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4.14: Adicionar e Subtrair Frações com Denominadores Diferentes (Parte 2) - Matemática


Identificar e usar operações de fração

Neste capítulo, você já praticou a multiplicação, divisão, adição e subtração de frações. A tabela a seguir resume essas quatro operações de fração. Lembre-se: você precisa de um denominador comum para adicionar ou subtrair frações, mas não para multiplicar ou dividir frações.

Resumo das operações de fração

Multiplicação de frações: Multiplique os numeradores e multiplique os denominadores.

[ dfrac {a} {b} cdot dfrac {c} {d} = dfrac {ac} {bd} ]

Divisão de fração: Multiplique a primeira fração pelo recíproco da segunda.

[ dfrac {a} {b} div dfrac {c} {d} = dfrac {a} {b} cdot dfrac {d} {c} ]

Adição de fração: Adicione os numeradores e coloque a soma sobre o denominador comum. Se as frações tiverem denominadores diferentes, primeiro converta-as em formas equivalentes com o LCD.

[ dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} = dfrac {a + b} {c} ]

Subtração de fração: Subtraia os numeradores e coloque a diferença sobre o denominador comum. Se as frações tiverem denominadores diferentes, primeiro converta-as em formas equivalentes com o LCD.

[ dfrac {a} {c} - dfrac {a} {c} = dfrac {a - b} {c} ]

Exemplo ( PageIndex {11} ): simplificar

Simplificar:

  1. (- dfrac {1} {4} + dfrac {1} {6} )
  2. (- dfrac {1} {4} div dfrac {1} {6} )

Solução

Primeiro nos perguntamos: "Qual é a operação?"

  1. A operação é adição. As frações têm um denominador comum? Não.
Encontre o LCD.
Reescreva cada fração como uma fração equivalente com o LCD. (- dfrac {1 cdot textcolor {red} {3}} {4 cdot textcolor {red} {3}} + dfrac {1 cdot textcolor {red} {2}} {6 cdot textcolor {red} {2}} )
Simplifique os numeradores e denominadores. (- dfrac {3} {12} + dfrac {2} {12} )
Adicione os numeradores e coloque a soma sobre o denominador comum. (- dfrac {1} {12} )
Verifique se a resposta pode ser simplificada. Eu não posso.
  1. A operação é divisão. Não precisamos de um denominador comum.
Para dividir frações, multiplique a primeira fração pelo recíproco da segunda. (- dfrac {1} {4} cdot dfrac {6} {1} )
Multiplicar. (- dfrac {6} {4} )
Simplificar. (- dfrac {3} {2} )

Exercício ( PageIndex {21} )

Simplificar:

  1. (- dfrac {3} {4} - dfrac {1} {6} )
  2. (- dfrac {3} {4} cdot dfrac {1} {6} )
Responder a

(- dfrac {11} {12} )

Resposta b

(- dfrac {1} {8} )

Exercício ( PageIndex {22} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {5} {6} div left (- dfrac {1} {4} right) )
  2. ( dfrac {5} {6} - left (- dfrac {1} {4} right) )
Responder a

(- dfrac {10} {3} )

Resposta b

( dfrac {13} {12} )

Exemplo ( PageIndex {12} ): simplificar

Simplificar:

  1. ( dfrac {5x} {6} - dfrac {3} {10} )
  2. ( dfrac {5x} {6} cdot dfrac {3} {10} )

Solução

  1. A operação é a subtração. As frações não têm denominador comum.
Reescreva cada fração como uma fração equivalente com o LCD, 30. ( dfrac {5x cdot textcolor {red} {5}} {6 cdot textcolor {red} {5}} - dfrac {3 cdot textcolor {red} {3}} {10 cdot textcolor {red} {3}} )
( dfrac {25x} {30} - dfrac {9} {30} )
Subtraia os numeradores e coloque a diferença sobre o denominador comum. ( dfrac {25x - 9} {30} )
  1. A operação é multiplicação; não há necessidade de um denominador comum.
Para multiplicar frações, multiplique os numeradores e multiplique os denominadores. ( dfrac {5x cdot 3} {6 cdot 10} )
Reescreva, mostrando fatores comuns. ( dfrac { cancel {5} cdot x cdot cancel {3}} {2 cdot cancel {3} cdot 2 cdot cancel {5}} )
Remova os fatores comuns para simplificar. ( dfrac {x} {4} )

Exercício ( PageIndex {23} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {3a} {4} - dfrac {8} {9} )
  2. ( dfrac {3a} {4} cdot dfrac {8} {9} )
Responder a

( dfrac {27} {a} )

Resposta b

( dfrac {2} {a} )

Exercício ( PageIndex {24} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {4k} {5} + dfrac {5} {6} )
  2. ( dfrac {4k} {5} div dfrac {5} {6} )
Responder a

( dfrac {24} {k} )

Resposta b

( dfrac {24} {k} )

Use a ordem de operações para simplificar frações complexas

Em Multiplicar e dividir números mistos e frações complexas, vimos que uma fração complexa é uma fração em que o numerador ou denominador contém uma fração. Simplificamos frações complexas reescrevendo-as como problemas de divisão. Por exemplo,

[ dfrac { dfrac {3} {4}} { dfrac {5} {8}} = dfrac {3} {4} div dfrac {5} {8} nonumber ]

Agora veremos as frações complexas nas quais o numerador ou denominador pode ser simplificado. Para seguir a ordem das operações, simplificamos primeiro o numerador e o denominador separadamente. Em seguida, dividimos o numerador pelo denominador.

COMO: SIMPLIFICAR FRAÇÕES COMPLEXAS

Etapa 1. Simplifique o numerador.

Etapa 2. Simplifique o denominador.

Etapa 3. Divida o numerador pelo denominador.

Etapa 4. Simplifique, se possível.

Exemplo ( PageIndex {13} ): simplificar

Simplifique: ( dfrac { left ( dfrac {1} {2} right) ^ {2}} {4 + 3 ^ {2}} ).

Solução

Simplifique o numerador. ( dfrac { dfrac {1} {4}} {4 + 3 ^ {2}} )
Simplifique o termo com o expoente no denominador. ( dfrac { dfrac {1} {4}} {4 + 9} )
Adicione os termos no denominador. ( dfrac { dfrac {1} {4}} {13} )
Divida o numerador pelo denominador. ( dfrac {1} {4} div 13 )
Reescreva como multiplicação pelo recíproco. ( dfrac {1} {4} cdot dfrac {1} {13} )
Multiplicar. ( dfrac {1} {52} )

Exercício ( PageIndex {25} )

Simplifique: ( dfrac { left ( dfrac {1} {3} right) ^ {2}} {2 ^ {3} + 2} ).

Responder

( dfrac {1} {90} )

Exercício ( PageIndex {26} )

Simplifique: ( dfrac {1 + 4 ^ {2}} { left ( dfrac {1} {4} right) ^ {2}} ).

Responder

(272)

Exemplo ( PageIndex {14} ): simplificar

Simplifique: ( dfrac { dfrac {1} {2} + dfrac {2} {3}} { dfrac {3} {4} - dfrac {1} {6}} ).

Solução

Reescreva o numerador com o LCD de 6 e o ​​denominador com o LCD de 12. ( dfrac { dfrac {3} {6} + dfrac {4} {6}} { dfrac {9} {12} - dfrac {2} {12}} )
Adicione o numerador. Subtraia no denominador. ( dfrac { dfrac {7} {6}} { dfrac {7} {12}} )
Divida o numerador pelo denominador. ( dfrac {7} {6} div dfrac {7} {12} )
Reescreva como multiplicação pelo recíproco. ( dfrac {7} {6} cdot dfrac {12} {7} )
Reescreva, mostrando fatores comuns. ( dfrac { cancel {7} cdot cancel {6} cdot 2} { cancel {6} cancel {7} cdot 1} )
Simplificar.(2 )

Exercício ( PageIndex {27} )

Simplifique: ( dfrac { dfrac {1} {3} + dfrac {1} {2}} { dfrac {3} {4} - dfrac {1} {3}} ).

Responder

(2)

Exercício ( PageIndex {28} )

Simplifique: ( dfrac { dfrac {2} {3} - dfrac {1} {2}} { dfrac {1} {4} + dfrac {1} {3}} ).

Responder

( dfrac {2} {7} )

Avalie Expressões Variáveis ​​com Frações

Já avaliamos expressões antes, mas agora também podemos avaliar expressões com frações. Lembre-se, para avaliar uma expressão, substituímos o valor da variável na expressão e, em seguida, simplificamos.

Exemplo ( PageIndex {15} ): avaliar

Avalie (x + dfrac {1} {3} ) quando

  1. (x = - dfrac {1} {3} )
  2. (x = - dfrac {3} {4} )

Solução

  1. Para avaliar (x + dfrac {1} {3} ) quando (x = - dfrac {1} {3} ), substitua (- dfrac {1} {3} ) por ( x ) na expressão.
Substitua ( textcolor {red} {- dfrac {1} {3}} ) por x. ( textcolor {red} {- dfrac {1} {3}} + dfrac {1} {3} )
Simplificar.(0 )
  1. Para avaliar (x + dfrac {1} {3} ) quando (x = - dfrac {3} {4} ), substituímos (- dfrac {3} {4} ) por (x ) na expressão.
Substitua ( textcolor {red} {- dfrac {3} {4}} ) por x. ( textcolor {red} {- dfrac {1} {3}} + dfrac {1} {3} )
Reescreva como frações equivalentes com o LCD, 12. (- dfrac {3 cdot 3} {4 cdot 3} + dfrac {1 cdot 4} {3 cdot 4} )
Simplifique os numeradores e denominadores. (- dfrac {9} {12} + dfrac {4} {12} )
Adicionar. (- dfrac {5} {12} )

Exercício ( PageIndex {29} )

Avalie (x + dfrac {3} {4} ) quando:

  1. (x = - dfrac {7} {4} )
  2. (x = - dfrac {5} {4} )
Responder a

(-1)

Resposta b

(- dfrac {1} {2} )

Exercício ( PageIndex {30} )

Avalie (y + dfrac {1} {2} ) quando:

  1. (y = dfrac {2} {3} )
  2. (y = - dfrac {3} {4} )
Responder a

( dfrac {7} {6} )

Resposta b

(- dfrac {1} {4} )

Exemplo ( PageIndex {16} ): avaliar

Avalie (y - dfrac {5} {6} ) quando (y = - dfrac {2} {3} ).

Solução

Substituímos (- dfrac {2} {3} ) por (y ) na expressão.

Substitua ( textcolor {red} {- dfrac {2} {3}} ) por y. ( textcolor {red} {- dfrac {2} {3}} - dfrac {5} {6} )
Reescreva como frações equivalentes com o LCD, 6. (- dfrac {4} {6} - dfrac {5} {6} )
Subtrair. (- dfrac {9} {6} )
Simplificar. (- dfrac {3} {2} )

Exercício ( PageIndex {31} )

Avalie (y - dfrac {1} {2} ) quando (y = - dfrac {1} {4} ).

Responder

(- dfrac {3} {4} )

Exercício ( PageIndex {32} )

Avalie (x - dfrac {3} {8} ) quando (x = - dfrac {5} {2} ).

Responder

(- dfrac {23} {8} )

Exemplo ( PageIndex {17} ):

Avalie (2x ^ 2y ) quando (x = dfrac {1} {4} ) e (y = - dfrac {2} {3} ).

Solução

Substitua os valores na expressão. Em (2x ^ 2y ), o expoente se aplica apenas a (x ).

Substitua ( textcolor {red} { dfrac {1} {4}} ) por x e ( textcolor {blue} {- dfrac {2} {3}} ) por y. (2 left ( textcolor {red} { dfrac {1} {4}} right) ^ {2} left ( textcolor {blue} {- dfrac {2} {3}} right) )
Simplifique os expoentes primeiro. (2 left ( dfrac {1} {16} right) left (- dfrac {2} {3} right) )
Multiplicar. O produto será negativo. (- dfrac {2} {1} cdot dfrac {1} {16} cdot dfrac {2} {3} )
Simplificar. (- dfrac {4} {48} )
Remova os fatores comuns. (- dfrac {1 cdot cancel {4}} { cancel {4} cdot 12} )
Simplificar. (- dfrac {1} {12} )

Exercício ( PageIndex {33} )

Avalie: (3ab ^ 2 ) quando (a = - dfrac {2} {3} ) e (b = - dfrac {1} {2} ).

Responder

(- dfrac {1} {2} )

Exercício ( PageIndex {34} )

Avalie: (4c ^ 3d ) quando (c = - dfrac {1} {2} ) e (d = - dfrac {4} {3} ).

Responder

( dfrac {2} {3} )

Exemplo ( PageIndex {18} ): avaliar

Avalie: ( dfrac {p + q} {r} ) quando (p = −4 ), (q = −2 ) e (r = 8 ).

Solução

Substituímos os valores na expressão e simplificamos.

Substitua ( textcolor {red} {- 4} ) por p, ( textcolor {blue} {- 2} ) por q e ( textcolor {magenta} {8} ) por r. ( dfrac { textcolor {red} {- 4} + textcolor {blue} {(- 2)}} { textcolor {magenta} {8}} )
Adicione o numerador primeiro. (- dfrac {6} {8} )
Simplificar. (- dfrac {3} {4} )

Exercício ( PageIndex {35} )

Avalie: ( dfrac {a + b} {c} ) quando (a = −8 ), (b = −7 ) e (c = 6 ).

Responder

(- dfrac {5} {2} )

Exercício ( PageIndex {36} )

Avalie: ( dfrac {x + y} {z} ) quando (x = 9 ), (y = −18 ) e (z = - 6 ).

Responder

( dfrac {3} {2} )

A prática leva à perfeição

Encontre o menor denominador comum (MDC)

Nos exercícios a seguir, encontre o mínimo denominador comum (MDC) para cada conjunto de frações.

  1. ( dfrac {2} {3} ) e ( dfrac {3} {4} )
  2. ( dfrac {3} {4} ) e ( dfrac {2} {5} )
  3. ( dfrac {7} {12} ) e ( dfrac {5} {8} )
  4. ( dfrac {9} {16} ) e ( dfrac {7} {12} )
  5. ( dfrac {13} {30} ) e ( dfrac {25} {42} )
  6. ( dfrac {23} {30} ) e ( dfrac {5} {48} )
  7. ( dfrac {21} {35} ) e ( dfrac {39} {56} )
  8. ( dfrac {18} {35} ) e ( dfrac {33} {49} )
  9. ( dfrac {2} {3}, dfrac {1} {6} ) e ( dfrac {3} {4} )
  10. ( dfrac {2} {3}, dfrac {1} {4} ) e ( dfrac {3} {5} )

Converta frações em frações equivalentes com o LCD

Nos exercícios a seguir, converta em frações equivalentes usando o LCD.

  1. ( dfrac {1} {3} ) e ( dfrac {1} {4} ), LCD = 12
  2. ( dfrac {1} {4} ) e ( dfrac {1} {5} ), LCD = 20
  3. ( dfrac {5} {12} ) e ( dfrac {7} {8} ), LCD = 24
  4. ( dfrac {7} {12} ) e ( dfrac {5} {8} ), LCD = 24
  5. ( dfrac {13} {16} ) e (- dfrac {11} {12} ), LCD = 48
  6. ( dfrac {11} {16} ) e (- dfrac {5} {12} ), LCD = 48
  7. ( dfrac {1} {3}, dfrac {5} {6} ), e ( dfrac {3} {4} ), LCD = 12
  8. ( dfrac {1} {3}, dfrac {3} {4} ), e ( dfrac {3} {5} ), LCD = 60

Adicionar e subtrair frações com denominadores diferentes

Nos exercícios a seguir, adicione ou subtraia. Escreva o resultado de forma simplificada.

  1. ( dfrac {1} {3} + dfrac {1} {5} )
  2. ( dfrac {1} {4} + dfrac {1} {5} )
  3. ( dfrac {1} {2} + dfrac {1} {7} )
  4. ( dfrac {1} {3} + dfrac {1} {8} )
  5. ( dfrac {1} {3} - left (- dfrac {1} {9} right) )
  6. ( dfrac {1} {4} - left (- dfrac {1} {8} right) )
  7. ( dfrac {1} {5} - left (- dfrac {1} {10} right) )
  8. ( dfrac {1} {2} - left (- dfrac {1} {6} right) )
  9. ( dfrac {2} {3} + dfrac {3} {4} )
  10. ( dfrac {3} {4} + dfrac {2} {5} )
  11. ( dfrac {7} {12} + dfrac {5} {8} )
  12. ( dfrac {5} {12} + dfrac {3} {8} )
  13. ( dfrac {7} {12} - dfrac {9} {16} )
  14. ( dfrac {7} {16} - dfrac {5} {12} )
  15. ( dfrac {11} {12} - dfrac {3} {8} )
  16. ( dfrac {5} {8} - dfrac {7} {12} )
  17. ( dfrac {2} {3} - dfrac {3} {8} )
  18. ( dfrac {5} {6} - dfrac {3} {4} )
  19. (- dfrac {11} {30} + dfrac {27} {40} )
  20. (- dfrac {9} {20} + dfrac {17} {30} )
  21. (- dfrac {13} {30} + dfrac {25} {42} )
  22. (- dfrac {23} {30} + dfrac {5} {48} )
  23. (- dfrac {39} {56} - dfrac {22} {35} )
  24. (- dfrac {33} {49} - dfrac {18} {35} )
  25. (- dfrac {2} {3} - left (- dfrac {3} {4} right) )
  26. (- dfrac {3} {4} - left (- dfrac {4} {5} right) )
  27. (- dfrac {9} {16} - left (- dfrac {4} {5} right) )
  28. (- dfrac {7} {20} - left (- dfrac {5} {8} right) )
  29. 1 + ( dfrac {7} {8} )
  30. 1 + ( dfrac {5} {6} )
  31. 1 - ( dfrac {5} {9} )
  32. 1 - ( dfrac {3} {10} )
  33. ( dfrac {x} {3} + dfrac {1} {4} )
  34. ( dfrac {y} {2} + dfrac {2} {3} )
  35. ( dfrac {y} {4} - dfrac {3} {5} )
  36. ( dfrac {x} {5} - dfrac {1} {4} )

Identificar e usar operações de fração

Nos exercícios a seguir, execute as operações indicadas. Escreva suas respostas de forma simplificada.

  1. (a) ( dfrac {3} {4} + dfrac {1} {6} ) (b) ( dfrac {3} {4} div dfrac {1} {6} )
  2. (a) ( dfrac {2} {3} + dfrac {1} {6} ) (b) ( dfrac {2} {3} div dfrac {1} {6} )
  3. (a) (- dfrac {2} {5} - dfrac {1} {8} ) (b) (- dfrac {2} {5} cdot dfrac {1} {8} )
  4. (a) (- dfrac {4} {5} - dfrac {1} {8} ) (b) (- dfrac {4} {5} cdot dfrac {1} {8} )
  5. (a) ( dfrac {5n} {6} div dfrac {8} {15} ) (b) ( dfrac {5n} {6} - dfrac {8} {15} )
  6. (a) ( dfrac {3a} {8} div dfrac {7} {12} ) (b) ( dfrac {3a} {8} - dfrac {7} {12} )
  7. (a) ( dfrac {9} {10} cdot left (- dfrac {11d} {12} right) ) (b) ( dfrac {9} {10} + left (- dfrac {11d} {12} right) )
  8. (a) ( dfrac {4} {15} cdot left (- dfrac {5} {q} right) ) (b) ( dfrac {4} {15} + left (- dfrac {5} {q} right) )
  9. (- dfrac {3} {8} div left (- dfrac {3} {10} right) )
  10. (- dfrac {5} {12} div left (- dfrac {5} {9} right) )
  11. (- dfrac {3} {8} + dfrac {5} {12} )
  12. (- dfrac {1} {8} + dfrac {7} {12} )
  13. ( dfrac {5} {6} - dfrac {1} {9} )
  14. ( dfrac {5} {9} - dfrac {1} {6} )
  15. ( dfrac {3} {8} cdot left (- dfrac {10} {21} right) )
  16. ( dfrac {7} {12} cdot left (- dfrac {8} {35} right) )
  17. (- dfrac {7} {15} - dfrac {y} {4} )
  18. (- dfrac {3} {8} - dfrac {x} {11} )
  19. ( dfrac {11} {12a} cdot dfrac {9a} {16} )
  20. ( dfrac {10y} {13} cdot dfrac {8} {15y} )

Use a ordem de operações para simplificar frações complexas

Nos exercícios a seguir, simplifique.

  1. ( dfrac { left ( dfrac {1} {5} right) ^ {2}} {2 + 3 ^ {2}} )
  2. ( dfrac { left ( dfrac {1} {3} right) ^ {2}} {5 + 2 ^ {2}} )
  3. ( dfrac {2 ^ {3} + 4 ^ {2}} { left ( dfrac {2} {3} right) ^ {2}} )
  4. ( dfrac {3 ^ {3} - 3 ^ {2}} { left ( dfrac {3} {4} right) ^ {2}} )
  5. ( dfrac { left ( dfrac {3} {5} right) ^ {2}} { left ( dfrac {3} {7} right) ^ {2}} )
  6. ( dfrac { left ( dfrac {3} {4} right) ^ {2}} { left ( dfrac {5} {8} right) ^ {2}} )
  7. ( dfrac {2} { dfrac {1} {3} + dfrac {1} {5}} )
  8. ( dfrac {5} { dfrac {1} {4} + dfrac {1} {3}} )
  9. ( dfrac { dfrac {2} {3} + dfrac {1} {2}} { dfrac {3} {4} - dfrac {2} {3}} )
  10. ( dfrac { dfrac {3} {4} + dfrac {1} {2}} { dfrac {5} {6} - dfrac {2} {3}} )
  11. ( dfrac { dfrac {7} {8} - dfrac {2} {3}} { dfrac {1} {2} + dfrac {3} {8}} )
  12. ( dfrac { dfrac {3} {4} - dfrac {3} {5}} { dfrac {1} {4} + dfrac {2} {5}} )

Prática Mista

Nos exercícios a seguir, simplifique.

  1. ( dfrac {1} {2} + dfrac {2} {3} cdot dfrac {5} {12} )
  2. ( dfrac {1} {3} + dfrac {2} {5} cdot dfrac {3} {4} )
  3. 1 - ( dfrac {3} {5} div dfrac {1} {10} )
  4. 1 - ( dfrac {5} {6} div dfrac {1} {12} )
  5. ( dfrac {2} {3} + dfrac {1} {6} + dfrac {3} {4} )
  6. ( dfrac {2} {3} + dfrac {1} {4} + dfrac {3} {5} )
  7. ( dfrac {3} {8} - dfrac {1} {6} + dfrac {3} {4} )
  8. ( dfrac {2} {5} + dfrac {5} {8} - dfrac {3} {4} )
  9. 12 ( left ( dfrac {9} {20} - dfrac {4} {15} right) )
  10. 8 ( left ( dfrac {15} {16} - dfrac {5} {6} right) )
  11. ( dfrac { dfrac {5} {8} + dfrac {1} {6}} { dfrac {19} {24}} )
  12. ( dfrac { dfrac {1} {6} + dfrac {3} {10}} { dfrac {14} {30}} )
  13. ( left ( dfrac {5} {9} + dfrac {1} {6} right) div left ( dfrac {2} {3} - dfrac {1} {2} right) )
  14. ( left ( dfrac {3} {4} + dfrac {1} {6} right) div left ( dfrac {5} {8} - dfrac {1} {3} right) )

Nos exercícios a seguir, avalie a expressão dada. Expresse suas respostas de forma simplificada, usando frações impróprias, se necessário.

  1. x + ( dfrac {1} {2} ) quando
    1. x = (- dfrac {1} {8} )
    2. x = (- dfrac {1} {2} )
  2. x + ( dfrac {2} {3} ) quando
    1. x = (- dfrac {1} {6} )
    2. x = (- dfrac {5} {3} )
  3. x + ( left (- dfrac {5} {6} right) ) quando
    1. x = ( dfrac {1} {3} )
    2. x = (- dfrac {1} {6} )
  4. x + ( left (- dfrac {11} {12} right) ) quando
    1. x = ( dfrac {11} {12} )
    2. x = ( dfrac {3} {4} )
  5. x - ( dfrac {2} {5} ) quando
    1. x = ( dfrac {3} {5} )
    2. x = (- dfrac {3} {5} )
  6. x - ( dfrac {1} {3} ) quando
    1. x = ( dfrac {2} {3} )
    2. x = (- dfrac {2} {3} )
  7. ( dfrac {7} {10} ) - w quando
    1. w = ( dfrac {1} {2} )
    2. w = (- dfrac {1} {2} )
  8. ( dfrac {5} {12} ) - w quando
    1. w = ( dfrac {1} {4} )
    2. w = (- dfrac {1} {4} )
  9. 4p2q quando p = (- dfrac {1} {2} ) e q = ( dfrac {5} {9} )
  10. 5m2n quando m = (- dfrac {2} {5} ) e n = ( dfrac {1} {3} )
  11. 2x2y3 quando x = (- dfrac {2} {3} ) ey = (- dfrac {1} {2} )
  12. 8u2v3 quando u = (- dfrac {3} {4} ) ev = (- dfrac {1} {2} )
  13. ( dfrac {u + v} {w} ) quando u = −4, v = −8, w = 2
  14. ( dfrac {m + n} {p} ) quando m = −6, n = −2, p = 4
  15. ( dfrac {a + b} {a - b} ) quando a = −3, b = 8
  16. ( dfrac {r - s} {r + s} ) quando r = 10, s = −5

Matemática cotidiana

  1. Decoração Laronda está fazendo cobertores para as almofadas em seu sofá. Para cada capa de travesseiro, ela precisa de ( dfrac {3} {16} ) jarda de tecido estampado e ( dfrac {3} {8} ) jarda de tecido sólido. Qual é a quantidade total de tecido que a Laronda precisa para cada capa de almofada?
  2. Cozimento Vanessa está assando biscoitos de chocolate e aveia. Ela precisa de (1 dfrac {1} {4} ) xícaras de açúcar para os biscoitos de chocolate e (1 dfrac {1} {8} ) xícaras para os biscoitos de aveia De quanto açúcar ela precisa no total ?

Exercícios de escrita

  1. Explique por que é necessário ter um denominador comum para adicionar ou subtrair frações.
  2. Explique como encontrar o LCD de duas frações.

Auto-verificação

(a) Depois de completar os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

(b) Depois de examinar a lista de verificação, você acha que está bem preparado para a próxima seção? Por que ou por que não?


A equação significa $ ad + bc = bd k $. Segue-se que $ b $ divide $ ad $ e, portanto, também $ d $. O resto é para você.

A identidade de Bezout diz que desde $ (a, b) = 1 $ $ ax + by = 1 tag <1> $ e que desde $ (c, d) = 1 $ $ cu + dv = 1 tag <2> $ Multiplicar sua equação por $ bd $ resulta em $ ad + bc = bdk tag <3> $ Multiplique $ (1) $ por $ d $ para obter $ color <# C00000>+ bdy = d tag <4> $ Multiplique $ (3) $ por $ x $ para obter $ color <# C00000>+ bcx = bdkx tag <5> $ Resolvendo $ (5) $ para $ adx $ e conectando-o a $ (4) $ yields $ d = b (dy + dkx-cx) tag <6> $ Multiply $ ( 2) $ por $ b $ para obter $ color <# C00000>+ bdv = b tag <7> $ Multiplique $ (3) $ por $ u $ para obter $ adu + color <# C00000>= bdku tag <8> $ Resolvendo $ (8) $ para $ bcu $ e conectando-o a $ (7) $ produz $ b = d (bku-au + bv) tag <9> $ Equações $ (6) $ e $ (9) $ devem terminar as coisas.


Fatos-chave sobre fração

Para entender como calcular as frações, é importante se familiarizar com os fundamentos. Primeiro, vamos dar uma olhada nos três tipos diferentes de frações:

Definições e exemplos de fração

Fração própria - Uma fração adequada é uma fração em que o numerador tem um valor menor que o denominador. 1/2, 10/15 e 85/100 são exemplos de frações adequadas. O valor geral de uma fração adequada é sempre menor que um.

Fração imprópria - Em uma fração imprópria, o valor do numerador é maior que o do denominador. 6/3, 25/18 e 50/20 são exemplos de frações impróprias. O valor geral de uma fração imprópria é sempre mais de um.

Frações mistas - Uma fração mista é apresentada como um número inteiro seguido por um número fracionário, como 2⅔, 6⅘ ou 25⅝. As frações mistas também são conhecidas como números mistos.

Termos chave

Agora que conhecemos os diferentes tipos de frações, vamos dar uma olhada em alguns outros termos e frases-chave:

Frações equivalentes - São frações que parecem diferentes, mas mantêm o mesmo valor. Por exemplo, 2/3 é igual a 4/6.

Frações simplificadas - Estas são frações reduzidas à sua forma mais baixa. Basicamente, um equivalente inferior de uma fração superior. Portanto, usando o exemplo acima, 2/3 é uma versão simplificada de 4/6.

Recíprocos - É aqui que a fração é revertida, colocando o denominador acima do numerador. Por exemplo, o recíproco de 2/3 é 3/2. Recíprocos são usados ​​ao dividir e multiplicar frações (5 ÷ 1/5 é o mesmo que 5 x 5/1 ou 5 x 5).

As frações também podem ser apresentadas como decimais e percentagens. Veremos como converter frações nas equações de exemplo abaixo.


Adicionando e subtraindo frações diferentes

Esta lição da quinta série ensina como somar e subtrair frações diferentes (frações com denominadores diferentes). Primeiro, usamos modelos visuais para aprender que as frações precisam ser convertidas em frações semelhantes, usando frações equivalentes. Os alunos fazem vários exercícios usando modelos visuais e tentam procurar um padrão nos denominadores comuns. A próxima lição se concentra em Como as encontramos o denominador comum.

O vídeo abaixo descreve um plano de aula para ensinar adição de frações ao contrário (que considero ser o tópico mais difícil na aritmética de frações). No vídeo, primeiro passo por exercícios que têm um modelo visual e o denominador comum é dado. Em seguida, trabalhamos exercícios sem um modelo visual onde o denominador comum ainda é dado. Por último, estudamos a regra sobre como encontrar o denominador comum. Também tenho outra lição que se concentra no denominador comum.

Cubra a página abaixo da linha preta. Em seguida, tente descobrir os problemas de adição abaixo.


Adicionando Frações com Denominadores Diferentes

Se os denominadores não forem iguais, será necessário usar frações equivalentes que possuem um denominador comum. Para fazer isso, você precisa encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos dois denominadores.

Para adicionar frações com denominadores diferentes, renomeie as frações com um denominador comum. Em seguida, adicione e simplifique.

Por exemplo, suponha que você queira adicionar:

O LCM de 3 e 11 é 33. Portanto, precisamos encontrar as frações equivalentes a 1 11 e 2 3 que têm 33 no denominador. Multiplique o numerador e denominador de 1 11 por 3 e multiplique o numerador e denominador de 2 3 por 11.

Agora temos denominadores semelhantes e podemos adicionar conforme descrito acima.

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Adicionando Frações com Denominadores Diferentes (A)

Professores pode usar planilhas de matemática como teste, tarefas práticas ou ferramentas de ensino (por exemplo, em trabalho de grupo, para andaimes ou em um centro de aprendizagem). Pais pode trabalhar com seus filhos para lhes dar prática extra, para ajudá-los a aprender uma nova habilidade matemática ou para manter suas habilidades frescas durante os feriados escolares. Student s pode usar planilhas de matemática para dominar uma habilidade matemática por meio da prática, em um grupo de estudo ou para tutoria entre pares.

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A planilha matemática de adição de frações com denominadores diferentes (A) Página 1 A Folha de Trabalho Matemática de Adicionar Frações com Denominadores Diferentes (A) Página 2

Solução

Os denominadores dessas frações são 2 e 14. Como 2 se divide uniformemente em 14, 14 é um múltiplo de 2, então o próprio 14 é um denominador comum para as frações $ frac <1> <2> $ e $ frac <1 > <14> $. A imagem abaixo mostra isso:

Aqui está uma imagem que mostra as frações quando ambas são escritas em termos de quatorze avos:

Qualquer múltiplo de 14 é um múltiplo comum de 2 e 14. Então $ 2 times14 = 28 $ é múltiplo comum e é um denominador comum para as frações $ frac <1> <2> $ e $ frac <1> <14 > $. Assim, 14 e 28 são dois denominadores comuns diferentes para as frações $ frac <1> <2> $ e $ frac <1> <14> $.

O primeiro denominador comum que identificamos na parte (i) foi 14. Aqui está uma imagem que representa $ frac12 - frac <1> <14> $:

É assim que podemos escrever o processo de encontrar um denominador comum e subtrair usando símbolos:

O segundo denominador comum que identificamos na parte (i) foi 28. É assim que podemos usar esse denominador comum para resolver o problema de subtração dado:

Observe que $ begin frac <6> <14> & amp = frac <3 times 2> <7 times 2> & amp = frac <3> <7> & amp = frac <3 times 4> <7 times 4> & amp = frac <12> <28> end$ Portanto, obtemos a mesma resposta usando denominadores diferentes, como seria de se esperar!

Para encontrar uma solução para este problema de subtração, devemos primeiro encontrar um denominador comum para as frações $ frac <5> <9> $ e $ frac <1> <6> $. 18 é um múltiplo comum dos denominadores 9 e 6 porque $ 9 times2 = 18 $ e $ 6 times3 = 18 $. Isso significa que 18 é um denominador comum para as frações $ frac <5> <9> $ e $ frac <1> <6> $. Aqui está uma imagem que mostra essas duas frações quando são escritas em termos de décimos oitavos:

Aqui está uma imagem que representa $ frac <5> <9> - frac <1> <6> $ usando este denominador comum:

Qualquer outro múltiplo comum dos denominadores 9 e 6 também pode ser usado para resolver este problema de subtração. É assim que escrevemos o processo de encontrar o denominador comum e subtrair usando símbolos:

A imagem mostra que, depois de convertermos ambas as frações para décimos oitavos, podemos subtrair 3 décimos oitavos de 10 décimos oitavos e ficamos com 7 décimos oitavos, a mesma resposta que encontramos simbolicamente.

Para encontrar uma solução para este problema de subtração, devemos primeiro encontrar novamente um denominador comum para as frações $ frac <21> <10> $ e $ frac <24> <15> $. 30 é um múltiplo comum dos denominadores 10 e 15 porque $ 10 times3 = 30 $ e $ 15 times2 = 30 $. Isso significa que 30 é um denominador comum para as frações $ frac <21> <10> $ e $ frac <24> <15> $. É assim que podemos usar o denominador comum 30 para resolver este problema de subtração usando símbolos:


Estatística modular 2

1-1/3
−8-2/5
14-1/2
Podemos ler esses números mistos como:

Etapa 1: Escreva a fração como um problema de divisão: 9 dividido por 5.

nove dividido por cinco
Etapa 2: Resolva dividindo o numerador 9 pelo denominador 5.

resolva dividindo nove por cinco
5 vai para 9 uma vez com o restante de 4.

Passo 3: Escreva a resposta usando o quociente, 1, seguido por uma fração cujo numerador é o resto, 4, e cujo denominador é o denominador da fração original, 5.

Passo 1: Multiplique o número inteiro pelo denominador da fração.
1×5=5
Etapa 2: adicione esse produto ao numerador da fração.

5+4=9
Etapa 3: a resposta da etapa 2 agora se torna o numerador da fração imprópria. Reescreva a resposta como uma fração imprópria.

Etapa 4: Reduza a fração.

Cancele ou divida por todos os fatores comuns ao numerador e ao denominador.

Você já terminou? Observe que a fração começa. numerador: -4
denominador: 6
fim da fração. ainda tem um fator comum. Você ainda não terminou e precisa reduzir ainda mais.

3/8 ≟ 15/40
Uma maneira simples de determinar se essas frações são iguais é fazer a multiplicação cruzada. Neste exemplo, a multiplicação cruzada significa multiplicar 3 × 40 e 8 × 15. Se os dois produtos forem iguais, as frações são equivalentes ou iguais. Como 3 × 40 = 120 e 8 × 15 = 120, sabemos que 3/8 = 15/40

6/17 ≟ 36/101
Agora desenhe & quotasas de mosca & quot em torno de 6 e 101, e em torno de 17 e 36, assim:

O que é um múltiplo comum de 2 e 3?
Para encontrar um múltiplo comum, multiplique 2 × 3 = 6.
Claramente, 2 e 3 dividem 6 igualmente, então 6 é um múltiplo de ambos.

Os múltiplos de 8 são: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72.

21÷3=7
Multiplique o numerador e denominadores por 7.

(1×7)(3×7)=7/21
Agora, vamos transformar -2/7 em uma fração equivalente com o denominador comum
Divida o LCD (o novo denominador) pelo denominador atual.

21÷7=3
Multiplique o numerador e denominadores por 3.
(−2×3)(7×3)=−6/21
suas duas novas frações com denominador comum são:

(5−1)6=4/6
Etapa 2: Reduza a fração (se necessário).

4/6
Observe que tanto o numerador, 4, quanto o denominador, 6, são divisíveis por 2. Portanto, podemos reduzir essa fração para:

Etapa 2: converta frações para ter denominadores semelhantes:

Multiplicar o numerador e o denominador por 3 é equivalente a dividir cada uma das partes antigas em 3 partes. Multiplicar o numerador e o denominador por 4 é equivalente a dividir cada uma das partes antigas em 4 partes. A quantidade de cada fração (região sombreada das tortas) permanece a mesma, mas temos as fatias mais finas em cada torta. A questão é que temos as mesmas fatias mais finas para cada uma das tortas.

1/4+1/3=(1⋅3)(4⋅3)+(1⋅4)(3⋅4)=3/12+4/12
Agora, podemos adicionar as frações semelhantes:

Etapa 2: converta frações para ter denominadores semelhantes.

2/3−5/9=(2⋅3)(3⋅3)−59=6/9−5/9
Etapa 3: subtraia as frações semelhantes.

Aqui está um lembrete de como transformar um número misto em uma fração imprópria.

1-2/5=7/5
Etapa 2: Encontre as frações equivalentes com o mínimo denominador comum.

Converta as frações em frações equivalentes com o LCD. O menor denominador comum é 5 × 2 = 10, portanto:

Multiplique o numerador e o denominador de 7/5 por 2
Multiplique o numerador e o denominador de 3/2 por 5
75−32=14/10−15/10
Etapa 3: subtrair frações semelhantes

Em seguida, subtraia os numeradores das frações.

Lembre-se de manter o mesmo denominador - não os subtraia!

14/10−15/10=−1/10
Etapa 4: para resolver o problema, converta todas as frações impróprias para os termos mais baixos.

Aqui está um lembrete de como transformar um número misto em uma fração imprópria.

7-3/4=31/4
Etapa 2: Encontre as frações equivalentes com o mínimo denominador comum.

Converta as frações em frações equivalentes com o LCD. O menor denominador comum é 3 × 4 = 12, portanto:

Multiplique o numerador e o denominador de 20/3 por 4
Multiplique o numerador e o denominador de 31/4 por 3
20/3+31/4=80/12+93/12
Etapa 3: adicione as frações semelhantes.

Em seguida, adicione as frações. Se fosse um problema de subtração, você simplesmente subtrairia em vez de adicionar.

80/12+93/12=173/12
Etapa 4: para resolver o problema, converta todas as frações impróprias para os termos mais baixos.

Um dos aspectos mais difíceis de trabalhar com frações é lembrar como lidar com os denominadores. Na multiplicação e divisão, não encontre denominadores comuns. Siga as etapas abaixo para multiplicar:

Uma maneira útil de pensar sobre a multiplicação de frações é que, ao resolver esse tipo de problema, estamos procurando uma parte DE outra. Portanto, é importante ter em mente que a palavra & quotof & quot pode ser usada para se referir à multiplicação. Por exemplo, quanto é 12 de 13.

Um dos aspectos mais difíceis de trabalhar com frações é lembrar como lidar com os denominadores. Na multiplicação e divisão, não encontre denominadores comuns. Siga as etapas abaixo para multiplicar:

Uma maneira útil de pensar sobre a multiplicação de frações é que, ao resolver esse tipo de problema, estamos procurando uma parte DE outra. Portanto, é importante ter em mente que a palavra & quotof & quot pode ser usada para se referir à multiplicação. Por exemplo, quanto é 12 de 13.

Um dos aspectos mais difíceis de trabalhar com frações é lembrar como lidar com os denominadores. In multiplication and division, do not find common denominators. Follow the steps below to multiply:


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ADDING ALGEBRAIC FRACTIONS

T HERE IS ONE RULE for adding or subtracting fractions: The denominators must be the same -- just as in arithmetic.

Add the numerators, and place their sum
over the common denominator.

Example 1. 6 x + 3
5
+ 4 x &minus 1
5
= 10 x + 2
5

Os denominadores são os mesmos. Add the numerators as like terms.

Example 2. 6 x + 3
5
&minus 4 x &minus 1
5

To subtract, change the signs of the subtrahend, and add.

6 x + 3
5
&minus 4 x &minus 1
5
= 6 x + 3 &minus 4 x + 1
5
= 2 x + 4
5

To see the answer, pass your mouse over the colored area.
To cover the answer again, click "Refresh" ("Reload").
Do the problem yourself first!

a) x
3
+ y
3
= x + y
3
b) 5
x
&minus 2
x
= 3
x
c) x
x &minus 1
+ x + 1
x &minus 1
= 2 x + 1
x &minus 1
d) 3 x &minus 4
x &minus 4
+ x &minus 5
x &minus 4
= 4 x &minus 9
x &minus 4
e) 6 x + 1
x &minus 3
&minus 4 x + 5
x &minus 3
= 6 x + 1 &minus 4 x &minus 5
x &minus 3
= 2 x &minus 4
x &minus 3
f) 2 x &minus 3
x &minus 2
&minus x &minus 4
x &minus 2
= 2 x &minus 3 &minus x + 4
x &minus 2
= x + 1
x &minus 2

To add fractions with different denominators, we must learn how to construct the Lowest Common Multiple of a series of terms.

The Lowest Common Multiple (LCM) of a series of terms
is the smallest product that contains every factor of each term.

For example, consider this series of three terms:

We will now construct their LCM -- factor by factor.

To begin, it will have the factors of the first term:

Moving on to the second term, the LCM must have the factors pr . But it already has the factor p -- therefore, we need add only the factor r :

Finally, moving on to the last term, the LCM must contain the factors ps . But again it has the factor p , so we need add only the factor s :

That product is the Lowest Common Multiple of pq , pr , ps . It is the smallest product that contains each of them as factors.

Example 3. Construct the LCM of these three terms: x , x 2 , x 3 .

Solution . The LCM must have the factor x .

But it also must have the factors of x 2 -- which are x · x . Therefore, we must add one more factor of x :

Finally, the LCM must have the factors of x 3 , which are x · x · x . Therefore,

x 3 is the smallest product that contains x , x 2 , and x 3 as factors.

We see that when the terms are powers of a variable -- x , x 2 , x 3 -- then their LCM is the highest power.

Problem 2. Construct the LCM of each series of terms.

a) ab , bc , cd . abcd b) pqr , qrs , rst . pqrst
c) a , a 2 , a 3 , a 4 . a 4 d) a 2 b , a b 2 . a 2 b 2

We will now see what this has to do with adding fractions.

Example 4. Add: 3
ab
+ 4
bc
+ 5
CD

Solution . To add fractions, the denominators must be the same. Therefore, as a common denominator choose the LCM of the original denominators. Choose abcd . Then, convert each fraction to an equivalent fraction with denominator abcd .

It is necessary to write the common denominator only once:

3
a b
+ 4
b c
+ 5
c d
= 3 c d + 4 a d + 5 a b
a b c d

To change into an equivalent fraction with denominator a b c d , simply multiply a b by the factors it is missing, namely c d . Therefore, we must also multiply 3 by c d . That accounts for the first term in the numerator.

To change into an equivalent fraction with denominator a b c d , multiply b c by the factors it is missing, namely a d . Therefore, we must also multiply 4 by a d . That accounts for the second term in the numerator.

To change into an equivalent fraction with denominator a b c d , multiply c d by the factors it is missing, namely a b . Therefore, we must also multiply 5 by a b . That accounts for the last term in the numerator.

That is how to add fractions with different denominators.

Each factor of the original denominators must be a factor
of the common denominator.

a) 5
ab
+ 6
ac
= 5 c + 6 b
abc
b) 2
pq
+ 3
qr
+ 4
rs
= 2 rs + 3 ps + 4 pq
pqrs
c) 7
ab
+ 8
bc
+ 9
abc
= 7 c + 8 a + 9
abc
d) 1
uma
+ 2
a 2
+ 3
a 3
= a 2 + 2 a + 3
a 3
e) 3
a 2 b
+ 4
a b 2
= 3 b + 4 a
a 2 b 2
f) 5
ab
+ 6
CD
= 5 cd + 6 ab
abcd
g) _2_
x ( x + 2)
+ __3__
( x + 2)( x &minus 3)
= 2( x &minus 3) + 3 x
x ( x + 2)( x &minus 3)
= _ 2 x &minus 6 + 3 x _
x ( x + 2)( x &minus 3)
= _5 x &minus 6_
x ( x + 2)( x &minus 3)

At the 2nd Level we will see a similar problem, but the denominators will not be factored.

Problem 4. Add: 1 &minus 1
uma
+ c + 1
ab
. But write the answer as

1 e menos 1
uma
+ c + 1
ab
= 1 &minus ( 1
uma
&minus c + 1
ab
)
= 1 e menos b &minus ( c + 1)
ab
= 1 e menos b &minus c &minus 1
ab

Example 5. Denominators with no common factors.

When the denominators have no common factors, their LCM is simply their product, mn .

The numerator then appears as the result of "cross-multiplying" :

However, that technique will work only when adding two fractions, and the denominators have no common factors.

Solution . These denominators have no common factors -- x is not a factor of x &minus 1. It is a term. Therefore, the LCM of denominators is their product.

2
x &minus 1
&minus 1
x
= 2 x &minus ( x &minus 1)
( x &minus 1) x
= 2 x &minus x + 1
( x &minus 1) x
= _ x + 1_
( x &minus 1) x

Note: The entire x &minus 1 is being subtracted. Therefore, we write it in parentheses -- and its signs change.

a) x
uma
+ y
b
= xb + ya
ab
b) x
5
+ 3 x
2
= 2 x + 15 x
10
= 17 x
10
c) 6
x &minus 1
+ 3
x + 1
= 6( x + 1) + 3( x &minus 1)
( x + 1)( x &minus 1)
= 6 x + 6 + 3 x &minus 3
( x + 1)( x &minus 1)
= _9 x + 3_
( x + 1)( x &minus 1)
d) 6
x &minus 1
&minus 3
x + 1
= 6( x + 1) &minus 3( x &minus 1)
( x + 1)( x &minus 1)
= 6 x + 6 &minus 3 x + 3
( x + 1)( x &minus 1)
= _3 x + 9_
( x + 1)( x &minus 1)
e) 3
x &minus 3
&minus 2
x
= 3 x &minus 2( x &minus 3)
( x &minus 3) x
= 3 x &minus 2 x + 6
( x &minus 3) x
= x + 6
( x &minus 3) x
f) 3
x &minus 3
&minus 1
x
= 3 x &minus ( x &minus 3)
( x &minus 3) x
= 3 x &minus x + 3
( x &minus 3) x
= 2 x + 3
( x &minus 3) x
g) 1
x
+ 2
y
+ 3
z
= yz + 2 xz + 3 xy
xyz
Example 7. Add: a + b
c
.

Solution. We have to express a with denominator c.

a) p
q
+ r = p + qr
q
b) 1
x
&minus 1 = 1 &minus x
x
c) x &minus 1
x
= x 2 &minus 1
x
d) 1 &minus 1
x 2
= x 2 &minus 1
x 2
e) 1 &minus 1
x + 1
= x + 1 &minus 1
x + 1
= x
x + 1
f) 3 + 2
x + 1
= 3 x + 3 + 2
x + 1
= 3 x + 5
x + 1
Problem 7. Write the reciprocal of 1
2
+ 1
3
.
[ Hint : Only a single fraction uma
b
has a reciprocal it is b
uma
.]
1
2
+ 1
3
= 3 + 2
6
= 5
6
Therefore, the reciprocal is 6
5
.

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Assista o vídeo: Dodawanie ułamków o różnych mianownikach część 24 (Outubro 2021).