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5.15: Propriedades Comutativas e Associativas (Parte 2) - Matemática


Simplifique as expressões usando as propriedades comutativas e associativas

Quando temos que simplificar as expressões algébricas, muitas vezes podemos tornar o trabalho mais fácil aplicando primeiro a propriedade comutativa ou associativa, em vez de seguir automaticamente a ordem das operações. Observe que no Exemplo 7.2.4 a parte (b) foi mais fácil de simplificar do que a parte (a) porque os opostos estavam próximos um do outro e sua soma é 0. Da mesma forma, a parte (b) no Exemplo 7.2.5 foi mais fácil, com o recíprocos agrupados porque seu produto é 1. Nos próximos exemplos, usaremos nosso senso numérico para procurar maneiras de aplicar essas propriedades para tornar nosso trabalho mais fácil.

Exemplo ( PageIndex {6} ):

Simplifique: −84n + (−73n) + 84n.

Solução

Observe que o primeiro e o terceiro termos são opostos, portanto, podemos usar a propriedade comutativa de adição para reordenar os termos.

Reordene os termos.−84n + 84n + (−73n)
Adicione da esquerda para a direita.0 + (−73n)
Adicionar.-73n

Exercício ( PageIndex {11} ):

Simplifique: −27a + (−48a) + 27a.

Responder

(- 48a )

Exercício ( PageIndex {12} ):

Simplifique: 39x + (−92x) + (−39x).

Responder

(- 92x )

Agora veremos como o reconhecimento de recíprocos é útil. Antes de multiplicar da esquerda para a direita, procure os recíprocos - o produto deles é 1.

Exemplo ( PageIndex {7} ):

Simplifique: ( dfrac {7} {15} cdot dfrac {8} {23} cdot dfrac {15} {7} ).

Solução

Observe que o primeiro e o terceiro termos são recíprocos, portanto, podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação para reordenar os fatores.

Reordene os termos.$$ dfrac {7} {15} cdot dfrac {15} {7} cdot dfrac {8} {23} $$
Multiplique da esquerda para a direita.$$ 1 cdot dfrac {8} {23} $$
Multiplicar.$$ dfrac {8} {23} $$

Exercício ( PageIndex {13} ):

Simplifique: ( dfrac {9} {16} cdot dfrac {5} {49} cdot dfrac {16} {9} ).

Responder

( frac {5} {49} )

Exercício ( PageIndex {14} ):

Simplifique: ( dfrac {6} {17} cdot dfrac {11} {25} cdot dfrac {17} {6} ).

Responder

( frac {11} {25} )

Em expressões em que precisamos adicionar ou subtrair três ou mais frações, primeiro combine aquelas com um denominador comum.

Exemplo ( PageIndex {8} ):

Simplifique: ( left ( dfrac {5} {13} + dfrac {3} {4} right) + dfrac {1} {4} ).

Solução

Observe que o segundo e o terceiro termos têm um denominador comum, então este trabalho será mais fácil se alterarmos o agrupamento.

Agrupe os termos com um denominador comum.$$ dfrac {5} {13} + left ( dfrac {3} {4} + dfrac {1} {4} right) $$
Adicione os parênteses primeiro.$$ dfrac {5} {13} + left ( dfrac {4} {4} right) $$
Simplifique a fração.$$ dfrac {5} {13} + 1 $$
Adicionar.$$ 1 dfrac {5} {13} $$
Converta em uma fração imprópria.$$ dfrac {18} {13} $$

Exercício ( PageIndex {15} ):

Simplifique: ( left ( dfrac {7} {15} + dfrac {5} {8} right) + dfrac {3} {8} ).

Responder

( frac {22} {15} )

Exercício ( PageIndex {16} ):

Simplifique: ( left ( dfrac {2} {9} + dfrac {7} {12} right) + dfrac {5} {12} ).

Responder

( frac {11} {9} )

Ao adicionar e subtrair três ou mais termos envolvendo decimais, procure os termos que se combinam para fornecer números inteiros.

Exemplo ( PageIndex {9} ):

Simplifique: (6,47q + 9,99q) + 1,01q.

Solução

Observe que a soma do segundo e do terceiro coeficientes é um número inteiro.

Altere o agrupamento.6,47q + (9,99q + 1,01q)
Adicione os parênteses primeiro.6,47q + (11,00q)
Adicionar.17,47q

Muitas pessoas têm bom senso numérico quando lidam com dinheiro. Pense em adicionar 99 centavos e 1 centavo. Você vê como isso se aplica à adição de 9,99 + 1,01?

Exercício ( PageIndex {17} ):

Simplifique: (5,58c + 8,75c) + 1,25c.

Responder

(15,58c )

Exercício ( PageIndex {18} ):

Simplifique: (8,79d + ​​3,55d) + 5,45d.

Responder

(17,79d )

Não importa o que você esteja fazendo, é sempre uma boa ideia pensar no futuro. Ao simplificar uma expressão, pense em como serão seus passos. O próximo exemplo mostrará como o uso da propriedade associativa de multiplicação pode tornar seu trabalho mais fácil se você planejar com antecedência.

Exemplo ( PageIndex {10} ):

Simplifique a expressão: [1,67 (8)] (0,25).

Solução

Observe que multiplicar (8) (0,25) é mais fácil do que multiplicar 1,67 (8) porque dá um número inteiro. (Pense em ter 8 trimestres - isso dá $ 2.)

Reagrupar.1.67[(8)(0.25)]
Multiplique nos colchetes primeiro.1.67[2]
Multiplicar.3.34

Exercício ( PageIndex {19} ):

Simplifique: [1,17 (4)] (2,25).

Responder

(10.53)

Exercício ( PageIndex {20} ):

Simplifique: [3,52 (8)] (2,5).

Responder

(70.4)

Ao simplificar as expressões que contêm variáveis, podemos usar as propriedades comutativas e associativas para reordenar ou reagrupar os termos, conforme mostrado no próximo par de exemplos.

Exemplo ( PageIndex {11} ):

Simplifique: 6 (9x).

Solução

Use a propriedade associativa de multiplicação para reagrupar.(6 • 9) x
Multiplique entre parênteses.54x

Exercício ( PageIndex {21} ):

Simplifique: 8 (3y).

Responder

(24 anos )

Exercício ( PageIndex {22} ):

Simplifique: 12 (5z).

Responder

(60z )

Em The Language of Algebra, aprendemos a combinar termos semelhantes reorganizando uma expressão de forma que os termos semelhantes fiquem juntos. Simplificamos a expressão 3x + 7 + 4x + 5 reescrevendo-a como 3x + 4x + 7 + 5 e, em seguida, simplificamos para 7x + 12. Estávamos usando a propriedade comutativa da adição.

Exemplo ( PageIndex {12} ):

Simplifique: 18p + 6q + (−15p) + 5q.

Solução

Use a propriedade comutativa de adição para reordenar de modo que termos semelhantes fiquem juntos.

Reordenar os termos.18p + (−15p) + 6q + 5q
Combine termos semelhantes.3p + 11q

Exercício ( PageIndex {23} ):

Simplifique: 23r + 14s + 9r + (−15s).

Responder

(32r-s )

Exercício ( PageIndex {24} ):

Simplifique: 37m + 21n + 4m + (−15n).

Responder

(41m + 6n )

A prática leva à perfeição

Use as propriedades comutativas e associativas

Nos exercícios a seguir, use as propriedades comutativas para reescrever a expressão fornecida.

  1. 8 + 9 = ___
  2. 7 + 6 = ___
  3. 8(−12) = ___
  4. 7(−13) = ___
  5. (−19)(−14) = ___
  6. (−12)(−18) = ___
  7. −11 + 8 = ___
  8. −15 + 7 = ___
  9. x + 4 = ___
  10. y + 1 = ___
  11. −2a = ___
  12. -3m = ___

Nos exercícios a seguir, use as propriedades associativas para reescrever a expressão fornecida.

  1. (11 + 9) + 14 = ___
  2. (21 + 14) + 9 = ___
  3. (12 · 5) • 7 = ___
  4. (14 · 6) • 9 = ___
  5. (−7 + 9) + 8 = ___
  6. (−2 + 6) + 7 = ___
  7. ( left (16 cdot dfrac {4} {5} right) • 15 = ___
  8. ( left (13 cdot dfrac {2} {3} right) • 18 = ___
  9. 3 (4x) = ___
  10. 4 (7x) = ___
  11. (12 + x) + 28 = ___
  12. (17 + y) + 33 = ___

Avalie as expressões usando as propriedades comutativas e associativas

Nos exercícios a seguir, avalie cada expressão para o valor fornecido.

  1. Se y = ( dfrac {5} {8} ), avalie:
    1. y + 0,49 + (- y)
    2. y + (- y) + 0,49
  2. Se z = ( dfrac {7} {8} ), avalie:
    1. z + 0,97 + (- z)
    2. z + (- z) + 0,97
  3. Se c = (- dfrac {11} {4} ), avalie:
    1. c + 3,125 + (- c)
    2. c + (- c) + 3,125
  4. Se d = (- dfrac {9} {4} ), avalie:
    1. d + 2,375 + (- d)
    2. d + (- d) + 2,375
  5. Se j = 11, avalie:
    1. ( dfrac {5} {6} left ( dfrac {6} {5} j right) )
    2. ( left ( dfrac {5} {6} cdot dfrac {6} {5} right) j )
  6. Se k = 21, avalie:
    1. ( dfrac {4} {13} left ( dfrac {13} {4} k right) )
    2. ( left ( dfrac {4} {13} cdot dfrac {13} {4} right) k )
  7. Se m = −25, avalie:
    1. (- dfrac {3} {7} left ( dfrac {7} {3} m right) )
    2. ( left (- dfrac {3} {7} cdot dfrac {7} {3} right) m )
  8. Se n = −8, avalie:
    1. (- dfrac {5} {21} left ( dfrac {21} {5} n right) )
    2. ( left (- dfrac {5} {21} cdot dfrac {21} {5} right) n )

Simplifique as expressões usando as propriedades comutativas e associativas

Nos exercícios a seguir, simplifique.

  1. -45a + 15 + 45a
  2. 9y + 23 + (-9y)
  3. ( dfrac {1} {2} + dfrac {7} {8} + left (- dfrac {1} {2} right) )
  4. ( dfrac {2} {5} + dfrac {5} {12} + left (- dfrac {2} {5} right) )
  5. ( dfrac {3} {20} cdot dfrac {49} {11} cdot dfrac {20} {3} )
  6. ( dfrac {13} {18} cdot dfrac {25} {7} cdot dfrac {18} {13} )
  7. ( dfrac {7} {12} cdot dfrac {9} {17} cdot dfrac {24} {7} )
  8. ( dfrac {3} {10} cdot dfrac {13} {23} cdot dfrac {50} {3} )
  9. −24 • 7 • ( dfrac {3} {8} )
  10. −36 • 11 • ( dfrac {4} {9} )
  11. ( left ( dfrac {5} {6} + dfrac {8} {15} right) + dfrac {7} {15} )
  12. ( left ( dfrac {1} {12} + dfrac {4} {9} right) + dfrac {5} {9} )
  13. ( dfrac {5} {13} + dfrac {3} {4} + dfrac {1} {4} )
  14. ( dfrac {8} {15} + dfrac {5} {7} + dfrac {2} {7} )
  15. (4,33p + 1,09p) + 3,91p
  16. (5,89d + 2,75d) + 1,25d
  17. 17(0.25)(4)
  18. 36(0.2)(5)
  19. [2.48(12)](0.5)
  20. [9.731(4)](0.75)
  21. 7 (4a)
  22. 9 (8 sem)
  23. -15 (5m)
  24. -23 (2n)
  25. 12 ( left ( dfrac {5} {6} p right) )
  26. 20 ( left ( dfrac {3} {5} q right) )
  27. 14x + 19a + 25x + 3a
  28. 15u + 11v + 27u + 19v
  29. 43m + (−12n) + (−16m) + (−9n)
  30. −22p + 17q + (−35p) + (−27q)
  31. ( dfrac {3} {8} g + dfrac {1} {12} h + dfrac {7} {8} g + dfrac {5} {12} h )
  32. ( dfrac {5} {6} a + dfrac {3} {10} b + dfrac {1} {6} a + dfrac {9} {10} b )
  33. 6,8p + 9,14q + (−4,37p) + (−0,88q)
  34. 9,6m + 7,22n + (−2,19m) + (−0,65n)

Matemática cotidiana

  1. Selos Allie e Loren precisam comprar selos. Allie precisa de quatro selos de $ 0,49 e nove selos de $ 0,02. Loren precisa de oito selos de $ 0,49 e três selos de $ 0,02.
    1. Quanto custarão os selos de Allie?
    2. Quanto custarão os selos de Loren?
    3. Qual é o custo total dos selos das meninas?
    4. De quantos selos de $ 0,49 as meninas precisam no total? Quanto custarão?
    5. De quantos selos de $ 0,02 as meninas precisam no total? Quanto custarão?
  2. Contando com o Subsídio de Dinheiro está totalizando o dinheiro de um jantar para levantamento de fundos. Em um envelope, ele tem vinte e três notas de $ 5, dezoito notas de $ 10 e 34 notas de $ 20. Em outro envelope, ele tem quatorze notas de $ 5, nove notas de $ 10 e vinte e sete notas de $ 20.
    1. Quanto dinheiro está no primeiro envelope?
    2. Quanto dinheiro está no segundo envelope?
    3. Qual é o valor total de todo o dinheiro?
    4. Qual é o valor de todas as notas de $ 5?
    5. Qual é o valor de todas as notas de $ 10?
    6. Qual é o valor de todas as notas de $ 20?

Exercícios de escrita

  1. Em suas próprias palavras, declare a propriedade comutativa da adição e explique por que ela é útil.
  2. Em suas próprias palavras, declare a propriedade associativa da multiplicação e explique por que ela é útil.

Auto-verificação

(a) Depois de completar os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

(b) Depois de revisar esta lista de verificação, o que você fará para se tornar confiante para todos os objetivos?


Use as propriedades comutativas e associativas

Pense em adicionar dois números, digamos 5 e 3. A ordem em que os adicionamos não afeta o resultado, certo?

Como podemos ver, a ordem em que adicionamos não importa!

Que tal multiplicar

Novamente, os resultados são os mesmos!

A ordem em que nos multiplicamos não importa!

Esses exemplos ilustram a propriedade comutativa. Ao adicionar ou multiplicar, alterando o pedido dá o mesmo resultado.

Ao adicionar ou multiplicar, alterando o pedido dá o mesmo resultado.

A propriedade comutativa tem a ver com ordem. Se você alterar a ordem dos números ao adicionar ou multiplicar, o resultado é o mesmo.

E a subtração? A ordem importa quando subtraímos os números? Faz dê o mesmo resultado que

Os resultados não são os mesmos.

Já que alterar a ordem da subtração não deu o mesmo resultado, sabemos que subtração não é comutativa.

Vamos ver o que acontece quando dividimos dois números. A divisão é comutativa?

Os resultados não são os mesmos.

Como alterar a ordem da divisão não deu o mesmo resultado, divisão não é comutativa. As propriedades comutativas só se aplicam à adição e multiplicação!

  • Adição e multiplicação está comutativo.
  • Subtração e Divisão não são comutativo.

Se lhe pedissem para simplificar esta expressão, como o faria e qual seria a sua resposta?

Algumas pessoas pensariam e então . Outros podem começar com e então .

Qualquer uma das formas dá o mesmo resultado. Lembre-se de que usamos parênteses como símbolos de agrupamento para indicar qual operação deve ser realizada primeiro.

Adicionar .
Adicionar.
Adicionar .
Adicionar.

Ao adicionar três números, alterar o agrupamento dos números dá o mesmo resultado.

Isso também é válido para a multiplicação.

Multiplicar.
Multiplicar.
Multiplicar. .
Multiplicar.

Ao multiplicar três números, alterar o agrupamento dos números dá o mesmo resultado.

Você provavelmente sabe disso, mas a terminologia pode ser nova para você. Esses exemplos ilustram a propriedade associativa.

Ao adicionar ou multiplicar, alterando o agrupamento dá o mesmo resultado.

Vamos pensar novamente sobre a multiplicação . Obtivemos o mesmo resultado de ambas as maneiras, mas qual foi a mais fácil? Multiplicando e primeiro, conforme mostrado acima no lado direito, elimina a fração na primeira etapa. Usar a propriedade associativa pode tornar a matemática mais fácil!

A propriedade associativa tem a ver com agrupamento. Se mudarmos a forma como os números são agrupados, o resultado será o mesmo. Observe que são os mesmos três números na mesma ordem - a única diferença é o agrupamento.

Vimos que a subtração e a divisão não eram comutativas. Eles também não são associativos.

Ao simplificar uma expressão, é sempre uma boa ideia planejar quais serão as etapas. Para combinar termos semelhantes no próximo exemplo, usaremos a propriedade comutativa de adição para escrever os termos semelhantes juntos.

Simplificar: .

Use a propriedade comutativa de adição para reordenar para que termos semelhantes fiquem juntos.
Adicione termos semelhantes.

Simplificar: .

Simplificar: .

Quando temos que simplificar as expressões algébricas, podemos muitas vezes tornar o trabalho mais fácil aplicando primeiro a propriedade comutativa ou associativa, em vez de seguir automaticamente a ordem das operações. Ao adicionar ou subtrair frações, combine primeiro aquelas com um denominador comum.

Simplificar: .

Observe que os últimos 2 termos têm um denominador comum, portanto, altere o agrupamento.
Adicione os parênteses primeiro.
Simplifique a fração.
Adicionar.
Converta em uma fração imprópria.

Simplificar: .

Simplificar: .

Use a propriedade associativa para simplificar .

Altere o agrupamento.
Multiplique entre parênteses.

Observe que podemos multiplicar mas não pudemos multiplicar 3x sem ter um valor para x.

Use a propriedade associativa para simplificar 8 (4x).

Use a propriedade associativa para simplificar .


Uma pesquisa sobre normas t contínuas à esquerda e pseudo-normas t

Rotações de uniformes

Olhando mais de perto o Teorema 5.5.1 mostra que nem todo uninorm é adequado para desempenhar o papel de M . Na verdade, os uninormes que podem ser girados com sucesso (ou seja, que resultam em uma operação associativa) são precisamente aqueles para os quais a norma t subjacente satisfaz a condição (C1) ou condição (C2).

5.5.9 Teorema

Considere uma forte negação N com um único ponto fixo t e um U uninorm contínuo à esquerda que satisfaz qualquer uma das condições (C1) ou (C2) do Teorema 5.5.1 . Denote seu elemento neutro por e. Deixe você1 seja a transformação linear de U em [t, 1] e denotam a imagem de e sob esta transformação linear por e *. Então ele sustenta que: (eu)

A rotação Upodridão é um uninorm com elemento neutro e *.

5.5.10 Exemplo

Considerar N(x) = 1 − x. O operador “Três Pi” definido por x y x y + 1 - x 1 - y e sua rotação são apresentados na Figura 5.10.

Figura 5.10. “Três Pi” (esquerda) e sua rotação (direita), ver Exemplo 5.5.10

5.5.11 Exemplo

Considerar N(x) = 1 − x. O uninorm idempotente [8]

e sua rotação são mostradas na Figura 5.11.

Figura 5.11. você (esquerda) e sua rotação (direita), ver Exemplo 5.5.11

5.5.12 Observação

A construção de rotação não pode ser generalizada para o caso não comutativo.


5.15: Propriedades Comutativas e Associativas (Parte 2) - Matemática

Esses cartões de tarefas de propriedade associativa de multiplicação também incluem as chaves de resposta, que você pode laminar e deixar no centro para permitir que sejam folhas de autoverificação conduzidas por alunos. Em aulas em pequenos grupos, você pode dar a cada aluno de três a quatro cartões e eles podem ajudar uns aos outros e revisar a habilidade de Propriedade Associativa de Multiplicação verificando as respostas que seu parceiro ou vizinho respondeu, mantendo todos envolvidos! Mantenha seus alunos engajados, alertas e alertas com este pequeno e fofo recurso de cartões de tarefas de propriedade associativa de multiplicação!

  • Remediação e grupos RTI
  • Substituir pastas do professor
  • Scoot Game! Mantenha-os todos em pé e em movimento!
  • Estações de trabalho matemáticas
  • Recesso interno
  • Leia o jogo da sala
  • Trabalho matinal
  • Sub banheiras de emergência
  • Baldes matinais de matemática
  • Centros de matemática
  • Alunos de madrugada
  • Tutoria depois da escola
  • Noites de Matemática para Pais
  • E muito mais!

Todo o recurso também está incluído em preto e branco para economizar o custo da tinta colorida.
Imprima-os em papel colorido ou cartolina colorida para um pouco de cor e alegria em seu centro de matemática!
Propriedade associativa dos cartões de tarefas de multiplicação

6.2.2 Propriedades e expressões equivalentes de amp

Aplicar as propriedades associativas, comutativas e distributivas e a ordem de operações para gerar expressões equivalentes e resolver problemas envolvendo números racionais positivos.

Outro exemplo: Use a lei distributiva para escrever: $ frac <1> <2> + frac <1> <3> left ( frac <9> <2> - frac <15> <8> right) = frac <1> <2> + frac <1> <3> times frac <9> <2> - frac <1> <3> times frac <15> <8> = frac < 1> <2> + frac <3> <2> - frac <5> <8> = 2- frac <5> <8> = 1 frac <3> <8> $.

Visão geral

Padrão 6.2.2 Entendimentos Essenciais

Os alunos neste nível começam a desenvolver a capacidade de generalizar relações numéricas e expressar ideias matemáticas de forma concisa usando expressões e equações (por exemplo, três a mais do que um número como x + 3, dobrando como 2n, comutatividade como uma + b = b + uma) Modelos concretos e representações pictóricas de expressões algébricas são usados ​​para desenvolver a compreensão de que as propriedades comutativas, associativas e distributivas e a ordem das operações se aplicam da mesma forma que se aplicavam às expressões numéricas. Os alunos usam essas propriedades e a ordem das operações para gerar expressões equivalentes e avaliar expressões que envolvem números racionais positivos.

Todos os benchmarks padrão

6.2.2.1 Aplicar as propriedades associativas, comutativas e distributivas e a ordem de operações para gerar expressões equivalentes e resolver problemas envolvendo números racionais positivos.

Grupo de referência A

6.2.2.1 Aplicar as propriedades associativas, comutativas e distributivas e a ordem de operações para gerar expressões equivalentes e resolver problemas envolvendo números racionais positivos.

O que os alunos devem saber e ser capazes de fazer [em um nível de domínio] relacionado a este benchmark:

  • Entenda que as expressões algébricas se comportam da mesma maneira que as expressões numéricas
  • Aplique a ordem das operações para gerar expressões numéricas equivalentes envolvendo números racionais
    Exemplos:
    $12.6-(5.1+4.2)=12.6-9.3=3.3$
  • Aplicar propriedades comutativas, associativas e distributivas para gerar expressões equivalentes
    Exemplos:
    $ 9 vezes 52 = 9 vezes (50 + 2) = (9 vezes 50) + (9 vezes 2) = 450 + 18 = 468 $
    $ 12x + 2x = 2x + 12x = 14x $
    $ 5x cdot 3 = 3 (5x) = 15x $
    $ (x + 2) cdot 5 = 5 (x + 2) = 5x + 10 $
  • Identifique propriedades comutativas, associativas e distributivas usadas para gerar expressões numéricas e algébricas equivalentes
    Exemplos:
    $ 3 cdot (x + 5) = (x + 5) cdot 3 $ Propriedade Comutativa de Multiplicação
  • Avalie expressões algébricas quando dados números racionais positivos como valores para variáveis.


Trabalhos de séries anteriores que apóiam esse novo aprendizado incluem:

Aplicar as propriedades comutativas, associativas e distributivas e a ordem das operações para gerar expressões numéricas equivalentes e resolver problemas envolvendo números inteiros

  • Determine se uma equação ou desigualdade é verdadeira ou falsa para um determinado valor da variável
  • Representar situações do mundo real usando equações e desigualdades envolvendo variáveis. Crie situações do mundo real correspondentes a equações e desigualdades
  • Avalie expressões e resolva equações envolvendo variáveis ​​quando os valores são fornecidos para as variáveis.

Padrões NCTM

Compreenda os significados das operações e como elas se relacionam umas com as outras

  • Compreenda o significado e os efeitos das operações aritméticas com frações, decimais e porcentagens.
  • Use as propriedades associadas e comutativas de adição e multiplicação e a propriedade distributiva de multiplicação sobre adição para simplificar cálculos com inteiros, frações e decimais.

Padrões de estado de núcleo comum (CCSS)

6 EE (Expressões e Equações) Aplicar e estender conhecimentos anteriores de aritmética a expressões algébricas.

  • 6.EE.3 Aplique as propriedades das operações para gerar expressões equivalentes. Por exemplo, aplique a propriedade distributiva à expressão 3 (2 + x) para produzir a expressão equivalente 6 + 3x aplique a propriedade distributiva à expressão 24x + 18y para produzir a expressão equivalente 6 (4x + 3y) aplique propriedades de operações para y + y + y para produzir a expressão equivalente 3y.

Equívocos

Equívocos e erros comuns dos alunos

  • Os alunos aplicam incorretamente a ordem das operações
  • Os alunos podem pensar que 3 x 5 é equivalente a 3 x 3 + 2, não reconhecendo a necessidade de parênteses
  • Os alunos interpretam mal os expoentes (por exemplo, 4 2 como 4 x 2)
  • Os alunos podem ficar confusos com as diferenças entre as propriedades comutativas e associativas e irão identificá-las incorretamente
  • Como $ 2 + frac <1> <2> = 2 frac <1> <2> $, os alunos interpretam 2x como 2 + x
  • Os alunos não reconhecem que x + x pode ser simplificado para 2x
  • Os alunos podem interpretar mal x + x + x como x 3, em vez de 3x
  • Os alunos não reconhecem que $ x cdot 5 $ e $ 5x $ são expressões equivalentes, resultando na incapacidade de gerar a expressão equivalente $ 8x $ para $ x cdot 5 + 3x $
  • Quando dado x = 3, os alunos interpretam incorretamente 5x como 53.

Vinheta

Na sala de aula

Nesta vinheta, os alunos usam propriedades associativas, comutativas e distributivas para gerar expressões algébricas equivalentes para a área de um retângulo.

Professora: A tarefa de hoje é gerar o máximo de expressões possível para representar a área deste retângulo.

Professora: Para nos ajudar a pensar sobre isso, vamos começar usando blocos de álgebra para representar este retângulo.

Aluno1: Eu já fiz um desenho para mostrar como isso pode ser.

Professora: Que expressão algébrica você usaria para representar a área?

Aluno1: A imagem mostra x + x + x + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1.

Professora: Certamente que sim. Existe outra maneira de escrever essa expressão que pode ser um pouco mais simples?

Aluno1: Certo. Você pode adicionar todos os (x) s juntos e adicionar todos os (1) s junto. Então você obteria 3x + 15.

Professora: Então, o que você fez foi agrupar os termos "curtir". Você juntou todos os (x) s em um grupo e todos os (1) s em outro grupo. Freqüentemente usamos parênteses em matemática para mostrar grupos, então você pode escrever seu trabalho assim: (x + x + x) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1) = 3x + 15.

Aluno2: Eu conheço uma maneira mais fácil de resolver o problema.

Professora: O que seria aquilo?

Aluno2: Bem, lembro que a maneira mais rápida de encontrar a área de um retângulo é multiplicar o comprimento pela largura. É por isso que escrevi a área como x + 5 x 3.

Aluno3: Concordo que a área de um retângulo pode ser encontrada multiplicando o comprimento pela largura, mas acho que há algo errado com sua expressão.

Professora: Me diga mais.

Aluno3: Os blocos de álgebra mostram que existem 3 (x) s e 15 unidades. Quando você usa a ordem das operações para simplificar x + 5 x 3, você obtém x + 15. De alguma forma você perdeu dois (x) s, mas não sei como.

Professora: De acordo com a ordem das operações, a multiplicação vem antes da adição, então sua observação está correta. Como é que os dois (x) s dá o fora?

Aluno3: É porque você apenas multiplicou o 5 por 3, e não multiplicou o x por 3.

Professora: Oh, você está dizendo que 3 só foi distribuído sobre o 5, mas não o x. Como podemos reescrever a expressão para torná-la precisa e mostrar que o 3 precisa ser distribuído, ou multiplicado por 5 e o x?

Aluno3: Você precisa colocar parênteses em torno do x + 5.

Professora: Mostre-me o que você quer dizer.

Aluno3: Assim. (x + 5) x 3. Isso significa que tanto o x e o 5 é multiplicado por 3.

Professora: Tempo esgotado. Estou tendo um pouco de dificuldade para entender o que você escreveu, porque você usou um x para representar a variável e um x para indicar a multiplicação. Existe outra maneira de escrever a expressão que pode ser um pouco menos confusa.

Aluno3: Eu vejo o que você quer dizer. Suponho que poderia escrever a expressão como (x + 5) ٠3, já que às vezes um ponto é usado para representar a multiplicação.

Aluno1: Por que você tem que escrever qualquer símbolo?

Professora: O que você está sugerindo?

Aluno1: Que escrevamos assim: (x + 5)3.

Professora: É verdade que em álgebra, quando escrevemos quantidades próximas umas das outras sem nenhum símbolo entre elas, a multiplicação está implícita. Por exemplo, 6y significa 6 vezes qualquer valor da variável y tem.

Aluno3: Eu entendo que você deve multiplicar quando não há símbolo, mas essa expressão parece confusa para mim.

Professora: Que parte está confundindo você?

Aluno3: Escrevendo o 3 no final da expressão em vez de no início.

Professora: Como você sugere que escrevamos a expressão?

Aluno3: Eu escreveria 3 (x + 5).

Professora: Por que isso é menos confuso para você?

Aluno3: Porque geralmente escrevemos os números primeiro.

Professora: Me dê um exemplo.

Aluno3: Como costumamos escrever 3x, não x3.

Professora: Você tem razão. É nossa prática em álgebra escrever o número que está sendo multiplicado antes da variável. Mas essas duas expressões são equivalentes? É 3x equivalente a x3?

Aluno3: Eu penso que sim. Se você substituir um número por x, como 2, você obtém 6 para ambas as expressões. Na primeira expressão você multiplica 3 vezes 2, e na segunda expressão você multiplica 2 vezes três. Você obtém a mesma coisa. É só que você multiplica em uma ordem diferente.

Professora: Exatamente. Em matemática, temos uma propriedade que diz que, quando você multiplica, a ordem dos fatores não importa. Você obterá o mesmo resultado. É a propriedade comutativa. Vamos voltar ao nosso problema do retângulo agora. Como estão as expressões (x + 5) 3 e 3 (x + 5) diferente?

Aluno3: A única diferença é a ordem em que os fatores são anotados.

Professora: As duas expressões são equivalentes?

Aluno3: Eles devem ser.

Professora: E como você sabe?

Aluno3: Por causa da propriedade comutativa.

Professora: Sim, mas lembre-se - a propriedade comutativa só funciona para multiplicação e adição. Subtração e divisão não são comutativas. Se você alterar a ordem dos números ao realizar essas operações, obterá respostas diferentes. Agora estou curioso. Anteriormente, escrevemos a área do retângulo como 3x + 15. Como sabemos que 3x + 15 e 3 (x + 5) são equivalentes?

Aluno1: Oh, essa é outra propriedade. Acho que se chama propriedade distributiva. Você usa essa propriedade para se livrar do parêntese e simplificar 3 (x + 5).

Professora: Como funciona a propriedade distributiva?

Aluno1: Primeiro você multiplica 3 por x, que é 3x. Então você adiciona 3 vezes 5 ou 15. A resposta é 3x + 15.

Professora: A propriedade distributiva recebe esse nome porque "distribui" o fator fora dos parênteses sobre os termos entre parênteses. Eu sei que as propriedades são algo como leis, elas sempre funcionam. Mas por que a propriedade distributiva funciona?

Aluno1: Acho que é como usar produtos parciais.

Professora: É um pensamento interessante. A propriedade distributiva permite "distribuir" ou multiplicar um número sobre cada soma de uma soma e, em seguida, adicionar os produtos. Deixe-me dar um exemplo da propriedade distributiva usando números.

Neste exemplo, o 5 é "distribuído" por 10 e 2. Isso significa que 5 é multiplicado por 10 e 2, resultando nos produtos parciais 50 (5 x 10) e 10 (5 x 2). Quando adiciono 50 e 10, obtenho 60, que é o mesmo resultado que obtenho para 5 x 12 usando qualquer estratégia. Em nosso produto retangular, nossos produtos parciais são 3x e 15. No entanto, não podemos combiná-los como fizemos com 50 e 10 porque eles não são termos "semelhantes". Mas voltando à nossa tarefa original de gerar expressões equivalentes para a área do retângulo. Até agora temos:

x + x + x + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1

(x + x + x) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1)

Também falamos sobre como as propriedades comutativas e distributivas podem ser usadas para gerar expressões equivalentes. Mas não ouvi ninguém falar sobre a propriedade associativa. O que é essa propriedade e como ela pode ser usada para gerar uma expressão equivalente para a área do nosso retângulo?

Aluno1: A propriedade associativa é sobre agrupamento. Diz que podemos alterar o agrupamento do que está sendo adicionado ou multiplicado sem alterar os resultados.

Professora: Sim, e frequentemente usamos parênteses para mostrar esses grupos. Lembre-se, esta propriedade não se aplica à subtração ou divisão, assim como a propriedade comutativa. Então, como podemos usar a propriedade associativa para encontrar mais expressões equivalentes para a área do nosso retângulo?

Aluno1: Eu tenho uma ideia. Vou usar a propriedade associativa para alterar o agrupamento do que está sendo adicionado. Aqui está o meu pensamento:

(x + x + x) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1) =

([x + x] + x) + ([1 + 1 + 1 + 1] + [1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1]) =

Isso significa que 2x + x + 4 + 11 é outra expressão para a área do retângulo.

Professora: Vamos voltar à nossa foto para verificar isso. Eu vejo 2 (y) s, outro x, 4 uns e 11 uns. A imagem apóia sua ideia. Agora, gostaria que você trabalhasse com seus parceiros para gerar mais 3 expressões equivalentes para a área do retângulo. Identifique quais propriedades justificam seu pensamento.

Recursos

Anotações do professor

  • O mnemônico Por favor, desculpe minha querida tia Sally é útil para alunos que não conseguem se lembrar da ordem das operações (Parênteses, expoentes, multiplicar, dividir, adicionar, subtrair) Lembre aos alunos que os cálculos são sempre feitos da esquerda para a direita e que os grupos devem seguir as regras que funcionam do interior para o exterior.
  • Os alunos se beneficiarão de uma discussão sobre o que a palavra equivalente meios. Por exemplo, uma dúzia e 12 itens ou $ 1,00 e 4 trimestres são equivalentes porque têm o mesmo valor. Em matemática, temos frações equivalentes ($ frac <1> <2> $ e $ frac <2> <4> $) e medidas equivalentes (1 pé e 12 polegadas). Expressões equivalentes, (12 + 7 e 7 + 12 ou x + x + 2 e 2x + 2) também têm o mesmo valor.
  • Os alunos que acreditam que 3 x 5 é equivalente a 3 x 3 + 2 precisam de oportunidades adicionais para ver como os parênteses são necessários para representar 5 como 3 + 2 e alterar a ordem típica de movimento da esquerda para a direita ao realizar cálculos para manter a equivalência. Eles se beneficiarão de atividades em que são solicitados a inserir parênteses nas expressões para gerar um determinado número. Por exemplo, como os parênteses podem ser inseridos na expressão 5 + 3 x 4 - 2 para torná-la equivalente a 30? Equivalente a 11? Equivalente a 15?
  • As experiências anteriores dos alunos com expoentes provavelmente foram conectadas ao valor posicional usando a base 10, por exemplo, 10 2 = 10 x 10 = 100 10 3 = 10 x 10 x 10 = 1000 10 4 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000. Use esta conexão para ajudar os alunos a ver a base como um repetido fator, com o expoente dizendo quantas vezes a base é repetida.
  • As palavras-chave a serem lembradas são pedido para a Propriedade Comutativa e agrupamento para a propriedade do associado. Lembre aos alunos que a propriedade associativa move os parênteses, mas não altera a posição dos números. A propriedade comutativa muda as posições dos números
  • Fornece organizadores gráficos, como os mostrados abaixo, para ajudar os alunos a entender as propriedades e como elas são usadas para simplificar as expressões numéricas e algébricas

  • Certifique-se de dar aos alunos muitas oportunidades de usar materiais concretos e representações pictóricas de expressões algébricas antes de passar para o simbólico. Isso ajudará os alunos a ver que 2 + x não é equivalente a 2x , embora $ 2 + frac <1> <2> = 2 frac <1> <2> $.
  • Sem extensas experiências concretas e semiconcretas, também é difícil para os alunos entender que x + x = 2x. Como o coeficiente 1 está implícito, os alunos se beneficiarão se o professor escrever o coeficiente 1 sempre que estiver implícito para torná-lo explícito. Escrita 1x + 1x + 1x pode ajudar os alunos a visualizar três quantidades distintas que podem ser somadas e representadas como 3x.
  • O uso de modelos concretos e representações pictóricas também ajudará os alunos que têm o equívoco de que x + x + x pode ser expresso pela expressão x 3 em vez de 3x. Lembre aos alunos que em notação exponencial, a base é uma repetição fator, e não indica adição repetida.
  • Os alunos lutam para entender que x5 e 5x são expressões equivalentes, porque conflitam com suas experiências anteriores com números (53 e 35 não são equivalentes). Isso fornece uma oportunidade de mostrar que as propriedades realmente agem da mesma maneira com os números e expressões algébricas. Por exemplo, 50 + 3 = 3 + 50 e 50 $ cdot $ 3 = 3 $ cdot $ 50 demonstram a propriedade comutativa de adição e multiplicação. Na expressão algébrica x5, a multiplicação está implícita. Portanto, x5 meios x $ cdot $ 5. De acordo com a propriedade comutativa, x $ cdot $ 5 é equivalente a 5 $ cdot $ x, que geralmente é escrito como 5x. Portanto, x5 + 3x pode ser reescrito como 5x + 3x = 8x. No número 53, a adição 50 + 3 está implícita. De acordo com a propriedade comutativa 53 = 50 + 3 = 3 + 50, não 35.
  • Alunos que interpretam 5x como 53 para x = 3 precisa ser lembrado que em expressões algébricas, quando duas quantidades são escritas uma ao lado da outra sem qualquer símbolo, a multiplicação está implícita. These students may benefit from discussion about how x is not usually used to represent multiplication in algebraic expressions to avoid confusion with the variable x, and that a dot is often used when a multiplication symbol is needed to prevent confusion.

Instructional Resources

Additional Instructional Resources

This interactive website includes print activities with 5 different levels of difficulty.

This website is a game for two users where each player tries to connect four game pieces in a row before his or her opponent. Players can also choose game difficulty.

New Vocabulary

base (of an exponent): the number used as the factor in exponential notation base exponent

Exemplo: In 6 4 = 6 x 6 x 6 x 6, 6 is the base used as a factor 4 times.

exponent: in exponential notation (base exponent ), the exponent is the number that tells how many times the base is used as a factor

Example: In 8 x 8 x 8 = 8 3 , the exponent is 3 with base 8.

evaluate: to find the value. To evaluate algebraic expressions, particular numbers are substituted for variables before calculating.

Exemplo: To evaluate 7x for x = 5, x is replaced with 5, resulting in 35

order of operations: the rules describing what sequence to use in evaluating expressions. All calculations are done left to right, in the following order:

  1. Parentheses and other grouping symbols work from the innermost set using rules 2-4
  2. Exponents
  3. Multiply or divide in the order the operations occur.
  4. Add or subtract in the order the operations occur.

simplify (an expression): to rewrite by removing parentheses and by combining like terms. Examples: 3x + 4 + 2 + 2x can be simplified as 5x + 6 and 3(2y + 4) - y can be simplified as 5y + 12

simplify (a fraction): to express in simplest form, or lowest terms. The numerator and denominator of proper fractions in simplest form have no common factor other than 1. Improper fractions and mixed numbers are in simplest form when the fraction part is proper and in simplest form. Examples: The numerator and denominator of $frac<4><8>$ share the common factor 4, so must be rewritten as $frac<1><2>$ to be in simplest form $frac<19><3>$ written in simplest form is $6frac<1><3>$.

variable: a quantity that changes or that can have different values a letter if often used to represent a variable quantity. Exemplo: In the expression 5n, n is a variable because it can have different values.

Reflection - Critical questions regarding the teaching and learning of this benchmark:

How can concrete models and pictorial representations be used to move students to abstract representations?

  • What activities will help students gain the understanding that algebraic representations work in the same way as numerical expressions?
  • What evidence shows that students can apply and identify properties used to generate equivalent expressions?
  • What evidence shows that students can apply the order of operations to generate equivalent expressions?
  • What student misconceptions need to be addressed?

Materials - suggested articles and books

● This article from NCTM's Principles and Standards for School Mathematics discusses the importance of using informal explorations with physical models, data, graphs, and other mathematical representations rather than facility with formal algebraic manipulation at the middle school level.

Minnesota's K-12 Mathematics Frameworks. (1998). St. Paul, MN: SciMathMN.

Focus in Grade 6 Teaching with Curriculum Focal Points. (2010). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Developing Essential Understanding of Ratios, Proportions & Proportional Reasoning Grades 6-8. (2010). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Principles and Standards for School Mathematics. (2000). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.


Developmental Math

All About Percent and Ratios

All About Measurements

All About Equations

Equations - how to solve
Factors - essential basics
Graphs - basic essentials
Measurement - from mm to m³

HIGH SCHOOL MATH

Algebra - basic essentials
Equations - how to solve
Factors - essential basics
Graphs - basic essentials
Measurement - from mm to m
Percentage - helping you achieve 100%
Prime numbers - talk about odd!
Standard Form - scientifically speaking


Properties of rational numbers

Properties of Rational Numbers. Algebra and Functions 1.3 Simplify Numerical expressions by applying properties of rational numbers (e.g. identity, inverse, distributive, associative, commutative). Math Objective: Understand and distinguish between the commutative and associative properties. - PowerPoint PPT Presentation

Properties of Rational NumbersAlgebra and Functions 1.3Simplify Numerical expressions by applying properties of rational numbers (e.g. identity, inverse, distributive, associative, commutative)

Math Objective:Understand and distinguish between the commutative and associative properties

Five Properties of Rational NumbersCommutativeAssociativeIdentityInverseDistributive

The Commutative PropertyBackgroundThe word commutative comes from the verb to commute.Definition on dictionary.comCommuting means changing, replacing, or exchangingPeople who travel back and forth to work are called commuters.Traffic Reports given during rush hours are also called commuter reports.

Here are two families of commuters.Commuter ACommuter BCommuter ACommuter BCommuter A & Commuter B changed lanes. Remember commute means to change.

HomeSchoolWould the distance from Home to School and then from school to home change?Home + School = School + HomeH + S = S + HA + B = B + A

3 groups of 5 ==15 kids=15 kids3 x 55 x 3=5 groups of 3

The Commutative PropertyA + B = B + AA x B = B x A

The Commutative PropertyYou can add or multiply numbers in any order. It is called the commutative property of addition when we add, and the commutative property of multiplication when we multiply.

Five Properties of Rational NumbersCommutativeAssociativeIdentityInverseDistributive

The Associative PropertyBackgroundThe word associative comes from the verb to associate.Definition on dictionary.comAssociate means connected, joined, or related People who work together are called associates.They are joined together by business, and they do talk to one another.

Lets look at another hypothetical situationThree people work together.

Associate B needs to call Associates A and C to share some news.

Does it matter who he calls first?

Here are three associates. B calls A firstHe calls C lastIf he called C first, then called A, would it have made a difference?NO!

(The Role of Parentheses)In math, we use parentheses to show groups.

In the order of operations, the numbers and operations in parentheses are done first. (PEMDAS)So.

The Associative Property(A + B) + C = A + (B + C)THENTHENThe parentheses identify which two associates talked first.

Notice the first two students are associating with each other in the first situation. In the second situation, the same girl is associating with a different student. Have the students changed? Have the students moved places?=()()

The Associative PropertyWhen adding or multiplying, you can change the grouping of numbers without changing the sum or product. The order of the terms DOES NOT change.It is called the associative property of addition when we add, and the associative property of multiplication when we multiply.

Look at the problem.Identify which property it represents.

(4 + 3) + 2 = 4 + (3 + 2) The Associative Property of AdditionIt has parentheses!

6 11 = 11 6The Commutative Property of MultiplicationSame 2 numbersNumbers switched places

(1 2) 3 = 1 (2 3) The Associative Property of MultiplicationSame 3 numbers in the same order2 sets of parentheses

a b = b aThe Commutative Property of Multiplication

The Associative Property of Multiplication(a b) c = a (b c)

4 + 6 = 6 + 4The Commutative Property of AdditionNumbers change places.

(a + b) + c = a + (b + c) The Associative Property of AdditionParentheses!

a + b = b + aThe Commutative Property of AdditionMoving numbers!

Five Properties of Rational NumbersCommutativeAssociativeIdentityInverseDistributive

The Identity PropertyI am me!You cannot changeMy identity!

Identity Property of AdditionZero is the only number you can add to something and see no change.This property is also sometimes called the Identity Property of Zero.

Identity Property of AdditionA + 0 = A+ 0 =

Identity Property of MultiplicationOne is the only number you can multiply by something and see no change.This property is also sometimes called the Identity Property of One.

Identity Property of MultiplicationA 1 = A 1 =

Five Properties of Rational NumbersCommutativeAssociativeIdentityInverseDistributive

Inverse PropertyInverse means opposite.

Inverse Property The opposite of addition issubtraction.So, when I use inverse operations, I can undo the original number. Example: 3 + (-3)= 0

Inverse Property The opposite of division ismultiplication.So, when I use inverse operations, I can undo the original number. Exemplo:

Look at the problem.Identify which property it represents.

a 1 = a The Identity Property of Multiplication

12 + 0 = 12 The Identity Property of AdditionIt is the only addition property that has two addends and one of them is a zero.

987 1 = 987The Identity Property of MultiplicationTimes 1

7 + (- 7) = 0The Inverse Property Undo the operation by using the opposite operation

9 1 = 9The Identity Property of MultiplicationTimes 1

The Inverse Property Undo the operation by using the inverse operation66= 1

3 + 0 = 3 The Identity Property of AdditionSee the zero?

a + 0 = a The Identity Property of AdditionZero!

Five Properties of Rational NumbersCommutativeAssociativeIdentityInverseDistributive

The Distributive PropertyBackgroundThe word distributive comes from the verb to distribute.Definition on dictionary.comDistributing refers to passing things out or delivering things to people

The Distributive Propertya(b + c) = (a b) + (a c)A times the sum of b and c = a times b plus a times cLets plug in some numbers first.Remember that to distribute means delivering items, or handing them out.Here is how this property works:5(2 + 3) = (5 2) + (5 3)

5(2 + 3) = (5 2) + (5 3)Think: Five groups of (2+3) or(2+3) + (2+3) + (2+3) + (2+3) + (2+3)You went to five houses. Every family bought 5 items total, 2 red gifts and three green gifts! How many gifts did you deliver all together?How many red gifts were distributed? How many green gifts were distributed?You have sold many items for the BMMS fundraiser!

You will be distributing 5 items to each house.

5(2 + 3) = (5 2) + (5 3)You distributed (delivered) these all in one trip.You need to deliver 5 gifts to each house. To each house, you will deliver 2 red gifts and 3 green gifts.How many red gifts?How many green gifts?5 houses x 2 red gifts and 5 houses x 3 green gifts = (5x2) + (5x3) = 25 items all together

The Distributive Property 3( 5 + 2)35215615 + 6 = 214( 3n + 6)43n612n2412n + 24-7( 4 + 6)-28-746-42-28 - 42 = -709( -3 - 8)-279-3- 8-72-27 - 72 = -99

The Distributive Property 6( 4x - 2)64x-224x-1224x - 12-4( 8x 3)-48x-3-32x 12-32x + 12-6n( 2 - 6)-12n-6n2-636n-12n + 36n = 24n5( -6n + 2)-30n5-6n210-30n + 10


7 Answers 7

Have you seen Light's associativity test? According to Wikipedia, "Direct verification of the associativity of a binary operation specified by a Cayley table is cumbersome and tedious. Light's associativity test greatly simplifies the task."

If nothing else, the existence of Light's algorithm seems to rule out the possibility that anyone knows an easy way to do it just by looking at the original Cayley table.

Note also that, in general, one cannot do better than the obvious method of just checking all $n^3$ identities of the form $(aast b)ast c = aast (bast c)$. This is because it is possible that the operation could be completely associative except for one bad triple $langle a,b,c angle$. So any method that purports to do better than this must only be able to do so in limited circumstances.

Using the original $n imes n$ table seems bleak - this is essentially a problem of arity-dimension three, but the Cayley table only gives us two dimensions. However, Light's Associativity Test shows how to systematically reduce the problem of comparing $n$ pairs of Cayley tables. Note that the procedure can be greatly simplified by considering only operations derived from the underlying structure's generators.

First of all, let me make a personal reflection on this matter. Light's associativity test (as others have noted) provides a characterization, but (at least from my point of view) it is not really helpful. Indeed, I like to consider this difficulty to check whether a table is associative as the main reason why it is better to introduce associative operations (in particular groups) through presentations. Then, you trivially get associativity since your "object" is by definition a quotient of the free one.

Now, let me note that in the particular case that the operation is commutative (like the example you have written) then it is known an alternative method which is affordable to be done using a pencil. This (quite unknown in my opinion) method is due to S. KAMAL ABDALI and was introduced in his paper "Verification of Associativity of a Binary Operation" http://www.jstor.org/stable/3613856

I have never seen this method explained in a book, so it is worthwhile to take a look at this paper (in case you can go through the publisher firewall).


On the surface, both tasks can be completed with sound procedural fluency in addition and multiplication. However, these tasks present the opportunity to delve much more deeply into equivalence and strategic use of mathematical properties. These tasks add clarity to the often misunderstood or neglected concept of equivalence. Students often understand the equal sign as the precursor to writing the answer. Class discussion should be carefully guided to ensure that students come to the understanding that the equal sign indicates equivalence between two expressions. Though these tasks can be completed by evaluating each expression on either side of the equal sign, they present deliberate next levels of reasoning that invite students to look for different approaches.

Anyone facilitating a conversation about this task should constantly ask, "Is there another way to know whether this equation is true?" Consider 5 x 8 = 10 x 4. Students will likely know these facts relatively quickly and come to the conclusion that both sides are equal to 40, thus this equation is true. When pressed to see other options, students may reason that the 8 can be broken down into 4 x 2. The equation becomes 5 x (2 x 4) = 10 x 4. Through the associative property, this becomes (5 x 2) x 4 = 10 x 4. We can see that these expressions are equivalent because we know that 5 x 2 has the same value as 10. The same opportunity presents itself in part f. Part g presents an opportunity for students to think critically about the meaning of multiplication.

Third graders interpret multiplication as equal sized groups. Students might reason that 8 x 6 means 8 groups of 6. Thus 7 x 6 + 6 would mean 7 groups of 6 with another group of 6. Students might recognize that extra 6 as the "8th group of 6," thereby making the two expressions equivalent.


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