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16.E: Revisão dos Exercícios 2


Exercícios de revisão de capítulo

Resolva equações quadráticas usando a propriedade de raiz quadrada

Exercício ( PageIndex {1} ) Resolva equações quadráticas da forma (ax ^ {2} = k ) usando a propriedade de raiz quadrada

Nos exercícios a seguir, resolva usando a propriedade de raiz quadrada.

  1. (y ^ {2} = 144 )
  2. (n ^ {2} -80 = 0 )
  3. (4 a ^ {2} = 100 )
  4. (2 b ^ {2} = 72 )
  5. (r ^ {2} + 32 = 0 )
  6. (t ^ {2} + 18 = 0 )
  7. ( frac {2} {3} w ^ {2} -20 = 30 )
  8. (5 c ^ {2} + 3 = 19 )
Responder

1. (y = pm 12 )

3. (a = pm 5 )

5. (r = pm 4 sqrt {2} i )

7. (w = pm 5 sqrt {3} )

Exercício ( PageIndex {2} ) Resolver equações quadráticas da forma (a (x-h) ^ {2} = k ) usando a propriedade de raiz quadrada

Nos exercícios a seguir, resolva usando a propriedade de raiz quadrada.

  1. ((p-5) ^ {2} + 3 = 19 )
  2. ((u + 1) ^ {2} = 45 )
  3. ( left (x- frac {1} {4} right) ^ {2} = frac {3} {16} )
  4. ( left (y- frac {2} {3} right) ^ {2} = frac {2} {9} )
  5. ((n-4) ^ {2} -50 = 150 )
  6. ((4 c-1) ^ {2} = - 18 )
  7. (n ^ {2} +10 n + 25 = 12 )
  8. (64 a ^ {2} +48 a + 9 = 81 )
Responder

1. (p = -1,9 )

3. (x = frac {1} {4} pm frac { sqrt {3}} {4} )

5. (n = 4 pm 10 sqrt {2} )

7. (n = -5 pm 2 sqrt {3} )

Resolva equações quadráticas completando o quadrado

Exercício ( PageIndex {3} ) Resolver equações quadráticas usando o preenchimento do quadrado

Nos exercícios a seguir, complete o quadrado para fazer um trinômio quadrado perfeito. Em seguida, escreva o resultado como um quadrado binomial.

  1. (x ^ {2} +22 x )
  2. (m ^ {2} -8 m )
  3. (a ^ {2} -3 a )
  4. (b ^ {2} +13 b )
Responder

1. ((x + 11) ^ {2} )

3. ( left (a- frac {3} {2} right) ^ {2} )

Exercício ( PageIndex {4} ) Resolver equações quadráticas usando o preenchimento do quadrado

Nos exercícios a seguir, resolva completando o quadrado.

  1. (d ^ {2} +14 d = -13 )
  2. (y ^ {2} -6 y = 36 )
  3. (m ^ {2} +6 m = -109 )
  4. (t ^ {2} -12 t = -40 )
  5. (v ^ {2} -14 v = -31 )
  6. (w ^ {2} -20 w = 100 )
  7. (m ^ {2} +10 m-4 = -13 )
  8. (n ^ {2} -6 n + 11 = 34 )
  9. (a ^ {2} = 3 a + 8 )
  10. (b ^ {2} = 11 b-5 )
  11. ((u + 8) (u + 4) = 14 )
  12. ((z-10) (z + 2) = 28 )
Responder

1. (d = -13, -1 )

3. (m = -3 pm 10 i )

5. (v = 7 pm 3 sqrt {2} )

7. (m = -9, -1 )

9. (a = frac {3} {2} pm frac { sqrt {41}} {2} )

11. (u = -6 pm 2 sqrt {2} )

Resolva Equações Quadráticas da Forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) Completando o Quadrado

Exercício ( PageIndex {5} ) Resolva Equações Quadráticas da Forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) Completando o Quadrado

Nos exercícios a seguir, resolva completando o quadrado.

  1. (3 p ^ {2} -18 p + 15 = 15 )
  2. (5 q ^ {2} +70 q + 20 = 0 )
  3. (4 y ^ {2} -6 y = 4 )
  4. (2 x ^ {2} +2 x = 4 )
  5. (3 c ^ {2} +2 c = 9 )
  6. (4 d ^ {2} -2 d = 8 )
  7. (2 x ^ {2} +6 x = -5 )
  8. (2 x ^ {2} +4 x = -5 )
Responder

1. (p = 0,6 )

3. (y = - frac {1} {2}, 2 )

5. (c = - frac {1} {3} pm frac {2 sqrt {7}} {3} )

7. (x = frac {3} {2} pm frac {1} {2} i )

Exercício ( PageIndex {6} ) Resolva equações quadráticas usando a fórmula quadrática

Nos exercícios a seguir, resolva usando a Fórmula Quadrática.

  1. (4 x ^ {2} -5 x + 1 = 0 )
  2. (7 y ^ {2} +4 y-3 = 0 )
  3. (r ^ {2} -r-42 = 0 )
  4. (t ^ {2} +13 t + 22 = 0 )
  5. (4 v ^ {2} + v-5 = 0 )
  6. (2 w ^ {2} +9 w + 2 = 0 )
  7. (3 m ^ {2} +8 m + 2 = 0 )
  8. (5 n ^ {2} +2 n-1 = 0 )
  9. (6 a ^ {2} -5 a + 2 = 0 )
  10. (4 b ^ {2} -b + 8 = 0 )
  11. (u (u-10) + 3 = 0 )
  12. (5 z (z-2) = 3 )
  13. ( frac {1} {8} p ^ {2} - frac {1} {5} p = - frac {1} {20} )
  14. ( frac {2} {5} q ^ {2} + frac {3} {10} q = frac {1} {10} )
  15. (4 c ^ {2} +4 c + 1 = 0 )
  16. (9 d ^ {2} -12 d = -4 )
Responder

1. (x = frac {1} {4}, 1 )

3. (r = -6,7 )

5. (v = frac {-1 pm sqrt {21}} {8} )

7. (m = frac {-4 pm sqrt {10}} {3} )

9. (a = frac {5} {12} pm frac { sqrt {23}} {12} i )

11. (u = 5 pm sqrt {21} )

13. (p = frac {4 pm sqrt {5}} {5} )

15. (c = - frac {1} {2} )

Exercício ( PageIndex {7} ) Use o Discriminante para prever o número de soluções de uma equação quadrática

Nos exercícios a seguir, determine o número de soluções para cada equação quadrática.

    1. (9 x ^ {2} -6 x + 1 = 0 )
    2. (3 y ^ {2} -8 y + 1 = 0 )
    3. (7 m ^ {2} +12 m + 4 = 0 )
    4. (5 n ^ {2} -n + 1 = 0 )
    1. (5 x ^ {2} -7 x-8 = 0 )
    2. (7 x ^ {2} -10 x + 5 = 0 )
    3. (25 x ^ {2} -90 x + 81 = 0 )
    4. (15 x ^ {2} -8 x + 4 = 0 )
Responder

1.

  1. (1)
  2. (2)
  3. (2)
  4. (2)

Exercício ( PageIndex {8} ) Identificar o método mais apropriado para usar para resolver uma equação quadrática

Nos exercícios a seguir, identifique o método mais apropriado (fatoração, raiz quadrada ou fórmula quadrática) a ser usado para resolver cada equação quadrática. Não resolva.

    1. (16 r ^ {2} -8 r + 1 = 0 )
    2. (5 t ^ {2} -8 t + 3 = 9 )
    3. (3 (c + 2) ^ {2} = 15 )
    1. (4 d ^ {2} +10 d-5 = 21 )
    2. (25 x ^ {2} -60 x + 36 = 0 )
    3. (6 (5 v-7) ^ {2} = 150 )
Responder

1.

  1. Fator
  2. Fórmula quadrática
  3. Raiz quadrada

Resolva equações na forma quadrática

Exercício ( PageIndex {9} ) Resolver equações na forma quadrática

Nos exercícios a seguir, resolva.

  1. (x ^ {4} -14 x ^ {2} + 24 = 0 )
  2. (x ^ {4} +4 x ^ {2} -32 = 0 )
  3. (4 x ^ {4} -5 x ^ {2} + 1 = 0 )
  4. ((2 y + 3) ^ {2} +3 (2 y + 3) -28 = 0 )
  5. (x + 3 sqrt {x} -28 = 0 )
  6. (6 x + 5 sqrt {x} -6 = 0 )
  7. (x ^ { frac {2} {3}} - 10 x ^ { frac {1} {3}} + 24 = 0 )
  8. (x + 7 x ^ { frac {1} {2}} + 6 = 0 )
  9. (8 x ^ {- 2} -2 x ^ {- 1} -3 = 0 )
Responder

1. (x = pm sqrt {2}, x = pm 2 sqrt {3} )

3. (x = pm 1, x = pm frac {1} {2} )

5. (x = 16 )

7. (x = 64, x = 216 )

9. (x = -2, x = frac {4} {3} )

Resolva aplicações de equações quadráticas

Exercício ( PageIndex {10} ) Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

Nos exercícios a seguir, resolva usando o método de fatoração, o princípio da raiz quadrada ou a Fórmula Quadrática. Arredonde suas respostas para o décimo mais próximo, se necessário.

  1. Encontre dois números ímpares consecutivos cujo produto seja (323 ).
  2. Encontre dois números pares consecutivos cujo produto seja (624 ).
  3. Um banner triangular tem uma área de (351 ) centímetros quadrados. O comprimento da base é dois centímetros maior do que quatro vezes a altura. Encontre a altura e o comprimento da base.
  4. Julius construiu uma vitrine triangular para sua coleção de moedas. A altura da vitrine é de seis polegadas a menos do que o dobro da largura da base. A área da parte de trás da caixa é de (70 ) polegadas quadradas. Encontre a altura e a largura da caixa.
  5. Um mosaico de ladrilhos na forma de um triângulo retângulo é usado como o canto de um caminho retangular. A hipotenusa do mosaico é (5 ) pés. Um lado do mosaico tem o dobro do comprimento do outro lado. Quais são os comprimentos dos lados? Arredonde para o décimo mais próximo.


Figura 9.E.1

6. Uma peça retangular de madeira compensada tem uma diagonal que mede 60 centímetros a mais que a largura. O comprimento da madeira compensada é o dobro da largura. Qual é o comprimento da diagonal do compensado? Arredonde para o décimo mais próximo.

7. A caminhada da rua até a casa de Pam tem uma área de 250 metros quadrados. Seu comprimento é duas vezes menor que quatro vezes a largura. Encontre o comprimento e a largura da calçada. Arredonde para o décimo mais próximo.

8. Para a festa de formatura de Sophia, várias mesas da mesma largura serão dispostas de ponta a ponta para dar a mesa de serviço com uma área total de (75 ) pés quadrados. O comprimento total das tabelas será duas vezes mais do que três vezes a largura. Encontre o comprimento e a largura da mesa de serviço para que Sophia possa comprar a toalha de mesa do tamanho correto. Resposta arredondada para o décimo mais próximo.

9. Uma bola é lançada verticalmente no ar com uma velocidade de (160 ) pés / seg. Use a fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) para determinar quando a bola estará a (384 ) pés do solo. Arredonde para o décimo mais próximo.

10. O casal pegou um pequeno avião para um vôo rápido até a região do vinho para um jantar romântico e depois voltou para casa. O avião voou um total de (5 ) horas e cada trajeto foi de (360 ) milhas. Se o avião estava voando a (150 ) mph, qual foi a velocidade do vento que afetou o avião?

11. Ezra subiu o rio de caiaque e voltou em um tempo total de (6 ) horas. A viagem era de (4 ) milhas em cada sentido e a corrente era difícil. Se Roy andava de caiaque a uma velocidade de (5 ) mph, qual era a velocidade da corrente?

12. Dois trabalhadores manuais podem fazer um conserto em casa em (2 ) horas se trabalharem juntos. Um dos homens leva (3 ) horas a mais do que o outro para terminar o trabalho sozinho. Quanto tempo leva para cada trabalhador braçal fazer o conserto da casa individualmente?

Responder

2. Dois números pares consecutivos cujo produto é (624 ) são (24 ) e (26 ), e (- 24 ) e (- 26 ).

4. A altura é de (14 ) polegadas e a largura é de (10 ​​) polegadas.

6. O comprimento da diagonal é de (3,6 ) pés.

8. A largura da mesa de serviço é de (4,7 ) pés e o comprimento é de (16,1 ) pés.

10. A velocidade do vento era de (30 ) mph.

12. Um homem leva (3 ) horas e o outro leva (6 ) horas para terminar o reparo sozinho.

Funções quadráticas do gráfico usando propriedades

Exercício ( PageIndex {11} ) Reconhecer o gráfico de uma função quadrática

Nos exercícios a seguir, faça o gráfico por ponto de plotagem.

  1. Gráfico (y = x ^ {2} -2 )
  2. Gráfico (y = -x ^ {2} +3 )
Responder

2.

Exercício ( PageIndex {12} ) Reconhecer o gráfico de uma função quadrática

Nos exercícios a seguir, determine se as seguintes parábolas abrem para cima ou para baixo.

    1. (y = -3 x ^ {2} +3 x-1 )
    2. (y = 5 x ^ {2} +6 x + 3 )
    1. (y = x ^ {2} +8 x-1 )
    2. (y = -4 x ^ {2} -7 x + 1 )
Responder

2.

  1. Pra cima
  2. Abaixo

Exercício ( PageIndex {13} ) Encontre o eixo de simetria e vértice de uma parábola

Nos exercícios a seguir, encontre

  1. A equação do eixo de simetria
  2. O vértice
    1. (y = -x ^ {2} +6 x + 8 )
    2. (y = 2 x ^ {2} -8 x + 1 )
Responder

2. (x = 2 ); ((2, -7) )

Exercício ( PageIndex {14} ) Encontre as interceptações de uma parábola

Nos exercícios a seguir, encontre as interceptações (x ) - e (y ).

  1. (y = x ^ {2} -4x + 5 )
  2. (y = x ^ {2} -8x + 15 )
  3. (y = x ^ {2} -4x + 10 )
  4. (y = -5x ^ {2} -30x-46 )
  5. (y = 16x ^ {2} -8x + 1 )
  6. (y = x ^ {2} + 16x + 64 )
Responder

2. ( begin {array} {l} {y: (0,15)} {x: (3,0), (5,0)} end {array} )

4. ( begin {array} {l} {y: (0, -46)} {x: text {none}} end {array} )

6. ( begin {array} {l} {y: (0, -64)} {x: (- 8,0)} end {array} )

Funções quadráticas do gráfico usando propriedades

Exercício ( PageIndex {15} ) Gráfico de funções quadráticas usando propriedades

Nos exercícios a seguir, faça um gráfico usando suas propriedades.

  1. (y = x ^ {2} +8 x + 15 )
  2. (y = x ^ {2} -2 x-3 )
  3. (y = -x ^ {2} +8 x-16 )
  4. (y = 4 x ^ {2} -4 x + 1 )
  5. (y = x ^ {2} +6 x + 13 )
  6. (y = -2 x ^ {2} -8 x-12 )
Responder

2.

4.

6.

Exercício ( PageIndex {16} ) Resolver aplicações máximas e mínimas

Nos exercícios a seguir, encontre o valor mínimo ou máximo.

  1. (y = 7 x ^ {2} +14 x + 6 )
  2. (y = -3 x ^ {2} +12 x-10 )
Responder

2. O valor máximo é (2 ) quando (x = 2 ).

Exercício ( PageIndex {17} ) Resolver aplicações máximas e mínimas

Nos exercícios a seguir, resolva. Arredondando as respostas para o décimo mais próximo.

  1. Uma bola é lançada do solo para cima com uma velocidade inicial de (112 ) pés / seg. Use a equação quadrática (h = -16 t ^ {2} +112 t ) para descobrir quanto tempo a bola levará para atingir a altura máxima e, em seguida, encontre a altura máxima.
  2. Uma creche envolve uma área retangular ao longo da lateral do prédio para as crianças brincarem ao ar livre. Eles precisam maximizar a área usando (180 ) pés de cerca em três lados do quintal. A equação quadrática (A = -2 x ^ {2} +180 x ) dá a área, (A ), do pátio para o comprimento, (x ), do edifício que fará fronteira com o pátio . Encontre o comprimento do edifício que deve limitar o pátio para maximizar a área e, em seguida, encontre a área máxima.
Responder

2. O comprimento adjacente ao edifício é de (90 ) pés, dando uma área máxima de (4.050 ) pés quadrados.

Funções quadráticas do gráfico usando transformações

Exercício ( PageIndex {18} ) Gráfico de funções quadráticas da forma (f (x) = x ^ {2} + k )

Nos exercícios a seguir, represente graficamente cada função usando um deslocamento vertical.

  1. (g (x) = x ^ {2} +4 )
  2. (h (x) = x ^ {2} -3 )
Responder

2.

Exercício ( PageIndex {19} ) Gráfico de funções quadráticas da forma (f (x) = x ^ {2} + k )

Nos exercícios a seguir, represente graficamente cada função usando um deslocamento horizontal.

  1. (f (x) = (x + 1) ^ {2} )
  2. (g (x) = (x-3) ^ {2} )
Responder

2.

Exercício ( PageIndex {20} ) Gráfico de funções quadráticas da forma (f (x) = x ^ {2} + k )

Nos exercícios a seguir, represente graficamente cada função usando transformações.

  1. (f (x) = (x + 2) ^ {2} +3 )
  2. (f (x) = (x + 3) ^ {2} -2 )
  3. (f (x) = (x-1) ^ {2} +4 )
  4. (f (x) = (x-4) ^ {2} -3 )
Responder

2.

4.

Exercício ( PageIndex {21} ) Gráfico de funções quadráticas da forma (f (x) = ax ^ {2} )

Nos exercícios a seguir, represente graficamente cada função.

  1. (f (x) = 2x ^ {2} )
  2. (f (x) = - x ^ {2} )
  3. (f (x) = frac {1} {2} x ^ {2} )
Responder

2.

Exercício ( PageIndex {22} ) Gráfico de funções quadráticas usando transformações

Nos exercícios a seguir, reescreva cada função na forma (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k ) completando o quadrado.

  1. (f (x) = 2 x ^ {2} -4 x-4 )
  2. (f (x) = 3 x ^ {2} +12 x + 8 )
Responder

1. (f (x) = 2 (x-1) ^ {2} -6 )

Exercício ( PageIndex {23} ) Gráfico de funções quadráticas usando transformações

Nos exercícios a seguir,

  1. Reescreva cada função na forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k )
  2. Faça um gráfico usando transformações
    1. (f (x) = 3 x ^ {2} -6 x-1 )
    2. (f (x) = - 2 x ^ {2} -12 x-5 )
    3. (f (x) = 2 x ^ {2} +4 x + 6 )
    4. (f (x) = 3 x ^ {2} -12 x + 7 )
Responder

1.

  1. (f (x) = 3 (x-1) ^ {2} -4 )


  2. Figura 9.E.13

3.

  1. (f (x) = 2 (x + 1) ^ {2} +4 )


  2. Figura 9.E.14

Exercício ( PageIndex {24} ) Gráfico de funções quadráticas usando transformações

Nos exercícios a seguir,

  1. Reescreva cada função na forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k )
  2. Faça um gráfico usando propriedades
    1. (f (x) = - 3 x ^ {2} -12 x-5 )
    2. (f (x) = 2 x ^ {2} -12 x + 7 )
Responder

1.

  1. (f (x) = - 3 (x + 2) ^ {2} +7 )


  2. Figura 9.E.15

Exercício ( PageIndex {25} ) Encontre uma função quadrática em seu gráfico

Nos exercícios a seguir, escreva a função quadrática na forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ).



  1. Figura 9.E.16


  2. Figura 9.E.17
Responder

1. (f (x) = (x + 1) ^ {2} -5 )

Resolva Desigualdades Quadráticas

Exercício ( PageIndex {26} ) Resolver Desigualdades Quadráticas Graficamente

Nos exercícios a seguir, resolva graficamente e escreva a solução em notação de intervalo.

  1. (x ^ {2} -x-6> 0 )
  2. (x ^ {2} +4 x + 3 leq 0 )
  3. (- x ^ {2} -x + 2 geq 0 )
  4. (- x ^ {2} +2 x + 3 <0 )
Responder

1.



  1. Figura 9.E.18
  2. ((- infty, -2) cup (3, infty) )

3.



  1. Figura 9.E.19
  2. ([-2,1])

Exercício ( PageIndex {27} ) Resolver Desigualdades Quadráticas Graficamente

Nos exercícios a seguir, resolva cada desigualdade algebricamente e escreva qualquer solução em notação de intervalo.

  1. (x ^ {2} -6 x + 8 <0 )
  2. (x ^ {2} + x> 12 )
  3. (x ^ {2} -6 x + 4 leq 0 )
  4. (2 x ^ {2} +7 x-4> 0 )
  5. (- x ^ {2} + x-6> 0 )
  6. (x ^ {2} -2 x + 4 geq 0 )
Responder

1. ((2,4))

3. ([3- sqrt {5}, 3+ sqrt {5}] )

5. nenhuma solução

Teste prático

Exercício ( PageIndex {28} )

  1. Use a propriedade de raiz quadrada para resolver a equação quadrática (3 (w + 5) ^ {2} = 27 ).
  2. Use Completando o Quadrado para resolver a equação quadrática (a ^ {2} -8 a + 7 = 23 ).
  3. Use a fórmula quadrática para resolver a equação quadrática (2 m ^ {2} -5 m + 3 = 0 ).
Responder

1. (w = -2, w = -8 )

3. (m = 1, m = frac {3} {2} )

Exercício ( PageIndex {29} )

Resolva as seguintes equações quadráticas. Use qualquer método.

  1. (2 x (3 x-2) -1 = 0 )
  2. ( frac {9} {4} y ^ {2} -3 y + 1 = 0 )
Responder

2. (y = frac {2} {3} )

Exercício ( PageIndex {30} )

Use o discriminante para determinar o número e o tipo de soluções de cada equação quadrática.

  1. (6 p ^ {2} -13 p + 7 = 0 )
  2. (3 q ^ {2} -10 q + 12 = 0 )
Responder

2. (2 ) complexo

Exercício ( PageIndex {31} )

Resolva cada equação.

  1. (4 x ^ {4} -17 x ^ {2} + 4 = 0 )
  2. (y ^ { frac {2} {3}} + 2 y ^ { frac {1} {3}} - 3 = 0 )
Responder

2. (y = 1, y = -27 )

Exercício ( PageIndex {32} )

Para cada parábola, encontre

  1. Em que direção ele abre
  2. A equação do eixo de simetria
  3. O vértice
  4. O (x )-e (y ) - intercepta
  5. O valor máximo ou mínimo
    1. (y = 3 x ^ {2} +6 x + 8 )
    2. (y = -x ^ {2} -8 x + 16 )
Responder

2.

  1. baixa
  2. (x = -4 )
  3. ((-4,0))
  4. (y: (0,16); x: (-4,0) )
  5. valor mínimo de (- 4 ) quando (x = 0 )

Exercício ( PageIndex {33} )

Represente graficamente cada função quadrática usando interceptos, o vértice e a equação do eixo de simetria.

  1. (f (x) = x ^ {2} +6 x + 9 )
  2. (f (x) = - 2 x ^ {2} +8 x + 4 )
Responder

2.

Exercício ( PageIndex {34} )

Nos exercícios a seguir, represente graficamente cada função usando transformações.

  1. (f (x) = (x + 3) ^ {2} +2 )
  2. (f (x) = x ^ {2} -4 x-1 )
Responder

2.


Figura 9.E.21

Exercício ( PageIndex {35} )

Nos exercícios a seguir, resolva cada desigualdade algebricamente e escreva qualquer solução em notação de intervalo.

  1. (x ^ {2} -6 x-8 leq 0 )
  2. (2 x ^ {2} + x-10> 0 )
Responder

2. ( left (- infty, - frac {5} {2} right) cup (2, infty) )

Exercício ( PageIndex {36} )

Modele a situação com uma equação quadrática e resolva por qualquer método.

  1. Encontre dois números pares consecutivos cujo produto seja (360 ).
  2. O comprimento da diagonal de um retângulo é três a mais que a largura. O comprimento do retângulo é três vezes a largura. Encontre o comprimento da diagonal. (Arredonde para o décimo mais próximo).
Responder

2. Um balão de água é lançado para cima a uma taxa de (86 ) pés / s. Usando a fórmula (h = -16 t ^ {2} +86 t ), encontre quanto tempo o balão levará para atingir a altura máxima e, em seguida, encontre a altura máxima. Arredonde para o décimo mais próximo.


Algumas das palavras entre parênteses requerem a adição da letra e outros estão corretos como eles estão.

  1. Gus está (sinceramente) arrependido por tê-lo deixado acordado na noite passada.
  2. Fomos criticados (severamente) pelo círculo de costura.
  3. O galpão foi (totalmente) demolido.
  4. Merdine estava (sinceramente) grato pelo adiamento.
  5. Os Simpsons estão (discutindo) novamente.
  6. Eles (argu-d) ontem à noite por horas.
  7. Quando o Sr. Wolfe (voltando) para casa.
  8. Maya está (escrevendo) sua autobiografia.
  9. O Sr. White está (julgando) o concurso de redação.
  10. Seja (atento) ao acender a fornalha.

16.1: Ácidos e bases: uma breve revisão

Problemas Conceituais

  1. Identifique os pares conjugados de ácido & ndashbase em cada equilíbrio.
    1. (HSO ^ & menos_ <4> , (aq) + H_2O , (l) rightleftharpoons SO ^ <2 & menos> _ <4> , (aq) + H_3O ^ <+> , (aq) )
    2. (C_ <3> H_ <7> NO_ <2> , (aq) + H_ <3> O ^ <+> , (aq) rightleftharpoons C_ <3> H_ <8> NO ^ <+> _ <2> , (aq) + H_ <2> O , (l) )
    3. (CH_ <3> O_ <2> H , (aq) + NH_ <3> , (aq) rightleftharpoons CH_ <3> CO ^ <& minus> _ <2> , (aq) + NH ^ < +> _ <4> , (aq) )
    4. (SbF_ <5> , (aq) +2 , HF , (aq) rightleftharpoons H_ <2> F ^ <+> , (aq) + SbF ^ <& minus> _ <6> , ( aq) )
    1. (HF , (aq) + H_ <2> O , (l) rightleftharpoons H_3O ^ <+> , (aq) + F ^ <& minus> , (aq) )
    2. (CH_3CH_2NH_ <2> , (aq) + H_ <2> O , (l) rightleftharpoons CH_3CH_2NH ^ <+> _ <3> , (aq) + OH ^ <& minus> , (aq) )
    3. (C_3H_7NO_ <2> , (aq) + OH ^ <& minus> , (aq) rightleftharpoons C_3H_6NO ^ <& minus> _ <2> , (aq) + H_ <2> O , (l) )
    4. (CH_3CO_2H , (aq) +2 , HF , (aq) rightleftharpoons CH_3C (OH) _ <2> ^ <+> , (aq) + HF ^ <& minus> _ <2> , ( aq) )
    1. (HCO ^ & menos_ <3> , (aq) + H_2O , (l) rightleftharpoons CO ^ <2 & menos> _ <3> , (aq) + H_3O ^ <+> , (aq) )
    2. (fórmico ácido , (aq) + H_2O , (l) rightleftharpoons formato , (aq) + H_3O ^ + , (aq) )
    3. (H_3PO_ <4> , (aq) + H_2O , (l) rightleftharpoons H_2PO ^ & menos_ <4> , (aq) + H_3O ^ + , (aq) )
    1. (OCH ^ <& minus> _ <3> , (aq) + H_2O , (l) rightleftharpoons HOCH_ <3> , (aq) + OH ^ <-> , (aq) )
    2. (NH ^ & minus_ <2> , (aq) + H_2O , (l) rightleftharpoons NH_ <3> , (aq) + OH ^ <& minus> , (aq) )
    3. (S ^ <2 & minus> , (aq) + H_2O , (l) rightleftharpoons HS ^ & minus , (aq) + OH ^ & minus , (aq) )
    1. (HBr , (aq) + H_2O , (l) rightleftharpoons H_3O ^ + , (aq) + Br ^ & menos , (aq) )
    2. (NaH , (s) + NH_ <3> , (aq) rightleftharpoons H_ <2> , (g) + NaNH_ <2> , (s) )
    3. (OCH ^ <& minus> _ <3> , (aq) + NH_ <3> , (aq) rightleftharpoons CH_ <3> OH , (aq) + NH ^ & minus_ <2> , (aq) )
    4. (NH_ <3> , (aq) + HCl , (aq) rightleftharpoons NH ^ <+> _ <4> , (aq) + Cl ^ & menos , (aq) )
    1. (Li_3N )
    2. (NaH )
    3. (KBr )
    4. (C_2H_5NH_3Cl )
    1. (LiCH_3 )
    2. (MgCl_2 )
    3. (K_2O )
    4. ((CH_3) _2NH_2 ^ + Br ^ & menos )

    Resposta Conceitual

    6. Ácidos fortes têm o menor (pK_a ).

    uma. O equilíbrio está principalmente à direita porque (HBr ) ( (pK_a = -8,7 )) é um ácido mais forte do que (H_ <3> O ^ <+> ) ( (pK_a = -1,7 )) e (H_ <2> O ) ( (pK_a = 14 )) é uma base mais forte do que (Br ^ - ) ( (pK_a = -8,7 )).

    b. O equilíbrio está principalmente à esquerda porque (H_ <2> ) ( (pK_a = 36 )) é um ácido mais forte do que (NH_ <3> ) ( (pK_a = 38 )) e ( ( NaNH_2 )) ( (pK_a = 38 )) é uma base mais forte do que (NaH ) ( (pK_a = 35 )).

    c. O equilíbrio está principalmente à esquerda porque (CH_ <3> OH ) ( (pK_a = 17 )) é um ácido mais forte do que (NH_ <3> ) ( (pK_a = 38 )) e ( NH_ <2> ^ <-> ) ( (pK_a = 38 )) é uma base mais forte do que (OCH_ <3> ^ <-> ) ( (pK_a = 25 )).

    d. O equilíbrio está à direita porque (HCl ) ( (pK_a = -7 )) é um ácido mais forte do que (NH_ <4> ^ <+> ) ( (pK_a = 9,3 )) e ( NH_ <3> ) é uma base mais forte do que (Cl ^ <-> ) ( (pK_a = -7 )).

    7. Para identificar a base mais forte, podemos determinar seu ácido conjugado mais fraco. Os ácidos conjugados de (CH_ <3> ^ <-> ), (NH_ <2> ^ <-> ) e (S_ <2> ^ <-> ) são (CH_ <4> ), (NH_ <3> ) e (HS ^ <-> ), respectivamente. Em seguida, consideramos que a acidez aumenta com a carga positiva na molécula, descartando que (S_ <2> ^ <-> ) seja a base mais fraca. Finalmente, consideramos que a acidez aumenta com a eletronegatividade, portanto (NH_ <3> ) é o segundo mais básico e (CH_ <4> ) é o mais básico. Para distinguir entre a força dos ácidos (HIO_3 ), (H_ <2> SO_ <4> ) e (HClO_4 ), podemos considerar que quanto maior a eletronegatividade e o estado de oxidação do não metal central é maior ácido, portanto, a ordem de acidez é: (HIO_3 ) & lt (H_ <2> SO_ <4> ) & lt (HClO_4 ) porque a eletronegatividade e o estado de oxidação aumentam da seguinte maneira: (I (+5) & ltS (+6) & ltCl (+7) ).

    8. Não é preciso dizer que uma solução 2,0 M de (H_2SO_4 ), que contém dois prótons ácidos por molécula, é 4,0 M em (H ^ + ) porque uma solução 2,0 M de (H_2SO_4 ) é equivalente a 4,0 N in (H ^ + ).

    9. A alcalinidade é uma medida da capacidade de neutralização de ácido. A basicidade do solo é definida desta forma porque bases como (HCO_ <3> ^ <-> ) e (CO_ <3> ^ <2-> ) podem neutralizar ácidos no solo. Como a maioria do solo tem um pH entre 6 e 8, a alcalinidade pode ser estimada apenas por suas espécies de carbonato. Em um pH quase neutro, a maioria das espécies de carbonato são bicarbonato.

    10. Soluções aquosas de sais como (CaCl_ <2> ) são neutras porque são criadas a partir de ácido clorídrico (um ácido forte) e hidróxido de cálcio (uma base forte). Uma solução aquosa de (NaNH_2 ) é básica porque pode desprotonar alcinos, álcoois e uma série de outros grupos funcionais com prótons ácidos, como ésteres e cetonas.

    uma. (Li_3N ) é uma base porque o par solitário no nitrogênio pode aceitar um próton.

    b. (NaH ) é uma base porque o hidrogênio tem carga negativa.

    c. (KBr ) é neutro porque é formado a partir de (HBr ) (um ácido forte) e (KOH ) (uma base forte).

    d. (C_2H_5NH_3Cl ) é ácido porque pode doar um próton.

    c. O pH deve permanecer o mesmo. (K_ <2> O , (aq) + H_2O , (l) rightleftharpoons 2 , KOH , (aq) )

    13. (Sn (H_2O) _4 ^ <2 +> ) deve ser mais ácido do que (Pb (H_2O) _4 ^ <2 +> ) porque (Sn ) é mais eletronegativo do que (Pb ).

    14. (Sn (H_2O) _6 ^ <4 +> ) deve ser mais ácido do que (Sn (H_2O) _4 ^ <2 +> ) porque a carga em (Sn ) é maior ( (4 ^ + & gt2 ^ + )).

    15. Sim, é possível que a ordem de aumento da força da base seja: (LiH & ltNaH & ltRbH & ltCsH ) porque o aumento da força da base depende da diminuição da eletronegatividade.

    Problemas Numéricos

    1. Organize esses ácidos em ordem crescente de força.
      • ácido A: (pK_a = 1,52 )
      • ácido B: (pK_a = 6,93 )
      • ácido C: (pK_a = 3,86 )

    Dadas soluções com a mesma concentração inicial de cada ácido, qual teria o maior percentual de ionização?

    1. Organize essas bases em ordem crescente de resistência:
      • base A: (pK_b = 13,10 )
      • base B: (pK_b = 8,74 )
      • base C: (pK_b = 11,87 )

    Dadas soluções com a mesma concentração inicial de cada base, qual teria o maior percentual de ionização?

    1. Calcule o (K_a ) e o (pK_a ) do ácido conjugado de uma base com cada valor de (pK_b ).
      1. 3.80
      2. 7.90
      3. 13.70
      4. 1.40
      5. & menos 2,50

      Respostas Numéricas

      1. Ácidos em ordem crescente de força: (ácido , B & ltácido , C & ltácido , A ). Dada a mesma concentração inicial de cada ácido, o maior percentual de ionização é o ácido A porque é o ácido mais forte.

      2. Bases em ordem crescente de resistência: (base , A & ltbase , C & ltbase , B ). Dadas as soluções com a mesma concentração inicial de cada base, o maior percentual de ionização é a base A porque é a base mais fraca.

      (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_a = 14-pK_b = 14-3,80 = 10,2 )

      (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_a = 14-pK_b = 14-7,90 = 6,10 )

      (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_a = 14-pK_b = 14-7,90 = 3.000 vezes 10 ^ <-1> )

      (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_a = 14-pK_b = 14-1,40 = 12,6 )

      e. (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_a = 14-pK_b = 14-7,90 = 16,5 )

      (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_b = 14-pK_a = 14-4,20 = 9,80 )

      (pK_a + pK_b = 14 rightarrow pK_a = 14-pK_b = 14-4,80 = 9,20 )


      Problemas e exercícios amplos

      16.1: Lei Hooke & rsquos: Estresse e tensão revisitados

      19. Os peixes são pendurados em uma balança de mola para determinar sua massa (a maioria dos pescadores não se sente obrigada a relatar a massa).

      (a) Qual é a constante de força da mola em tal escala se a mola estica 8,00 cm para uma carga de 10,0 kg?

      (b) Qual é a massa de um peixe que estende a mola 5,50 cm?

      (c) A que distância estão as marcas de meio quilograma na escala?

      Solução
      (a) ( displaystyle 1.23 & times10 ^ 3N / m )
      (b) ( displaystyle 6,88 kg )
      (c) ( displaystyle 4,00 mm )

      20. É hora de pesar para a equipe local de rúgbi com menos de 85 kg. A balança de banheiro usada para avaliar a elegibilidade pode ser descrita pela lei de Hooke & rsquos e é deprimida 0,75 cm por sua carga máxima de 120 kg.

      (a) Qual é a constante efetiva da mola?

      (b) Um jogador sobe na balança e a deprime em 0,48 cm. Ele é elegível para jogar nesta equipe até 85 kg?

      21. Um tipo de arma BB usa um êmbolo acionado por mola para explodir o BB de seu cano.

      (a) Calcule a constante de força de seu êmbolo e mola rsquos se você precisar comprimi-la em 0,150 m para conduzir o êmbolo de 0,0500 kg a uma velocidade máxima de 20,0 m / s.

      (b) Que força deve ser exercida para comprimir a mola?

      Solução
      (a) 889 N / m
      (b) 133 N

      22. (a) As molas de uma caminhonete agem como uma única mola com uma constante de força de ( displaystyle 1.30 & times10 ^ 5N / m ). Em quanto o caminhão será deprimido por sua carga máxima de 1000 kg?

      (b) Se a caminhonete tem quatro molas idênticas, qual é a constante de força de cada uma?

      23. Quando um homem de 80 kg está em um pula-pula, a mola é comprimida em 0,120 m.

      (a) Qual é a constante de força da mola?

      (b) A mola ficará mais comprimida quando ele pular na estrada?

      Solução
      (a) ( displaystyle 6,53 & times10 ^ 3N / m )
      (b) sim

      24. Uma mola tem um comprimento de 0,200 m quando uma massa de 0,300 kg está suspensa e um comprimento de 0,750 m quando uma massa de 1,95 kg está suspensa.

      (a) Qual é a constante de força da mola?

      (b) Qual é o comprimento da mola sem carga?

      16.2: Período e frequência em oscilações

      25. Qual é o período de energia elétrica ( displaystyle 60,0 Hz )?

      Solução
      16,7 ms

      26. Se sua frequência cardíaca for 150 batimentos por minuto durante exercícios extenuantes, qual é o tempo por batimento em unidades de segundos?

      Solução
      0,400 s / batidas

      27. Encontre a frequência de um diapasão que leva ( displaystyle 2,50 & times10 ^ <& minus3> s ) para completar uma oscilação.

      Solução
      400 Hz

      28. Um estroboscópio é configurado para piscar a cada ( displaystyle 8.00 & times10 ^ <& minus5> s ). Qual é a frequência dos flashes?

      Solução
      12.500 Hz

      29. Um pneu tem um padrão de piso com uma fenda a cada 2,00 cm. Cada fenda produz uma única vibração conforme o pneu se move. Qual é a frequência dessas vibrações se o carro se move a 30,0 m / s?

      Solução
      1,50 kHz

      30. Aplicação de Engenharia

      Cada pistão de um motor emite um som agudo a cada rotação do motor.

      (a) Qual a velocidade de um carro de corrida se seu motor de oito cilindros emite um som de frequência de 750 Hz, dado que o motor faz 2.000 rotações por quilômetro?

      (b) A quantas rotações por minuto o motor está girando?

      Solução
      (a) 93,8 m / s
      (b) ( displaystyle 11.3 & times10 ^ 3 ) rev / min

      16.3: Movimento Harmônico Simples: Um Movimento Periódico Especial

      31. Um tipo de relógio cuco marca o tempo fazendo uma massa quicando em uma mola, geralmente algo bonito como um querubim em uma cadeira. Qual constante de força é necessária para produzir um período de 0,500 s para uma massa de 0,0150 kg?

      Solução
      ( displaystyle 2.37N / m )

      32. Se a constante da mola de um oscilador harmônico simples for duplicada, por qual fator a massa do sistema precisará mudar para que a frequência do movimento permaneça a mesma?

      33. Uma massa de 0,500 kg suspensa de uma mola oscila com um período de 1,50 s. Quanta massa deve ser adicionada ao objeto para alterar o período para 2,00 s?

      Solução
      0,389 kg

      34. Por quanta margem de manobra (tanto em porcentagem quanto em massa) você teria na seleção da massa do objeto no problema anterior se não desejasse que o novo período fosse maior que 2,01 s ou menor que 1,99 s?

      35. Suponha que você fixe o objeto com massa ( displaystyle m ) a uma mola vertical originalmente em repouso e o deixe saltar para cima e para baixo. Você libera o objeto do repouso no comprimento de repouso original da mola.

      (a) Mostre que a mola exerce uma força para cima de ( displaystyle 2.00mg ) no objeto em seu ponto mais baixo.

      (b) Se a mola tem uma constante de força de ( displaystyle 10,0N / m ) e um objeto de massa de 0,25 kg é colocado em movimento conforme descrito, encontre a amplitude das oscilações.

      (c) Encontre a velocidade máxima.

      36. Um mergulhador em um trampolim está passando por um movimento harmônico simples. Sua massa é de 55,0 kg e o período de seu movimento é de 0,800 s. O próximo mergulhador é um homem cujo período de oscilação harmônica simples é de 1,05 s. Qual é a sua massa se a massa do tabuleiro for insignificante?

      Solução
      94,7 kg

      37. Suponha que um trampolim sem ninguém salte para cima e para baixo em um movimento harmônico simples com uma frequência de 4,00 Hz. A prancha tem massa efetiva de 10,0 kg. Qual é a frequência do movimento harmônico simples de um mergulhador de 75,0 kg na prancha?

      38. O dispositivo retratado na Figura diverte os bebês enquanto os impede de vagar. A criança salta em um arnês suspenso na moldura de uma porta por uma constante de mola.

      (a) Se a mola se estende por 0,250 m enquanto apóia uma criança de 8,0 kg, qual é sua constante de mola?

      (b) Qual é a hora para um salto completo dessa criança? (c) Qual é a velocidade máxima da criança se a amplitude de seu salto é 0,200 m?


      Este brinquedo infantil depende de molas para manter os bebês entretidos. (crédito: por Humboldthead, Flickr)

      39. Um pára-quedista de 90,0 kg pendurado em um pára-quedas salta para cima e para baixo com um período de 1,50 s. Qual é o novo período de oscilação quando um segundo pára-quedista, cuja massa é de 60,0 kg, se pendura nas pernas do primeiro, como pode ser visto na Figura.


      As oscilações de um pára-quedista estão prestes a ser afetadas por um segundo paraquedista. (crédito: Exército dos EUA, www.army.mil)

      Solução
      1,94 s

      16.4: O Pêndulo Simples

      Como de costume, a aceleração da gravidade nesses problemas é considerada g = 9,80m / s2, a menos que especificado de outra forma.

      40. Qual é o comprimento de um pêndulo que tem um período de 0,500 s?

      Solução
      6,21 cm

      41. Algumas pessoas pensam que um pêndulo com um período de 1,00 s pode ser movido com & ldquomental energy & rdquo ou psicocineticamente, porque seu período é igual a um batimento cardíaco médio. Verdadeiro ou não, qual é o comprimento desse pêndulo?

      42. Qual é o período de um pêndulo de 1,00 m de comprimento?

      Solução
      2.01 s

      43. Quanto tempo uma criança leva para completar um balanço se seu centro de gravidade está 4,00 m abaixo do pivô?

      44. O pêndulo em um relógio cuco tem 5,00 cm de comprimento. Qual é a sua frequência?

      Solução
      2,23 Hz

      45. Dois periquitos sentam-se em um balanço com seu centro de massa combinado 10,0 cm abaixo do pivô. Com que frequência eles balançam?

      46. (a) Um pêndulo que tem um período de 3,00000 se está localizado onde a aceleração devido à gravidade é ( displaystyle 9,79m / s ^ 2 ) é movido para um local onde a aceleração devido à gravidade é ( displaystyle 9,82m / s ^ 2 ). Qual é o seu novo período?

      (b) Explique porque tantos dígitos são necessários no valor do período, com base na relação entre o período e a aceleração da gravidade.

      Solução
      (a) 2,99541 s
      (b) Uma vez que o período está relacionado à raiz quadrada da aceleração da gravidade, quando a aceleração muda em 1%, o período muda em ( displaystyle (0,01) ^ 2 = 0,01% ) então é necessário ter pelo menos 4 dígitos após o decimal para ver as alterações.

      47. Um pêndulo com um período de 2.00000 s em um local ( displaystyle (g = 9,80m / s ^ 2) ) é movido para um novo local onde o período é agora 1.99796 s. Qual é a aceleração da gravidade em seu novo local?

      48. (a) Qual é o efeito sobre o período de um pêndulo se você dobrar seu comprimento?

      (b) Qual é o efeito no período de um pêndulo se você diminuir seu comprimento em 5,00%?

      Solução
      (a) O período aumenta por um fator de 1,41 ( ( displaystyle sqrt <2> ))
      (b) Período diminui para 97,5% do período anterior

      49. Encontre a razão entre os períodos novo / antigo de um pêndulo se o pêndulo foi transportado da Terra para a Lua, onde a aceleração da gravidade é ( displaystyle 1,63m / s ^ 2 ).

      50. A que taxa um relógio de pêndulo funcionará na Lua, onde a aceleração devido à gravidade é ( displaystyle 1,63m / s ^ 2 ), se ele mantiver o tempo com precisão na Terra? Ou seja, encontre o tempo (em horas) que o ponteiro das horas do relógio e rsquos leva para dar uma volta na lua.

      Solução
      Lento por um fator de 2,45

      51. Suponha que o comprimento de um pêndulo de clock & rsquos seja alterado em 1.000%, exatamente ao meio-dia de um dia. A que horas será marcado 24 horas depois, assumindo que o pêndulo manteve o tempo perfeito antes da mudança? Observe que há duas respostas e execute o cálculo com a precisão de quatro dígitos.

      52. Se um relógio movido a pêndulo ganha 5,00 s / dia, que variação fracionária no comprimento do pêndulo deve ser feita para que ele mantenha a hora perfeita?

      Solução
      o comprimento deve aumentar em 0,0116%.

      16.5: Energia e o oscilador harmônico simples

      53. O comprimento da corda de náilon da qual um alpinista está suspenso tem uma constante de força de ( displaystyle 1,40 & times10 ^ 4N / m ).

      (a) What is the frequency at which he bounces, given his mass plus and the mass of his equipment are 90.0 kg?

      (b) How much would this rope stretch to break the climber&rsquos fall if he free-falls 2.00 m before the rope runs out of slack? Hint: Use conservation of energy. Ignore the energy the climber gains as the rope stretches.

      Solução
      (a) (displaystyle 1.99 Hz)
      (b) 50.2 cm

      54. Engineering Application

      Near the top of the Citigroup Center building in New York City, there is an object with mass of (displaystyle 4.00×10^5)kg on springs that have adjustable force constants. Its function is to dampen wind-driven oscillations of the building by oscillating at the same frequency as the building is being driven&mdashthe driving force is transferred to the object, which oscillates instead of the entire building.

      (a) What effective force constant should the springs have to make the object oscillate with a period of 2.00 s?

      (b) What energy is stored in the springs for a 2.00-m displacement from equilibrium?

      Solução
      (a) (displaystyle 3.95×10^6N/m)
      (b) (displaystyle 7.90×10^6J)

      16.6: Uniform Circular Motion and Simple Harmonic Motion

      55. (a)What is the maximum velocity of an 85.0-kg person bouncing on a bathroom scale having a force constant of (displaystyle 1.50×10^6N/m), if the amplitude of the bounce is 0.200 cm?

      (b)What is the maximum energy stored in the spring?

      Solução
      a). 0.266 m/s
      b). 3.00 J

      56. A novelty clock has a 0.0100-kg mass object bouncing on a spring that has a force constant of 1.25 N/m. What is the maximum velocity of the object if the object bounces 3.00 cm above and below its equilibrium position?

      (b) How many joules of kinetic energy does the object have at its maximum velocity?

      57. At what positions is the speed of a simple harmonic oscillator half its maximum? That is, what values of (displaystyle x/X) give (displaystyle v=±v_/2), where (displaystyle X) is the amplitude of the motion?

      Solução
      (displaystyle ±frac><2>)

      58. A ladybug sits 12.0 cm from the center of a Beatles music album spinning at 33.33 rpm. What is the maximum velocity of its shadow on the wall behind the turntable, if illuminated parallel to the record by the parallel rays of the setting Sun?

      16.7: Damped Harmonic Motion

      59. The amplitude of a lightly damped oscillator decreases by (displaystyle 3.0\%) during each cycle. What percentage of the mechanical energy of the oscillator is lost in each cycle?

      16.8: Forced Oscillations and Resonance

      60. How much energy must the shock absorbers of a 1200-kg car dissipate in order to damp a bounce that initially has a velocity of 0.800 m/s at the equilibrium position? Assume the car returns to its original vertical position.

      Solução
      384 J

      61. If a car has a suspension system with a force constant of (displaystyle 5.00×10^4N/m), how much energy must the car&rsquos shocks remove to dampen an oscillation starting with a maximum displacement of 0.0750 m?

      62. (a) How much will a spring that has a force constant of 40.0 N/m be stretched by an object with a mass of 0.500 kg when hung motionless from the spring?

      (b) Calculate the decrease in gravitational potential energy of the 0.500-kg object when it descends this distance.

      (c) Part of this gravitational energy goes into the spring. Calculate the energy stored in the spring by this stretch, and compare it with the gravitational potential energy. Explain where the rest of the energy might go.

      Solução
      (a). 0.123 m
      (b). &minus0.600 J
      (c). 0.300 J. The rest of the energy may go into heat caused by friction and other damping forces.

      63. Suppose you have a 0.750-kg object on a horizontal surface connected to a spring that has a force constant of 150 N/m. There is simple friction between the object and surface with a static coefficient of friction (displaystyle &mu_s=0.100).

      (a) How far can the spring be stretched without moving the mass?

      (b) If the object is set into oscillation with an amplitude twice the distance found in part (a), and the kinetic coefficient of friction is (displaystyle &mu_k=0.0850), what total distance does it travel before stopping? Assume it starts at the maximum amplitude.

      64. Engineering Application: A suspension bridge oscillates with an effective force constant of (displaystyle 1.00×10^8N/m).

      (a) How much energy is needed to make it oscillate with an amplitude of 0.100 m?

      (b) If soldiers march across the bridge with a cadence equal to the bridge&rsquos natural frequency and impart (displaystyle 1.00×10^4J) of energy each second, how long does it take for the bridge&rsquos oscillations to go from 0.100 m to 0.500 m amplitude?

      Solução
      (a) (displaystyle 5.00×10^5J)
      (b) (displaystyle 1.20×10^3s)

      16.9: Waves

      65. Storms in the South Pacific can create waves that travel all the way to the California coast, which are 12,000 km away. How long does it take them if they travel at 15.0 m/s?

      Solução
      t=9.26 d

      66. Waves on a swimming pool propagate at 0.750 m/s. You splash the water at one end of the pool and observe the wave go to the opposite end, reflect, and return in 30.0 s. How far away is the other end of the pool?

      67. Wind gusts create ripples on the ocean that have a wavelength of 5.00 cm and propagate at 2.00 m/s. What is their frequency?

      Solução
      f=40.0 Hz

      68. How many times a minute does a boat bob up and down on ocean waves that have a wavelength of 40.0 m and a propagation speed of 5.00 m/s?

      69. Scouts at a camp shake the rope bridge they have just crossed and observe the wave crests to be 8.00 m apart. If they shake it the bridge twice per second, what is the propagation speed of the waves?

      Solução
      (displaystyle v_w=16.0 m/s)

      70. What is the wavelength of the waves you create in a swimming pool if you splash your hand at a rate of 2.00 Hz and the waves propagate at 0.800 m/s?

      71. What is the wavelength of an earthquake that shakes you with a frequency of 10.0 Hz and gets to another city 84.0 km away in 12.0 s?

      Solução
      &lambda=700 m

      72. Radio waves transmitted through space at (displaystyle 3.00×10^8m/s) by the Voyager spacecraft have a wavelength of 0.120 m. What is their frequency?

      73. Your ear is capable of differentiating sounds that arrive at the ear just 1.00 ms apart. What is the minimum distance between two speakers that produce sounds that arrive at noticeably different times on a day when the speed of sound is 340 m/s?

      Solução
      d=34.0 cm

      74. (a) Seismographs measure the arrival times of earthquakes with a precision of 0.100 s. To get the distance to the epicenter of the quake, they compare the arrival times of S- and P-waves, which travel at different speeds. Figure) If S- and P-waves travel at 4.00 and 7.20 km/s, respectively, in the region considered, how precisely can the distance to the source of the earthquake be determined?

      (b) Seismic waves from underground detonations of nuclear bombs can be used to locate the test site and detect violations of test bans. Discuss whether your answer to (a) implies a serious limit to such detection. (Note also that the uncertainty is greater if there is an uncertainty in the propagation speeds of the S- and P-waves.)


      A seismograph as described in above problem.(credit: Oleg Alexandrov)

      16.10: Superposition and Interference

      75. A car has two horns, one emitting a frequency of 199 Hz and the other emitting a frequency of 203 Hz. What beat frequency do they produce?

      Solução
      (displaystyle f=4 Hz)

      76. The middle-C hammer of a piano hits two strings, producing beats of 1.50 Hz. One of the strings is tuned to 260.00 Hz. What frequencies could the other string have?

      77. Two tuning forks having frequencies of 460 and 464 Hz are struck simultaneously. What average frequency will you hear, and what will the beat frequency be?

      Solução
      462 Hz,
      4 Hz

      78. Twin jet engines on an airplane are producing an average sound frequency of 4100 Hz with a beat frequency of 0.500 Hz. What are their individual frequencies?

      79. A wave traveling on a Slinky® that is stretched to 4 m takes 2.4 s to travel the length of the Slinky and back again.

      (a) What is the speed of the wave?

      (b) Using the same Slinky stretched to the same length, a standing wave is created which consists of three antinodes and four nodes. At what frequency must the Slinky be oscillating?

      Solução
      (a) 3.33 m/s
      (b) 1.25 Hz

      80. Three adjacent keys on a piano (F, F-sharp, and G) are struck simultaneously, producing frequencies of 349, 370, and 392 Hz. What beat frequencies are produced by this discordant combination?

      16.11: Energy in Waves: Intensity

      81. Medical Application

      Ultrasound of intensity (displaystyle 1.50×10^2W/m^2) is produced by the rectangular head of a medical imaging device measuring 3.00 by 5.00 cm. What is its power output?

      Solução
      0.225 W

      82. The low-frequency speaker of a stereo set has a surface area of (displaystyle 0.05m^2) and produces 1W of acoustical power. What is the intensity at the speaker? If the speaker projects sound uniformly in all directions, at what distance from the speaker is the intensity (displaystyle 0.1W/m^2)?

      83. To increase intensity of a wave by a factor of 50, by what factor should the amplitude be increased?

      Solução
      7.07

      84. Engineering Application

      A device called an insolation meter is used to measure the intensity of sunlight has an area of (displaystyle 100 cm^2) and registers 6.50 W. What is the intensity in (displaystyle W/m^2)?

      85. Astronomy Application

      Energy from the Sun arrives at the top of the Earth&rsquos atmosphere with an intensity of (displaystyle 1.30kW/m^2). How long does it take for (displaystyle 1.8×10^9J) to arrive on an area of (displaystyle 1.00m^2)?

      Solução
      16.0 d

      86. Suppose you have a device that extracts energy from ocean breakers in direct proportion to their intensity. If the device produces 10.0 kW of power on a day when the breakers are 1.20 m high, how much will it produce when they are 0.600 m high?

      Solução
      2.50 kW

      87. Engineering Application

      (a) A photovoltaic array of (solar cells) is 10.0% efficient in gathering solar energy and converting it to electricity. If the average intensity of sunlight on one day is (displaystyle 700W/m^2), what area should your array have to gather energy at the rate of 100 W?

      (b) What is the maximum cost of the array if it must pay for itself in two years of operation averaging 10.0 hours per day? Assume that it earns money at the rate of 9.00 ¢ per kilowatt-hour.

      88. A microphone receiving a pure sound tone feeds an oscilloscope, producing a wave on its screen. If the sound intensity is originally (displaystyle 2.00×10^<&ndash5>W/m^2), but is turned up until the amplitude increases by 30.0%, what is the new intensity?

      Solução
      (displaystyle 3.38×10^<&ndash5>W/m^2)

      89. Medical Application

      (a) What is the intensity in (displaystyle W/m^2) of a laser beam used to burn away cancerous tissue that, when 90.0% absorbed, puts 500 J of energy into a circular spot 2.00 mm in diameter in 4.00 s?

      (b) Discuss how this intensity compares to the average intensity of sunlight (about (displaystyle 700W/m^2)) and the implications that would have if the laser beam entered your eye. Note how your answer depends on the time duration of the exposure.


      Passive Tense Review

      Do you remember the difference between active e passive sentences?

      In an active sentence:

      Someone or something is performing an action.
      "The cat chased the mouse."

      In a passive sentence:

      Someone or something is having something done to them.
      "The mouse was chased by the cat."

      In order to make a passive sentence you need:

      • A form of the verb 'to be'
      • A past tense verb
        por exemplo."Thousands of toys are bought every Christmas."

      If we want to say who performed the action then we must add 'by'.
      por exemplo. "Thousands of toys are bought every Christmas by parents."

      Can you convert the following sentences into the passive voice?

      1. Jennifer bought the cake.
      2. Millions of people visit Cape Town every year.
      3. Emily and Patrick ate my chocolate!
      4. Sam painted a beautiful picture.
      5. Kevin drives Kate to work every day.
      6. Peter killed the rat.
      7. Caroline eats two bars of chocolate daily.
      8. The waves hit the ship.
      9. Sophie cleans the kitchen.
      10. Everyone watches the fireworks.


      Software

      The phone runs Android 10, along with Motorola&rsquos updated My UX interface. Motorola uses a light hand for its software overlay, so for the most part the software here is stock Android.

      My UX brings features like Moto Actions, which allow you to enable gestures to quickly activate commonly used features. For example, you can flip the phone over to silence it, or flick your wrist twice while holding it to turn on the flashlight.

      Although Motorola has yet to announce plans for any future software updates, we anticipate the phone will receive Android 11 at some point after it comes out.


      Sony E 16mm f/2.8 SEL16F28

      The Sony NEX system was announced in May 2010, with three lenses: the 18-55 and 18-200mm zoom lenses, and the subject of this review, the 16mm ƒ/2.8 pancake prime lens.

      The 16mm ƒ/2.8 was designed for the new Sony ''E'' mount, with the image circle filling only the APS-C sensor size (it would vignette if used with a full-frame camera, and it's not clear if that would even be possible). The lens gives an effective field of view of 24mm when mounted on a NEX3 or NEX5, and with the addition of bayonet-mount adapters, the lens can be used as a 20mm fisheye lens or a 18mm ultrawide angle lens.

      The lens takes 49mm filters, and while a lens hood does not ship with the lens, the hood from the 18-55mm lens is compatible. The lens is available now separately for approximately $250, or as part of a NEX camera kit.

      Sharpness
      The Sony E 16mm ƒ/2.8 pancake is fairly soft when used wide open at the ƒ/2.8 aperture: around 3-4 blur units on average, with a small sweet spot that is moderately sharper (about 1.5 blur units) in the center. Stopping down does improve results for sharpness, but not incredibly: by ƒ/4, it's 2-3 blur units, and it hits its maximum sharpness at ƒ/5.6-8, where the softer parts of the frame are about 2 blur units, while the center improves to about 1. Diffraction limiting begins to set in at ƒ/11, and the image is quite soft at f/22. (Oddly, even at f/22, the corners are noticeably softer than the center.)

      Chromatic Aberration
      We noted a high level of chromatic aberration present in images shot with the 16mm ƒ/2.8 E, and not necessarily just in the corners. CA is most prominent when the lens is shot wide open at ƒ/2.8, and reduces slightly as the lens is stopped down.

      Shading (''Vignetting'')
      Light falloff is a factor, but not a huge one, with this lens. When used wide open at ƒ/2.8, the corners of the image are 2/3 EV darker than the center when used at any other aperture, the corners are 1/3 EV darker than the center.

      Distortion
      Distortion is usually a factor for wide-angle lenses, and so it's not surprise to find distortion in images shot with the 16mm ƒ/2.8 E. What is surprising is that it's a fairly prominent pincushion distortion - wide-angle lenses usually produce barrel distortion. In this case, there is some slight barrel distortion throughout the image (+0.2%), but in the corners, we note -0.7% distortion.

      Autofocus Operation
      The Sony 16mm ƒ/2.8 E is quick to autofocus - the lens takes less than a second to slew through the entire range of focus. It is very fast as there is little to move inside the lens when focusing. Small changes in focus are conducted extremely quickly. The ring will turn all the way around with no stops. When using manual focus as you turn the ring the central section of the LCD displays an enlarged (7X or 14X) view of the image. It makes the camera very easy to use for manual focusing with this lens.

      Macro
      Look elsewhere for macro performance - the lens has a magnification rating of just 0.073x. To its credit, the minimum close-focusing distance is short, at just 24cm (a little under a foot).

      Build Quality and Handling
      A nice looking, very compact, pancake style lens that looks great on either the NEX3 or NEX5 bodies. The lens is very lightweight, weighing in at just 70 grams (2.5 oz). The front element is a tiny dime-size element, and the entire optical design of the lens is made up of just 5 elements, one of which is aspherical. The lens balances nicely on the NEX3 or 5 body, but it's worth noting that with the design of these cameras, the lens is offset to the left, and that does make that side of the camera slightly heavier.

      The only control surface on the lens is the focusing ring - there is simply no room on the lens for a depth-of-field scale or anything similar. All other functionality such as enabling or disabling autofocus is conducted on the camera. The rubber focusing ring is 3/8'' wide, and will rotate forever in either direction with no hard or soft stops.

      While the lens doesn't ship with a lens hood, the hood from the 18-55mm lens will fit on this lens and function well (however, we don't know whether it's the recommended hood). When attached, the petal-shaped lens hood will add 1 1/8'' to the overall length of the lens, and could be reversed for storage on the bayonet mount.

      The other accessories available for this lens are the wide-angle adapters, which we did not have an opportunity to test, but will allow the lens to operate as a 20mm fisheye lens (VCL-ECF1 adapter) or an 18mm ultrawide angle lens (VCL-ECU1 adapter).

      Alternatives

      Right now, there's precious little in the way of alternatives for the Sony E mount. An adapter exists to allow you to mount standard alpha lenses, but the only comparable lens would be the 16mm ƒ/2.8 fisheye. The NEX kit lens, the 18-55mm ƒ/3.5-5.6, offers almost-as-wide performance, but without the constant ƒ/2.8 aperture.

      Conclusão
      The size of the lens make a NEX camera system almost pocketable. If you like the idea of a wide prime for your NEX camera, right now there's simply nothing else available. It's an interesting little lens, but its price point and its performance are perhaps limiting it to strictly consumer application.

      Sample Photos

      The VFA target should give you a good idea of sharpness in the center and corners, as well as some idea of the extent of barrel or pincushion distortion and chromatic aberration, while the Still Life subject may help in judging contrast and color. We shoot both images using the default JPEG settings and manual white balance of our test bodies, so the images should be quite consistent from lens to lens.

      As appropriate, we shoot these with both full-frame and sub-frame bodies, at a range of focal lengths, and at both maximum aperture and ƒ/8. For the ''VFA'' target (the viewfinder accuracy target from Imaging Resource), we also provide sample crops from the center and upper-left corner of each shot, so you can quickly get a sense of relative sharpness, without having to download and inspect the full-res images. To avoid space limitations with the layout of our review pages, indexes to the test shots launch in separate windows.