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17.9: Use o Sistema Numérico Complexo - Matemática


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Avalie a raiz quadrada de um número negativo
  • Adicionar e subtrair números complexos
  • Multiplique números complexos
  • Divida números complexos
  • Simplifique os poderes de (i )

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Dados os números (- 4, - sqrt {7}, 0. Overline {5}, frac {7} {3}, 3, sqrt {81} ), liste o
    1. números racionais
    2. números irracionais
    3. numeros reais
      Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 1.42.
  2. Multiplique: ((x − 3) (2x + 5) ).
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 5.28.
  3. Racionalize o denominador: ( frac { sqrt {5}} { sqrt {5} - sqrt {3}} )
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 5.32.

Avalie a raiz quadrada de um número negativo

Sempre que temos uma situação em que temos uma raiz quadrada de um número negativo, dizemos que não há número real igual a essa raiz quadrada. Por exemplo, para simplificar ( sqrt {-1} ), estamos procurando por um número real (x ) de forma que (x ^ {2} = - 1 ). Uma vez que todos os números reais ao quadrado são números positivos, não há número real igual a (- 1 ) quando ao quadrado.

Os matemáticos frequentemente expandiram seus sistemas de números conforme necessário. Eles adicionaram (0 ) aos números de contagem para obter os números inteiros. Quando precisaram de saldos negativos, eles adicionaram números negativos para obter os inteiros. Quando precisaram da ideia das partes de um todo, adicionaram frações e obtiveram os números racionais. Somando os números irracionais permitidos, números como ( sqrt {5} ). Todos esses juntos nos deram os números reais e, até agora, em seu estudo da matemática, isso tem sido suficiente.

Mas agora vamos expandir os números reais para incluir as raízes quadradas dos números negativos. Começamos definindo o unidade imaginária (i ) como o número cujo quadrado é (- 1 ).

Definição ( PageIndex {1} )

O unidade imaginária (i ) é o número cujo quadrado é (- 1 ).

Usaremos a unidade imaginária para simplificar as raízes quadradas dos números negativos.

Definição ( PageIndex {2} )

Raiz quadrada de um número negativo

Se (b ) for um número real positivo, então

( sqrt {-b} = sqrt {b} i )

Usaremos essa definição no próximo exemplo. Tenha cuidado para que esteja claro que o (i ) não está sob o radical. Algumas vezes você verá isso escrito como ( sqrt {-b} = i sqrt {b} ) para enfatizar que (i ) não está sob o radical. Mas o ( sqrt {-b} = sqrt {b} i ) é considerado a forma padrão.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Escreva cada expressão em termos de (i ) e simplifique é possível:

  1. ( sqrt {-25} )
  2. ( sqrt {-7} )
  3. ( sqrt {-12} )

Solução:

uma.

( sqrt {-25} )

Use a definição de raiz quadrada de números negativos.

( sqrt {25} i )

Simplificar.

(5i )

b.

( sqrt {-7} )

Use a definição de raiz quadrada de números negativos.

( sqrt {7} i )

Simplificar.

Tenha cuidado para que esteja claro que (i ) não está sob o signo do radical.

c.

( sqrt {-12} )

Use a definição de raiz quadrada de números negativos.

( sqrt {12} i )

Simplifique ( sqrt {12} ).

(2 sqrt {3} i )

Exercício ( PageIndex {1} )

Escreva cada expressão em termos de (i ) e simplifique se possível:

  1. ( sqrt {-81} )
  2. ( sqrt {-5} )
  3. ( sqrt {-18} )
Responder
  1. (9i )
  2. ( sqrt {5} i )
  3. (3 sqrt {2} i )

Exercício ( PageIndex {2} )

Escreva cada expressão em termos de (i ) e simplifique se possível:

  1. ( sqrt {-36} )
  2. ( sqrt {-3} )
  3. ( sqrt {-27} )
Responder
  1. (6i )
  2. ( sqrt {3} i )
  3. (3 sqrt {3} i )

Agora que estamos familiarizados com o número imaginário (i ), podemos expandir os números reais para incluir números imaginários. O sistema numérico complexo inclui os números reais e os números imaginários. UMA número complexo tem a forma (a + bi ), onde (a, b ) são números reais. Chamamos (a ) a parte real e (b ) a parte imaginária.

Definição ( PageIndex {3} )

UMA número complexo tem a forma (a + bi ), onde (a ) e (b ) são números reais.

Um número complexo está na forma padrão quando escrito como (a + bi ), onde (a ) e (b ) são números reais.

Se (b = 0 ), então (a + bi ) torna-se (a + 0⋅i = a ), e é um número real.

Se (b ≠ 0 ), então (a + bi ) é um número imaginário.

Se (a = 0 ), então (a + bi ) torna-se (0 + bi = bi ) e é chamado de número imaginário puro.

Resumimos isso aqui.

(a + bi )
(b = 0 )

(a + 0 cdot i )

(uma)

Número real
(b neq 0 ) (a + bi )Número imaginário
(a = 0 ) R

(0 + bi )

(bi)

Numbe4 imaginário puro
Tabela 8.8.1

A forma padrão de um número complexo é (a + bi ), então isso explica porque a forma preferida é ( sqrt {-b} = sqrt {b} i ) quando (b> 0 ).

O diagrama nos ajuda a visualizar o sistema numérico complexo. É composto de números reais e imaginários.

Adicionar ou subtrair números complexos

Agora estamos prontos para realizar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão nos números complexos - exatamente como fizemos com os números reais.

Adicionar e subtrair números complexos é como adicionar ou subtrair termos semelhantes. Adicionamos ou subtraímos as partes reais e depois adicionamos ou subtraímos as partes imaginárias. Nosso resultado final deve estar no formato padrão.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Adicione: ( sqrt {-12} + sqrt {-27} ).

Solução:

( sqrt {-12} + sqrt {-27} )

Use a definição de raiz quadrada de números negativos.

( sqrt {12} i + sqrt {27} i )

Simplifique as raízes quadradas.

(2 sqrt {3} i + 3 sqrt {3} i )

Adicionar.

(5 sqrt {3} i )

Exercício ( PageIndex {3} )

Adicione: ( sqrt {-8} + sqrt {-32} ).

Responder

(6 sqrt {2} i )

Exercício ( PageIndex {4} )

Adicionar: ( sqrt {-27} + sqrt {-48} )

Responder

(7 sqrt {3} i )

Lembre-se de adicionar as partes reais e imaginárias no próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Simplificar:

  1. ((4-3 i) + (5 + 6 i) )
  2. ((2-5 i) - (5-2 i) )

Solução:

uma.

Use a propriedade associativa para colocar as partes reais e imaginárias juntas.

Simplificar.

(9 + 3i )

b.

Distribuir.

Use a propriedade associativa para colocar as partes reais e imaginárias juntas.

Simplificar.

Exercício ( PageIndex {5} )

Simplificar:

  1. ((2 + 7 i) + (4-2 i) )
  2. ((8-4 i) - (2-i) )
Responder
  1. (6 + 5i )
  2. (6-3i )

Exercício ( PageIndex {6} )

Simplificar:

  1. ((3-2 i) + (- 5-4 i) )
  2. ((4 + 3 i) - (2-6 i) )
Responder
  1. (- 2-6i )
  2. (2 + 9i )

Multiplicar Números Complexos

Multiplicar números complexos também é como multiplicar expressões com coeficientes e variáveis. Há apenas um caso especial que precisamos considerar. Veremos isso depois de praticar nos próximos dois exemplos.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Multiplique: (2 i (7-5 ​​i) )

Solução:

Distribuir.

Simplifique (i ^ {2} ).

(14 i-10 (-1) )

Multiplicar.

(14 i + 10 )

Escreva no formulário padrão.

(10 ​​+ 14i )

Exercício ( PageIndex {7} )

Multiplique: (4 i (5-3 i) ).

Responder

(12 + 20i )

Exercício ( PageIndex {8} )

Multiplique: (- 3 i (2 + 4 i) ).

Responder

(12 + 6i )

No próximo exemplo, multiplicamos os binômios usando o Propriedade distributiva ou FRUSTRAR.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Multiplique: ((3 + 2 i) (4-3 i) ).

Solução:

Use FOIL.

Simplifique (i ^ {2} ) e combine termos semelhantes.

(12-i-6 (-1) )

Multiplicar.

(12-i + 6 )

Combine as partes reais.

(18-i )

Exercício ( PageIndex {9} )

Vários: ((5-3 i) (- 1-2 i) ).

Responder

(- 11-7i )

Exercício ( PageIndex {10} )

Múltiplo: ((- 4-3 i) (2 + i) ).

Responder

(- 5-10i )

No próximo exemplo, poderíamos usar FOIL ou o Produto do padrão de quadrados binomiais.

Exemplo ( PageIndex {6} )

Multiplique: ((3 + 2 i) ^ {2} )

Solução:

Use o padrão de produto de quadrados binomiais, ((a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} ).
Simplificar.
Simplifique (i ^ {2} ).
Simplificar.
Tabela 8.8.2

Exercício ( PageIndex {11} )

Multiplique usando o padrão dos quadrados binomiais: ((- 2-5 i) ^ {2} ).

Responder

(- 21-20 i )

Exercício ( PageIndex {12} )

Multiplique usando o padrão de quadrados binomiais: ((- 5 + 4 i) ^ {2} ).

Responder

(9-40i )

Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, não podemos usar a propriedade do produto para radicais. Para multiplicar raízes quadradas de números negativos, devemos primeiro escrevê-los como números complexos, usando ( sqrt {-b} = sqrt {b} i ). Este é um lugar onde os alunos tendem a cometer erros, então tome cuidado quando você vê a multiplicação com uma raiz quadrada negativa.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Multiplique: ( sqrt {-36} cdot sqrt {-4} ).

Solução:

Para multiplicar raízes quadradas de números negativos, primeiro os escrevemos como números complexos.

( sqrt {-36} cdot sqrt {-4} )

Escreva como números complexos usando ( sqrt {-b} = sqrt {b} i ).

( sqrt {36} i cdot sqrt {4} i )

Simplificar.

(6 i cdot 2 i )

Multiplicar.

(12i ^ {2} )

Simplifique (i ^ {2} ) e multiplique.

(-12)

Exercício ( PageIndex {13} )

Multiplique: ( sqrt {-49} cdot sqrt {-4} ).

Responder

(-14)

Exercício ( PageIndex {14} )

Multiplique: ( sqrt {-36} cdot sqrt {-81} ).

Responder

(-54)

No próximo exemplo, cada binômio tem uma raiz quadrada de um número negativo. Antes de multiplicar, cada raiz quadrada de um número negativo deve ser escrita como um número complexo.

Exemplo ( PageIndex {8} )

Multiplique: ((3- sqrt {-12}) (5+ sqrt {-27}) ).

Solução:

Para multiplicar raízes quadradas de números negativos, primeiro os escrevemos como números complexos.

((3- sqrt {-12}) (5+ sqrt {-27}) )

Escreva como números complexos usando ( sqrt {-b} = sqrt {b} i ).

Use FOIL.

Combine os termos semelhantes e simplifique (i ^ {2} ).

Multiplique e combine termos semelhantes.

(33- sqrt {3} i )

Exercício ( PageIndex {15} )

Multiplique: ((4- sqrt {-12}) (3- sqrt {-48}) ).

Responder

(- 12-22 sqrt {3} i )

Exercício ( PageIndex {16} )

Multiplique: ((- 2+ sqrt {-8}) (3- sqrt {-18}) ).

Responder

(6 + 12 sqrt {2} i )

Vimos primeiro os pares conjugados quando estudamos os polinômios. Dissemos que um par de binômios em que cada um tem o mesmo primeiro termo e o mesmo último termo, mas um é uma soma e um é uma diferença é chamado de par conjugado e tem a forma ((a − b), (a + b) ).

UMA par de conjugado complexo é muito semelhante. Para um número complexo da forma (a + bi ), seu conjugado é (a − bi ). Observe que eles têm o mesmo primeiro termo e o mesmo último termo, mas um é uma soma e um é uma diferença.

Definição ( PageIndex {4} )

UMA par de conjugado complexo tem a forma (a + bi, a + bi ).

Multiplicaremos um par de conjugado complexo no próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {9} )

Multiplique: ((3-2 i) (3 + 2 i) ).

Solução:

Use FOIL

Combine os termos semelhantes e simplifique (i ^ {2} ).

(9-4(-1))

Multiplique e combine termos semelhantes.

(13)

Exercício ( PageIndex {17} )

Multiplique: ((4-3 i) cdot (4 + 3 i) ).

Responder

(25)

Exercício ( PageIndex {18} )

Multiplique: ((- 2 + 5 i) cdot (-2-5 i) ).

Responder

(29)

Pelo nosso estudo de polinômios, sabemos que o produto dos conjugados é sempre da forma ((a-b) (a + b) = a ^ {2} -b ^ {2} ). O resultado é chamado de a diferença de quadrados. Podemos multiplicar um par de conjugado complexo usando este padrão.

O último exemplo usamos FOIL. Agora vamos usar o Produto do Padrão de Conjugados.

Observe que este é o mesmo resultado que encontramos no Exemplo 8.8.9.

Quando multiplicamos conjugados complexos, o produto dos últimos termos sempre terá um (i ^ {2} ) que simplifica para (- 1 ).

( begin {array} {c} {(ab i) (a + bi)} {a ^ {2} - (bi) ^ {2}} {a ^ {2} -b ^ { 2} i ^ {2}} {a ^ {2} -b ^ {2} (- 1)} {a ^ {2} + b ^ {2}} end {array} )

Isso nos leva ao padrão de produto de conjugados complexos: ((a-b i) (a + b i) = a ^ {2} + b ^ {2} )

Definição ( PageIndex {5} )

Produto de Conjugados Complexos

Se (a ) e (b ) forem números reais, então

((a-b i) (a + b i) = a ^ {2} + b ^ {2} )

Exemplo ( PageIndex {10} )

Multiplique usando o padrão de produto de conjugados complexos: ((8-2 i) (8 + 2 i) ).

Solução:

Use o Padrão de Produto de Conjugados Complexos, ((a-b i) (a + b i) = a ^ {2} + b ^ {2} ).
Simplifique os quadrados.
Adicionar.
Tabela 8.8.3

Exercício ( PageIndex {19} )

Multiplique usando o padrão de produto de conjugados complexos: ((3-10 i) (3 + 10 i) ).

Responder

(109)

Exercício ( PageIndex {20} )

Multiplique usando o padrão de produto de conjugados complexos: ((- 5 + 4 i) (- 5-4 i) ).

Responder

(41)

Divida Números Complexos

Dividir números complexos é como racionalizar um denominador. Queremos que nosso resultado esteja na forma padrão, sem números imaginários no denominador.

Exemplo ( PageIndex {11} ) como dividir números complexos

Divida: ( frac {4 + 3 i} {3-4 i} ).

Solução:

Passo 1: Escreva o numerador e o denominador na forma padrão.Ambos estão no formato padrão.
Passo 2: Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador.O conjugado complexo de (3-4i ) é (3 + 4i ).
etapa 3: Simplifique e escreva o resultado na forma padrão.

Use o padrão ((a-b i) (a + b i) = a ^ {2} + b ^ {2} ) no denominador.

Combine termos semelhantes.

Simplificar.

Escreva o resultado no formulário padrão.

( begin {array} {c} { frac {12 + 16 i + 9 i + 12 i ^ {2}} {9 + 16}} { frac {12 + 25 i-12} {25 }} { frac {25 i} {25}} {i} end {array} )
Tabela 8.8.4

Exercício ( PageIndex {21} )

Divide: ( frac {2 + 5 i} {5-2 i} ).

Responder

(eu)

Exercício ( PageIndex {22} )

Divida: ( frac {1 + 6 i} {6-i} ).

Responder

(eu)

Resumimos as etapas aqui.

Como dividir números complexos

  1. Escreva o numerador e o denominador na forma padrão.
  2. Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador.
  3. Simplifique e escreva o resultado em formato padrão.

Exemplo ( PageIndex {12} )

Divida, escrevendo as respostas na forma padrão: ( frac {-3} {5 + 2 i} ).

Solução:

( frac {-3} {5 + 2 i} )

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador.

Multiplique no numerador e use o Padrão de Produto de Conjugados Complexos no denominador.

( frac {-15 + 6 i} {5 ^ {2} + 2 ^ {2}} )

Simplificar.

( frac {-15 + 6 i} {29} )

Escreva no formulário padrão.

(- frac {15} {29} + frac {6} {29} i )

Exercício ( PageIndex {23} )

Divida, escrevendo a resposta na forma padrão: ( frac {4} {1-4 i} ).

Responder

( frac {4} {17} + frac {16} {17} i )

Exercício ( PageIndex {24} )

Divida, escrevendo a resposta na forma padrão: ( frac {-2} {- 1 + 2 i} ).

Responder

( frac {2} {5} + frac {4} {5} i )

Tenha cuidado ao encontrar o conjugado do denominador.

Exemplo ( PageIndex {13} )

Divida: ( frac {5 + 3 i} {4 i} ).

Solução:

( frac {5 + 3 i} {4 i} )

Escreva o denominador no formato padrão.

( frac {5 + 3 i} {0 + 4 i} )

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador.

Simplificar.

Multiplicar.

Simplifique o (i ^ {2} ).

Reescreva na forma padrão.

( frac {12} {16} - frac {20} {16} i )

Simplifique as frações.

( frac {3} {4} - frac {5} {4} i )

Exercício ( PageIndex {25} )

Divida: ( frac {3 + 3 i} {2 i} ).

Responder

( frac {3} {2} - frac {3} {2} i )

Exercício ( PageIndex {26} )

Divida: ( frac {2 + 4 i} {5 i} ).

Responder

( frac {4} {5} - frac {2} {5} i )

Simplifique os poderes de (i )

As potências de (i ) formam um padrão interessante que nos ajudará a simplificar as potências superiores de (i ). Vamos avaliar os poderes de (i ) para ver o padrão.

( begin {array} {ccc} {i ^ {1}} & {i ^ {2}} & {i ^ {3}} & {i ^ {4}} {i} & {-1 } & {i ^ {2} cdot i} & {i ^ {2} cdot i ^ {2}} {} & {} & {- 1 cdot i} & {(- 1) (- 1)} {} & {} & {- i} & {1} end {array} )

( begin {array} {cccc} {i ^ {5}} & {i ^ {6}} & {i ^ {7}} & {i ^ {8}} {i ^ {4} cdot i} & {i ^ {4} cdot i ^ {2}} & {i ^ {4} cdot i ^ {3}} & {i ^ {4} cdot i ^ {4}} {1 cdot i} & {1 cdot i ^ {2}} & {1 cdot i ^ {3}} & {1 cdot 1} {i} & {i ^ {2}} & { i ^ {3}} & {1} {} & {- 1} & {-i} end {array} )

Resumimos isso agora.

( begin {array} {ll} {i ^ {1} = i} & {i ^ {5} = i} {i ^ {2} = - 1} & {i ^ {6} = - 1} {i ^ {3} = - i} & {i ^ {7} = - i} {i ^ {4} = 1} & {i ^ {8} = 1} end {array } )

Se continuássemos, o padrão continuaria se repetindo em blocos de quatro. Podemos usar esse padrão para nos ajudar a simplificar as potências de (i ). Uma vez que (i ^ {4} = 1 ), reescrevemos cada potência, (i ^ {n} ), como um produto usando (i ^ {4} ) para uma potência e outra potência de ( eu).

Nós o reescrevemos na forma (i ^ {n} = left (i ^ {4} right) ^ {q} cdot i ^ {r} ), onde o expoente, (q ), é o quociente de (n ) dividido por (4 ) e o expoente, (r ), é o resto desta divisão. Por exemplo, para simplificar (i ^ {57} ), dividimos (57 ) por (4 ) e obtemos (14 ) com um resto de (1 ). Em outras palavras, (57 = 4⋅14 + 1 ). Então escrevemos (i ^ {57} = left (1 ^ {4} right) ^ {14} cdot i ^ {1} ) e simplificamos a partir daí.

Exemplo ( PageIndex {14} )

Simplifique: (i ^ {86} ).

Solução:

(i ^ {86} )

Divida (86 ) por (4 ) e reescreva (i ^ {86} ) em (i ^ {n} = left (i ^ {4} right) ^ {q} cdot i ^ {r} ) formulário.

( left (1 ^ {4} right) ^ {21} cdot i ^ {2} )

Simplificar.

((1) ^ {21} cdot (-1) )

Simplificar.

(-1)

Exercício ( PageIndex {27} )

Simplifique: (i ^ {75} ).

Responder

(-1)

Exercício ( PageIndex {28} )

Simplifique: (i ^ {92} ).

Responder

(1)

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com o complexo sistema de números.

  • Expressando raízes quadradas de números negativos com i
  • Subtrair e multiplicar números complexos
  • Dividindo Números Complexos
  • Reescrevendo poderes de i

Conceitos chave

  • Raiz quadrada de um número negativo
    • Se (b ) é um número real positivo, então ( sqrt {-b} = sqrt {b} i
(a + bi )
(b = 0 )

(a + 0 cdot i )

(uma)

Número real
(b neq 0 ) (a + bi )Número imaginário
(a = 0 )

(0 + bi )

(bi)

Número imaginário puro
Tabela 8.8.1
    • Um número complexo está em forma padrão quando escrito como uma + bi, Onde a, b são números reais.

      Figura 8.8.2
  • Produto de Conjugados Complexos
    • Se (a, b ) são números reais, então
      ((a − bi) (a + bi) = a ^ {2} + b ^ {2} )
  • Como dividir números complexos
    1. Escreva o numerador e o denominador na forma padrão.
    2. Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador.
    3. Simplifique e escreva o resultado em formato padrão.

Glossário

par de conjugado complexo
Um par conjugado complexo tem a forma (a + bi, a-bi ).
número complexo
Um número complexo tem a forma (a + bi ), onde (a ) e (b ) são números reais. Chamamos (a ) a parte real e (b ) a parte imaginária.
sistema numérico complexo
O sistema numérico complexo é composto de números reais e números imaginários.
unidade imaginária
A unidade imaginária (i ) é o número cujo quadrado é (- 1 ). (i ^ {2} = - 1 ) ou (i = sqrt {−1} ).
forma padrão
Um número complexo está na forma padrão quando escrito como (a + bi ), onde (a, b ) são números reais.


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