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4.1: Definições básicas - Matemática


Devemos agora considerar funções cujos domínios e intervalos são conjuntos em alguns espaços métricos fixos (mas de outra forma arbitrários) ((S, rho) ) e ( left (T, rho ^ { prime} right), ) respectivamente. Nós escrevemos

[f: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ]

para uma função (f ) com (D_ {f} = A subseteq (S, rho) ) e (D_ {f} ^ { prime} subseteq left (T, rho ^ { prime} right). quad S ) é chamado de espaço de domínio, e (T ) o espaço de intervalo, de (f. )

EU. Dada tal função, muitas vezes temos que investigar seu "comportamento local" próximo a algum ponto (p in S. ) Em particular, se (p in A = D_ {f} ( text {para que} f (p) text {é definido) nós} ) podemos perguntar: É possível fazer os valores da função (f (x) ) tão próximos quanto gostaríamos ( (" varejpsilon - ) próximo") para (f (p) ) mantendo (x ) suficientemente perto ( left ( text {"close} ^ { prime prime} right) ) para (p, ) ou seja, dentro algum globo suficientemente pequeno (G_ {p} ( delta)? ) Se este for o caso, dizemos que (f ) é contínuo em (p. ) Mais precisamente, formulamos a seguinte definição.

Definição

Uma função (f: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), ) com (A subseteq (S, rho), ) é considerada contínua em ( p ) iff (p in A ) e, além disso, para cada ( varepsilon> 0 ) (não importa quão pequeno) há ( delta> 0 ) tal que ( rho ^ { prime} (f (x), f (p)) < varepsilon ) para todos (x em A cap G_ {p} ( delta). ) Em símbolos,

[( forall varepsilon> 0) ( exists delta> 0) left ( forall x in A cap G_ {p} ( delta) right) left { begin {array} { l} { rho ^ { prime} (f (x), f (p)) < varepsilon, text {ou}} {f (x) in G_ {f (p)} ( varejpsilon )} end {array} right. ]

Se ((1) ) falhar, dizemos que (f ) é descontínuo em (p ) e chamamos (p ) um ponto de descontinuidade de (f. ) Este também é o caso se (p notin A ) (uma vez que (f (p) ) não está definido).

Se ((1) ) vale para cada p em um conjunto (B subseteq A, ) dizemos que (f ) é contínuo em (B. ) Se este for o caso para (B = A, ) simplesmente dizemos que (f ) é contínuo.

Às vezes, preferimos manter (x ) próximo a (p ), mas diferente de (p. ) Em seguida, substituímos (G_ {p} ( delta) ) em ((1) ) pelo definir (G_ {p} ( delta) - {p }, ) ou seja, o globo sem seu centro, denotado (G _ { neg p} ( delta) ) e chamado de ( delta ) -globe sobre (p. ) Isso é mesmo necessário se (p notin D_ {f} ). Substituindo (f (p) ) em (1) ) por algum (q in T, ), somos levados à seguinte definição.

Definição

Dado (f: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), A subseteq (S, rho), p in S, ) e (q in T, ) dizemos que (f (x) ) tende a (q ) como (x ) tende a (p (f (x) rightarrow q text {as} x rightarrow p) ) iff para cada ( varepsilon> 0 ) existe ( delta> 0 ) tal que ( rho ^ { prime} (f (x), q) < varepsilon ) para todos (x in A cap G _ { neg p} ( delta). ) Em símbolos,

[( forall varepsilon> 0) ( exists delta> 0) left ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad left { begin {array} {l} { rho ^ { prime} (f (x), q) < varepsilon, text {ie}} {f (x) in G_ {q} ( varejpsilon)} end {array} right. ]

Isso significa que (f (x) ) é ( varepsilon ) -proximo de (q ) quando (x ) é ( delta ) -close de (p ) e ( x neq p ).

Se ((2) ) for válido para algum (q, ), chamamos (q ) um limite de (f ) em (p. ) Pode não haver tal (q ). Dizemos então que (f ) não tem limite em (p, ) ou que esse limite não existe. Se houver apenas um (q ( text {para um dado} p), ) escrevemos (q = lim _ {x rightarrow p} f (x). )

Nota 1. A fórmula (2) é válida "vagamente" (ver Capítulo 1,8 §§1-3, observação final) se (A cap G _ { neg p} ( delta) = conjunto vazio ) para algum ( delta > 0. ) Então qualquer (q em T ) é um limite em (p, ), portanto, existe um limite, mas não é único. (Descartamos o caso em que (T ) é um singleton.)

Nota 2. No entanto, a exclusividade é garantida se (A cap G _ { neg p} ( delta) neq emptyset ) para todos os ( delta> 0, ) como provamos abaixo.

Observe que pelo Corolário 6 do Capítulo 3, §14, o conjunto (A ) clusters em (p ) iff

[( forall delta> 0) quad A cap G _ { neg p} ( delta) neq emptyset. quad ( text {Explique!}) ]

Portanto, temos o seguinte corolário.

corolário ( PageIndex {1} )

Se (A ) se agrupa em (p ) em ((S, rho), ) então uma função (f: A rightarrow left (T, p ^ { prime} right) ) pode ter no máximo um limite em (p; ), ou seja

[ lim _ {x rightarrow p} f (x) text {é único (se existir).} ]

Em particular, isso vale se (A supseteq (a, b) subconjunto E ^ {1} (a

Prova

Suponha que (f ) tenha (t w o ) limites, (q ) e (r, ) em (p. ) Pela propriedade de Hausdorff,

[G_ {q} ( varepsilon) cap G_ {r} ( varejpsilon) = emptyset quad text {para algum} varejpsilon> 0. ]

Além disso, por ((2), ) existem ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime}> 0 ) de modo que

[ begin {array} {ll} { left ( forall x in A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime} right) right)} & {f (x ) in G_ {q} ( varepsilon) text {e}} { left ( forall x in A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime prime} direita) direita)} & {f (x) in G_ {r} ( varepsilon)} end {array} ]

Seja ( delta = min left ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime} right). ) Então, para (x in A cap G _ { neg p} ( delta), f (x) ) está em (G_ {q} ( varepsilon) ) e (G_ {r} ( varejpsilon) ), e tal (x ) existe desde (A cap G _ { neg p} ( delta) neq emptyset ) por suposição.

Mas isso é impossível, pois (G_ {q} ( varepsilon) cap G_ {r} ( varejpsilon) = conjunto vazio ) (( text {uma contradição!).} Square )

Para intervalos, consulte o Capítulo 3, §14, Exemplo ( ( mathrm {h}) ).

corolário ( PageIndex {2} )

(f ) é contínuo em (p left (p in D_ {f} right) ) iff (f (x) rightarrow f (p) ) como (x rightarrow p ) .

Prova

A prova direta das definições é deixada para o leitor.

Nota 3. Na fórmula ((2), ) excluímos o caso (x = p ) assumindo que (x in A cap G _ { neg p} ( delta). ) Isso torna o comportamento de (f ) em (p ) é irrelevante. Assim, para a existência de um limite (q ) em (p, ), não importa se (p in D_ {f} ) ou se (f (p) = q. ) Mas ambos condições são necessárias para continuidade em (p ) (ver Corolário 2 e Definição 1 () ).

Nota 4. Observe que se ((1) ) ou ((2) ) vale para algum ( delta, ) certamente vale para qualquer ( delta ^ { prime} leq delta. ) Assim podemos sempre escolher ( delta ) tão pequeno quanto quisermos. Além disso, como (x ) é limitado a (G_ {p} ( delta), ) podemos desconsiderar, ou alterar à vontade, os valores da função (f (x) ) para (x notin G_ {p} ( delta) ) ("caráter local da noção de limite").

II. Limites em E *. Se (S ) ou (T ) for (E ^ {*} left ( text {ou} E ^ {1} right), ) podemos deixar (x rightarrow pm infty ) ou (f (x) rightarrow pm infty. ) Para uma definição precisa, reescrevemos ((2) ) em termos de (globos ) (G_ {p} ) e (G_ {q}: )

[ left ( forall G_ {q} right) left ( existe G_ {p} right) left ( forall x in A cap G _ { neg p} right) quad f ( x) em G_ {q}. ]

Isso também faz sentido se (p = pm infty ) ou (q = pm infty. ) Só temos que usar nossas convenções quanto a (G_ { pm infty}, ) ou a métrica ( rho ^ { prime} ) para (E ^ {*}, ) como explicado no Capítulo 3, §11.

Por exemplo, considere

[^ { prime prime} f (x) rightarrow q text {as} x rightarrow + infty ^ { prime prime} left (A subseteq S = E ^ {*}, p = + infty, q in left (T, rho ^ { prime} right) right). ]

Aqui (G_ {p} ) tem a forma ((a, + infty], a in E ^ {1}, ) e (G _ { neg p} = (a, + infty) , ) while (G_ {q} = G_ {q} ( varepsilon) ), como de costume. Observando que (x in G _ { neg p} ) significa (x> a left (x em E ^ {1} right), ) podemos reescrever ( left (2 ^ { prime} right) ) como

[( forall varejpsilon> 0) left ( existe a in E ^ {1} right) ( forall x in A | x> a) quad f (x) in G_ {q} ( varejpsilon), text {ou} rho ^ { prime} (f (x), q) < varejpsilon. ]

Isso significa que (f (x) ) torna-se arbitrariamente próximo de (q ) para (x (x> a) ).

Em seguida, considere (^ {4} f (x) rightarrow + infty ) como (x rightarrow- infty ) "Aqui (G _ { neg p} = (- infty, a) ) e (G_ {q} = (b, + infty]. ) Assim, a fórmula ( left (2 ^ { prime} right) ) produz (com (S = T = E ^ {*}, ) e (x ) variando em (E ^ { mathrm {i}}) )

[ left ( forall b in E ^ {1} right) left ( existe a in E ^ {1} right) ( forall x in A | x b; ]

da mesma forma em outros casos, que deixamos para o leitor.

Nota 5. Em ((3), ) podemos pegar (A = N ) (os naturais). Então (f: N rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) é uma sequência em (T. ) Writing (m ) para (x, ) set (u_ {m} = f (m) ) e (a = k em N ) para obter

[( forall varejpsilon> 0) ( exists k) ( forall m> k) quad u_ {m} in G_ {q} ( varejpsilon); text {ou seja,} rho ^ { prime} left (u_ {m}, q right) < varepsilon. ]

Isso coincide com nossa definição do limite (q ) de uma seqüência ( left {u_ {m} right } ) (ver Capítulo 3, §14). Assim, os limites de sequências são um caso especial de limites de função. Teoremas sobre sequências podem ser obtidos a partir daqueles sobre funções (f: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) simplesmente tomando (A = N ) e (S = E ^ {*} ) como acima.

Nota 6. As fórmulas ((3) ) e ((4) ) também fazem sentido se (S = E ^ {1} ) (respectivamente, (S = T = E ^ {1}) ) desde eles não envolvem qualquer menção de ( pm infty. ) Usaremos tais fórmulas também para funções (f: A rightarrow T, ) com (A subseteq S subseteq E ^ {1} ) ou (T subseteq E ^ {1}, ) conforme o caso.

III. Limites relativos e continuidade. Às vezes, o resultado desejado ((1) ) ou ((2) ) não é válido por completo, mas apenas com (A ) substituído por um conjunto menor (B subseteq A ). Assim, podemos ter

[( forall varepsilon> 0) ( exists delta> 0) left ( forall x in B cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) in G_ {q} ( varepsilon). ]

Neste caso, chamamos (q ) um limite relativo de (f ) em (p ) sobre (B ) e escrevemos

["f (x) rightarrow q text {as} x rightarrow p text {over} B" ]

ou

[ lim _ {x rightarrow p, x in B} f (x) = q quad ( text {if} q text {is unique}); ]

(B ) é chamado de caminho sobre o qual (x ) tende a (p. ) Se, além disso, (p em D_ {f} ) e (q = f (p), ) dizemos que (f ) é relativamente contínuo em (p ) sobre (B; ) então (1) ) se mantém com (A ) substituído por (B ). Novamente, se isso vale para todo (p em B, ) dizemos que (f ) é relativamente contínuo em (B. ) Claramente, se (B = A = D_ {f}, ) isso produz limites comuns (não relativos) e continuidade. Assim, os limites relativos e a continuidade são mais gerais.

Observe que para limites sobre um caminho (B, x ) é escolhido de (B ) ou (B - {p } ) apenas. Assim, o comportamento de (f ) fora de (B ) torna-se irrelevante e, portanto, podemos redefinir arbitrariamente (f ) em (- B. ) Por exemplo, se (p notin B ), mas ( lim _ {x rightarrow p, x in B} f (x) = q ) existe, podemos definir (f (p) = q, ) tornando assim (f ) relativamente contínuo em (p ( text {over} B). ) Também podemos substituir ((S, rho) ) por ((B, rho) ( text {if} p in B), ) ou restrinja (f ) a (B, ) ou seja, substitua (f ) pela função (g: B rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) definido por (g (x) = f (x) ) para (x em B ) (resumidamente, (g = f ) em (B) ).

Um caso particularmente importante é

[A subseteq S subseteq E ^ {*}, text {por exemplo,} S = E ^ {1}. ]

Então as desigualdades são definidas em (S, ) para que possamos tomar

[B = {x em A | x

Então, escrevendo (G_ {q} ) para (G_ {q} ( varepsilon) ) e (a = p- delta, ) obtemos da fórmula ((2) )

[ left ( forall G_ {q} right) ( existe a

Se ((5) ) for mantido, chamamos (q ) um limite esquerdo de (f ) em (p ) e escrevemos

["f (x) rightarrow q text {as} x rightarrow p ^ {-}" quad left ("x text {tende a} p text {da esquerda} ^ { prime} certo).]

Se, além disso, (q = f (p), ) dizemos que (f ) é deixado contínuo em (p. ) Da mesma forma, tomando

[B = {x em A | x> p }, ]

obtemos limites corretos e continuidade. Nós escrevemos

[f (x) rightarrow q text {as} x rightarrow p ^ {+} ]

iff (q ) é um limite direito de (f ) em (p, ) ou seja, if ((5) ) é válido com todas as desigualdades invertidas.

Se o conjunto (B ) em questão se agrupa em (p, ), o limite relativo (se houver) é único. Em seguida, denotamos os limites esquerdo e direito, respectivamente, por (f left (p ^ {-} right) ) e (f left (p ^ {+} right), ) e escrevemos

[ lim _ {x rightarrow p ^ {-}} f (x) = f left (p ^ {-} right) text {e} lim _ {x rightarrow p ^ {+}} f (x) = f left (p ^ {+} right). ]

corolário ( PageIndex {3} )

Com a notação anterior, se (f (x) rightarrow q ) as (x rightarrow p ) sobre um caminho (B, ) e também sobre (D, ) então (f (x ) rightarrow q ) como (x rightarrow p ) sobre (B cup D ).

Portanto, se (D_ {f} subseteq E ^ {*} ) e (p in E ^ {*}, ) temos

[q = lim _ {x rightarrow p} f (x) text {iff} q = f left (p ^ {-} right) = f left (p ^ {+} right). quad ( text {Exercício!}) ]

Agora ilustramos nossas definições por um diagrama em (E ^ {2} ) representando uma função (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) por seu gráfico, ou seja, pontos ((x , y) ) de modo que (y = f (x) ).

Aqui

[G_ {q} ( varejpsilon) = (q- varejpsilon, q + varejpsilon) ]

é um intervalo no eixo (y ). As linhas pontilhadas mostram como construir um intervalo

[(p- delta, p + delta) = G_ {p} ]

no eixo (x ), fórmula satisfatória ((1) ) na Figura (13, ) fórmulas ((5) ) e ((6) ) na Figura (14, ) ou fórmula ((2) ) na Figura (15. ) O ponto (Q ) em cada diagrama pertence ao gráfico; ou seja, (Q = (p, f (p)). ) Na Figura (13, f ) é contínuo em (p ( text {e também em} ) (p_ {1} ) ) No entanto, é apenas contínuo à esquerda em (p ) na Figura (14, ) e é descontínuo em (p ) na Figura (15, ) embora (f left (p ^ { -} right) ) e (f left (p ^ {+} right) ) existem. (Por que?)

Exemplo ( PageIndex {1} )

(a) Seja (f: A rightarrow T ) constante em (B subseteq A; ), ou seja,

[f (x) = q text {para um fixo} q in T text {e todos} x in B. ]

Então (f ) é relativamente contínuo em (B, ) e (f (x) rightarrow q ) como (x rightarrow p ) sobre (B, ) em cada (p. ) (Dado ( varepsilon> 0, ) tome um ( delta> 0 ) arbitrário.

[ left ( forall x in B cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) = q in G_ {q} ( varejpsilon), ]

como requerido; da mesma forma para continuidade.)

(b) Seja (f ) o mapa de (i ) dentidade em (A subconjunto (S, rho); ) ou seja,

[( forall x in A) quad f (x) = x. ]

Então, dado ( varepsilon> 0, ) tome ( delta = varepsilon ) para obter, para (p in A ),

[ left ( forall x in A cap G_ {p} ( delta) right) quad rho (f (x), f (p)) = rho (x, p) < delta = varepsilon. ]

Assim, por ((1), f ) é contínua em qualquer (p em A, ), portanto, em (A ).

(c) Defina (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) por

[f (x) = 1 text {if} x text {é racional e} f (x) = 0 text {caso contrário.} ]

(Esta é a função Dirichlet, assim chamada em homenagem a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.)

Não importa quão pequeno seja ( delta ), o globo

[G_ {p} ( delta) = (p- delta, p + delta) ]

(mesmo o globo excluído) contém tanto racionais quanto irracionais. Assim, como (x ) varia em (G _ { neg p} ( delta), f (x) ) assume ambos os valores, 0 e (1, ) muitas vezes e, portanto, sai de qualquer (G_ {q} ( varepsilon), ) com (q in E ^ {1}, varepsilon < frac {1} {2} ).

Portanto, para qualquer (q, p in E ^ {1}, ) a fórmula ((2) ) falha se tomarmos ( varepsilon = frac {1} {4}, ) digamos. Assim, (f ) não tem limite em nenhum (p in E ^ {1} ) e, portanto, é descontínuo em todos os lugares! No entanto, (f ) é relativamente contínuo no conjunto (R ) de todos os racionais pelo Exemplo (( mathrm {a}) ).

(d) Defina (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) por

[f (x) = [x] (= text {parte integrante de} x; text {ver Capítulo} 2, §10). ]

Assim, (f (x) = 0 ) para (x in [0,1), f (x) = 1 ) para (x in [1,2), ) etc. f ) é descontínuo em (p ) se (p ) é um inteiro (por quê?), mas contínuo em qualquer outro (p left ( text {restringir} ​​f text {para um pequeno} G_ { p} ( delta) text {para torná-lo constante)} right. )

No entanto, os limites esquerdo e direito existem em cada (p in E ^ {1}, ) mesmo se (p = ) (n ( text {um inteiro}). ) Na verdade,

[f (x) = n, x in (n, n + 1) ]

e

[f (x) = n-1, x in (n-1, n), ]

portanto (f left (n ^ {+} right) = n ) e (f left (n ^ {-} right) = ) (n-1; f ) é à direita contínua em (E ^ {1}. ) Veja a Figura (16. )

(e) Defina (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) por

[f (x) = frac {x} {| x |} text {if} x neq 0, text {e} f (0) = 0. ]

(Esta é a chamada função signum, frequentemente denotada por sgn.)

Então (Figura 17 () )

[f (x) = - 1 text {if} x <0 ]

e

[f (x) = 1 text {if} x> 0. ]

Assim, como em (d), inferimos que (f ) é descontínuo em (0, ) mas contínuo em cada (p neq 0. ) Além disso, (f left (0 ^ {+ } right) = 1 ) and (f left (0 ^ {-} right) = - 1. ) Redefinindo (f (0) = 1 ) ou (f (0) = - 1 , ) podemos tornar (f ) direita (respectivamente, esquerda) contínua em (0, ), mas não ambos.

(f) Defina (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) por (ver Figura 18 () )

[f (x) = sin frac {1} {x} text {if} x neq 0, text {e} f (0) = 0. ]

Qualquer globo (G_ {0} ( delta) ) cerca de 0 contém pontos em que (f (x) = 1, ) bem como aqueles em que (f (x) = - 1 ) ou (f (x) = 0 ) (pegue (x = 2 / (n pi) ) para números inteiros grandes (n) ); na verdade, o gráfico "oscila" infinitamente muitas vezes entre (- 1 ) e (1. ) Assim, pelo mesmo argumento que em (( mathrm {c}), f ) não tem limite em 0 (nem mesmo um limite esquerdo ou direito) e, portanto, é descontínuo em (0. ) Nenhuma tentativa de redefinir (f ) em 0 pode restaurar nem mesmo a continuidade esquerda ou direita, muito menos a continuidade normal, em (0. )

(g) Defina (f: E ^ {2} rightarrow E ^ {1} mathrm {por} )

[f ( overline {0}) = 0 text {e} f ( overline {x}) = frac {x_ {1} x_ {2}} {x_ {1} ^ {2} + x_ { 2} ^ {2}} text {if} overline {x} = left (x_ {1}, x_ {2} right) neq overline {0}. ]

Seja (B ) qualquer linha em (E ^ {2} ) a ( overline {0}, ) dada parametricamente por

[ overline {x} = t vec {u}, quad t in E ^ {1}, vec {u} text {fixo (ver Capítulo 3, §§4-6),} ]

então (x_ {1} = t u_ {1} ) e (x_ {2} = t u_ {2}. ) Como é facilmente visto, para ( overline {x} in B, f ( overline {x}) = f ( overline {u}) ) (constante) se ( overline {x} neq overline {0}. ) Conseqüentemente

[ left ( forall overline {x} in B cap G _ { neg overline {0}} ( delta) right) quad f ( overline {x}) = f ( overline { você}),]

ou seja, ( rho (f ( overline {x}), f ( overline {u})) = 0 < varejpsilon, ) para qualquer ( varejpsilon> 0 ) e qualquer globo excluído sobre ( overline {0} ).

Por ( left (2 ^ { prime} right), ) então, (f ( overline {x}) rightarrow f ( overline {u}) ) as ( overline {x} rightarrow overline {0} ) sobre o caminho (B. ) Assim, (f ) tem um limite relativo (f ( overline {u}) ) em ( overline {0}, ) em qualquer linha ( overline {x} = t overline {u}, ) mas este limite é diferente para várias opções de ( overline {u}, ) ou seja, para diferentes linhas através de ( overline {0}. ) Não existe um limite normal em ( overline {0} ) (por quê?); (f ) nem mesmo é relativamente contínuo em ( overline {0} ) sobre a linha ( overline {x} = t vec {u} ) a menos que (f ( overline {u}) = 0 ) (que é o caso apenas se a linha for um dos eixos coordenados (por quê?)).


Definição de rotação e propriedades básicas



Exemplos, vídeos e soluções para ajudar os alunos da 8ª série a girar uma figura e aprender as propriedades básicas da rotação.

New York State Common Core Math Grade 8, Module 2, Lesson 5

Os alunos sabem como girar uma figura em um determinado grau em torno de um determinado centro.

Os alunos sabem que as rotações movem linhas em linhas, raios em raios, segmentos em segmentos e ângulos em ângulos. Os alunos sabem que as rotações preservam os comprimentos dos segmentos e os graus dos ângulos das medidas. Os alunos sabem que as rotações movem linhas paralelas para linhas paralelas.

1. Deixe haver uma rotação de d graus em torno do centro O. Seja P um ponto diferente de O. Selecione um d para que d & ge 0. Encontre P '(ou seja, a rotação do ponto P) usando uma transparência.

2. Permita que haja uma rotação de d graus em torno do centro O. Seja P um ponto diferente de O. Selecione a d de modo que d & lt 0. Encontre P '(ou seja, a rotação do ponto P) usando uma transparência.

3. Em que direção o ponto P girou quando d & ge 0?

4. Em que direção o ponto P girou quando d & lt 0?

5. Seja L uma reta, AB um raio, CD um segmento e & angEFG um ângulo, como mostrado. Deixe haver uma rotação de d graus em torno do ponto O. Encontre as imagens de todas as figuras quando d & ge 0.

6. Seja AB um segmento de 4 unidades de comprimento e & angCDE um ângulo de 45 & geg. Deixe haver uma rotação de d graus, onde d & gt 0, cerca de O. Encontre as imagens das figuras dadas. Responda às perguntas a seguir.

uma. Qual é o comprimento da rotação do segmento girado (AB)?
b. Qual é o grau de rotação do ângulo de rotação (& angCDE)

Com base no trabalho realizado durante a lição, e especialmente nos Exercícios 5 e 6, podemos agora afirmar que as rotações têm propriedades semelhantes às traduções em relação a (T1) - (T3) da Lição 2 e reflexões em relação a (Reflexão 1) - (Reflexão 3) da Lição 4:

(R1) Uma rotação mapeia uma linha para uma linha, um raio para um raio, um segmento para um segmento e um ângulo para um ângulo.
(R2) Uma rotação preserva os comprimentos dos segmentos.
(R3) Uma rotação preserva graus de ângulos.

Além disso, como com traduções e reflexões, se L1, EU2 são linhas paralelas e se houver uma rotação, então as linhas Rotação (L1), Rotação (L2) também são paralelos. Porém, se houver uma rotação de grau e for uma linha, e não forem paralelas. (Nota para o professor: os exercícios 7 e 8 ilustrarão esses dois pontos.)

7. Deixe L1 e eu2 ser linhas paralelas. Deixe haver uma rotação de d graus, onde -360 & lt d & lt 260, cerca de O. É (L1) '|| (EU2)'' ?

8. Seja L uma linha e O o centro de rotação. Suponha que haja uma rotação de d graus, onde d & ne 180 & deg em torno de O. As linhas L e L 'são paralelas?

As rotações requerem informações sobre o centro de rotação e o grau de rotação. Graus positivos de rotação movem a figura no sentido anti-horário. Graus negativos de rotação movem a figura no sentido horário.

Propriedades básicas das rotações:

(R1) Uma rotação mapeia uma linha para uma linha, um raio para um raio, um segmento para um segmento e um ângulo para um ângulo.

(R2) Uma rotação preserva os comprimentos dos segmentos.

(R3) Uma rotação preserva graus de ângulos.

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Outros exemplos que mostram a propriedade de identidade da multiplicação.

Propriedade multiplicativa inversa

Se você multiplicar dois números e o produto for 1, chamaremos os dois números de inversos multiplicativos ou recíprocos um do outro.

Por exemplo, 4 é o inverso multiplicativo de 1/4 porque 4 & # 215 1/4 = 1.

1/4 também é o inverso multiplicativo de 4 porque 1/4 & # 215 4 = 1.

Observe que o inverso multiplicativo de 1 é 1, pois 1 × 1 é 1. Da mesma forma, o inverso multiplicativo de -1 é -1, pois -1 × -1 é 1. Na verdade, 1 e -1 são os únicos dois números que podem ser seus próprios inversos multiplicativos.

Observe também que qualquer número dividido por 1 retorna o mesmo número. Chamamos isso de propriedade de divisão de identidade.


4.1: Definições básicas - Matemática

Nesta seção, definiremos formalmente a integral definida e forneceremos muitas das propriedades das integrais definidas. Vamos começar com a definição de uma integral definida.

Integral definida

Dada uma função (f left (x right) ) que é contínua no intervalo ( left [ direita] ) dividimos o intervalo em (n ) subintervalos de igual largura, ( Delta x ), e de cada intervalo escolhemos um ponto, (x_i ^ * ). Então o integral definida de (f left (x right) ) de a para B) é

A integral definida é definida para ser exatamente o limite e a soma que examinamos na última seção para encontrar a área líquida entre uma função e o eixo (x ). Observe também que a notação para a integral definida é muito semelhante à notação para uma integral indefinida. A razão para isso ficará aparente eventualmente.

Há também um pouco de terminologia que devemos desviar aqui. O número “ (a )” que está na parte inferior do sinal de integral é chamado de limite inferior do integral e o número " (b )" no topo do sinal de integral é chamado de limite superior do integral. Além disso, apesar do fato de que (a ) e (b ) foram dados como um intervalo, o limite inferior não precisa necessariamente ser menor que o limite superior. Coletivamente, muitas vezes chamamos de (a ) e (b ) o intervalo de integração.

Vamos trabalhar um exemplo rápido. Este exemplo usará muitas das propriedades e fatos da breve revisão da notação de soma no capítulo Extras.

Em primeiro lugar, não podemos realmente usar a definição, a menos que determinemos quais pontos em cada intervalo que bem usar para (x_i ^ * ). Para tornar nossa vida mais fácil, usaremos os pontos de extremidade corretos de cada intervalo.

Da seção anterior, sabemos que para um (n ) geral, a largura de cada subintervalo é,

Os subintervalos são, então,

Como podemos ver o ponto final certo do eu th subintervalo é

O somatório na definição da integral definida é então,

Agora, vamos ter que tirar um limite disso. Isso significa que vamos precisar “avaliar” esse somatório. Em outras palavras, teremos que usar as fórmulas fornecidas na revisão da notação de soma para eliminar a soma real e obter uma fórmula para isso para um (n ) geral.

Para fazer isso, precisamos reconhecer que (n ) é uma constante no que diz respeito à notação de soma. À medida que percorremos os números inteiros de 1 a (n ) na soma apenas (i ) muda e, portanto, qualquer coisa que não seja um (i ) será uma constante e pode ser fatorado fora da soma. Em particular, qualquer (n ) que esteja no somatório pode ser fatorado se for necessário.

Aqui está o somatório da “avaliação”.

Agora podemos calcular a integral definida.

Vimos vários métodos para lidar com o limite desse problema, então deixaremos para você verificar os resultados.

Uau, isso deu muito trabalho para uma função bastante simples. Existe uma maneira muito mais simples de avaliá-los e, eventualmente, chegaremos a ela. O objetivo principal desta seção é tirar do caminho as principais propriedades e fatos sobre a integral definida. Discutiremos como os calculamos na prática, começando com a próxima seção.

Então, vamos começar a dar uma olhada em algumas das propriedades da integral definida.

Propriedades

  1. ( displaystyle int _ << , a >> ^ << , b >> <> = - int _ << , b >> ^ << , a >> <> ). Podemos trocar os limites de qualquer integral definida, tudo o que precisamos fazer é colocar um sinal de menos na integral quando o fizermos.

Consulte a seção Prova de várias propriedades integrais do capítulo Extras para a prova das propriedades 1 - 4. A propriedade 5 não é fácil de provar e, portanto, não é mostrada lá. A propriedade 6 não é realmente uma propriedade no sentido pleno da palavra. É apenas aqui para reconhecer que, desde que a função e os limites sejam os mesmos, não importa que letra usamos para a variável. A resposta será a mesma.

Vamos fazer alguns exemplos de como lidar com essas propriedades.

Todas as soluções para esses problemas dependerão do fato que comprovamos no primeiro exemplo. Ou seja,

Nesse caso, a única diferença entre os dois é que os limites foram trocados. Então, usar a primeira propriedade dá,

Para esta parte, observe que podemos fatorar 10 de ambos os termos e, em seguida, da integral usando a terceira propriedade.

Neste caso, a única diferença é a letra utilizada e, portanto, será utilizada apenas a propriedade 6.

Aqui estão alguns exemplos usando as outras propriedades.

Realmente não há nada a ver com esta integral, uma vez que percebemos que os limites são os mesmos. Usando a segunda propriedade,

Primeiro precisaremos usar a quarta propriedade para quebrar a integral e a terceira propriedade para fatorar as constantes.

Agora observe que os limites da primeira integral são trocados com os limites da integral dada, então troque-os usando a primeira propriedade acima (e adicionando um sinal de menos, é claro). Feito isso, podemos inserir os valores conhecidos das integrais.

Este exemplo é principalmente um exemplo da propriedade 5, embora também haja alguns usos da propriedade 1 na solução.

Precisamos descobrir como quebrar corretamente a integral usando a propriedade 5 para nos permitir usar as informações fornecidas. Primeiro, vamos notar que há uma integral que tem um “-5” em um dos limites. Não é o limite inferior, mas podemos usar a propriedade 1 para corrigir isso eventualmente. O outro limite é 100, então este é o número (c ) que usaremos na propriedade 5.

Seremos capazes de obter o valor da primeira integral, mas a segunda ainda não está na lista de integrais conhecidas. No entanto, temos a segunda integral que tem um limite de 100. O outro limite para esta segunda integral é -10 e será (c ) nesta aplicação da propriedade 5.

Neste ponto, tudo o que precisamos fazer é usar a propriedade 1 na primeira e na terceira integral para obter os limites para corresponder às integrais conhecidas. Depois disso, podemos conectar as integrais conhecidas.

Existem também algumas propriedades interessantes que podemos usar na comparação do tamanho geral de integrais definidas. Aqui estão eles.

Mais propriedades

Consulte a seção Prova de várias propriedades integrais do capítulo Extras para obter a prova dessas propriedades.

Interpretações do Integral Definido

Existem algumas interpretações rápidas da integral definida que podemos dar aqui.

Primeiro, como aludimos na seção anterior, uma interpretação possível da integral definida é dar a área líquida entre o gráfico de (f left (x right) ) e o eixo (x ) - no intervalo ( left [ certo]). Portanto, a área líquida entre o gráfico de (f left (x right) = + 1 ) e o eixo (x ) - em ( left [<0,2> right] ) é,

Se você olhar para trás na última seção, esta foi a área exata que foi fornecida para o conjunto inicial de problemas que examinamos nesta área.

Outra interpretação às vezes é chamada de Teorema da Mudança na Rede. Esta interpretação diz que se (f left (x right) ) é alguma quantidade (então (f ' left (x right) ) é a taxa de variação de (f left (x right) )), então,

é a variação líquida em (f left (x right) ) no intervalo ( left [ certo]). Em outras palavras, calcule a integral definida de uma taxa de mudança e você obterá a mudança líquida na quantidade. Podemos ver que o valor da integral definida, (f left (b right) - f left (a right) ), de fato nos dá a variação líquida em (f left (x certo) ) e então realmente não há nada a provar com esta afirmação. Na verdade, isso é apenas um reconhecimento do que a integral definida de uma taxa de variação nos diz.

Então, como um exemplo rápido, se (V left (t right) ) é o volume de água em um tanque, então,

é a variação líquida no volume conforme avançamos com o tempo () com o tempo ().

Da mesma forma, se (s left (t right) ) é a função que dá a posição de algum objeto no tempo (t ) sabemos que a velocidade do objeto a qualquer momento (t ) é: (v left (t right) = s ' left (t right) ). Portanto, o deslocamento do objeto tempo () com o tempo () é,

Observe que, neste caso, se (v left (t right) ) é positivo e negativo (ou seja, o objeto se move para a direita e para a esquerda) no período de tempo, isso NÃO dará a distância total percorrida. Isso só vai dar o deslocamento, ou seja, a diferença entre onde o objeto começou e onde acabou. Para obter a distância total percorrida por um objeto, teríamos que calcular,

É importante notar aqui que o Teorema da Mudança na Rede só faz sentido se estivermos integrando uma derivada de uma função.

Teorema Fundamental do Cálculo, Parte I

Conforme observado pelo título acima, esta é apenas a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo. Daremos a segunda parte na próxima seção, pois é a chave para calcular facilmente integrais definidos e esse é o assunto da próxima seção.

A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo nos diz como diferenciar certos tipos de integrais definidos e também nos fala sobre a relação muito próxima entre integrais e derivados.

Teorema Fundamental do Cálculo, Parte I

If (fleft( x ight)) is continuous on (left[ ight]) then,

is continuous on (left[ ight]) and it is differentiable on (left( ight)) and that,

[g'left( x ight) = fleft( x ight)]

An alternate notation for the derivative portion of this is,

To see the proof of this see the Proof of Various Integral Properties section of the Extras chapter.

Let’s check out a couple of quick examples using this.

This one is nothing more than a quick application of the Fundamental Theorem of Calculus.

This one needs a little work before we can use the Fundamental Theorem of Calculus. The first thing to notice is that the Fundamental Theorem of Calculus requires the lower limit to be a constant and the upper limit to be the variable. So, using a property of definite integrals we can interchange the limits of the integral we just need to remember to add in a minus sign after we do that. Doing this gives,

The next thing to notice is that the Fundamental Theorem of Calculus also requires an (x) in the upper limit of integration and we’ve got x 2 . To do this derivative we’re going to need the following version of the chain rule.

So, if we let u= x 2 we use the chain rule to get,

The final step is to get everything back in terms of (x).

Using the chain rule as we did in the last part of this example we can derive some general formulas for some more complicated problems.

This is simply the chain rule for these kinds of problems.

Next, we can get a formula for integrals in which the upper limit is a constant and the lower limit is a function of (x). All we need to do here is interchange the limits on the integral (adding in a minus sign of course) and then using the formula above to get,

Finally, we can also get a version for both limits being functions of (x). In this case we’ll need to use Property 5 above to break up the integral as follows,

We can use pretty much any value of (a) when we break up the integral. The only thing that we need to avoid is to make sure that (fleft( a ight)) exists. So, assuming that (fleft( a ight)) exists after we break up the integral we can then differentiate and use the two formulas above to get,


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Conteúdo

The arithmetic mean is the most commonly used and readily understood measure of central tendency in a data set. In statistics, the term average refers to any of the measures of central tendency. The arithmetic mean of a set of observed data is defined as being equal to the sum of the numerical values of each and every observation, divided by the total number of observations. Symbolically, if we have a data set consisting of the values a 1 , a 2 , … , a n ,a_<2>,ldots ,a_> , then the arithmetic mean A is defined by the formula:

For example, consider the monthly salary of 10 employees of a firm: 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2600, 2400. The arithmetic mean is

If the data set is a statistical population (i.e., consists of every possible observation and not just a subset of them), then the mean of that population is called the population mean, and denoted by the Greek letter μ . [2] If the data set is a statistical sample (a subset of the population), then we call the statistic resulting from this calculation a sample mean (which for a data set X is denoted as X ¯ >> [2] ).

The arithmetic mean can be similarly defined for vectors in multiple dimension, not only scalar values this is often referred to as a centroid. More generally, because the arithmetic mean is a convex combination (coefficients sum to 1), it can be defined on a convex space, not only a vector space.

The arithmetic mean has several properties that make it useful, especially as a measure of central tendency. These include:

  • If numbers x 1 , … , x n ,dotsc ,x_> have mean x ¯ >> , then ( x 1 − x ¯ ) + ⋯ + ( x n − x ¯ ) = 0 -<ar >)+dotsb +(x_-<ar >)=0> . Since x i − x ¯ -<ar >> is the distance from a given number to the mean, one way to interpret this property is as saying that the numbers to the left of the mean are balanced by the numbers to the right of the mean. The mean is the only single number for which the residuals (deviations from the estimate) sum to zero.
  • If it is required to use a single number as a "typical" value for a set of known numbers x 1 , … , x n ,dotsc ,x_> , then the arithmetic mean of the numbers does this best, in the sense of minimizing the sum of squared deviations from the typical value: the sum of ( x i − x ¯ ) 2 -<ar >)^<2>> . (It follows that the sample mean is also the best single predictor in the sense of having the lowest root mean squared error.) [3] If the arithmetic mean of a population of numbers is desired, then the estimate of it that is unbiased is the arithmetic mean of a sample drawn from the population.

There are applications of this phenomenon in many fields. For example, since the 1980s, the median income in the United States has increased more slowly than the arithmetic average of income. [5]

Weighted average Edit

Continuous probability distributions Edit

If a numerical property, and any sample of data from it, could take on any value from a continuous range, instead of, for example, just integers, then the probability of a number falling into some range of possible values can be described by integrating a continuous probability distribution across this range, even when the naive probability for a sample number taking one certain value from infinitely many is zero. The analog of a weighted average in this context, in which there are an infinite number of possibilities for the precise value of the variable in each range, is called the mean of the probability distribution. A most widely encountered probability distribution is called the normal distribution it has the property that all measures of its central tendency, including not just the mean but also the aforementioned median and the mode (the three M's [7] ), are equal to each other. This equality does not hold for other probability distributions, as illustrated for the log-normal distribution here.

Angles Edit

Particular care must be taken when using cyclic data, such as phases or angles. Naively taking the arithmetic mean of 1° and 359° yields a result of 180°. This is incorrect for two reasons:

  • Firstly, angle measurements are only defined up to an additive constant of 360° (or 2π, if measuring in radians). Thus one could as easily call these 1° and −1°, or 361° and 719°, since each one of them gives a different average.
  • Secondly, in this situation, 0° (equivalently, 360°) is geometrically a better average value: there is lower dispersion about it (the points are both 1° from it, and 179° from 180°, the putative average).

In general application, such an oversight will lead to the average value artificially moving towards the middle of the numerical range. A solution to this problem is to use the optimization formulation (viz., define the mean as the central point: the point about which one has the lowest dispersion), and redefine the difference as a modular distance (i.e., the distance on the circle: so the modular distance between 1° and 359° is 2°, not 358°).

The arithmetic mean is often denoted by a bar, for example as in x ¯ >> (read x bar). [2] [3]

Some software (text processors, web browsers) may not display the x̄ symbol properly. For example, the x̄ symbol in HTML is actually a combination of two codes - the base letter x plus a code for the line above (&#772 or ¯). [8]

In some texts, such as pdfs, the x̄ symbol may be replaced by a cent (¢) symbol (Unicode &#162), when copied to text processor such as Microsoft Word.


4.1: Basic Definitions - Mathematics

In this section we’re going to be taking a look at the precise, mathematical definition of the three kinds of limits we looked at in this chapter. We’ll be looking at the precise definition of limits at finite points that have finite values, limits that are infinity and limits at infinity. We’ll also give the precise, mathematical definition of continuity.

Let’s start this section out with the definition of a limit at a finite point that has a finite value.

Definição 1

if for every number (varepsilon > 0) there is some number (delta > 0) such that

Wow. That’s a mouth full. Now that it’s written down, just what does this mean?

Let’s take a look at the following graph and let’s also assume that the limit does exist.

What the definition is telling us is that for algum number (varepsilon > 0) that we pick we can go to our graph and sketch two horizontal lines at (L + varepsilon ) and (L - varepsilon ) as shown on the graph above. Then somewhere out there in the world is another number (delta > 0), which we will need to determine, that will allow us to add in two vertical lines to our graph at (a + delta ) and (a - delta ).

If we take any (x) in the pink region, ou seja, between (a + delta ) and (a - delta ), then this (x) will be closer to (a) than either of (a + delta ) and (a - delta ). Or,

If we now identify the point on the graph that our choice of (x) gives, then this point on the graph will lie in the intersection of the pink and yellow region. This means that this function value (fleft( x ight)) will be closer to (L) than either of (L + varepsilon ) and (L - varepsilon ). Or,

If we take any value of (x) in the pink region then the graph for those values of (x) will lie in the yellow region.

Notice that there are actually an infinite number of possible (delta)'s that we can choose. In fact, if we go back and look at the graph above it looks like we could have taken a slightly larger (delta) and still gotten the graph from that pink region to be completely contained in the yellow region.

Also, notice that as the definition points out we only need to make sure that the function is defined in some interval around (x = a) but we don’t really care if it is defined at (x = a). Remember that limits do not care what is happening at the point, they only care what is happening around the point in question.

Okay, now that we’ve gotten the definition out of the way and made an attempt to understand it let’s see how it’s actually used in practice.

These are a little tricky sometimes and it can take a lot of practice to get good at these so don’t feel too bad if you don’t pick up on this stuff right away. We’re going to be looking at a couple of examples that work out fairly easily.

In this case both (L) and (a) are zero. So, let (varepsilon > 0) be any number. Don’t worry about what the number is, (varepsilon ) is just some arbitrary number. Now according to the definition of the limit, if this limit is to be true we will need to find some other number (delta > 0) so that the following will be true.

Or upon simplifying things we need,

Often the way to go through these is to start with the left inequality and do a little simplification and see if that suggests a choice for (delta ). We’ll start by bringing the exponent out of the absolute value bars and then taking the square root of both sides.

[ < varepsilon hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>left| x right | < sqrt varepsilon ]

Now, the results of this simplification looks an awful lot like (0 < left| x ight| < delta ) with the exception of the “(0 < )” part. Missing that however isn’t a problem, it is just telling us that we can’t take (x = 0). So, it looks like if we choose (delta = sqrt varepsilon ) we should get what we want.

We’ll next need to verify that our choice of (delta ) will give us what we want, ou seja,,

[left| <> ight| < varepsilon hspace<0.5in>>hspace<0.5in>0 < left| x right | < sqrt varepsilon ]

Verification is in fact pretty much the same work that we did to get our guess. First, let’s again let (varepsilon > 0) be any number and then choose (delta = sqrt varepsilon ). Now, assume that (0 < left| x ight| < sqrt varepsilon ). We need to show that by choosing (x) to satisfy this we will get,

To start the verification process, we’ll start with (left| <> ight|) and then first strip out the exponent from the absolute values. Once this is done we’ll use our assumption on (x), namely that (left| x ight| < sqrt varepsilon ). Doing all this gives,

Or, upon taking the middle terms out, if we assume that (0 < left| x ight| < sqrt varepsilon ) then we will get,

and this is exactly what we needed to show.

So, just what have we done? We’ve shown that if we choose (varepsilon > 0) then we can find a (delta > 0) so that we have,

[left| <- 0> ight| < varepsilon hspace<0.5in>>hspace<0.5in>0 < left| certo | < sqrt varepsilon ]

and according to our definition this means that,

These can be a little tricky the first couple times through. Especially when it seems like we’ve got to do the work twice. In the previous example we did some simplification on the left-hand inequality to get our guess for (delta ) and then seemingly went through exactly the same work to then prove that our guess was correct. This is often how these work, although we will see an example here in a bit where things don’t work out quite so nicely.

So, having said that let’s take a look at a slightly more complicated limit, although this one will still be fairly similar to the first example.

We’ll start this one out the same way that we did the first one. We won’t be putting in quite the same amount of explanation however.

Let’s start off by letting (varepsilon > 0) be any number then we need to find a number (delta > 0) so that the following will be true.

We’ll start by simplifying the left inequality in an attempt to get a guess for (delta ). Doing this gives,

[left| ight) - 6> ight| = left| <5x - 10> ight| = 5left| certo | < varepsilon hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>left| certo | < frac<5>]

So, as with the first example it looks like if we do enough simplification on the left inequality we get something that looks an awful lot like the right inequality and this leads us to choose (delta = frac<5>).

Let’s now verify this guess. So, again let (varepsilon > 0) be any number and then choose (delta = frac<5>). Next, assume that (0 < left| certo | < delta = frac<5>) and we get the following,

and so by our definition we have,

Okay, so again the process seems to suggest that we have to essentially redo all our work twice, once to make the guess for (delta ) and then another time to prove our guess. Let’s do an example that doesn’t work out quite so nicely.

So, let’s get started. Let (varepsilon > 0) be any number then we need to find a number (delta > 0) so that the following will be true.

We’ll start the guess process in the same manner as the previous two examples.

[left| + x - 11> ight) - 9> ight| = left| <+ x - 20> ight| = left| ight)left( ight)> ight| = left| ight|left| certo | < varepsilon ]

Okay, we’ve managed to show that (left| + x - 11> ight) - 9> ight| < varepsilon ) is equivalent to (left| ight|left| certo | < varepsilon ). However, unlike the previous two examples, we’ve got an extra term in here that doesn’t show up in the right inequality above. If we have any hope of proceeding here we’re going to need to find some way to deal with the (left| ight|).

To do this let’s just note that if, by some chance, we can show that (left| certo | < K) for some number (K) then, we’ll have the following,

If we now assume that what we really want to show is (Kleft| certo | < varepsilon ) instead of (left| ight|left| certo | < varepsilon ) we get the following,

This is starting to seem familiar isn’t it?

All this work however, is based on the assumption that we can show that (left| certo | < K) for some (K). Without this assumption we can’t do anything so let’s see if we can do this.

Let’s first remember that we are working on a limit here and let’s also remember that limits are only really concerned with what is happening around the point in question, (x = 4) in this case. So, it is safe to assume that whatever (x) is, it must be close to (x = 4). This means we can safely assume that whatever (x) is, it is within a distance of, say one of (x = 4). Or in terms of an inequality, we can assume that,

Why choose 1 here? There is no reason other than it’s a nice number to work with. We could just have easily chosen 2, or 5, or (< extstyle<1 over 3>>). The only difference our choice will make is on the actual value of (K) that we end up with. You might want to go through this process with another choice of (K) and see if you can do it.

So, let’s start with (left| certo | < 1) and get rid of the absolute value bars and this solve the resulting inequality for (x) as follows,

[ - 1 < x - 4 < 1hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>3 < x < 5]

If we now add 5 to all parts of this inequality we get,

Now, since (x + 5 > 8 > 0) (the positive part is important here) we can say that, provided (left| certo | < 1) we know that (x + 5 = left| ight|). Or, if take the double inequality above we have,

[8 < x + 5 = left| certo | < 10hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.25in>,,,,left| certo | < 10hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>K = 10]

So, provided (left| certo | < 1) we can see that (left| certo | < 10) which in turn gives us,

So, to this point we make two assumptions about (left| ight|) We’ve assumed that,

It may not seem like it, but we’re now ready to choose a (delta ). In the previous examples we had only a single assumption and we used that to give us (delta ). In this case we’ve got two and they BOTH need to be true. So, we’ll let (delta ) be the smaller of the two assumptions, 1 and (frac<<10>>). Mathematically, this is written as,

By doing this we can guarantee that,

Now that we’ve made our choice for (delta ) we need to verify it. So, (varepsilon > 0) be any number and then choose(delta = min left< <1,frac<<10>>> ight>). Assume that (0 < left| certo | < delta = min left< <1,frac<<10>>> ight>). First, we get that,

[0 < left| certo | < delta le 1hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>left| certo | < 1hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.5in>left| certo | < 10]

Finally, all we need to do is,

We’ve now managed to show that,

and so by our definition we have,

Okay, that was a lot more work that the first two examples and unfortunately, it wasn’t all that difficult of a problem. Well, maybe we should say that in comparison to some of the other limits we could have tried to prove it wasn’t all that difficult. When first faced with these kinds of proofs using the precise definition of a limit they can all seem pretty difficult.

Do not feel bad if you don’t get this stuff right away. It’s very common to not understand this right away and to have to struggle a little to fully start to understand how these kinds of limit definition proofs work.

Next, let’s give the precise definitions for the right- and left-handed limits.

Definição 2

if for every number (varepsilon > 0) there is some number (delta > 0) such that

Definition 3

if for every number (varepsilon > 0) there is some number (delta > 0) such that

Note that with both of these definitions there are two ways to deal with the restriction on (x) and the one in parenthesis is probably the easier to use, although the main one given more closely matches the definition of the normal limit above.

Let’s work a quick example of one of these, although as you’ll see they work in much the same manner as the normal limit problems do.

Let (varepsilon > 0) be any number then we need to find a number (delta > 0) so that the following will be true.

Or upon a little simplification we need to show,

As with the previous problems let’s start with the left-hand inequality and see if we can’t use that to get a guess for (delta ). The only simplification that we really need to do here is to square both sides.

So, it looks like we can choose (delta = ).

Let’s verify this. Let (varepsilon > 0) be any number and chose (delta = ). Next assume that (0 < x < ). This gives,

and so by the definition of the right-hand limit we have,

Let’s now move onto the definition of infinite limits. Here are the two definitions that we need to cover both possibilities, limits that are positive infinity and limits that are negative infinity.

Definition 4

if for every number (M > 0) there is some number (delta > 0) such that

Definition 5

if for every number (N < 0) there is some number (delta > 0) such that

In these two definitions note that (M) must be a positive number and that (N) must be a negative number. That’s an easy distinction to miss if you aren’t paying close attention.

Also note that we could also write down definitions for one-sided limits that are infinity if we wanted to. We’ll leave that to you to do if you’d like to.

Here is a quick sketch illustrating Definition 4.

What Definition 4 is telling us is that no matter how large we choose (M) to be we can always find an interval around (x = a), given by (0 < left| certo | < delta ) for some number (delta ), so that as long as we stay within that interval the graph of the function will be above the line (y = M) as shown in the graph above. Also note that we don’t need the function to actually exist at (x = a) in order for the definition to hold. This is also illustrated in the graph above.

Note as well that the larger (M) is the smaller we’re probably going to need to make (delta ).

To see an illustration of Definition 5 reflect the above graph about the (x)-axis and you’ll see a sketch of Definition 5.

Let’s work a quick example of one of these to see how these differ from the previous examples.

These work in pretty much the same manner as the previous set of examples do. The main difference is that we’re working with an (M) now instead of an (varepsilon ). So, let’s get going.

Let (M > 0) be any number and we’ll need to choose a (delta > 0) so that,

As with the all the previous problems we’ll start with the left inequality and try to get something in the end that looks like the right inequality. To do this we’ll basically solve the left inequality for (x) and we’ll need to recall that (sqrt <> = left| x ight|). So, here’s that work.

So, it looks like we can choose (delta = frac<1><>). All we need to do now is verify this guess.

Let (M > 0) be any number, choose (delta = frac<1><>) and assume that (0 < left| x ight| < frac<1><>).

In the previous examples we tried to show that our assumptions satisfied the left inequality by working with it directly. However, in this, the function and our assumption on (x) that we’ve got actually will make this easier to start with the assumption on (x) and show that we can get the left inequality out of that. Note that this is being done this way mostly because of the function that we’re working with and not because of the type of limit that we’ve got.

So, we’ve managed to show that,

and so by the definition of the limit we have,

For our next set of limit definitions let’s take a look at the two definitions for limits at infinity. Again, we need one for a limit at plus infinity and another for negative infinity.

Definition 6

if for every number (varepsilon > 0) there is some number (M > 0) such that

Definition 7

if for every number (varepsilon > 0) there is some number (N < 0) such that

To see what these definitions are telling us here is a quick sketch illustrating Definition 6. Definition 6 tells us is that no matter how close to (L) we want to get, mathematically this is given by (left| certo | < varepsilon ) for any chosen (varepsilon ), we can find another number (M) such that provided we take any (x) bigger than (M), then the graph of the function for that (x) will be closer to (L) than either (L - varepsilon ) and (L + varepsilon ). Or, in other words, the graph will be in the shaded region as shown in the sketch below.

Finally, note that the smaller we make (varepsilon ) the larger we’ll probably need to make (M).

Here’s a quick example of one of these limits.

Let (varepsilon > 0) be any number and we’ll need to choose a (N < 0) so that,

Getting our guess for (N) isn’t too bad here.

Since we’re heading out towards negative infinity it looks like we can choose (N = - frac<1>). Note that we need the “-” to make sure that (N) is negative (recall that (varepsilon > 0)).

Let’s verify that our guess will work. Let (varepsilon > 0) and choose (N = - frac<1>) and assume that (x < - frac<1>). As with the previous example the function that we’re working with here suggests that it will be easier to start with this assumption and show that we can get the left inequality out of that.

Note that when we took the absolute value of both sides we changed both sides from negative numbers to positive numbers and so also had to change the direction of the inequality.

and so by the definition of the limit we have,

For our final limit definition let’s look at limits at infinity that are also infinite in value. There are four possible limits to define here. We’ll do one of them and leave the other three to you to write down if you’d like to.

Definition 8

if for every number (N > 0) there is some number (M > 0) such that

The other three definitions are almost identical. The only differences are the signs of (M) and/or (N) and the corresponding inequality directions.

As a final definition in this section let’s recall that we previously said that a function was continuous if,

[mathop limits_ fleft( x ight) = fleft( a ight)]

So, since continuity, as we previously defined it, is defined in terms of a limit we can also now give a more precise definition of continuity. Aqui está,

Definition 9

This definition is very similar to the first definition in this section and of course that should make some sense since that is exactly the kind of limit that we’re doing to show that a function is continuous. The only real difference is that here we need to make sure that the function is actually defined at (x = a), while we didn’t need to worry about that for the first definition since limits don’t really care what is happening at the point.

We won’t do any examples of proving a function is continuous at a point here mostly because we’ve already done some examples. Go back and look at the first three examples. In each of these examples the value of the limit was the value of the function evaluated at (x = a) and so in each of these examples not only did we prove the value of the limit we also managed to prove that each of these functions are continuous at the point in question.


A related idea is that of the sth moment about the mean. In this calculation we perform the following steps:

  1. First, calculate the mean of the values.
  2. Next, subtract this mean from each value.
  3. Then raise each of these differences to the sth power.
  4. Now add the numbers from step #3 together.
  5. Finally, divide this sum by the number of values we started with.

The formula for the sth moment about the mean m of the values values x1, x2, x3, . xn É dado por:


Expression - Definition with Examples

An expression is a sentence with a minimum of two numbers and at least one math operation. This math operation can be addition, subtraction, multiplication, and division. The structure of an expression is:

Expression = (Number, Math Operator, Number)

Por exemplo,

In all the given expressions, a math operator is used between the two numbers.

A math expression is different from a math equation. An equation will always use an equivalent (=) operator between two math expressions.

Por exemplo,

The structure of defining math expression advances in different grades. In early grades, children are expected to write math expressions using numbers and operators. Later on, words help students to form a math expression.

Let&rsquos consider a word problem.

Tom has to fill a box with oranges and apples. The number of apples should be 5 more than oranges. Tom picks 3 oranges each time and repeats it 5 times. Count the total number of oranges and apples.

To solve this, formulate the math expressions as follows:

Number of apples = Number of oranges + 5

Total number of fruits = Number of oranges + Number of apples

Third math expression will be:

Application

The knowledge of applying math operations on numbers is the first step towards building basic arithmetic reasoning and logic in children. Formulation of math expressions using the respective skill lays a strong foundation to learn algebra and translate real-life problems in suitable mathematical models.

Each statistical test and model uses a set of mathematical expressions to analyze quantitative data

Computers were invented to primarily compute long math expressions within a fraction of second


The Complete Mathematical Terms Dictionary

Understanding math concepts is critical in our world today. Math is used daily by nearly everyone, from lay persons to highly degreed professionals. Situations in which math is used vary from simply balancing a checkbook or calculating the amount of change due from a store transaction all the way to making blueprints for an office building or house and the construction of those buildings. Understanding how to solve math problems becomes easier as one learns math terminology. Below is a list of many common math terms and their definitions.

Acute angle – An angle which measures below 90°.

Acute triangle – A triangle containing only acute angles.

Additive inverse – The opposite of a number or its negative. A number plus its additive inverse equals 0.

Adjacent angles – Angles with a common side and vertex.

Angle – Created by two rays and containing an endpoint in common.

Arc – A set of points that lie on a circle and that are positioned within a central angle.

Area – The space contained within a shape.

Average – The numerical result of dividing the sum of two or more quantities by the number of quantities.

Binomial – An expression in algebra that consists of two terms.

Bisect – To divide into two equal sections.

Canceling – In multiplication of fractions, when one number is divided into both a numerator and a denominator.

Cartesian coordinates – Ordered number pairs that are assigned to points on a plane.

Chord – A line segment that connects two points on a circle.

Circle – A set of points that are all the same distance from a given point.

Circumference – The distance measured around a circle.

Coefficient – A number that is placed in front of a variable. For example, in 6x, 6 is the coefficient.

Common denominator – A number that can be divided evenly by all denominators in the problem.

Complementary angles – Two angles in which the sum of their measurements equals 90°.

Complex fraction – A fraction that contains a fraction or fractions in the numerator and/or denominator.

Congruent – Exactly the same. Identical in regard to size and shape.

Coordinate graph – Two perpendicular number lines, the x axis and the y axis, which make a plane upon which each point is assigned a pair of numbers.

Cube – A solid with six sides, with the sides being equal squares and the edges being equal. Also, the resulting number when a number is multiplied by itself twice.

Cube root – A number that when multiplied by itself twice gives the original number. For example, 4 is the cube root of 64.

Decimal fraction – Fraction with a denominator of 10, 100, 1,000, etc., written using a decimal point.

Degree – The measurement unit of an angle.

Denominator – The bottom symbol or number of a fraction.

Diameter – A line segment that contains the center and has its endpoints on the circle. Also, the length of this segment.

Difference – That which results from subtraction.

Equation – A relationship between symbols and/or numbers that is balanced.

Equilateral triangle – A triangle that has three equal angles and three sides the same length.

Even number – An integer which can be divided by 2, with no remainder.

Expanded notation – To point out the place value of a digit by writing the number as the digit times its place value.

Exponent – A positive or negative number that expresses the power to which the quantity is to be raised or lowered. It is placed above and to the right of the number.

Exterior angle – In a triangle, an exterior angle i s equal to the measures of the two interior angles added together.

Factor – As a noun, it is a number or symbol which divides evenly into a larger number. As a verb, it means to find two or more values whose product equals the original value.

F.O.I.L. Method – A method used for multiplying binomials in which the first terms, the outside terms, the inside terms, and then the last terms are multiplied.

Fração - Um símbolo que expressa parte de um todo. Ele contém um numerador e um denominador.

Maior fator comum - O maior fator comum a dois ou mais números.

Hipotenusa - Em um triângulo retângulo, é o lado oposto do ângulo de 90 °.

Número imaginário - a raiz quadrada de um número negativo.

Fração imprópria - uma fração em que o numerador é maior que o denominador.

Inteiro - um número inteiro. Pode ser positivo, negativo ou zero.

Ângulos internos - ângulos formados dentro da forma ou dentro de duas linhas paralelas.

Linhas de intersecção - linhas que se juntam em um ponto.

Intervalo - os números que estão contidos em dois limites específicos.

Número irracional - um número que não é racional (não pode ser escrito como uma fração x / y, com x um número natural ey um inteiro).

Triângulo isósceles - Um triângulo com dois lados iguais e dois ângulos iguais entre eles.

Mínimo múltiplo comum - O menor múltiplo comum a dois ou mais números.

Equação linear - uma equação em que o conjunto de soluções forma uma linha reta quando é plotado em um gráfico de coordenadas.

Menor denominador comum - o menor número que pode ser dividido igualmente por todos os denominadores no problema.

Média - A média de vários itens em um grupo (totalize os itens e divida pelo número de itens).

Mediana - O item do meio em um grupo ordenado. Se o grupo tiver um número par de itens, a mediana é a média dos dois termos do meio.

Número misto - um número que contém um número inteiro e uma fração.

Monomial - Uma expressão em álgebra que consiste em apenas um termo.

Número natural - um número de contagem.

Número negativo - um número menor que zero.

Equação não linear - Uma equação em que o conjunto de soluções não forma uma linha reta quando é plotado em um gráfico de coordenadas.

Linha numérica - uma representação visual dos números positivos e negativos e zero.

Numerador - o símbolo superior ou número de uma fração.

Ângulo obtuso - um ângulo maior que 90 °, mas menor que 180 °.

Triângulo obtuso - Um triângulo que contém um ângulo obtuso.

Número ímpar - um número inteiro (número inteiro) que não é divisível uniformemente por 2.

Par ordenado - qualquer par de elementos (x, y) em que o primeiro elemento é x e o segundo elemento é y. Eles são usados ​​para identificar ou plotar pontos em gráficos de coordenadas.

Origem - O ponto de interseção das duas retas numéricas de um gráfico de coordenadas. O ponto de interseção é representado pelas coordenadas (0,0).

Linhas paralelas - duas ou mais linhas que estão sempre à mesma distância. Eles nunca se encontram.

Porcentagem - uma fração comum com 100 como denominador.

Linhas perpendiculares - Duas linhas que se cruzam em ângulos retos.

Pi (π) - Uma constante usada para determinar a circunferência ou área de um círculo. É igual a aproximadamente 3,14.

Polinomial - Uma expressão em álgebra que consiste em dois ou mais termos.

Número positivo - um número maior que zero.

Potência - Um produto de fatores iguais. 3 x 3 x 3 = 3 3, lido como "três à terceira potência" ou "a terceira potência de três". Potência e expoente podem ser usados ​​alternadamente.

Número primo - um número que pode ser dividido apenas por ele mesmo e um.

Fração adequada - uma fração em que o numerador é menor que o denominador.

Proporção - escrita como duas proporções iguais. Por exemplo, 5 é para 4 como 10 é para 8 ou 5/4 = 10/8.

Teorema de Pitágoras - Um teorema relativo a triângulos retângulos. Afirma que a soma dos quadrados das duas pernas de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa (a 2 + b 2 = c 2).

Quadrantes - as quatro divisões em um gráfico de coordenadas.

Equação quadrática - Uma equação que pode ser expressa como Ax 2 + Bx + C = 0.

Sinal radical - um símbolo que designa uma raiz quadrada.

Raio - Um segmento de linha onde os pontos finais ficam um no centro de um círculo e um no círculo. O termo também se refere ao comprimento deste segmento.

Proporção - uma comparação entre dois números ou símbolos. Pode ser escrito x: y, x / y ou x é para y.

Número racional - um número inteiro ou fração, como 7/7 ou 9/4 ou 5/1. Qualquer número que pode ser escrito como uma fração x / y com x um número natural ey um inteiro.

Recíproco - O inverso multiplicativo de um número. Por exemplo, 2/3 é o recíproco de 3/2.

Reduzindo - alterando uma fração em seus termos mais baixos. Por exemplo, 3/6 é reduzido para ½.

Ângulo reto - um ângulo que mede 90 °.

Triângulo reto - um triângulo que contém um ângulo de 90 °.

Triângulo escaleno - Um triângulo em que nenhum dos lados ou ângulos são iguais.

Notação científica - um número entre 1 e 10 e multiplicado por uma potência de 10. Usado para escrever números muito grandes ou muito pequenos.

Conjunto - um grupo de objetos, números, etc.

Simplifique - Para combinar termos em menos termos.

Solução ou Conjunto de soluções - a totalidade de respostas que podem satisfazer a equação.

Quadrado - o número resultante quando um número é multiplicado por ele mesmo. Além disso, uma figura de quatro lados com lados iguais e quatro ângulos retos. Os lados opostos são paralelos.

Raiz quadrada - o número que, quando multiplicado por si mesmo, fornece o número original. Por exemplo, 6 é a raiz quadrada de 36.

Ângulo reto - um ângulo igual a 180 °.

Linha reta - a distância mais curta entre dois pontos. Ele continua indefinidamente em ambas as direções.

Ângulos suplementares - Dois ângulos que, quando combinados, a soma é igual a 180 °.

Termo - uma expressão literal ou numérica que tem seu próprio sinal.

Transversal - Uma linha que cruza duas ou mais linhas paralelas ou não paralelas em um plano.

Triângulo - Uma figura fechada de três lados. Ele contém três ângulos que, quando combinados, a soma é igual a 180 °.

Trinomial - uma expressão em álgebra que consiste em três termos.

Desconhecido - um símbolo ou letra cujo valor é desconhecido.

Variável - um símbolo que representa um número.

Ângulos verticais - os ângulos opostos que são formados pela interseção de duas linhas. Os ângulos verticais são iguais.

Volume - A quantidade que pode ser retida, medida em unidades cúbicas. O volume de um prisma retangular = comprimento vezes largura vezes altura.

Número inteiro - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.

Eixo X - O eixo horizontal em um gráfico de coordenadas.

Coordenada X - O primeiro número em um par ordenado. Refere-se à distância no eixo x.

Eixo Y - O eixo vertical em um gráfico de coordenadas.

Coordenada Y - O segundo número em um par ordenado. Refere-se à distância no eixo y.


Assista o vídeo: Logaritmo Matemática aula 1 de 2 (Outubro 2021).