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8.1.4: Estimando probabilidades por meio de experimentos repetidos


Lição

Vamos fazer algumas experiências.

Exercício ( PageIndex {1} ): Decimais na Linha Numérica

  1. Localize e identifique esses números na linha do número.
    1. (0.5)
    2. (0.75)
    3. (0.33)
    4. (0.67)
    5. (0.25)
  2. Escolha um dos números da pergunta anterior. Descreva um jogo em que esse número represente sua probabilidade de vitória.

Exercício ( PageIndex {2} ): A longo prazo

Mai joga um jogo no qual ela só ganha se rolar 1 ou 2 com um cubo de número padrão.

  1. Liste os resultados no espaço de amostra para rolar o cubo de número.
  2. Qual é a probabilidade de Mai vencer o jogo? Explique seu raciocínio.
  3. Se Mai tiver a opção de jogar uma moeda e ganhar se der cara, essa é a melhor opção para ela ganhar?
  4. Comece arrastando a barra cinza abaixo da barra de ferramentas para baixo na tela até ver a tabela na janela superior e o gráfico na janela inferior. Este miniaplicativo exibe um número aleatório de 1 a 6, como um cubo de número. Mai venceu com os números 1 e 2, mas você pode escolher quaisquer dois números de 1 a 6. Registre-os nas caixas no centro do miniaplicativo.
    Clique no botão Rolar para 10 rolos e responda às perguntas.
  5. O que parece estar acontecendo com os pontos no gráfico?
    1. Após 10 lançamentos, qual fração do total de lançamentos foi uma vitória?
    2. Quão próxima está essa fração da probabilidade de Mai vencer?
  6. Role o cubo de número mais 10 vezes. Registre seus resultados na tabela e no gráfico anterior.
    1. Depois de 20 lançamentos, qual fração do total de lançamentos foi uma vitória?
    2. Quão próxima está essa fração da probabilidade de Mai vencer?

Exercício ( PageIndex {3} ): Vencido por uma vitória

  1. Para cada situação, você acha que o resultado é surpreendente ou não? É possível? Esteja preparado para explicar seu raciocínio.
    1. Você joga a moeda uma vez e ela cai cara para cima.
    2. Você joga a moeda duas vezes e acerta em cara ambas as vezes.
    3. Você joga a moeda 100 vezes e ela cai em cara todas as 100 vezes.
  2. Se você lançar a moeda 100 vezes, quantas vezes você esperaria que a moeda caísse cara para cima? Explique seu raciocínio.
  3. Se você lançar a moeda 100 vezes, quais são alguns outros resultados que não seriam surpreendentes?
  4. Você já jogou a moeda 3 vezes e deu cara uma vez. A fração cumulativa de caras é atualmente ( frac {1} {3} ). Se você jogar a moeda mais uma vez, ela cairá cara para formar a fração cumulativa ( frac {2} {4} )?

Resumo

A probabilidade de um evento representa a proporção do tempo que esperamos que esse evento ocorra a longo prazo. Por exemplo, a probabilidade de uma moeda cair cara após um lançamento é ( frac {1} {2} ), o que significa que se jogarmos uma moeda muitas vezes, esperamos que ela caia cara cerca de metade de A Hora.

Mesmo que a probabilidade nos diga o que devemos esperar se jogarmos uma moeda muitas vezes, isso não significa que temos mais probabilidade de obter cara se tivermos apenas três coroas seguidas. As chances de obter cara são as mesmas sempre que lançamos a moeda, independentemente do resultado das jogadas anteriores.

Entradas do glossário

Definição: Experiência de Chance

Um experimento casual é algo que você pode fazer repetidamente e não sabe o que vai acontecer a cada vez.

Por exemplo, cada vez que você gira o botão giratório, ele pode pousar em vermelho, amarelo, azul ou verde.

Definição: Evento

Um evento é um conjunto de um ou mais resultados em um experimento casual. Por exemplo, se lançarmos um cubo de número, existem seis resultados possíveis.

Exemplos de eventos são "lançar um número menor que 3", "lançar um número par" ou "lançar um 5".

Definição: Resultado

O resultado de um experimento casual é uma das coisas que podem acontecer quando você faz o experimento. Por exemplo, os resultados possíveis de jogar uma moeda são cara e coroa.

Definição: Probabilidade

A probabilidade de um evento é um número que indica a probabilidade de acontecer. Uma probabilidade de 1 significa que o evento sempre acontecerá. Uma probabilidade de 0 significa que o evento nunca acontecerá.

Por exemplo, a probabilidade de selecionar um bloco lunar aleatoriamente desta bolsa é ( frac {4} {5} ).

Definição: Aleatório

Os resultados de um experimento casual são aleatórios se todos forem igualmente prováveis ​​de acontecer.

Definição: Espaço de Amostra

O espaço amostral é a lista de todos os resultados possíveis para um experimento casual.

Por exemplo, o espaço de amostra para jogar duas moedas é:

cabeças-cabeçascoroa
cara-coroacauda-cauda
Tabela ( PageIndex {2} )

Prática

Exercício ( PageIndex {4} )

Um jogo de carnaval tem 160 patos de borracha flutuando em uma piscina. A pessoa que está jogando pega um pato e olha para ele.

  • Se houver uma marca vermelha na parte inferior do pato, a pessoa ganha um pequeno prêmio.
  • Se houver uma marca azul na parte inferior do pato, a pessoa ganha um grande prêmio.
  • Muitos patos não têm marca.

Depois de 50 pessoas terem jogado o jogo, apenas 3 delas ganharam um pequeno prêmio, e nenhuma delas ganhou um grande prêmio.

Estime o número dos 160 patos que você acha que têm marcas vermelhas na parte inferior. Em seguida, estime o número de patos que você acha que têm marcas azuis. Explique seu raciocínio.

Exercício ( PageIndex {5} )

Lin quer saber se lançar uma moeda de 25 centavos realmente tem uma probabilidade de ( frac {1} {2} ) de acertar o heads-up, então ela inverte uma moeda de dez vezes. Ele acerta o heads-up 3 vezes e o final 7 vezes. Ela provou que a probabilidade não é ( frac {1} {2} )? Explique seu raciocínio.

Exercício ( PageIndex {6} )

Um spinner tem quatro seções iguais, com uma letra da palavra “MATEMÁTICA” em cada seção.

  1. Você gira o botão giratório 20 vezes. Quantas vezes você espera que ele caia em A?
  2. Você gira o botão giratório 80 vezes. Quantas vezes você espera que ele caia em algo diferente de A? Explique seu raciocínio.

Exercício ( PageIndex {7} )

Um botão giratório é girado 40 vezes para um jogo. Aqui está um gráfico que mostra a fração de jogos que são vencedores em algumas condições.

Estime a probabilidade de um giro ganhar este jogo com base no gráfico.

Exercício ( PageIndex {8} )

Qual evento é mais provável: rolar um cubo de número padrão e obter um número par, ou jogar uma moeda e vê-la cair cara para cima?

(Da Unidade 8.1.2)

Exercício ( PageIndex {9} )

Noah selecionará uma letra aleatoriamente da palavra “FLUTE”. Lin selecionará uma letra aleatoriamente da palavra “CLARINET”.

Qual pessoa tem mais probabilidade de escolher a letra “E?” Explique seu raciocínio.

(Da Unidade 8.1.3)


8.1.4: Estimando probabilidades por meio de experimentos repetidos

Probabilidade representa a probabilidade esperada de um evento ocorrer para uma única tentativa em um experimento.

  • Independentemente das tentativas anteriores, cada cara ou coroa deve ter a mesma probabilidade de acertar cara ou coroa.
  • Um jogador de basquete que tende a fazer 75% de seus arremessos de lance livre provavelmente fará ¾ lances livres que ele tentar, mas há nenhuma garantia que ele fará qualquer tiro individual, mesmo que tenha falhado alguns consecutivos.

Você conduz um experimento casual muitas vezes e registra os resultados. Como esses resultados estão relacionados à probabilidade de um determinado evento ocorrer?

  • A fração de vezes que o evento ocorre após muitas repetições deve ser bastante próxima da probabilidade esperada do evento.

Qual é a probabilidade de rolar 2, 3 ou 4 em um cubo de número padrão?

Você deseja lançar um 2, 3 ou 4 em um cubo de número padrão. Se você rolar 3 vezes e nenhuma delas resultar em 2, 3 ou 4, a probabilidade de obter um desses números muda na próxima jogada?

A probabilidade de pegar uma gripe durante a temporada de gripe é de ⅛. Se uma família tiver 8 pessoas morando na mesma casa, é garantido que uma delas ficará gripada?

  • Não, é muito possível que nenhuma pessoa contraia a gripe e também é possível que mais de 1 pessoa contraia a gripe.

A probabilidade de pegar uma gripe durante a temporada de gripe é de ⅛. Se um país tem 8 milhões de habitantes, aproximadamente quantos você espera que contraiam a gripe? Esse número precisa ser exato?


  • Posso explicar por que pode ser útil coletar dados em uma amostra de uma população.
  • Quando leio ou ouço uma pergunta estatística, posso nomear a população de interesse e dar um exemplo de amostra para essa população.
  • Lembro que quando uma distribuição não é simétrica, a mediana é uma estimativa melhor de um valor típico do que a média.
  • Posso determinar se uma amostra é representativa de uma população considerando a forma, o centro e a distribuição de cada um deles.
  • Eu sei que algumas amostras podem representar a população melhor do que outras.

Distribuição PERT

A distribuição PERT é uma distribuição de probabilidade contínua que é definida pelos valores mínimo (a), mais provável (b) e máximo (c), com a média (ou valor esperado) de:

A distribuição PERT é na verdade uma distribuição beta de quatro parâmetros transformada. A distribuição beta tem dois parâmetros α e β definido no intervalo [0,1], tornando-o útil para modelar probabilidades e variáveis ​​aleatórias. A versão de quatro parâmetros da distribuição beta cria o intervalo [a, c] em vez de onde a é o mínimo ec é o valor máximo.

Você pode ver onde isso vai dar. Usando uma distribuição PERT para mapear as estimativas, podemos aproximar as probabilidades das próprias estimativas!

Isso quer dizer que, enquanto pedimos ao estimador para fornecer os valores otimista, pessimista e mais provável para as estimativas, o valor real esperado pode ser diferente do valor mais provável, e podemos descobrir a probabilidade das tarefas concluída dentro de uma duração ou orçamento.

No entanto, isso é realmente apenas para uma única tarefa. Em um projeto, é claro, temos muitas, muitas tarefas e cada uma pode ter parâmetros de distribuição diferentes para a, be c. Se você é o gerente de projeto, como descobriria as estimativas e probabilidades gerais?

Bem, também podemos tentar fazer a matemática, mas somos programadores, não matemáticos (estou dizendo isso no bom sentido), então olhamos para o nosso velho amigo, Monte Carlo.


Amostragem com ou sem substituição

Às vezes, podemos querer repetir a mesma experiência várias vezes, como jogar uma moeda. Quando repetindo experimentos, uma suposição comum é que o resultado de um experimento não tem nenhuma influência no resultado dos outros. Em outras palavras, os experimentos são independentes.

Em situações da vida real, geralmente selecionamos itens de uma população maior e os analisamos. Existem duas maneiras de fazer isso: amostragem com reposição, amostragem sem reposição.

Quando nós sequencialmente selecione com substituição, os resultados podem se repetir e os experimentos são independentes.

No exemplo abaixo, tiramos uma amostra de duas bolas de uma jarra com duas bolas, uma amarela e a segunda azul.

Se nós selecione sem substituição do jarro, os resultados não podem se repetir e os experimentos são dependentes.

Em todos os exemplos até agora, a ordem importava. Às vezes o ordem não importa, e nós apenas nos preocupamos com a coleção. Em vez de trabalhar com tuplas de resultados possíveis, lidamos com o conjunto de resultados possíveis.

Por exemplo, se jogarmos uma moeda duas vezes, podemos ter os resultados (cara, cauda) ou (cauda, ​​cara). Quando a ordem não importa, ambos os resultados constroem o evento <(cabeça, cauda), (cauda, ​​cabeça)>.

Vejamos agora outra situação, onde selecionamos 2 cartas de um baralho com 6 cartas com substituição. Quando a ordem é importante, temos uma distribuição uniforme, o que significa que todas as tuplas possíveis (1,1), (1,2), ..., (6,6,) têm a mesma probabilidade de ocorrer 1/36.

Porém, quando a ordem não importa, a distribuição não é mais uniforme, conforme ilustrado a seguir.

Vamos repetir o mesmo experimento, desta vez sem substituição. Agora, a distribuição é uniforme, conforme mostrado a seguir. Os métodos de pedido e amostragem podem ter um impacto significativo nas probabilidades.


8.1.4: Estimando probabilidades por meio de experimentos repetidos

PROBABILIDADE / ESTATÍSTICAS DE HERANÇA

Sabemos que quando duas pessoas que são heterozigotas para um gene autossômico mendeliano simples alfa ter um filho, a probabilidade de o filho apresentar o fenótipo dominante é 3/4. Vamos fazer uma pergunta um pouco mais complexa. Se este casal tem um total de quatro filhos, qual é a probabilidade de que 3 dos 4 apresentem o fenótipo dominante? Para responder a isso, primeiro derivaremos a fórmula apropriada e então a usaremos para calcular a resposta numérica. A mesma fórmula nos permite entender a distribuição estatística esperada dos vários padrões fenotípicos possíveis em famílias de quatro filhos (ou de qualquer outro tamanho) em uma grande população.


1. Revisão: como algumas probabilidades gerais simples podem ser calculadas combinando as "regras" de multiplicação e adição que cobrimos anteriormente?

Vamos começar com um caso muito simples: perguntar sobre as probabilidades de gênero em famílias de três filhos.

Qual é a probabilidade de que todos os três filhos em uma família sejam do mesmo sexo?
P (todas mulheres) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
P (todos homens) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
P (todos do mesmo gênero) = P (todas mulheres) + P (todos homens) = 1/8 + 1/8 = 1/4

Qual é a probabilidade de uma família de três filhos ter duas meninas e um menino?
Cada ordem de nascimento possível tem P = 1/8. Ou seja, P (G, G, B) = P (G, B, G) = P (B, G, G) = 1/8.
Portanto, P (2G, 1B) = 3/8 e P (1G, 2B) = 3/8.

Isso nos permite escrever a distribuição geral de probabilidade de gênero para famílias de três filhos da seguinte forma:
1/8 serão três meninas
3/8 serão duas meninas e um menino
3/8 será uma menina e dois meninos
1/8 serão três meninos
Somando tudo, temos 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1 (100%)


2. Como podemos entender e usar o & quotTriangulo de Pascal & quot e a "regra geral para tentativas repetidas de eventos com probabilidades constantes", fórmula 1 (página 161 do livro didático)?

Considere os numeradores das frações na equação de gênero da família de três filhos acima:
1, 3, 3, 1. Esses números são os coeficientes na expansão do termo (p + q) ao cubo. Em geral, os coeficientes de qualquer expansão binomial fornecem o & quot número de maneiras & quot que algo pode acontecer.

A Figura 4.21, "Triângulo de Pascal", mostra esses coeficientes para a expansão de (p + q) elevado a qualquer potência até 10. Os números em qualquer linha podem ser usados ​​conforme descrito acima. Por exemplo, suponha que nas próximas duas décadas você terá 6 filhos. Existem 64 ordens de nascimento de gênero possíveis, com 20 delas resultando em três meninas e três meninos.

Os termos p e q são as probabilidades individuais para um resultado específico de um único "evento". Para cálculos de "gênero", as probabilidades p e q são iguais, ambas = 1/2 (as probabilidades iguais de nascimentos de homens e mulheres).

Para cálculos do tipo "dominante: fenótipo recessivo", p e q geralmente não serão iguais. Para uma herança mendeliana simples de dois pais heterozigóticos, p será = 3/4 (se AA e Aa dar fenótipo dominante) e q = 1/4 (aa dá fenótipo recessivo).

Generalizando isso, chegamos à fórmula na página 161 de seu texto que é "a regra geral para tentativas repetidas de eventos com probabilidades constantes". O termo (n! / S! T!) É o número de maneiras possíveis (pedidos) de obter um determinado resultado líquido (& cota total de n com s de um e t do outro & quot). Este número pode ser calculado ou retirado diretamente do triângulo de Pascal.


3. Exemplo de problema: você e seu cônjuge são ambos heterozigotos para algum gene mendeliano simples alfa (ou seja, cada um de vocês tem genótipo Aa, e ambos mostram o fenótipo dominante) no cromossomo # 1. Na próxima década, você terá quatro filhos. Qual é a probabilidade de que 3 de seus filhos apresentem o fenótipo dominante e um mostre o fenótipo recessivo? Quais são as probabilidades dos outros resultados possíveis?

Se estivéssemos olhando para milhares dessas famílias, sabemos que a proporção geral de fenótipos dominantes para recessivos nas crianças seria em média de 3: 1, conforme mostrado por um quadrado de Punnett simples. Mas para um casal com quatro filhos, qual é a probabilidade, P (3D, 1r)?

Para calcular P (3D, 1r), usamos a fórmula 1 para o caso n = 4, s = 3, t = 1, p = 3/4, q = 1/4.
P (3D, 1r) = 4! / 3! x (3/4) ao cubo x (1/4) = 4 x (27/64) x 1/4 = 0,42 (42%)

Calculando também as outras quatro possibilidades, podemos construir um gráfico que mostra a distribuição estatística que você esperaria ver em uma grande população.

Problema S-4: & quotOs pais heterozigotos têm três filhos & quot.

Modifique o problema de amostra acima para fazer os cálculos para você e seu cônjuge (ambos Aa) ter TRÊS filhos. Faça os cálculos para as probabilidades de que todos os três, dois, um ou nenhum dos três filhos mostrará o fenótipo dominante do gene alfa. Construa o gráfico e compare o resultado com o gráfico de & quotquatro filhos & quot feito na aula.


Resumo

Estimar com precisão os estilos de direção é crucial para projetar sistemas úteis de assistência ao motorista e sistemas de controle de veículos para uma direção autônoma que corresponda à forma como as pessoas dirigem. Este artigo apresenta uma nova maneira de identificar o estilo de direção, não em termos de durações ou frequências de estados de manobra individuais, mas sim os padrões de transição entre eles para ver como estão inter-relacionados. O comportamento de direção no tráfego rodoviário foi categorizado em 12 estados de manobra, com base nos quais 144 (12 × 12) probabilidades de transição de manobra foram obtidas. Um método de maximização de verossimilhança condicional foi empregado para extrair padrões de transição de manobra típicos que podem representar estratégias de estilo de direção, a partir das 144 probabilidades. O algoritmo de floresta aleatória foi adotado para classificar os estilos de direção usando os recursos selecionados. Os resultados mostraram que as transições relativas a cinco estados de manobra - direção livre, aproximação, seguimento próximo, mudanças restritas de faixa esquerda e direita - podem ser usadas para classificar o estilo de direção de forma confiável. Comparações com métodos tradicionais foram apresentadas e discutidas em detalhes para mostrar que as probabilidades de transição entre as manobras eram melhores para prever o estilo de direção do que as frequências de manobras tradicionais na análise comportamental.


8.1.4: Estimando probabilidades por meio de experimentos repetidos

      1. Entre $ A $, $ B $ e $ C $, apenas $ A $ ocorre: $ A-B-C = A- (B cup C) $.
      2. Ocorre pelo menos um dos eventos $ A $, $ B $ ou $ C $: $ A cup B cup C $.
      3. $ A $ ou $ C $ ocorre, mas não $ B $: $ (A cup C) -B $.
      4. No máximo dois dos eventos $ A $, $ B $ ou $ C $ ocorrem: $ (A cap B cap C) ^ c = A ^ c xícara B ^ c xícara C ^ c $.

      Os diagramas de Venn são mostrados na Figura 1.19. Fig.1.19 - Diagramas de Venn para o problema 1 resolvido.
    1. Jogamos uma moeda até vermos duas caudas consecutivas. Registramos o número total de lançamentos de moeda.
    2. Uma bolsa contém $ 4 $ bolas: uma é vermelha, uma é azul, uma é branca e uma é verde. Nós escolhemos duas bolas distintas e registramos sua cor em ordem.
    3. Um cliente chega a um banco e espera na fila. Observamos $ T $, que é o tempo total (em horas) que o cliente espera na fila. O banco tem uma política rígida de que nenhum cliente espera mais de $ 20 $ minutos em nenhuma circunstância.

    Lembre-se de que o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis. Normalmente, quando você tem um experimento aleatório, existem diferentes maneiras de definir o espaço amostral $ S $, dependendo do que você observa como resultado. Neste problema, para cada experimento são declarados quais resultados observamos para ajudá-lo a escrever o espaço amostral $ S $.

    1. Jogamos uma moeda até vermos duas caudas consecutivas. Registramos o número total de lançamentos de moeda: aqui, o número total de lançamentos de moeda é um número natural maior ou igual a $ 2 $. O espaço da amostra é $ S = <2,3,4, cdots >. $
    2. Uma bolsa contém $ 4 $ bolas: uma é vermelha, uma é azul, uma é branca e uma é verde. Escolhemos duas bolas distintas e registramos suas cores em ordem: O espaço da amostra pode ser escrito como $ S = <(R, B), (B, R), (R, W), (W, R), (R , G), (G, R), $ $ (B, W), (W, B), (B, G), (G, B), (W, G), (G, W) >. $
    3. Um cliente chega a um banco e espera na fila. Observamos $ T $. Em teoria, $ T $ pode ser qualquer número real entre $ e $ frac <1> <3> = 20 $ minutos. Assim, $ S = big [0, frac <1> <3> big] = big | 0 leq x leq frac <1> <3> big >. $
    • $ A xícara B xícara C = S $,
    • $ P (A) = frac <1> <2> $,
    • $ P (B) = frac <2> <3> $,
    • $ P (A xícara B) = frac <5> <6> $.
    1. Encontre $ P (A cap B) $.
    2. $ A $, $ B $ e $ C $ formam uma partição de $ S $?
    3. Encontre $ P big (C- (A xícara B) big) $.
    4. Se $ P (C cap (A xícara B)) = frac <5> <12> $, encontre $ P (C) $.

    Como antes, é sempre útil desenhar um diagrama de Venn, entretanto, aqui fornecemos a solução sem usar um diagrama de Venn.

      Usando o princípio de inclusão-exclusão, temos $ P (A cap B) = P (A) + P (B) -P (A cap B). $ Assim,

    $ C- (A xícara B) $ $ = bigg (C xícara (A xícara B) bigg) - (A xícara B) hspace <30pt> $
    $ = S- (A xícara B) $ $ textrm <(uma vez que $ A xícara B xícara C = S $)> $
    $ = (A xícara B) ^ c $.

    Desse modo

    Como vimos antes, o espaço de amostra $ S $ tem $ 36 $ elementos.

    1. Este é um exemplo de modelo de probabilidade contínua. Anote o espaço amostral $ S $.
    2. Verifique se a declaração no manual faz sentido encontrando $ P (T geq 0) $ e $ lim_ P (T geq t) $.
    3. Verifique também se $ t_1 e ^ <- frac<5>> $ = P (T geq t_2) $ (já que $ f (x) = e ^ <(x)> $ é uma função crescente). Aqui temos dois eventos, $ A $ é o evento que $ T geq t_1 $ e $ B $ é o evento que $ T geq t_2 $. Ou seja, $ A = [t_1, infty), B = [t_2, infty). $ Como $ B $ é um subconjunto de $ A $, $ B subconjunto A $, devemos ter $ P (B) leq P (A) $, portanto $ P (A) = P (T geq t_1) geq P (T geq t_2) = P (B). $
    4. A probabilidade de o produto quebrar dentro de três anos a partir do momento da compra é de $ P (T
      Problema

    Eu vi esta questão pela primeira vez em um concurso de matemática há muitos anos: você pega um pedaço de pau e o quebra aleatoriamente em três partes. Qual é a probabilidade de você fazer um triângulo usando as três peças? Você pode assumir que os pontos de quebra são escolhidos completamente ao acaso, ou seja, se o comprimento da vara original é $ 1 $ unidade e $ x, y, z $ são os comprimentos das três peças, então $ (x, y, z) $ são escolhidos uniformemente do conjunto $ <(x, y, z) in mathbb^ 3 | x + y + z = 1, x, y, z geq 0 >. $

    Este é novamente um problema em um espaço de probabilidade contínua. A ideia básica é muito simples. Primeiro, precisamos identificar o espaço amostral $ S $. Neste caso, o espaço amostral será um conjunto bidimensional. Em segundo lugar, precisamos identificar o conjunto $ A $ que contém os resultados favoráveis ​​(o conjunto de $ (x, y, z) $ em $ S $ que forma um triângulo). E finalmente, como o espaço é uniforme, dividiremos a área do conjunto $ A $ pela área de $ S $ para obter $ P (A) $.

    Primeiro, precisamos encontrar os conjuntos $ S $ e $ A $. Este é basicamente um problema de geometria. Os dois conjuntos, $ S $ e $ A $, são mostrados na Figura 1.20.

    Fig.1.20 - O espaço da amostra e defina $ A $ para o Problema 6.

    Observe que em $ mathbb^ 3 $, $ x + y + z = 1 $ representa um plano que passa pelos pontos $ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) $. Para encontrar o espaço amostral $ S $, observe que $ S = <(x, y, z) in mathbb^ 3 | x + y + z = 1, x, y, z geq 0 > $, portanto $ S $ é a parte do plano mostrada na Figura 1.20.

    Para encontrar o conjunto $ A $, observe que precisamos de $ (x, y, z) $ para satisfazer a desigualdade do triângulo $ x + y & gt z, $ $ y + z & gt x, $ $ x + z & gt y. $ Observe que, como $ x + y + z = 1 $, podemos escrever de forma equivalente as três equações como $ x & lt frac <1> <2>, $ $ y & lt frac <1> <2>, $ $ z & lt frac <1> <2>. $ Assim, concluímos que o conjunto $ A $ é a área mostrada na Figura 20. Em particular, notamos que o conjunto $ S $ consiste em quatro triângulos com áreas iguais. Portanto, sua área é quatro vezes a área de $ A $, e temos $ P (A) = frac < textrmA> < textrmS> = frac <1> <4>. $


    Diferença entre probabilidade experimental e probabilidade teórica

    Você pode argumentar a mesma coisa usando um dado. No entanto, usaremos uma moeda para ajudá-lo a ver a diferença.

    Em probabilidade teórica, dizemos que "cada resultado é igualmente provável" sem o experimento real. & # Xa0Por exemplo, sem & # xa0 lançar uma moeda, você sabe que o resultado pode ser cara ou coroa. & # xa0Se a moeda não for alterada, argumentamos que cada resultado (cara ou coroa) é igualmente provável. Em outras palavras, estamos dizendo que em teoria ou (suposição, conjectura, especulação, suposição, suposição educada) a probabilidade de obter cara é de 50% ou a probabilidade de obter coroa em 50%. Como você não jogou a moeda de fato, está fazendo uma suposição com base na lógica.

    A lógica é que existem 2 resultados possíveis e, como você está escolhendo 1 dos 2 resultados, a probabilidade é 1/2 ou 50%. Esta é a probabilidade teórica ou probabilidade de suposição ou probabilidade baseada na suposição.

    Na probabilidade experimental, & # xa0, queremos tirar o trabalho de adivinhação do cenário, fazendo o experimento para ver quantas vezes cara ou azul-petróleo aparecerão. Se você lançar uma moeda 1000 vezes, poderá perceber que ela caiu em cara apenas 400 vezes. Neste caso, a probabilidade de obter cara é de apenas 40%. & # Xa0

    Seu experimento pode nem mostrar coroa até depois do quarto lance e, no entanto, no final você acabou com mais coroa do que cara. & # Xa0

    Se você repetir a experiência outro dia, poderá encontrar um resultado completamente diferente. Pode ser desta vez que a moeda caiu na cauda 400 ou 300 vezes.

    Como você pode ver, a probabilidade experimental é baseada mais em fatos, dados coletados, experimentos ou pesquisas!


    Exemplos Resolvidos de Probabilidade Experimental

    Exemplo 1: A tabela a seguir mostra o registro dos resultados ao lançar um dado de 6 lados 100 vezes.

    Resultado Frequência
    1 14
    2 18
    3 24
    4 17
    5 13
    6 14

    Encontre a probabilidade experimental de: a) Tirar quatro b) Tirar um número menor que quatro c) Tirar 2 ou 5

    Solução:
    A probabilidade experimental é calculada pela fórmula: Número de vezes que um evento ocorre / Número total de tentativas
    a) Rolando um 4: 17/100 = 0,17


    Assista o vídeo: CÁLCULO DE PROBABILIDADES (Outubro 2021).