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7.3.5: Distinguir Volume e Área de Superfície


Lição

Vamos trabalhar com a área de superfície e o volume no contexto.

Exercício ( PageIndex {1} ): A Feira de Ciências

A professora de ciências de Mai disse a ela que quando há mais gelo tocando a água em um copo, o gelo derrete mais rápido. Ela quer testar essa afirmação, então projeta seu projeto de feira de ciências para determinar se gelo picado ou cubos de gelo derreterão mais rápido em uma bebida.

Ela começa com duas xícaras de água morna. Em uma xícara, ela coloca um cubo de gelo. Em uma segunda xícara, ela coloca gelo picado com o mesmo volume do cubo. Qual é a sua hipótese? O cubo de gelo ou o gelo picado derreterão mais rápido ou irão derreter na mesma velocidade? Explique seu raciocínio.

Exercício ( PageIndex {2} ): Revisitando a caixa de chocolates

No outro dia, você calculou o volume desta caixa de chocolates em forma de coração.

A profundidade da caixa é de 2 polegadas. Quanto papelão é necessário para criar a caixa?

Exercício ( PageIndex {3} ): Classificação de cartão: Área de superfície ou volume

Seu professor lhe dará cartões com diferentes figuras e perguntas.

  1. Organize os cartões em dois grupos com base no que faria mais sentido pensar sobre a área da superfície ou o volume da figura ao responder à pergunta. Faça uma pausa aqui para que seu professor possa revisar seu trabalho.
  2. Seu professor irá atribuir a você um cartão para examinar mais de perto. De quais informações adicionais você precisaria para responder à pergunta em seu cartão?
  3. Estime medidas razoáveis ​​para a figura em seu cartão.
  4. Use suas medidas estimadas para calcular a resposta à pergunta.

você esta pronto para mais?

Um bolo tem a forma de um prisma quadrado. O topo tem 20 centímetros de cada lado e o bolo tem 10 centímetros de altura. Tem glacê nas laterais e na parte superior, e uma única vela na parte superior exatamente no centro do quadrado. Você tem uma faca e uma régua de 20 centímetros.

  1. Encontre uma maneira de cortar o bolo em 4 porções justas, de modo que todas as 4 porções tenham a mesma quantidade de bolo e cobertura.
  2. Encontre outra maneira de cortar o bolo em 4 porções justas.
  3. Encontre uma maneira de cortar o bolo em 5 porções justas.

Exercício ( PageIndex {4} ): Um carrinho de mão de concreto

Um carrinho de mão está sendo usado para transportar concreto úmido. Aqui estão suas dimensões.

  1. Que volume de concreto seria necessário para encher a bandeja?
  2. Depois de despejar o concreto úmido, você percebe que uma película fina é deixada no interior da bandeja. Qual é a área do concreto que reveste a bandeja? (Lembre-se de que não há topo.)

Resumo

Às vezes, precisamos encontrar o volume de um prisma e, às vezes, precisamos encontrar a área da superfície.

Aqui estão alguns exemplos de quantidades relacionadas ao volume:

  • Quanta água um recipiente pode conter
  • Quanto material foi necessário para construir um objeto sólido

O volume é medido em unidades cúbicas, como em3 ou m3.

Aqui estão alguns exemplos de quantidades relacionadas à área de superfície:

  • Quanto tecido é necessário para cobrir uma superfície
  • Quanto de um objeto precisa ser pintado

A área da superfície é medida em unidades quadradas, como em2 ou m2.

Entradas do glossário

Definição: Base (de um prisma ou pirâmide)

A palavra base também pode se referir a uma face de um poliedro.

Um prisma possui duas bases idênticas que são paralelas. Uma pirâmide tem uma base.

Um prisma ou pirâmide é nomeado de acordo com a forma de sua base.

Definição: Seção Transversal

Uma seção transversal é a nova face que você vê ao cortar uma figura tridimensional.

Por exemplo, se você fatiar uma pirâmide retangular paralela à base, obterá um retângulo menor como seção transversal.

Definição: Prisma

Um prisma é um tipo de poliedro que possui duas bases que são cópias idênticas uma da outra. As bases são conectadas por retângulos ou paralelogramos.

Aqui estão alguns desenhos de prismas.

Definição: Pirâmide

Uma pirâmide é um tipo de poliedro que possui uma base. Todas as outras faces são triângulos e todas se encontram em um único vértice.

Aqui estão alguns desenhos de pirâmides.

Definição: Área de Superfície

A área da superfície de um poliedro é o número de unidades quadradas que cobre todas as faces do poliedro, sem lacunas ou sobreposições.

Por exemplo, se as faces de um cubo cada uma tem uma área de 9 cm2, então a área da superfície do cubo é (6 cdot 9 ), ou 54 cm2.

Definição: Volume

Volume é o número de unidades cúbicas que preenchem uma região tridimensional, sem lacunas ou sobreposições.

Por exemplo, o volume deste prisma retangular é de 60 unidades3, porque é composto por 3 camadas que são cada uma com 20 unidades3.

Prática

Exercício ( PageIndex {5} )

Aqui está a base de um prisma.

  1. Se a altura do prisma é de 5 cm, qual é a sua área de superfície? Qual é o seu volume?
  2. Se a altura do prisma é de 10 cm, qual é a sua área de superfície? Qual é o seu volume?
  3. Quando a altura dobrou, qual foi o aumento percentual da área da superfície? Para o volume?

Exercício ( PageIndex {6} )

Selecione tudo as situações em que saber o volume de um objeto seria mais útil do que saber sua área de superfície.

  1. Determinar a quantidade de tinta necessária para pintar um celeiro.
  2. Determinar o valor monetário de uma joia de ouro.
  3. Encher um aquário com baldes de água.
  4. Decidir quanto papel de embrulho um presente precisará.
  5. Embalar uma caixa com melancias para envio.
  6. Cobrar uma empresa pelo espaço publicitário em seu carro de corrida
  7. Medir a quantidade de gasolina deixada no tanque de um trator.

Exercício ( PageIndex {7} )

Han desenha um triângulo com um ângulo (50 ^ { circ} ), um ângulo (40 ^ { circ} ) e um lado de 4 cm de comprimento, como mostrado. Você pode desenhar um triângulo diferente com as mesmas condições?

(Da Unidade 7.2.4)

Exercício ( PageIndex {8} )

O ângulo (H ) é a metade do ângulo (J ). O ângulo (J ) é um quarto tão grande quanto o ângulo (K ). O ângulo (K ) mede 240 graus. Qual é a medida do ângulo (H )?

(Da Unidade 7.1.3)

Exercício ( PageIndex {9} )

A bandeira do estado do Colorado consiste em três faixas horizontais de igual altura. Os comprimentos laterais da bandeira estão na proporção (2: 3 ). O diâmetro do disco dourado é igual à altura da faixa central. Qual porcentagem da bandeira é de ouro?

(Da Unidade 4.2.4)


Razão área de superfície para volume

O relação área de superfície para volume, também chamado de relação superfície-volume e denotado de várias maneiras sa / vol ou SA: V, é a quantidade de área de superfície por unidade de volume de um objeto ou coleção de objetos. Em reações químicas envolvendo um material sólido, a razão entre a área de superfície e o volume é um fator importante para a reatividade, ou seja, a taxa na qual a reação química ocorrerá.

Para um determinado volume, o objeto com a menor área de superfície (e portanto com o menor SA: V) é uma bola, uma consequência da desigualdade isoperimétrica em 3 dimensões. Por outro lado, objetos com pontas em ângulo agudo terão uma área de superfície muito grande para um determinado volume.


Área de Superfície vs Volume

A diferença entre Área de Superfície e Volume é que a Área de Superfície mede a área ocupada pela camada superior de uma superfície ou, dito de outra forma, é a área de todas as formas / planos que compõem as figuras / sólidos enquanto Volume é a medida de transporte capacidade de uma figura / forma ou o espaço dentro da figura.


Você pode usar este método para atualizar um dispositivo off-line, atualizar muitos do mesmo dispositivo ou se estiver criando imagens do sistema para seu local de trabalho.

Escolha o modelo do Surface na lista suspensa e, em seguida, selecione o link anexado para obter o firmware e os drivers mais recentes para som, tela, ethernet e Wi-Fi.

Você será redirecionado para a página de detalhes do Centro de download de seu Surface. Vários downloads podem estar disponíveis, dependendo do modelo selecionado.

Se você não conhece o seu modelo do Surface, selecione a caixa de pesquisa na barra de tarefas e digite Superfície, selecione os Superfície aplicativo no menu e selecione Sua Superfície . Seu modelo será listado na tela que aparece.

Para descobrir qual versão e compilação do Windows você está usando, selecione Começar & gt Configurações & gt Sistema & gt Cerca de , então olhe embaixo Especificações do Windows para encontrar a versão do seu sistema operacional e o número da compilação do sistema operacional. Abra Sobre as configurações.

Para atualizar o Surface com os drivers e firmware mais recentes do Centro de Download, selecione o nome do arquivo .msi que corresponda ao modelo do Surface e à versão do Windows. Por exemplo, para atualizar um Surface Book 2 com build 15063 do Windows 10, escolha SurfaceBook2_Win10_15063_1702009_2.msi. Para um Surface Book 2 com build 16299 do Windows 10, escolha SurfaceBook2_Win10_16299_1703009_2.msi.

Para obter mais informações sobre a convenção de nomenclatura do Surface MSI, consulte Implantar o firmware e os drivers mais recentes para dispositivos Surface.

Se não houver um arquivo .msi que corresponda à compilação do Windows 10 que você instalou, selecione o arquivo .msi mais próximo (mas ainda inferior) do seu número de compilação.


Use acessórios de áudio USB ou Bluetooth

Você pode conectar alto-falantes USB externos, fones de ouvido ou um fone de ouvido a uma porta USB de tamanho normal.

Você pode ficar sem fio usando Bluetooth fones de ouvido ou alto-falantes com o Surface.

Para obter o melhor som de USB ou Bluetooth alto-falantes, aumente o volume no Surface e no app (se tiver seu próprio controle de som) e ajuste o volume no USB externo ou Bluetooth caixas de som.

Se você estiver tendo problemas com Bluetooth, vá para Resolver problemas de dispositivos Bluetooth.


Conteúdo

O chifre de Gabriel é formado tomando o gráfico de

com o domínio x ≥ 1 < displaystyle x geq 1> e girando-o em três dimensões sobre o eixo x. A descoberta foi feita usando o princípio de Cavalieri antes da invenção do cálculo, mas hoje, o cálculo pode ser usado para calcular o volume e a área de superfície do chifre entre x = 1 e x = uma , Onde uma & gt 1. Usando a integração (ver Sólido de revolução e Superfície de revolução para obter detalhes), é possível encontrar o volume V e a área de superfície A:

O valor a pode ser tão grande quanto necessário, mas pode ser visto pela equação que o volume da parte do chifre entre x = 1 e x = uma nunca excederá π, entretanto, ele se aproxima gradualmente de π à medida que a aumenta. Matematicamente, o volume aproximações π como um aproximações infinidade. Usando a notação limite de cálculo:

A fórmula da área de superfície acima fornece um limite inferior para a área como 2 π vezes o logaritmo natural de a. Não há limite superior para o logaritmo natural de a, à medida que a se aproxima do infinito. Isso significa, neste caso, que o chifre tem uma área de superfície infinita. Quer dizer,

Quando as propriedades do chifre de Gabriel foram descobertas, o fato de a rotação de uma seção infinitamente grande do plano xy em torno do eixo x gerar um objeto de volume finito foi considerado um paradoxo. Enquanto a seção situada no plano xy tem uma área infinita, qualquer outra seção paralela a ela tem uma área finita. Assim, o volume, sendo calculado a partir da "soma ponderada" das seções, é finito.

O aparente paradoxo fazia parte de uma disputa sobre a natureza do infinito envolvendo muitos dos principais pensadores da época, incluindo Thomas Hobbes, John Wallis e Galileo Galilei. [1]

Paradoxo do pintor Editar

O inverso do chifre de Gabriel - uma superfície de revolução que tem uma finito área de superfície, mas um infinito volume - não pode ocorrer ao girar uma função contínua em um conjunto fechado:

Edição de Teorema

Deixar f : [1, ∞) → [0, ∞) seja uma função continuamente diferenciável. Escreva S para o sólido de revolução do gráfico y = f(x) sobre o eixo x. Se a área de superfície de S for finita, o volume também será.

Edição de prova

Uma vez que a área de superfície lateral A é finita, o limite superior:

lim t → ∞ sup x ≥ t f (x) 2 - f (1) 2 = lim sup t → ∞ ∫ 1 t (f (x) 2) ′ d x ≤ ∫ 1 ∞ | (f (x) 2) ′ | d x = ∫ 1 ∞ 2 f (x) | f ′ (x) | d x ≤ ∫ 1 ∞ 2 f (x) 1 + f ′ (x) 2 d x = A π & lt ∞. < displaystyle < begin lim _e aí _f (x) ^

Portanto, existe um t0 de modo que o supremo sup < f(x) | xt0 > é finito. Por isso,

M = sup < f(x) | x ≥ 1> deve ser finito, pois f é uma função contínua, o que implica que f é limitado no intervalo [1, ∞).

Portanto: se a área A é finita, então o volume V também deve ser finito.


Unidade Ilustrativa de Matemática 6.1, Lição 16: Distinguir entre Área de Superfície e Volume

Aprenda mais sobre o contraste entre a área de superfície e o volume das formas tridimensionais e sobre as diferenças entre as medidas e unidades unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. Após tentar as perguntas, clique nos botões para visualizar as respostas e explicações em texto ou vídeo.

Distinguir entre área de superfície e volume
Vamos contrastar a área de superfície e o volume.

16.1 - Atributos e suas medidas

Para cada quantidade, escolha uma ou mais unidades de medida apropriadas.

Para as duas últimas linhas, pense em uma quantidade que poderia ser medida apropriadamente com as unidades fornecidas.

  1. Perímetro de um estacionamento:
  2. Volume de um semi-caminhão:
  3. Área de superfície de um refrigerador:
  4. Comprimento de um cílio:
  5. Área de um estado:
  6. Volume de um oceano:
  7. ______________________________: milhas
  8. ______________________________: metros cúbicos
  • milímetros (mm)
  • pés (ft)
  • metros (m)
  • polegadas quadradas (polegada quadrada)
  • pés quadrados (pés quadrados)
  • milhas quadradas (sq mi)
  • quilômetros cúbicos (quilômetro cúbico)
  • jardas cúbicas (cu yd)
  1. Perímetro de um estacionamento: pés ou metros
  2. Volume de um semi-caminhão: jardas cúbicas
  3. Área de superfície de um refrigerador: polegadas quadradas
  4. Comprimento de um cílio: milímetros
  5. Área de um estado: milhas quadradas
  6. Volume de um oceano: quilômetros cúbicos
  7. Comprimento de uma rodovia: milhas
  8. Volume de uma piscina: metros cúbicos

Área é sempre medido em unidades quadradas e volume é sempre medido em unidades cúbicas.

16.2 - Edifício com 8 cubos

Abra o miniaplicativo. Arraste no ponto vermelho do cubo para movê-lo e clique no ponto para alternar entre o movimento vertical e horizontal. O quadrado cinza fornecerá 16 cubos. Construa 2 formas diferentes usando 8 cubos para cada.

Para cada forma, determine as seguintes informações e anote-as:
Dê um nome ou uma etiqueta (por exemplo, Mae’s First Shape ou Eric’s Steps).
Determine seu volume.
Determine sua área de superfície.

Você pode criar prismas ou não-prismas. Você pode encontrar a área da superfície ou o volume de qualquer forma criada com o miniaplicativo.

Ao calcular ou contar a área da superfície de sua forma, crie um sistema para evitar omitir ou contar duas faces.

O volume do prisma retangular é 4 & # 215 2 & # 215 1 = 8 unidades cúbicas. Este é o mesmo resultado da contagem do número de cubos usados ​​para construir o prisma.

No prisma retangular, a face A tem uma área de 4 & # 215 2 = 8 unidades quadradas. A face B tem uma área de 2 unidades quadradas. A face C tem uma área de 4 unidades quadradas.
As faces A, B e C têm faces opostas congruentes.
O área de superfície do prisma retangular, incluindo o fundo, é, portanto, 2 (8) + 2 (2) + 2 (4) = 28 unidades quadradas.

O volume do donut quadrado, contando o número de cubos que ocupa, é 8 unidades cúbicas.

No prisma retangular, as faces D e E têm a mesma área de 3 unidades quadradas cada.
A face F tem uma área de 8 unidades quadradas.
Todas as faces D, E e F têm faces opostas congruentes.
Existem 4 faces no orifício do donut, que têm uma área total de 4 unidades quadradas.
O área de superfície do donut quadrado é, portanto, 4 (3) + 2 (8) + 4 = 32 unidades quadradas.

O volumes de ambas as formas são iguais, porque o volume mede o número de cubos de unidade que podem ser embalados em uma figura. Ambas as formas são construídas com o mesmo número de cubos. Construir formas com volumes diferentes significaria usar menos ou mais cubos.

Formas com o mesmo volume como esses dois pode ter diferentes áreas de superfície. As formas com áreas de superfície maiores são mais espalhadas e têm mais faces expostas. As formas com áreas de superfície menores são mais compactas e têm mais de suas faces ocultas ou compartilhadas com outros cubos.

16.3 - Comparando prismas sem construí-los

Três prismas retangulares têm cada um 1 cm de altura.

O prisma A tem uma base de 1 cm por 11 cm.
O prisma B tem uma base de 2 cm por 7 cm.
O prisma C tem uma base de 3 cm por 5 cm.

1. Encontre a área da superfície e o volume de cada prisma. Use o papel pontilhado para desenhar os prismas, se necessário.

2. Analise os volumes e áreas de superfície dos prismas. O que você percebe? Escreva 1-2 observações sobre eles.

1. A: Volume = 11 cm cúbicos
Área de superfície = 4 (11) + 2 (1) = 46 cm quadrados
B: Volume = 2 & # 215 7 & # 215 1 = 14 cm cúbicos
Área de superfície = 2 (2 & # 215 7) + 2 (7) + 2 (2) = 46 cm quadrados
C: Volume = 3 & # 215 5 & # 215 1 = 15 cm cúbicos
Área de superfície = 2 (3 & # 215 5) + 2 (5) + 2 (3) = 46 cm quadrados

2. Os volumes dos prismas são todos diferentes, mas as áreas de superfície são as mesmas.
Formas com volumes diferentes podem ter a mesma área de superfície.
O volume é descrito em termos de cubos unitários e área de superfície em termos das faces expostas desses cubos unitários.

Você pode encontrar mais exemplos de prismas com as mesmas áreas de superfície, mas volumes diferentes? Quantos você pode encontrar?

Estes são 3 exemplos de prismas que possuem uma área de superfície de 54 cm2, mas volumes diferentes. Estes não são necessariamente os únicos prismas que podem ser desenhados para uma área de superfície de 54 cm2.

1. A: Volume = 3 & # 215 3 & # 215 3 = 27 cm cúbicos
Área de superfície = 6 (3 e # 215 3) = 54 cm quadrados
B: Volume = 3 & # 215 6 & # 215 1 = 18 cm cúbicos
Área de superfície = 2 (3 & # 215 6) + 2 (6) + 2 (3) = 54 cm quadrados
C: Volume = 13 & # 215 1 & # 215 1 = 13 cm cúbicos
Área de superfície = 4 (13) + 2 (1) = 54 cm quadrados

Comprimento é um atributo unidimensional de uma figura geométrica. Medimos comprimentos usando unidades como milímetros, centímetros, metros, quilômetros, polegadas, pés, jardas e milhas.

Área é um atributo bidimensional. Medimos a área em unidades quadradas. Por exemplo, um quadrado de 1 centímetro de cada lado tem uma área de 1 centímetro quadrado.

Volume é um atributo tridimensional. Medimos o volume em unidades cúbicas. Por exemplo, um cubo de 1 quilômetro de cada lado tem um volume de 1 quilômetro cúbico.

A área da superfície e o volume são atributos diferentes das figuras tridimensionais. A área da superfície é uma medida bidimensional, enquanto o volume é uma medida tridimensional.

Duas figuras podem ter o mesmo volume, mas áreas de superfície diferentes. Por exemplo:

Um prisma retangular com comprimentos laterais de 1 cm, 2 cm e 2 cm tem um volume de 4 cm cúbicos e uma área de superfície de 16 cm2.
Um prisma retangular com comprimentos laterais de 1 cm, 1 cm e 4 cm tem o mesmo volume, mas uma área de superfície de 18 cm quadrados.

Da mesma forma, duas figuras podem ter a mesma área de superfície, mas volumes diferentes.

Um prisma retangular com comprimentos laterais de 1 cm, 1 cm e 5 cm tem uma área de superfície de 22 cm quadrados e um volume de 5 cm cúbicos.
Um prisma retangular com comprimentos laterais de 1 cm, 2 cm e 3 cm tem a mesma área de superfície, mas um volume de 6 cm cúbicos.

1. Combine cada quantidade com uma unidade de medida apropriada.

  1. A área de superfície de uma caixa de lenço de papel
  2. A quantidade de solo em uma caixa de plantio
  3. A área de um estacionamento
  4. O comprimento de um campo de futebol
  5. O volume de um tanque de peixes
  1. Metros quadrados
  2. Jardas
  3. Polegadas cúbicas
  4. Pés cúbicos
  5. Centímetros quadrados
  1. A área de superfície de uma caixa de lenço de papel: Centímetros quadrados
  2. A quantidade de solo em uma caixa de plantio: Polegadas cúbicas
  3. A área de um estacionamento: Metros quadrados
  4. Comprimento de um campo de futebol: Jardas
  5. O volume de um tanque de peixes: Polegadas cúbicas

2. Aqui está uma figura construída a partir de cubos de encaixe.

uma. Encontre o volume da figura em unidades cúbicas.
b. Encontre a área da superfície da figura em unidades quadradas.
c. Verdadeiro ou falso: se dobrarmos o número de cubos empilhados, tanto o volume quanto a área da superfície dobrarão. Explique ou mostre como você sabe.

uma. Volume da figura = 1 unidade & # 215 1 unidade & # 215 4 unidades = 4 unidades cúbicas
b. Área de superfície da figura = 4 (4 unidades) + 2 (1 unidade) = 18 unidades quadradas
c. Falso. O volume dobrará para 8 unidades cúbicas, mas a nova área de superfície será de 4 (8 unidades) + 2 (1 unidade) = 34 unidades quadradas, o que não é igual a 18 & # 215 2.

3. Lin disse: "Duas figuras com o mesmo volume também têm a mesma área de superfície."

uma. Quais são as duas figuras que sugerem que sua afirmação é verdadeira?
b. Quais duas figuras podem mostrar que sua declaração é não verdadeiro?

A: Volume = 6 unidades cúbicas, área de superfície = 26 unidades quadradas
B: Volume = 6 unidades cúbicas, área de superfície = 24 unidades quadradas
C: Volume = 6 unidades cúbicas, área de superfície = 24 unidades quadradas
D: Volume = 7 unidades cúbicas, área de superfície = 26 unidades quadradas
E: Volume = 5 unidades cúbicas, área de superfície = 22 unidades quadradas

B e C têm o mesmo volume e a mesma área de superfície.
A e C têm o mesmo volume, mas uma área de superfície diferente, mostrando que a afirmação de Lin não é verdadeira.

4. Desenhe um pentágono (polígono de cinco lados) com uma área de 32 unidades quadradas. Identifique todos os lados ou segmentos relevantes com suas medidas e mostre que a área é de 32 unidades quadradas.

Este polígono não precisa ser um pentágono regular, contanto que tenha 5 lados. Experimente uma combinação de um quadrado e um triângulo e experimente diferentes áreas para o quadrado. O triângulo deve ter o mesmo comprimento de base que os lados do quadrado.

Outras composições são possíveis.

5. a. Desenhe uma rede para este prisma retangular.
b. Encontre a área da superfície do prisma retangular.

uma.

b. A área de superfície é 2 (5 & # 215 10) + 2 (2 & # 215 10) + 2 (2 & # 215 5) = 160 cm2.

O currículo de matemática da Open Up Resources pode ser baixado gratuitamente no site da Open Up Resources e também está disponível na Illustrative Mathematics.

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Qual é a diferença entre volume e área de superfície?

Volume e área de superfície são dois conceitos relacionados no estudo da matemática. Ambos são importantes para entender, mas igualmente importante é entender como eles diferem e o que significam. Esse é especialmente o caso quando se trata de calcular o volume e as áreas de superfície de um prisma ou cilindro.

Se você pensar em embrulhar um presente em uma caixa, poderá ter uma boa noção de como o volume e a área de superfície diferem. Primeiro, você deve considerar o tamanho da caixa, quando você considera o tamanho do presente. Quanto espaço interior a sua caixa precisa de ter para caber um presente? A medição da capacidade da caixa, quanto ela vai segurar, é o seu volume. Em seguida, você tem que embrulhar o presente. A quantidade de papel de embrulho, que cobrirá o exterior da caixa, é um cálculo muito diferente da capacidade da caixa. Você precisará de uma medição separada ou algum bom palpite, para descobrir a soma dos lados de todas as superfícies ou a área da superfície.

O volume de uma caixa quadrada ou retangular é muito fácil de calcular. Simplesmente multiplique a altura vezes o comprimento vezes a largura para obter a medição. Com um quadrado é ainda mais fácil, você apenas faz o cubo do comprimento de um lado, uma vez que todos medem a mesma coisa. Se o comprimento do lado for uma, a fórmula é a x a x a ou a 3. Quando você está comparando o volume e a área de superfície, você notará uma fórmula muito diferente. Você precisa obter a área de cada rosto e, em seguida, adicionar as áreas de todos os rostos. Com um prisma quadrado ou cubo, você basicamente calcularia a área a x a ou 2, multiplicada por 6 (6a 2). Ao trabalhar com um prisma retangular, você terá a área de 3 pares de lados iguais, que precisam ser somados para determinar a área da superfície.

O trabalho no volume e na área de superfície é um pouco diferente quando você está tentando calcular a área de um cilindro. A fórmula para o volume de um cilindro é a área de uma face circular multiplicada pela altura do cilindro. Ele lê: πr 2 x h, ou pi vezes o raio ao quadrado vezes a altura. Obter a área de superfície do cilindro é um pouco mais complicado, pois a porção circular é essencialmente uma face contínua. Calcular a área de superfície de um cilindro significa calcular a área lateral deste rosto.

A fórmula da área lateral é a seguinte πr2r ou πd (pi vezes o raio dobrado ou pi vezes o diâmetro), multiplicado pela altura, πr2r x h. Esta é essencialmente a circunferência de um círculo vezes a altura do cilindro. Para calcular a fórmula inteira, você também precisa adicionar as áreas das faces circulares superior e inferior. Como em um cilindro eles são iguais, a fórmula é 2 πr 2. Este cálculo é então adicionado à área lateral para computar toda a área de superfície na seguinte expressão:

πr2r x h + 2πr 2 = área lateral.

Você também pode ver a diferença entre o volume e o cilindro como uma diferença entre o que está dentro e pode ser contido e o exterior de um objeto tridimensional. Essas são diferenças valiosas para entender em muitas aplicações, como construção, engenharia ou mesmo embalagem de presentes. Quando as crianças reclamam que matemática é inútil fora da aula de matemática, você pode dizer a elas que saber a diferença entre volume e área de superfície significa que elas ganharam um presente muito bem embrulhado de aniversário.

Tricia é formada em Literatura pela Sonoma State University e tem contribuído com frequência para o InfoBloom por muitos anos. Ela é especialmente apaixonada por leitura e escrita, embora seus outros interesses incluam medicina, arte, cinema, história, política, ética e religião. Tricia mora no norte da Califórnia e atualmente está trabalhando em seu primeiro romance.

Tricia é formada em Literatura pela Sonoma State University e tem contribuído com frequência para o InfoBloom por muitos anos. Ela é especialmente apaixonada por leitura e escrita, embora seus outros interesses incluam medicina, arte, cinema, história, política, ética e religião. Tricia mora no norte da Califórnia e atualmente está trabalhando em seu primeiro romance.


Resumo da lição 15

Às vezes, precisamos encontrar o volume de um prisma e, às vezes, precisamos encontrar a área da superfície.

Aqui estão alguns exemplos de quantidades relacionadas ao volume:

  • Quanta água um recipiente pode conter
  • Quanto material foi necessário para construir um objeto sólido

O volume é medido em unidades cúbicas, como em 3 ou m 3.

Aqui estão alguns exemplos de quantidades relacionadas à área de superfície:

  • Quanto tecido é necessário para cobrir uma superfície
  • Quanto de um objeto precisa ser pintado

A área da superfície é medida em unidades quadradas, como em 2 ou m 2.




O volume é a quantificação do espaço tridimensional que uma substância ocupa. A unidade SI para volume é o metro cúbico, ou m 3 . Por convenção, o volume de um contêiner é tipicamente sua capacidade e a quantidade de fluido que ele é capaz de conter, ao invés da quantidade de espaço que o contêiner real desloca. Volumes de muitas formas podem ser calculados usando fórmulas bem definidas. Em alguns casos, formas mais complicadas podem ser decompostas em suas formas agregadas mais simples e a soma de seus volumes usada para determinar o volume total. Os volumes de outras formas ainda mais complicadas podem ser calculados usando cálculo integral se houver uma fórmula para o limite da forma. Além disso, formas que não podem ser descritas por equações conhecidas podem ser estimadas usando métodos matemáticos, como o método dos elementos finitos. Alternativamente, se a densidade de uma substância for conhecida e uniforme, o volume pode ser calculado usando seu peso. Esta calculadora calcula volumes para algumas das formas simples mais comuns.

Esfera

Uma esfera é a contraparte tridimensional do círculo bidimensional. É um objeto geométrico perfeitamente redondo que matematicamente, é o conjunto de pontos que são equidistantes de um determinado ponto no seu centro, onde a distância entre o centro e qualquer ponto da esfera é o raio r. Provavelmente, o objeto esférico mais comumente conhecido é uma bola perfeitamente redonda. Dentro da matemática, há uma distinção entre uma bola e uma esfera, onde uma bola compreende o espaço limitado por uma esfera. Independentemente dessa distinção, uma bola e uma esfera compartilham o mesmo raio, centro e diâmetro, e o cálculo de seus volumes é o mesmo. Tal como acontece com um círculo, o segmento de linha mais longo que conecta dois pontos de uma esfera através de seu centro é chamado de diâmetro, d. A equação para calcular o volume de uma esfera é fornecida abaixo:

EX: Claire quer encher um balão de água perfeitamente esférico com raio de 0,15 pés com vinagre para usar na luta de balão de água contra sua arqui-inimiga Hilda no próximo fim de semana. O volume de vinagre necessário pode ser calculado usando a equação fornecida abaixo:

volume = 4/3 & # 215 & pi & # 215 0,15 3 = 0,141 pés 3

Um cone é uma forma tridimensional que se estreita suavemente de sua base tipicamente circular até um ponto comum denominado ápice (ou vértice). Matematicamente, um cone é formado de forma semelhante a um círculo, por um conjunto de segmentos de linha conectados a um ponto central comum, exceto que o ponto central não está incluído no plano que contém o círculo (ou alguma outra base). Apenas o caso de um cone circular direito finito é considerado nesta página. Cones compostos de meias-linhas, bases não circulares, etc. que se estendem infinitamente não serão tratados. A equação para calcular o volume de um cone é a seguinte:

Onde r é raio e h é a altura do cone

EX: Bea está determinada a sair da loja de sorvetes com seus $ 5 ganhos arduamente bem gastos. Embora ela tenha uma preferência por cones de açúcar regulares, os cones de waffle são indiscutivelmente maiores. Ela determina que tem uma preferência de 15% por cones de açúcar regulares em vez de cones de waffle e precisa determinar se o volume potencial do cone de waffle é & ge 15% maior do que o do cone de waffle. O volume do cone do waffle com uma base circular com raio de 1,5 pol e altura de 5 pol pode ser calculado usando a equação abaixo:

volume = 1/3 & # 215 & pi & # 215 1.5 2 & # 215 5 = 11,781 em 3

Bea também calcula o volume do cone de açúcar e descobre que a diferença é de & lt 15% e decide comprar um cone de açúcar. Agora tudo o que ela precisa fazer é usar seu apelo angelical e infantil para manipular a equipe para que esvazie os recipientes de sorvete em seu cone.

Um cubo é o análogo tridimensional de um quadrado e é um objeto delimitado por seis faces quadradas, três das quais se encontram em cada um de seus vértices, e todas são perpendiculares a suas respectivas faces adjacentes. O cubo é um caso especial de muitas classificações de formas em geometria, incluindo ser um paralelepípedo quadrado, um cuboide equilátero e um romboedro direito. Abaixo está a equação para calcular o volume de um cubo:

volume = a 3
Onde uma é o comprimento da borda do cubo

EX: Bob, que nasceu em Wyoming (e nunca deixou o estado), visitou recentemente sua terra natal ancestral, Nebraska. Oprimido pela magnificência de Nebraska e pelo ambiente diferente de qualquer outro que já havia experimentado, Bob sabia que precisava trazer um pouco de Nebraska para casa com ele. Bob tem uma mala cúbica com bordas de 60 cm e calcula o volume de solo que pode carregar para casa da seguinte maneira:

Cilindro

Um cilindro em sua forma mais simples é definido como a superfície formada por pontos a uma distância fixa de um determinado eixo de linha reta. Em uso comum, entretanto, "cilindro" se refere a um cilindro circular reto, onde as bases do cilindro são círculos conectados através de seus centros por um eixo perpendicular aos planos de suas bases, com determinada altura h e raio r. A equação para calcular o volume de um cilindro é mostrada abaixo:

volume = & pir 2 h
Onde r é raio e h é a altura do tanque

EX: Caelum quer construir um castelo de areia na sala de sua casa. Por ser um firme defensor da reciclagem, ele recuperou três barris cilíndricos de um local de despejo ilegal e limpou os resíduos químicos dos barris usando detergente para louça e água. Cada um dos barris tem um raio de 3 pés e uma altura de 4 pés, e Caelum determina o volume de areia que cada um pode conter usando a equação abaixo:

volume = & pi & # 215 3 2 & # 215 4 = 113,097 pés 3

Ele constrói com sucesso um castelo de areia em sua casa e, como um bônus adicional, consegue economizar eletricidade na iluminação noturna, já que seu castelo de areia brilha em verde brilhante no escuro.

Tanque Retangular

Um tanque retangular é uma forma generalizada de um cubo, onde os lados podem ter comprimentos variados. É delimitado por seis faces, três das quais se encontram em seus vértices e todas são perpendiculares às suas respectivas faces adjacentes. A equação para calcular o volume de um retângulo é mostrada abaixo:

volume = comprimento & # 215 largura & # 215 altura

EX: Darby gosta de bolo. Ela vai à academia 4 horas por dia, todos os dias, para compensar seu amor por bolo. Ela planeja caminhar pela trilha Kalalau em Kauai e, embora esteja em forma, Darby se preocupa com sua capacidade de completar a trilha devido à falta de bolo. Ela decide embalar apenas o essencial e quer encher sua embalagem perfeitamente retangular de comprimento, largura e altura de 1,2 m, 1 m e 2 m, respectivamente, com bolo. O volume exato de bolo que ela pode colocar em sua embalagem é calculado abaixo:

Cápsula

A capsule is a three-dimensional geometric shape comprised of a cylinder and two hemispherical ends, where a hemisphere is half a sphere. It follows that the volume of a capsule can be calculated by combining the volume equations for a sphere and a right circular cylinder:

Onde r is radius and h is height of the cylindrical portion

EX: Given a capsule with a radius of 1.5 ft and a height of 3 ft, determine the volume of melted milk chocolate m&m's that Joe can carry in the time capsule he wants to bury for future generations on his journey of self-discovery through the Himalayas:

volume = &pi × 1.5 2 × 3 + 4/3 ×&pi ࡧ.5 3 = 35.343 ft 3

Spherical Cap

A spherical cap is a portion of a sphere that is separated from the rest of the sphere by a plane. If the plane passes through the center of the sphere, the spherical cap is referred to as a hemisphere. Other distinctions exist including a spherical segment, where a sphere is segmented with two parallel planes and two different radii where the planes pass through the sphere. The equation for calculating the volume of a spherical cap is derived from that of a spherical segment, where the second radius is 0. In reference to the spherical cap shown in the calculator:

Given two values, the calculator provided computes the third value and the volume. The equations for converting between the height and the radii are shown below:

EX: Jack really wants to beat his friend James in a game of golf to impress Jill, and rather than practicing, decides to sabotage James' golf ball. He cuts off a perfect spherical cap from the top of James' golf ball, and needs to calculate the volume of the material necessary to replace the spherical cap and skew the weight of James' golf ball. Given James' golf ball has a radius of 1.68 inches, and the height of the spherical cap that Jack cut off is 0.3 inches, the volume can be calculated as follows:

volume = 1/3 × &pi × 0.3 2 (3 × 1.68 - 0.3) = 0.447 in 3

Unfortunately for Jack, James happened to receive a new shipment of balls the day before their game, and all of Jack's efforts were in vain.

Conical Frustum

A conical frustum is the portion of a solid that remains when a cone is cut by two parallel planes. This calculator calculates the volume for a right circular cone specifically. Typical conical frustums found in everyday life include lampshades, buckets, and some drinking glasses. The volume of a right conical frustum is calculated using the following equation:

Onde r e R are the radii of the bases, h is the height of the frustum

EX: Bea has successfully acquired some ice cream in a sugar cone, and has just eaten it in a way that leaves the ice cream packed within the cone, and the ice cream surface level and parallel to the plane of the cone's opening. She is about to start eating her cone and the remaining ice cream when her brother grabs her cone and bites off a section of the bottom of her cone that is perfectly parallel to the previously sole opening. Bea is now left with a right conical frustum leaking ice cream, and has to calculate the volume of ice cream she must quickly consume given a frustum height of 4 inches, with radii 1.5 inches and 0.2 inches:

volume=1/3 × &pi × 4(0.2 2 + 0.2 × 1.5 + 1.5 2 ) = 10.849 in 3

Ellipsoid

An ellipsoid is the three-dimensional counterpart of an ellipse, and is a surface that can be described as the deformation of a sphere through scaling of directional elements. The center of an ellipsoid is the point at which three pairwise perpendicular axes of symmetry intersect, and the line segments delimiting these axes of symmetry are called the principle axes. If all three have different lengths, the ellipsoid is commonly described as tri-axial. The equation for calculating the volume of an ellipsoid is as follows:

Onde uma, b, e c are the lengths of the axes

EX: Xabat only likes eating meat, but his mother insists that he consumes too much, and only allows him to eat as much meat as he can fit within an ellipsoid shaped bun. As such, Xabat hollows out the bun to maximize the volume of meat that he can fit in his sandwich. Given that his bun has axis lengths of 1.5 inches, 2 inches, and 5 inches, Xabat calculates the volume of meat he can fit in each hollowed bun as follows:

volume = 4/3 × &pi × 1.5 × 2 × 5 = 62.832 in 3

Square Pyramid

A pyramid in geometry is a three-dimensional solid formed by connecting a polygonal base to a point called its apex, where a polygon is a shape in a plane bounded by a finite number of straight line segments. There are many possible polygonal bases for a pyramid, but a square pyramid is a pyramid in which the base is a square. Another distinction involving pyramids involves the location of the apex. Right pyramids have an apex that is directly above the centroid of its base. Regardless of where the apex of the pyramid is, as long as its height is measured as the perpendicular distance from the plane containing the base to its apex, the volume of the pyramid can be written as:

EX: Wan is fascinated by ancient Egypt and particularly enjoys anything related to the pyramids. Being the eldest of his siblings Too, Tree and Fore, he is able to easily corral and deploy them at his will. Taking advantage of this, Wan decides to re-enact ancient Egyptian times and have his siblings act as workers building him a pyramid of mud with edge length 5 feet and height 12 feet, the volume of which can be calculated using the equation for a square pyramid:

volume = 1/3 × 5 2 × 12 = 100 ft 3

Tube Pyramid

A tube, often also referred to as a pipe, is a hollow cylinder that is often used to transfer fluids or gas. Calculating the volume of a tube essentially involves the same formula as a cylinder (volume=pr 2 h), except that in this case the diameter is used rather than the radius, and length is used rather than height. The formula therefore involves measuring the diameters of the inner and outer cylinder, as shown in the figure above, calculating each of their volumes, and subtracting the volume of the inner cylinder from that of the outer one. Considering the use of length and diameter mentioned above, the formula for calculating the volume of a tube is shown below:

Onde d1 is outer diameter, d2 is inner diameter, and eu is length of the tube

EX: Beulah is dedicated to environmental conservation. Her construction company uses only the most environmentally friendly of materials. She also prides herself on meeting customer needs. One of her customers has a vacation home built in the woods, across a creek. He wants easier access to his house, and requests that Beulah build him a road, while ensuring that the creek can flow freely so as not to disrupt his favorite fishing spot. She decides that the pesky beaver dams would be a good point to build a pipe through the creek. The volume of patented low-impact concrete required to build a pipe of outer diameter 3 feet, inner diameter 2.5 feet, and length of 10 feet, can be calculated as follows:


Surface area of a triangular prism

The surface area formula for a triangular prism is 2 * (height x base / 2) + length x width1 + length x width2 + length x base, as seen in the figure below:

A triangular prism is a stack of triangles, so the usualy triangle solving rules apply when calculating the area of the bases.


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