r on the right.

You now have two equations, one using 1.05 and one using −1.05.

Simplifying the two equations gives two solutions to the equation.

The interest rate is 0.05, or 5%.

Notice that a negative interest rate doesn’t make sense for this context, so only the positive value could be the interest rate. The -2.05 is an extraneous solution and must be discarded.

Solve. (x – 3) 2 – 2 = 16

Correct. Before taking the square root, add 2 to both sides: (x – 3) 2 = 18. Applying the Square Root Property gives x – 3 = , so x = 3 ± . Simplifying the radical gives .

Incorrect. You forgot the negative square root when you took the square root of both sides. Before taking the square root, add 2 to both sides: (x – 3) 2 = 18. Applying the Square Root Property gives x – 3 = , so x = 3 ± . Simplifying the radical gives 3 ± .

Incorrect. There are two mistakes here: Knowing the square root of 16 may have made you forget that to solve this equation, the squared quantity needs to be isolated Before taking the square root, add 2 to both sides: (x – 3) 2 = 18. Applying the Square Root Property gives

x – 3 = . (Note that both the positive and negative square roots are included this is the other probable mistake.) So, x = 3 ± . Simplifying the radical gives 3 ± .

Incorrect. Knowing the square root of 16 may have made you forget that to solve this equation, the squared quantity needs to be isolated Before taking the square root, add 2 to both sides: (x – 3) 2 = 18. Applying the Square Root Property gives x – 3 = . So, x = 3 ± . Simplifying the radical gives 3 ± .

Perfect Square Trinomials

Of course, quadratic equations often will not come in the format of the examples above. Most of them will have x terms. However, you may be able to factor the expression into a squared binomial—and if not, you can still use squared binomials to help you.

First, let’s look at squared binomials. Some of the above examples have squared binomials: (1 + r) 2 and (x – 2) 2 are squared binomials. (They are binomials, two terms, that are squared.) If you expand these, you get a perfect square trinomial. For example, (1 + r) 2 = (1 + r)(1 + r) = 1 + 2r + r 2 , or r 2 + 2r + 1. The trinomial r 2 + 2r + 1 is a perfect square trinomial. Notice that the first and last terms are squares (r 2 and 1). The middle term is twice the product of the square roots of the first and last terms, the square roots are r and 1, and the middle term is 2(r)(1).

Perfect square t rinomials have the form r 2 + 2rs + s 2 and can be factored as (r + s) 2 , or they have the form r 2 – 2rs + s 2 and can be factored as (rs) 2 . Let’s factor a perfect square trinomial into a squared binomial.


How to Solve Two-step Equations?

Solving a two-step equation involves working backward concerning the order of operations (PEMDAS). In this case, multiplication and division are preceded by addition and subtraction.

Tips for Solving Two-step equations include:

  • Always apply addition or subtraction to remove a constant.
  • Apply multiplication or division to remove any coefficient from a variable.

Solve the two-step equation y:

Add 2 to both sides of the equation and divide by 3.

Solve the two-step equation for z.

Subtract 2z from both sides of the equation and divide by -5.

Solve the two-step equation for x

Add both 6 to both sides of the equation and multiply by 5.

Solve the two-step equation for k.

Multiply 2 on both sides of the equation then, subtract 5 from both sides as well.

Solve the two-step equation for y.

Multiply each term of the equation by the LCD.

Solve the equation for x in the following two-step equation.

Subtract 4.25 from both sides and divide by – 0.25

Solve for x in the two-step equation 5x − 6 = 9

5x = 15
Divide both sides by.

Solve for x in the equation -2x – 3 = 4x – 15.

Adding +3 to the left and right side of the equation will give

(-2x – 3) +3 = (4x – 15) +3 = -2x = 4x – 12

Subtract -4x from both sides of the equation.

-2x – 4x = (4x – 12) – 4x = -6x = -12

Divide both sides of the equation by -6.

Solve for x in the two-step equation:4x + 7 – 6 = 5 – 4x + 4

First, simplify both sides of the equation by combining like terms.

Add 4x and subtract 1 from both sides of the equation.

Divide both sides of the equation by 8.

Solve for x in the following two step equation:

In this case, we can still isolate the variable x to the right side of the equation.


Algebra: Simplifying Equations

Like terms are terms that have the same variable part i.e. they only differ in their coefficients. Combining like terms is very often required in the process of simplifying equations.

2x and &ndash5x are like terms
uma and are like terms
6x and 5y are unlike terms

Like terms can be added or subtracted from one another.

uma + uma = 2 × uma = 2uma (We usually write 2 × uma as 2uma)
2uma + 4uma = 6uma
a + a + a = 3uma
2uma + 4 (Unlike terms cannot be simplified)
4uma + 3b (Unlike terms cannot be simplified)
6uma &ndash 3uma = 3uma
8b &ndash 8b = 0
5uma &ndash 3 (Unlike terms cannot be simplified)
6uma &ndash 4b (Unlike terms cannot be simplified)

Step 1: 5yx is the same as 5xy using the commutative property

Step 2: Since the right side is already simple, we can work on the left side expression:

8xy &ndash 5yx = 8xy &ndash 5xy = 3xy
Putting back the left side and right side of the equation:
3xy = 1

Step 1: Group together the like terms:

Multiplication and Division of Terms

The coefficients and variables of terms can be multiplied or divided together in the process of simplifying equations.

Beware! uma × uma = uma 2
uma + uma = 2uma

Step 1: Perform the multiplication and division

Removal of Brackets - Distributive Property

Sometimes removing brackets (parenthesis) allows us to simplify the expression. Brackets can be removed by using the distributive property. This is often useful in simplifying equations.

Step 1: Remove the brackets

Step 2: Isolate variable uma

Cross Multiplication

Cross multiplication allows you to remove denominators from fractions in an equation. Note that this technique applies only towards simplifying equations, not to simplifying expressions.

For example, if you have the equation:

then you can multiply the numerator of one fraction with the denominator of the other fraction (across the = sign) as shown:

Step 2 : Isolate variable uma

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Division Property Of Equality - Definition with Examples

At times we refer to algebra as generalized arithmetic. Algebraic thinking plants seeds for many higher-order concepts as well helps in understanding the other domains of science.

The equation is a mathematical sentence with an equal sign, and it is one of the essential elements Algebra.

Example:

The operations of addition, subtraction, multiplication and division do not change the truth value of any equation.

The division property of equality states that when we divide both sides of an equation by the same non-zero number, the two sides remain equal.

That is, if a, b, and c are real numbers such that a = b and c &ne0, then a c = a c .

Example: Consider the equation 12 = 12.

That is, the equation still remains true.

Note, that the divisor cannot be zero as the division by zero is not defined.

This property is used in solving equations.

Example: 6x = 24

To check we can substitute the value of x in the original equation.

Example: Rhea bought 7 notebooks for $21. What is the cost of each notebook?

Let a be the cost of each notebook. Then, 7 times a is the total cost, $21.

By the division property of equality, if you divide both sides by the same non-zero number, the equality still holds true. So, divide both sides by 7.


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