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15.6: Resolva Aplicações com Equações Racionais - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Resolver proporções
  • Resolva aplicativos de figuras semelhantes
  • Resolva aplicações de movimento uniforme
  • Resolva aplicativos de trabalho
  • Resolva problemas de variação direta
  • Resolva problemas de variação inversa

Esteja preparado

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    Exemplo 2.2.13. Exemplo 2.5.13. Exemplo 2.2.9.

Resolva Proporções

Quando duas expressões racionais são iguais, a equação que as relaciona é chamada de proporção.

Proporção

Uma proporção é uma equação da forma ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ), onde (b neq 0, d neq 0 ).

A proporção é lida “ (a ) é para (b ) como (c ) é para (d ).”

A equação ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) é uma proporção porque as duas frações são iguais. A proporção ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) é lida “1 é para 2 como 4 é para 8”.

Como uma proporção é uma equação com expressões racionais, resolveremos as proporções da mesma forma que resolvemos as equações racionais. Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo LCD para limpar as frações e, em seguida, resolver a equação resultante.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Resolva: ( dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} ).

Solução

[ dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7}, quad n neq-14 nonumber ]

Multiplique ambos os lados por LCD.

[7 (n + 14) left ( dfrac {n} {n + 14} right) = 7 (n + 14) left ( dfrac {5} {7} right) nonumber ]

Remova os fatores comuns de cada lado.

[7 n = 5 (n + 14) não numérico ]

Simplificar.

[7 n = 5 n + 70 não numérico ]

Resolva para (n ).

[ begin {alinhado} 2n & = 70 n & = 35 end {alinhado} nonumber ]

Verificar.

[ dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} não numérico ]

Substituir (n = 35 )

[ dfrac {35} {35 + 14} overset {?} {=} dfrac {5} {7} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac {35} {49} overset {?} {=} dfrac {5} {7} nonumber ]

Mostre fatores comuns.

[ dfrac {5 cdot 7} {7 cdot 7} overset {?} {=} dfrac {5} {7} nonumber ]

Simplificar.

[ dfrac {5} {7} = dfrac {5} {7} ; surd nonumber ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Resolva a proporção: ( dfrac {y} {y + 55} = dfrac {3} {8} ).

Responder

(y = 33 )

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolva a proporção: ( dfrac {z} {z-84} = - dfrac {1} {5} ).

Responder

(z = 14 )

Observe no último exemplo que quando limpamos as frações multiplicando pelo LCD, o resultado é o mesmo como se tivéssemos multiplicado por cruzamento.

[ begin {alinhados} dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} quad quad quad dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7 } 7 (n + 14) left ( dfrac {n} {n + 14} right) = 7 (n + 14) left ( dfrac {5} {7} right) quad quad quad dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} 7n = 5 (n + 14) quad quad quad 7n = 5 (n + 14) end {alinhado} enhum número ]

Para qualquer proporção, ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ), obtemos o mesmo resultado quando limpamos as frações multiplicando pelo LCD como quando fazemos a multiplicação cruzada.

[ begin {alinhado} dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} quad quad quad dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} bd left ( dfrac {a} {b} = frac {c} {d} right) bd quad quad quad frac {a} {b} = frac {c} {d} ad = bc quad quad quad ad = bc end {alinhado} nonumber ]

Para resolver aplicativos com proporções, seguiremos nossa estratégia usual para resolver aplicativos. Mas quando configuramos a proporção, devemos ter certeza de que as unidades estão corretas - as unidades nos numeradores devem corresponder umas às outras e as unidades nos denominadores também devem combinar uns com os outros.

Quando os pediatras prescrevem paracetamol para crianças, eles prescrevem 5 mililitros (ml) de paracetamol para cada 25 libras de peso da criança. Se Zoe pesa 36 quilos, quantos mililitros de paracetamol seu médico receitará?

Solução

Identifique o que devemos encontrar e escolha uma variável para representá-lo.

Quantos ml de paracetamol o médico receitará?

Seja (a = ml ) de paracetamol.

Escreva uma frase que forneça as informações para encontrá-lo.

Se 5 ml forem prescritos para cada 25 libras, quanto será prescrito para 80 libras?

Traduza para uma proporção - tome cuidado com as unidades.

Passo 1. Escreva a desigualdade como um quociente à esquerda e zero à direita. Nossa desigualdade está nesta forma.

[ dfrac {x-1} {x + 3} geq 0 nonumber ]

Passo 2. Determine os pontos críticos - os pontos onde a expressão racional será zero ou indefinida.

A expressão racional será zero quando o numerador for zero. Como (x-1 = 0 ) quando (x = 1 ), então 1 é um ponto crítico. A expressão racional será indefinida quando o denominador for zero. Como (x + 3 = 0 ) quando (x = -3 ), então -3 é um ponto crítico.

etapa 3. Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

Passo 4. Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator da expressão racional em cada intervalo. Abaixo da linha numérica, mostra o sinal do quociente.

Use valores em cada intervalo para determinar o valor de cada fator no intervalo. No intervalo (-3,1), zero é um bom valor para testar. Por exemplo, quando (x = 0 ) então (x-1 = -1 ) e (x + 3 = 3 ) O fator (x-1 ) é marcado como negativo e (x + 3 ) marcado como positivo. Como um negativo dividido por um positivo é negativo, o quociente é marcado como negativo nesse intervalo.

Etapa 5. Determine os intervalos em que a desigualdade está correta. Escreva a solução em notação de intervalo.

Queremos que o quociente seja maior ou igual a zero, então os números nos intervalos ((- infty, -3) ) e ((1, infty) ) são soluções. Como 3 deve ser excluído, pois torna a expressão racional 0, não podemos incluí-lo na solução. Podemos incluir 1 em nossa solução.

[(- infty, -3) cup [1, infty) nonumber ]

Multiplique ambos os lados pelo LCD, 400. Remova os fatores comuns de cada lado. Simplifique, mas não multiplique à esquerda. Observe qual será a próxima etapa.

[16 cdot 5 = 5 a nonumber ]

Resolva para (a ).

[ begin {alinhados} dfrac {16 cdot 5} {5} & = dfrac {5 a} {5} 16 & = a end {alinhados} nonumber ]

Verificar. A resposta é razoável? Escreva uma frase completa.

O pediatra prescreveria 16 ml de paracetamol para Zoe.

Exercício ( PageIndex {3} )

Os pediatras prescrevem 5 mililitros (ml) de paracetamol para cada 25 libras de peso de uma criança. Quantos mililitros de paracetamol o médico receitará para Emilia, que pesa 60 quilos?

Responder

O pediatra vai prescrever 12 ml de paracetamol para Emilia.

Exercício ( PageIndex {4} )

Para cada 1 quilograma (kg) de peso de uma criança, os pediatras prescrevem 15 miligramas (mg) de um redutor de febre. Se Isabella pesar 12 kg, quantos miligramas do redutor de febre o pediatra prescreverá?

Responder

O pediatra vai prescrever 180 mg de redutor de febre para Isabella.

Resolva aplicativos de figuras semelhantes

Quando você encolhe ou amplia uma foto em um telefone ou tablet, calcula uma distância em um mapa ou usa um padrão para construir uma estante de livros ou costurar um vestido, você está trabalhando com figuras semelhantes. Se duas figuras tiverem exatamente a mesma forma, mas tamanhos diferentes, elas serão semelhantes. Um é um modelo em escala do outro. Todos os ângulos correspondentes têm as mesmas medidas e os lados correspondentes têm a mesma proporção.

Figuras semelhantes

Duas figuras são semelhantes se as medidas de seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes têm a mesma proporção.

Por exemplo, os dois triângulos na Figura abaixo são semelhantes. Cada lado de ( Delta ABC ) tem quatro vezes o comprimento do lado correspondente de ( Delta XYZ ).

Isso se resume na Propriedade dos Triângulos Similares.

Propriedade de Triângulos Similares

Se ( Delta ABC ) for semelhante a ( Delta XYZ ), então a medida do ângulo correspondente é igual e os lados correspondentes têm a mesma proporção.

Para resolver aplicativos com figuras semelhantes, seguiremos a Estratégia de Solução de Problemas para Aplicativos de Geometria que usamos anteriormente.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Em um mapa, São Francisco, Las Vegas e Los Angeles formam um triângulo. A distância entre as cidades é medida em polegadas. A figura abaixo à esquerda representa o triângulo formado pelas cidades no mapa. Se a distância real de Los Angeles a Las Vegas for 270 milhas, calcule a distância de Los Angeles a San Francisco.

Solução

Como os triângulos são semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais.

Ler o problema. Desenhe as figuras e identifique-as com as informações fornecidas. As figuras são mostradas acima.

Identificar o que procuramos: a distância real de Los Angeles a São Francisco

Nome as variáveis: Let (x ) = distância de Los Angeles a San Francisco.

Traduzir em uma equação. Como os triângulos são semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais. Faremos os numeradores “milhas” e os denominadores “polegadas”.

[$ dfrac {x text {miles}} {1,3 text {polegadas}} = dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} $ nonumber ]

Resolver a equação.

[ begin {alinhados} 1,3 left ( dfrac {x} {1,3} right) & = 1,3 left ( dfrac {270} {1} right) x & = 351 end {alinhados} nenhum número ]

Verificar. No mapa, a distância de Los Angeles a San Francisco é maior do que a distância de Los Angeles a Las Vegas. Como 351 é mais de 270, a resposta faz sentido.

Verifique (x = 351 ) na proporção original. Use uma calculadora.

[ begin {alinhados} dfrac {x text {miles}} {1,3 text {inch}} & = dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} dfrac { 351 text {miles}} {1,3 text {inch}} & overset {?} {=} Dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} dfrac {270 text {milhas}} {1 text {inch}} & = dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} surd end {alinhados} nonumber ]

Responder a pergunta: A distância de Los Angeles a São Francisco é de 351 milhas.

No mapa, Seattle, Portland e Boise formam um triângulo. A distância real de Seattle a Boise é de 400 milhas.

Exercício ( PageIndex {5} )

Encontre a distância real de Seattle a Portland.

Responder

A distância é de 150 milhas.

Exercício ( PageIndex {6} )

Encontre a distância real de Portland a Boise.

Responder

A distância é de 350 milhas.

Podemos usar números semelhantes para encontrar alturas que não podemos medir diretamente.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Tyler tem quase 2 metros de altura. No final da tarde, sua sombra tinha 2,5 metros de comprimento. Ao mesmo tempo, a sombra de uma árvore tinha 7 metros de comprimento. Encontre a altura da árvore.

Solução

Leia o problema e desenhe uma figura. Estamos procurando (h ), a altura da árvore.

Usaremos triângulos semelhantes para escrever uma equação. O triângulo pequeno é semelhante ao triângulo grande.

[ dfrac {h} {24} = dfrac {6} {8} não numérico ]

Resolva a proporção.

[ begin {alinhados} 24 left ( dfrac {6} {8} right) & = 24 left ( dfrac {h} {24} right) 18 & = h end {alinhados} nenhum número ]

Simplificar. Verificar.

A altura de Tyler é menor que o comprimento de sua sombra, então faz sentido que a altura da árvore seja menor que o comprimento de sua sombra. Verifique (h = 18 ) na proporção original.

[ begin {align} & dfrac {6} {8} = dfrac {h} {24} & dfrac {6} {8} overset {?} {=} dfrac {18} { 24} & dfrac {3} {4} = dfrac {3} {4} surd end {alinhado} não numérico ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Um poste de telefone projeta uma sombra de 15 metros de comprimento. Perto dali, um sinal de trânsito de 2,5 metros projeta uma sombra de 3 metros de comprimento. Qual é a altura do poste telefônico?

Responder

O poste telefônico tem 12 metros de altura.

Exercício ( PageIndex {8} )

Um pinheiro projeta uma sombra de 24 metros próximo a um edifício de 30 metros de altura que projeta uma sombra de 12 metros. Qual é a altura do pinheiro?

Responder

O pinheiro tem 18 metros de altura.

Resolva aplicativos de movimento uniforme

Resolvemos problemas de movimento uniforme usando a fórmula (D = r t ) nos capítulos anteriores. Utilizamos uma tabela como a seguinte para organizar as informações e nos conduzir à equação.

Taxa ( cdot ) Tempo = Distância

A fórmula (D = r t ) assume que sabemos (r ) e (t ) e os usamos para encontrar (D ). Se sabemos (D ) e (r ) e precisamos encontrar (t ), resolveríamos a equação para (t ) e obteríamos a fórmula (t = dfrac {D} {r } ).

Também explicamos como voar com ou contra o vento afeta a velocidade de um avião. Vamos revisitar essa ideia no próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Um avião pode voar 200 milhas com um vento de frente de 30 mph no mesmo tempo que leva para voar 300 milhas com um vento de 30 mph. Qual é a velocidade do avião?

Solução

Esta é uma situação de movimento uniforme. Um diagrama nos ajudará a visualizar a situação.

Preenchemos o quadro para organizar as informações.

Estamos procurando a velocidade do avião. Seja (r ) = a velocidade do avião.

Quando o avião voa com o vento, o vento aumenta sua velocidade e então a taxa é (r + 30 ).

Quando o avião voa contra o vento, o vento diminui sua velocidade e a taxa é (r - 30 ).

Escreva nas taxas. Escreva nas distâncias. Como (D = r cdot t ), resolvemos para (t ) e obtemos (t = dfrac {D} {r} ). Dividimos a distância pela taxa em cada linha e colocamos a expressão na coluna de tempo.

Taxa ( cdot ) Tempo = Distância
Vento contrário (r-30 ) ( dfrac {200} {r-30} )200
Tailwind (r + 30 ) ( dfrac {300} {r + 30} )300

Sabemos que os tempos são iguais e então escrevemos nossa equação.

[ dfrac {200} {r-30} = dfrac {300} {r + 30} não número ]

Multiplicamos ambos os lados pelo LCD.

[(r + 30) (r-30) left ( frac {200} {r-30} right) = (r + 30) (r-30) left ( frac {300} {r + 30} right) nonumber ]

Simplifique e resolva.

[ begin {alinhado} (r + 30) (200) & = (r-30) 300 200 r + 6000 & = 300 r-9000 15000 & = 100 r end {alinhado} nonumber ]

Verificar.

É (150 mathrm {mph} ) uma velocidade razoável para um avião? sim. Se o avião estiver viajando (150 mathrm {mph} ) e o vento for (30 mathrm {mph} ),

[ text {Tailwind} quad 150 + 30 = 180 mathrm {mph} quad dfrac {300} {180} = dfrac {5} {3} text {horas} nonumber ]

[ text {Headwind} 150-30 = 120 mathrm {mph} dfrac {200} {120} = dfrac {5} {3} text {hours} nonumber ]

Os tempos são iguais, por isso verifica. O avião estava viajando (150 mathrm {mph} ).

Exercício ( PageIndex {9} )

Link pode pedalar sua bicicleta a 20 milhas em um vento contrário de 3 mph no mesmo período de tempo que ele pode pedalar 30 milhas com um vento de 3 mph. Qual é a velocidade de ciclismo de Link?

Responder

A velocidade de bicicleta de Link é de 15 mph.

Exercício ( PageIndex {10} )

Danica pode navegar seu barco a 5 milhas em um vento contrário de 7 mph no mesmo período de tempo que ela pode navegar 12 milhas com um vento de cauda de 7 mph. Qual é a velocidade do barco de Danica sem vento?

Responder

A velocidade do barco de Danica é de 17 mph.

No próximo exemplo, saberemos o tempo total resultante de viajar distâncias diferentes em velocidades diferentes.

Exemplo ( PageIndex {6} )

Jazmine treinou por 3 horas no sábado. Ela correu 8 milhas e depois pedalou 24 milhas. Sua velocidade de bicicleta é 4 mph mais rápida do que sua velocidade de corrida. Qual é a velocidade de corrida dela?

Solução

Esta é uma situação de movimento uniforme. Um diagrama nos ajudará a visualizar a situação.

Preenchemos o quadro para organizar as informações. Estamos procurando a velocidade de execução do Jazmine. Let (r ) = velocidade de execução do Jazmine.

Sua velocidade de bicicleta é 6,4 km mais rápida do que sua velocidade de corrida. (r + 4 ) = sua velocidade de bicicleta

As distâncias são fornecidas, insira-as no gráfico. Como (D = r cdot t ), resolvemos para (t ) e obtemos (t = dfrac {D} {r} ).Dividimos a distância pela taxa em cada linha e colocamos a expressão na coluna de tempo.

Taxa ( cdot ) Tempo = Distância
Corre (r ) ( dfrac {8} {r} )8
Bicicleta (r + 4 ) ( dfrac {24} {r + 4} )24
3

Escreva uma frase: O tempo dela mais o tempo de bicicleta é de 3 horas.

Traduza a frase para obter a equação.

[ dfrac {8} {r} + dfrac {24} {r + 4} = 3 não numérico ]

Resolver.

[ begin {alinhado}
r (r + 4) left ( dfrac {8} {r} + dfrac {24} {r + 4} right) & = 3 cdot r (r + 4)
8 (r + 4) +24 r & = 3 r (r + 4)
8 r + 32 + 24 r & = 3 r ^ {2} +12 r
32 + 32 r & = 3 r ^ {2} +12 r
0 & = 3 r ^ {2} -20 r-32
0 & = (3 r + 4) (r-8)
end {alinhado} nonumber ]

[ begin {array} {lc} {(3 r + 4) = 0} & {(r-8) = 0} cancel {r = dfrac {4} {3}} quad & { r = 8} end {array} nonumber ]

Verificar.

Uma velocidade negativa não faz sentido neste problema, então (r = 8 ) é a solução.

8 mph é uma velocidade de corrida razoável? sim.

Se a taxa de corrida de Jazmine for 4, então sua taxa de bicicleta, (r + 4 ), que é (8 + 4 = 12 ).

[ text {Run} 8 mathrm {mph} quad dfrac {8 mathrm {miles}} {8 mathrm {mph}} = 1 text {hour} nonumber ]

[ text {Bike} 12 text {mph} quad dfrac {24 text {miles}} {12 mathrm {mph}} = 2 text {horas} nonumber ]

A velocidade de execução de Jazmine é de 8 mph.

Exercício ( PageIndex {11} )

Dennis foi esqui cross-country por 6 horas no sábado. Ele esquiou 20 milhas morro acima e depois 20 milhas de volta morro abaixo, retornando ao seu ponto de partida. Sua velocidade na subida era de 8 km / h mais lenta do que na descida. Qual foi a velocidade de Dennis subindo e sua velocidade descendo?

Responder

A velocidade de subida de Dennis foi de 10 mph e sua velocidade de descida foi de 5 mph.

Exercício ( PageIndex {12} )

Joon dirigiu 4 horas para sua casa, dirigindo 208 milhas na interestadual e 40 milhas em estradas rurais. Se ele dirigisse 15 mph mais rápido na interestadual do que nas estradas do interior, qual era sua taxa nas estradas do interior?

Responder

A taxa de Joon nas estradas secundárias é de 50 mph.

Mais uma vez, usaremos a fórmula de movimento uniforme resolvida para a variável (t ).

Exemplo ( PageIndex {7} )

Hamilton pedalou sua bicicleta morro abaixo por 12 milhas na trilha do rio de sua casa até o oceano e depois subiu a colina para voltar para casa.Sua velocidade de subida foi de 8 milhas por hora mais lenta do que sua velocidade de descida. Ele levou 2 horas a mais para chegar em casa do que para chegar ao oceano. Encontre a velocidade em declive de Hamilton.

Solução

Esta é uma situação de movimento uniforme. Um diagrama nos ajudará a visualizar a situação.

Preenchemos o quadro para organizar as informações.

Estamos procurando a velocidade de descida de Hamilton. Seja (h ) = velocidade em declive de Hamilton.

Sua velocidade de subida é 8 milhas por hora mais lenta. (h-8 ) = velocidade ascendente de Hamilton.

Insira as taxas no gráfico.

A distância é a mesma em ambas as direções: 12 milhas.

Como (D = r cdot t ), resolvemos para (t ) e obtemos (t = dfrac {D} {r} ). Dividimos a distância pela taxa em cada linha e colocamos a expressão na coluna de tempo.

Taxa ( cdot ) Tempo = Distância
Morro abaixo (h ) ( dfrac {12} {h} )12
Subida (h-8 ) ( dfrac {12} {h-8} )12

Escreva uma frase sobre a linha: Ele levou 2 horas a mais subindo do que descendo. O tempo de subida é 2 a mais que o tempo de descida.

Traduza a frase para obter a equação.

[ dfrac {12} {h-8} = dfrac {12} {h} +2 não numérico ]

Resolver.

[ begin {alinhado}
h (h-8) left ( dfrac {12} {h-8} right) & = h (h-8) left ( dfrac {12} {h} +2 right)
12 h & = 12 (h-8) +2 h (h-8)
12 h & = 12 h-96 + 2 h ^ {2} -16 h
0 & = 2 h ^ {2} -16 h-96
0 & = 2 esquerda (h ^ {2} -8 h-48 direita)
0 & = 2 (h-12) (h + 4)
end {alinhado} nonumber ]

[ begin {array} {lc} h-12 = 0 & h + 4 = 0 h = 12 & cancel {h = 4} end {array} nonumber ]

Verificar. É (12 mathrm {mph} ) uma velocidade razoável para descer de bicicleta? sim.

[ text {Downhill} 12 mathrm {mph} quad dfrac {12 text {miles}} {12 mathrm {mph}} = 1 text {hour} nonumber ]

[ text {Uphill} 12-8 = 4 mathrm {mph} quad dfrac {12 text {miles}} {4 mathrm {mph}} = 3 text {hours} nonumber ]

O tempo de subida é 2 horas a mais que o tempo de descida.

A velocidade de descida de Hamilton é (12 mathrm {mph} ).

Exercício ( PageIndex {13} )

Kayla dirigiu sua bicicleta 120 quilômetros para casa depois da faculdade em um fim de semana e depois pegou o ônibus de volta para a faculdade. Demorou 2 horas a menos para voltar para a faculdade no ônibus do que para voltar para casa de bicicleta, e a velocidade média do ônibus era de 10 milhas por hora mais rápida do que a velocidade de bicicleta de Kayla. Encontre a velocidade de ciclismo de Kayla.

Responder

A velocidade de ciclismo de Kayla era de 15 mph.

Exercício ( PageIndex {14} )

Victoria corre por 19 quilômetros até o parque ao longo de uma trilha plana e depois retorna correndo em uma trilha acidentada de 32 quilômetros. Ela corre 1 milha por hora mais devagar na trilha acidentada do que na trilha plana, e sua viagem de volta leva duas horas a mais. Encontre sua velocidade de corrida na trilha plana.

Responder

Victoria correu 6 mph na trilha plana.

Resolva aplicativos de trabalho

A revista semanal de fofocas tem uma grande história sobre o bebê da princesa e o editor quer que a revista seja impressa o mais rápido possível. Ela pediu à impressora para operar uma impressora extra para fazer a impressão mais rapidamente. Pressione # 1 para fazer o trabalho 6 horas e pressione # 2 para 12 horas para fazer o trabalho. Quanto tempo a impressora levará para imprimir a revista com as duas impressoras funcionando juntas?

Este é um típico aplicativo de 'trabalho'. Há três quantidades envolvidas aqui - o tempo que cada uma das duas impressoras levaria para fazer o trabalho sozinha e o tempo que levaria para fazerem o trabalho juntas.

Se a imprensa # 1 puder concluir o trabalho em 6 horas, em uma hora ele concluirá ( dfrac {1} {6} ) do trabalho.

Se a imprensa # 2 puder concluir o trabalho em 12 horas, em uma hora ele completará ( dfrac {1} {12} ) do trabalho.

Vamos deixar que (t ) seja o número de horas que as impressoras levariam para imprimir as revistas com ambas as impressoras funcionando juntas. Então, em 1 hora trabalhando juntos, eles concluíram ( dfrac {1} {t} ) do trabalho.

Podemos modelar isso com a palavra equação e, em seguida, traduzir para uma equação racional. Para encontrar o tempo que as impressoras levariam para concluir o trabalho se trabalhassem juntas, resolvemos (t ).

Siga as etapas para organizar as informações. Estamos procurando quantas horas seriam necessárias para concluir o trabalho com as duas impressoras funcionando juntas.

Passo 1: Let (t ) = o número de horas necessárias para completar o trabalho juntos.

Passo 2: Insira as horas por trabalho para Pressione # 1, Pressione # 2 e quando eles trabalharem juntos.

Se um trabalho na Pressione # 1 levar 6 horas, em 1 hora ( dfrac {1} {6} ) do trabalho será concluído.

Da mesma forma, encontre a parte do trabalho concluída / horas para a imprensa # 2 e quando os dois juntos.

Número de horas para concluir o trabalho.Parte do trabalho concluído / hora
Pressione # 16 ( dfrac {1} {6} )
Pressione # 212 ( dfrac {1} {12} )
Junto (t ) ( dfrac {1} {t} )

Escreva uma frase de palavra. A parte concluída pela Pressione # 1 mais a parte concluída pela Pressione # 2 é igual à quantidade concluída juntos.

etapa 3: Traduza para uma equação.

[ text {Trabalho concluído por} underbrace { text {Pressione} # 1 + text {Pressione} # 2 = text {Juntos}} dfrac {1} {6} qquad + qquad dfrac {1} {12} qquad = qquad dfrac {1} {t} nonumber ]

Passo 4: Resolver. Simplificar.

[ dfrac {1} {6} + dfrac {1} {12} = dfrac {1} {t} nonumber ]

Multiplique pelo LCD, (12t ) e simplifique.

[ begin {alinhado}
12 t left ( dfrac {1} {6} + dfrac {1} {12} right) & = 12 t left ( dfrac {1} {t} right)
2 t + t & = 12
3 t & = 12
t & = 4
end {alinhado} nonumber ]

Quando ambas as impressoras estão funcionando, o trabalho leva 4 horas.

Lembre-se de que deve levar menos tempo para duas impressoras concluírem um trabalho trabalhando juntas do que para qualquer uma delas fazer isso sozinha.

Exemplo ( PageIndex {8} )

Suponha que Pete possa pintar uma sala em 10 horas. Se ele trabalhar em um ritmo constante, em 1 hora ele pintará ( dfrac {1} {10} ) da sala. Se Alicia levasse 8 horas para pintar a mesma sala, em 1 hora ela pintaria ( dfrac {1} {8} ) da sala. Quanto tempo levaria para Pete e Alicia pintar a sala se eles trabalhassem juntos (e não interferissem no progresso um do outro)?

Solução

Este é um aplicativo de 'trabalho'. As etapas abaixo nos ajudarão a organizar as informações. Estamos procurando o número de horas que levarão para pintar o quarto juntos.

Em uma hora, Pete fez ( dfrac {1} {10} ) do trabalho. Alicia fez ( dfrac {1} {8} ) do trabalho. E juntos eles fizeram ( dfrac {1} {t} ) do trabalho.

Passo 1: Seja (t ) o número de horas necessárias para pintar o quarto juntos.

Passo 2: Insira as horas por trabalho para Pete, Alicia e quando eles trabalham juntos. Em 1 hora trabalhando juntos, eles concluíram ( dfrac {1} {t} ) do trabalho. Da mesma forma, encontre a parte do trabalho concluída / hora por Pete e, em seguida, por Alicia.

Número de horas para concluir o trabalho.Parte do trabalho concluído / hora
Pete10 ( dfrac {1} {10} )
Alicia8 ( dfrac {1} {8} )
Junto (t ) ( dfrac {1} {t} )

Escreva uma frase de palavra. O trabalho concluído por Pete mais o trabalho concluído por Alicia é igual ao trabalho total concluído.

etapa 3: Traduza para uma equação.

[ text {Trabalho concluído por} underbrace { text {Pete} + text {Alicia} = text {Together}} dfrac {1} {10} qquad + qquad dfrac {1 } {8} qquad = qquad dfrac {1} {t} nonumber ]

Passo 4: Simplificar. Resolver.

Multiplique pelo LCD, (40t ).

[40 t left ( dfrac {1} {10} + dfrac {1} {8} right) = 40 t left ( dfrac {1} {t} right) nonumber ]

Distribuir.

[40 t cdot dfrac {1} {10} +40 t cdot dfrac {1} {8} = 40 t left ( dfrac {1} {t} right) nonumber ]

Simplifique e resolva.

[ begin {array} {r}
{4 t + 5 t = 40}
{9 t = 40}
{t = dfrac {40} {9}}
end {array} nonumber ]

Vamos escrever como um número misto para que possamos convertê-lo em horas e minutos.

[t = 4 dfrac {4} {9} text {horas} nonumber ]

Lembre-se, 1 hora = 60 minutos.

[t = 4 text {hours} + dfrac {4} {9} (60 text {minutes}) nonumber ]

Multiplique e arredonde para o minuto mais próximo.

[t = 4 texto {horas} +27 texto {minutos} não número ]

Pete e Alica levariam cerca de 4 horas e 27 minutos para pintar o quarto.

Exercício ( PageIndex {15} )

Um jardineiro pode cortar a grama de um campo de golfe em 4 horas, enquanto outro jardineiro pode cortar a grama do mesmo campo de golfe em 6 horas. Quanto tempo demoraria se os dois jardineiros trabalhassem juntos para cortar o campo de golfe?

Responder

Quando os dois jardineiros trabalham juntos, leva 2 horas e 24 minutos.

Exercício ( PageIndex {16} )

Daria consegue capinar o jardim em 7 horas, enquanto sua mãe consegue em 3. Quanto tempo vai levar as duas trabalhando juntas?

Responder

Quando Daria e sua mãe trabalham juntas, leva 2 horas e 6 minutos.

Exemplo ( PageIndex {9} )

Ra'shon pode limpar a casa em 7 horas. Quando sua irmã o ajuda, leva 3 horas. Quanto tempo leva para sua irmã limpar a casa sozinha?

Solução

Este é um problema de trabalho. Estamos procurando quantas horas a irmã de Ra'shon levaria para completar o trabalho sozinha.

Passo 1: Seja (s ) o número de horas que a irmã de Ra'shon leva para limpar a casa sozinha.

Passo 2: Insira as horas por trabalho para Ra'shon, sua irmã, e quando eles trabalham juntos. Se Ra’shon levar 7 horas, em 1 hora ( dfrac {1} {s} ) do trabalho será concluído. Se a irmã de Ra’shon leva (s ) horas, então em 1 hora ( dfrac {1} {s} ) do trabalho é concluído.

Número de horas para concluir o trabalho.Parte do trabalho concluído / hora
Ra'shon7 ( dfrac {1} {7} )
Irmã dele (s ) ( dfrac {1} {s} )
Junto3 ( dfrac {1} {3} )

Escreva uma frase de palavra. A parte concluída por Ra'shon mais a parte por sua irmã é igual à quantidade concluída juntos.

etapa 3: Traduza para uma equação.

[ text {Trabalho concluído por} underbrace { text {Ra'shon} + text {Sua irmã} = text {Juntos}} dfrac {1} {7} qquad + qquad dfrac {1} {s} qquad = qquad dfrac {1} {3} nonumber ]

Passo 4: Simplificar. Resolver.

[ dfrac {1} {7} + dfrac {1} {5} = dfrac {1} {3} nonumber ]

Multiplique pelo LCD, 21s.

[ begin {alinhado}
21 s left ( dfrac {1} {7} + dfrac {1} {s} right) & = left ( dfrac {1} {3} right) 21 s
3 s + 21 & = 7 s
end {alinhado} nonumber ]

Simplificar.

[ begin {alinhado}
-4 s & = - 21
s & = frac {-21} {- 4} = frac {21} {4}
end {alinhado} nonumber ]

Escreva como um número misto para convertê-lo em horas e minutos.

[s = 5 dfrac {1} {4} text {horas} nonumber ]

São 60 minutos em 1 hora.

[s = 5 text {hours} + dfrac {1} {4} (60 text {minutes}) s = 5 text {hours} +15 text {minutes} nonumber ]

A irmã de Ra'shon levaria 5 horas e 15 minutos para limpar a casa sozinha.

Exercício ( PageIndex {17} )

Alice pode pintar um quarto em 6 horas. Se Kristina a ajudar, eles demoram 4 horas para pintar o quarto. Quanto tempo levaria para Kristina pintar o quarto sozinha?

Responder

Kristina pode pintar o quarto em 12 horas.

Exercício ( PageIndex {18} )

Tracy pode colocar uma laje de concreto em 3 horas, com a ajuda de Jordan, eles podem fazer isso em 2 horas. Se Jordan trabalhar sozinho, quanto tempo vai demorar?

Responder

Jordan levará 6 horas.

Resolva Problemas de Variação Direta

Quando duas quantidades estão relacionadas por uma proporção, dizemos que elas são proporcionais entre si. Outra forma de expressar essa relação é falar sobre a variação das duas quantidades. Discutiremos a variação direta e a variação inversa nesta seção.

Lindsay recebe US $ 15 por hora em seu trabalho. Se deixarmos (s ) ser o salário eh o número de horas que ela trabalhou, poderíamos modelar esta situação com a equação

[s = 15 h nonumber ]

O salário de Lindsay é o produto de uma constante, 15, e o número de horas que ela trabalha. Dizemos que o salário de Lindsay varia diretamente com o número de horas que ela trabalha. Duas variáveis ​​variam diretamente se uma for o produto de uma constante e a outra.

Variação Direta

Para quaisquer duas variáveis ​​ (x ) e (y ), (y ) varia diretamente com (x ) se

(y = kx ), onde (k neq 0 )

A constante (k ) é chamada de constante de variação.

Em aplicações que usam variação direta, geralmente saberemos os valores de um par de variáveis ​​e seremos solicitados a encontrar a equação que relaciona (x ) e (y ). Então, podemos usar essa equação para encontrar valores de (y ) para outros valores de (x ).

Listaremos as etapas aqui.

Como resolver problemas de variação direta

Passo 1. Escreva a fórmula para variação direta.

Passo 2. Substitua os valores fornecidos pelas variáveis.

etapa 3. Resolva a constante de variação.

Passo 4. Escreva a equação que relaciona (x ) e (y ) usando a constante de variação.

Agora vamos resolver uma aplicação de variação direta.

Exemplo ( PageIndex {10} )

Quando Raoul corre na esteira da academia, o número de calorias, (c ), ele queima varia diretamente com o número de minutos, (m ), ele usa a esteira. Ele queimou 315 calorias quando usou a esteira por 18 minutos.

  1. Escreva a equação que relaciona (c ) e (m ).
  2. Quantas calorias ele queimaria se corresse na esteira por 25 minutos?

Solução

    O número de calorias, (c ), varia diretamente com o número de minutos, (m ), na esteira, e (c = 315 ) quando (m = 18 ).

    Escreva a fórmula para variação direta.

    [y = kx nonumber ]

    Usaremos (c ) no lugar de (y ) e (m ) no lugar de (x ).

    [c = k m não numérico ]

    Substitua os valores fornecidos pelas variáveis.

    [315 = k cdot 18 nonumber ]

    Resolva a constante de variação.

    [ begin {alinhado}
    & dfrac {315} {18} = dfrac {k cdot 18} {18}
    & 17,5 = k
    end {alinhado} nonumber ]

    Escreva a equação que relaciona (c ) e (m ).

    [c = k m não numérico ]

    Substitua na constante de variação.

    [c = 17,5 m não numérico ]

      Escreva a equação que relaciona (c ) e (m ).

      [c = 17,5 m não numérico ]

      Substitua o valor fornecido por (m ).

      [c = 17,5 (25) não numérico ]

      Simplificar.

      [c = 437,5 não numérico ]

      Raoul queimaria 437,5 calorias se usasse a esteira por 25 minutos.

      Exercício ( PageIndex {19} )

      O número de calorias, (c ), queimadas varia diretamente com a quantidade de tempo, (t ), gasto com exercícios. Arnold queimou 312 calorias em 65 minutos de exercícios.

      1. Escreva a equação que relaciona (c ) e (t ).
      2. Quantas calorias ele queimaria se se exercitasse por 90 minutos?
      Responder
      1. (c = 4,8 t )
      2. Ele queimaria 432 calorias.

      Exercício ( PageIndex {20} )

      A distância que um corpo em movimento viaja, (d ), varia diretamente com o tempo, (t ), ele se move. Um trem viaja 100 milhas em 2 horas.

      1. Escreva a equação que relaciona (d ) e (t ).
      2. Quantas milhas ele viajaria em 5 horas?
      Responder
      1. (d = 50 t )
      2. Ele viajaria 250 milhas.

      Resolva Problemas de Variação Inversa

      Muitos aplicativos envolvem duas variáveis ​​que variam inversamente. À medida que uma variável aumenta, a outra diminui. A equação que os relaciona é (y = dfrac {k} {x} )

      Variação Inversa

      Para quaisquer duas variáveis ​​ (x ) e (y ), (y ) varia inversamente com (x ) se

      (y = dfrac {k} {x} ), onde (k neq 0 )

      A constante (k ) é chamada de constante de variação.

      A palavra 'inverso' na variação inversa refere-se ao inverso multiplicativo. O inverso multiplicativo de (x ) é ( dfrac {1} {x} ).

      Resolvemos problemas de variação inversa da mesma forma que resolvemos problemas de variação direta. Apenas a forma geral da equação mudou. Vamos copiar a caixa de procedimento aqui e apenas alterar "direto" para "inverso".

      como resolver problemas de variação inversa

      Passo 1. Escreva a fórmula para a variação inversa.

      Passo 2. Escreva a equação que relaciona (x ) e (y ) usando a constante de variação.

      Exemplo ( PageIndex {11} )

      A frequência de uma corda de violão varia inversamente com seu comprimento. Uma corda de 26 pol. De comprimento tem uma frequência de 440 vibrações por segundo.

      1. Escreva a equação de variação.
      2. Quantas vibrações por segundo haverá se o comprimento da corda for reduzido para 20 polegadas, colocando um dedo em uma casa?

      Solução

        A frequência varia inversamente com o comprimento.

        Nomeie as variáveis. Seja (f ) = frequência. (L ) = comprimento

        Escreva a fórmula para a variação inversa.

        [y = dfrac {k} {x} nonumber ]

        Usaremos (f ) no lugar de (y ) e (L ) no lugar de (x ).

        [f = dfrac {k} {L} não numérico ]

        [f = 440 texto {quando} L = 26 não numérico ]

        Substitua os valores fornecidos pelas variáveis.

        [440 = dfrac {k} {26} não numérico ]

        Resolva a constante de variação.

        [ begin {alinhado}
        & 26 (440) = 26 left ( dfrac {k} {26} right)
        & 11.440 = k
        end {alinhado} nonumber ]

        Escreva a equação que relaciona (f ) e (L ).

        [f = dfrac {k} {L} não numérico ]

        Substitua a constante de variação.

        [f = dfrac {11.440} {L} não numérico ]

          Encontre (f ) quando (L = 20 ).

          Escreva a equação que relaciona (f ) e (L ).

          [f = dfrac {11.440} {L} não numérico ]

          Substitua o valor fornecido por L.

          [f = dfrac {11.440} {20} nonumber ]

          Simplificar.

          [f = 572 nonumber ]

          Uma corda de guitarra de 20 '' tem frequência de 572 vibrações por segundo.

          Exercício ( PageIndex {21} )

          O número de horas que leva para o gelo derreter varia inversamente com a temperatura do ar. Suponha que um bloco de gelo derreta em 2 horas, quando a temperatura é de 65 graus Celsius.

          1. Escreva a equação de variação.
          2. Quantas horas levaria para o mesmo bloco de gelo derreter se a temperatura fosse de 78 graus?
          Responder
          1. (h = dfrac {130} {t} )
          2. (1 dfrac {2} {3} ) horas

          Exercício ( PageIndex {22} )

          O novo negócio de Xander descobriu que a demanda diária por seu produto era inversamente proporcional ao preço, (p ). Quando o preço é $ 5, a demanda é de 700 unidades.

          1. Escreva a equação de variação.
          2. Qual é a demanda se o preço subir para $ 7?
          Responder
          1. (x = dfrac {3500} {p} )
          2. 500 unidades

          Acesse este recurso online para instrução adicional e prática com aplicações de expressões racionais

          • Aplicações de Expressões Racionais

          15.6: Resolva Aplicações com Equações Racionais - Matemática

          Resolvendo Equações Racionais e Aplicações

          · Verifique se há soluções estranhas.

          · Resolver problemas de aplicação envolvendo equações racionais.

          Equações que contêm expressões racionais são chamadas equações racionais. Por exemplo, é uma equação racional.

          Você pode resolver essas equações usando as técnicas para realizar operações com expressões racionais e os procedimentos para resolver equações algébricas. As equações racionais podem ser úteis para representar situações da vida real e encontrar respostas para problemas reais. Em particular, eles são muito bons para descrever as relações distância-velocidade-tempo e para modelar problemas de trabalho que envolvem mais de uma pessoa.

          Resolvendo Equações Racionais

          Um método para resolver equações racionais é reescrever as expressões racionais em termos de um denominador comum. Então, como você sabe que os numeradores são iguais, você pode resolver para a variável. Para ilustrar isso, vejamos uma equação muito simples.

          Como o denominador de cada expressão é o mesmo, os numeradores devem ser equivalentes. Isso significa que x = 2.

          Isso também é verdadeiro para equações racionais com polinômios.

          Uma vez que os denominadores de cada expressão racional são os mesmos, x + 4, os numeradores devem ser equivalentes para que a equação seja verdadeira. Então, x - 5 = 11 e x = 16.

          Assim como com outras equações algébricas, você pode verificar sua solução na equação racional original substituindo o valor da variável de volta na equação e simplificando.

          Quando os termos em uma equação racional têm denominadores diferentes, resolver a equação envolverá algumas etapas extras. Uma maneira de resolver equações racionais com denominadores diferentes é multiplicar ambos os lados da equação pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores de todas as frações contidas na equação. Isso elimina os denominadores e transforma a equação racional em uma equação polinomial. Aqui está um exemplo.

          Encontre o mínimo múltiplo comum (MMC) de 4 e 8. Lembre-se, para encontrar o MMC, identifique o maior número de vezes que cada fator aparece em cada fatoração. Aqui, 2 aparece 3 vezes, então 2 • 2 • 2, ou 8, será o LCM.

          O MMC de 4 e 8 também é o menor denominador comum para as duas frações.

          Multiplique ambos os lados da equação pelo denominador comum, 8, para manter a equação equilibrada e eliminar os denominadores.

          Simplifique e resolva para x.

          Verifique a solução substituindo 9 por x na equação original.

          Outra maneira de resolver uma equação racional com denominadores diferentes é reescrever cada termo com um denominador comum e, em seguida, apenas criar uma equação a partir dos numeradores. Isso funciona porque se os denominadores forem iguais, os numeradores devem ser iguais. O próximo exemplo mostra essa abordagem com a mesma equação que você acabou de resolver:

          Multiplique o lado direito da equação por para obter um denominador comum de 8. (Multiplicar por é o mesmo que multiplicar por 1, portanto, a equação permanece equilibrada.)

          Como os denominadores são iguais, os numeradores devem ser iguais para que a equação seja verdadeira. Resolva para x.

          Em alguns casos, você precisará realizar algumas etapas adicionais para encontrar um denominador comum. Considere o exemplo abaixo, que ilustra o uso do que você sabe sobre denominadores para reescrever uma das expressões na equação.

          Reescreva a expressão usando um denominador comum.

          Como o denominador de cada expressão é 3, os numeradores devem ser iguais.

          Verifique a solução na equação original.

          Você também pode resolver esse problema multiplicando cada termo na equação por 3 para eliminar todas as frações. Aqui está como ficaria.

          Ambas as frações na equação têm um denominador de 3. Multiplique ambas lados da equação (não apenas as frações!) por 3 para eliminar os denominadores.

          Aplique a propriedade distributiva e multiplique 3 por cada termo entre parênteses. Em seguida, simplifique e resolva para x.

          Valores excluídos e soluções irrelevantes

          Algumas expressões racionais têm uma variável no denominador. Quando for esse o caso, há uma etapa extra para resolvê-los. Como a divisão por 0 é indefinida, você deve excluir os valores da variável que resultariam em um denominador de 0. Esses valores são chamados valores excluídos. Vejamos um exemplo.

          Resolva a equação .

          5 é um valor excluído porque torna o denominador x - 5 igual a 0.

          Determine quaisquer valores para x isso tornaria o denominador 0.

          Como o denominador de cada expressão da equação é o mesmo, os numeradores devem ser iguais. Defina os numeradores iguais uns aos outros e resolva para x.

          Verifique a solução na equação original.

          Forneça os valores excluídos para. Não resolva.

          Incorreta. Os valores excluídos são aqueles valores da variável que resultam em 0 no denominador, não no numerador. A resposta correta é -2,2.

          Incorreta. 2 é um valor excluído, mas −2 também resulta em 0 no denominador. A resposta correta é -2,2.

          Correto. −2 e 2, quando substituídos na equação, resultam em 0 no denominador. Como a divisão por 0 é indefinida, ambos os valores são excluídos da solução.

          Incorreta. Enquanto −2 e 2 são excluídos, 4 não é excluído porque não faz com que o denominador seja 0. A resposta correta é −2, 2.

          Vejamos um exemplo com um denominador mais complicado.

          Resolva a equação .

          3 é um valor excluído porque atinge o máximo

          -3 é um valor excluído porque faz

          Determine quaisquer valores para x isso tornaria o denominador 0.

          (x ‒ 3)(x + 3) é um múltiplo comum de x - 3 e x + 3, você pode multiplicar ambos os lados da equação por

          (x ‒ 3)(x + 3) para limpar o denominador da equação.

          Verifique a solução na equação original.

          Resolva a equação , m 0 ou 2

          Incorreta. Você provavelmente encontrou o denominador comum corretamente, mas se esqueceu de distribuí-lo quando estava simplificando. Você também se esqueceu de verificar sua solução ou de anotar os valores excluídos m ≠ 2 porque torna a expressão do lado direito indefinida. Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum resulta, então. A resposta correta é m = 8.

          Incorreta. , assim . A solução, 8, não é um valor excluído. A resposta correta é m = 8.

          Correto. Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum resulta, então. A resposta correta é m = 8.

          Você viu que há mais de uma maneira de resolver equações racionais. Como essas duas técnicas manipulam e reescrevem termos, às vezes elas podem produzir soluções que não funcionam na forma original da equação. Esses tipos de respostas são chamados soluções estranhas. É por isso que é sempre importante verificar todas as soluções nas equações originais - você pode descobrir que elas produzem declarações falsas ou produzem expressões indefinidas.

          -4 é um valor excluído porque torna m + 4 igual a 0.

          Determine quaisquer valores para m isso tornaria o denominador 0.

          Como o denominador de cada expressão da equação é o mesmo, os numeradores devem ser iguais. Defina os numeradores iguais uns aos outros e resolva para m.

          leva à divisão por 0.

          Verifique as soluções na equação original.

          Desde m = −4 leva à divisão por 0, é uma solução estranha.

          Resolvendo problemas de aplicativo

          Um “problema de trabalho” é um exemplo de situação da vida real que pode ser modelada e resolvida por meio de uma equação racional. Os problemas de trabalho geralmente pedem que você calcule quanto tempo levará diferentes pessoas trabalhando em diferentes velocidades para concluir uma tarefa. Os modelos algébricos de tais situações frequentemente envolvem equações racionais derivadas da fórmula de trabalho, W = rt. (Observe que a fórmula de trabalho é muito semelhante à relação entre distância, taxa e tempo, ou d = rt.) A quantidade de trabalho realizado (C) é o produto da taxa de trabalho (r) e o tempo gasto trabalhando (t) A fórmula de trabalho possui 3 versões.

          Alguns problemas de trabalho incluem várias máquinas ou pessoas trabalhando juntas em um projeto pelo mesmo período de tempo, mas em taxas diferentes. Nesse caso, você pode adicionar suas taxas de trabalho individuais para obter uma taxa de trabalho total. Vejamos um exemplo.

          Myra leva 2 horas para plantar 50 bulbos de flores. Francis leva 3 horas para plantar 45 bulbos de flores. Trabalhando juntos, quanto tempo levarão para plantar 150 lâmpadas?

          Pense em quantas lâmpadas cada pessoa pode plantar em uma hora. Esta é a taxa de plantio deles.

          Myra e Francis juntos:

          Combine suas taxas horárias para determinar a taxa com que trabalham juntos.

          Use uma das fórmulas de trabalho para escrever uma equação racional, por exemplo. Você sabe r, a taxa de trabalho combinada, e você sabe C, a quantidade de trabalho que deve ser feito. O que você não sabe é quanto tempo levará para fazer o trabalho necessário na taxa designada.

          Resolva a equação multiplicando ambos os lados pelo denominador comum e, em seguida, isolando t.

          Deve levar 3 horas e 45 minutos para Myra e Francis plantarem 150 bulbos juntos.

          Outros problemas de trabalho acontecem ao contrário. Você pode calcular quanto tempo uma pessoa levará para fazer um trabalho sozinha quando souber quanto tempo leva para que as pessoas trabalhem juntas para concluir o trabalho.

          Joe e John estão planejando pintar uma casa juntos. John acha que, se trabalhasse sozinho, demoraria 3 vezes mais tempo do que Joe para pintar a casa inteira. Trabalhando juntos, eles podem concluir o trabalho em 24 horas. Quanto tempo demoraria cada um deles, trabalhando sozinho, para concluir o trabalho?

          Deixar x = tempo que leva Joe

          3x = tempo que leva John

          Escolha variáveis ​​para representar as incógnitas. Uma vez que John leva 3 vezes mais tempo do que Joe para pintar a casa, seu tempo é representado como 3x.

          O trabalho é pintar 1 casa ou 1. Escreva uma expressão para representar a taxa de cada pessoa usando a fórmula

          Sua taxa combinada é a soma de suas taxas individuais. Use esta taxa para escrever uma nova equação usando a fórmula W = rt.

          O problema afirma que eles levam 24 horas juntos para pintar uma casa, então, se você multiplicar sua taxa horária combinada por 24, obterá 1, que é o número de casas que eles podem pintar em 24 horas.

          Agora resolva a equação para x. (Lembre-se disso x representa o número de horas que Joe levará para terminar o trabalho.)

          Verifique as soluções na equação original.

          A solução verifica. Desde x = 32, Joe leva 32 horas para pintar a casa sozinho. O tempo de John é 3x, por isso levaria 96 horas para fazer a mesma quantidade de trabalho.

          Demora 32 horas para Joe pintar a casa sozinho e 96 horas para John pintar a casa sozinho.

          Como mostrado acima, muitos problemas de trabalho podem ser representados pela equação, onde t é a hora de fazer o trabalho juntos, uma é o tempo que a pessoa A leva para fazer o trabalho, e b é o tempo que a pessoa B leva para fazer o trabalho. O 1 refere-se ao trabalho total realizado - neste caso, o trabalho era pintar 1 casa.

          A ideia principal aqui é descobrir a taxa de trabalho individual de cada trabalhador. Então, uma vez que essas taxas são identificadas, some-as, multiplique pelo tempo t, defina-o igual à quantidade de trabalho realizado e resolva a equação racional.

          Mari e Liam podem, cada um, lavar um carro e aspirar seu interior em 2 horas. Zach precisa de 3 horas para fazer o mesmo trabalho sozinho. Se Zach, Liam e Mari trabalharem juntos, quanto tempo levarão para limpar um carro?

          Incorreta. Parece que você dividiu uma hora por 3 para chegar aos 20 minutos. Lembre-se de que Zach está trabalhando em uma taxa diferente de Mari e Liam, então você não pode fazer divisão direta. A resposta correta é 45 minutos.

          Correto. De acordo com a fórmula, . Mari e Liam têm cada um uma tarifa de carro em uma hora, e a tarifa de Zach é uma tarifa de carro em uma hora. Trabalhando juntos, eles têm uma taxa de, ou. C é um carro, então a fórmula se torna =. Isso significa, então, e t = Leva três quartos de hora, ou 45 minutos, para limpar um carro.

          Incorreta. Mari e Liam limpam um carro em duas horas cada, não como uma equipe. Cada um deles tem uma tarifa de carro em uma hora, e a tarifa de Zach é uma tarifa de carro em uma hora. Trabalhando juntos, eles têm uma taxa de. A resposta correta é 45 minutos.

          Incorreta. Este é o tempo que levaria para Mari e Liam limparem um carro juntos. Já que Zach está ajudando, levará menos tempo do que isso. A resposta correta é 45 minutos.

          Você pode resolver equações racionais encontrando um denominador comum. Reescrevendo a equação para que todos os termos tenham o denominador comum, você pode resolver a variável usando apenas os numeradores. Ou você pode multiplicar ambos os lados da equação pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores para que todos os termos se tornem polinômios em vez de expressões racionais. As equações racionais podem ser usadas para resolver uma variedade de problemas que envolvem taxas, tempos e trabalho. O uso de expressões e equações racionais pode ajudá-lo a responder a perguntas sobre como combinar trabalhadores ou máquinas para concluir um trabalho dentro do cronograma.

          Uma etapa importante na resolução de equações racionais é rejeitar quaisquer soluções estranhas da resposta final. Soluções estranhas são soluções que não satisfazem a forma original da equação porque produzem declarações falsas ou são valores excluídos que tornam o denominador igual a 0.


          Problemas de movimento uniforme

          Movimento uniforme Descrito pela fórmula D = r t, onde a distância, D, é dado como o produto da taxa média, r, e a hora, t, viajou nessa taxa. problemas, também chamados de problemas de distância, envolvem a fórmula

          onde a distancia, D, é dado como o produto da taxa média, r, e a hora, t, viajou nessa taxa. Se dividirmos os dois lados pela taxa média, r, então obtemos a fórmula

          Por esse motivo, quando a quantidade desconhecida é o tempo, a configuração algébrica para problemas de distância geralmente resulta em uma equação racional. Da mesma forma, quando a quantidade desconhecida é a taxa, a configuração também pode resultar em uma equação racional.

          Começamos qualquer problema de movimento uniforme organizando primeiro nossos dados com um gráfico. Use essas informações para configurar uma equação algébrica que modela o aplicativo.

          Exemplo 5: Mary passou os primeiros 190 quilômetros de sua viagem no trânsito. Quando o tráfego ficou limpo, ela conseguiu dirigir duas vezes mais rápido pelos 300 milhas restantes. Se a viagem total durou 9 horas, então quão rápido ela estava se movendo no trânsito?

          Solução: Primeiro, identifique a quantidade desconhecida e organize os dados.

          Para evitar a introdução de mais duas variáveis ​​para a coluna de tempo, use a fórmula t = D r. Aqui, o tempo para cada trecho da viagem é calculado da seguinte forma:

          Use essas expressões para completar o gráfico.

          A configuração algébrica é definida pela coluna de tempo. Some os tempos de cada trecho da viagem para obter um total de 9 horas:

          Começamos a resolver esta equação multiplicando primeiro ambos os lados pelo LCD, 2x.

          Resposta: Maria teve uma média de 30 milhas por hora no trânsito.

          Exemplo 6: Um trem de passageiros pode viajar, em média, 20 milhas por hora mais rápido do que um trem de carga. Se o trem de passageiros cobre 390 milhas ao mesmo tempo que leva o trem de carga para cobrir 270 milhas, então qual é a velocidade de cada trem?

          Solução: Primeiro, identifique as quantidades desconhecidas e organize os dados.

          Em seguida, organize os dados fornecidos em um gráfico.

          Use a fórmula t = D r para preencher a coluna de tempo para cada trem.

          Como os trens viajam na mesma quantidade de tempo, conclua a configuração algébrica equacionando as expressões que representam os tempos:

          Resolva esta equação multiplicando primeiro ambos os lados pelo LCD, x (x + 20).

          Usar x + 20 para encontrar a velocidade do trem de passageiros.

          Resposta: A velocidade do trem de passageiros é de 65 milhas por hora e a velocidade do trem de carga é de 45 milhas por hora.

          Exemplo 7: Brett mora no rio, 8 milhas rio acima da cidade. Quando a corrente é de 2 milhas por hora, ele pode remar com seu barco rio abaixo até a cidade para pegar suprimentos e voltar em 3 horas. Qual é a sua velocidade média de remo em águas paradas?

          Remando rio abaixo, a corrente aumenta sua velocidade e sua taxa é x + 2 milhas por hora. Remando contra a corrente, a corrente diminui sua velocidade e sua taxa é x - 2 milhas por hora. Comece organizando os dados no seguinte gráfico:

          Use a fórmula t = D r para preencher a coluna de tempo para cada trecho da viagem.

          A configuração algébrica é definida pela coluna de tempo. Some os tempos de cada trecho da viagem para obter um total de 3 horas:

          Resolva esta equação multiplicando primeiro ambos os lados pelo LCD, (x + 2) (x - 2).

          Em seguida, resolva a equação quadrática resultante.

          Use apenas a solução positiva, x = 6 milhas por hora.

          Resposta: Sua velocidade de remo é de 6 milhas por hora.

          Experimente isso! Dwayne dirigiu 18 milhas até o aeroporto para buscar seu pai e depois voltou para casa. Na viagem de volta, ele conseguiu dirigir em média 15 milhas por hora mais rápido do que na viagem até lá. Se o tempo total de condução foi de 1 hora, qual foi a velocidade média dele ao dirigir até o aeroporto?

          Resposta: Sua velocidade média para chegar ao aeroporto era de 30 milhas por hora.

          Solução de Vídeo


          Resolva aplicativos com equações racionais

          Quando duas expressões racionais são iguais, a equação que as relaciona é chamada de proporção.

          UMA proporção é uma equação da forma a b = c d,

          A proporção é lida “uma é para b Como c é para d.

          é uma proporção porque as duas frações são iguais. A proporção 1 2 = 4 8

          é lido "1 é para 2 como 4 é para 8."

          Como uma proporção é uma equação com expressões racionais, resolveremos as proporções da mesma forma que resolvemos as equações racionais. Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo LCD para limpar as frações e, em seguida, resolver a equação resultante.

          Multiplique ambos os lados por LCD.
          Remova os fatores comuns de cada lado.
          Simplificar.
          Resolva para n.
          Verificar.
          Simplificar.
          Mostre fatores comuns.
          Simplificar.

          Resolva a proporção: y y + 55 = 3 8.

          Resolva a proporção: z z - 84 = - 1 5.

          Observe no último exemplo que quando limpamos as frações multiplicando pelo LCD, o resultado é o mesmo como se tivéssemos multiplicado por cruzamento.

          Para qualquer proporção, a b = c d,

          obtemos o mesmo resultado quando apagamos as frações multiplicando pelo LCD e quando fazemos a multiplicação cruzada.

          Para resolver aplicativos com proporções, seguiremos nossa estratégia usual para resolver aplicativos. Mas quando configuramos a proporção, devemos ter certeza de que as unidades estão corretas - as unidades nos numeradores devem corresponder umas às outras e as unidades nos denominadores também devem combinar uns com os outros.

          Quando os pediatras prescrevem paracetamol para crianças, eles prescrevem 5 mililitros (ml) de paracetamol para cada 25 libras de peso da criança. Se Zoe pesa 36 quilos, quantos mililitros de paracetamol seu médico receitará?

          Identifique o que devemos encontrar e escolha uma variável para representá-lo. Quantos ml de paracetamol o médico receitará?
          Deixar uma = ml de acetaminofeno.
          Escreva uma frase que forneça as informações para encontrá-lo. Se 5 ml forem prescritos para cada 25 libras, quanto será prescrito para 80 libras?
          Traduza para uma proporção - tome cuidado com as unidades.
          Multiplique ambos os lados pelo LCD, 400.
          Remova os fatores comuns de cada lado.
          Simplifique, mas não multiplique à esquerda. Observe qual será a próxima etapa.
          Resolva para uma.
          Verificar. A resposta é razoável?
          Escreva uma frase completa. O pediatra prescreveria 16 ml de paracetamol para Zoe.

          Os pediatras prescrevem 5 mililitros (ml) de paracetamol para cada 25 libras de peso de uma criança. Quantos mililitros de paracetamol o médico receitará para Emilia, que pesa 60 quilos?

          O pediatra vai prescrever 12 ml de paracetamol para Emilia.

          Para cada 1 quilograma (kg) de peso de uma criança, os pediatras prescrevem 15 miligramas (mg) de um redutor de febre. Se Isabella pesar 12 kg, quantos miligramas do redutor de febre o pediatra prescreverá?

          O pediatra vai prescrever 180 mg de redutor de febre para Isabella.

          Resolva aplicativos de figuras semelhantes

          Quando você encolhe ou amplia uma foto em um telefone ou tablet, calcula uma distância em um mapa ou usa um padrão para construir uma estante de livros ou costurar um vestido, você está trabalhando com figuras semelhantes. Se duas figuras tiverem exatamente a mesma forma, mas tamanhos diferentes, elas serão semelhantes. Um é um modelo em escala do outro. Todos os ângulos correspondentes têm as mesmas medidas e os lados correspondentes têm a mesma proporção.

          Duas figuras são semelhantes se as medidas de seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes têm a mesma proporção.

          Por exemplo, os dois triângulos em [link] são semelhantes. Cada lado de Δ A B C

          é quatro vezes o comprimento do lado correspondente de Δ X Y Z.

          Isso se resume na Propriedade dos Triângulos Similares.

          então, a medida do ângulo correspondente é igual e os lados correspondentes têm a mesma proporção.

          Para resolver aplicativos com figuras semelhantes, seguiremos a Estratégia de Solução de Problemas para Aplicativos de Geometria que usamos anteriormente.

          Em um mapa, São Francisco, Las Vegas e Los Angeles formam um triângulo. A distância entre as cidades é medida em polegadas. A figura abaixo à esquerda representa o triângulo formado pelas cidades no mapa. Se a distância real de Los Angeles a Las Vegas for 270 milhas, calcule a distância de Los Angeles a San Francisco.

          Como os triângulos são semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais.

          Ler o problema. Desenhe as figuras e identifique-as com as informações fornecidas. As figuras são mostradas acima.
          Identificar o que nós estamos procurando. a distância real de Los Angeles a São Francisco
          Nome as variáveis. Deixar x = distância de Los Angeles a San Francisco.
          Traduzir em uma equação. Como os triângulos são semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais. Faremos os numeradores “milhas” e os denominadores “polegadas”.
          Resolver a equação.
          Verificar. No mapa, a distância de Los Angeles a San Francisco é maior do que a distância de Los Angeles a Las Vegas. Como 351 é mais de 270, a resposta faz sentido.
          Responder a questão. A distância de Los Angeles a San Francisco é de 351 milhas.

          No mapa, Seattle, Portland e Boise formam um triângulo. A distância entre as cidades é medida em polegadas. A figura abaixo à esquerda representa o triângulo formado pelas cidades no mapa. A distância real de Seattle a Boise é de 400 milhas.

          & ltdiv data-type = "note" & gt


          2 respostas 2

          Obrigado por responder, Dan. Encontrei uma solução satisfatória na linha de sua segunda resposta.

          Uma aplicação de funções racionais no "mundo real" é a "Equação de lente fina", que relaciona o comprimento focal, a distância do objeto e a distância da imagem real. É o mais prático possível. Câmeras, olhos, lentes de aumento, etc., todos operam usando este princípio em alguma capacidade. A derivação dele é direta e usa apenas triângulos semelhantes. Além disso, a medida de ampliação (quando o objeto não fica em 2F) é uma proporção.

          Não vou implementá-lo em minha lição, mas pode ser possível criar uma exploração para calcular a altura de um objeto a partir de uma fotografia. Existem complicações potenciais com isso, já que na foto pode haver um modelo e a imagem uma ilusão de ótica. Isso pode ser superado pela análise de uma segunda fotografia. Eu não pensei sobre esse aspecto porque não tenho tempo agora. Mas parece que vale a pena compartilhar, caso algum professor encontre esse tópico no futuro.


          Equações literais

          Equações literais, ou fórmulas, são freqüentemente equações racionais. Portanto, as técnicas descritas nesta seção podem ser usadas para resolver variáveis ​​específicas. Suponha que todas as expressões de variáveis ​​no denominador sejam diferentes de zero.

          Exemplo 6: Resolva para x: z = x - 5 y.

          Solução: O objetivo é isolar x. Assumindo que y é diferente de zero, multiplique ambos os lados por y e, em seguida, adicione 5 a ambos os lados.

          Exemplo 7: Resolva para c: 1 c = 1 a + 1 b.

          Solução: Neste exemplo, o objetivo é isolar c. Começamos multiplicando ambos os lados pelo LCD, a ⋅ b ⋅ c, distribuindo cuidadosamente.

          No lado direito da equação, fatorar c.

          Em seguida, divida os dois lados da equação pela quantidade (b + a).

          Experimente isso! Resolva para y: x = y + 1 y - 1.

          Solução de Vídeo

          Principais vantagens

          • Comece resolvendo equações racionais multiplicando ambos os lados pelo LCD. A equação equivalente resultante pode ser resolvida usando as técnicas aprendidas até este ponto.
          • Multiplicar ambos os lados de uma equação racional por uma expressão variável introduz a possibilidade de soluções estranhas. Portanto, devemos comparar as soluções com o conjunto de restrições. Se uma solução é uma restrição, então não faz parte do domínio e é estranha.
          • Ao multiplicar ambos os lados de uma equação por uma expressão, distribua cuidadosamente e multiplique cada termo por essa expressão.
          • Se todas as soluções resultantes forem estranhas, a equação original não terá soluções.

          Exercícios de tópico

          Parte A: Equações Racionais

          8. 5 x 2 x - 1 = x - 1 2 x - 1

          20. 1 - 3 x - 5 x (3 x - 4) = - 1 x

          24,12 x - 2 = 2 + 6 (4 - x) x - 2

          25. 2 + 2 x x - 3 = 3 (x - 1) x - 3

          26. x x - 1 + 1 6 x - 1 = x (x - 1) (6 x - 1)

          27. 12 x 2 - 81 = 1 x + 9 - 2 x - 9

          28. 14 x 2 - 49 = 2 x - 7 - 3 x + 7

          29. 6 x x + 3 + 4 x - 3 = 3 x x 2 - 9

          30. 3 x x + 2 - 17 x - 2 = - 48 x 2 - 4

          41. 4 x - 7 x - 5 = 3 x - 2 x - 5

          43. 3 x + 4 x - 8 - 2 8 - x = 1

          45,3 x = 1 x + 1 + 13 x (x + 1)

          46. ​​x x - 1 - 3 4 x - 1 = 9 x (4 x - 1) (x - 1)

          47. 1 x - 4 + x x - 2 = 2 x 2 - 6 x + 8

          48. x x - 5 + x - 1 x 2 - 11 x + 30 = 5 x - 6

          49. x x + 1 - 6 5 x 2 + 4 x - 1 = - 5 5 x - 1

          50. - 8 x 2 - 4 x - 12 + 2 (x + 2) x 2 + 4 x - 60 = 1 x + 2

          51. x x + 2 - 20 x 2 - x - 6 = - 4 x - 3

          52. x + 7 x - 1 + x - 1 x + 1 = 4 x 2 - 1

          53. x - 1 x - 3 + x - 3 x - 1 = - x + 5 x - 3

          54. x - 2 x - 5 - x - 5 x - 2 = 8 - x x - 5

          55. x + 7 x - 2 - 81 x 2 + 5 x - 14 = 9 x + 7

          56. x x - 6 + 1 = 5 x + 30 36 - x 2

          57. 2 x x + 1 - 4 4 x - 3 = - 7 4 x 2 + x - 3

          58. x - 5 x - 10 + 5 x - 5 = - 5 x x 2 - 15 x + 50

          59. 5 x 2 + 5 x + 4 + x + 1 x 2 + 3 x - 4 = 5 x 2 - 1

          60. 1 x 2 - 2 x - 63 + x - 9 x 2 + 10 x + 21 = 1 x 2 - 6 x - 27

          61. 4 x 2 - 4 + 2 (x - 2) x 2 - 4 x - 12 = x + 2 x 2 - 8 x + 12

          62. x + 2 x 2 - 5 x + 4 + x + 2 x 2 + x - 2 = x - 1 x 2 - 2 x - 8

          63. 6 x x - 1 - 11 x + 1 2 x 2 - x - 1 = 6 x 2 x + 1

          64,8 x 2 x - 3 + 4 x 2 x 2 - 7 x + 6 = 1 x - 2

          Resolva para a variável indicada.

          69. Resolva para c: 1 a = 1 b + 1 c.

          70. Resolva para y: m = y - y 1 x - x 1.

          71. Resolva para C: P = 2 (l + w).

          72. Resolva para t: A = P (1 + rt).

          74. Resolva para S: h = S 2 π r - r.

          76. Resolva para x: y = 2 x + 1 5 x.

          77. Resolva para R: 1 R = 1 R 1 + 1 R 2.

          78. Resolva para S 1: 1 f = 1 S 1 + 1 S 2.

          79. Explique por que multiplicar os dois lados de uma equação pelo LCD às vezes produz soluções estranhas.

          80. Explique a conexão entre a técnica de multiplicação cruzada e a multiplicação de ambos os lados de uma equação racional pelo LCD.

          81. Explique como podemos saber a diferença entre uma expressão racional e uma equação racional. Como os tratamos de maneira diferente?


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          Equações quadráticas, suas aplicações e outros tipos de equações

          & emsp & emspAs mencionados anteriormente, uma equação da forma ax + b = 0 é uma equação linear. Uma equação quadrática é definida como segue.

          EQUAÇÃO QUADRÁTICA EM UMA VARIÁVEL

          & emsp & emspUma equação que pode ser escrita na forma

          & emsp & emsp onde a, b e c são números reais com a! = 0, é a Equação quadrática.

          & emsp & emsp (Por que a restrição a! = 0 é necessária?) Uma equação quadrática escrita na forma ax ^ 2 + bx + c = 0 está na forma padrão.

          & emsp & emspO método mais simples de resolver uma equação quadrática, mas nem sempre é facilmente aplicado, é por fatoração. Este método depende da seguinte propriedade.

          PROPRIEDADE DE FATOR ZERO

          & emsp & emspSe aeb são números complexos, com ab = 0, então a = 0 ou b = 0 ou ambos

          & emsp & emspO próximo exemplo mostra como a propriedade do fator zero é usada para resolver uma equação quadrática.

          USANDO A PROPRIEDADE DO FATOR ZERO

          & emsp & emspSolve 6r ^ 2 + 7r = 3 .

          & emsp & emspPrimeiro escreva a equação na forma padrão como

          & emsp & emspNow fator 6r ^ 2 + 7r-3 obter

          & emsp & emsp Pela propriedade do fator zero, o produto (3r -1) (2r + 3) pode ser igual a 0 somente se

          & emsp & emspSolva cada uma dessas equações lineares separadamente para descobrir que as soluções da equação original são 1/3 e -3/2. Verifique essas soluções substituindo na equação original. O conjunto de soluções é (1/3, -3/2).

          & emsp & emspA equação quadrática da forma x ^ 2 = k pode ser resolvida fatorando com a seguinte seqüência de equações equivalentes.

          & emsp & emspIsso prova a seguinte declaração. que chamamos de propriedade da raiz quadrada.

          PROPRIEDADE DE RAIZ QUADRADA & emsp & emspO conjunto de solução de x ^ 2 = k é .

          & emsp & emspEste conjunto de soluções é freqüentemente abreviado como <+ - root (k)>. Ambas as soluções são reais se k & gt 0 e imaginárias se k & lt 0. (Se k = 0, há apenas uma solução distinta, às vezes chamada de solução dupla.)

          USANDO A PROPRIEDADE DE RAIZ QUADRADA

          & emsp & emspSolva cada equação quadrática.

          & emsp & emspSince root (-25) = 5i, o conjunto de solução de m ^ 2 = -25 é <+ - 5i>.

          & emsp & emspUse uma generalização da propriedade da raiz quadrada, trabalhando da seguinte maneira.

          & emsp & emspCOMPLETANDO O QUADRADO: & emsp & emspAs sugerido pelo Exemplo 2 (c), qualquer equação quadrática pode ser resolvida usando a propriedade da raiz quadrada se for primeiro escrita na forma (x + n) ^ 2 = k para números adequados n e k. O próximo exemplo mostra como escrever uma equação quadrática neste formato.

          USANDO O MÉTODO DE COMPLETAR O QUADRADO

          & emsp & emspPara escrever x ^ 2-4x = 8 na forma (x + n) ^ 2 = k, devemos encontrar um número que pode ser adicionado ao lado esquerdo da equação para obter um quadrado perfeito. A equação (x + n) ^ 2 = k pode ser escrita como x ^ 2 + 2xn + n ^ 2 = k. Comparar esta equação com x ^ 2 - 4x = 8 mostra que

          & emsp & emspIf n = -2, então n ^ 2 = 4. Adicionar 4 a ambos os lados de x ^ 2- 4x = 8 e fatorar à esquerda resulta

          & emsp & emspAgora a propriedade da raiz quadrada pode ser usada da seguinte forma

          & emsp & emspAs etapas usadas para resolver uma equação quadrática completando o quadrado a seguir.

          RESOLVER COMPLETANDO O QUADRADO

          & emsp & emspPara resolver ax ^ 2 + bx + c = 0, a! = 0, completando o quadrado:

          & emsp & emsp1. Se a! = 1, multiplique ambos os lados da equação por 1 / a.

          & emsp & emsp2. Reescreva a equação de modo que o termo constante fique sozinho em um lado do
          é igual ao sinal.

          & emsp & emsp3. Quadrado metade do coeficiente de x, e some este quadrado a ambos os lados do
          equação.

          & emsp & emsp4. Fatore o trinômio resultante como um quadrado perfeito e combine os termos no
          outro lado.

          & emsp & emsp5. Use a propriedade de raiz quadrada para completar a solução.

          USANDO O MÉTODO DE COMPLETAR O QUADRADO

          & emsp & emspO coeficiente de z ^ 2 deve ser 1. Multiplique ambos os lados por 1/9.

          & emsp & emspNow adicione 1/9 a ambos os lados da equação.

          & emsp & emspHalf o coeficiente de z é -2/3 e (-2/3) ^ 2 = 4/9. Adicione 4/9 a ambos os lados, obtendo

          & emsp & emspFactoring à esquerda e combinando termos à direita dá

          & emsp & emspNow use a propriedade de raiz quadrada e a propriedade de quociente para radicais para obter

          & emsp & emsp Estas duas soluções podem ser escritas como

          & emsp & emsp com o conjunto de soluções abreviado como <(2 + -root (5)) / (3)>.

          É assim que nosso solucionador passo a passo de equação quadrática resolve o problema acima. Você pode ver problemas semelhantes resolvidos clicando no botão 'Resolver semelhantes'.

          FÓRMULA QUADRÁTICA & emsp & emspO método de completar o quadrado pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática.No entanto, a longo prazo, é melhor começar com a equação quadrática geral,

          & emsp & emspand usam o método de completar o quadrado para resolver esta equação para x em termos das constantes a, b e c. O resultado será uma fórmula geral para resolver qualquer equação quadrática. Por enquanto, suponha que a & gt 0 e multiplique ambos os lados por 1 / a para obter

          & emsp & emspNow pegue a metade de b / a e eleve o resultado ao quadrado:

          & emsp & emspAdicione o quadrado a ambos os lados, produzindo

          & emsp & emspA expressão à esquerda do sinal de igual pode ser escrita como o quadrado de um binômio, enquanto a expressão à direita pode ser simplificada.

          & emsp & emspPela propriedade de raiz quadrada, esta última declaração leva a

          & emsp & emspAdding -b / ((2a)) para ambos os lados de cada resultado dá

          & emsp & emspIt pode ser mostrado que esses dois resultados também são válidos se um & lt 0. Uma forma compacta dessas duas equações. chamada de fórmula quadrática, companheiros.

          FÓRMULA QUADRÁTICA & emsp & emspAs soluções da equação quadrática ax ^ 2 + bx + c = 0, onde a! = 0, são

          CUIDADO e emsp & emspObserve que a barra de fração na fórmula quadrática se estende sob o termo -b no numerador.

          USANDO FÓRMULA QUADRÁTICA (SOLUÇÕES REAIS)

          & emsp & emspAqui a = 1, b = -4. e c = 2. Substitua esses valores na fórmula quadrática para obter

          & emsp & emsp = (2 (2 + -root (2))) / (2) & emsp & emspFator a 2 no numerador.

          USANDO A FÓRMULA QUADRÁTICA (SOLUÇÕES COMPLEXAS)

          & emsp & emspPara encontrar os valores de a, b e c, primeiro reescreva a equação na forma padrão como 2y ^ 2 - y + 4 = 0. Então, a = 2, b = -1 e c = 4. Pela fórmula quadrática,

          & emsp & emspA equação no Exemplo 7 é chamada de equação cúbica, devido ao termo de grau 3. No Capítulo 6, discutiremos essas equações de grau superior com mais detalhes. No entanto, a equação x ^ 3 + 8 = 0, por exemplo, pode ser resolvida usando fatoração e a fórmula quadrática.

          USANDO A FÓRMULA QUADRÁTICA PARA RESOLVER UMA EQUAÇÃO CÚBICA PARTICULAR

          & emsp & emspFactor no lado esquerdo e, em seguida, defina cada fator igual a zero.

          & emsp & emspA solução de x + 2 = 0 é x = -2. Agora use a fórmula quadrática para resolver x ^ 2-2x + 4 = 0.

          & emsp & emsp x = 1 + - (i) root (3) & emsp & emspFator a 2 no numerador e reduzir para os termos mais baixos.

          Vamos ver como nosso solucionador de equações cúbicas resolve este e outros problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

          & emsp & emspÀs vezes é necessário resolver uma equação literal para uma variável ao quadrado. Nesses casos, geralmente aplicamos a propriedade da raiz quadrada das equações ou a fórmula quadrática.

          RESOLVER PARA UMA VARIÁVEL É QUADRADO

          & emsp & emspComece multiplicando os lados do banho por 4 para obter

          & emsp & emspUse a raiz quadrada corretamente e racionalize o denominador à direita.

          & emsp & emspComo essa equação tem um termo com t e t ^ 2, usamos a fórmula quadrática. Subtraia k de ambos os lados para obter

          & emsp & emspNow use a fórmula quadrática para encontrar t, com a = r, b = -s e c = -k.

          NOTA & emsp & emspEm aplicações práticas de fórmulas resolvidas para uma variável quadrada, muitas vezes é necessário rejeitar uma das soluções porque ela não satisfaz as condições físicas do problema.

          & emsp & emspO DISCRIMINANTE A quantidade sob o radical na fórmula quadrática, b ^ 2 - 4ac, é chamada de discriminante. Quando os números a, b e c são inteiros (mas não necessariamente o contrário), o valor do discriminante pode ser usado para determinar se as soluções serão números racionais, irracionais ou imaginários. Se o discriminante for 0, haverá apenas uma solução distinta. (Por que?)

          & emsp & emspO discriminante de uma equação quadrática fornece as seguintes informações sobre as soluções da equação.

          Discriminante Número de Soluções Tipo de Soluções
          Positivo. quadrado perfeito Dois Racional
          Positivo, mas não um quadrado perfeito Dois Irracional
          Zero Um (uma solução dupla) Racional
          Negativo Dois Imaginário

          & emsp & emspUse o discriminante para determinar se as soluções de 5x ^ 2 + 2x-4 = 0 são racionais. irracional ou imaginário.

          & emsp & emspComo o discriminante é positivo e a, b e c são inteiros, há duas soluções de números reais. Como 84 não é um quadrado perfeito, as soluções serão números irracionais.

          & emsp & emsp; encontre todos os valores de k para que a equação

          & emsp & emsp Uma equação quadrática com coeficientes reais terá exatamente uma solução se o discriminante for zero. Aqui, a = 16, b = k e c = 25, dando o discriminante

          & emsp & emspRecorde da Seção 1.6 que uma expressão racional não é definida quando seu denominador é 0. As restrições na variável são encontradas determinando o valor ou valores que fazem com que a expressão no denominador seja igual a 0.

          DETERMINANDO RESTRIÇÕES NA VARIÁVEL

          & emsp & emspPara cada um dos seguintes, forneça as restrições de número real da variável.

          & emsp & emspDefina o denominador igual a 0 e resolva.

          & emsp & emspAs restrições da variável são x! = - 1/2 e x! = 5.

          & emsp & emspSolve 3x ^ 2-x + 4 = 0. Como o polinômio não é fatorado, use a fórmula quadrática.

          & emsp & emspBoth soluções são números imaginários, portanto, não há números reais que tornam o denominador igual a zero. Portanto, não há restrições de número real em x.

          2.5 & emsp & emspAPLICAÇÕES DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS

          & emsp & emspMuitos problemas aplicados levam a equações quadráticas. Nesta seção, damos exemplos de vários tipos de problemas.

          CUIDADO e emsp & emspAo resolver problemas que levam a equações quadráticas, podemos obter uma solução que não satisfaz as restrições físicas do problema. Por exemplo, se x representa uma largura e as duas soluções da equação quadrática são -9 e 1. o valor -9 deve ser rejeitado, pois a largura deve ser um número positivo.

          RESOLVER UM PROBLEMA DE GEOMETRIA

          & emsp & emspA empreiteiro paisagista deseja fazer uma borda de cascalho exposta de largura uniforme em torno de uma piscina retangular em um jardim. A piscina tem 3 metros de comprimento e 6 metros de largura. Há material suficiente para cobrir 36 pés quadrados. Qual deve ser a largura da fronteira?

          & emsp & emspA diagrama da piscina com a borda é mostrado na Figura 2.4. Uma vez que somos solicitados a encontrar a largura da borda, vamos

          & emsp & emsp x = a largura da borda em pés.

          & emsp & emspThen & emsp & emsp 6 + 2x = a largura do retângulo maior em pés,

          & emsp & emspand & emsp & emsp 10 + 2x = o comprimento do retângulo maior em pés.

          & emsp & emsp

          & emsp & emspA área do retângulo maior é (6 + 2x) (10 + 2x) pés quadrados, e a área da piscina é 6 * 10 = 60 pés quadrados. A área da borda é encontrada subtraindo a área da piscina do área do retângulo maior. Essa diferença deve ser de 36 pés quadrados.

          Área do retângulo maior menos área da piscina é 36 pés quadrados.
          (6 + 2x) (10 + 2x) - 60 = 36

          & emsp & emspAs soluções são -9 e 1. A largura da borda não pode ser negativa. portanto, a borda deve ter 1 pé de largura.

          & emsp & emspProblemas envolvendo taxa de trabalho foram introduzidos pela primeira vez na Seção 2.2. Lembre-se de que se um trabalho pode ser executado em x unidades de tempo, a taxa de trabalho é 1 / x trabalho por unidade de tempo.

          & emsp & emspPat e Mike limpam os escritórios em um prédio no centro da cidade todas as noites. Trabalhando sozinho. Pat leva 1 hora a menos do que Mike para concluir o trabalho. Trabalhando juntos, eles podem terminar o trabalho em 6 horas. Uma noite Pa! liga dizendo que está doente. Quanto tempo deve levar Mike para fazer o trabalho sozinho?

          & emsp & emsp x = o tempo para Mike fazer o trabalho sozinho

          & emsp & emsp x-1 = o tempo para Pat fazer o trabalho sozinho.

          & emsp & emspAs taxas para Mike e Pat são. respectivamente. 1 / x e 1 / (x - 1) trabalho por hora. Se multiplicarmos o tempo trabalhado juntos, 6 horas, por cada taxa, obteremos a parte fracionária do trabalho realizado por cada pessoa. Isso está resumido no gráfico a seguir.

          Avaliar Tempo Parte de
          Mike 1 / x 6 6 (1 / x) = 6 / x
          Pat 1 / (x - 1) 6 6 (1 / (x-1)) = 6 / (x-1)

          & emsp & emspComo um trabalho inteiro pode ser feito por duas pessoas, a soma das bandejas deve ser igual a 1, conforme indicado pela equação

          & emsp & emspPara limpar frações, multiplique ambos os lados da equação pelo mínimo denominador comum, x (x - 1).

          & emsp & emspUse uma calculadora para descobrir que arredondado para o décimo mais próximo, x = 12,5 ou x = 0,5. A solução x = 0,5 não satisfaz as condições do problema, pois Pat leva x - 1 = -0,5 hora para completar o trabalho. Mike levará 12,5 horas para fazer o trabalho sozinho.

          & emsp & emspUm barco de excursão fluvial viajou rio acima de Galt até Isleton. uma distância de 12 milhas. Na viagem de volta rio abaixo, o barco viajou 3 milhas por hora mais rápido. Se a viagem de volta demorou 8 minutos a menos, com que rapidez o barco viajou rio acima?

          & emsp & emspO gráfico abaixo resume as informações do problema, onde x representa a taxa upstream.

          & emsp & emsp & emsp

          & emsp & emspAs entradas na coluna para o tempo são encontradas na solução da fórmula da distância. d = rt, para t em cada caso. Como as taxas são fornecidas em milhas por hora, converta 8 minutos em horas da seguinte maneira, deixando H representar o número equivalente de horas.

          & emsp & emspNow escrevem uma equação usando o fato de que o tempo para a viagem de retorno (downstream) foi 8 minutos ou 2/15 horas menos que o tempo upstream.

          Tempo a jusante é tempo a montante menos 2/15 horas
          12 / (x + 3) = 12 / x - 2/15

          & emsp & emspSolva a equação, primeiro multiplicando em ambos os lados pelo denominador comum. 15x (x + 3), para obter

          & emsp & emspRejeite a solução negativa. O barco viajou 15 milhas por hora rio acima.

          & emsp & emspQuando os problemas envolvem diferentes unidades de tempo (como no Exemplo 3, onde a taxa foi dada em milhas por hora e o tempo em minutos). é necessário converter para a mesma unidade antes de configurar a equação.

          & emsp & emspNum triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos comprimentos das pernas é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa.

          & emsp & emsp & emsp

          RESOLVER UM PROBLEMA ENVOLVENDO O TEOREMA PITAGÓRICO

          & emsp & emspA lo! tem a forma de um triângulo retângulo. A perna mais longa do triângulo é 20 metros mais longa do que o dobro do comprimento da perna mais curta. A hipotenusa é 10 metros mais longa que a perna mais longa. Encontre os comprimentos dos três lados do lote.

          & emsp & emspLet s = comprimento da perna mais curta em metros. Então, 2x + 20 metros representa o comprimento da perna mais longa e (2s + 20) + 10 = 2s + 30 metros representa o comprimento da hipotenusa. Veja a Figura 2.5

          & emsp & emspA aplicação do teorema de Pitágoras fornece a equação

          & emsp & emspS uma vez que s representa um comprimento, o valor -10 não é razoável. A perna mais curta tem 50 metros de comprimento, a perna mais longa 120 metros e a hipotenusa 130 metros.

          EM TERMOS SIMPLES

          & emsp & emspPara determinar a velocidade de pouso apropriada de um avião, a fórmula 0.1s ^ 2-3s + 22 = D é usada, onde s é a velocidade inicial de pouso em pés por segundo e D é a distância necessária em pés. Se a velocidade de pouso for muito rápida, o piloto pode ficar fora da pista se a velocidade for muito lenta, o avião pode estolar. Suponha que a pista tenha 250 metros de comprimento. A velocidade de pouso apropriada pode ser calculada completando o quadrado. Na primeira etapa, multiplique a equação por 10 para eliminar o decimal.

          & emsp & emspA única solução realista para a velocidade de pouso é de aproximadamente 104,5 pés por segundo.

          RESOLVER UM PROBLEMA ENVOLVENDO O MOVIMENTO DE UM PROJETO

          & emsp & emspSe um projétil for atirado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 100 pés por segundo, desprezando a resistência do ar, sua altura s (em pés) acima do solo t segundos após a projeção é dada por

          & emsp & emsp (a) Depois de quantos segundos ele estará a 50 pés acima do solo?

          & emsp & emsp Devemos encontrar o valor de t de forma que s = 50. Seja s = 50 na equação e use a fórmula quadrática.

          & emsp & emspAqui, ambas as soluções são aceitáveis. já que o projétil atinge 50 façanha duas vezes: uma vez na subida (após 0,55 segundos) e uma vez na descida (após 5,70 segundos).

          & emsp & emsp (b) Quanto tempo leva para o projétil retornar ao solo?

          & emsp & emspQuando ele retorna ao solo, sua altura s será de 0 pés, portanto, seja s = 0 na equação.

          & emsp & emspIsso pode ser resolvido por fatoração.

          & emsp & emspA primeira solução, 0, representa o momento em que o projétil estava no solo antes de ser lançado, portanto, não responde à pergunta. O projétil retornará ao solo 6,25 segundos após ser lançado.

          OUTROS TIPOS DE EQUAÇÕES

          & emsp & emspMuitas equações que não são realmente equações quadráticas podem ser resolvidas pelos métodos discutidos anteriormente neste capítulo.

          & emsp & emspEQUAÇÕES QUADRÁTICAS NA FORMA A equação 12m ^ 4-11m ^ 2 + 2 = 0 não é uma equação quadrática por causa do termo m ^ 4. No entanto, com as substituições

          & emsp & emspt; a equação dada torna-se

          & emsp & emsp que é uma equação quadrática. Esta equação quadrática pode ser resolvida para encontrar x, e então x = m ^ 2 pode ser usado para encontrar os valores de m, as soluções para a equação original.

          FORMA QUADRÁTICA

          A equação & emsp & emspAn é considerada quadrática na forma se puder ser escrita como

          & emsp & emspOnde a! = 0 e u é alguma expressão algébrica.

          RESOLVER UMA EQUAÇÃO QUADRÁTICA EM FORMA

          & emsp & emspComo mencionado acima, esta equação é quadrática na forma. Ao fazer a substituição x = m ^ 2, a equação torna-se

          & emsp & emspque pode ser resolvido fatorando da seguinte maneira.

          & emsp & emspA equação original contém a variável m. Para encontrar m, use o fato de que x = m ^ 2 e substitua x por m ^ 2, gelificando

          & emsp & emspEstas quatro soluções da equação dada 12m ^ 4-11m ^ 2 + 2 = 0 compõem o conjunto de soluções , abreviado como <+ - (root (6)) / (3), + - 1/2>.

          & emsp & emspAlgumas equações de forma quadrática, como a do Exemplo 1, podem ser resolvidas facilmente por fatoração direta. O polinômio pode ser fatorado como (3m ^ 2-2) (4m ^ 2-1), e definindo cada ator igual a zero, o mesmo conjunto de solução é obtido. & Emsp & emsp

          RESOLVER UMA EQUAÇÃO QUADRÁTICA EM FORMA

          & emsp & emspLet u = p ^ (- 1) para que u ^ 2 = p ^ (- 2). Em seguida, substitua e reorganize os termos para obter

          & emsp & emspFactor à esquerda e, em seguida, coloque cada fator igual a 0, dando

          CUIDADO e emsp & emspAo resolver uma equação que é quadrática na forma, se uma variável de substituição for usada, não se esqueça do passo que dá a solução em termos da variável original que aparece na equação.

          & emsp & emspEQUAÇÕES COM RADICAIS OU EXPONENTES RACIONAIS Para resolver equações contendo radicais ou expoentes racionais, como x = root (15-2x) ou (x + 1) ^ (1/2) = x, use a seguinte propriedade.

          & emsp & emspIf P e Q são expressões algébricas, então cada solução da equação P = Q também é uma solução da equação (P) ^ n = (Q) ^ n, para qualquer inteiro positivo n.

          CUIDADO e emsp & emspTenha muito cuidado ao usar este resultado. Ele não diz que as equações P = Q e (P) ^ n = (Q) ^ n são equivalentes: ele diz apenas que cada solução da equação original P = Q também é uma solução da nova equação (P) ^ n = (Q) ^ n.

          & emsp & emspAo usar esta propriedade para resolver equações, devemos estar cientes de que a nova equação pode ter mais soluções do que a equação original. Por exemplo, o conjunto de solução da equação x = -2 é <-2>. Se elevarmos ao quadrado ambos os lados da equação x = -2, obteremos a nova equação x ^ 2 = 4, que tem o conjunto solução <-2,2>. Como os conjuntos de soluções não são iguais, as equações não são equivalentes. Por isso, quando uma equação contém radicais ou expoentes racionais, é essencial verificar todas as soluções propostas na equação original.

          RESOLVER UMA EQUAÇÃO CONTENDO UM RADICAL

          & emsp & emspA equação x = root (15-2x) pode ser resolvida elevando ao quadrado ambos os lados da seguinte maneira.

          & emsp & emspAgora as soluções propostas devem ser verificadas na equação original, x = raiz (15-2x).

          & emsp & emspComo esta verificação mostra, apenas 3 é uma solução, dando o conjunto de solução <3>.

          & emsp & emspPara resolver uma equação contendo radicais, siga estas etapas.

          RESOLVER UMA EQUAÇÃO ENVOLVENDO RADICAIS

          & emsp & emsp1. Isole o radical em um lado da equação.

          & emsp & emsp2. Eleve cada lado da equação a uma potência igual ao índice do radical, de modo que o radical seja eliminado.

          & emsp & emsp3. Resolva a equação resultante. Se ainda contiver um radical, repita as etapas 1 e 2.

          & emsp & emsp4. Verifique cada solução proposta na equação original.

          RESOLVER UMA EQUAÇÃO CONTENDO DOIS RADICAIS

          & emsp & emspQuando uma equação Contém dois radicais, comece isolando um dos radicais em um lado da equação. Para este, vamos isolar a raiz (2x + 3) (Etapa 1).

          & emsp & emspNow eleve os dois lados (Etapa 2). Tenha muito cuidado ao quadrar o lado direito desta equação. Lembre-se de que (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2: substitua a por 1 e b pela raiz (x + 1) para obter a próxima equação, o resultado da quadratura de ambos os lados da raiz (2x + 3) = 1 + raiz (x + 1).

          & emsp & emspUm lado da equação ainda contém um radical para eliminá-lo. quadrar ambos os lados novamente (Etapa 3).

          & emsp & emsp; verifique essas soluções propostas na equação original (Etapa 4)


          15.6: Resolva Aplicações com Equações Racionais - Matemática

          No Exemplo 2, mudamos uma função do kit de ferramentas de uma forma que resultou na função [latex] f left (x right) = frac <3x + 7>[/látex]. Este é um exemplo de função racional. UMA função racional é uma função que pode ser escrita como o quociente de duas funções polinomiais. Muitos problemas do mundo real exigem que encontremos a razão de duas funções polinomiais. Problemas envolvendo taxas e concentrações freqüentemente envolvem funções racionais.

          Uma Nota Geral: Função Racional

          Uma função racional é uma função que pode ser escrita como o quociente de duas funções polinomiais [latex] P left (x right) text Q left (x right) [/ latex].

          Exemplo 3: Resolvendo um Problema Aplicado Envolvendo uma Função Racional

          Um grande tanque de mistura contém atualmente 100 galões de água em que 5 libras de açúcar foram misturados. Uma torneira será aberta despejando 10 galões por minuto de água no tanque ao mesmo tempo que o açúcar é despejado no tanque a uma taxa de 1 libra por minuto. Encontre a concentração (libras por galão) de açúcar no tanque após 12 minutos. É uma concentração maior do que no início?

          Solução

          Deixar t ser o número de minutos desde a abertura da torneira. Como a água aumenta a 10 galões por minuto e o açúcar aumenta a 1 libra por minuto, essas são taxas constantes de mudança.Isso nos diz que a quantidade de água no tanque está mudando linearmente, assim como a quantidade de açúcar no tanque. Podemos escrever uma equação independentemente para cada um:

          A concentração, C, será a proporção de libras de açúcar para galões de água

          A concentração após 12 minutos é dada avaliando [latex] C left (t right) [/ latex] em [latex] t = text <> 12 [/ latex].

          Isso significa que a concentração é de 17 libras de açúcar para 220 galões de água.

          No início, a concentração é

          Como [latex] frac <17> <220> approx 0,08 & gt frac <1> <20> = 0,05 [/ latex], a concentração é maior após 12 minutos do que no início.

          Análise da Solução

          Para encontrar a assíntota horizontal, divida o coeficiente líder no numerador pelo coeficiente líder no denominador:

          Observe que a assíntota horizontal é [latex] y = text <> 0,1 [/ latex]. Isso significa concentração, C, a proporção de libras de açúcar para galões de água, se aproximará de 0,1 no longo prazo.


          Aplicações de Expressões Racionais



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          Como resolver problemas de palavras que envolvem expressões racionais?

          Aplicações de Expressões Racionais
          Exemplo:
          A velocidade de um avião é sete vezes maior que a velocidade de um carro. O carro leva 3h a mais que o avião para percorrer 315 km. Determine a velocidade do carro e a velocidade do avião, em km / h.

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