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5.7: Números Racionais e Irracionais - Matemática


Habilidades para desenvolver

  • Identifique números racionais e números irracionais
  • Classifique diferentes tipos de números reais

esteja preparado!

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Escreva 3.19 como uma fração imprópria. Se você não percebeu este problema, revise o Exemplo 5.1.4.
  2. Escreva ( dfrac {5} {11} ) como um decimal. Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 5.5.3.
  3. Simplifique: ( sqrt {144} ). Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 5.12.1.

Identificar números racionais e números irracionais

Parabéns! Você concluiu os primeiros seis capítulos deste livro! É hora de fazer um balanço do que você fez até agora neste curso e pensar no que está por vir. Você aprendeu como adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números inteiros, frações, inteiros e decimais. Você se familiarizou com a linguagem e os símbolos da álgebra e simplificou e avaliou expressões algébricas. Você resolveu muitos tipos diferentes de aplicativos. Você estabeleceu uma boa base sólida de que precisa para ter sucesso em álgebra.

Neste capítulo, vamos nos certificar de que suas habilidades estejam bem definidas. Veremos novamente os tipos de números com os quais trabalhamos em todos os capítulos anteriores. Trabalharemos com propriedades de números que o ajudarão a melhorar seu senso numérico. E praticaremos usá-los de maneiras que usaremos quando resolvermos equações e concluirmos outros procedimentos em álgebra.

Já descrevemos os números como números contadores, números inteiros e inteiros. Você se lembra qual é a diferença entre esses tipos de números?

contando números1, 2, 3, 4…
números inteiros0, 1, 2, 3, 4…
inteiros…−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4…

Números racionais

Que tipo de número você obteria se começasse com todos os inteiros e depois incluísse todas as frações? Os números que você teria formam o conjunto de números racionais. UMA número racional é um número que pode ser escrito como uma proporção de dois inteiros.

Definição: Números Racionais

Um número racional é um número que pode ser escrito na forma ( dfrac {p} {q} ), onde p e q são inteiros eq ≠ 0.

Todas as frações, positivas e negativas, são números racionais. Alguns exemplos são

[ dfrac {4} {5}, - dfrac {7} {8}, dfrac {13} {4}, ; e; - dfrac {20} {3} ]

Cada numerador e cada denominador é um número inteiro.

Precisamos olhar para todos os números que usamos até agora e verificar se eles são racionais. A definição de números racionais nos diz que todas as frações são racionais. Veremos agora os números de contagem, números inteiros, inteiros e decimais para ter certeza de que são racionais.

Os inteiros são números racionais? Para decidir se um inteiro é um número racional, tentamos escrevê-lo como uma proporção de dois inteiros. Uma maneira fácil de fazer isso é escrever como uma fração com denominador um.

[3 = dfrac {3} {1} quad -8 = dfrac {-8} {1} quad 0 = dfrac {0} {1} ]

Uma vez que qualquer inteiro pode ser escrito como a proporção de dois inteiros, todos os inteiros são números racionais. Lembre-se de que todos os números de contagem e todos os números inteiros também são inteiros e, portanto, também são racionais.

E quanto aos decimais? Eles são racionais? Vejamos alguns para ver se podemos escrever cada um deles como a proporção de dois inteiros. Já vimos que os inteiros são números racionais. O inteiro −8 pode ser escrito como o decimal −8,0. Então, claramente, alguns decimais são racionais.

Pense no decimal 7.3. Podemos escrever como uma proporção de dois inteiros? Como 7.3 significa (7 dfrac {3} {10} ), podemos escrevê-lo como uma fração imprópria, (7 dfrac {3} {10} ). Portanto, 7,3 é a proporção dos inteiros 73 e 10. É um número racional.

Em geral, qualquer decimal que termine após um número de dígitos (como 7,3 ou -1,2684) é um número racional. Podemos usar o recíproco (ou inverso multiplicativo) do valor da casa do último dígito como o denominador ao escrever o decimal como uma fração.

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Escreva cada um como a razão de dois inteiros: (a) −15 (b) 6,81 (c) (- 3 dfrac {6} {7} ).

Solução

(a) −15

Escreva o inteiro como uma fração com denominador 1.$$ dfrac {-15} {1} $$

(b) 6,81

Escreva o decimal como um número misto.$ 6 dfrac {81} {100} $ $
Em seguida, converta-o em uma fração imprópria.$$ dfrac {681} {100} $$

(c) (- 3 dfrac {6} {7} )

Converta o número misto em uma fração imprópria.$$ - dfrac {27} {7} $$

Exercício ( PageIndex {1} ):

Escreva cada um como a razão de dois inteiros: (a) −24 (b) 3,57.

Responder a

( frac {-24} {1} )

Resposta b

( frac {357} {100} )

Exercício ( PageIndex {2} ):

Escreva cada um como a razão de dois inteiros: (a) −19 (b) 8,41.

Responder a

( frac {-19} {1} )

Resposta b

( frac {841} {100} )

Vejamos a forma decimal dos números que sabemos serem racionais. Vimos que todo inteiro é um número racional, já que a = ( dfrac {a} {1} ) para qualquer inteiro, a. Também podemos transformar qualquer número inteiro em decimal adicionando uma vírgula decimal e um zero.

[ begin {split} Inteiro qquad & -2, quad -1, quad 0, quad 1, ; ; 2, ; 3 Decimal qquad & -2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0 end {split} ]

Esses números decimais param.

Também vimos que toda fração é um número racional. Observe a forma decimal das frações que acabamos de considerar.

[ begin {split} Ratio ; do; Inteiros qquad dfrac {4} {5}, quad - dfrac {7} {8}, quad dfrac {13} {4}, ; & - dfrac {20} {3} Decimal ; forms qquad 0.8, -0.875, 3.25, & -6.666 ldots & -6. overline {66} end {split} ]

Esses decimais param ou se repetem.

O que esses exemplos dizem a você? Cada número racional pode ser escrito como uma proporção de inteiros e como um decimal que para ou se repete. A tabela abaixo mostra os números que examinamos expressos como uma proporção de inteiros e como um decimal.

Números racionais
FraçõesInteiros
Número$$ dfrac {4} {5}, - dfrac {7} {8}, dfrac {13} {4}, dfrac {-20} {3} $$$$-2, -1, 0, 1, 2, 3$$
Razão de Inteiro$$ dfrac {4} {5}, dfrac {-7} {8}, dfrac {13} {4}, dfrac {-20} {3} $$$$ dfrac {-2} {1}, dfrac {-1} {1}, dfrac {0} {1}, dfrac {1} {1}, dfrac {2} {1}, dfrac {3} {1} $$
Número decimal$$ 0,8, -0,875, 3,25, -6. Overline {6} $$$$-2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0$$

Números irracionais

Existem decimais que não param ou se repetem? sim. O número ( pi ) (a letra grega pi, pronuncia-se ‘torta’), que é muito importante na descrição de círculos, tem uma forma decimal que não para nem se repete.

[ pi = 3.141592654 ldots ldots ]

Da mesma forma, as representações decimais de raízes quadradas de números inteiros que não são quadrados perfeitos nunca param e nunca se repetem. Por exemplo,

[ sqrt {5} = 2.236067978 ldots ldots ]

Um decimal que não para e não se repete não pode ser escrito como a proporção de inteiros. Chamamos esse tipo de número de Número irracional.

Definição: número irracional

Um número irracional é um número que não pode ser escrito como a proporção de dois inteiros. Sua forma decimal não para e não se repete.

Vamos resumir um método que podemos usar para determinar se um número é racional ou irracional.

Se a forma decimal de um número

  • pára ou repete, o número é racional.
  • não para e não se repete, o número é irracional.

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Identifique cada um dos seguintes como racionais ou irracionais: (a) 0,58 ( overline {3} ) (b) 0,475 (c) 3,605551275 ...

Solução

(a) 0,58 ( overline {3} )

A barra acima do 3 indica que ele se repete. Portanto, 0,583 - é um decimal repetido e, portanto, um número racional.

(b) 0,475

Este decimal pára após o 5, portanto, é um número racional.

(c) 3,605551275…

As reticências (…) significam que este número não para. Não há padrão de repetição de dígitos. Já que o número não para e não se repete, é irracional.

Exercício ( PageIndex {3} ):

Identifique cada um dos seguintes como racionais ou irracionais: (a) 0,29 (b) 0,81 ( overline {6} ) (c) 2,515115111 ...

Responder a

racional

Resposta b

racional

Resposta c

irracional

Exercício ( PageIndex {4} ):

Identifique cada um dos seguintes como racionais ou irracionais: (a) 0,2 ( overline {3} ) (b) 0,125 (c) 0,418302…

Responder a

racional

Resposta b

racional

Resposta c

irracional

Vamos pensar nas raízes quadradas agora. Raízes quadradas de quadrados perfeitos são sempre números inteiros, portanto, são racionais. Mas as formas decimais de raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos nunca param e nunca se repetem, portanto, essas raízes quadradas são irracionais.

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Identifique cada um dos seguintes como racionais ou irracionais: (a) 36 (b) 44

Solução

(a) O número 36 é um quadrado perfeito, pois 62 = 36. Portanto, ( sqrt {36} ) = 6. Portanto, ( sqrt {36} ) é racional.

(b) Lembre-se de que 62 = 36 e 72 = 49, então 44 não é um quadrado perfeito. Isso significa que ( sqrt {44} ) é irracional.

Exercício ( PageIndex {5} ):

Identifique cada um dos seguintes como racionais ou irracionais: (a) ( sqrt {81} ) (b) ( sqrt {17} )

Responder a

racional

Resposta b

irracional

Exercício ( PageIndex {6} ):

Identifique cada um dos seguintes como racionais ou irracionais: (a) ( sqrt {116} ) (b) ( sqrt {121} )

Responder a

irracional

Resposta b

racional

Classificar Números Reais

Vimos que todos os números de contagem são números inteiros, todos os números inteiros são inteiros e todos os inteiros são números racionais. Os números irracionais são uma categoria separada própria. Quando juntamos os números racionais e os números irracionais, obtemos o conjunto de numeros reais. A Figura ( PageIndex {1} ) ilustra como os conjuntos de números estão relacionados.

Figura ( PageIndex {1} ) - Este diagrama ilustra as relações entre os diferentes tipos de números reais.

Definição: Números Reais

Números reais são números racionais ou irracionais.

O termo “números reais” parece estranho para você? Existem números que não são “reais” e, em caso afirmativo, quais poderiam ser? Durante séculos, os únicos números que as pessoas conheciam eram o que hoje chamamos de números reais. Então, os matemáticos descobriram o conjunto de números imaginários. Você não encontrará números imaginários neste curso, mas encontrará mais tarde em seus estudos de álgebra.

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Determine se cada um dos números na lista a seguir é um (a) número inteiro, (b) inteiro, (c) número racional, (d) número irracional e (e) número real.

[- 7, dfrac {14} {5}, 8, sqrt {5}, 5,9, - sqrt {64} ]

Solução

  1. Os números inteiros são 0, 1, 2, 3, ... O número 8 é o único número inteiro dado.
  2. Os inteiros são os números inteiros, seus opostos e 0. Dos números dados, −7 e 8 são inteiros. Além disso, observe que 64 é o quadrado de 8, então (- sqrt {64} ) = −8. Portanto, os inteiros são −7, 8, (- sqrt {64} ).
  3. Como todos os inteiros são racionais, os números −7, 8 e (- sqrt {64} ) também são racionais. Os números racionais também incluem frações e decimais que terminam ou se repetem, então ( dfrac {14} {5} ) e 5,9 são racionais.
  4. O número 5 não é um quadrado perfeito, então ( sqrt {5} ) é irracional.
  5. Todos os números listados são reais.

Resumiremos os resultados em uma tabela.

NúmeroInteiraInteiroRacionalIrracionalReal
-7 ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
( dfrac {14} {5} ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
8 ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
( sqrt {5} ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
5.9 ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
(- sqrt {64} ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )

Exercício ( PageIndex {7} ):

Determine se cada número é um (a) número inteiro, (b) inteiro, (c) número racional, (d) número irracional e (e) número real: −3, (- sqrt {2}, 0. overline {3}, dfrac {9} {5} ), 4, ( sqrt {49} ).

Responder
NúmeroInteiraInteiroRacionalIrracionalReal
-3 ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
(- sqrt {2} ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
(0. overline {3} ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
( dfrac {9} {5} ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
(4) ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
( sqrt {49} ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )

Exercício ( PageIndex {8} ):

Determine se cada número é um (a) número inteiro, (b) inteiro, (c) número racional, (d) número irracional e (e) número real: (- sqrt {25}, - dfrac {3 } {8} ), −1, 6, ( sqrt {121} ), 2.041975…

Responder
NúmeroInteiraInteiroRacionalIrracionalReal
(- sqrt {25} ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
(- dfrac {3} {8} ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
(-1) ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
(6) ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
( sqrt {121} ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )
(2.041975…) ( marca de seleção ) ( marca de seleção )

A prática leva à perfeição

Números racionais

Nos exercícios a seguir, escreva como a proporção de dois inteiros.

  1. (a) 5 (b) 3,19
  2. (a) 8 (b) -1,61
  3. (a) −12 (b) 9,279
  4. (a) −16 (b) 4,399

Nos exercícios a seguir, determine quais dos números dados são racionais e quais são irracionais.

  1. 0,75, 0,22 ( overline {3} ), 1,39174…
  2. 0,36, 0,94729…, 2,52 ( overline {8} )
  3. 0. ( Overline {45} ), 1.919293…, 3,59
  4. 0,1 ( overline {3} ), 0,42982…, 1,875

Nos exercícios a seguir, identifique se cada número é racional ou irracional.

  1. (a) 25 (b) 30
  2. (a) 44 (b) 49
  3. (a) 164 (b) 169
  4. (a) 225 (b) 216

Classificando Números Reais

Nos exercícios a seguir, determine se cada número é inteiro, inteiro, racional, irracional e real.

  1. -8, 0, 1.95286 ...., ( dfrac {12} {5}, sqrt {36} ), 9
  2. −9, (- 3 dfrac {4} {9}, - sqrt {9}, 0,4 overline {09}, dfrac {11} {6} ), 7
  3. (- sqrt {100} ), −7, (- dfrac {8} {3} ), −1, 0,77, (3 dfrac {1} {4} )

Matemática cotidiana

  1. Viagem ao campo Todos os alunos da 5ª série da Lincoln Elementary School farão uma excursão ao museu de ciências. Contando todas as crianças, professores e acompanhantes, serão 147 pessoas. Cada ônibus comporta 44 pessoas.
    1. Quantos ônibus serão necessários?
    2. Por que a resposta deve ser um número inteiro?
    3. Por que você não deveria contornar a resposta da maneira usual?
  2. Cuidado infantil Serena quer abrir uma creche licenciada. Seu estado exige que não haja mais de 12 crianças para cada professor. Ela gostaria que sua creche atendesse a 40 crianças.
    1. Quantos professores serão necessários?
    2. Por que a resposta deve ser um número inteiro?
    3. Por que você não deveria contornar a resposta da maneira usual?

Exercícios de escrita

  1. Em suas próprias palavras, explique a diferença entre um número racional e um número irracional.
  2. Explique como os conjuntos de números (contagem, inteiro, inteiro, racional, irracional, real) estão relacionados entre si.

Auto-verificação

(a) Depois de completar os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

(b) Se a maioria de seus cheques fosse:

… Com confiança. Parabéns! Você atingiu os objetivos desta seção. Reflita sobre as habilidades de estudo que você usou para que possa continuar a usá-las. O que você fez para ter certeza de sua capacidade de fazer essas coisas? Seja específico.

… Com alguma ajuda. Isso deve ser abordado rapidamente porque os tópicos que você não domina tornam-se buracos no seu caminho para o sucesso. Em matemática, cada tópico se baseia em trabalhos anteriores. É importante ter certeza de que você tem uma base sólida antes de prosseguir. A quem você pode pedir ajuda? Seus colegas de classe e instrutor são bons recursos. Há algum lugar no campus onde professores de matemática estejam disponíveis? Suas habilidades de estudo podem ser melhoradas?

... não, eu não entendo! Este é um sinal de alerta e você não deve ignorá-lo. Você deve obter ajuda imediatamente ou ficará sobrecarregado rapidamente. Consulte seu instrutor assim que puder para discutir sua situação. Juntos, vocês podem traçar um plano para obter a ajuda de que você precisa.


Números Racionais e Irracionais - Números Reais, Matemática da Classe 10, Notas da Classe 10 | EduRev

Números racionais: & ndash Estes são números reais que podem ser expressos na forma de p / q, onde p e q são inteiros e q & ne 0.

(i) Todo inteiro é um número racional.

(ii) Cada decimal final é um número racional.

(iii) Cada decimal recorrente é um número racional.

(iv) Um decimal repetido sem terminação é denominado decimal recorrente.

(v) Entre quaisquer dois números racionais, há um número infinito de números racionais. este
propriedade é conhecida como densidade de números racionais.
(vi) Se aeb são dois números racionais, então encontra-se entre a e b.
n números racionais entre dois números racionais diferentes a e b são:

(vii) Cada número racional pode ser representado como um decimal final ou não final

(viii) Tipos de números racionais: & ndash

(a) Terminar números decimais e

(b) Números decimais repetidos (recorrentes) sem fim

(v) Números irracionais : & ndash Um número é chamado de número irracional, se não puder ser escrito na forma p / q, onde p & amp q são inteiros e q & ne 0. Todos os números decimais não terminantes e não repetitivos são números irracionais.

Números reais: & ndash A totalidade dos números racionais e dos números irracionais é chamada de conjunto de números reais, ou seja, os números racionais e os números irracionais tomados em conjunto são chamados de números reais.

Cada número real é um número racional ou um número irracional.

NATUREZA DA EXPANSÃO DECIMAL DOS NÚMEROS RACIONAIS

Teorema-1: Seja x um número racional cuja expansão decimal termina. Então podemos expressar x na forma p / q, onde p e q são primos, e a fatoração primária de q é da forma 2 m & vezes 5 n, onde m, n são inteiros não negativos.

Teorema-2 : Seja x = p / q um número racional, de modo que a fatoração principal de q seja da forma 2 m & vezes 5 n, onde m, n são inteiros não negativos. Então, x tem uma expansão decimal que termina.

Teorema-3 : Seja x = p / q um número racional, de modo que a fatoração primária de q não seja da forma 2 m & vezes 5 n, onde m, n são inteiros não negativos. Então, x tem uma expansão decimal que é uma repetição sem fim.

observamos que a fatoração primária dos denominadores desses números racionais são da forma 2m & vezes 5n, onde m, n são inteiros não negativos. Conseqüentemente, 189/125 tem expansão decimal final.

observamos que a fatoração primária do denominador desses números racionais não é da forma 2 m & vezes 5 n, onde m, n são inteiros não negativos. Portanto, 17/6 tem expansão decimal repetida e sem fim.

Portanto, o denominador 8 de 17/8 tem a forma 2 m & vezes 5 n, onde m, n são inteiros não negativos.

Portanto, 17/8 tem expansão decimal final.

Claramente, 455 não tem a forma 2 m & vezes 5 n. Portanto, a expansão decimal de 64/455 é uma repetição sem fim.

PROVA DE IRRACIONALIDADE DE & radic2, & radic3, & radic5.

Ex.1 Prove que (& radic2) não é um número racional ou não há racional cujo quadrado é 2.

(CBSE (fora de Delhi) 2008).

Sol. Vamos encontrar a raiz quadrada de 2 pelo método de divisão longa, conforme mostrado abaixo.

Claramente, a representação decimal de & radic2 não está terminando nem se repetindo.

Provaremos isso pelo método da contradição.

Se possível, vamos supor que & radic2 é um número racional.

Então 2 = a, b onde a, b são inteiros sem nenhum fator comum diferente de 1.

a 2 = 2b 2
& rArr 2 divide a 2
& rArr 2 divide um
Portanto, seja a = 2c para algum inteiro c.
& rArr a 2 = 4c 2
& rArr 2b 2 = 4c 2
& rArr b 2 = 2c 2
& rArr 2 divide b 2
& rArr 2 divide b

Assim, 2 é um fator comum de a e b.
Mas, isso contradiz nossa suposição de que aeb não têm nenhum fator comum diferente de 1.
Então, nossa suposição de que (& radic2) é um racional, está errado.
Por isso, (& radic2) é irracional.

Ex.2 Prove que é irracional.
Sol. Deixar seja racional = , onde p e q & estão em Z e p, q não têm fator comum, exceto 1 também q & gt 1.

Multiplique ambos os lados por q 2

Claramente, L.H.S é racional, uma vez que p, q não têm fator comum.

& there4 p 3, q ​​também não têm fator comum enquanto R.H.S. é um número inteiro.
& there4 L.H.S & ne R.H.S que contradiz nossa suposição de que é irracional

Ex.3 Prove que 2 + & radic3 é irracional. [Amostra de papel (CBSE) 2008]

Sol. Deixar 2 + & radic3 seja um número racional igual a r

Aqui, L.H.S é um número irracional, enquanto R.H.S. r & ndash 2 é racional.

Portanto, contradiz nossa suposição de que 2 + & radic3 é racional.

& there4 2 + & radic3 é irracional.

Ex.4 Prove que & radic2 + & radic3 é irracional.

Sol. Deixar & radic2 + & radic3 seja um número racional, diga & # 39x & # 39 & rArr x = & radic2 + & radic3

Como x, 5 e 2 são racionais & rArr é um número racional.
é um número racional.

O que é uma contradição do fato de que & radic6 é um número irracional.


Números racionais e irracionais

Um número racional ( ( mathbb)) é qualquer número que pode ser escrito como:

onde (a ) e (b ) são inteiros e (b ne 0 ).

Os seguintes números são todos números racionais:

Vemos que todos os numeradores e todos os denominadores são inteiros.

Isso significa que todos os inteiros são números racionais, porque podem ser escritos com um denominador de ( text <1> ).

Números irracionais ( ( mathbb')) são números que não podem ser escritos como uma fração com o numerador e o denominador como inteiros.

Exemplos de números irracionais:

Esses não são números racionais, porque o numerador ou o denominador não é um número inteiro.

Números decimais (EMA5)

Todos os inteiros e frações com numeradores inteiros e denominadores inteiros diferentes de zero são números racionais. Lembre-se de que quando o denominador de uma fração é zero, a fração é indefinida.

Você pode escrever qualquer número racional como um número decimal, mas nem todos os números decimais são números racionais. Esses tipos de números decimais são números racionais:

Números decimais que terminam (ou terminam). Por exemplo, a fração ( frac <4> <10> ) pode ser escrita como ( text <0,4> ).

Números decimais com um único dígito repetido. Por exemplo, a fração ( frac <1> <3> ) pode ser escrita como ( text <0,> ponto <3> ) ou ( text <0,> overline <3> ). As notações de ponto e barra são equivalentes e ambas representam ( text <3> ) 's recorrentes, ou seja, ( text <0,> dot <3> = text <0,> overline <3> = text <0,333.> ).

Números decimais que têm um padrão recorrente de vários dígitos. Por exemplo, a fração ( frac <2> <11> ) também pode ser escrita como ( text <0,> overline <18> ). A barra representa um padrão recorrente de ( text <1> ) 'se ( text <8> )' s, ou seja, ( text <0,> overline <18> = text <0 , 181818.> ).

Você pode ver um ponto final em vez de uma vírgula usada para indicar um número decimal. Portanto, o número ( text <0,4> ) também pode ser escrito como 0,4

Notação: Você pode usar um ponto ou uma barra sobre os dígitos repetidos para indicar que o decimal é um decimal recorrente. Se a barra cobrir mais de um dígito, todos os números abaixo da barra são recorrentes.

Se você for solicitado a identificar se um número é racional ou irracional, primeiro escreva o número na forma decimal. Se o número terminar, então é racional. Se continuar para sempre, procure um padrão repetido de dígitos. Se não houver um padrão repetido, o número é irracional.

Ao escrever números irracionais na forma decimal, você pode continuar a escrevê-los com muitas, muitas casas decimais. No entanto, isso não é conveniente e muitas vezes é necessário arredondar.

O arredondamento de um número irracional torna o número um número racional que se aproxima do número irracional.


Números racionais e irracionais

Um número racional ( ( mathbb)) é qualquer número que pode ser escrito como:

onde (a ) e (b ) são inteiros e (b ne 0 ).

Os seguintes números são todos números racionais:

Vemos que todos os numeradores e todos os denominadores são inteiros.

Isso significa que todos os inteiros são números racionais, porque podem ser escritos com um denominador de ( text <1> ).

Números irracionais ( ( mathbb')) são números que não podem ser escritos como uma fração com o numerador e o denominador como inteiros.

Exemplos de números irracionais:

Esses não são números racionais, porque o numerador ou o denominador não é um número inteiro.

Números decimais (EMA5)

Todos os inteiros e frações com numeradores inteiros e denominadores inteiros diferentes de zero são números racionais. Lembre-se de que quando o denominador de uma fração é zero, a fração é indefinida.

Você pode escrever qualquer número racional como um número decimal, mas nem todos os números decimais são números racionais. Esses tipos de números decimais são números racionais:

Números decimais que terminam (ou terminam). Por exemplo, a fração ( frac <4> <10> ) pode ser escrita como ( text <0,4> ).

Números decimais com um único dígito repetido. Por exemplo, a fração ( frac <1> <3> ) pode ser escrita como ( text <0,> ponto <3> ) ou ( text <0,> overline <3> ). As notações de ponto e barra são equivalentes e ambas representam ( text <3> ) 's recorrentes, ou seja, ( text <0,> dot <3> = text <0,> overline <3> = text <0,333.> ).

Números decimais que têm um padrão recorrente de vários dígitos. Por exemplo, a fração ( frac <2> <11> ) também pode ser escrita como ( text <0,> overline <18> ). A barra representa um padrão recorrente de ( text <1> ) 'se ( text <8> )' s, ou seja, ( text <0,> overline <18> = text <0 , 181818.> ).

Você pode ver um ponto final em vez de uma vírgula usada para indicar um número decimal. Portanto, o número ( text <0,4> ) também pode ser escrito como 0,4

Notação: Você pode usar um ponto ou uma barra sobre os dígitos repetidos para indicar que o decimal é um decimal recorrente. Se a barra cobrir mais de um dígito, todos os números abaixo da barra são recorrentes.

Se você for solicitado a identificar se um número é racional ou irracional, primeiro escreva o número na forma decimal. Se o número terminar, então é racional. Se continuar para sempre, procure um padrão repetido de dígitos. Se não houver um padrão repetido, o número é irracional.

Ao escrever números irracionais na forma decimal, você pode continuar a escrevê-los com muitas, muitas casas decimais. No entanto, isso não é conveniente e muitas vezes é necessário arredondar.

O arredondamento de um número irracional torna o número um número racional que se aproxima do número irracional.


Notes-Class 8-Math-Chapter 1-Rational and Irrational Numbers-Maharashtra Board

Se p for qualquer número inteiro e q é um número inteiro diferente de zero, então o número ( frac

) é chamado de número racional.

Desde q pode ser igual a 1, todo inteiro é um número racional.

( frac <-20> <8> ), ( frac <10> <-7> ), ( frac <5> <8> ), -9, 0, 10 etc. são números racionais.

Existem infinitos números racionais entre quaisquer dois números racionais.

Ex. Encontre o número racional entre ( frac <3> <5> ), & amp ( frac <4> <5> )

Resp: Agora multiplique por 2 para o numerador e denominador do número racional para encontrar o número racional equivalente.

aqui podemos dizer que ( frac <7> <10> ) é um número racional entre ( frac <3> <5> ), & amp ( frac <4> <5> )

Da mesma forma, agora multiplique por 3 para o numerador e denominador do número racional para encontrar o número racional equivalente.

aqui podemos dizer que ( frac <10> <15> ) e ( frac <11> <15> ) também são o número racional entre ( frac <3> <5> ), & amp ( frac <4> <5> )

da mesma forma, podemos descobrir números racionais infinitos entre quaisquer dois números racionais

  • Se o numerador e o denominador de um número racional são multiplicados por qualquer número diferente de zero, o valor do número racional não muda.
  • Para quaisquer pares de números em uma linha numérica, o número à esquerda é menor que o outro.
  • Um número racional negativo é sempre menor que um número positivo

1- A representação decimal de um número racional é obtida dividindo seu numerador pelo denominador.

(i) O decimal para de ( frac <3> <5> ) é 0,6

(ii) O decimal para de ( frac <7> <2> ) é 3,5

(ii) O decimal para de ( frac <11> <8> ) é 1,375

em todos os casos, o resto é zero. aqui termina o processo de divisão.

Essa forma decimal de um número racional é chamada de forma decimal de terminação

(ii) ( frac <2> <11> ) = 0,181818. = (0. overline 1 overline 8 )

(iii) ( frac <1234> <999> ) = 1,235235235. = 1. ( Overline 2 overline 3 overline 5 )

nos casos acima, o processo é interminável. aqui, qualquer dígito ou grupo de dígitos é repetido.

Essa forma decimal de um número racional é chamada de forma decimal recorrente não terminante.

Ex: ( frac <15> <8> ) = 1.875 = 1.87500000. = (1.875 ponto 0 )

UMA número que não pode ser expresso como uma proporção entre dois inteiros e não é um imaginário número.

Se escrito em notação decimal, um Número irracional teria um infinito número de dígitos à direita da vírgula decimal, sem repetição.

Pi e a raiz quadrada de 2 (√2) são números irracionais.

Além dos números racionais, há muito mais números na reta numérica. Eles não são números racionais, ou seja, são números irracionais.

Vamos representar o número ( sqrt <2> ) na linha numérica.

(i) Desenhe uma reta numérica. Pegue o ponto O correspondente ao número 0. Pegue o ponto A na reta numérica para mostrar o número 1.

(ii) Desenhe uma linha eu perpendicular à reta numérica através do ponto A.

(iii) Pegue um ponto P na linha eu de modo que OA = AP = 1 unidade.

(v) Δ OAP é um triângulo retângulo.

Agora desenhe um arco com cnter O e raio OP.

deixe cruzar a reta numérica no ponto Q

O ponto R na linha numérica à esquerda de O da mesma distância de OQ representará o número (- sqrt 2 ).

Um Número irracional pode ser escrito como decimal, mas não como uma fração.

Um Número irracional tem infinitos dígitos não repetidos à direita da vírgula decimal.

Os números que podem ser mostrados por pontos em uma linha numérica são chamados real números.

π não é um número racional, π é um número irracional, para o cálculo tomamos o valor de π como ( frac <22> <7> ) = 3,14


Planilhas de números racionais e irracionais

Qual é a diferença entre números racionais e irracionais? É tudo uma questão de números na matemática, não é? Não é nada sem um jogo de números. Mas o que exatamente é um número? Um número é um valor aritmético que pode ser uma figura, palavra ou símbolo que indica uma quantidade. Existem infinitos tipos de números naturais, inteiros, inteiros, reais e complexos. Um dos tipos, que é o tipo de número real, é dividido em número racional e irracional. Na maioria dos problemas, você achará muito comum o racional e o irracional. Um conjunto de números Racionais envolve ter inteiros e fração. Por outro lado, os números irracionais são números que não podem ser expressos como frações. : Em matemática, um número racional é qualquer número que você possa representá-lo na forma fracionária como p / q, onde q é maior que zero (0). Você pode usar números racionais como uma fração. Mas você escreverá seu denominador e numerador como inteiros, e o denominador será igual a zero (0). Pontos-chave sobre números racionais: Ao resolver números racionais (Q), os seguintes pontos devem estar em sua mente: Os números reais (R) contêm todos os números de ração (Q) e inteiros (Z). Podemos escrever inteiros como números naturais (N). Podemos expressar todos os números racionais como um número inteiro porque podemos escrevê-los em uma forma fracionária. Como verificar números racionais: Se você deseja identificar que um determinado número é racional ou não, não se esqueça de verificar as seguintes considerações: O número deve estar em forma de fração como p / q, onde q & ne0. Você pode simplificar ainda mais a proporção p / q e expressá-la na forma decimal. O conjunto de números racionais deve ter + ve e -ve números e zero. Exemplo: verifique se 1 1/2 é um número racional. Solução: simplificando, 1 1/2 torna-se 3/2. O numerador 3 é um número inteiro. O denominador 2 é um número inteiro 2 & ne 0. Daí provou que 3/2 é um número racional. A diferença entre os dois é: 1. Os números racionais podem ser expressos em uma proporção de dois inteiros, enquanto os números irracionais não podem ser escritos ou expressos em uma proporção de dois inteiros. 2. Os números racionais podem ser expressos em uma fração. Os números irracionais não podem ser expressos em frações. 3. A maioria dos números racionais são quadrados perfeitos, enquanto nenhum número irracional é um quadrado perfeito. 4. Os números racionais são decimais finitos ou recorrentes, enquanto os números irracionais não são.

Aula Básica

Demonstra regras gerais de números racionais e irracionais. -72 é um número racional ou irracional? O número está terminando e pode ser representado na linha numérica, isso indica que é um número racional.

Aula intermediária

Explora como abordar números racionais e irracionais complexos. É 0,784543189. um número racional ou irracional? Como esse número não está terminando, ele continua indefinidamente ... Este é um número irracional.

Prática Independente 1

Determine se esses números são racionais ou irracionais. As respostas podem ser encontradas abaixo.

Prática Independente 2

Apresenta outros 20 problemas de números racionais e irracionais.

Folha de trabalho de casa

Problemas de números racionais e irracionais para os alunos trabalharem em casa. Exemplos de problemas são fornecidos e explicados.

Questionário de tópico

10 Problemas de números racionais e irracionais. Uma matriz de pontuação matemática está incluída.

Respostas para trabalhos de casa e questionários

Respostas do dever de casa e do teste.

Chave de respostas para a lição e prática

Respostas para ambas as lições e ambas as folhas de prática.

O escritor matemático mais prolífico?

Quem foi o escritor matemático mais prolífico de todos os tempos? Dica: Ele fez grandes avanços no estudo da geometria analítica moderna? Responder: Leonhard Euler. Devemos Euler pela notação f (x) para uma função (1734), e para a base de toras naturais (1727), I para a raiz quadrada de -1 (1777), p para pi, para soma (1755), the notation for finite differences y and 2y and many others.


2.2 Rational numbers

Integers

All integers are rational numbers. This is because any integer can be written as a fraction with as the denominator. Here are some examples:

Common fractions

All common fractions are rational numbers. In previous years you learnt that a common fraction is written in the form:

where the numerator and the denominator are both whole numbers.

In proper fractions, the numerator is smaller than the denominator. Here are some examples:

In improper fractions, the numerator is larger than the denominator. Here are some examples:

Mixed numbers

All mixed numbers are rational numbers. In previous years you learnt that a mixed number consists of a whole number and a proper fraction. You also learnt how to write mixed numbers as improper fractions. The same method can be used for positive and negative mixed numbers. Here are some examples:

Numbers written in decimal notation

All terminating decimals are rational numbers. In a terminating decimal, the digits that come after the decimal point come to an end. Last year you learnt how to convert numbers written in decimal notation to common fractions. Here are some examples:

All recurring decimals are rational numbers. In a recurring decimal, one or more decimal digits repeat in the same pattern forever. If only one or two digits repeat, we write a dot above the repeating digits. If more than two digits repeat, we write a dot above the first and last digits of the repeating pattern. Here are some examples:

começar 0.3333333 ldots & = 0.dot <3> 0.1555555 ldots & = 0.1dot <5> 10.27272727 ldots & = 10.dot<2>dot <7> 2.578578578 ldots & = 2.dot<5>7dot <8> 15.32656565 ldots & = 15.32dot<6>dot <5>end

Recurring decimals can be written as common fractions.

terminating decimal In a terminating decimal, the digits that come after the decimal point come to an end.

recurring decimal In a recurring decimal, one or more decimal digits repeat in the same pattern forever.

Worked example 2.1: Writing recurring decimals as common fractions (Method 1)

Step 1: Write the number as the sum of its whole number and its decimal fraction.

Step 2: Write the decimal fraction as a proper fraction. The recurring digits are the numerator. The denominator has the number 9 repeated as many times as there are digits in the numerator.

The numerator must be 15. It has two digits.
The denominator must therefore be 99.

Step 3: Find the simplest form of the fraction from Step 2.

Step 4: Rewrite Step 1, but now with the decimal fraction as a proper fraction. Add the whole number and the fraction.

This method only works if there are no non-recurring digits after the decimal point.

Worked example 2.2: Writing recurring decimals as common fractions (Method 2)

Step 1: Write out the recurring pattern at least three times. Let this be equal to . Label the equation as (1).

Step 2: Multiply the written out decimal by multiples of ten. Start with 10, then try 100, then 1,000 and so on. You must get the same digits depois the decimal point as those in equation (1). You must also get the repeating digits antes da the decimal point.

começar 10 imes 2.151515 ldots &= 10 imes x 21.51515 ldots &= 10x end

The digits after the decimal point are not the same as in equation (1), and only the number 1 of the repeating digits is before the decimal point.

começar 100 imes 2.151515 ldots &= 100 imes x 215.1515 ldots &= 100x end

The digits after the decimal point are the same as in equation (1), and both recurring digits, 15, appear before the decimal point.

Step 3: Label the equation from Step 2 as (2). Subtract equation (1) from equation (2).

começar 2.151515 ldots &= x phantom<00000>(1) 215.1515 ldots &= 100x phantom<00>(2) end

começar 215.1515 ldots - 2.151515 ldots &= 100x - x 213 &= 99x end

Step 4: Solve the equation from Step 3.

If there is a non-recurring digit after the decimal point, multiply equation (1) by 10 before you carry on with Step 2.

Exercise 2.1: Write recurring decimals as common fractions

Write each of the following recurring decimals as common fractions.

There is a non-recurring digit after the decimal point, so you need to multiply equation (1) by 10 before you get to the values you can subtract.

You still don't have the repeating digit before the decimal point, so multiply by 100.

The repeating digits are now only the same in equations (2) and (3), so you subtract (2) from (3).

começar 100x-10x&=2.22222-0.22222 90x&=2 frac<90x><90>&=frac<2><90> herefore x&=frac<1> <45>end

Percentages

All percentages are rational numbers. A percentage is a fraction of which the denominator is 100, and where only the numerator is written down, followed by a percentage symbol. Last year you learnt how to convert percentages to common fractions. Here are some examples:

percentage A percentage is a fraction of which the denominator is 100, and where only the numerator is written down, followed by a percentage symbol.

Square roots

O square root of a number is a factor of the number that, when multiplied by itself, gives the number. Only square roots that have whole numbers, terminating decimals or common fractions as answers are rational numbers. Here are examples of square roots that are rational numbers:

square root The square root of a number is a factor of the number that, when multiplied by itself, gives the number.

Exercise 2.2: Prove that numbers are rational

Prove that each of the following numbers are rational numbers.

Remember that a rational number is any number that can be written in the form such that and are both integers and .


Rational and Irrational Numbers


This Venn Diagram shows the relationships between sets of numbers. Notice that rational and irrational numbers are contained in the large blue rectangle representing the set of Real Numbers.

Rational Numbers

UMA rational number is a number that can be expressed as a fraction or ratio.
The numerator and the denominator of the fraction are both integers.
Examples of rational numbers are:

A rational number can be expressed as a ratio (fraction) with integers in both the top and the bottom of the fraction.
When the fraction is divided out, it becomes a terminating or repeating decimal. (The repeating decimal portion may be one number or a billion numbers.)

Rational numbers on number line:
A number line is a straight line diagram on which every point corresponds to a real number.
Since rational numbers are real numbers, they have a specific location on a number line.

To convert a repeating decimal to a fraction:

To show that the rational numbers are “dense”:
(The term “dense” means that between any two rational numbers there is another rational number.)

Irrational Numbers

An irrational number cannot be expressed as a fraction.

  1. Irrational numbers cannot be represented as terminating or repeating decimals.
  2. Irrational numbers are non-terminating, non-repeating decimals.
  3. Examples of irrational numbers are:

Observação: Many students think that π is the terminating decimal, 3.14, but it is not. Yes, certain math problems ask you to use π as 3.14, but that problem is rounding the value of to make your calculations easier. π is actually a non-ending decimal and is an irrational number.

There are certain radical values which fall into the irrational number category.
For example, √2 cannot be written as a “simple fraction”
which has integers in the numerator and the denominator.
As a decimal, √2 = 1.414213562373095048801688624 …
which is a non-ending and non-repeating decimal, making √2 irrational.

Irrational Numbers on a Number Line:
By definition, a number line is a straight line diagram on which every point corresponds to a real number.
Since irrational numbers are a subset of the real numbers, and real numbers can be represented on a number line, one might assume that each irrational number has a “specific” location on the number line.
“Estimates” of the locations of irrational numbers on number line:

Maths


Rational and Irrational Numbers

Rational Numbers

A rational number is a number that can be written as a ratio. That means it can be written as a fraction, in which both the numerator (the number on top) and the denominator (the number on the bottom) are whole numbers.

  • The number 8 is a rational number because it can be written as the fraction 8/1.
  • Likewise, 3/4 is a rational number because it can be written as a fraction.
  • Even a big, clunky fraction like 7,324,908/56,003,492 is rational, simply because it can be written as a fraction.

Every whole number is a rational number, because any whole number can be written as a fraction. For example, 4 can be written as 4/1, 65 can be written as 65/1, and 3,867 can be written as 3,867/1.

Ratio and Rates: A Video


Irrational Numbers

All numbers that are not rational are considered irrational. An irrational number can be written as a decimal, but not as a fraction.

An irrational number has endless non-repeating digits to the right of the decimal point. Here are some irrational numbers:

Although irrational numbers are not often used in daily life, they do exist on the number line. In fact, between 0 and 1 on the number line, there are an infinite number of irrational numbers!


5.7: Rational and Irrational Numbers - Mathematics

RATIONAL AND IRRATIONAL NUMBERS

Real and imaginary numbers make up the number system of algebra. Imaginary numbers are discussed in chapter 15 of this course. Real numbers are either rational or irrational. The word RATIONAL comes from the word "ratio." A number is rational if it can be expressed as the quotient, or ratio, of two whole numbers. Rational numbers include fractions like 2/7, whole numbers, and radicals if the radical sign is removable.

Any whole number is rational. Its denominator is 1. For instance, 8 equals , which is the quotient of two integers. A number like is rational, since it can be expressed as the quotient of two integers in the form . The following are also examples of rational numbers:

Any rational number can be expressed as the quotient of two integers in many ways. Por exemplo,

An IRRATIONAL number is a real number that cannot be expressed as the ratio of two integers. The numbers and are examples of irrational numbers.

Expressions such as and have irrational numbers in the denominator. If the denominators are changed immediately to decimals, as in

the process of evaluating a fraction becomes an exercise in long division. Such a fraction can be evaluated quickly by first changing the denominator to a rational number. Converting a fraction with an irrational number in its denominator to an equivalent fraction with a rational number in the denominator is called RATIONALIZING THE DENOMINATOR.

Multiplying a fraction by 1 leaves the value of the fraction unchanged. Since any number divided by itself equals 1, it follows, for example, that

If the numerator and denominator of are each multiplied by , another fraction having the same value is obtained. O resultado é

The denominator of the new equivalent fraction is 2, which is rational. The decimal value of the fraction is

To rationalize the denominator in we multiply the numerator and denominator by . We get

Practice problems. Rationalize the denominator in each of the following:

Any radical expression has a decimal equivalent which may be exact if the radicand is a rational number. If the radicand is not rational, the root may be expressed as a decimal approximation, but it can never be exact. A procedure similar to long division may be used for calculating square root and cube root, and higher roots may be calculated by means of methods based on logarithms and higher mathematics. Tables of powers and roots have been calculated for use in those scientific fields in which it is frequently necessary to work with roots.

The arithmetic process for calculation of square root is outlined in the following paragraphs:

1. Begin at the decimal point and mark the number off into groups of two digits each, moving both to the right and to the left from the decimal point. This may leave an odd digit at the right-hand or left-hand end of the number, or both. For example, suppose that the number whose square root we seek is 9025. The number marked off as specified would be as follows:

2. Find the greatest number whose square is contained in the left-hand group (90). This number is 9, since the square of 9 is 81. Write 9 above the first group. Square this number (9) place its square below the left-hand group, and subtract, as follows:

Bring down the next group (25) and place it beside the 9, as shown. This is the new dividend (925).

3. Multiply the first digit in the root (9) by 20, obtaining 180 as a trial divisor. This trial divisor is contained in the new dividend (925) five times thus the second digit of the root appears to be 5. However, this number must be added to the trial divisor to obtain a "true divisor." If the true divisor is then too large to use with the second quotient digit, this digit must be reduced by 1. The procedure for step 3 is illustrated as follows:

The number 180, resulting from the multiplication of 9 by 20,is written as a trial divisor beside the new dividend (925), as shown. The quotient digit (5) is then recorded and the trial divisor is adjusted, becoming 185. The trial quotient (180) is crossed out.

4. The true divisor (185) is multiplied by the second digit (5) and the product is placed below the new dividend (925). This step is shown in the illustration for step 3. When the product in step 4 is subtracted from the new dividend, the difference is 0 thus, in this example, the root is exact.

5. In some problems, the difference is not 0 after all of the digits of the original number have been used to form new dividends. Such problems may be carried further by adding 0s on the right-hand end of the original number, just as in normal long division. However, in the square root process the 0s must be added and used in groups of 2.

Practice problems. Find the square root of each of the following numbers:


Assista o vídeo: números racionais e irracionais (Outubro 2021).