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18.6: Resolva Aplicações de Equações Quadráticas - Matemática


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. A soma de dois números ímpares consecutivos é (- 100 ). Encontre os números.
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 2.18.
  2. Resolva: ( frac {2} {x + 1} + frac {1} {x-1} = frac {1} {x ^ {2} -1} ).
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 7.35.
  3. Encontre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo com pernas de (5 ) polegadas e (12 ) polegadas.
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 2.34.

Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

Resolvemos algumas aplicações que são modeladas por equações quadráticas anteriormente, quando o único método que tínhamos para resolvê-las era a fatoração. Agora que temos mais métodos para resolver equações quadráticas, daremos outra olhada nos aplicativos.

Vamos primeiro resumir os métodos que agora temos para resolver equações quadráticas.

Métodos para resolver equações quadráticas

  1. Factoring
  2. Propriedade de Raiz Quadrada
  3. Completando o quadrado
  4. Fórmula quadrática

Ao resolver cada equação, escolha o método mais conveniente para trabalhar o problema. Como um lembrete, copiaremos nossa estratégia usual de solução de problemas aqui para que possamos seguir as etapas.

Use uma estratégia de resolução de problemas

  1. Ler o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
  2. Identificar o que nós estamos procurando.
  3. Nome o que nós estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
  4. Traduzir em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação algébrica.
  5. Resolver a equação usando técnicas de álgebra.
  6. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
  7. Responder a pergunta com uma frase completa.

Resolvemos aplicações de números que envolviam inteiros pares e ímpares consecutivos, modelando a situação com equações lineares. Lembre-se, notamos que cada número inteiro par é (2 ) mais do que o número que o precede. Se chamarmos o primeiro de (n ), o próximo será (n + 2 ). O próximo seria (n + 2 + 2 ) ou (n + 4 ). Isso também é verdade quando usamos números inteiros ímpares. Um conjunto de inteiros pares e um conjunto de inteiros ímpares são mostrados abaixo.

( begin {array} {cl} {} & { text {Inteiros pares consecutivos}} {} & {64,66,68} {n} & {1 ^ { text {st}} text {número inteiro par}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} text {número inteiro par consecutivo}} {n + 4} & {3 ^ { texto {rd} } text {inteiro par consecutivo}} end {array} )

( begin {array} {cl} {} & { text {Inteiros ímpares consecutivos}} {} & {77,79,81} {n} & {1 ^ { text {st}} text {inteiro ímpar}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} text {inteiro ímpar consecutivo}} {n + 4} & {3 ^ { text {rd} } text {inteiro ímpar consecutivo}} end {array} )

Algumas aplicações de números inteiros pares ou ímpares consecutivos são modeladas por equações quadráticas. A notação acima será útil ao nomear as variáveis.

Exemplo ( PageIndex {1} )

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é (195 ). Encontre os inteiros.

Solução:

Passo 1: Ler o problema

Passo 2: Identificar o que nós estamos procurando.

Procuramos dois inteiros ímpares consecutivos.

etapa 3: Nome o que nós estamos procurando.

Seja (n = ) o primeiro inteiro ímpar.

(n + 2 = ) o próximo inteiro ímpar.

Passo 4: Traduzir em uma equação. Declare o problema em uma frase.

“O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é (195 ).” O produto do primeiro inteiro ímpar e do segundo inteiro ímpar é (195 ).

Traduza para uma equação.

(n (n + 2) = 195 )

Etapa 5: Resolver a equação. Distribuir.

(n ^ {2} +2 n = 195 )

Escreva a equação no formato padrão.

(n ^ {2} +2 n-195 = 0 )

Fator.

((n + 15) (n-13) = 0 )

Use a propriedade Zero Product.

(n + 15 = 0 quad n-13 = 0 )

Resolva cada equação.

(n = -15, quad n = 13 )

Existem dois valores de (n ) que são soluções. Isso nos dará dois pares de inteiros ímpares consecutivos para nossa solução.

( begin {array} {cc} { text {Primeiro inteiro ímpar} n = 13} & { text {Primeiro inteiro ímpar} n = -15} { text {próximo inteiro ímpar} n + 2} & { text {próximo inteiro ímpar} n + 2} {13 + 2} & {-15 + 2} {15} & {-13} end {array} )

Etapa 6: Verificar a resposta.

Esses pares funcionam? Eles são inteiros ímpares consecutivos?

( begin {alinhado} 13,15 & text {sim} - 13, -15 & text {sim} end {alinhado} )

É o produto deles (195 )?

( begin {alinhados} 13 cdot 15 & = 195 & text {yes} - 13 (-15) & = 195 & text {yes} end {alinhados} )

Etapa 7: Responder a questão.

Dois inteiros ímpares consecutivos cujo produto é (195 ) são (13,15 ) e (- 13, -15 ).

Exercício ( PageIndex {1} )

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é (99 ). Encontre os inteiros.

Responder

Os dois inteiros ímpares consecutivos cujo produto é (99 ) são (9, 11 ) e (- 9, −11 ).

Exercício ( PageIndex {2} )

O produto de dois inteiros pares consecutivos é (168 ). Encontre os inteiros.

Responder

Os dois inteiros pares consecutivos cujo produto é (128 ) são (12, 14 ) e (- 12, −14 ).

Usaremos a fórmula para a área de um triângulo para resolver o próximo exemplo.

Definição ( PageIndex {1} )

Área de um Triângulo

Para um triângulo com base, (b ) e altura, (h ), a área, (A ), é dada pela fórmula (A = frac {1} {2} bh ) .

Lembre-se de que, quando resolvemos aplicações geométricas, é útil desenhar a figura.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Um arquiteto está projetando a entrada de um restaurante. Ela quer colocar uma janela triangular acima da porta. Devido a restrições de energia, a janela só pode ter uma área de (120 ) pés quadrados e o arquiteto quer que a base tenha (4 ) pés a mais que o dobro da altura. Encontre a base e a altura da janela.

Solução:

Passo 1: Ler o problema. Desenhe uma imagem.
Passo 2: Identificar o que nós estamos procurando.Procuramos a base e a altura.
etapa 3: Nome o que nós estamos procurando.

Seja (h = ) a altura do triângulo.

(2h + 4 = ) a base do triângulo.

Passo 4: Traduzir em uma equação.

Conhecemos a área. Escreva a fórmula para a área de um triângulo.

(A = frac {1} {2} b h )
Etapa 5: Resolver a equação. Substitua nos valores. (120 = frac {1} {2} (2 h + 4) h )
Distribuir. (120 = h ^ {2} +2 h )
Esta é uma equação quadrática, reescreva-a na forma padrão. (h ^ {2} +2 h-120 = 0 )
Fator. ((h-10) (h + 12) = 0 )
Use a propriedade Zero Product. (h-10 = 0 quad h + 12 = 0 )
Simplificar. (h = 10, quad cancel {h = -12} )
Como (h ) é a altura de uma janela, um valor de (h = -12 ) não faz sentido.
A altura do triângulo (h = 10 ).

A base do triângulo (2h + 4 ).

(2 cdot 10 + 4 )

(24)

Etapa 6: Verificar a resposta.

Um triângulo com altura (10 ​​) e base (24 ) tem área (120 )? sim.

Etapa 7: Responder a questão.A altura da janela triangular é de (10 ​​) pés e a base é de (24 ) pés.
Tabela 9.5.1

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre a base e a altura de um triângulo cuja base é dezoito centímetros mais do que seis vezes maior que sua altura e tem uma área de (456 ) polegadas quadradas.

Responder

A altura do triângulo é de (12 ) polegadas e a base é de (76 ) polegadas.

Exercício ( PageIndex {4} )

Se um triângulo que tem uma área de (110 ) pés quadrados tem uma base que é dois pés menos que o dobro da altura, qual é o comprimento de sua base e altura?

Responder

A altura do triângulo é de (11 ) pés e a base é de (20 ) pés.

Nos dois exemplos anteriores, o número no radical no Quadrático Fórmula era um quadrado perfeito e, portanto, as soluções eram números racionais. Se obtivermos um número irracional como solução para um problema de aplicativo, usaremos uma calculadora para obter um valor aproximado.

Usaremos a fórmula para a área de um retângulo para resolver o próximo exemplo.

Definição ( PageIndex {2} )

Área de um Retângulo

Para um retângulo com comprimento, (L ), e largura, (W ), a área, (A ), é dada pela fórmula (A = LW ).

Exemplo ( PageIndex {3} )

Mike quer colocar (150 ) pés quadrados de grama artificial em seu jardim da frente. Esta é a área máxima de relva artificial permitida pela associação de proprietários. Ele quer uma área retangular de grama com comprimento 30 cm a menos que (3 ) vezes a largura. Encontre o comprimento e a largura. Arredonde para o décimo de pé mais próximo.

Solução:

Passo 1: Ler o problema. Desenhe uma imagem.
Passo 2: Identificar o que nós estamos procurando.Procuramos o comprimento e a largura.
etapa 3: Nome o que nós estamos procurando.

Seja (w = ) a largura do retângulo.

(3w-1 = ) o comprimento do retângulo

Passo 4: Traduzir em uma equação. Conhecemos a área. Escreva a fórmula para a área de um retângulo.
Etapa 5: Resolver a equação. Substitua nos valores.
Distribuir.

Esta é uma equação quadrática; reescrevê-lo na forma padrão.

Resolva a equação usando a Fórmula Quadrática.

Identifique os valores (a, b, c ).
Escreva a Fórmula Quadrática.
Em seguida, substitua nos valores de (a, b, c ).
Simplificar.
Reescreva para mostrar duas soluções.

Faça uma estimativa das respostas usando uma calculadora.

Eliminamos a solução negativa para a largura.

Etapa 6: Verificar a resposta. Certifique-se de que as respostas façam sentido. Como as respostas são aproximadas, a área não sairá exatamente para (150 ).
Etapa 7: Responder a questão.A largura do retângulo é de aproximadamente (7,2 ) pés e o comprimento é de aproximadamente (20,6 ) pés.
Tabela 9.5.2

Exercício ( PageIndex {5} )

O comprimento de uma horta retangular de 200 pés quadrados é quatro pés menos do que o dobro da largura. Encontre o comprimento e a largura do jardim, até o décimo de pé mais próximo.

Responder

O comprimento do jardim é de aproximadamente (18 ) pés e a largura (11 ) pés.

Exercício ( PageIndex {6} )

Uma toalha de mesa retangular tem uma área de 30 metros quadrados. A largura é (5 ) pés mais curta que o comprimento. Qual é o comprimento e a largura da toalha de mesa até o décimo de pé mais próximo?

Responder

O comprimento da toalha de mesa é de aproximadamente (11,8 ) pés e a largura de (6,8 ) pés.

O Teorema de Pitágoras dá a relação entre as pernas e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Usaremos o Teorema de Pitágoras para resolver o próximo exemplo.

Definição ( PageIndex {3} )

Teorema de Pitágoras

Em qualquer triângulo retângulo, onde (a ) e (b ) são os comprimentos das pernas, e (c ) é o comprimento da hipotenusa, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ).

Exemplo ( PageIndex {4} )

Rene está configurando uma exibição de luz de feriado. Ele quer fazer uma "árvore" na forma de dois triângulos retângulos, como mostrado abaixo, e tem duas fileiras de luzes de (10 ​​) pés para usar nas laterais. Ele vai prender as luzes no topo de um poste e em duas estacas no chão. Ele quer que a altura do mastro seja igual à distância da base do mastro a cada estaca. Qual deve ser a altura do mastro?

Solução:

Passo 1: Ler o problema. Desenhe uma imagem.
Passo 2: Identificar o que nós estamos procurando.Estamos procurando a altura do mastro.
etapa 3: Nome o que nós estamos procurando.

A distância da base do mastro a qualquer uma das estacas é a mesma que a altura do mastro.

Seja (x = ) a altura do mastro.
(x = ) a distância do poste à estaca

Cada lado é um triângulo retângulo. Fazemos um desenho de um deles.

Passo 4: Traduzir em uma equação.

Podemos usar o Teorema de Pitágoras para resolver para (x ).
Escreva o Teorema de Pitágoras.

(a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} )
Etapa 5: Resolver a equação. Substituto. (x ^ {2} + x ^ {2} = 10 ^ {2} )
Simplificar. (2 x ^ {2} = 100 )
Divida por (2 ) para isolar a variável. ( frac {2 x ^ {2}} {2} = frac {100} {2} )
Simplificar. (x ^ {2} = 50 )
Use a propriedade de raiz quadrada. (x = pm sqrt {50} )
Simplifique o radical. (x = pm 5 sqrt {2} )
Reescreva para mostrar duas soluções.
Se aproximarmos esse número para o décimo mais próximo com uma calculadora, encontraremos (x≈7,1 ).
Etapa 6: Verificar a resposta. Verifique você mesmo no Teorema de Pitágoras.
Etapa 7: Responder a questão.O mastro deve ter cerca de 30 metros de altura.
Tabela 9.5.3

Exercício ( PageIndex {7} )

O sol lança uma sombra de um mastro de bandeira. A altura do mastro da bandeira é três vezes o comprimento de sua sombra. A distância entre o fim da sombra e o topo do mastro da bandeira é de (20 ) pés. Encontre o comprimento da sombra e o comprimento do mastro da bandeira. Arredonde para o décimo mais próximo.

Responder

O comprimento da sombra do mastro é de aproximadamente (6,3 ) pés e a altura do mastro é de (18,9 ) pés.

Exercício ( PageIndex {8} )

A distância entre os cantos opostos de um campo retangular é quatro a mais que a largura do campo. O comprimento do campo é o dobro de sua largura. Encontre a distância entre os cantos opostos. Arredonde para o décimo mais próximo.

Responder

A distância entre os cantos opostos é de aproximadamente (7,2) pés.

A altura de um projétil disparado do solo é modelada por uma equação quadrática. A velocidade inicial, (v_ {0} ), impulsiona o objeto para cima até que a gravidade faça com que o objeto caia de volta.

Definição ( PageIndex {4} )

A altura em pés, (h ), de um objeto atirado para cima no ar com velocidade inicial, (v_ {0} ), após (t ) segundos é dada pela fórmula

Podemos usar essa fórmula para descobrir quantos segundos um fogo de artifício levará para atingir uma altura específica.

Exercício ( PageIndex {9} )

Uma flecha é atirada do solo para o ar a uma velocidade inicial de (108 ) pés / s. Use a fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) para determinar quando a seta estará a (180 ) pés do solo. Arredonde o décimo mais próximo.

Responder

A seta alcançará (180 ) pés no seu caminho para cima após (3 ) segundos e novamente no seu caminho para baixo após aproximadamente (3.8 ) segundos.

Exercício ( PageIndex {10} )

Um homem joga uma bola para o ar com uma velocidade de (96 ) pés / s. Use a fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) para determinar quando a altura da bola será de (48 ) pés. Arredonde para o décimo mais próximo.

Responder

A bola alcançará (48 ) pés no seu caminho para cima após aproximadamente (. 6 ) segundos e novamente no seu caminho para baixo após aproximadamente (5,4 ) segundos.

Resolvemos problemas de movimento uniforme usando a fórmula (D = rt ) nos capítulos anteriores. Utilizamos uma tabela como a seguinte para organizar as informações e nos conduzir à equação.

A fórmula (D = rt ) assume que sabemos (r ) e (t ) e os usamos para encontrar (D ). Se sabemos (D ) e (r ) e precisamos encontrar (t ), resolveríamos a equação para (t ) e obteríamos a fórmula (t = frac {D} {r } ).

Alguns problemas de movimento uniforme também são modelados por equações quadráticas.

Exemplo ( PageIndex {6} )

O professor Smith acabou de voltar de uma conferência que ficava a (2.000 ) milhas a leste de sua casa. Seu tempo total no avião para a viagem de ida e volta foi de (9 ) horas. Se o avião estava voando a uma taxa de (450 ) milhas por hora, qual era a velocidade do jato?

Solução:

Esta é uma situação de movimento uniforme. Um diagrama nos ajudará a visualizar a situação.

Preenchemos o quadro para organizar as informações.

Estamos procurando a velocidade do jato. Seja (r = ) a velocidade do jato.

Quando o avião voa com o vento, o vento aumenta sua velocidade e, portanto, a taxa é (450 + r ).

Quando o avião voa contra o vento, o vento diminui sua velocidade e a taxa é (450 - r ).

Escreva nas taxas.
Escreva nas distâncias.
Uma vez que (D = r ), resolvemos para
(t ) e obtenha (t = frac {D} {r} ).
Dividimos a distância por
a taxa em cada linha, e
coloque a expressão no
coluna de tempo.
Sabemos que os tempos somam (9 )
e assim escrevemos nossa equação.
( frac {2000} {450-r} + frac {2000} {450 + r} = 9 )
Multiplicamos ambos os lados pelo LCD. ((450-r) (450 + r) left ( frac {2000} {450-r} + frac {2000} {450 + r} right) = 9 (450-r) (450 + r ) )
Simplificar. (2000 (450 + r) +2000 (450-r) = 9 (450-r) (450 + r) )
Fatore o (2.000 ). (2000 (450 + r + 450-r) = 9 left (450 ^ {2} -r ^ {2} right) )
Resolver. (2000 (900) = 9 left (450 ^ {2} -r ^ {2} right) )
Divida por (9 ). (2000 (100) = 450 ^ {2} -r ^ {2} )
Simplificar.

( begin {alinhado} 200000 & = 202500-r ^ {2} -2500 & = - r ^ {2} 50 & = r end {alinhado} )

A velocidade do jato é de (50 ) mph.

Verificar:

É (50 ) mph uma velocidade razoável para o jato? sim.

Se o avião estiver viajando a (450 ) mph e o vento estiver a (50 ) mph,

Tailwind

(450 + 50 = 500 mathrm {mph} quad frac {2000} {500} = 4 ) horas

Vento contrário

(450-50 = 400 mathrm {mph} quad frac {2000} {400} = 5 ) horas

Os tempos somam (9 ) horas, por isso verifica.

Tabela 9.5.5

A velocidade do jato era de (50 ) mph.

Exercício ( PageIndex {11} )

MaryAnne acabou de voltar de uma visita com seus netos no leste. A viagem era de (2.400 ) milhas de sua casa e seu tempo total no avião para a viagem de ida e volta era de (10 ​​) horas. Se o avião estava voando a uma taxa de (500 ) milhas por hora, qual era a velocidade do jato?

Responder

A velocidade do jato era de (100 ) mph.

Exercício ( PageIndex {12} )

Gerry acabou de voltar de uma viagem cross country. A viagem foi de (3.000 ) milhas de sua casa e seu tempo total no avião para a viagem de ida e volta foi de (11 ) horas. Se o avião estava voando a uma taxa de (550 ) milhas por hora, qual era a velocidade do jato?

Responder

A velocidade do jato era de (50 ) mph.

As aplicações de trabalho também podem ser modeladas por equações quadráticas. Iremos configurá-los usando os mesmos métodos que usamos quando os resolvemos com equações racionais. Usaremos um cenário semelhante agora.

Exercício ( PageIndex {13} )

A revista de notícias semanais tem uma grande história nomeando a Pessoa do Ano e o editor quer que a revista seja impressa o mais rápido possível. Ela pediu à impressora para operar uma impressora extra para fazer a impressão mais rapidamente. Pressione # 1 para fazer o trabalho em (6 ) horas a mais do que Pressione # 2 para fazer o trabalho e, quando ambas as impressoras estiverem funcionando, elas podem imprimir o trabalho em (4 ) horas. Quanto tempo leva para cada impressora imprimir o trabalho sozinha?

Responder

A tecla # 1 levaria (12 ) horas e a tecla # 2 levaria (6 ) horas para fazer o trabalho sozinho.

Exercício ( PageIndex {14} )

Erlinda está dando uma festa e quer encher sua banheira de hidromassagem. Se ela usar apenas a mangueira vermelha, levará (3 ) horas a mais do que se ela usar apenas a mangueira verde. Se ela usar as duas mangueiras juntas, a banheira de hidromassagem enche em (2 ) horas. Quanto tempo leva para cada mangueira encher a banheira de hidromassagem?

Responder

A mangueira vermelha leva (6 ) horas e a mangueira verde leva (3 ) horas sozinha.

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com a solução de aplicativos modelados por equações quadráticas.

  • Problemas de palavras envolvendo equações quadráticas
  • Problemas com palavras de equação quadrática
  • Aplicando a Fórmula Quadrática

Conceitos chave

  • Métodos para resolver equações quadráticas
    • Factoring
    • Propriedade de Raiz Quadrada
    • Completando o quadrado
    • Fórmula quadrática
  • Como usar uma estratégia de solução de problemas.
    1. Ler o problema. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação de álgebra.
    2. Resolver a equação usando boas técnicas de álgebra.
    3. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
    4. Responder a pergunta com uma frase completa.
  • Área de um Triângulo
    • Para um triângulo com base, (b ) e altura, (h ), a área, (A ), é dada pela fórmula (A = frac {1} {2} bh ) .
  • Área de um Retângulo
    • Para um retângulo com comprimento, (L ), e largura, (W ), a área, (A ), é dada pela fórmula (A = LW ).
  • Teorema de Pitágoras
    • Em qualquer triângulo retângulo, onde (a ) e (b ) são os comprimentos das pernas, e (c ) é o comprimento da hipotenusa, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ).
  • Movimento do projétil
    • A altura em pés, (h ), de um objeto disparado para cima no ar com velocidade inicial, (v_ {0} ), após (t ) segundos é dada pela fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ).

18.6: Resolva Aplicações de Equações Quadráticas - Matemática

1. A largura de um retângulo é 1 m menor que o dobro do comprimento. Se a área do retângulo é 100 m 2, quais são as dimensões do retângulo?

Mostrar todas as etapas Ocultar todas as etapas

Vamos começar deixando eu ser o comprimento do retângulo. A partir da definição do problema, sabemos agora que a largura do retângulo é 1 m menor que o dobro do comprimento e, portanto, deve ser (2L - 1 ).

Também sabemos que a área de qualquer retângulo é comprimento vezes largura e nos é dado que a área desse retângulo em particular é 100. Portanto, a equação para este problema é,

[começarA & = left (<< mbox>> direita) esquerda (<< mbox>> direita) 100 & = esquerda (L direita) esquerda (<2L - 1> direita) 100 & = 2 - Emprestar] Mostrar Etapa 3

Esta é uma equação quadrática e sabemos como resolvê-la, então vamos fazer isso. Primeiro, precisamos obter a equação quadrática na forma padrão.

Agora podemos usar a fórmula quadrática para obter,

Reduzindo os dois valores que obtivemos nas etapas anteriores para decimais, chegamos às duas soluções a seguir para a equação quadrática da Etapa 2.

Estamos lidando com um retângulo e, portanto, ter um comprimento negativo não faz muito sentido. Portanto, a primeira solução para a equação quadrática não pode ser o comprimento do retângulo.

Isso significa que o comprimento do retângulo deve ser 7,3255 m e a largura do retângulo é então (2 left (<7.3255> right) - 1 = 13,651 , < mbox>) .


Aplicações que envolvem equações quadráticas

Nesta seção, as configurações algébricas geralmente consistem em uma equação quadrática em que as soluções podem não ser inteiras.

Exemplo 10: A altura de um triângulo é 5 cm a menos que o dobro do comprimento de sua base. Se a área total do triângulo for 11 polegadas quadradas, encontre os comprimentos da base e a altura. Respostas arredondadas para o centésimo mais próximo.

Use a fórmula A = 1 2 b he o fato de que a área é 11 polegadas quadradas para configurar uma equação algébrica.

Para reescrever esta equação quadrática na forma padrão, primeiro distribua 1 2 x.

Use os coeficientes, uma = 1, b = -1, e c = −11, para determinar o tipo de soluções.

Como o discriminante é positivo, espere duas soluções reais.

Neste problema, desconsidere a solução negativa e considere apenas a solução positiva.

Substituto das costas para encontrar a altura.

Resposta: A base mede 1 + 3 5 2 ≈ 3,85 polegadas e a altura é - 1 + 3 5 ≈ 5,71 polegadas.

Exemplo 11: A soma dos quadrados de dois inteiros positivos consecutivos é 481. Encontre os inteiros.

A configuração algébrica segue:

Reescreva a equação quadrática na forma padrão.

Quando os coeficientes são grandes, às vezes é menos trabalhoso usar a fórmula quadrática em vez de tentar fatorá-la. Nesse caso, a = 1, b = 1 e c = - 240. Substitua na fórmula quadrática e simplifique.

Uma vez que o problema exige inteiros positivos, desconsidere a solução negativa e escolha n = 15.

Resposta: Os inteiros positivos são 15 e 16.

Principais vantagens

  • Determine o número e o tipo de soluções para qualquer equação quadrática na forma padrão usando o discriminante, b 2 - 4 a c. Se o discriminante for negativo, as soluções não são reais. Se o discriminante for positivo, as soluções são reais. Se o discriminante for 0, então haverá apenas uma solução, uma raiz dupla.
  • Escolha o método apropriado para resolver uma equação quadrática com base no valor de seu discriminante. Embora a fórmula quadrática resolva qualquer equação quadrática, pode não ser o método mais eficiente.
  • Ao resolver aplicações, use as palavras-chave e frases para configurar uma equação algébrica que modela o problema. Nesta seção, a configuração normalmente envolve uma equação quadrática.

Exercícios de tópico

Parte A: Usando o Discriminante

Calcule o discriminante e use-o para determinar o número e o tipo de soluções. Não resolva.

Escolha o método apropriado para resolver o seguinte.

Configure uma equação algébrica e use-a para resolver o seguinte.

51. Um número real positivo é 2 a menos que outro. Quando 4 vezes o maior é adicionado ao quadrado do menor, o resultado é 49. Encontre os números.

52. Um número real positivo é 1 a mais que outro. Quando duas vezes o menor é subtraído do quadrado do maior, o resultado é 4. Encontre os números.

53. Um número real positivo é 6 menor que outro. Se a soma dos quadrados dos dois números for 38, encontre os números.

54. Um número real positivo é 1 mais do que duas vezes outro. Se 4 vezes o número menor for subtraído do quadrado do maior, o resultado será 21. Encontre os números.

Arredonde suas respostas para o centésimo mais próximo.

55. A área de um retângulo é de 60 polegadas quadradas. Se o comprimento for 3 vezes a largura, encontre as dimensões do retângulo.

56. A área de um retângulo é de 6 pés quadrados. Se o comprimento for 2 pés a mais que a largura, encontre as dimensões do retângulo.

57. A área de um retângulo é de 27 metros quadrados. Se o comprimento for 6 metros menor que 3 vezes a largura, encontre as dimensões do retângulo.

58. A área de um triângulo é de 48 polegadas quadradas. Se a base tiver 2 vezes a altura, encontre o comprimento da base.

59. A área de um triângulo é de 14 pés quadrados. Se a base for 4 pés mais de 2 vezes a altura, encontre o comprimento da base e a altura.

60. A área de um triângulo é de 8 metros quadrados. Se a base for 4 metros menor que a altura, encontre o comprimento da base e a altura.

61. O perímetro de um retângulo é de 54 centímetros e a área é de 180 centímetros quadrados. Ache as dimensões do retângulo.

62. O perímetro de um retângulo é de 50 polegadas e a área é de 126 polegadas quadradas. Ache as dimensões do retângulo.

63. George mantém um jardim bem-sucedido de 6 por 8 metros. Na próxima temporada, ele planeja dobrar a área de plantio aumentando a largura e a altura na mesma proporção. Em quanto ele deve aumentar o comprimento e a largura?

64. Uma borda de tijolo uniforme deve ser construída em torno de um jardim de 1,80 x 2,5 m. Se a área total do jardim, incluindo a borda, for de 30 metros quadrados, encontre a largura da borda de tijolos.

65. Se os lados de um quadrado medem 10 6 unidades, encontre o comprimento da diagonal.

66. Se a diagonal de um quadrado mede 3 10 unidades, encontre o comprimento de cada lado.

67. A diagonal de um retângulo mede 6 3 polegadas. Se a largura for 4 polegadas menor que o comprimento, encontre as dimensões do retângulo.

68. A diagonal de um retângulo mede 2 3 polegadas. Se a largura for 2 polegadas menor que o comprimento, encontre as dimensões do retângulo.

69. O topo de uma escada de 6 metros, encostada em um prédio, atinge a altura de 18 metros. A que distância está a base da escada da parede? Arredonde para o centésimo mais próximo.

70. Para usar uma escada com segurança, a base deve ser colocada cerca de 1/4 do comprimento da escada longe da parede. Se uma escada de 20 pés deve ser usada com segurança, qual a altura do topo da escada em relação a um edifício? Arredonde para o centésimo mais próximo.

71. A diagonal de um monitor de televisão mede 32 polegadas. Se o monitor tiver uma proporção de aspecto de 3: 2, determine seu comprimento e largura. Arredonde para o centésimo mais próximo.

72. A diagonal de um monitor de televisão mede 52 polegadas. Se o monitor tiver uma proporção de aspecto de 16: 9, determine seu comprimento e largura. Arredonde para o centésimo mais próximo.

73. O lucro em dólares de operar uma linha de montagem que produz uniformes personalizados a cada dia é dado pela função P (t) = - 40 t 2 + 960 t - 4.000, onde t representa o número de horas que a linha está em operação.

uma. Calcule o lucro ao operar a linha de montagem por 10 horas por dia.

b. Calcule o número de horas que a linha de montagem deve funcionar para atingir o ponto de equilíbrio. Arredonde para o décimo de hora mais próximo.

74. O lucro em dólares gerado pela produção e venda x lâmpadas personalizadas é dado pela função P (x) = - 10 x 2 + 800 x - 12.000.

uma. Calcule o lucro na produção e venda de 35 lâmpadas.

b. Calcule o número de lâmpadas que devem ser vendidas para lucrar $ 3.000.

75. Se $ 1.200 forem investidos em uma conta que ganha uma taxa de juros anual r, então a quantidade UMA que está na conta ao final de 2 anos é dado pela fórmula A = 1.200 (1 + r) 2. Se ao final de 2 anos o valor da conta for $ 1.335,63, qual foi a taxa de juros?

76. Uma empresa de manufatura determinou que a receita diária, R, em milhares de dólares depende do número, n, de paletas de produtos vendidos de acordo com a fórmula R = 12 n - 0,6 n 2. Determine o número de paletas que devem ser vendidas para manter a receita em $ 60.000 por dia.

77. A altura de um projétil lançado para cima a uma velocidade de 32 pés / segundo de uma altura de 128 pés é dada pela função h (t) = - 16 t 2 + 32 t + 128.

uma. Qual é a altura do projétil em 1/2 segundo?

b. Em que momento após o lançamento o projétil atingirá uma altura de 128 pés?

78. A altura de um projétil lançado para cima a uma velocidade de 16 pés / segundo de uma altura de 192 pés é dada pela função h (t) = - 16 t 2 + 16 t + 192.

uma. Qual é a altura do projétil em 3/2 segundos?

b. A que horas o projétil alcançará 128 pés?

79. A altura de um objeto lançado do topo de um edifício de 144 pés é dada por h (t) = - 16 t 2 + 144. Quanto tempo vai demorar para chegar a um ponto a meio caminho do solo?

80. A altura de um projétil disparado no ar a 80 pés / segundo do solo é dada por h (t) = - 16 t 2 + 80 t. A que horas o projétil alcançará 95 pés?

81. Discuta a estratégia de sempre usar a fórmula quadrática para resolver equações quadráticas.

82. Liste todos os métodos que aprendemos até agora para resolver equações quadráticas. Discuta os prós e os contras de cada um.


CBSE 10º Matemática | Aplicações de equações quadráticas

Seja P a localização necessária para o pólo. Seja a distância do pólo da porta R x m, ou seja, RP = x m. Agora, a diferença das distâncias do pólo até as duas portas = QP & # 8211 RP (ou RP - QP) = 7 m. Portanto, QP = (x + 7) m.

Agora, QR = 13m, e como QR é um diâmetro.

(O ângulo em um semicírculo é o ângulo reto)

Portanto, (pelo teorema de Pitágoras)

Assim, a distância x do pólo da porta R satisfaz a equação

Encontraremos seu discriminante e descobriremos se isso seria possível

Assim, a equação quadrática dada tem duas raízes reais, e é possível erguer o mastro no limite do parque.

Resolvendo a equação quadrática, por fórmula quadrática, temos

Como x é a distância entre o pólo e a porta R, ela deve ser positiva. Portanto, x = –12 é rejeitado. Portanto, x = 5.

Assim, o mastro deve ser erguido no limite do parque a uma distância de 5 m do portão R e 12 m do portão Q.


Resolva aplicações de equações quadráticas

    A soma de dois números ímpares consecutivos é −100. Encontre os números.

Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

Resolvemos algumas aplicações que são modeladas por equações quadráticas anteriormente, quando o único método que tínhamos para resolvê-las era a fatoração. Agora que temos mais métodos para resolver equações quadráticas, daremos outra olhada nos aplicativos.

Vamos primeiro resumir os métodos que agora temos para resolver equações quadráticas.

  1. Factoring
  2. Propriedade de Raiz Quadrada
  3. Completando o quadrado
  4. Fórmula quadrática

Ao resolver cada equação, escolha o método mais conveniente para trabalhar o problema. Como um lembrete, copiaremos nossa estratégia usual de solução de problemas aqui para que possamos seguir as etapas.

  1. Ler o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
  2. Identificar o que nós estamos procurando.
  3. Nome o que nós estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
  4. Traduzir em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação algébrica.
  5. Resolver a equação usando técnicas de álgebra.
  6. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
  7. Responder a pergunta com uma frase completa

Resolvemos aplicações de números que envolviam inteiros pares e ímpares consecutivos, modelando a situação com equações lineares. Lembre-se, notamos que cada número inteiro par é 2 a mais do que o número que o precede. Se chamarmos o primeiro n, então o próximo é n + 2. O próximo seria n + 2 + 2 ou n + 4. Isso também é verdadeiro quando usamos números inteiros ímpares. Um conjunto de inteiros pares e um conjunto de inteiros ímpares são mostrados abaixo.

Algumas aplicações de números inteiros pares ou ímpares consecutivos são modeladas por equações quadráticas. A notação acima será útil ao nomear as variáveis.

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 195. Encontre os inteiros.

O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 99. Encontre os inteiros.

Os dois inteiros ímpares consecutivos cujo produto é 99 são 9, 11 e −9, −11


18.6: Resolva Aplicações de Equações Quadráticas - Matemática

6.3 Gráfico usando interceptações x

- resolver equações quadráticas e interpretar as soluções com respeito às relações correspondentes

- resolver problemas envolvendo relações quadráticas.

- identificar as principais características de um gráfico de uma parábola (ou seja, a equação do eixo de simetria, as coordenadas do vértice, a interceptação em y, os zeros e o valor máximo ou mínimo) e usar a terminologia apropriada para descreva-os

- factor polynomial expressions involving common factors, trinomials, and differences of squares

- determine, through investigation, and describe the connection between the factors of a quadratic expression and the x-intercepts (i.e., the zeros) of the graph of the corresponding quadratic relation, expressed in the form y = a(x &ndash r)(x &ndash s)

- interpret real and non-real roots of quadratic equations, through investigation using graphing technology, and relate the roots to the x-intercepts of the corresponding relations

- express y = ax2 + bx + c in the form y = a(x &ndash h)2 + k by completing the square in situations involving no fractions, using a variety of tools

- sketch the graph of a quadratic relation that is given in standard form

- explore the algebraic development of the quadratic formula - solve quadratic equations that have real roots, using a variety of methods

- determine the zeros and the maximum or minimum value of a quadratic relation from its graph

- solve problems arising from a realistic situation represented by a graph or an equation of a quadratic relation, with and without the use of technology


Oxford Education Blog

One of the biggest ‘why oh why’ questions in secondary school mathematics is the purpose of studying quadratic equations because ‘I am never going to need them in everyday life’. This irritating question is based on a sound premise. The applications generally offered to students to persuade them of the usefulness of quadratics tend to be dropping things from tall buildings, kicking/throwing/shooting, accelerating/braking, or calculating areas. All of these actions in ‘everyday life’ are generally calculated by estimation, rules of thumb, or in the case of areas, some kind of non-standard measuring unit such as the number of tiles or length of carpet.

Plan A for teachers answering this question is to continue the myth that adults go around doing school mathematics on bits of paper in all kinds of day-to-day contexts.

Plan B could be something like ‘no but you do need them to get your exam grades’ – an answer that continues the myth of irrelevance but is at least true.

Plan C: could be something like ‘no but you do need them to help you understand some of the maths you’re going to use in other subjects and employment’.

Plan C was the focus of a parliamentary debate at 3.43pm on 26th June 2003 about quadratic equations. I can imagine an enterprising group of students turning this debate into a humorous sketch, but the messages it contains are valuable. Tony McWalter (MP) starts with:

‘I put this matter on the agenda today because I have been troubled since the president of a teachers’ union suggested a couple of months ago that mathematics might be dropped as a compulsory subject by pupils the age of 14… He cited the quadratic equation as an example of the sort of irrelevant topic that pupils study. I had hoped that the Government would make a robust rebuttal, but there was no defence either of mathematics in general or the quadratic equation in particular.’

In his speech, Tony McWalter gives several reasons why quadratic equations are relevant that seem to me to be important when planning the place and role of quadratics in students’ school experience.

  1. access to understanding calculus, such as rates of change and marginal effect
  2. access to understanding science, such as gravity
  3. understanding that effort and difficulty present rewards beyond what can be achieved by guessing or trial and error
  4. access to the authentic historical culture of mathematics

Alan Johnson replies by pointing out some further reasons: ‘quadratic equations allow us to analyse the relationships between variable quantities, and they are the tool for understanding variable rates of change.’

Note that I have not said ‘in the National Curriculum’, because it is sadly limited to testable statements:

  1. develop algebraic and graphical fluency, including understanding linear and simple quadratic functions
  2. recognise, sketch and produce graphs of … quadratic functions of one variable with appropriate scaling, using equations in x e y and the Cartesian plane
  3. use…quadratic graphs to estimate values of y for given values of x and vice versa…

Instead, when we think about the curriculum from the students’ point of view, it is best to embed answers to the ‘why oh why?’ question all the way through and give everyone, including you and your colleagues, a strong sense of shared purpose.

So why are quadratic functions important?

Quadratic functions hold a unique position in the school curriculum. They are functions whose values can be easily calculated from input values, so they are a slight advance on linear functions and provide a significant move away from attachment to straight lines.

They are functions which have variable rates of change, that can be described qualitatively. It is easy to provide students with quadratic functions whose output values can be represented on equal aspect x e y axes, so that understanding rate of change as the gradient of tangent at point is relatively straightforward without worrying about scaling. They therefore provide opportunities to learn about the importance of paying attention to scaling of the y-axis when reasoning graphically about rates of change/gradients, by comparing the different visual appearance of graphs when the scaling changes.

When we translate linear functions it is visually unclear whether the translation was horizontal or vertical. It can also be a mystery to students why we focus on the y intercept in the y = mx + c representation, particularly as the machado + by = c representation gives both intercepts equal importance. The quadratic function clarifies these issues by making it necessary to know the direction of translation, and by presenting a new – hugely important – meaning of intercepts on the x-eixo. For all future work with functions and graphs, whether in pure maths or in some application of maths, students will need to focus on these qualitative characteristics, and also rates of change, constants represented by y intercepts, and zeros.

Quadratics are the only functions where students can use fairly accessible algebraic and arithmetical manipulation to show the relationships between input/output values, different algebraic representations, and graphical representations. Other elementary functions are accessible for some, but not all, of these connections.

The study of quadratics, therefore, provides the opportunity to ask a variety of questions about quantitative characteristics of phenomena. Such as questions about increase and decrease, rates of change, upturns and downturns or questions about achieving certain values, such as zero, and the location of maxima and minima. Within quadratic functions, these questions can be answered at KS3/4 level.

By questioning quadratics, students of higher mathematics also have access to the use of imaginary numbers to solve problems through the necessary invention of eu – the square root of -1.

How do we show their purpose in the classroom?

What would your school scheme of work look like throughout KS3 if it had these questions arranged in a coherent fashion so that students’ experience had some meaning, both for those who will go on to study higher mathematics and for those who will use graphs in a wide range of subjects and purposes?

It’s pretty obvious to me that the factorised form of the quadratic (y = k(x-a)(x-b)) and interpretation and sketching of graphs should go hand-in-hand. Then vertical translations and scaling could be used to distinguish between quadratics that had the same roots. Using curiosity, exploration and conjecture with graphical software would be one way to hook students into this, by giving them the intellectual power to create and identify quadratics that are visually very different.

The factorised form also gives access to the area model of the quadratic expression that is historically important and also widely used in textbooks. This approach, focusing on overall characteristics rather than individual points (apart from zeros) also embeds an understanding of functions as objects in their own right, rather than as a way of ‘joining the dots’. Manipulating expressions, by expanding brackets or factorising also has the purpose of moving between different ways to express quadratics, and hence focusing on different characteristics of the function.

This was the kind of development we had in mind when we began to write the curriculum, but much gets lost in the process of reducing conceptual development to brief statements. We imagined that this kind of work could go on through constant use of graphical software and alongside experience with other functions. Functions that can be understood qualitatively, but maybe not algebraically, such as exponentiation, inverse proportion, sinusoidal and so on, asking questions that, for the quadratic, can often be answered exactly using KS3 methods.

So, if I were planning how to tackle quadratics throughout KS3 I would vote for Plan C, and provide a meaningful, coherent and purposeful experience of quadratics (and their associated manipulations and transformations), as a bridge from linear functions and graphs to a world of functions that express all kinds of relations in science and mathematics, and elsewhere.


Anne Watson has two maths degrees and a DPhil in Mathematics Education, and is a Fellow of the Institute for Mathematics and its Applications. Before this, she taught maths in challenging schools for thirteen years. She has published numerous books and articles for teachers, and has led seminars and run workshops on every continent.


Solving A Quadratic Equation By Factoring With Examples

Exemplo 1: Solve (i) x 2 + 3x – 18 = 0 (ii) (x – 4) (5x + 2) = 0
(iii) 2x 2 + ax – a2 = 0 where ‘a’ is a real number.
Sol. (i) x 2 + 3x – 18 = 0
⇒ x 2 + 6x – 3x – 18 = 0
⇒ x(x + 6) – 3(x + 6) = 0
i.e., (x + 6) (x – 3) = 0
⇒ x + 6 = 0 or x – 3 = 0
⇒ x = – 6 or x = 3
Roots of the given equation are – 6 and 3
(ii) (x – 4) (5x + 2) = 0
⇒ x – 4 = 0 or 5x + 2 = 0
x = 4 or x = – 2/5
(iii) 2x 2 + ax – a 2 = 0
⇒ 2x 2 + 2ax – ax – a 2 = 0
⇒ 2x(x + a) – a(x + a) = 0
i.e., (x + a) (2x – a) = 0
⇒ x + a = 0 or 2x – a = 0
⇒ x = – a or x = a/2

Exemplo 2: Solve the following quadratic equations
(i) x 2 + 5x = 0 (ii) x 2 = 3x (iii) x 2 = 4
Sol. (i) x 2 + 5x = 0 ⇒ x(x + 5) = 0
⇒ x = 0 or x + 5 = 0
⇒ x = 0 or x = – 5
(ii) x 2 = 3x
⇒ x 2 – 3x = 0
⇒ x(x – 3) = 0
⇒ x = 0 or x = 3
(iii) x 2 = 4
⇒ x = ± 2

Example 3: Solve the following quadratic equations
(i) 7x 2 = 8 – 10x (ii) 3(x 2 – 4) = 5x (iii) x(x + 1) + (x + 2) (x + 3) = 42
Sol. (i) 7x 2 = 8 – 10x
⇒ 7x 2 + 10x – 8 = 0
⇒ 7x 2 + 14x – 4x – 8 = 0
⇒ 7x(x + 2) – 4(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (7x – 4) = 0
⇒ x + 2 = 0 or 7x – 4 = 0
⇒ x = – 2 or x = 4/7
(ii) 3(x 2 – 4) = 5x
⇒ 3x 2 – 5x – 12 = 0
⇒ 3x 2 – 9x + 4x –¬ 12 = 0
⇒ 3x(x – 3) + 4(x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (3x + 4) = 0
⇒ x – 3 = 0 or 3x + 4 = 0
⇒ x = 3 or x = –4/3
(iii) x(x + 1) + (x + 2) (x + 3) = 42
⇒ x 2 + x + x 2 + 3x + 2x + 6 – 42 = 0
⇒ 2x 2 + 6x – 36 = 0
⇒ x 2 + 3x – 18 = 0
⇒ x 2 + 6x – 3x – 18 = 0
⇒ x(x + 6) – 3(x + 6) = 0
⇒ (x + 6) (x – 3) = 0
⇒ x = – 6 or x = 3

Example 4: Solve for x : 12abx 2 – (9a 2 – 8b 2 ) x – 6ab = 0
Given equation is 12abx 2 – (9a 2 – 8b 2 ) x – 6ab = 0
⇒ 3ax(4bx – 3a) + 2b(4bx – 3a) = 0
⇒ (4bx – 3a) (3ax + 2b) = 0
⇒ 4bx – 3a = 0 or 3ax + 2b = 0
⇒ x =3a/4b or x = – 2b/3a


Comments

Its all in the context

What a great shame such concepts are seldom if ever taught in schools framed in historical and application context as they have been in this article.

And also the description

I agree with you. Children also need to know that a quadratic equation is a way to describe a physical thing, such as the arch of a bridge. I never understood that and no one ever told me that. I figured it out on my own when, as an adult, I restudied math. If they could see that math is a descriptive language that we all make use of, whether we fully realize it or not, they would then A) more readily understand math, and B) see its worth rather than question its worth.

Babylonians?

Just nitpicking here, but wouldn't 3000 B.C. be the Sumerians, not the Babylonians? It's been a while since I took Near Eastern studies, but I'm pretty sure the Babylonians didn't come around until mid third millenium B.C.

Yes you are right, they weren

Yes you are right, they weren't around yet.

Thank you.

The information regarding quadratic formulas has helped me visualize and clearly grasp the concept for potential applications. Amazing!!
I am one who has struggled in the subject yet determined to understand it.

Very Cool Story!

Hey,
I really like your website. For the first time ever, I see the importance of the quadratic formula. However, I need some help with a step, using the triangular field to develop c = ax^2 + bx. Why is the height 2x for the two right triangles. It's probably easy, but it's a step that is mysterious to me and my long work day, tired brain.

Triangular field area

Great article, wonderful introduction to quadratic equations.

I had exactly the same difficulty - and after over 50 years my school maths is really, really rusty.

There must be a good reason as to why they chose those particular ways of denoting base and height of the triangle (rather than just b and h), and I assume it is correct. Still do not really understand that bit.

However if you use those expressions in the area formula for a triangle (area = half base time height) then it does come out.

Also stumped

I could follow through up to the triangular field example. I suspect that there is some factoring and cancelling going on.

Nevertheless, I found this article useful in explaining WHY we have quadratic equations, and knowing why we have them helps me understand why/where/how we might apply them in real life situations. This was never taught to me at school. Instead, we just had to recognise when an equation was quadratic, learn the formula, then apply it.

Re: Very Cool Story! Thanks for your rectifying.

Yes, the formula that follows now makes sense. The height of the perpendicular now makes sense where it is "2x", and not "2x/m".

Appreciation

101 things Quadratic

I enjoyed this article very much. The combination of history, that I love, with algebra, that I struggle with, made my understanding of the concepts of functions easier. I especially appreciated seeing the conics sections and the application of each into graph equations. You all gave me an "aaha" moment. Keep up the good work. Debra

That's so first grade

I learned to factor quadratics in first grade. They're tame. I learned how functions can model "anything" when i watched the standard deviants algebra videos.

More generalized polynomials can be a pain to factor, though.

Well, okay..

Well, you must have been the smartest first grader in the world, I can't even figure this out in the 8th grade.

Great Job

It must have been a great effort to bring out these significance of quadratic equations. Immensely impressed. Appreciate the good job..

AWESOME

the research done on quadratic equation is awesome i always found it boooooring but this what is written is simply great.
the Babylonians and the Greeks are awesome i really loved reading it and hence forth in 11std i would surely do it thoroughly.thank you very much authors

INTERESTING

I always said that had no meaning at all, and why learn it if I won't ever use it again. This article has completely shut me up. I enjoyed every bit of this arcticle, very interesting introduction on Quadratic Equations. The information providded on quadratics had seriously helped me understand it a lot more. Its amazing how they use physical things such as the bridge and the arch to solve the dimensions.

United States needs to change mathematics instruction from K-12

This helped me understand the relevance of the quadratic equation. Incorporating the history of mathematics demonstrates how mathematics helps people become more efficient to finding solutions to world problems. Many students shut down mentally and emotionally when it comes to mathematics. in the United States. I'm trying to find ways to help change the way we instruct in the United States.

Bad teachers

I don't think that I ever had a math instructor that actually knew the subject until I reached college. It was a true joy to ask questions and get real answers. The US is crippled in math and science because k-12 education has become a union racket to employ the otherwise useless. The best way to change the way we instruct is to abolish all state funded public schools, disband public unions that kick back campaign money to the supposed representatives and let the parents and local school boards freely fire the worthless drones.

Math Teachers and Low pay

Actually, the reason why we can't get good math teachers is becuase the industry hires them at a much higher rate of pay then what the schools can pay. We get the "left overs" to choose from. I lucked out, and happened to get 3 very good math teachers. But I was the exception, and clearly not the rule.

Mirtha Abreu - Use of Quadratic Equation

This has definitely helped me understand quadratic equations. This is a subject that I have previously struggles with an after reading this article, I can understand it much better. I enjoyed learning about the history of quadratic equations and reading the explanations. Great article and very well put out!

Word Confusion

Part of the Quadratic Equation Article states:

"which is in turn proportional to the square of the length of the side. In mathematical terms, if (x) is the length of the side of the field, (m) is the amount of crop you can grow on a square field of side length 1, and (c) is the amount of crop that you can grow, then"

"m" and "c" sound like the same thing? Is this a typo?

The two are different: m is

The two are different: m is the amount you can grow on a field of unit side length and c the amount you can grow on the field under consideration (side length x).

Too really help. expand more on the triangle

Please expand on how you derived the labels on the Triangle and how then they fulfill the equation c = ax^2 + bx.

I still don't like the Irrational ones though.

"At this point the Greeks gave up algebra and turned to geometry."

Honestly? So did I! I am an artist, I think graphically. Geometry, Geography, Cartography, Orthography, etc. have always come to me easily. Irrational Quadratic Equations (IQE), as taught in most public schools in the United States of America, make absolutely no sense, and serve no discernible purpose in the real world.

My own instructors dedicated 50% or more of their courses to IQE, frustrating me to no end, because they wouldn't move on to anything else once they reached them. They constantly asked on written assignments to merely, "Solve.", equations. Then they always complained about the result I wrote, even when it was correct, because they wanted me to, "Show my work."

The process of going through the formula was more important to them than the result. None of them understood that I used a different means to get to the result, that was faster, and just as accurate. I didn't understand why they insisted upon writing mathematical expressions that were needlessly complex to denote an equation that was effectively upside down, backwards, and turned inside out. For them, algebraic notation was a mathematical puzzle to be taken apart and put back together, providing 'proof' that the expression was true at all points in the progression.

I skipped the algebraic notation and went directly to the result. I didn't need 'proof', I just wanted to get the work done. I knew in my heart that no one would actually write equations of the sort they expressed when attempting to solve real world issues in an expedited manner.

This article is very well written. I wish I had come across something of this sort thirty years ago, when it could have done me some good. Instead, it wasn't until I took classes in Trigonometry that it all fell into place. Trigonometry did for me, as an artist, what Algebra did for my high school instructors. Trigonometry acted as a mathematical bridge between Arithmetic, Geometry and Algebra, that I could traverse at will.

Unta Glebin Gloutin Globin

Red Ronin, The Cybernetic Samurai

360 degrees, 365.25 days

I think it is nearly impossible that the Babylonians thought there were 360 days in a year. I think you are implying that the number of degrees in a circle were chosen because the earth moves through almost one degree of its orbit each day. It's more likely that they chose 360 degrees as an outgrowth of their love for the number 60 - because it has so many factors. If you choose 60 for the internal angle of an equilateral triangle you get 360 degrees in a circle.

360 degrees, 365.25 days

The radius of a circle will fit inside the circle six times exactly to form a hexagon the corners of the hexagon each touch the circumference of the circle. Babylonians did indeed have a love for the number 60 and if each of the sides of the hexagon are divided into 60 and a line drawn from each 60th to the centre of the circle then there are 360 divisions in the circle.

Much appreciated

Thanks for going to the trouble of explaining the history and applications of quadratic equations. The point of it all was never explained to me when I was thrown into the deep end with them, age 10. Now that I've been asked to explain them to a friend's son, your material is helping to demystify things. Matt, North Wales, UK

Don't understand how you get to c = a x^2 + b x

I can't get beyond c = a x^2 + b x. How is this equation derived from the figure given? There's no explanation as to what "a" and "b" actually represent?

Re: Don't understand how you get to c = a x^2 + b x

I was wondering the same thing. In the diagram I take ax to be the base of the smaller triangle but then where is x in the equation coming from? Are a and x equal?

Also don't understand how that 1st 2 triangles field eqn works

I'm also stuck on that 1st example of the field comprising 2 triangles and how we get to the quadratic equation from that. I would love to go through the rest of this article but don't want to until I've overcome the hurdle of understanding this. Please, someone?

The area of the smaller of

The area of the smaller of the two triangles is ax^2/m and the area of the larger one is bx/m (from the standard formula for the area of triangles). This means that the area of the whole field is ax^2/m+bx/m. Since the amount of crop that can be grown on a field of unit area is m, the amount of crop that can be grown on a field of area ax^2/m+bx/m is m(ax^2/m+bx/m) = ax^2+bx.

Area of smaller triangle

But why is the base of one triangle ax and of the other simply b. Where does that ax value come from?

Area of smaller triangle

can someone please explain terrys question-why is one base ax and the other one simply b. also why is the height 2x/m. where does the m come from.

Explanations

I can understand Anon's frustration back in Jan '16. So often in mathematical explanations I've read I find myself tripping over a missing step. Like a mathematical pothole. It's usually something so obvious to the mathematician who wrote it that it didn't seem to need mentioning. ( Like where that little square came from- though I did eventually work that one out). The problem is that if you are trying to follow a set of mathematical steps even if you solve the missing one (as with me and the small square) you have been diverted away from the main problem and lost the thread: And then probably give up and go off and do something else instead.

Explanations

It's just a quadratic equation in standard form tweaked ie ax^2 + bx + c vs c = ax^2 + bx and if a is anything other than 1, then you remove it, etc

Will try to help you clarify

I'm pretty sure when they sought out ways to derive a quadratic equation to help them reason triangular regions they had to think frontwards and backwards. First, I believe you need to understand how the height 2x/m came into play (why it was used). First, keep in mind that "m" represents a basic unit of 1. That would mean that 2x/m (the height for BOTH triangles would appear to be 2x. But are their heights 2x? Let's think about it, when finding the area of a right triangle we eventually divide the area by 2 after multiplying the b x the h. Knowing this, it is mathematically reasonable why the coefficient of "2" was put in front of x-it would get divided back out and preserve what they really wanted for the height of the triangle/ length of one side of the land "x". This mean that the small triangular area would be ax times x or (ax^2). The larger triangular area would be b times x or bx for its area. You asked though "what is "a" and "b"? look at length of base "a", compared to the triangles height that we previously deduced to really be "x". "a" represents a coefficient thats taking a fraction of base length "x" for the small base is being represented in terms of the height of the triangle or length of the land. Base b ls obviously the second width of the scalene triangle or width of land that IF represented with bx instead of b (like it is) would have created a bx^2 term instead of the bx we need to figure out the area the land in addition to other things. This is my perception after being confused there for a minute too. I hope this helped you or someone just a little although it's years later- just discovered this awesome forum:).

Super Confused

I really can't follow what you're saying. I just want to know where that expression for the height comes from. So I called it h to get the total area of the triangle as h(ax+b)/2. Total total yield of this area will be hm(ax + b)/2.
So I can appreciate that ax must be something relating that smaller triangle to the height, and if I set h = x, I get m(ax^2 + bx)/2 for the total yield. Substituting h = 2x/m gives ax^2 + bx which is the area of two quadrilaterals with the same height of x and 2 sides of ax and b. So the yield, which should be a product of area and the coefficient m is now rendered as the areas of two squares without having anything to do with that coefficient anymore. Taking the height to be x again and the bases as they are, the total yield for the aggregate quadrilateral is m(ax^2 + bx), and for the triangles would be that over 2. Rearranging gives ax^2 + bx = 2yield /m. So if the yield of the quadrilateral (divided by m) of height x is ax^2 + bx, then the height at which the yeild of the triangles is equal to that is 2x/m. I can see all that but I just can't grasp what on earth is going on and its doing my head in


SUMMARY

Key Words

  • UMA quadratic equation is a polynomial equation in one unknown that contains the second degree, but no higher degree, of the variable.
  • O standard form of a quadratic equation is ax 2 + bx + c = 0, when a &ne 0.
  • Um incomplete quadratic equation is of the form ax 2 + bx + c = 0, and either b = 0 or c = 0.
  • O quadratic formula é


Assista o vídeo: Likninger: Kvadratiske likninger (Outubro 2021).