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18.1: Prelúdio para Equações e Funções Quadráticas


Pisque seus olhos. Em seguida, você resolverá os aplicativos modelados por quadráticas, representará graficamente-os e estenderá sua compreensão às desigualdades quadráticas.


Lição 18

Aqui estão quatro equações, seguidas por tentativas de resolvê-las usando a fórmula quadrática. Cada tentativa contém pelo menos um erro.

  • Resolva 1–2 equações usando a fórmula quadrática.
  • Em seguida, encontre e descreva o (s) erro (s) nas soluções trabalhadas das mesmas equações que você resolveu.

Equação 1: ( quad 2x ^ 2 + 3 = 8x )

Equação 2: ( quad x ^ 2 + 3x = 10 )

Equação 3: ( quad 9x ^ 2-2x-1 = 0 )

Equação 4: ( quad x ^ 2 - 10x + 23 = 0 )

Aqui estão as soluções trabalhadas com erros:

Equação 1: ( quad 2x ^ 2 + 3 = 8x )

Equação 2: ( quad x ^ 2 + 3x = 10 )


Equação 4: ( quad x ^ 2 - 10x + 23 = 0 )

18.3: Tem certeza disso?

A equação (h (t) = 2 + 30t - 5t ^ 2 ) representa a altura, em função do tempo, de uma abóbora que foi lançada no ar. A altura é medida em metros e o tempo em segundos.

  1. A abóbora atingiu uma altura máxima de 47 metros. Quantos segundos após o lançamento isso aconteceu? Mostre seu raciocínio.
  2. Suponha que alguém não esteja convencido de sua solução. Encontre outra maneira (além das etapas que você já realizou) para mostrar que sua solução está correta.

A equação (r (p) = 80p - p ^ 2 ) modela a receita que uma banda espera arrecadar em função do preço de um ingresso de show. Os preços e receitas dos ingressos são em dólares.

Um membro da banda diz que o preço do ingresso de US $ 15,50 ou US $ 74,50 geraria aproximadamente US $ 1.000 em receita. Você concorda? Mostre seu raciocínio.

A função (g ) é definida pela equação (g (t) = 2 + 30t-5t ^ 2 - 47 ). Seu gráfico abre para baixo.

  1. Encontre os zeros da função (g ) sem representar graficamente. Mostre seu raciocínio.
  2. Explique ou mostre como os zeros que você encontrou podem nos dizer o vértice do gráfico de (g ).
  3. Estude as expressões que definem as funções (g ) e (h ) (que definem a altura da abóbora). Explique como o máximo da função (h ), uma vez que o conhecemos, pode nos dizer o máximo de (g ).

Resumo

A fórmula quadrática tem muitas partes. Um pequeno erro em qualquer parte pode levar a soluções incorretas.

Suponha que estejamos resolvendo (2x ^ 2 -6 = 11x ). Para usar a fórmula, vamos reescrevê-la na forma de (ax ^ 2 + bx + c = 0 ), que dá: (2x ^ 2 -11x-6 = 0 ).

Aqui estão alguns erros comuns a serem evitados:

Usando os valores errados para (a ), (b ) e (c ) na fórmula.

Não! (b ) é -11, então ( text-b ) é ( text- ( text-11) ), que é 11, não -11.

Esquecendo de multiplicar 2 por (a ) para o denominador na fórmula.

Não! O denominador é (2a ), que é (2 (2) ) ou 4.

Esquecer que elevar ao quadrado um número negativo produz um número positivo.

Não! (( text-11) ^ 2 ) é 121, não -121.

Esquecer que um número negativo vezes um número positivo é um número negativo.

Não! (4 (2) ( text-6) = text-48 ) e (121 - ( text-48) ) é (121 + 48 ).

Cometer erros de cálculo ou não seguir as propriedades da álgebra.

Não! Ambas as partes do numerador, o 11 e o ( sqrt <169> ), são divididos por 4. Além disso, ( frac < sqrt <169>> <4> ) não é ( sqrt < 42,25> ).

Vamos terminar avaliando ( frac <11 pm 13> <4> ) corretamente:

( displaystyle begin x & amp = dfrac <11 + 13> <4> qquad & amp text& amp qquad x = dfrac <11 - 13> <4> x & amp = frac <24> <4> qquad & amp text& amp qquad x = text- frac24 x & amp = 6 qquad & amp text& amp qquad x = text- frac12 end)

Para ter certeza de que nossas soluções estão realmente corretas, podemos substituir as soluções de volta nas equações originais e ver se cada solução mantém a equação verdadeira.

( displaystyle begin2x ^ 2 -6 & amp = 11x 2 (6) ^ 2 -6 & amp = 11 (6) 2 (36) -6 & amp = 66 72-6 & amp = 66 66 & amp = 66 fim )

Verificando ( text- frac12 ) como uma solução:

(começar2x ^ 2 -6 & amp = 11x 2 left ( text- frac12 right) ^ 2 -6 & amp = 11 left ( text- frac12 right) 2 left ( frac14 right) ) -6 & amp = text- frac <11> <2> frac12 -6 & amp = text-5 frac12 text-5 frac12 & amp = text- 5 frac12 end )

Também podemos representar graficamente a equação (y = 2x ^ 2 -11x -6 ) e encontrar seus (x ) -interceptos para ver se nossas soluções para (2x ^ 2 -11x -6 = 0 ) são precisas (ou perto da precisão).

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Lição 18

Decida mentalmente se as soluções para cada equação são números reais ou não.

18.2: Seja Discriminador

Kiran estava usando a fórmula quadrática para resolver a equação (x ^ 2 - 12x + 41 = 0 ). Ele escreveu isso:

Então ele percebeu que o número dentro da raiz quadrada é negativo e disse: "Esta equação não tem solução."

  1. Você concorda com Kiran? Explique seu raciocínio.
  2. Escreva ( sqrt < text- 20> ) como um número imaginário.
  3. Resolva a equação (3x ^ 2 - 10x + 50 = 0 ) e plote as soluções no plano complexo.

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Embora os números imaginários nos permitam descrever soluções complexas para equações quadráticas, eles foram realmente descobertos e aceitos porque podem nos ajudar a encontrar soluções reais para equações com polinômios de grau 3. No século 16, os matemáticos descobriram uma fórmula cúbica para resolver equações de grau 3 , mas para usá-lo eles às vezes tinham que trabalhar com números complexos. Vejamos um exemplo de onde isso surge.

  1. Para encontrar uma solução para a equação (x ^ 3-px-q = 0 ), a fórmula cúbica nos diria primeiro para encontrar um número complexo, (z ), que é ( frac<2> + i sqrt <( frac

    <3>) ^ 3 - ( frac<2>) ^ 2> ). Encontre (z ) quando nossa equação for (x ^ 3-15x-4 = 0 ).

  2. A próxima etapa é encontrar um número complexo (w ) de forma que (w ^ 3 = z ). Mostre que (w = 2 + i ) funciona para o (z ) que encontramos na etapa 1.
  3. Se escrevermos (w = a + bi ) onde (a ) e (b ) são números reais, as soluções para nossa equação são (2a ), ( text-a + b sqrt <3> ) e ( text-ab sqrt <3> ). Quais são as três soluções para nossa equação (x ^ 3-15x-4 = 0 )?

18.3: Resolvendo todos os tipos de quadráticas

Para cada linha, você e seu parceiro resolverão uma equação quadrática. Cada um de vocês deve obter a mesma resposta. Se você discordar, trabalhe para chegar a um acordo.

parceiro A parceiro B
(x ^ 2 - 4x - 4 = 0 ) ((x - 2) ^ 2 = 8 )
((y - 2) ^ 2 = text- 8 ) (y ^ 2 - 4y + 12 = 0 )
((z + frac32) ^ 2 = text- frac <29> <4> ) (2z ^ 2 + 6z = text- 19 )
(w ^ 2 + 3w = 5 ) ((w + frac32) ^ 2 = frac <29> <4> )
(4t ^ 2-20t + 25 = 0 ) (4 (t ^ 2-5t) = text-25 )

Resumo

Às vezes, quando usamos a fórmula quadrática para resolver uma equação quadrática, obtemos um número negativo dentro do símbolo da raiz quadrada. Isso significa que as soluções para a equação devem envolver números imaginários. Por exemplo, considere a seguinte equação:


Resolvendo Equações Algebricamente Conteúdo: Esta página corresponde à & seção 2.4 (p. 200) do texto. Problemas sugeridos no texto: p. 212 # 7, 8, 11, 15, 17, 18, 23, 26, 35, 38, 41, 43, 46, 47, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 71, 72, 75, 76, 81, 87, 88, 95, 97 Equações quadráticas

Uma equação quadrática tem a forma ax 2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números e a não é igual a 0.

Factoring

Essa abordagem para resolver equações é baseada no fato de que, se o produto de duas quantidades for zero, pelo menos uma das quantidades deve ser zero. Em outras palavras, se a * b = 0, então a = 0 ou b = 0 ou ambos. Para obter mais informações sobre a fatoração de polinômios, consulte a seção de revisão P.3 (p.26) do texto.

2x 2 - 5x - 12 = 0.

(2x + 3) (x - 4) = 0.

2x + 3 = 0 ou x - 4 = 0.

x = -3/2 ou x = 4.

Princípio da raiz quadrada

x 2 - 9 = 0.

x 2 = 9.

x = 3 ou x = -3.

x 2 + 7 = 0.

x 2 = -7.

x = & plusmn.

Observe que = =, então as soluções são

x = & plusmn, dois números complexos.

Completando o quadrado

A ideia por trás de completar o quadrado é reescrever a equação de uma forma que nos permita aplicar o princípio da raiz quadrada.

x 2 + 6x - 1 = 0.

x 2 + 6x = 1.

x 2 + 6x + 9 = 1 + 9.

O 9 adicionado a ambos os lados veio do quadrado da metade do coeficiente de x, (6/2) 2 = 9. A razão para escolher este valor é que agora o lado esquerdo da equação é o quadrado de um binômio (polinômio de dois termos ) É por isso que esse procedimento é chamado de preenchimento do quadrado. [O leitor interessado pode ver que isso é verdade considerando (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2. Para obter & quota & quot, basta dividir o coeficiente x por 2. Assim, para completar o quadrado de x 2 + 2ax, é necessário adicionar 2.]

Agora podemos aplicar o princípio da raiz quadrada e então resolver para x.

2x 2 + 6x - 5 = 0.

2x 2 + 6x = 5.

O método de completar o quadrado demonstrado no exemplo anterior só funciona se o coeficiente líder (coeficiente de x 2) for 1. Neste exemplo, o coeficiente líder é 2, mas podemos mudar isso dividindo ambos os lados da equação por 2.

Agora que o coeficiente líder é 1, pegamos o coeficiente de x, que agora é 3, dividimos por 2 e ao quadrado, (3/2) 2 = 9/4. Esta é a constante que adicionamos a ambos os lados para completar o quadrado.

O lado esquerdo é o quadrado de (x + 3/2). [Verifique isso!]

Agora usamos o princípio da raiz quadrada e resolvemos para x.

Até agora, discutimos três técnicas para resolver equações quadráticas. Qual é melhor? Isso depende do problema e da sua preferência pessoal. Uma equação que está na forma certa para aplicar o princípio da raiz quadrada pode ser reorganizada e resolvida por fatoração, como veremos no próximo exemplo.

Em alguns casos, a equação pode ser resolvida por fatoração, mas a fatoração não é óbvia.

O método de completar o quadrado sempre funcionará, mesmo se as soluções forem números complexos, caso em que tiraremos a raiz quadrada de um número negativo. Além disso, as etapas necessárias para completar o quadrado são sempre as mesmas, portanto, podem ser aplicadas à equação quadrática geral

O resultado de completar o quadrado nesta equação geral é uma fórmula para as soluções da equação chamada Fórmula Quadrática.

Fórmula quadrática

As soluções para a equação ax 2 + bx + c = 0 são

Estamos dizendo que completar o quadrado sempre funciona, e completamos o quadrado no caso geral, onde temos a, b e c em vez de números. Portanto, para encontrar as soluções para qualquer equação quadrática, nós a escrevemos na forma padrão para encontrar os valores de a, b e c, e então substituímos esses valores na Fórmula Quadrática.

Uma consequência é que você nunca precisa completar o quadrado para encontrar as soluções para uma equação quadrática. Porém, o processo de preenchimento do quadrado é importante por outros motivos, então você ainda precisa saber como fazê-lo!

Exemplos usando a fórmula quadrática:

2x 2 + 6x - 5 = 0.

Nesse caso, a = 2, b = 6, c = -5. Substituir esses valores na fórmula quadrática produz

Observe que resolvemos essa equação antes, completando o quadrado.

Nota: Existem duas soluções reais. Em termos de gráficos, existem duas interceptações para o gráfico da função f (x) = 2x 2 + 6x - 5.

4x 2 + 4x + 1 = 0

Neste exemplo, a = 4, b = 4 e c = 1.

    Só existe uma solução. Em termos de gráficos, isso significa que há apenas uma interceptação x.

Nota: Não existem soluções reais. Em termos de gráficos, não há interceptos para o gráfico da função f (x) = x 2 + x + 1. Assim, as soluções são complexas porque o gráfico de y = x 2 + x + 1 não tem interceptos x .

A expressão sob o radical na Fórmula Quadrática, b 2 - 4ac, é chamada de discriminante da equação. Os últimos três exemplos ilustram as três possibilidades para equações quadráticas.

1. Discriminante & gt 0. Duas soluções reais.

2. Discriminante = 0. Uma solução real.

3. Discriminante & lt 0. Duas soluções complexas.

Notas sobre a verificação de soluções

Nenhuma das técnicas introduzidas até agora nesta seção pode apresentar soluções estranhas. (Veja o exemplo 3 da seção Equações lineares e modelagem.) No entanto, ainda é uma boa ideia verificar suas soluções, porque é muito fácil cometer erros descuidados ao resolver equações.

O método algébrico, que consiste em substituir o número de volta na equação e verificar se a afirmação resultante é verdadeira, funciona bem quando a solução é & quotsimples & quot, mas não é muito prático quando a solução envolve um radical.

Por exemplo, em nosso penúltimo exemplo, 4x 2 + 4x + 1 = 0, encontramos uma solução x = -1/2.

A verificação algébrica parece

4(-1/2) 2 +4(-1/2) + 1 = 0.

4(1/4) - 2 + 1 = 0.

1 - 2 + 1 = 0.

0 = 0. A solução verifica.

No exemplo anterior, 2x 2 + 6x - 5 = 0, encontramos duas soluções reais, x = (-3 & plusmn sqrt (19)) / 2. Certamente é possível verificar isso algebricamente, mas não é muito fácil. Nesse caso, uma verificação gráfica ou o uso de uma calculadora para a verificação algébrica são mais rápidos.

Primeiro, encontre aproximações decimais para as duas soluções propostas.

(-3 + sqrt (19)) / 2 = 0,679449.

(-3 - sqrt (19)) / 2 = -3,679449.

Agora use um recurso gráfico para representar graficamente y = 2x 2 + 6x - 5 e trace o gráfico para encontrar aproximadamente onde estão os interceptos x. Se eles estiverem próximos dos valores acima, você pode ter certeza de que possui as soluções corretas. Você também pode inserir a solução aproximada na equação para ver se ambos os lados da equação fornecem aproximadamente os mesmos valores. No entanto, você ainda precisa ter cuidado em sua alegação de que sua solução está correta, uma vez que não é a solução exata.

Observe que se você tivesse começado com a equação 2x 2 + 6x - 5 = 0 e ido diretamente ao utilitário gráfico para resolvê-la, não obteria as soluções exatas, porque elas são irracionais. No entanto, tendo encontrado (algebricamente) dois números que você acha que são soluções, se o utilitário gráfico mostra que as interceptações estão muito próximas dos números que você encontrou, então você provavelmente está certo!

Resolva as seguintes equações quadráticas.

(a) 3x 2 -5x - 2 = 0. Resposta

(b) (x + 1) 2 = 3. Resposta

(c) x 2 = 3x + 2. Resposta

Equações envolvendo radicais

Equações com radicais podem frequentemente ser simplificadas elevando-se à potência apropriada, elevando ao quadrado se o radical for uma raiz quadrada, cubando para uma raiz cúbica, etc. Esta operação pode introduzir raízes estranhas, então todas as soluções devem ser verificadas.

Se houver apenas um radical na equação, antes de elevar a uma potência, você deve fazer com que o termo radical sozinho em um lado da equação.

Agora que isolamos o termo radical no lado direito, elevamos ao quadrado ambos os lados e resolvemos a equação resultante para x.

Verificar:

x = 0

Quando substituímos x = 0 na equação original, obtemos a afirmação 0 = 2, o que não é verdade!

Portanto, x = 0 não é uma solução.

Quando substituímos x = 3 na equação original, obtemos a afirmação 3 = 3. Isso é verdade, então x = 3 é uma solução.

Nota: A solução é a coordenada x do ponto de interseção dos gráficos de y = xey = sqrt (x + 1) +1.

Veja o que teria acontecido se tivéssemos ao quadrado ambos os lados da equação antes de isolar o termo radical.

Isso é pior do que começamos!

Se houver mais de um termo radical na equação, então, em geral, não podemos eliminar todos os radicais elevando-os ao poder uma vez. No entanto, podemos diminuir o número de termos radicais elevando a potência.

Se a equação envolver mais de um termo radical, então ainda queremos isolar um radical de um lado e elevar a uma potência. Então, repetimos esse processo.

Agora eleve ao quadrado ambos os lados da equação.

Essa equação tem apenas um termo radical, portanto, avançamos! Agora isole o termo radical e, em seguida, eleve os dois lados novamente.

Verificar:

Substituindo x = 5/4 na equação original resulta

sqrt (9/4) + sqrt (1/4) = 2.

3/2 + 1/2 = 2.

Esta afirmação é verdadeira, então x = 5/4 é uma solução.

Nota sobre a verificação de soluções:

A verificação algébrica foi fácil de fazer neste caso. No entanto, a verificação gráfica tem a vantagem de mostrar que não existem soluções que não tenhamos encontrado, pelo menos no âmbito do retângulo de visualização. A solução é a coordenada x do ponto de interseção dos gráficos de y = 2 ey = sqrt (x + 1) + sqrt (x-1).

Equações polinomiais de alto grau

Vimos que qualquer equação polinomial de grau dois (equação quadrática) em uma variável pode ser resolvida com a Fórmula Quadrática. Equações polinomiais de grau maior que dois são mais complicadas. Quando encontramos tal problema, ou o polinômio tem uma forma especial que nos permite fatorá-lo, ou devemos aproximar as soluções com uma utilidade gráfica.

Constante Zero

Um caso especial comum é aquele em que não existe um termo constante. Nesse caso, podemos fatorar uma ou mais potências de x para iniciar o problema.

2x 3 + 3x 2 -5x = 0.

x (2x 2 + 3x -5) = 0.

Agora temos um produto de xe um polinômio quadrático igual a 0, então temos duas equações mais simples.

x = 0 ou 2x 2 + 3x -5 = 0.

A primeira equação é trivial de resolver. x = 0 é a única solução. A segunda equação pode ser resolvida por fatoração. Nota: Se não formos capazes de fatorar o quadrático na segunda equação, poderíamos ter recorrido ao uso da Fórmula Quadrática. [Verifique se você obteve os mesmos resultados abaixo.]

x = 0 ou (2x + 5) (x - 1) = 0.

Portanto, existem três soluções: x = 0, x = -5/2, x = 1.

Nota: A solução é encontrada a partir das interceptações dos gráficos de f (x) = 2x 3 + 3x 2 -5x.

Fator por agrupamento

x 3 -2x 2 -9x +18 = 0.

O coeficiente de x 2 é -2 vezes o de x 3, e a mesma relação existe entre os coeficientes do terceiro e quarto termos. Grupo termos um e dois, e também termos três e quatro.

x 2 (x - 2) - 9 (x - 2) = 0.

Esses grupos compartilham o fator comum (x - 2), então podemos fatorar o lado esquerdo da equação.

(x - 2) (x 2 - 9) = 0.

Sempre que encontramos um produto igual a zero, obtemos duas equações mais simples.

x - 2 = 0 ou x 2 - 9 = 0.

x = 2 ou (x + 3) (x - 3) = 0.

Portanto, existem três soluções, x = 2, x = -3, x = 3.

Nota: Essas soluções são encontradas a partir das interceptações do gráfico de f (x) = x 3 -2x 2 -9x +18.

Quadrático em forma

x 4 - x 2 - 12 = 0.

Este polinômio não é quadrático, ele possui grau quatro. No entanto, pode ser considerado quadrático em x 2.

(x 2) 2 - (x 2) - 12 = 0.

Pode ser útil substituir z por x 2.

z 2 - z - 12 = 0 Esta é uma equação quadrática em z.

(z - 4) (z + 3) = 0.

z = 4 ou z = -3.

Não terminamos, porque precisamos encontrar os valores de x que tornam a equação original verdadeira. Agora substitua z por x 2 e resolva as equações resultantes.

x 2 = 4.

x = 2, x = -2.

x 2 = -3.

x = i ou x = - i.

Portanto, existem quatro soluções, duas reais e duas complexas.

Nota: Essas soluções são encontradas a partir das interceptações do gráfico de f (x) = x 4 - x 2 - 12.

Um gráfico de f (x) = x 4 - x 2 - 12 e um zoom mostrando seus extremos locais.

Resolva a equação x 4 - 5x 2 + 4 = 0. Resposta

Equações que envolvem expressões fracionais ou valores absolutos

O mínimo denominador comum é x (x + 2), então multiplicamos ambos os lados por este produto.

Esta equação é quadrática. A Fórmula Quadrática produz as soluções

A verificação é necessária porque multiplicamos ambos os lados por uma expressão variável. Usando um utilitário gráfico, vemos que ambas as soluções verificam. A solução é a coordenada x do ponto de interseção dos gráficos de y = 1 ey = 2 / x-1 / (x + 2).

5 | x - 1 | = x + 11.

A chave para resolver uma equação com valores absolutos é lembrar que a quantidade dentro das barras de valor absoluto pode ser positiva ou negativa. Teremos duas equações separadas representando as diferentes possibilidades, e todas as soluções devem ser verificadas.

Caso 1 . Suponha que x - 1 & gt = 0. Então | x - 1 | = x - 1, então temos a equação

5 (x - 1) = x + 11.

5x - 5 = x + 11.

4x = 16.

x = 4 e esta solução verifica porque 5 * 3 = 4 + 11.

Caso 2. Suponha que x - 1 & lt 0. Então x - 1 é negativo, então | x - 1 | = - (x - 1). Esse ponto costuma confundir os alunos, porque parece que estamos dizendo que o valor absoluto de uma expressão é negativo, mas não somos. A expressão (x - 1) já é negativa, portanto - (x - 1) é positiva.

Agora nossa equação se torna

-5 (x - 1) = x + 11.

-5x + 5 = x + 11.

-6x = 6.

x = -1 e esta solução verifica porque 5 * 2 = -1 + 11.

Se você usar o Java Grapher para verificar graficamente, observe que abs () é o valor absoluto, então você representaria um gráfico

5 * abs (x - 1) - x - 11 e olhe para os interceptos x, ou você pode encontrar a solução como as coordenadas x dos pontos de interseção dos gráficos de y = x + 11 ey = 5 * abs ( x-1).

(a) Resolva a equação Resposta

(b) Resolva a equação | x - 2 | = 2 - x / 3 Resposta


RESOLVER EQUAÇÕES USANDO O MÉTODO DE MULTIPLICAÇÃO CRUZADA

Akshaya tem 2 moedas de rúpia e 5 moedas de rúpia em sua bolsa. Se ao todo ela tem 80 moedas, totalizando ₹ 220, quantas moedas de cada tipo ela tem.

Sejam "x" e "y" & # xa0 um número de moedas de 2 e 5 rupias, respectivamente.

Portanto, o número de moedas de 2 rúpias e moedas de 5 rúpias são 60 e 20, respectivamente.

Demora 24 horas para encher uma piscina usando dois tubos. Se o tubo de diâmetro maior for usado por 8 horas e o tubo de diâmetro menor for usado por 18 horas. Apenas metade da piscina está cheia. Quanto tempo cada cano levaria para encher a piscina.

Portanto, em 1 hora a quantidade de água preenchida pelo tubo x é 1 / xe a do tubo y é 1 / y. A quantidade de água preenchida por ambos os tubos em uma hora é 1 / x + 1 / y

Demora 24 horas por canos para encher a piscina

A quantidade de água preenchida em 8 horas pelo tubo A = 8 / A

A quantidade de água preenchida em 18 horas pelo tubo B = 18 / B

Dado na questão metade é preenchido de forma

Conseqüentemente, um tubo maior leva 40 horas e um tubo menor leva 60 horas.

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Uma função quadrática f na forma de vértice é escrita como
f (x) = a (x - h) 2 + k
onde hek são as coordenadas xey respectivamente do ponto do vértice (mínimo ou máximo) do gráfico.
O gráfico de de f é uma parábola com a linha vertical x = h como eixo de simetria.

Exemplo 1

Encontre a função quadrática f cujo gráfico é mostrado abaixo.

Figura 1. Função quadrática f

Solução do Exemplo 1

Exemplo 2

Encontre a função quadrática g cujo gráfico é mostrado abaixo e avalie g (-3).

Figura 2. Função quadrática g

Solução do Exemplo 2

Exemplo 3

Encontre a função quadrática l cujo gráfico é mostrado abaixo e calcule os interceptos x do gráfico.

Figura 3. Função quadrática l

Solução do Exemplo 3


O Discriminante

O discriminante de um polinômio é uma função de seus coeficientes que revela informações sobre as raízes do polinômio.

Objetivos de aprendizado

Explique como e porque o discriminante pode ser usado para encontrar o número de raízes reais de uma equação quadrática

Principais vantagens

Pontos chave

  • [latex] Delta = b ^ 2-4ac [/ latex] é a fórmula para uma função quadrática e discriminante # 8216s.
  • Se Δ for maior que zero, o polinômio tem duas raízes reais distintas.
  • Se Δ for igual a zero, o polinômio possui apenas uma raiz real.
  • Se Δ for menor que zero, o polinômio não tem raízes reais, apenas duas raízes complexas distintas.
  • Um zero é o valor x pelo qual a função cruza o eixo x. Ou seja, é a coordenada x na qual o valor da função & # 8217s é igual a zero.

Termos chave

  • quadrático: De grau dois pode ser aplicado a polinômios.
  • zero: Também conhecido como raiz de um valor x no qual a função de x é igual a zero.
  • discriminante: Uma expressão que fornece informações sobre as raízes de um polinômio.

O discriminante de uma função quadrática é uma função de seus coeficientes que revela informações sobre suas raízes. Uma raiz é o valor da coordenada [latex] x [/ latex] onde a função cruza o eixo [latex] x [/ latex]. Ou seja, é a coordenada [latex] x [/ latex] na qual o valor da função & # 8217s é igual a zero.

O discriminante para funções quadráticas é:

Onde [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] e [latex] c [/ latex] são os coeficientes em [latex] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ latex ] O número de raízes da função pode ser determinado pelo valor de [latex] Delta [/ latex].

O Discriminante e a Fórmula Quadrática

Lembre-se da fórmula quadrática:

onde [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] e [latex] c [/ latex] são as constantes ([latex] a [/ latex] deve ser diferente de zero) de um polinômio quadrático.

O discriminante [latex] Delta = b ^ 2-4ac [/ latex] é a parte da fórmula quadrática sob a raiz quadrada.

Discriminante Positivo

Se [latex] < Delta> [/ latex] for positivo, a raiz quadrada na fórmula quadrática é positiva e as soluções não envolvem números imaginários.

Como adicionar e subtrair um número positivo resultará em valores diferentes, um discriminante positivo resulta em duas soluções distintas e duas raízes distintas da função quadrática.

Discriminante Zero

Se [latex] < Delta> [/ latex] for igual a zero, a raiz quadrada na fórmula quadrática é zero:

Visto que adicionar zero e subtrair zero na equação quadrática levam ao mesmo resultado, há apenas uma raiz distinta da função quadrática.

Discriminante Negativo

Se [latex] < Delta> [/ latex] for menor que zero, o valor sob a raiz quadrada na fórmula quadrática é negativo:

Isso significa que a própria raiz quadrada é um número imaginário, portanto, as raízes da função quadrática são distintas e não reais.

Exemplo

Considere a função quadrática:

Usando [latex] 1 [/ latex] como o valor de [latex] a [/ latex], [latex] -1 [/ latex] como o valor de [latex] b [/ latex] e [latex] -2 [/ latex] como o valor de [latex] c [/ latex], o discriminante desta função pode ser determinado da seguinte forma:

[latex] Delta = (- 1) ^ 2-4 cdot 1 cdot (-2) [/ latex]

Como Δ é maior que zero, a função tem duas raízes reais distintas. Verificando graficamente, podemos confirmar que isso é verdade, os zeros da função podem ser encontrados em [latex] x = -1 [/ latex] e [latex] x = 2 [/ latex].

Exemplo: Gráfico de um polinômio com a função quadrática [latex] f (x) = x ^ 2 & # 8211 x & # 8211 2 [/ latex]. Como o valor é maior que 0, a função tem dois zeros reais distintos. O gráfico de mostra que ele claramente tem duas raízes: a função cruza o eixo [latex] x [/ latex] em [latex] x = -1 [/ latex] e [latex] x = 2 [/ latex].


O discriminante da equação quadrática

O discriminante da equação quadrática $ ax ^ 2 + bx + c $ é o número $ D $:

Então, as soluções da equação quadrática escrita usando o discriminante são:

Se $ D & gt 0 $, então a equação quadrática, portanto, tem duas soluções reais distintas, se $ D & lt 0 $, a equação quadrática tem duas soluções que são conjugados complexos, e se $ D = 0 $ a equação quadrática tem uma solução real de multiplicidade dois.


Soluções para perguntas sobre equações quadráticas

2 2 - 4 (1) (- 2m) = 4 + 8m
Uma equação quadrática não tem solução se o discriminante for negativo. Por isso
4 + 8m & lt 0
Resolva a desigualdade acima para obter
m & lt -1/2
A equação quadrática dada não tem soluções reais para todos os valores de m tal que m & lt -1/2

A) x 2 + x = 0
B) 2 x 2 - 10 x = 28
C) - x 2 + 4 x + 5 = 0
D) -3 x 2 - 9 = - 12 x
E) -3 x 2 - 6 x + 24 = 0
Solução
Para que as soluções reais da função quadrática sejam maiores que zero, a soma e o produto precisam ser maiores que zero. Vamos encontrar a soma (dada por -b / a) e o produto (dado por c / a) das soluções de cada uma das equações dadas
A) x 2 + x = 0, soma = -b / a = -1/1 = - 1, produto = c / a = 0/1 = 0
B) 2 x 2 - 10 x - 28 = 0, soma = -b / a = - (- 10) / 2 = 5, produto = c / a = -28/2 = -14
C) - x 2 + 4 x + 5 = 0, soma = -b / a = -4 / -1 = 4, produto = c / a = 5 / -1 = -5
D) -3 x 2 + 12 x - 9 = 0, soma = -b / a = -12 / -3 = 4, produto = c / a = -9 / -3 = 3
E) -3 x 2 - 6 x + 24 = 0, soma = -b / a = - (- 6) / - 3 = - 2, produto = c / a = 24 / -3 = -8
A equação em D) tem a soma das soluções e seu produto positivo e, portanto, suas duas soluções são maiores que zero.

A) - x 2 - 2x = - 8
B) x 2 + 9 x = - 18
C) - x 2 = - 6 + x
D) x 2 = 4 x
E) x 2 - 3 x = 4
Solução
Encontre o produto de cada uma das equações fornecidas
A) - x 2 - 2x + 8 = 0, produto = c / a = 8 / -1 = - 8
B) x 2 + 9 x + 18 = 0, produto = c / a = 18/1 = 18
C) - x 2 - x + 6 = 0, produto = c / a = 6 / - 1 = -6
D) x 2 - 4 x = 0, produto = c / a = 0/1 = 0
E) x 2 - 3 x - 4 = 0, produto = c / a = - 4/1 = - 4
A equação em B) tem o produto de suas soluções positivo.


18.2: Verificando o Trabalho do Brother (20 minutos)

Atividade

Nesta atividade, os alunos são questionados sobre maneiras de verificar soluções para equações e aplicar a propriedade do produto zero para resolver uma equação quadrática em um novo contexto. Na lição de Álgebra 1 associada, os alunos examinam maneiras de verificar seu trabalho ao usar a fórmula quadrática. Esta atividade ajuda os alunos a usar métodos adicionais para verificar suas soluções ao resolver equações.

O irmão mais velho de Priya está fazendo um trabalho matemático de nível superior e afirma que (x = 3 ) é uma solução para a equação (x ^ 3 - 5x ^ 2 -2x = text <-> 24 ).

  1. Explique como ela poderia verificar se a solução dele está correta usando cada uma dessas ferramentas.
    1. Uma calculadora básica
    2. Uma ferramenta gráfica

    Resposta do Aluno

    Os professores com um endereço de e-mail comercial válido podem clicar aqui para se registrar ou entrar para ter acesso gratuito à resposta do aluno.

    Síntese de Atividades

    O objetivo da discussão é fornecer aos alunos métodos para verificar o seu trabalho. Selecione alunos para compartilhar suas soluções e métodos. Para a segunda pergunta, pergunte aos alunos quais métodos eles usaram para resolver a equação quadrática. Pergunte aos alunos,

    • “O que a propriedade do produto zero diz e por que ela vale para a equação no trabalho do irmão de Priya?” (A propriedade de produto zero diz que quando duas coisas são multiplicadas para chegar a zero, pelo menos uma das coisas deve ser zero. Do trabalho do irmão de Priya, ele tem que 2 coisas se multipliquem para fazer zero: (x + 3 ) e (x ^ 2 - 2x - 8 ), então um deles deve ser zero.)
    • “Como você pode verificar se suas soluções, -2 e 4, funcionam para a equação original?” (Substitua os valores na equação original ou observe um gráfico.)

    Decidindo entre as duas formas

    Ambas as formas de parábolas têm certas vantagens e desvantagens. Se você for apresentado a uma parábola cuja forma dada torna difícil responder a uma determinada pergunta algebricamente, você deve tentar converter a equação dada para a outra forma.

    Converter a forma do vértice para a forma padrão

    Converter entre a forma de vértice para a forma padrão é uma questão de FOILing. Recordando a álgebra básica, podemos facilmente transformar a equação. Vejamos uma equação na forma de vértice.

    Lembrando que elevar ao quadrado um binômio é o mesmo que multiplicar por si mesmo, podemos reescrever esta equação como:

    x 2 + 6x + 9 + 6 = y

    Combinando termos semelhantes, descobrimos que nossa equação originalmente escrita na forma de vértice agora está na forma padrão:

    x 2 + 6x + 15 = y

    Tente converter as seguintes equações da forma de vértice para a forma padrão e clique no link para verificar suas respostas.

    (x + 5) 2 - 2 = y (x - 3) 2 + 6 = y (x - 4) 2 - 8 = y 2(x + 3) 2 + 6 = y 4(x + 2) 2 - 9 = y

    Conversão de forma padrão em forma de vértice

    Converter da forma padrão para a forma de vértice é um pouco mais difícil do que converter da forma de vértice para a forma padrão. Na seção anterior, aprendemos que converter do Vertex Form é uma questão de FOILing ou multiplicação de binômios. Pense na conversão da forma padrão como o inverso da conversão da forma de vértice. O inverso de FOILing é fatorar por meio de vários métodos, especialmente por meio do preenchimento do quadrado. Portanto, para converter uma equação em Forma de Vértice, devemos usar os métodos discutidos na última unidade.


    Como antes, ao completar o quadrado, você deve primeiro fazer de um lado da equação um quadrado perfeito. Ao fazer isso, você deve se lembrar da Regra de Ouro: "Faça para um lado de uma equação como faria para o outro." No entanto, desta vez vamos manter um lado do MESMO

    x 2 + 8x - 20 = y (x 2 + 8x + 16) - 20 -16 = y

    Adicionando E subtraindo 16 de ambos os lados, estamos na verdade mantendo o lado esquerdo da equação igual e agora temos:

    (x 2 + 8x + 16) -36 = y

    Olhando cuidadosamente para a expressão entre parênteses, podemos ver que é um quadrado perfeito que podemos fatorar. Fazendo isso, temos uma parábola que está na forma de vértice.

    Ao analisar a equação, podemos ver claramente que o vértice do gráfico está localizado em (-4, -36)

    Para as seguintes equações, encontre o vértice da parábola algebricamente, completando o quadrado. Quando terminar, verifique as suas respostas com o TI-Nspire.

    x 2 - 12x + 9 = y x 2 + 9x + 7 = y 2x 2 + 8x - 20 = y

    Após a conclusão desses problemas, clique no link abaixo para verificar suas respostas.


    Assista o vídeo: Likninger med to ukjente - Å sette prøve på svaret (Outubro 2021).