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5.2.5: Subtraindo Números Racionais - Matemática


Lição

Vamos juntar adição e subtração.

Exercício ( PageIndex {1} ): Número Discussão: Adendo ausente

Resolva cada equação mentalmente. Reescreva cada equação de adição como uma equação de subtração.

(247 + c = 458 )

(c + 43,87 = 58,92 )

( frac {15} {8} + c = frac {51} {8} )

Exercício ( PageIndex {2} ): Expressões com Altitude

Um montanhista está mudando de altitude. Escreva uma expressão que represente a diferença entre a elevação final e a elevação inicial. Em seguida, escreva o valor da mudança. O primeiro é feito para você.

elevação inicial (pés)elevação final (pés)diferença entre final e começomudança
(+400)(+900)(900-400)(+500)
(+400)(+50)
(+400)(-120)
(-200)(+610)
(-200)(-50)
(-200)(-500)
(-200)(0)
Tabela ( PageIndex {1} )

você esta pronto para mais?

Preencha a tabela de modo que todas as linhas e colunas sejam somadas a 0. Você consegue encontrar outra maneira de resolver este quebra-cabeça?

-1205
0-1825
25-185-12
-12-18
-1825-12
Tabela ( PageIndex {2} )
-1205
0-1825
25-185-12
-12-18
-1825-12
Tabela ( PageIndex {3} )

Exercício ( PageIndex {3} ): O pedido é importante?

1. Encontre o valor de cada expressão de subtração.

UMAB
(3-2)(2-3)
(5-(-9))((-9)-5)
((-11)-2)(2-(-11))
((-6)-(-3))((-3)-(-6))
((-1.2)-(-3.6))((-3.6)-(-1.2))
((- 2 frac {1} {2}) - (- 3 frac {1} {2}) ) ((- 3 frac {1} {2}) - (- 2 frac {1} {2}) )
Tabela ( PageIndex {4} )

2. O que você nota sobre as expressões na Coluna A em comparação com a Coluna B?

3. O que você percebe sobre os valores deles?

Resumo

Quando falamos sobre a diferença de dois números, queremos dizer, "subtraia-os". Normalmente, nós os subtraímos na ordem em que são nomeados. Por exemplo, a diferença de (+ 8 ) e (- 6 ) é (8 - (- 6) ).

A diferença de dois números indica a distância entre eles na reta numérica. 8 e -6 têm 14 unidades separadas, porque (8 - (- 6) = 14 ):

Observe que se você subtraí-los na ordem oposta, obtém o número oposto:

((-6)-8=-14)

Em geral, a distância entre dois números (a ) e (b ) na reta numérica é (| a-b | ). Observe que o distância entre dois números é sempre positivo, não importa a ordem. Mas o diferença pode ser positivo ou negativo, dependendo do pedido.

Entradas do glossário

Definição: Depósito

Quando você coloca dinheiro em uma conta, isso é chamado de depósito.

Por exemplo, uma pessoa adicionou $ 60 à sua conta bancária. Antes do depósito, eles tinham $ 435. Após o depósito, eles tinham $ 495, porque (435 + 60 = 495 )

Definição: Retirada

Quando você retira dinheiro de uma conta, isso é chamado de saque.

Por exemplo, uma pessoa removeu $ 25 de sua conta bancária. Antes da retirada, eles tinham $ 350. Após a retirada, eles tinham $ 325, porque (350-25 = 325 ).

Prática

Exercício ( PageIndex {4} )

Escreva uma frase para responder a cada pergunta:

  1. Quanto mais quente é 82 do que 40?
  2. Quanto mais quente é 82 do que -40?

Exercício ( PageIndex {5} )

  1. Qual é a diferença de altura entre 30 m em um penhasco e 87 m em um penhasco? Qual é a distância entre essas posições?
  2. Qual é a diferença de altura entre um albatroz voando a 100 m acima da superfície do oceano e um tubarão nadando 30 m abaixo da superfície? Qual é a distância entre eles se o tubarão está logo abaixo do albatroz?

Exercício ( PageIndex {6} )

Uma empresa produz telas de diversos tamanhos. Com base na tabela, poderia haver uma relação entre o número de pixels e a área da tela? Em caso afirmativo, escreva uma equação representando o relacionamento. Se não, explique seu raciocínio.

polegadas quadradas de telanúmero de pixels
(6)(31,104)
(72)(373,248)
(105)(544,320)
(300)(1,555,200)
Tabela ( PageIndex {5} )

(Da Unidade 2.3.2)

Exercício ( PageIndex {7} )

Encontre cada diferença.

  1. ((-5)-6)
  2. (35-(-8))
  1. ( frac {2} {5} - frac {3} {5} )
  2. (- 4 frac {3} {8} - left (-1 frac {1} {4} right) )

Exercício ( PageIndex {8} )

Uma família vai a um restaurante. Quando a conta chega, isso é impresso na parte inferior dela:

Guia de gratificações para sua conveniência:

15% seria $ 4,89

18% seria $ 5,87

20% seria $ 6,52

Quanto foi o preço da refeição? Explique seu raciocínio.

(Da Unidade 4.3.1)

Exercício ( PageIndex {9} )

Qual é uma cópia em escala do polígono A? Identifique um par de lados correspondentes e um par de ângulos correspondentes. Compare as áreas das cópias em escala.

(Da Unidade 1.1.2)


Domínio de aprendizagem: o sistema numérico

Padrão: Aplicar e estender entendimentos anteriores de operações com frações para adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números racionais

Indicador: Entenda p + q como o número localizado a uma distância | q | de p, na direção positiva ou negativa dependendo se q é positivo ou negativo. Mostre que um número e seu oposto têm uma soma de 0 (são inversos aditivos). Interprete somas de números racionais, descrevendo contextos do mundo real.

Grau de alinhamento: Não avaliado (0 usuários)


SUBTRAINDO NÚMEROS RACIONAIS NEGATIVOS

Se subtrairmos um número racional negativo, temos que nos mover na direção positiva na reta numérica & # xa0.

Por exemplo, se quisermos subtrair -0,5 de 5, temos que mover 0,5 unidades de 5 na direção positiva. & # xa0 & # xa0

Visto que subtraímos o número racional negativo -1,5 de 2,5, temos que mover 1,5 unidades de 2,5 na direção positiva da reta numérica. & # xa0

Isso foi ilustrado na imagem abaixo.

Depois de movermos 1,5 unidades na direção positiva de 2,5, & # xa0, estamos na posição de 4.

Visto que subtraímos o número racional negativo -2,5 de -2, temos que mover 2,5 unidades de -2 na direção positiva da reta numérica. & # xa0

Isso foi ilustrado na imagem abaixo.

Depois de ter movido 2,5 unidades na direção positiva de -2, & # xa0, estamos na posição de 0,5

Durante a semana mais quente do verão, o nível da água do Muskrat & # xa0River estava 5/6 pés abaixo do normal. Na semana seguinte, o nível estava 1/3 pé & # xa0 abaixo do normal. Qual é a mudança geral no nível da água?

Subtraia para encontrar a diferença nos níveis de água. Ou seja, temos que encontrar -1/3 - (-5/6)

Uma vez que subtraímos o número racional negativo -5/6 de -1/3, temos que mover 5/6 unidades de -1/3 na direção positiva da reta numérica. & # xa0

Isso foi ilustrado na imagem abaixo.

Depois de mover 5/6 unidades na direção positiva de -1/3, & # xa0, estamos na posição de 1/2.

Portanto, & # xa0o nível da água mudou 1/2 pé.

Além do material fornecido acima, se você precisar de qualquer outro material em matemática, use nossa pesquisa personalizada do Google aqui.

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Sempre apreciamos seus comentários. & # Xa0

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Números racionais: Índice

O que é um número Racional?

Um número racional é definido como um número que pode ser expresso na forma de ( frac << rm

>> << rm>>, ) onde (p ) e (q ) são inteiros primos e (< rm> ne 0. )

Numerador e denominador: Na forma fornecida ( frac << rm

>> << rm>>, ) o inteiro (p ) é o numerador e o inteiro (< rm> left (< ne 0> right) ) é o denominador. Portanto, em ( frac << & # 8211 3 >> <7> ) o numerador é (& # 8211 3 ) e o denominador é (7. )

Os inteiros também são números racionais?

Qualquer número inteiro pode ser dito como um número racional. Por exemplo: o inteiro (& # 8211 5 ) é um número racional, porque pode ser escrito como ( frac << & # 8211 5 >> <1>. ) Aqui, o inteiro (0 ) também pode ser escrito como (0 = frac <0> <2> ) ou ( frac <0> <7> ) etc. Portanto, inteiros são números racionais.

O que são números racionais equivalentes?

Um número racional pode ser escrito usando diferentes numeradores e denominadores. Por exemplo: pegaremos o número racional ( frac << & # 8211 2 >> <3>. )
( frac << & # 8211 2 >> <3> = frac << & # 8211 2 times 2 >> << 3 times 2 >> = frac << & # 8211 4 >> <6 >. ) Podemos ver que ( frac << & # 8211 2 >> <3> ) é o mesmo que ( frac << & # 8211 4 >> <6>. )

O que são números irracionais?

Um número irracional é definido como o número que não pode ser expresso na forma de ( frac << rm

>> << rm>>, ) onde (p ) e (q ) são inteiros primos e (< rm> ne 0. )
Existem tantos números irracionais que não podem ser escritos na forma simplificada, e alguns dos exemplos são ( surd 8, surd 11, surd 50 ) e o número de Euler (e = 2,718281 ldots., ) Proporção áurea (< rm < varphi >> = 1,618034 ldots. )

Exemplos de números racionais e números irracionais

Alguns exemplos de números racionais:

(p ) (q ) ( frac

)

Racional
(1)(2) ( frac <1> <2> )sim
( – 3)(4) ( frac << & # 8211 3 >> <4> )sim
(.3)(1) ( frac <3> <<10>> )sim
( – 0.7)(1) ( frac << & # 8211 7 >> <<10>> )sim
(0,141414 ldots. )(1) ( frac <<14>> <<99>> )sim

Alguns exemplos de números irracionais:

Os números irracionais são o conjunto de números reais que não podem ser expressos na forma de ( frac << rm

>> << rm>>, ) onde (p ) e (q ) são inteiros primos e (< rm> ne 0. ) Existem muitos números irracionais. Alguns deles são: ( surd 8, surd 11, surd 50, ) número de Euler (e = 2,718281 ldots & # 8230, ) Ração de ouro ( varphi = 1,618034 ldots & # 8230. )

O que são números racionais em uma linha numérica?

Aqui, aprenderemos como representar números na reta numérica, portanto, vamos desenhar uma reta numérica.

Portanto, aqui os pontos à direita do (0 ) são denotados pelo sinal (+ ) e são números positivos. Os pontos à esquerda de (0 ) são denotados pelo sinal (& # 8211 ) e são números negativos.,
Portanto, represente o número (& # 8211 frac <1> <2> ) na linha do número.
Como o número racional (& # 8211 frac <1> <2> ) é negativo, será marcado no lado esquerdo do (0. )

Portanto, ao marcar os inteiros na reta numérica, inteiros sucessivos são marcados em intervalos iguais. Além disso, de (0 ) o par (1 ) e (& # 8211 1 ) está à mesma distância. Então, são os pares (2 ) e (& # 8211 2,3 ) e (& # 8211 3 ) e assim por diante.

Da mesma forma, os números racionais ( frac <1> <2> ) e (& # 8211 frac <1> <2> ) estariam a uma distância igual de (0. ) Agora, você sabe como para marcar o número racional ( frac <1> <2>. ) Isso é marcado em um ponto que é a metade da distância entre (0 ) e (1 ) Então, (& # 8211 frac <1> <2> ) é marcado em um ponto a metade da distância entre (0 ) e (& # 8211 1. )

Agora, tente marcar (& # 8211 frac <3> <2> ) na linha numérica. Encontra-se no lado esquerdo de (0 ) e está à mesma distância que ( frac <3> <2> ) de (0. ) Em ordem decrescente, temos ( frac << & # 8211 1 >> <2>, < rm < >> frac << & # 8211 2 >> <2> left (<= & # 8211 1> right), < rm < >> frac << & # 8211 3 >> <2>, < rm < >> frac << & # 8211 4 >> <2> left (<= & # 8211 2> right) , ) que mostra que ( frac << & # 8211 3 >> <2> ) está entre (& # 8211 1 ) e (& # 8211 2. ) Assim, ( frac < <& # 8211 3 >> <2> ) fica a meio caminho entre (& # 8211 1 ) e (& # 8211 2. )

Todos os outros números racionais com denominadores diferentes podem ser representados da mesma maneira.

O que é um número racional no formato padrão?

Os denominadores desses números racionais são inteiros positivos e (1 ) é o único fator comum entre os numeradores e denominadores. Além disso, o sinal negativo ocorre apenas no numerador. Esses números racionais são considerados na forma padrão, na forma mais simples ou na forma mais baixa.

Definição: Um número racional é considerado em sua forma padrão se seu denominador for um número inteiro positivo e, portanto, o numerador e o denominador não têm nenhum fator comum diferente de (1. )

Se você se lembrar do método de reduzir as frações às suas formas mais baixas, dividimos o numerador e o denominador da fração pelo mesmo inteiro positivo diferente de zero. Usaremos um método equivalente para reduzir os números racionais à sua forma padrão.

Exemplo: Reduzir para a forma padrão ( frac <<36>> << & # 8211 24 >>. )

Solução: Portanto, o HCF dos números (36 ) e (24 ) é (12. ). Portanto, a forma padrão pode ser obtida dividindo a fração dada por (& # 8211 12. )

Qual é a relação entre um número racional e um número irracional?

Sabemos que os números que não são racionais são conhecidos como números irracionais. A comparação entre o número racional e o irracional foi dada a seguir:

Números racionaisNúmeros irracionais
Os números racionais são os números que podem ser expressos como frações de inteiros. Exemplos: (0,75, < rm < >> frac << & # 8211 31 >> <5> )Os números irracionais são os números que não podem ser expressos como frações de inteiros. Exemplo: ( surd 2, pi. )
Esses números podem ser decimais finais.Esses números nunca podem ser decimais finais.
Os números racionais podem ser decimais sem fim com padrões repetitivos de decimais.Os números irracionais sempre têm expansões decimais sem fim, sem padrões repetitivos de decimais.
O conjunto de números racionais contém números naturais, números inteiros e inteiros.O conjunto de números irracionais é um conjunto separado que não contém nenhum dos outros conjuntos de números.

Veja o diagrama fornecido para melhor compreensão.

Como identificar um número racional?

Sabemos que um número racional pode ser expresso como uma fração ou um inteiro. Cada um desses números é considerado um número racional. Agora, para identificar se o número fornecido é um número racional ou não, precisamos verificar as seguintes condições:

1. Podemos representar o número como uma fração de inteiros como ( frac

, ) onde (q ne 0. )
2. A proporção ( frac

) pode ser simplificado e representado na forma decimal, que é recorrente ou não recorrente.

Quais são os tipos de números racionais?

1. Números racionais positivos: ( frac <2> <5>, 0.2, 6, ) são alguns exemplos de números racionais positivos. Aqui, (0,2 ) pode ser escrito como ( frac <1> <5> ) e (6 ) pode ser escrito como ( frac <6> <1>. )
2. Números racionais negativos: (& # 8211 frac <2> <7>, & # 8211 0,5, & # 8211 8, ) são alguns exemplos de números racionais negativos. Aqui, (& # 8211 0,5 ) pode ser escrito como ( frac <1> <2> ) e (& # 8211 8 ) pode ser escrito como (& # 8211 frac <8> <1 >. )
3. Forma inteira de número racional: Como sabemos que todos os inteiros são números racionais porque podemos escrevê-los na forma de ( frac << rm

>> << rm>>, ) onde (p ) e (q ) são inteiros primos e (< rm> ne 0. ) Exemplo, (6 ) pode ser escrito como ( frac <6> <1>. )
4. Forma decimal do número racional: Números decimais recorrentes de terminação e não terminação são números racionais. Exemplo, (0,3 ) é um número decimal de terminação que pode ser escrito como ( frac <3> <<10>> ) e (0,33333 ldots ) ​​é um número decimal recorrente não terminante que pode ser escrito como ( frac <1> <3>. )

Como identificar os números racionais positivos e negativos?

Os números racionais podem ser diferenciados como números racionais positivos e negativos. Quando o numerador e o denominador são ambos positivos ou negativos, então é referido como número racional positivo. Quando um dos numeradores ou denominador é um inteiro positivo e o outro é um inteiro negativo, é denominado número racional negativo.

Números Racionais PositivosNúmeros Racionais Negativos
Quando os numeradores e os denominadores têm o mesmo sinal, é denominado número racional positivo. Exemplo: ( frac <3> <8> ) é um número racional positivo.Quando o numerador e o denominador têm sinais diferentes, são conhecidos como números racionais negativos. Exemplo: ( frac << & # 8211 8 >> <9> ) é um número racional negativo.
Todos os números são maiores que zero.Todos os números são menores que zero.

O que são operações aritméticas de números racionais?

Como você já sabe somar, subtrair, multiplicar ou dividir os inteiros e também as frações. Agora, vamos ver essas operações básicas em números racionais.

Adição: Ao adicionar os números racionais com o mesmo denominador, adicione apenas os numeradores, mantendo o denominador igual. Dois números racionais com denominadores diferentes são adicionados retirando o MMC dos dois denominadores e, em seguida, convertendo ambos os números racionais em suas formas equivalentes para ter o MMC como denominador.

Subtração: Ao subtrair dois números racionais, adicionamos o inverso aditivo do número racional que está sendo subtraído do outro número racional.

Multiplicação: Para multiplicar os dois números racionais, multiplique seus numeradores e denominadores separadamente e escreva o produto como ( frac <<< rm>>> <<< rm>>>.)

Ao multiplicar o número racional por um inteiro positivo, multiplique o numerador por esse inteiro, mantendo o denominador inalterado.

Aqui, multiplique um número racional pelo inteiro negativo:

Divisão: Para dividir um número racional por outro número racional diferente de zero, multiplicamos o número racional pelo recíproco do outro número racional.

O que é o inverso multiplicativo do número racional?

Um número racional ( frac

) é conhecido como inverso multiplicativo ou recíproco de ( frac

) e é denotado por (< left (< frac

> right) ^ <& # 8211 1 >> & # 8230. ) Os números (1 ) e (& # 8211 1 ) são os únicos números racionais que são seus próprios recíprocos. Nenhum outro número racional é seu próprio recíproco. O número racional (0 ) não tem inverso multiplicativo.
Exemplo: O número é ( frac <2> <8> ) seu inverso multiplicativo é ( frac <8> <2>. )

Quais são as propriedades dos números racionais?

O número racional é o subconjunto do número real que obedecerá a todas as propriedades do sistema de números reais. Algumas das propriedades importantes são as seguintes:

  1. Sempre que multiplicamos, somamos, subtraímos ou dividimos quaisquer dois números racionais, o resultado é sempre um número racional.
  2. O número racional permanece o mesmo quando dividimos ou multiplicamos o numerador e o denominador com o mesmo número.
  3. Quando adicionamos zero a qualquer número racional, obtemos o mesmo número que o resultado.
  4. Os números racionais são fechados na subtração, adição e multiplicação.

Como identificar o número racional entre dois números racionais?

O número de inteiros entre dois inteiros é limitado (finito). O mesmo acontecerá com os números racionais também? Veremos isso a seguir.

Ele os converteu em números racionais com os mesmos denominadores.
Portanto, ( frac << & # 8211 3 >> <5> = frac << & # 8211 9 >> <<15>> ) e ( frac << & # 8211 1 >> <3 > = frac << & # 8211 5 >> <<15>> )

Temos ( frac << & # 8211 9 >> <<15>>

(p ) (q ) ( frac

)

Racional
(1)(2) ( frac <1> <2> )sim
( – 3)(4) ( frac << & # 8211 3 >> <4> )sim
(.3)(1) ( frac <3> <<10>> )sim
( – 0.7)(1) ( frac << & # 8211 7 >> <<10>> )sim
(0,141414 ldots. )(1) ( frac <<14>> <<99>> )sim

Pergunta 7: É (3,14 ) um número Racional?
Responder: Sim, o número (3,14 = frac <<314>> <<100>> ) é um número racional.

Questão 8: ( frac <1> <3> ) é um número racional ou irracional?
Responder: ( frac <1> <3> ) é um número racional.

InteirosNúmeros paresNúmeros inteiros
Números compostosNumeros reaisNúmeros Naturais
Números Co-PrimeNúmeros ímparesNúmeros primos

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Esperamos que este artigo detalhado sobre Rational Numbers ajude você. Se você tiver alguma dúvida, fique à vontade para perguntar na seção de comentários abaixo. Entraremos em contato com você o mais rápido possível.


Forma mais simples

Às vezes, temos um número racional como este:

Mas isso não é tão simples quanto pode ser!

Podemos dividir superior e inferior por 5 para obter:

& dividir 5
1015 = 23
& dividir 5

Agora está na & quotsimpla forma & quot, que é como a maioria das pessoas deseja!


5.2.5: Subtraindo Números Racionais - Matemática

Esta nova versão é uma grande melhoria em relação à antiga.
Sr. Tom Carol, NY

Este programa lançou as bases para a solução passo a passo de mais sucesso para o ensino de álgebra que eu já vi ou tive o prazer de implementar dentro da sala de aula. Como mencionei durante nossa conversa telefônica anterior, ao mapear os resultados reais de testes de compreensão matemática padronizados de nossos alunos, usando dados de períodos anteriores e posteriores à implementação de seu software, a diferença comparativa é realmente óbvia.
K.T., Ohio

Comecei com este tipo de programa porque estou numa aula online e há alturas em que "não tenho ideia". Estou achando seu programa mais fácil de seguir. OBRIGADA!
Walt Turley, CA

Decidi educar meus filhos em casa ainda bem jovem. Quando eles ficaram mais velhos, percebi rapidamente que não era capaz de criar planos de aula de matemática eficientes antes de não ter o conhecimento para fazê-lo. Algebrator não só me permitiu ensinar álgebra a meus filhos, mas também atualizou meu conhecimento. Obrigado por criar um programa maravilhoso!
Margret Dixx, AL


Adicionando e subtraindo números racionais



Exemplos, soluções, vídeos, planilhas, histórias e músicas para ajudar os alunos da 6ª série a aprender como somar e subtrair números racionais.

Como somar e subtrair números racionais?

Quando adicionamos ou subtraímos números racionais que têm o mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos apenas os numeradores. Os denominadores permanecem os mesmos.
Quando adicionamos ou subtraímos números racionais com denominadores diferentes, precisamos mudar os números racionais para números racionais equivalentes que têm os mesmos denominadores, antes de encontrarmos a soma ou diferença.

Adicionando e subtração de números racionais

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Sistema Numérico

& emsp & emsp W = <0,1,2,3,4. >
Podemos visualizar os números inteiros estabelecendo uma correspondência entre esses números e certos pontos em um raio ou meia linha da seguinte maneira: Escolha dois pontos O e A, com A à direita de O. Com O como ponto de partida, desenhe a meia linha de O a A. Usando a distância de O a A como a distância unitária, marcamos pontos sucessivos, separados por uma unidade, na meia linha, conforme mostrado na Figura 1. Agora

& emsp & emsp
& emsp & emspFIGURA 1.

& emsp & emsplet o número 0 corresponde ao ponto O, deixamos 1 corresponder a A, 2 corresponder a B e assim por diante, como mostrado na Figura 2. Nessa correspondência, um número é a coordenada de seu ponto correspondente.

& emsp & emsp

& emsp & emsp Estamos familiarizados com as operações de adição e multiplicação de números inteiros. A propriedade de que a soma de dois números inteiros é novamente um número inteiro é chamada de lei de fechamento para adição. Da mesma forma, como o produto de dois números inteiros é novamente um número inteiro, a lei de fechamento da multiplicação vale para W. As leis básicas para cálculos em W são as seguintes: para m, n e p números inteiros,

& emsp & emspA.1 m + (n + p) = (m + n) + p (lei de adição associativa)
& emsp & emspA.2 m + n = n + m (lei da adição comutativa)

& emsp & emspA.3 n + 0 = n (Identidade aditiva)

& emsp & emspM.1 m * (n * p) = (m * n) * p (lei associativa da multiplicação)
& emsp & emspM.2 m * n = n * m (lei comutativa da multiplicação)

& emsp & emspM.3 1 * n = n (identidade multiplicativa)

& emsp & emspD.1 n * (m + p) = (n * m) + (n * p) (deixou a lei distributiva)

& emsp & emspD.2 (m + p) * n = (m * n) + (p * n) (lei distributiva correta)

& emsp & emspDuas outras operações em W são subtração e divisão. A subtração é definida em termos de adição da seguinte maneira. Se m e n são números inteiros, então m-n é o número inteiro x tal que
& emsp & emsp n + x = m
& emsp & emspif esse número inteiro x existe. A divisão é definida em termos de multiplicação. Se m e n são números inteiros e n! = 0, então m & divide n é o número inteiro x tal que

& emsp & emspif esse número inteiro x existe.

& emsp & emspNote que a divisão por 0 não está definida. Pois se m! = 0, então não há número inteiro x tal que 0 * x = me se m = 0, então todo número inteiro x satisfaz 0 * x = 0. Também notamos que a subtração não é uma operação fechada em W. Por exemplo, 1-2 não é um número inteiro. A divisão também não é fechada, pois, por exemplo, 3 & divide4 não é um número inteiro. Como sabemos, para fazer da subtração uma operação fechada, devemos estender os números inteiros aos inteiros, e para fazer da divisão uma operação fechada, devemos estender os inteiros aos números racionais. Esses sistemas numéricos serão considerados nas seções 1.2 e 1.3.

& emsp & emspOs números naturais têm algumas propriedades multiplicativas interessantes que consideraremos agora. Se a, b e c são números naturais ec = a * b, então a e b são considerados fatores ou divisores de c, e c é considerado um múltiplo de a e de b. Notamos que 1 é um fator de todo número natural c, pois c = 1 * c. Referimo-nos a 1 como um fator trivial de ce c como um múltiplo trivial de si mesmo. Um número natural c diferente de 1 é primo se os únicos divisores de c forem 1 e c. Por exemplo, 3 é primo, pois seus únicos fatores são 1 e 3, enquanto 4 não é primo, pois 4 = 2 * 2. Um número natural é denominado mesmo se tiver um fator de 2 e é denominado ímpar se não for par. Os números 2, 4, 6,. , são todos pares enquanto 1, 3, 5,. , são estranhos. Segue-se que um número natural a é par se e somente se a = 2b, onde b é um número natural, e a é ímpar se e somente se a = 2b-1, onde b é um número natural.

Por teste, é fácil ver que os primeiros seis números primos são 2, 3, 5, 7, 11 e 13. Visto que todo múltiplo não trivial de um dado número natural é não primo, o seguinte processo, devido ao matemático grego Eratóstenes (275-194 a.C.), pode ser usado para encontrar todos os primos menores que um dado número natural.

Exemplo 1.& emsp & emspEncontre todos os primos com menos de 50.

& emsp & emspPrimeiro escreva todos os números naturais de 1 a 50 em sucessão.

& emsp

& emsp & emspComo 1 não é um primo, nós o riscamos. Como 2 é primo e todo múltiplo não trivial de 2 não é primo, mantemos 2 e riscamos cada segundo número daí em diante. Em seguida, mantenha o próximo número não cruzado, ou seja, 3, e risque cada terceiro número daí em diante. Em seguida, mantenha o próximo número não cruzado, ou seja, 5, e risque cada quinto número depois disso. Continuando esse processo, os números deixados sem cruzar no final são primos.

& emsp & emspComo se sabe que o número de primos é infinito, o famoso matemático grego Euclides (por volta de 300 a.C.) publicou uma prova de que não existe o maior primo.

& emsp & emspCada número natural maior que 1 pode ser expresso como um produto de fatores primos de uma e somente uma maneira, independentemente da ordem em que os fatores são escritos. Esse resultado é conhecido como Teorema da Fatoração Única. Por exemplo, a fatoração única de 56, 60, 90 e 113 são:

& emsp & emspO problema de encontrar os fatores primos de um dado número natural é difícil. Se você não está convencido, tente calcular o número do seu seguro social em números primos. Veremos as seguintes regras úteis:

& emsp & emspF.1 Se o último dígito de um número natural for par, ele terá um fator de 2.
& emsp & emspF.2 Se o último dígito de um número natural for 0 ou 5, então ele tem um fator
de 5.
& emsp & emspF.3 Se a soma dos dígitos de um número natural for divisível por 3, então
tem 3 como fator. & emsp

& emsp & emspPor exemplo, 192, 768 e 24 têm 2 como fator, 250, 145 e 760 têm 5 como fator, enquanto 123, 504 e 273 têm 3 como fator. Tudo isso pode ser verificado pelo leitor.

& emsp & emspF.4 Quando estamos tentando encontrar fatores de um número natural a, se b * b for maior que a, então a não tem fatores maiores que b se não tiver menos que b.

& emsp & emspRule F.4 é útil para determinar se um número é primo ou não. Por exemplo, para determinar se 113 é primo, os únicos números que precisamos tentar são os primos menores que 11, uma vez que 11 * 11 = 121, que é maior que 113.

& emsp & emspNo cálculo da fatoração primária de 258, encontramos primeiro os 2 & rsquos que são fatores por divisão sucessiva por 2, depois os 3 que são fatores e assim por diante. As regras F.1 a F.4 nos ajudarão no cálculo, especialmente F.4, que nos permite reduzir o número de primos que devemos tentar como divisores.

Exemplo 1. & emsp & emspEscreva 258 como um produto de primos.

& emsp & emsp & emsp & emsp

& emsp & emspVemos que 43 não é divisível por 2, 3, 5 ou 7. Pela regra F.4, uma vez que - 7 * 7 = 49, não há divisores maiores e, portanto, 43 é primo. Consequentemente

Exemplo 2. & emsp & emspEscreva 113 como um produto de primos

& emsp & emspPrimeiro vemos que 113 não é divisível por 2, 3, 5, 7 ou 11, onde 11 * 11 = 121. Pela regra F.4, segue-se que 113 é primo. Desse modo

& emsp & emspIf a_1, a_2. a_n, são números naturais, então o mínimo múltiplo comum de a_1, a_2. a_n, é o menor número natural que é um múltiplo de cada a_i. Denotamos este número por L.C.M. (a_1, a_2. a_n). Para calcular o L.C.M. de uma coleção finita de números naturais, formamos o produto dos primos obtidos tomando cada fator primo que ocorre em qualquer um dos números o número máximo de vezes que ocorre em qualquer um dos números.

Exemplo 3. & emsp & emspEncontre L.C.M. (6,8,12).

Exemplo 4. & emsp & emspEncontre L.C.M. (40,48,56,24).

1.2 & emsp & emsp Os inteiros

& emsp & emsp Na Seção 1.1, vimos que algumas diferenças, m-n, não são números inteiros. Para obter uma coleção de números em que a subtração é fechada, primeiro estendemos nossa reta numérica à esquerda de zero e marcamos os pontos separados por uma unidade, começando com o ponto cuja coordenada é 0. Então, para distinguir as coordenadas dos pontos à esquerda daqueles da direita, anexamos sinais negativos aos da esquerda. Veja a Figura 3. A coleção de números resultante, denotada por Z,

& emsp & emsp

& emsp & emspé chamado de inteiros. Desse modo

& emsp & emspA coordenada de cada ponto à direita de zero é chamada (assim como um número natural) de inteiro positivo, e a coordenada de cada ponto à esquerda de zero é chamada de inteiro negativo. Zero não é positivo nem negativo. Assim, Z é composto de inteiros positivos, inteiros negativos e zero.

& emsp & emspO conjunto de inteiros é fechado nas operações de adição, multiplicação e também subtração. No entanto, Z não é fechado sob divisão, uma vez que 3 + 4 não é um número inteiro. O sistema Z satisfaz todas as leis que W satisfaz, ou seja, A.1 a D.2, junto com:

& emsp & emspA.4 & emsp & emspPara cada inteiro m, há um único inteiro, denotado por -m, tal que

& emsp & emspO inteiro -m é chamado de inverso aditivo de m ou negativo de m. Observe que -m é um número negativo se m for positivo, mas -m é um número positivo se m for negativo. Por exemplo, se m = -3, seu inverso aditivo, -m, é - (- 3). No entanto,

& emsp & emspthus 3 é o inverso aditivo de -3, conseqüentemente,
& emsp & emsp - (- 3) = 3
& emsp & emspAs seguintes regras importantes de computação em Z seguem das regras básicas de A.1 a D.2, incluindo A.4. Para m e n inteiros,

& emsp & emspA regra C.1 é derivada da seguinte maneira. Desde

& emsp & emsp m é o inverso aditivo de -m. Desse modo

& emsp & emspNão estamos enfatizando as provas, portanto, deixamos as derivações de C.2 a C.9 para o leitor interessado.

Exemplo 1. & emsp & emspCalcule cada um dos seguintes (a) 7 + (- 3) (b) -4 + (- 9).

Exemplo 2. & emsp & emspCalcule cada um dos seguintes: (a) 4 - (- 2) (b) -12 - (- 10).

Exemplo 3. & emsp & emspCalcule cada um dos seguintes: (a) - (5-9) (b) (-1) [7 + (- 12)] (c) (-7) (- 2) (d) 3 (-5)

& emsp & emspEm nossos dois últimos exemplos, consideramos cálculos mais complicados.

Exemplo 4. & emsp & emspCalcule cada um dos seguintes: (a) 2+ (3-8) (b) -4- [7 + (- 3)] (c) (-8 + 12) - [- 3 - (- 2)] ( d) -2-

& emsp & emspNote que, para esses cálculos numéricos, começamos com o conjunto mais interno de parênteses.

Vamos ver como nosso solucionador de sistema numérico resolve este e outros problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

Exemplo 5. & emsp & emspCalcule cada um dos seguintes (a) (-5 + 9) (3-12) (b) 2-3 (1-5) (c) [-6 + 7 (4-5)] - 2 [-4+ (6-1)] (d) -3-2 [7-5 (-2-3 (1-5))]

A fatoração & emsp & emspUnique vale tanto em Z quanto em N. Por exemplo

& emsp & emsp Conseqüentemente, também temos a noção de mínimo múltiplo comum em Z. Para encontrar o mínimo múltiplo comum de um conjunto de inteiros, ignoramos os sinais e calculamos o L.C.M. dos números naturais resultantes.

Exemplo 5.& emsp & emspCompute L.C.M. (-12,14, -15).

1.3 Números & emsp & emspRational

& emsp & emspPara obter uma coleção de números que será fechada por divisão, ampliamos nosso sistema para a coleção de números racionais. Esta coleção é

& emsp & emspO inteiro b deve ser diferente de zero, pois a divisão por zero não está definida. Observe que os inteiros são números racionais, pois o inteiro n é igual ao número racional n / 1. Os números racionais podem ser atribuídos como coordenadas de certos pontos na reta numérica. Por exemplo, 2/3 corresponde ao ponto obtido dividindo o segmento do ponto cuja coordenada é 0 até o ponto cuja coordenada é 1 em três segmentos iguais e, em seguida, tomando o segundo

& emsp & emsp

ponto da subdivisão. No caso de - (7/5), escrevemos

&emsp&emspand then divide the segment from -1 to -2 into five equal parts. The number -(7/5) corresponds to the second subdivision point counting from -1 . From now on we will refer to the point whose coordinate is a , simply as the point a .

&emsp&emsp

&emsp&emspWe know that the rational numbers 1/2, 2/4, 3/6, . , all represent the same rational number. Therefore, for the first time we have encountered a system where equality is not to be taken for granted. In fact the law of equality for rational numbers is: If a/b and c/d are rational numbers, then

&emsp&emspThis definition allows us tn derive the fundamental cancellation law for rational numbers. If a, b , and c are integers, b!=0 , and c!=0 , then

&emsp&emspThis follows easily since ac(b)=a(bc) because of associativity and commutativity of multiplication for integers. This is called the cancellation law because in practice we write

&emsp&emsp

&emsp&emspA rational number a/b is said to be in simplest form if a and b have no nontrivial factors in common, To simplify a/b we factor the integers a and b into prime factors and then use the cancellation law.

Exemplo 1. &emsp&emspWrite 60/72 in simplest form.

&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

&emsp&emspIf a/b and c/d are rational numbers, then multiplication is defined by the equation

&emsp&emspThe definition of division for rational numbers is the same as it is for natural numbers. If a/b and c/d are rational numbers and c!=0 , then (a)/(b) ÷ c/d is the rational number x/y such that

&emsp&emspThus division is performed by the equation

&emsp&emspIn other words, to divide by c/d , we simply invert this divisor, obtaining d/c , and multiply. Por exemplo,

&emsp&emsp=&emsp&emsp

&emsp&emspAddition of rational numbers is performed according to the equation

&emsp&emspIn the case of addition of rational numbers with different denominators, the cancellation law is used to express the numbers as equivalent rational numbers with the same denominator.

&emsp&emspHere a common denominator is 2*3 , simply the product of the denominators. The product of the denominators may always be used as a common denominator. However, the least common denominator (L..C.D), which is clearly the L.C.M. of the denominators, is easier to use. For example if we add 1/12 and 1/18 , then L.C.M (12, 18)=36 is easier to use than 12*18=216 .

&emsp&emspThe definition for subtraction of rational numbers is the same as it is for natural numbers, namely, (a/b)-(c/d) is the rational number x/y such that

&emsp&emspHence, subtraction is performed by the equation

&emsp&emspAs in the case of addition, if the rational numbers have different denominators, we find the L.C.D. and use the cancellation law to express them as equivalent rational numbers with the same denominator.

Example 3.&emsp&emspFind 3/18-5/24 .

Let&rsquos see how our Number System solver solves this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

&emsp&emspIt is clear from the preceding definitions of addition, subtraction, multiplication, and division, that the set of rational numbers Q is closed under these operations. Furthermore, the set Q together with addition, subtraction, multiplication, and division, satisfies all of the laws that Z satisfies, namely, A.1-A.4, M.1-M.3, D.1 e D.2, as well as,

&emsp&emspM.4&emsp&emspFor each rational number r!=0 , there is a unique rational number, denoted by 1/r , such that

&emsp&emspThe rational number 1/r is called the multiplicative inverse of r , or the reciprocal of r .
The number system Q also satisfies the laws of computation that Z satisfies, C.1 Através dos C.9, and in addition:

&emsp&emspThe laws C.10 e C.11 follow easily from the definition of equality for example,

Example 4.&emsp&emspCompute (a) 2/3(3/5+7/-2) (b) (-3/4-6/-2)÷(7/5)

Exemplo 5. Compute (2/3-4+(-3)/2)/(1/3-5(2/7))

1.4&emsp&emspReal Numbers

&emsp&emspWe have seen in the preceding sections how the natural numbers, the integers, and finally the rational numbers can be identified with points on a line and, conversely, certain points on the line can be identified with rational numbers. However, as we will soon see, there are points on the number line that as yet have no numbers assigned
para eles.
&emsp&emspDuring the 6th century B.C., Pythagoras, a famous Greek

&emsp&emspmathematician, discovered the following formula for right triangles. If a,b , and c are the lengths of the sides of a right triangle with c being the longest side, then

&emsp&emsp

&emsp&emspIf we consider the right triangle where a and b are of length 1 , then

&emsp&emspthat is, the length of the longest side is the number c such that c^2 = 2 . We denote this number by the symbol root(2) , which we call the square root of 2 . This length corresponds to a point on the number line, however there is no rational number whose square is 2 . For, if (p/q)^2 = 2 , where p and q have no common factor, then

&emsp&emsp p^2=2q^2 &emsp&emsp(definition of equality in Q )

&emsp&emspThis equation tells us that p^2 is even and, therefore, p is even. Then for some integer r

&emsp&emspSubstituting in the first equation we have

&emsp&emspThus q^2 is even, and hence q is even. We have arrived at the conclusion that 2 is a common factor of p and q , contradicting the original assumption that p and q have no common factors. Therefore root(2) cannot be expressed as a ratio of integers, that is, it is not rational.

&emsp&emspThe fact that there is no rational number whose square is 2 was probably known to Pythagoras, but it is said that it disturbed him so much that he did not make the information known for fear t.hat it would discredit mathematicians in the eyes of the general public.

&emsp&emspThe above discussion shows that the collection of rational numbers is not closed under the operation of taking square roots. From the point of view of geometry this means that there are geometric figures whose sides cannot be measured exactly using only the collection of rational numbers. Also, on our number line this means that there are points that do not correspond to rational numbers. To fill in these gaps we must consider a larger collection of numbers, namely, the real numbers. There is a correspondence between the collection of real numbers and all the points on the number line, which we now refer to as the real number line. For example, root(2) corresponds to the point on the line obtained by taking the right triangle of sides 1, 1 , and root(2) and placing it on the line as shown in Figure 5.

&emsp&emspGiven a point on the real number line, we may approximate the real number to which it corresponds by measuring the distance from the origin to the point. If we use a metric ruler our approximation will be a decimal accurate to a certain number of places. This decimal approximation is a rational number.

&emsp&emspA completely logical treatment of real numbers was unknown until about 1870 when G. Cantor and R. Dedekind, two German mathematicians, gave a complete logical description and development.
The real numbers that are not rational are called irrational numbers. Irrational numbers are by no means scarce. Let root(n,a) denote the real number x such that x^n=a , n being a positive integer. If a is a positive integer that is not the nth power of an integer, then root(n,a) is irrational.

&emsp&emsp

&emsp&emspFor example, root(3),root(5), root(3,2),root(3,4),root(5,2),root(5,3). , are all irrational numbers. Other irrational numbers may be found by applying the following two properties.

&emsp&emspProperty 1. If a rational number R is added to an irrational number
then the sum S is again irrational.

&emsp&emspSince S = R+ , it follows that = S-R . Furthermore, if S were rational, then = S-R would be rational, since the rational numbers are closed under subtraction. But is irrational, hence S must also be irrational. Using property , we see that the real numbers 3+root(2), 1+ root(3) , and 1/2+ root(3,5) , are irrational numbers.

&emsp&emspProperty 2. If a rational number R is multiplied by an irrational number , then the product P is an irrational number.

&emsp&emspThis property follows from the fact that the rationals are closed under division, and we leave the proof as an exercise for the interested reader. From Property 2 , the real numbers 2root(2),5root(3) , and root(5,3/2) are irrational numbers.

&emsp&emspThere are many other irrational numbers that cannot be obtained by taking roots of rational numbers. For example PI , which is defined as the circumference of a circle divided by its diameter, is such an irrational number. From the above properties, the numbers 2PI,PI/3 , and 1/2+ PI are also irrational numbers.

&emsp&emspThe collection of real numbers will be denoted by R . The relationships between the number systems N, W, Z, Q , and R are illustrated in Figure 6 below. Addition, subtraction, multiplication, and division

&emsp&emsp

&emsp&emsp(except by 0 ) can all be defined on R so that these operations are consistent with the operations on the set Q of rational numbers. Further more, the operations in R satisfy all of the basic laws of arithmetic that we had for Q , namely, A.1-A.4, M.1-M.4, D.1, D.2, as well as C.1&mdashC.11.

&emsp&emspThe real numbers can be divided into three non-overlapping sets: the negative real numbers, zero, and the positive real numbers. A real number x is positive if it is to the right of 0 on the real number line, and negative if it is to the left of 0 . We use the notation x > 0 if x is positive and x < 0 if x is negative. Inequalities will be studied in detail in Chapter 9.

&emsp&emspAn operation on real numbers which can be described in terms of positive and negative real numbers is that of computing the absolute value of a number. The absolute value of a is denoted by |a| and is defined by

&emsp&emsp

&emsp&emsp&emsp&emspNote that for each real number a, a,|-a|=|a| = |a| is never negative.
&emsp&emspDistance between two points on the line can be expressed by means of absolute values. In fact, if a and b are points on the real number line, then the distance between a and b , denoted by d(a, b) , is given by


Problema 1

Write a sentence to answer each question:

1) How much warmer is 82 than 40?

2) How much warmer is 82 than -40?

Problema 2

3) What is the difference in height between 30 m up a cliff and 87 m up a cliff?

4) What is the distance between these positions?

5) What is the difference in height between an albatross flying at 100 m above the surface of the ocean and a shark swimming 30 m below the surface?

6) What is the distance between them if the shark is right below the albatross?

Problema 3

7) A company produces screens of different sizes. Based on the table, could there be a relationship between the number of pixels and the area of the screen?

I need more information to tell.

8) If so, write an equation representing the relationship. If not, explain your reasoning.

Problema 4
Problema 5

A family goes to a restaurant. When the bill comes, this is printed at the bottom of it:


Adding and Subtracting Rational Numbers Worksheets

Adding and Subtracting Rational Numbers worksheets are one of the most fundamental concepts from a mathematics point of view. A rational number is a number in which the denominator and numerator are both integers (except, the denominator can't be zero). Firstly, before adding or subtracting two or more rational numbers, they should have a common denominator. This can be done by multiplying both numerator and denominator by a common factor. One can then proceed with the operations.


7.5 Rational Number Arithmetic

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