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15.3: Adicionar e subtrair expressões racionais


Resumo

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Adicione e subtraia expressões racionais com um denominador comum
  • Adicionar e subtrair expressões racionais cujos denominadores são opostos
  • Encontre o mínimo denominador comum de expressões racionais
  • Adicione e subtraia expressões racionais com denominadores diferentes
  • Adicionar e subtrair funções racionais

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Adicione: ( dfrac {7} {10} + dfrac {8} {15} ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].
  2. Subtraia: ( dfrac {3x} {4} - dfrac {8} {9} ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].
  3. Subtraia: (6 (2x + 1) −4 (x − 5) ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].

Adicionar e subtrair expressões racionais com um denominador comum

Qual é a primeira etapa que você dá ao adicionar frações numéricas? Você verifica se eles têm um denominador comum. Em caso afirmativo, você adiciona os numeradores e coloca a soma sobre o denominador comum. Se eles não tiverem um denominador comum, você encontrará um antes de adicionar.

É o mesmo com expressões racionais. Para adicionar expressões racionais, eles devem ter um denominador comum. Quando os denominadores são iguais, você adiciona os numeradores e coloca a soma sobre o denominador comum.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE EXPRESSÃO RACIONAL

Se (p ), (q ) e (r ) são polinômios onde (r neq 0 ), então

[ dfrac {p} {r} + dfrac {q} {r} = dfrac {p + q} {r} quad text {e} quad dfrac {p} {r} - dfrac {q} {r} = dfrac {p − q} {r} não numérico ]

Para adicionar ou subtrair expressões racionais com um denominador comum, adicione ou subtraia os numeradores e coloque o resultado sobre o denominador comum.

Sempre simplificamos as expressões racionais. Certifique-se de fatorar, se possível, depois de subtrair os numeradores para que possa identificar quaisquer fatores comuns.

Lembre-se também de que não permitimos valores que tornem o denominador zero. Qual valor de (x ) deve ser excluído no próximo exemplo?

Exemplo ( PageIndex {1} )

Adicione: ( dfrac {11x + 28} {x + 4} + dfrac {x ^ 2} {x + 4} ).

Responder

Como o denominador é (x + 4 ), devemos excluir o valor (x = −4 ).

( begin {array} {ll} & dfrac {11x + 28} {x + 4} + dfrac {x ^ 2} {x + 4}, space x neq −4 begin {array } {l} text {As frações têm um denominador comum,} text {então some os numeradores e coloque a soma} text {sobre o denominador comum.} end {array} & dfrac {11x + 28 + x ^ 2} {x + 4} & text {Escreva os graus em ordem decrescente.} & Dfrac {x ^ 2 + 11x + 28} {x + 4} & text {Fatore o numerador.} & dfrac {(x + 4) (x + 7)} {x + 4} & text {Simplifique removendo fatores comuns.} & dfrac { cancel { (x + 4)} (x + 7)} { cancel {x + 4}} & text {Simplifique.} & x + 7 end {array} )

A expressão é simplificada para (x + 7 ), mas a expressão original tinha um denominador de (x + 4 ), portanto (x neq −4 ).

Exemplo ( PageIndex {2} )

Simplifique: ( dfrac {9x + 14} {x + 7} + dfrac {x ^ 2} {x + 7} ).

Responder

(x + 2 )

Exemplo ( PageIndex {3} )

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 + 8x} {x + 5} + dfrac {15} {x + 5} ).

Responder

(x + 3 )

Para subtrair expressões racionais, eles também devem ter um denominador comum. Quando os denominadores são iguais, você subtrai os numeradores e coloca a diferença sobre o denominador comum. Cuidado com os sinais ao subtrair um binômio ou trinômio.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Subtraia: ( dfrac {5x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−3x + 18} - dfrac {4x ^ 2 + x − 9} {x ^ 2−3x + 18} ).

Responder

( begin {array} {ll} & dfrac {5x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−3x + 18} - dfrac {4x ^ 2 + x − 9} {x ^ 2−3x + 18} & begin {array} {l} text {Subtraia os numeradores e coloque a diferença} text {sobre o denominador comum.} End {array} & dfrac {5x ^ 2− 7x + 3− (4x ^ 2 + x − 9)} {x ^ 2−3x + 18} & text {Distribuir o sinal no numerador.} & Dfrac {5x ^ 2−7x + 3 −4x ^ 2 − x + 9} {x ^ 2−3x − 18} & text {Combine os termos semelhantes.} & Dfrac {x ^ 2−8x + 12} {x ^ 2−3x− 18} & text {Fatore o numerador e o denominador.} & Dfrac {(x − 2) (x − 6)} {(x + 3) (x − 6)} & text {Simplifique removendo fatores comuns.} & dfrac {(x − 2) cancel {(x − 6)}} {(x + 3) cancel {(x − 6)}} & & (x − 2) (x + 3) end {array} )

Exemplo ( PageIndex {5} )

Subtraia: ( dfrac {4x ^ 2−11x + 8} {x ^ 2−3x + 2} - dfrac {3x ^ 2 + x − 3} {x ^ 2−3x + 2} ).

Responder

( dfrac {x − 11} {x − 2} )

Exemplo ( PageIndex {6} )

Subtraia: ( dfrac {6x ^ 2 − x + 20} {x ^ 2−81} - dfrac {5x ^ 2 + 11x − 7} {x ^ 2−81} ).

Responder

( dfrac {x − 3} {x + 9} )

Adicionar e subtrair expressões racionais cujos denominadores são opostos

Quando os denominadores de duas expressões racionais são opostos, é fácil obter um denominador comum. Só temos que multiplicar uma das frações por ( dfrac {−1} {- 1} ).

Vamos ver como isso funciona.

Multiplique a segunda fração por ( dfrac {−1} {- 1} ).
Os denominadores são os mesmos.
Simplificar.

Tenha cuidado com os sinais ao trabalhar com os opostos quando as frações estiverem sendo subtraídas.

Exemplo ( PageIndex {8} )

Subtraia: ( dfrac {y ^ 2−5y} {y ^ 2−4} - dfrac {6y − 6} {4 − y ^ 2} ).

Responder

( dfrac {y + 3} {y + 2} )

Exemplo ( PageIndex {9} )

Subtraia: ( dfrac {2n ^ 2 + 8n − 1} {n ^ 2−1} - dfrac {n ^ 2−7n − 1} {1 − n ^ 2} ).

Responder

( dfrac {3n − 2} {n − 1} )

Encontre o mínimo denominador comum de expressões racionais

Quando adicionamos ou subtraímos expressões racionais com denominadores diferentes, precisaremos obter denominadores comuns. Se revisarmos o procedimento que usamos com frações numéricas, saberemos o que fazer com as expressões racionais.

Vejamos este exemplo: ( dfrac {7} {12} + dfrac {5} {18} ). Como os denominadores não são iguais, a primeira etapa foi encontrar o mínimo denominador comum (MDC).

Para encontrar o LCD das frações, fatoramos 12 e 18 em números primos, alinhando todos os números primos comuns em colunas. Então, “derrubamos” um primo de cada coluna. Finalmente, multiplicamos os fatores para encontrar o LCD.

Quando adicionamos frações numéricas, uma vez que encontramos o LCD, reescrevemos cada fração como uma fração equivalente com o LCD multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número. Agora estamos prontos para adicionar.

Fazemos a mesma coisa com expressões racionais. No entanto, deixamos o LCD na forma fatorada.

ENCONTRE O MENOS DENOMINADOR COMUM DE EXPRESSÕES RACIONAIS.

  1. Fatore cada denominador completamente.
  2. Liste os fatores de cada denominador. Combine os fatores verticalmente, quando possível.
  3. Diminua as colunas incluindo todos os fatores, mas não inclua fatores comuns duas vezes.
  4. Escreva o LCD como o produto dos fatores.

Lembre-se de que sempre excluímos valores que tornariam o denominador zero. Quais valores de xx devemos excluir no próximo exemplo?

Exemplo ( PageIndex {10} )

uma. Encontre o MDC para as expressões ( dfrac {8} {x ^ 2−2x − 3} ), ( dfrac {3x} {x ^ 2 + 4x + 3} ) e b. reescrevê-los como expressões racionais equivalentes com o menor denominador comum.

Responder

uma.

Encontre o MDC para ( dfrac {8} {x ^ 2−2x − 3} ), ( dfrac {3x} {x ^ 2 + 4x + 3} ).
Fatore cada denominador completamente, alinhando os fatores comuns.

Derrube as colunas.

Escreva o LCD como o produto dos fatores.

b.

Fatore cada denominador.
Multiplique cada denominador pelo "ausente"
Fator LCD e multiplique cada numerador pelo mesmo fator.
Simplifique os numeradores.

Exemplo ( PageIndex {11} )

uma. Encontre o MDC para as expressões ( dfrac {2} {x ^ 2 − x − 12} ), ( dfrac {1} {x ^ 2−16} ) b. reescrevê-los como expressões racionais equivalentes com o menor denominador comum.

Responder

uma. ((x − 4) (x + 3) (x + 4) )
b. ( dfrac {2x + 8} {(x − 4) (x + 3) (x + 4)} ),
( dfrac {x + 3} {(x − 4) (x + 3) (x + 4)} )

Exemplo ( PageIndex {12} )

uma. Encontre o MDC para as expressões ( dfrac {3x} {x ^ 2−3x + 10} ), ( dfrac {5} {x ^ 2 + 3x + 2} ) b. ((x + 2) (x − 5) (x + 1) )
b. ( dfrac {3x ^ 2 + 3x} {(x + 2) (x − 5) (x + 1)} ),
( dfrac {5x − 25} {(x + 2) (x − 5) (x + 1)} )

Adicionar e subtrair expressões racionais com denominadores diferentes

Agora temos todas as etapas de que precisamos para adicionar ou subtrair expressões racionais com denominadores diferentes.

Exemplo ( PageIndex {13} ): Como adicionar expressões racionais com denominadores diferentes

Adicione: ( dfrac {3} {x − 3} + dfrac {2} {x − 2} ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {14} )

Adicione: ( dfrac {2} {x − 2} + dfrac {5} {x + 3} ).

Responder

( dfrac {7x − 4} {(x − 2) (x + 3)} )

Exemplo ( PageIndex {15} )

Adicionar: ( dfrac {4} {m + 3} + dfrac {3} {m + 4} ).

Responder

( dfrac {7m + 25} {(m + 3) (m + 4)} )

As etapas usadas para adicionar expressões racionais são resumidas aqui.

ADICIONE OU SUBTRAIR EXPRESSÕES RACIONAIS.

  1. Determine se as expressões têm um denominador comum.
    • sim - vá para a etapa 2.
    • Não - Reescreva cada expressão racional com o LCD.
      • Encontre o LCD.
      • Reescreva cada expressão racional como uma expressão racional equivalente com o LCD.
  2. Adicione ou subtraia as expressões racionais.
  3. Simplifique, se possível.

Evite a tentação de simplificar muito cedo. No exemplo acima, devemos deixar a primeira expressão racional como ( dfrac {3x − 6} {(x − 3) (x − 2)} ) para poder adicioná-la a ( dfrac {2x− 6} {(x − 2) (x − 3)} ). Simplificar depois de combinar os numeradores.

Exemplo ( PageIndex {17} )

Adicione: ( dfrac {1} {m ^ 2 − m − 2} + dfrac {5m} {m ^ 2 + 3m + 2} ).

Responder

( dfrac {5m ^ 2−9m + 2} {(m + 1) (m − 2) (m + 2)} )

Exemplo ( PageIndex {18} )

Adicione: ( dfrac {2n} {n ^ 2−3n − 10} + dfrac {6} {n ^ 2 + 5n + 6} ).

Responder

( dfrac {2n ^ 2 + 12n − 30} {(n + 2) (n − 5) (n + 3)} )

O processo que usamos para subtrair expressões racionais com denominadores diferentes é o mesmo que para a adição. Só precisamos ter muito cuidado com os sinais ao subtrair os numeradores.

Exemplo ( PageIndex {20} )

Subtraia: ( dfrac {2x} {x ^ 2−4} - dfrac {1} {x + 2} ).

Responder

( dfrac {1} {x − 2} )

Exemplo ( PageIndex {21} )

Subtraia: ( dfrac {3} {z + 3} - dfrac {6z} {z ^ 2−9} ).

Responder

( dfrac {−3} {z − 3} )

Existem muitos sinais negativos no próximo exemplo. Seja extremamente cuidadoso.

Exemplo ( PageIndex {23} )

Subtraia: ( dfrac {3x − 1} {x ^ 2−5x − 6} - dfrac {2} {6 − x} ).

Responder

( dfrac {5x + 1} {(x − 6) (x + 1)} )

Exemplo ( PageIndex {24} )

Subtraia: ( dfrac {−2y − 2} {y ^ 2 + 2y − 8} - dfrac {y − 1} {2 − y} ).

Responder

( dfrac {y + 3} {y + 4} )

As coisas podem ficar muito complicadas quando ambas as frações devem ser multiplicadas por um binômio para obter o denominador comum.

Exemplo ( PageIndex {26} )

Subtraia: ( dfrac {3} {b ^ 2−4b − 5} - dfrac {2} {b ^ 2−6b + 5} ).

Responder

( dfrac {1} {(b + 1) (b − 1)} )

Exemplo ( PageIndex {27} )

Subtraia: ( dfrac {4} {x ^ 2−4} - dfrac {3} {x ^ 2 − x − 2} ).

Responder

( dfrac {1} {(x + 2) (x + 1)} )

Seguimos os mesmos passos de antes para encontrar o LCD quando temos mais de duas expressões racionais. No próximo exemplo, começaremos fatorando todos os três denominadores para encontrar seu MDC.

Exemplo ( PageIndex {29} )

Simplifique: ( dfrac {v} {v + 1} + dfrac {3} {v − 1} - dfrac {6} {v ^ 2−1} ).

Responder

( dfrac {v + 3} {v + 1} )

Exemplo ( PageIndex {30} )

Simplifique: ( dfrac {3w} {w + 2} + dfrac {2} {w + 7} - dfrac {17w + 4} {w ^ 2 + 9w + 14} ).

Responder

( dfrac {3w} {w + 7} )

Adicionar e subtrair funções racionais

Para adicionar ou subtrair funções racionais, usamos as mesmas técnicas que usamos para adicionar ou subtrair funções polinomiais.

Exemplo ( PageIndex {32} )

Encontre (R (x) = f (x) −g (x) ) onde (f (x) = dfrac {x + 1} {x + 3} ) e (g (x) = dfrac {x + 17} {x ^ 2 − x − 12} ).

Responder

( dfrac {x − 7} {x − 4} )

Exemplo ( PageIndex {33} )

Encontre (R (x) = f (x) + g (x) ) onde (f (x) = dfrac {x − 4} {x + 3} ) e (g (x) = dfrac {4x + 6} {x ^ 2−9} ).

Responder

( dfrac {x ^ 2−3x + 18} {(x + 3) (x − 3)} )

Acesse este recurso online para obter instruções adicionais e prática com adição e subtração de expressões racionais.

  • Adicionar e subtrair expressões racionais - ao contrário de denominadores

Conceitos chave

  • Adição e subtração de expressão racional
    Se (p ), (q ) e (r ) são polinômios onde (r neq 0 ), então
    [ dfrac {p} {r} + dfrac {q} {r} = dfrac {p + q} {r} quad text {e} quad dfrac {p} {r} - dfrac {q} {r} = dfrac {p − q} {r} não numérico ]
  • Como encontrar o mínimo denominador comum de expressões racionais.
    1. Fatore cada expressão completamente.
    2. Liste os fatores de cada expressão. Combine os fatores verticalmente, quando possível.
    3. Derrube as colunas.
    4. Escreva o LCD como o produto dos fatores.
  • Como adicionar ou subtrair expressões racionais.
    1. Determine se as expressões têm um denominador comum.
      • Sim - vá para a etapa 2.
      • Não - Reescreva cada expressão racional com o LCD.
        • Encontre o LCD.
        • Reescreva cada expressão racional como uma expressão racional equivalente com o LCD.
    2. Adicione ou subtraia as expressões racionais.
    3. Simplifique, se possível.

15.3: Adicionar e subtrair expressões racionais

Adicionar e subtrair expressões racionais é semelhante a adicionar e subtrair frações. Lembre-se de que, se os denominadores forem iguais, podemos adicionar ou subtrair os numeradores e escrever o resultado sobre o denominador comum.

Ao trabalhar com expressões racionais, o denominador comum será um polinômio. Em geral, determinados polinômios P, Q, e R, onde Q ≠ 0, temos o seguinte:

Nesta seção, suponha que todos os fatores de variáveis ​​no denominador sejam diferentes de zero.

Exemplo 1: Adicionar: 3 anos + 7 anos.

Solução: Adicione os numeradores 3 e 7 e escreva o resultado sobre o denominador comum, y.

Exemplo 2: Subtraia: x - 5 2 x - 1 - 1 2 x - 1.

Solução: Subtraia os numeradores x - 5 e 1 e escreva o resultado sobre o denominador comum, 2 x - 1.

Exemplo 3: Subtraia: 2 x + 7 (x + 5) (x - 3) - x + 10 (x + 5) (x - 3).

Solução: Usamos parênteses para nos lembrar de subtrair o numerador inteiro da segunda expressão racional.

Exemplo 4: Simplifique: 2 x 2 + 10 x + 3 x 2 - 36 - x 2 + 6 x + 5 x 2 - 36 + x - 4 x 2 - 36.

Solução: Subtraia e some os numeradores. Use parênteses e escreva o resultado sobre o denominador comum, x 2 - 36.

Experimente isso! Subtraia: x 2 + 1 2 x 2 - 7 x - 4 - x 2 - 2 x 2 x 2 - 7 x - 4.

Solução de Vídeo


Adicionando e subtraindo expressões racionais com denominadores semelhantes

Seguimos o mesmo processo para adicionar expressões racionais que fazemos para combinar frações numéricas. Para adicionar frações com denominadores semelhantes, adicionamos os numeradores e mantemos o mesmo denominador. Depois de adicionar, expressamos a fração em termos mais simples:

Seguimos o mesmo processo para adicionar expressões racionais com denominadores semelhantes, mas também temos que descrever o domínio O conjunto de todas as entradas possíveis de uma função que permitem que a função funcione. , o conjunto de todos os valores possíveis para as variáveis. O valores excluídos Um valor para uma variável que não é permitido em uma expressão, como uma variável em uma expressão racional que tornaria o denominador igual a zero. do domínio são quaisquer valores das variáveis ​​que resultam em qualquer denominador igual a `0`.

Adicione, simplifique e indique o domínio de `(2x ^ 2) / (x + 4) + (8x) / (x + 4)`.

Determine os valores excluídos definindo o denominador igual a `0` e resolvendo para` x`.

Como os denominadores são iguais, adicione os numeradores.

Reescreva o fator comum como multiplicação por `1`.

Para subtrair expressões racionais com denominadores semelhantes, seguimos o mesmo processo que usamos para subtrair frações com denominadores semelhantes. O processo é como a adição de expressões racionais, exceto que subtraímos.

Subtraia, simplifique e declare o domínio de `(4x-7) / (x + 6) - (2x-8) / (x + 6)`.

Determine os valores excluídos definindo o denominador igual a `0` e resolvendo para` x`.

Subtraia o segundo numerador do primeiro e mantenha o denominador igual.

Tenha o cuidado de distribuir o negativo para ambos os termos do segundo numerador.

Esta é a resposta final porque esta expressão racional não pode ser simplificada.

A) Incorreto. Você realizou a subtração corretamente e encontrou o valor excluído correto, mas esta expressão racional pode ser simplificada porque o numerador e o denominador têm um fator comum de `(x - 5)`. A resposta correta é `x + 5`,` x! = 5`.

B) Correto. Como existe um denominador comum, subtraia os numeradores para obter `(x ^ 2-25) / (x-5)`. O numerador pode ser fatorado e um fator comum de `(x - 5)` está presente no numerador e no denominador. `((x-5) (x + 5)) / (x-5) = (x-5) / (x-5) * (x + 5) = x + 5`. O valor `5` é excluído porque este valor torna o denominador igual a` 0`.

C) Incorreto. O fator comum presente no numerador e denominador é `x - 5`, não` x + 5`. `((x-5) (x + 5)) / (x-5) = (x-5) / (x-5) * (x + 5) = x + 5`. A resposta correta é `x + 5`,` x! = 5`.

D) Incorreto. O único valor excluído é `x = 5` porque este valor de` x` torna o denominador `0`. `-5` não é um valor excluído porque` -5 - 5 = -10`, que é um valor aceitável do denominador. `-5` tornará o numerador igual a` 0`, mas isso não é um problema. `0` no numerador torna o valor da expressão racional também igual a` 0`. A resposta correta é `x + 5`,` x! = 5`.


Adicionar e subtrair expressões racionais

    Adicionar:

Adicionar e subtrair expressões racionais com um denominador comum

Qual é a primeira etapa que você dá ao adicionar frações numéricas? Você verifica se eles têm um denominador comum. Em caso afirmativo, você adiciona os numeradores e coloca a soma sobre o denominador comum. Se eles não tiverem um denominador comum, você encontrará um antes de adicionar.

É o mesmo com expressões racionais. Para adicionar expressões racionais, eles devem ter um denominador comum. Quando os denominadores são iguais, você adiciona os numeradores e coloca a soma sobre o denominador comum.

Se p, q, e r são polinômios onde então

Para adicionar ou subtrair expressões racionais com um denominador comum, adicione ou subtraia os numeradores e coloque o resultado sobre o denominador comum.

Sempre simplificamos as expressões racionais. Certifique-se de fatorar, se possível, depois de subtrair os numeradores para que possa identificar quaisquer fatores comuns.

Lembre-se também de que não permitimos valores que tornem o denominador zero. Qual o valor de x deve ser excluído no próximo exemplo?

Adicionar:

Uma vez que o denominador é devemos excluir o valor

A expressão é simplificada para mas a expressão original tinha um denominador de assim

Simplificar:

Simplificar:

Para subtrair expressões racionais, eles também devem ter um denominador comum. Quando os denominadores são iguais, você subtrai os numeradores e coloca a diferença sobre o denominador comum. Cuidado com os sinais ao subtrair um binômio ou trinômio.

Subtrair:

Subtrair:

Subtrair:

Adicionar e subtrair expressões racionais cujos denominadores são opostos

Quando os denominadores de duas expressões racionais são opostos, é fácil obter um denominador comum. Só temos que multiplicar uma das frações por

Multiplique a segunda fração por
Os denominadores são os mesmos.
Simplificar.

Tenha cuidado com os sinais ao trabalhar com os opostos quando as frações estiverem sendo subtraídas.

Subtrair:

Os denominadores são opostos, então multiplique o

Subtrair:

Subtrair:

Encontre o mínimo denominador comum de expressões racionais

Quando adicionamos ou subtraímos expressões racionais com denominadores diferentes, precisaremos obter denominadores comuns. Se revisarmos o procedimento que usamos com frações numéricas, saberemos o que fazer com as expressões racionais.

Vejamos este exemplo: Como os denominadores não são iguais, a primeira etapa foi encontrar o mínimo denominador comum (MDC).

Para encontrar o LCD das frações, fatoramos 12 e 18 em números primos, alinhando todos os números primos comuns em colunas. Então, “derrubamos” um primo de cada coluna. Finalmente, multiplicamos os fatores para encontrar o LCD.

Quando adicionamos frações numéricas, uma vez que encontramos o LCD, reescrevemos cada fração como uma fração equivalente com o LCD multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número. Agora estamos prontos para adicionar.

Fazemos a mesma coisa com expressões racionais. No entanto, deixamos o LCD na forma fatorada.

  1. Fatore cada denominador completamente.
  2. Liste os fatores de cada denominador. Combine os fatores verticalmente, quando possível.
  3. Diminua as colunas incluindo todos os fatores, mas não inclua fatores comuns duas vezes.
  4. Escreva o LCD como o produto dos fatores.

Lembre-se de que sempre excluímos valores que tornariam o denominador zero. Quais valores de devemos excluir neste próximo exemplo?

Ⓐ Encontre o LCD para as expressões e ⓑ reescrevê-los como expressões racionais equivalentes com o menor denominador comum.


15.3: Adicionar e subtrair expressões racionais

Adicionando e subtraindo expressões racionais

· Adicionar e subtrair expressões racionais e simplificar.

No início da matemática, os alunos geralmente aprendem a somar e subtrair números inteiros antes de aprenderem a multiplicação e divisão. No entanto, com frações e expressões racionais, multiplicação e divisão às vezes são ensinadas primeiro porque essas operações são mais fáceis de realizar do que adição e subtração. A adição e subtração de expressões racionais são mais complicadas do que a multiplicação porque, como com as frações numéricas, o processo envolve encontrar denominadores comuns. Trabalhando cuidadosamente e anotando as etapas ao longo do caminho, podemos acompanhar todos os números e variáveis ​​e realizar as operações com precisão.

Adicionando e subtraindo expressões racionais com denominadores semelhantes

Seguimos o mesmo processo para adicionar expressões racionais que fazemos para combinar frações numéricas. Para adicionar frações com denominadores semelhantes, adicionamos os numeradores e mantemos o mesmo denominador. Depois de adicionar, expressamos a fração em termos mais simples:

Seguimos o mesmo processo para adicionar expressões racionais com denominadores semelhantes, mas também temos que descrever o domínio, o conjunto de todos os valores possíveis para as variáveis. O valores excluídos do domínio são quaisquer valores das variáveis ​​que resultam em qualquer denominador igual a 0.

Adicione, simplifique e declare o domínio de

Determine os valores excluídos definindo o denominador igual a 0 e resolvendo para x.

Como os denominadores são iguais, adicione os numeradores.

Reescreva o fator comum como multiplicação por 1

2x, x - 4

Para subtrair expressões racionais com denominadores semelhantes, seguimos o mesmo processo que usamos para subtrair frações com denominadores semelhantes. O processo é como a adição de expressões racionais, exceto que subtraímos.

Subtraia, simplifique e declare o domínio de

Determine os valores excluídos definindo o denominador igual a 0 e resolvendo para x.

Subtraia o segundo numerador do primeiro e mantenha o denominador igual.

Tenha o cuidado de distribuir o negativo para ambos os termos do segundo numerador.

Esta é a resposta final porque esta expressão racional não pode ser simplificada.

D) x + 5, x -5 ou 5

A) Incorreto. Você realizou a subtração corretamente e encontrou o valor excluído correto, mas esta expressão racional pode ser simplificada porque o numerador e o denominador têm um fator comum de (x - 5). A resposta correta é x + 5, x 5.

B) Correto. Como existe um denominador comum, subtraia os numeradores para obter. O numerador pode ser fatorado e um fator comum de (x - 5) está presente no numerador e no denominador. . O valor 5 é excluído porque esse valor torna o denominador igual a 0.

C) Incorreto. O fator comum presente no numerador e denominador é x - 5, não x + 5.. A resposta correta é x + 5, x 5.

D) Incorreto. O único valor excluído é x = 5 porque este valor de x torna o denominador 0. -5 não é um valor excluído porque -5 - 5 = -10, que é um valor aceitável do denominador. -5 tornará o numerador igual a 0, mas isso não é um problema. (0 no numerador torna o valor da expressão racional também igual a 0.) A resposta correta é x + 5, x 5.

Adicionando e subtraindo expressões racionais com denominadores diferentes

Antes de adicionar e subtrair expressões racionais com denominadores diferentes, precisamos encontrar um denominador comum. Este processo é mais uma vez semelhante ao usado para adicionar e subtrair frações numéricas com denominadores diferentes. Vejamos um exemplo numérico para começar.

Como os denominadores são 6, 10 e 4, queremos encontrar o minimo denominador comum e expresse cada fração com este denominador antes de adicionar. (A propósito, você pode adicionar frações encontrando qualquer denominador comum, não precisa ser o mínimo. Nós nos concentramos em usar o mínimo, porque haverá menos simplificação a fazer.

Encontrar o mínimo denominador comum é o mesmo que encontrar o mínimo múltiplo comum de 4, 6 e 10. Existem algumas maneiras de fazer isso. A primeira é listar os múltiplos de cada número e determinar quais múltiplos eles têm em comum. O menor desses números será o mínimo denominador comum.

O outro método é usar fatoração primária, o processo de encontrar os fatores dos números primos de um número. É assim que o método funciona com números:

Use a fatoração primária para encontrar o mínimo múltiplo comum de 6, 10 e 4

Primeiro, encontre os fatores principais de cada denominador

Multiplique todos os fatores primos. Use cada número o número máximo de vezes que ele aparece em uma única fatoração.

Nesse caso, 2 é usado duas vezes porque aparece duas vezes na fatoração principal de 4.

Encontramos o mesmo múltiplo menos comum com os dois métodos. A fatoração principal foi mais rápida, porque não tivemos que fazer um gráfico cheio de múltiplos.

Vamos continuar. Agora que encontramos o mínimo múltiplo comum, usaremos esse número como o mínimo denominador comum de nossas frações. Multiplicaremos cada fração pela forma fracionária de 1 que produzirá um denominador de 60:

Agora que temos denominadores semelhantes, podemos facilmente adicionar as frações:

Também podemos encontrar o mínimo de denominadores comuns para expressões racionais e usá-los para nos permitir adicionar expressões racionais com denominadores diferentes:

15m 2 n 3 = 3 • 5 • m • m • n • n • n

21mn 2 = 3 • 7 • m • n • n

Encontre os fatores principais de cada denominador

3 • 5 • 7 m • m • n • n • n

Encontre o mínimo múltiplo comum. 3 aparece exatamente uma vez em ambas as expressões, portanto, aparecerá uma vez no mínimo denominador comum. Ambos 5 e 7 aparecem no máximo uma vez. Para as variáveis, a maioria m aparece é duas vezes, e o mais n aparece é três vezes.

15m 2 n 3 = 3 • 5 • m • m • n • n • n

105m 2 n 3 = 3 • 5 • 7 m • m • n • n • n

21mn 2 = 3 • 7 • m • n • n

105m 2 n 3 = 3 • 5 • 7 m • m • n • n • n

Reescreva as expressões racionais para que cada uma tenha um denominador de 105m 2 n 3

Compare os fatores principais de cada denominador e o denominador comum para obter o denominador comum, multiplique o denominador original por quaisquer fatores que estejam faltando.

Adicione os numeradores e mantenha o denominador igual.

Simplifique encontrando fatores comuns no numerador e denominador.

Demorou um pouco, mas superamos. Adicionar expressões racionais pode ser um processo demorado, mas se dermos um passo de cada vez, chegaremos lá.

Pronto para tentar subtrair expressões racionais? Usaremos a mesma técnica básica de encontrar o mínimo denominador comum e reescrever cada expressão racional para ter esse denominador:

Subtrair e declare quaisquer valores excluídos

t 2t - 2 = (t - 2)(t + 1) = 0

Determine os valores excluídos definindo cada denominador igual a 0 e resolvendo

t 2 – t – 2 = (t -2)(t + 1)

Encontre um mínimo múltiplo comum fatorando cada denominador.

Desde t + 1 já é um fator de

t 2t - 2, o mínimo denominador comum é (t + 1)(t -2) .

Multiplique a primeira expressão pelo equivalente a 1 para obter o denominador comum.

Em seguida, reescreva as expressões racionais com o denominador comum.

Subtraia os numeradores e simplifique.

O numerador e denominador têm um fator comum de t - 2, e assim a expressão racional pode ser simplificada.

Até agora, todas as expressões racionais que adicionamos e subtraímos compartilham alguns fatores. O que acontece quando eles não têm fatores em comum?

Subtrair e declare os valores excluídos

e 5 são valores excluídos.

denominador comum = (2y - 1)(y - 5)

Encontre um mínimo múltiplo comum fatorando cada denominador.

Nenhum 2 y - 1 ou y - 5 podem ser fatorados. Como eles não têm fatores comuns, o mínimo denominador comum é o produto desses denominadores.

Multiplique cada expressão pelo equivalente a 1 que dará a ela o denominador comum.

Em seguida, reescreva as expressões racionais com o denominador comum.

Simplifique e declare quaisquer valores excluídos.

A) Incorreto. A abordagem está correta, mas a resposta está incompleta. O numerador da expressão racional pode ser simplificado multiplicando e combinando termos semelhantes. Além disso, a resposta deve indicar quaisquer valores excluídos. A resposta correta é , x -4, 3.

B) Incorreto. Para adicionar expressões racionais com denominadores diferentes, você deve primeiro encontrar um denominador comum. O denominador comum para essas expressões racionais é (x + 4)(x - 3) porque os denominadores não possuem fatores comuns. Escreva ambos os adendos com um denominador comum, e, a seguir, simplifique. Para encontrar os valores excluídos, observe a expressão original, bem como os denominadores ao longo do caminho. A resposta correta é , x -4, 3.

C) Incorreto. Você só pode simplificar o numerador e o denominador quando houver fatores, não parece termos. Você não pode cancelar o x 2 termos e 12s. A resposta correta é , x -4, 3.

D) Correto. Primeiro encontre um denominador comum, (x + 4)(x - 3), e reescrever cada adendo usando esse denominador:. Multiplique e some os numeradores:. A resposta correta é , x -4, 3.

Para adicionar e subtrair expressões racionais, aplicamos a mesma ideia usada para adicionar e subtrair frações: primeiro encontre um denominador comum. O mínimo denominador comum é igual ao mínimo múltiplo comum e pode ser encontrado listando-se os múltiplos de cada denominador ou por meio da fatoração primária.

Ao trabalhar com expressões racionais, é sempre importante incluir os valores excluídos do domínio com a resposta.


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Objetivos: Guia de Resultados e Conteúdo do Curso PCC

Na última seção, aprendemos como multiplicar e dividir expressões racionais. Nesta seção, aprenderemos como adicionar e subtrair expressões racionais.

Figura 12.3.1. Aula de vídeo alternativa

Subseção 12.3.1 Introdução

Exemplo 12.3.2.

Julia está levando a família em uma viagem de barco (12 ) milhas rio abaixo e de volta. O rio flui a uma velocidade de (2 ) milhas por hora e ela deseja conduzir o barco a uma velocidade constante, (v ) milhas por hora rio abaixo e de volta rio acima. Devido à corrente do rio, a velocidade real de viagem é (v + 2 ) milhas por hora indo rio abaixo, e (v-2 ) milhas por hora indo rio acima. Se Julia planeja gastar (8 ) horas na viagem inteira, quão rápido ela deve dirigir o barco?

Precisamos revisar três formas da fórmula para movimento a uma taxa constante:

onde (d ) representa a distância, (v ) representa a velocidade e (t ) representa o tempo. De acordo com a terceira forma, o tempo que o barco leva para viajar rio abaixo é ( frac <12> text <,> ) e o tempo que leva para voltar o upstream é ( frac <12> text <.> )

A função para modelar o tempo de toda a viagem é

onde (t ) representa o tempo em horas e (v ) é a velocidade do barco em milhas por hora. Vejamos o gráfico dessa função na Figura 12.3.3. Observe que, como a velocidade (v ) e o tempo (t (v) ) devem ser positivos no contexto, é apenas o primeiro quadrante da Figura 12.3.3 que importa.

Para saber a velocidade que Julia deve dirigir o barco para fazer a viagem de ida e volta nas últimas (8 ) horas, podemos usar a tecnologia de gráficos para resolver a equação

graficamente e vemos que (v = 4 text <.> ) Isso nos diz que uma velocidade de (4 ) milhas por hora dará um tempo total de (8 ) horas para completar a viagem. Para ir a jusante, seria necessário ( frac <12>= frac <12> <4 + 2> = 2 ) horas e para subir levaria ( frac <12>= frac <12> <4-2> = 6 ) horas.

O objetivo desta seção é trabalhar com expressões como ( frac <12>+ frac <12> text <,> ) onde duas expressões racionais são adicionadas (ou subtraídas). Há momentos em que é útil combiná-los em uma única fração. Vamos aprender que a expressão ( frac <12>+ frac <12>) é igual à expressão ( frac <24v> text <,> ) e aprenderemos como fazer essa simplificação.

Subseção 12.3.2 Adição e subtração de expressões racionais com o mesmo denominador

O processo de adição e subtração de expressões racionais será muito semelhante ao processo de adição e subtração de frações puramente numéricas.

Se as duas expressões têm o mesmo denominador, podemos contar com a propriedade de adicionar e subtrair frações e simplificar esse resultado.

Vamos revisar como adicionar frações com o mesmo denominador:

Podemos adicionar e subtrair expressões racionais da mesma maneira:

Determine o mínimo denominador comum de todos os denominadores.

Se necessário, construa cada expressão de forma que os denominadores sejam os mesmos.

Simplifique a expressão racional resultante tanto quanto possível. Isso pode exigir a fatoração do numerador.

Exemplo 12.3.5.

Add the rational expressions: (dfrac<2x>+dfrac<2y> text <.> )

These expressions already have a common denominator:

Note that we didn't stop at (frac<2x+2y> ext<.>) If possible, we must simplify the numerator and denominator. Since this is a multivariable expression, this textbook ignores domain restrictions while canceling.

Subsection 12.3.3 Addition and Subtraction of Rational Expressions with Different Denominators

To add rational expressions with different denominators, we'll need to build each fraction to the least common denominator, in the same way we do with numerical fractions. Let's briefly review this process by adding (frac<3><5>) and (frac<1><6> ext<:>)

This exact method can be used when adding rational expressions containing variables. The key is that the expressions deve have the same denominator before they can be added or subtracted. If they don't have this initially, then we'll identify the least common denominator and build each expression so that it has that denominator.

Let's apply this to adding the two expressions with denominators that are (v-2) and (v+2) from Example 12.3.2.

Example 12.3.6 .

Add the rational expressions and fully simplify the function given by (t(v)=frac<12>+frac<12> text <.> )

Example 12.3.7 .

Add the rational expressions: (dfrac<2><5x^2y>+dfrac<3><20xy^2>)

The least common denominator of (5x^2y) and (20xy^2) must include two (x)'s and two (y)'s, as well as (20 ext<.>) Thus it is (20x^2y^2 ext<.>) We will build both denominators to (20x^2y^2) before doing addition.

Let's look at a few more complicated examples.

Example 12.3.8 .

Subtract the rational expressions: (dfrac-dfrac<8y-8>)

To start, we'll make sure each denominator is factored. Then we'll find the least common denominator and build each expression to that denominator. Then we will be able to combine the numerators and simplify the expression.

Note that we must factor the numerator in (frac<(y+2)(y-2)>) and try to reduce the fraction (which we did).

Warning 12.3.9 .

In Example 12.3.8, be careful to subtract the entire numerator of (8y-8 ext<.>) When this expression is in the numerator of (frac<8y-8><(y+2)(y-2)> ext<,>) it's implicitly grouped and doesn't need parentheses. But once (8y-8) is subtracted from (y^2+2y ext<,>) we need to add parentheses so the entire expression is subtracted.

In the next example, we'll look at adding a rational expression to a polynomial. Much like adding a fraction and an integer, we'll rely on writing that expression as itself over one in order to build its denominator.

Example 12.3.10 .

Add the expressions: (-dfrac<2>+r)

Note that we factored the numerator to reduce the fraction if possible. Even though it was not possible in this case, leaving it in factored form makes it easier to see that it is reduced.

Example 12.3.11 .

To start, we'll need to factor each of the denominators. After that, we'll identify the LCD and build each denominator accordingly. Then we can combine the numerators and simplify the resulting expression.

Reading Questions 12.3.4 Reading Questions

Describe how to add two rational expressions when they have the same denominator.

Suppose you are adding two rational expressions where one of them has a quadratic denominator, and the other has a linear denominator. What is the first thing you should try to do with respect to the quadratic denominator?


15.3: Add and Subtract Rational Expressions

Adding and subtracting

Adding and subtracting rational expressions is similar to adding and subtracting fractions. You need a common denominator. While the method is easy, the problems can be a little complex because of the size of expressions.

When adding or subtracting any fractions or rational expressions, you can use the following formula. Deixar a, b, c e d be any constant, variable, or algebraic expression. Então

In this formula, the common denominator becomes the product of the two original denominators. This is the fastest method for obtaining a common denominator, although it is not necessarily the least common denominator.

Then each numerator is simply multiplied by the denominator of the other fraction, and those results are added together.

Let’s try an example. We would like to subtract the rational expression

We can use the above formula, adjusting the sign for subtraction. Then all we need to do is simplify. The formula gives

In the last step we simply factored out the common factor 7 from 7b + 7. Congratulations! You’ve successfully subtracted two rational expressions. Now let’s try another example, using the same method.

Add the rational expressions

Before we use the formula to add these two rational expressions, we can easily simplify the first term by cancelling the x common to both factors. We have

Now we are prepared to use the formula for adding fractions. We have

So we see again that we must only apply the formula for adding fractions, then complete a few simplifying steps. Be careful when adding and subtracting rational expressions. Although the method for adding these things is simple, it is easy to make a mistake because of the complexity of the expressions.

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15.3: Add and Subtract Rational Expressions

Adding and Subtracting
Rational Expressions: More Examples
(page 3 of 3)

To find the common denominator, I'll first have to factor the quadratic in the third denominator:

x 2 & ndash 5 x &ndash 6 = (x &ndash 6)(x + 1)

Fortunately for me, the quadratic denominator didn't introduce any new factors to the problem, so the common denominator will be (x &ndash 6)(x + 1) .

Since I was able to cancel out the x + 1 factor, I eliminated a zero from the denominator. Then the final answer is: Copyright © Elizabeth Stapel 2003-2011 All Rights Reserved

First I'll factor the quadratic in the third denominator:

x 2 + 3x &ndash 10 = (x + 5)(x &ndash 2)

Note that these factors almost match the other denominators, but the second fraction's denominator is "backwards". How can I fix that? I can fix it by remembering the following:

The point of these two subtractions is that, when I reversed the subtraction, I got the same answer except for the sign. So I can reverse the subtraction in the second fraction's denominator, as long as I remember to also reverse the sign. This is what that looks like:

I factored the numerator, but nothing cancels out. As you can see, I had to factor a denominator, multiply two of the fractions to get a common denominator, multiply those two fractions' numerators, add, simplify, and then factor again. You should expect to see some problems that are at least this involved. They're not as much "complicated" as they are "long and annoying". Work them out step-by-step as I did above, and you'll get the right answers fairly regularly. In this case, the answer is:

When you're adding and subtracting rationals, don't try to do a lot of steps in your head, or skip steps or do half-steps (like leaving out the denominators in your calculations), or you'll pretty much guarantee yourself the wrong answer. Take the time to do every step completely and carefully as you "practice" on the homework, so you have a good chance of getting these exercises right on the test.