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13.7.6: Propriedades de Números Reais


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Use as propriedades comutativas e associativas
  • Use as propriedades de identidade, inversa e zero
  • Simplifique as expressões usando a propriedade distributiva

Use as propriedades comutativas e associativas

A ordem em que adicionamos dois números não afeta o resultado. Se adicionarmos (8 + 9 ) ou (9 + 8 ), os resultados são os mesmos - ambos são iguais a 17. Portanto, (8 + 9 = 9 + 8 ). A ordem em que adicionamos não importa!

Da mesma forma, ao multiplicar dois números, a ordem não afeta o resultado. Se multiplicarmos (9 · 8 ) ou (8 · 9 ), os resultados serão iguais - ambos são iguais a 72. Portanto, (9 · 8 = 8 · 9 ). A ordem em que nos multiplicamos não importa! Esses exemplos ilustram o Propriedade comutativa.

PROPRIEDADE COMUTATIVA

[ begin {array} {lll} textbf {de adição} & text {Se} a text {e} b text {são números reais, então} & a + b = b + a. textbf {de Multiplicação} & text {Se} a text {e} b text {são números reais, então} & a · b = b · a. end {array} ]

Ao adicionar ou multiplicar, alterando o pedido dá o mesmo resultado.

A propriedade comutativa tem a ver com ordem. Subtraímos (9−8 ) e (8−9 ) e vemos que (9−8 neq 8−9 ). Como alterar a ordem da subtração não dá o mesmo resultado, sabemos que subtração não é comutativa.

A divisão também não é comutativa. Como (12 ÷ 3 neq 3 ÷ 12 ), alterar a ordem da divisão não deu o mesmo resultado. As propriedades comutativas aplicam-se apenas à adição e multiplicação!

  • Adição e multiplicação está comutativo.
  • Subtração e divisão são não comutativo.

Ao adicionar três números, a alteração do agrupamento dos números dá o mesmo resultado. Por exemplo, ((7 + 8) + 2 = 7 + (8 + 2) ), já que cada lado da equação é igual a 17.

Isso também é válido para a multiplicação. Por exemplo, ( left (5 · frac {1} {3} right) · 3 = 5 · left ( frac {1} {3} · 3 right) ), uma vez que cada lado do equação é igual a 5.

Esses exemplos ilustram o Propriedade associativa.

PROPRIEDADE ASSOCIATIVA

[ begin {array} {lll} textbf {de adição} & text {Se} a, b, text {e} c text {são números reais, então} & (a + b) + c = a + (b + c). textbf {de Multiplicação} & text {Se} a, b, text {e} c text {são números reais, então} & (a · b) · c = a · (b · c). end {array} ]

Ao adicionar ou multiplicar, alterando o agrupamento dá o mesmo resultado.

A propriedade associativa tem a ver com agrupamento. Se mudarmos a forma como os números são agrupados, o resultado será o mesmo. Observe que são os mesmos três números na mesma ordem - a única diferença é o agrupamento.

Vimos que a subtração e a divisão não eram comutativas. Eles também não são associativos.

[ begin {array} {cc} (10−3) −2 neq 10− (3−2) & (24 ÷ 4) ÷ 2 neq 24 ÷ (4 ÷ 2) 7−2 neq 10−1 e 6 ÷ 2 neq 24 ÷ 2 5 neq 9 & 3 neq 12 end {array} ]

Ao simplificar uma expressão, é sempre uma boa ideia planejar quais serão as etapas. Para combinar termos semelhantes no próximo exemplo, usaremos a propriedade comutativa de adição para escrever os termos semelhantes juntos.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Simplifique: (18p + 6q + 15p + 5q ).

Responder

[ begin {array} {lc} text {} & 18p + 6q + 15p + 5q text {Use a propriedade comutativa de adição a} & 18p + 15p + 6q + 5q text {reordene então que termos semelhantes estão juntos.} & {} text {Adicionar termos semelhantes.} & 33p + 11q end {array} ]

Exemplo ( PageIndex {2} )

Simplifique: (23r + 14s + 9r + 15s ).

Responder

(32r + 29s )

Exemplo ( PageIndex {3} )

Simplifique: (37m + 21n + 4m − 15n ).

Responder

(41m + 6n )

Quando temos que simplificar expressões algébricas, podemos muitas vezes tornar o trabalho mais fácil aplicando primeiro a propriedade comutativa ou propriedade associativa.

EXEMPLO ( PageIndex {4} )

Simplifique: (( frac {5} {13} + frac {3} {4}) + frac {1} {4} ).

Responder

( begin {array} {lc} text {} & ( frac {5} {13} + frac {3} {4}) + frac {1} {4} { text {Aviso que os últimos 2 termos têm um denominador comum} text {, então mude o agrupamento.}} & frac {5} {13} + ( frac {3} {4} + frac {1} {4 }) text {Adicione os parênteses primeiro.} & frac {5} {13} + ( frac {4} {4}) text {Simplifique a fração.} & frac {5} { 13} +1 text {Add.} & 1 frac {5} {13} text {Converter para uma fração imprópria.} & Frac {18} {13} end {array} )

EXEMPLO ( PageIndex {5} )

Simplifique: (( frac {7} {15} + frac {5} {8}) + frac {3} {8}. )

Responder

(1 frac {7} {15} )

EXEMPLO ( PageIndex {6} )

Simplifique: (( frac {2} {9} + frac {7} {12}) + frac {5} {12} ).

Responder

(1 frac {2} {9} )

Use as propriedades de identidade, inversa e zero

O que acontece quando adicionamos 0 a qualquer número? Adicionar 0 não altera o valor. Por esse motivo, chamamos 0 de Identidade aditiva. O Propriedade de identidade de adição que afirma que para qualquer número real (a, a + 0 = a ) e (0 + a = a. )

O que acontece quando multiplicamos qualquer número por um? Multiplicar por 1 não altera o valor. Portanto, chamamos 1 de identidade multiplicativa. O Identidade Propriedade de Multiplicação que afirma que para qualquer número real (a, a · 1 = a ) e (1⋅a = a. )

Resumimos as propriedades de identidade aqui.

IMÓVEL DE IDENTIDADE

[ begin {array} {ll} textbf {de adição} text {Para qualquer número real} a: a + 0 = a & 0 + a = a textbf {0} text {é a} textbf {identidade aditiva} textbf {da Multiplicação} text {Para qualquer número real} a: a · 1 = a & 1 · a = a textbf {1} text {é a} textbf {identidade multiplicativa} end {array} ]

Qual número adicionado a 5 dá a identidade aditiva, 0? Nós sabemos

O número que faltava era o oposto do número!

Chamamos (- a ) o inverso aditivo de (a ). O oposto de um número é seu inverso aditivo. Um número e seu oposto somam zero, que é a identidade aditiva. Isso leva ao Propriedade Inversa de Adição que afirma para qualquer número real (a, a + (- a) = 0. )

Qual número multiplicado por ( frac {2} {3} ) dá a identidade multiplicativa, 1? Em outras palavras, ( frac {2} {3} ) vezes o que resulta em 1? Nós sabemos

O número que faltava era o recíproco do número!

Chamamos ( frac {1} {a} ) o multiplicativo inverso do uma. O recíproco de um número é seu inverso multiplicativo. Isso leva ao Propriedade Inversa de Multiplicação que afirma que para qualquer número real (a, a neq 0, a · frac {1} {a} = 1. )

Declararemos formalmente as propriedades inversas aqui.

INVERSAR PROPRIEDADE

[ begin {array} {lc} textbf {de adição} text {Para qualquer número real} a, & a + (- a) = 0 ; ; ; ; −a text {é o} textbf {inverso aditivo} text {de} a & {} ; ; ; ; text {Um número e seu} textit {oposto} text {somar a zero.} textbf {de multiplicação} text {Para qualquer número real} a, a neq 0 & a · dfrac {1} {a} = 1 ; ; ; ; ; dfrac {1} {a} text {é o} textbf {inverso multiplicativo} text {de} a ; ; ; ; text {Um número e seu} textit {recíproco} text {multiplicar por um.} end {array} ]

A propriedade de identidade de adição diz que quando adicionamos 0 a qualquer número, o resultado é esse mesmo número. O que acontece quando multiplicamos um número por 0? Multiplicar por 0 torna o produto igual a zero.

Que tal divisão envolvendo zero? O que é (0 ÷ 3 )? Pense em um exemplo real: se não houver cookies na jarra de biscoitos e 3 pessoas forem compartilhá-los, quantos cookies cada pessoa receberá? Não há cookies para compartilhar, então cada pessoa recebe 0 cookies. Portanto, (0 ÷ 3 = 0. )

Podemos verificar a divisão com o fato de multiplicação relacionado. Portanto, sabemos (0 ÷ 3 = 0 ) porque (0 · 3 = 0 ).

Agora pense em dividir de zero. Qual é o resultado da divisão de 4 por 0? Pense no fato de multiplicação relacionado:

Existe um número que multiplicado por 0 resulta em 4? Uma vez que qualquer número real multiplicado por 0 dá 0, não há número real que possa ser multiplicado por 0 para obter 4. Concluímos que não há resposta para (4 ÷ 0 ) e então dizemos que a divisão por 0 é Indefinido.

Resumimos as propriedades de zero aqui.

PROPRIEDADES DE ZERO

Multiplicação por zero: para qualquer número real uma,

[a⋅0 = 0 ; ; ; 0⋅a = 0 ; ; ; ; text {O produto de qualquer número e 0 é 0.} ]

Divisão por zero: Para qualquer número real uma, (a neq 0 )

[ begin {array} {cl} dfrac {0} {a} = 0 & text {Zero dividido por qualquer número real, exceto ele mesmo, é zero.} dfrac {a} {0} text {is undefined} & text {Division by zero is undefined.} end {array} ]

Agora vamos praticar o uso das propriedades de identidades, inversos e zero para simplificar as expressões.

EXEMPLO ( PageIndex {7} )

Simplifique: (- 84n + (- 73n) + 84n. )

Responder

( begin {array} {lc} text {} & −84n + (- 73n) + 84n text {Observe que o primeiro e o terceiro termos são} text {opostos; use a propriedade comutativa de} & −84n + 84n + (- 73n) text {adição para reordenar os termos.} text {Adicionar da esquerda para a direita.} & 0 + (- 73n) text {Adicionar.} & −73n end {array} )

EXEMPLO ( PageIndex {8} )

Simplifique: (- 27a + (- 48a) + 27a ).

Responder

(- 48a )

EXEMPLO ( PageIndex {9} )

Simplifique: (39x + (- 92x) + (- 39x) ).

Responder

(- 92x )

Agora veremos como o reconhecimento de recíprocos é útil. Antes de multiplicar da esquerda para a direita, procure os recíprocos - o produto deles é 1.

EXEMPLO ( PageIndex {10} )

Simplifique: ( frac {7} {15} ⋅ frac {8} {23} ⋅ frac {15} {7} ).

Responder

( begin {array} {lc} text {} & frac {7} {15} ⋅ frac {8} {23} ⋅ frac {15} {7} text {Observe o primeiro e terceiros termos} { text {são recíprocos, então use o Comutativo} text {Propriedade da multiplicação para reordenar os fatores} text {.}} & frac {7} {15} · frac {15} {7} · frac {8} {23} text {Multiplique da esquerda para a direita.} & 1 · frac {8} {23} text {Multiplique.} & frac {8} {23} end {array} )

EXEMPLO ( PageIndex {11} )

Simplifique: ( frac {9} {16} ⋅ frac {5} {49} ⋅ frac {16} {9} ).

Responder

( frac {5} {49} )

Simplifique: ( frac {6} {17} ⋅ frac {11} {25} ⋅ frac {17} {6} ).

Responder

( frac {11} {25} )

O próximo exemplo nos torna cientes da distinção entre dividir 0 por algum número ou algum número ser dividido por 0.

Simplifique: a. ( frac {0} {n + 5} ), onde (n neq −5 ) b. ( frac {10−3p} {0} ) onde (10−3p neq 0. )

Responder

uma.

( begin {array} {lc} {} & dfrac {0} {n + 5} text {Zero dividido por qualquer número real exceto ele mesmo é 0.} & 0 end {array} )

b.

( begin {array} {lc} {} & dfrac {10−3p} {0} text {Divisão por 0 é indefinida.} & text {undefined} end {array} )

EXEMPLO ( PageIndex {14} )

Simplifique: a. ( frac {0} {m + 7} ), onde (m neq −7 ) b. ( frac {18−6c} {0} ), onde (18−6c neq 0 ).

Responder

uma. 0
b. Indefinido

EXEMPLO ( PageIndex {15} )

Simplifique: a. ( frac {0} {d − 4} ), onde (d neq 4 ) b. ( frac {15−4q} {0} ), onde (15−4q neq 0 ).

Responder

uma. Indefinido

Simplifique as expressões usando a propriedade distributiva

Suponha que três amigos vão ao cinema. Cada um deles precisa de $ 9,25 - ou seja, 9 dólares e 1 trimestre - para pagar suas passagens. De quanto dinheiro eles precisam todos juntos?

Você pode pensar nos dólares separadamente dos trimestres. Eles precisam de 3 vezes $ 9, então $ 27 e 3 vezes 1 trimestre, ou seja, 75 centavos. No total, eles precisam de $ 27,75. Se você pensa em fazer as contas dessa maneira, está usando a Propriedade Distributiva.

PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA

( begin {array} {lc} text {Se} a, b text {e} c text {são números reais, então} ; ; ; ; ; & a (b + c ) = ab + ac {} & (b + c) a = ba + ca {} & a (b − c) = ab − ac {} & (b − c) a = ba − ca end {array} )

Na álgebra, usamos a Propriedade Distributiva para remover parênteses à medida que simplificamos as expressões.

EXEMPLO ( PageIndex {16} )

Simplifique: (3 (x + 4) ).

Responder

( begin {array} {} & 3 (x + 4) text {Distribute.} ; ; ; ; ; ; ; ; & 3 · x + 3 · 4 text {Multiply.} & 3x + 12 end {array} )

Simplifique: (4 (x + 2) ).

Responder

(4x8 )

EXEMPLO ( PageIndex {18} )

Simplifique: (6 (x + 7) ).

Responder

(6x42 )

Alguns alunos acham útil desenhar setas para lembrá-los de como usar a Propriedade Distributiva. Então, a primeira etapa do exemplo seria assim:

EXEMPLO ( PageIndex {19} )

Simplifique: (8 ( frac {3} {8} x + frac {1} {4}) ).

Responder
Distribuir.
Multiplicar.

EXEMPLO ( PageIndex {20} )

Simplifique: (6 ( frac {5} {6} y + frac {1} {2}) ).

Responder

(5y + 3 )

EXEMPLO ( PageIndex {21} )

Simplifique: (12 ( frac {1} {3} n + frac {3} {4}) )

Responder

(4n + 9 )

Usar a propriedade distributiva conforme mostrado no próximo exemplo será muito útil quando resolvermos aplicações de dinheiro em capítulos posteriores.

EXEMPLO ( PageIndex {22} )

Simplifique: (100 (0,3 + 0,25q) ).

Responder
Distribuir.
Multiplicar.

EXEMPLO ( PageIndex {23} )

Simplifique: (100 (0,7 + 0,15p). )

Responder

(70 + 15p )

EXEMPLO ( PageIndex {24} )

Simplifique: (100 (0,04 + 0,35d) ).

Responder

(4 + 35d )

Quando distribuímos um número negativo, precisamos ser extremamente cuidadosos para obter os sinais corretos!

EXEMPLO ( PageIndex {25} )

Simplifique: (- 11 (4−3a). )

Responder

( begin {array} {lc} {} & −11 (4−3a) text {Distribute.} ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; & - 11 · 4 - (- 11) · 3a text {Multiplicar.} & −44 - (- 33a) text {Simplificar.} & −44 + 33a end {array} )

Observe que você também pode escrever o resultado como (33a − 44. ) Você sabe por quê?

Simplifique: (- 5 (2−3a) ).

Responder

(- 10 + 15a )

EXEMPLO ( PageIndex {27} )

Simplifique: (- 7 (8−15y). )

Responder

(- 56 + 105y )

No próximo exemplo, mostraremos como usar a Propriedade Distributiva para encontrar o oposto de uma expressão.

Simplifique: (- (y + 5) ).

Responder

( begin {array} {lc} {} & - (y + 5) text {Multiplicando por} −1 text {resulta no oposto.} & −1 (y + 5) text {Distribuir.} & −1 · y + (- 1) · 5 text {Simplificar.} & −y + (- 5) text {Simplificar.} & −y − 5 end {array} )

EXEMPLO ( PageIndex {29} )

Simplifique: (- (z − 11) ).

Responder

(- z + 11 )

EXEMPLO ( PageIndex {30} )

Simplifique: (- (x − 4) ).

Responder

(- x + 4 )

Haverá momentos em que precisaremos usar a Propriedade Distributiva como parte da ordem das operações. Comece olhando para os parênteses. Se a expressão entre parênteses não puder ser simplificada, o próximo passo seria multiplicar usando a Propriedade Distributiva, que remove os parênteses. Os próximos dois exemplos ilustrarão isso.

EXEMPLO ( PageIndex {31} )

Simplifique: (8−2 (x + 3) )

Responder

Seguimos a ordem das operações. A multiplicação vem antes da subtração, então vamos distribuir o 2 primeiro e depois subtrair.

( begin {array} {lc} {} & text {8−2 (x + 3)} text {Distribua.} & 8−2 · x − 2 · 3 text {Multiplique. } & 8−2x − 6 text {Combine os termos semelhantes.} & −2x + 2 end {array} )

EXEMPLO ( PageIndex {32} )

Simplifique: (9−3 (x + 2) ).

Responder

(3−3x )

EXEMPLO ( PageIndex {33} )

Simplifique: (7x − 5 (x + 4) ).

Responder

(2x − 20 )

EXEMPLO ( PageIndex {34} )

Simplifique: (4 (x − 8) - (x + 3) ).

Responder

( begin {array} {lc} {} & 4 (x − 8) - (x + 3) text {Distribua.} & 4x − 32 − x − 3 text {Combine os termos semelhantes. } & 3x − 35 end {array} )

EXEMPLO ( PageIndex {35} )

Simplifique: (6 (x − 9) - (x + 12) ).

Responder

(5x-66 )

EXEMPLO ( PageIndex {36} )

Simplifique: (8 (x − 1) - (x + 5) ).

Responder

(7x − 13 )

Todas as propriedades dos números reais que usamos neste capítulo estão resumidas aqui.

Propriedade comutativa

Ao adicionar ou multiplicar, alterando o pedido dá o mesmo resultado

[ begin {array} {lll} textbf {de adição} & text {Se} a text {e} b text {são números reais, então} & a + b = b + a. end {array} ]
Propriedade associativa

Ao adicionar ou multiplicar, alterando o agrupamento dá o mesmo resultado.

[ begin {array} {lll} textbf {de adição} & text {Se} a, b, text {e} c text {são números reais, então} & (a + b) + c = a + (b + c). end {array} ]
Propriedade distributiva

[ begin {array} {lc} text {Se} a, b text {e} c text {são números reais, então} ; ; ; ; ; & a (b + c) = ab + ac {} & (b + c) a = ba + ca {} & a (b − c) = ab − ac {} & (b − c ) a = ba − ca end {array} ]

Propriedade de identidade
[ begin {array} {ll} textbf {de adição} text {Para qualquer número real} a: a + 0 = a & 0 + a = a ; ; ; ; textbf {0} text {é a} textbf {identidade aditiva} textbf {da Multiplicação} text {Para qualquer número real} a: a · 1 = a & 1 · a = a ; ; ; ; textbf {1} text {é a} textbf {identidade multiplicativa} end {array} ]
Propriedade Inversa

[ begin {array} {lc} textbf {de adição} text {Para qualquer número real} a, & a + (- a) = 0 ; ; ; ; −a text {é o} textbf {inverso aditivo} text {de} a & {} ; ; ; ; text {Um número e seu} textit {oposto} text {somar a zero.} textbf {de multiplicação} text {Para qualquer número real} a, a neq 0 & a · dfrac {1} {a} = 1 ; ; ; ; ; dfrac {1} {a} text {é o} textbf {inverso multiplicativo} text {de} a ; ; ; ; text {Um número e seu} textit {recíproco} text {multiplicar por um.} end {array} ]

Propriedades de Zero
[ begin {array} {lc} text {Para qualquer número real} a, & a · 0 = 0 {} & 0 · a = 0 text {Para qualquer número real} a, a neq 0, & dfrac {0} {a} = 0 text {Para qualquer número real} a, & dfrac {a} {0} text {é indefinido} end {array} ]

Conceitos chave

Propriedade comutativa
Ao adicionar ou multiplicar, alterando o pedido dá o mesmo resultado

[ begin {array} {lll} textbf {de adição} & text {Se} a text {e} b text {são números reais, então} & a + b = b + a. end {array} ]

Propriedade associativa Ao adicionar ou multiplicar, alterando o agrupamento dá o mesmo resultado. [ begin {array} {lll} textbf {de adição} & text {Se} a, b, text {e} c text {são números reais, então} & (a + b) + c = a + (b + c). end {array} ]
Propriedade distributiva

[ begin {array} {lc} text {Se} a, b text {e} c text {são números reais, então} ; ; ; ; ; & a (b + c) = ab + ac {} & (b + c) a = ba + ca {} & a (b − c) = ab − ac {} & (b − c ) a = ba − ca end {array} ]

Propriedade de identidade

[ begin {array} {ll} textbf {de adição} text {Para qualquer número real} a: a + 0 = a & 0 + a = a ; ; ; ; textbf {0} text {é a} textbf {identidade aditiva} textbf {da Multiplicação} text {Para qualquer número real} a: a · 1 = a & 1 · a = a ; ; ; ; textbf {1} text {é a} textbf {identidade multiplicativa} end {array} ]

Propriedade Inversa

[ begin {array} {lc} textbf {de adição} text {Para qualquer número real} a, & a + (- a) = 0 ; ; ; ; −a text {é o} textbf {inverso aditivo} text {de} a & {} ; ; ; ; text {Um número e seu} textit {oposto} text {somar a zero.} textbf {de multiplicação} text {Para qualquer número real} a, a neq 0 & a · dfrac {1} {a} = 1 ; ; ; ; ; dfrac {1} {a} text {é o} textbf {inverso multiplicativo} text {de} a ; ; ; ; text {Um número e seu} textit {recíproco} text {multiplicar por um.} end {array} ]

Propriedades de Zero

[ begin {array} {lc} text {Para qualquer número real} a, & a · 0 = 0 {} & 0 · a = 0 text {Para qualquer número real} a, a neq 0, & dfrac {0} {a} = 0 text {Para qualquer número real} a, & dfrac {a} {0} text {é indefinido} end {array} ]

Glossário

Identidade aditiva
O número 0 é a identidade aditiva porque adicionar 0 a qualquer número não altera seu valor.
inverso aditivo
O oposto de um número é seu inverso aditivo.
identidade multiplicativa
O número 1 é a identidade multiplicativa porque multiplicar 1 por qualquer número não altera seu valor.
multiplicativo inverso
O recíproco de um número é seu inverso multiplicativo.

Numeros reais



Exemplos, soluções e vídeos que explicam o que são números reais e algumas de suas propriedades.

O diagrama a seguir mostra que os números reais são compostos de números racionais, inteiros, números inteiros e números irracionais. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções sobre números reais e suas propriedades.

Introdução aos Números Reais
Ao analisar dados, representar graficamente equações e realizar cálculos, geralmente trabalhamos com números reais. Os números reais são o conjunto de todos os números que podem ser expressos como decimais ou que estão na reta numérica. Os números reais têm certas propriedades e diferentes classificações, incluindo naturais, inteiros, inteiros, racionais e irracionais.
Este vídeo aborda os fundamentos do sistema de números reais que é usado principalmente em Álgebra. O vídeo cobre números racionais e números irracionais.

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Descrição de cada conjunto de números reais

O números naturais (também conhecido como números de contagem) são os números que usamos para contar. Ele começa em 1, seguido por 2, em seguida, 3 e assim por diante.

O números inteiros são uma pequena & # 8220 atualização & # 8221 dos números naturais porque simplesmente adicionamos o elemento zero ao conjunto atual de números naturais. Pense em números inteiros como números naturais junto com zero.

O inteiros inclui todos os números inteiros junto com os & # 8220negativos & # 8221 dos números naturais.

O números racionais são números que podem ser expressos como uma proporção de inteiros. Isso significa que se pudermos escrever um determinado número como uma fração onde o numerador e o denominador são ambos inteiros, então é um número racional.

Simbolicamente, podemos escrever um número racional como:

Cuidado: O denominador não pode ser igual a zero.

Os números racionais também podem aparecer em forma decimal. Se o número decimal terminar ou se repetir, é possível escrevê-lo como uma fração com um numerador e denominador inteiros. Portanto, também é racional.

O números irracionais são todos os números que, quando escritos na forma decimal, não se repetem e não terminam.

O numeros reais incluem números racionais e irracionais. Lembre-se de que, sob o conjunto de números racionais, temos as subcategorias ou subconjuntos de inteiros, números inteiros e números naturais.

Exemplos de classificação de números reais

Exemplo 1: Um número natural também é um número inteiro.

O conjunto de números inteiros inclui o número zero e todos os números naturais. Esta é uma declaração verdadeira.

Exemplo 2: Um inteiro é sempre um número inteiro.

O conjunto de inteiros é composto do número zero, números naturais e os & # 8220negativos & # 8221 dos números naturais. Isso significa que alguns inteiros são números inteiros, mas não todos.

Por exemplo, - 2 é um número inteiro, mas não um número inteiro. Esta afirmação é falsa.

Exemplo 3: Todo número racional também é um inteiro.

A palavra & # 8220todos & # 8221 significa & # 8220todos & # 8221. Você consegue pensar em um número racional que não seja um inteiro? Você só precisa de um contra-exemplo para mostrar que essa afirmação é falsa.

A fração Large <1 over 2> é um exemplo de um número racional que NÃO é um inteiro. Portanto, esta afirmação é falsa.

Exemplo 4: Cada inteiro é um número racional.

Isso ocorre porque todo número inteiro pode ser escrito como uma fração com denominador 1.

Exemplo 5: Todo número natural é um número inteiro, inteiro e um número racional.

Revendo as descrições acima, os números naturais são encontrados dentro dos conjuntos de números inteiros, inteiros e números racionais. Isso o torna uma declaração verdadeira.

Também podemos usar o diagrama de funis acima para nos ajudar a responder a essa pergunta. Se derramarmos água no & # 8220funil de números naturais & # 8221, a água também deve fluir por todos os funis abaixo dele. Assim, passando pelos funis dos números inteiros, inteiros e números racionais.

Exemplo 6: Todo número inteiro é um número natural, inteiro e um número racional.

Usando a mesma analogia de & # 8220funil & # 8221, se derramarmos um pouco de líquido no funil de números inteiros & # 8217, ele deve passar pelos funis de números inteiros e racionais à medida que desce. Como os números naturais & # 8217 funil está acima do conjunto de números inteiros onde começamos, nós não pode incluir este funil no grupo.

É uma afirmação falsa, pois os números inteiros pertencem aos conjuntos de números inteiros e racionais, mas não ao conjunto dos números naturais.

Exemplo 7: Classifique o número zero, 0.

Definitivamente, não é um número natural, mas é um número inteiro, um inteiro, um racional e um número real. Pode não ser óbvio que zero também seja um número racional. No entanto, escrevê-lo como uma fração com um denominador diferente de zero mostraria claramente que é de fato um número racional.

Exemplo 8: Classifique o número 5.

Este é um número natural ou de contagem, um número inteiro e um inteiro. Uma vez que podemos escrevê-lo como uma fração com denominador 1, ou seja, Large <5 over 1>.

Isso o torna também um número racional. E, claro, este é um número real.

Exemplo 9: Classifique o número 0,25.

O número decimal dado termina e, portanto, podemos escrevê-lo como uma fração que é uma característica de um número racional. Este número também é um número real.

Exemplo 10: Classifique o número < rm <2>> <1 over 5>.

Podemos reescrever essa fração mista como uma fração imprópria para que fique claro que temos uma proporção de dois inteiros.

Este número é um número racional e real.

Exemplo 11: Classifique o número < rm <5,241879132… >>.

O número decimal não termina e não se repete, o que torna esse número irracional. Claro, qualquer número irracional também é um número real.

Exemplo 12: Classifique o número 1,777….

Como o decimal está se repetindo, isso o torna um número racional. Qualquer número racional também é um número real.

Exemplo 13: Classifique o número sqrt 2.

Este é um número irracional porque, quando escrito na forma decimal, não termina e não se repete. Este também é um número real.

Exemplo 14: Classifique o número - sqrt <16>.

Primeiro, precisamos simplificar esta expressão radical que nos dá - sqrt <16> = - , 4. O número - , 4 é um inteiro, um número racional e um número real.

Exemplo 15: Classifique o número - 8.123123….

O número decimal não é terminante, no entanto, o número 123 depois que o ponto decimal continua se repetindo. Podemos reescrever o número decimal com uma & # 8220bar & # 8221 no topo dos números repetidos.

Isso o torna um número racional. Não se esqueça de que também é um número real.


13.7.6: Propriedades de Números Reais

O avaliador desenvolveu uma ferramenta online para pesquisar informações básicas, como valor de avaliação e número de parcela do avaliador (APN), para imóveis no condado de Santa Clara.

Atualmente você pode pesquisar e imprimir informações de avaliação para pacotes individuais gratuitamente. Este sistema é melhor visualizado usando o Internet Explorer 8.0 ou superior e uma resolução de tela de 1024 x 768.

Entre em contato conosco com seus comentários ou sugestões. Se você tiver dúvidas ou comentários, envie-nos um e-mail. Seu feedback é importante para determinar o tipo e a demanda de serviços necessários ao público.

Este serviço foi fornecido para permitir um fácil acesso e uma exibição visual das informações da Avaliação do Condado. Foi feito um esforço razoável para garantir a exatidão dos dados fornecidos; no entanto, algumas informações podem estar desatualizadas ou podem não ser precisas. O Município de Santa Clara não assume nenhuma responsabilidade decorrente do uso dessas informações. OS DADOS ASSOCIADOS SÃO FORNECIDOS SEM QUALQUER TIPO DE GARANTIA, expressa ou implícita, incluindo, mas não se limitando a, garantias implícitas de comercialização e adequação a um propósito específico. Não tome nenhuma decisão de negócios com base nesses dados antes de validar os dados. [Seção 408.3 (c) do código de receita e tributação]

O Código do Governo da Califórnia 6254.21 declara que "Nenhum estado ou agência local deve publicar o endereço residencial ou número de telefone de qualquer autoridade eleita ou nomeada na Internet sem primeiro obter a permissão por escrito desse indivíduo." Como o custo para coletar e atualizar continuamente essas informações é proibitivo, o Sistema de Informação de Avaliação de Propriedade On-Line não exibe as informações do nome do Avaliado.


Tratando pontos no plano como números

    A "adição" de pontos é descrita simplesmente como adição de vetor. Um vetor pode ser representado por um segmento de linha direcionado; dois vetores são considerados iguais se apontarem na mesma direção e tiverem o mesmo comprimento. (Veja o diagrama.) Podemos mudar a representação de um vetor movendo-o (ou seja, "transladando-o") para uma nova posição paralela à posição original.

Para adicionar dois vetores V1 e V2, represente-os com segmentos de linha direcionados de modo que o final inicial de V2 está localizado na extremidade terminal de V1. Assim, as setas no diagrama formam um caminho: comece no final inicial de V1, prossiga para o seu terminal, vire a esquina e siga a V2 de sua extremidade inicial até sua extremidade terminal. A soma, ou resultante, V1+ V2, é a jornada que vai do final inicial de V1 para a extremidade terminal de V2. Essa soma é representada por um único segmento de linha direcionado, o terceiro lado tracejado do triângulo.

Para representar vetores com o sistema de coordenadas cartesianas, desenhe um vetor V de forma que sua extremidade inicial esteja na origem (0,0). Em seguida, as coordenadas da localização de sua extremidade terminal são usadas como as coordenadas do vetor. (Veja o diagrama.)

Se usarmos esse sistema de coordenadas, então a fórmula para adição de vetor é muito simples: A primeira coordenada de V1+ V2 é a soma das primeiras coordenadas de V1 e V2, e a segunda coordenada de V1+ V2 é a soma das segundas coordenadas de V1 e V2. Isso é,

Se p1 tem coordenadas polares & ltr11& gt e P2 tem coordenadas polares & ltr22& gt, então
o produto P1P2 é definido como o ponto com coordenadas polares & ltr1r2, θ12& gt.

Como (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) e (a, 0) & # 215 (c, 0) = (ac, 0), os pontos ao longo do eixo horizontal têm uma aritmética assim como os números "comuns", escreveremos (a, 0) mais brevemente como a. Por exemplo, (5,0) será escrito como 5. Os pontos ao longo do eixo vertical também têm uma notação mais curta: o ponto (0, b) será escrito mais brevemente como bi por exemplo, (0,5) será escrito como 5i. O i significa "imaginário", pelos motivos explicados a seguir.

Exercícios importantes. Usando a fórmula (a, b) & # 215 (c, d) = (ac & # 8722bd, ad + bc) ou a definição em termos de coordenadas polares, o iniciante deve agora verificar se i 2 = & # 87221. Isso será importante na discussão abaixo.

Aqui estão as respostas para esses dois exercícios: Usando o sistema de coordenadas cartesianas, calculamos = = = Ou, usando coordenadas polares: O número i tem raio 1 e ângulo Portanto, o número tem raio e ângulo, o número complexo com essas coordenadas polares é & # 87221.

O que há de "real" nos números reais?

Todos nós sabemos que não existe realmente nenhum "número" p que possa satisfazer a equação p 2 = & # 87221. Esse "número" só pode existir em nossa imaginação. Mas se de alguma forma existisse, que tipo de regras aritméticas teria que seguir?

Você tem que admirar o gênio dos matemáticos do século 16: eles trabalharam corretamente as regras aritméticas dos números complexos, apesar da falta do modelo geométrico simples que calcularam com "números" em cuja existência nem mesmo acreditavam!

Sua terminologia era lamentável, entretanto. Não há nada fictício ou onírico sobre as rotações dos motores, mas o nome pegou. Os pontos no eixo vertical agora são chamados números imaginários, apesar de terem aplicações muito tangíveis. Os pontos no eixo horizontal são (por contraste) chamados numeros reais. Todos os pontos do plano são chamados números complexos, porque eles são mais complicados - eles têm uma parte real e uma parte imaginária.

Assim termina nossa história sobre a origem do nome "número real". Mas mal começamos a investigar as propriedades matemáticas associadas a esse nome.


Orientação ITIN para compradores / vendedores de bens estrangeiros

Effective June 22, 2012, the IRS has made interim changes that affect the Individual Taxpayer Identification Number (ITIN) application process. Some of the information below, including the documentation requirements for individuals seeking an ITIN, has been superseded by these changes. Taxpayers and their representatives should review changes which are further explained in these Frequently Asked Questions, before requesting an ITIN.

ITIN Guidance for Foreign Buyers/Sellers of U.S. Property

Foreign sellers of U.S. real property interests need Taxpayer Identification Numbers (TINs) to request reduced tax withholding when disposing of the property interest, and to pay any required withholding. Individuals who do not qualify for Social Security Numbers (SSN) may obtain Individual Taxpayer Identification Numbers (ITINs) to meet the requirement to supply a TIN.

The Internal Revenue Service implemented new procedures, effective December 17, 2003, to strengthen controls on ITINs and ensure the numbers are issued for tax administration purposes only. To help your qualifying clients obtain ITINs without undue burden, see the instructions for Forms W-7 PDF and W-7SP PDF and the information below, which describes how the new process impacts FIRPTA (Foreign Investment in Real Property Tax Act) processing.

TINs required for withholding (Forms 8288 and 8288-A)

• Treasury Decision 9082 (effective November 4, 2003) requires all transferees (buyers) and foreign transferors (sellers) of U.S. real property interests to provide their TINs, names and addresses on withholding tax returns, applications for withholding certificates, notice of non-recognition, or elections under sections 897(i) when disposing of a U.S. real property interest. The transferee withholds tax under section 1445 and remits it to the Internal Revenue Service on Form 8288, U.S. Withholding Tax Return for Dispositions by Foreign Persons of U.S. Real Property Interest, and Form 8288-A, Statement of Withholding on Dispositions by Foreign Persons of U.S. Real Property Interests (FIRPTA).

TINs required for requests for reduced withholding (Form 8288-B)

• A transferor looking to reduce or eliminate the FIRPTA withholding amount must file a Form 8288-B, Application for Withholding Certificate for Disposition by Foreign Persons of U.S. Real Property Interests. Since Form 8288-B requires a TIN, a transferor and/or transferee who does not qualify for an SSN may apply for an ITIN by attaching Form 8288-B to Form W-7 and mailing the documents to Internal Revenue Service, Austin Service Center, ITIN Operation, PO Box 149342, Austin TX 78714-9342.

Requesting an ITIN to meet FIRPTA TIN requirements

• In order to obtain an ITIN number for FIRPTA purposes you must complete Form W-7 or W-7SP. Select Box "h"(other) in the "Reason" you are submitting Form W-7 section of Form W-7, and Exception 4 (explained in the instructions). Write "Exception 4" in the write-in area to the right of Box "h" (other).

ITIN requests to claim reduced withholding (Form 8288-B)

• The IRS will only issue ITINs based on applications that are complete and demonstrate a tax need for the numbers. If the IRS rejects the ITIN application, the attached Form 8288-B will not be processed. The IRS’ ITIN Unit will notify the applicant by mail that the Form W-7 was not processed and the FIRPTA Unit will also send Letter 3793 SC/CG to the transferee and foreign transferor with instructions to complete Form W-7 and reapply. This letter will include instructions to resolve the issue outlined in the ITIN rejection letter. When reapplying, the applicant must include a copy of Letter 3793 SC/CG with Form W-7 to be considered under Exception 4. If the reason for rejection cannot be resolved, then the transferee must file Form 8288/8288-A and remit the 10% tax.

ITIN requests to pay withholding on Forms 8288 and 8288-A

• If a transferee does not have a TIN, and an amount withheld under section 1445 is due to the IRS, complete Form 8288, 8288-A and mail the forms along with the payment to Internal Revenue Service, Ogden Submission Processing Campus, PO Box 409101, Ogden UT 84409, by the 20th day from the date of the sale.

In a separate package, mail a completed Form W-7 with supporting documentation and a photocopy of Form 8288 and 8288-A (do not send any payment) to Internal Revenue Service, Austin Submission Processing Campus, ITIN Operation, PO Box 149342, Austin TX 78714-9342. Make sure you select reason "h" and write "Exception 4" on right side of reason line "h." The Austin IRS campus will fax Form 8288/8288-A to the Ogden campus.

•The Ogden Submission Processing Campus will not date stamp or mail out Form 8288-A, Copy B to the foreign transferor, if the transferors TIN is missing. Instead, Ogden IRS will mail letter 3794 SC/CG to the transferor with instructions to apply for an ITIN. Once the transferor receives the ITIN number they are to write it on the letter 3794 SC/CG and mail it back to the Ogden IRS office. The Ogden IRS office will document the ITIN number on Form 8288-A Copy B, date stamp "Copy B mailed" on it, and mail it out to the transferor.

•If the Ogden IRS office receives a completed Form W-7 application with supporting documentation attached to Form 8288 and 8288-A, then the Ogden IRS office will detach Form W-7 with supporting documentation and mail it to the Austin IRS Campus ITIN Operation along with a photocopy of Form 8288 and 8288-A. Once Austin processes the W-7 application they will edit the ITIN number on Form 8288 or 8288-A and fax it to the Ogden IRS office FIRPTA unit. The Ogden IRS office will document the ITIN number on Form 8288-A Copy B, date stamp "Copy B mailed" on it, and mail it out to the transferor.

Claiming reduced withholding on a tax return

• A foreign person who has an ITIN and is claiming credit for FIRPTA withholding shown on Form 8288-A must complete a federal tax return (1040-NR) using the ITIN assigned, and attach the date stamped Form 8288-A to the return as evidence of FIRPTA withholding.
• A foreign person who does not have a TIN (and as a result, will not have a date stamped Form 8288-A from the IRS) and wishes to claim a credit for FIRPTA must request an ITIN. To request an ITIN the foreign person must send the following items to Internal Revenue Service, Austin Service Center, ITIN Operation, PO Box 149342, Austin TX 78714-9342:

o a federal tax return (Form 1040-NR) for the year of the transfer or
o an original Form W-7
o the required documentation listed in the Form W-7 instructions and
o a copy of the settlement statement from the sale that reflects the 10% withholding.


Real Property Department

To educate, advise and assist county government, local governments, local property owners, and the public in general, in the area of real property assessment administration. One of the most visible functions is to provide updated tax maps on an annual basis to local town and village assessing units and the City of Ogdensburg. The office trains and assists local assessors in the annual preparation of assessment and tax rolls for towns, schools and villages. Corrections to tax rolls and bills are processed through this office.

Data Collection:

St. Lawrence County Personnel typically use this vehicle or one similar to review properties for data collection and to take photos of the properties. This helps in updating property records of each municipality in St Lawrence County. Photo of Car

Property Class Codes Available:

The Office of Real Property Services has developed a simple and uniform classification system to be used in assessment administration in New York State. A simple Property Class Code listing has been added to the County Web Site as well as the NYSORPTSA 37 page Property Class Codes Booklet.


Generally, a real estate deed is recorded in the county where the property is located. In most counties, the recorder, clerk, or register of deeds is responsible for maintaining land records. To be recorded, the document must meet both statutory and local requirements. Many counties now have e-recording available, click here for more information.

In most cases deeds do not need to be recorded to be valid however, most states require that a deed be recorded to be binding on third parties. This is important to the chain of title in real estate. If you have a deed showing that someone has transferred a piece of property to you and you do not record that deed, another person may be able to show an ownership interest in the property ahead of you in the chain of title by recording their proof first.

Nothing on this website should be considered a substitute for the advice of an attorney.


Assessor's Office

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All parcel data on this page is for use by the Washoe County Assessor for assessment purposes only. The summary data on this page may not be a complete representation of the parcel or of the improvements thereon. Building information, including unit counts and number of permitted units, should be verified with the appropriate building and planning agencies. Zoning information should be verified with the appropriate planning agency. All parcels are reappraised each year. This is a true and accurate copy of the records of the Washoe County Assessor's Office as of 07-05-2021

If you have questions or corrections about our property data you can call us at 775-328-2277 or email us at [email protected]

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Taxable Land New Value Supplemental Taxable Imps OBSO Tax Cap Value Taxable Total Land Assessed Imps Assessed Total Assessed Secured PP Assessed Exemption Value
<>/<<(x.yr_next.substring(2.2))>> <> <> <<(x.new_val) | number:0>> <> <> <<(x.tot_obso) | number:0>> <<((x.abate.AO_NetTax/(property.tax_rates[x.yr][x.abate.TAg]/100))/.35) | number:0>> <> <<(x.land_asd_val) | number:0>> <> SEC PP VAL HERE <<(x.tax_val) | number:0>> <<(x.ex_val) | number:0>>

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All Washoe County Libraries Will Be Closed in Honor of the Independence Day Holiday: Sunday, July 4, and Monday, July 5.

The North Valleys Library will also be closed Tuesday, July 6.

Washoe County Library System Expands Hours

The Downtown Reno and North Valleys Libraries have expanded their hours!

Washoe County Library System Closed in Observance of Juneteenth Holiday

All Washoe County Libraries Closed on Friday, June 18 and Saturday, June 19, 2021.


Assista o vídeo: Números Reais - Propriedades (Outubro 2021).