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4.4: Limites infinitos. Operações em E *


Como observamos, o Teorema 1 de §3 não se aplica a limites infinitos, mesmo se os valores da função (f (x), g (x), h (x) ) permanecerem finitos (ou seja, (em E ^ {1}). ) Apenas em certos casos (declarados abaixo) podemos provar alguns análogos.

Existem alguns desses casos separados. Assim, por brevidade, devemos adotar uma espécie de taquigrafia matemática. A letra (q ) não denotará necessariamente uma constante; vai representar

[ text {"uma função} f: A rightarrow E ^ {1}, A subseteq (S, rho), text {tal que} f (x) rightarrow q in E ^ {1} text {as} x rightarrow p. text {"} ]

Da mesma forma, "0" e " ( pm infty )" representarão expressões análogas, com (q ) substituído por 0 e ( pm infty, ) respectivamente.

Por exemplo, a "fórmula abreviada" ((+ infty) + (+ infty) = + infty ) significa

[ text {"A soma de duas funções reais, com limite} + infty text {at} p text {} (p in S), text {é ela própria uma função com limite} + infty texto {at} p. texto {"} ]

O ponto (p ) é fixo, possivelmente ( pm infty left ( text {if} A subseteq E ^ {*} right). ) Com esta notação, temos os seguintes teoremas.

Teoremas

1. (( pm infty) + ( pm infty) = pm infty ).

2. (( pm infty) + q = q + ( pm infty) = pm infty ).

3. (( pm infty) cdot ( pm infty) = + infty ).

4. (( pm infty) cdot ( mp infty) = - infty ).

5. (| pm infty | = + infty ).

6. (( pm infty) cdot q = q cdot ( pm infty) = pm infty ) se (q> 0 ).

7. (( pm infty) cdot q = q cdot ( pm infty) = mp infty ) se (q <0 ).

8. (- ( pm infty) = mp infty ).

9. ( frac {( pm infty)} {q} = ( pm infty) cdot frac {1} {q} ) if (q neq 0 ).

10. ( frac {q} {( pm infty)} = 0 ).

11. ((+ infty) ^ {+ infty} = + infty ).

12. ((+ infty) ^ {- infty} = 0 ).

13. ((+ infty) ^ {q} = + infty ) se (q> 0 ).

14. ((+ infty) ^ {q} = 0 ) se (q <0 ).

15. Se (q> 1, ) então (q ^ {+ infty} = + infty ) e (q ^ {- infty} = 0 ).

16. Se (0

Prova

Provamos os Teoremas 1 e 2, deixando o resto como problemas. (Teoremas 11-16 são melhor adiados até que a teoria dos logaritmos seja desenvolvida.)

1. Seja (f (x) ) e (g (x) rightarrow + infty ) como (x rightarrow p. ) Temos que mostrar que

[f (x) + g (x) rightarrow + infty, ]

ou seja, aquele

[ left ( forall b in E ^ {1} right) ( exists delta> 0) left ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) + g (x)> b ]

(podemos assumir que (b> 0). ) Assim, fixe (b> 0. ) Como (f (x) ) e (g (x) rightarrow + infty, ) existem ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime}> 0 ) de modo que

[ left ( forall x in A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime} right) right) f (x)> b text {e} left ( forall x in A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime prime} right) right) g (x)> b. ]

Vamos ( delta = min left ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime} right). ) Então

[ left ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) + g (x)> b + b> b, ]

como requerido; da mesma forma para o caso de (- infty ).

2. Seja (f (x) rightarrow + infty ) e (g (x) rightarrow q in E ^ {1}. ) Então há ( delta ^ { prime}> 0 ) de modo que para (x ) em (A cap G _ { neg p} left ( delta ^ { prime} right), | qg (x) | <1, ) de modo que ( g (x)> q-1 ).

Além disso, dado qualquer (b in E ^ {1}, ) existe ( delta ^ { prime prime} ) tal que

[ left ( forall x in A cap G _ {- p} left ( delta ^ { prime prime} right) right) quad f (x)> b-q + 1. ]

Vamos ( delta = min left ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime} right). ) Então

[ left ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad f (x) + g (x)> (b-q + 1) + (q-1 ) = b, ]

como requerido; da mesma forma para o caso de (f (x) rightarrow- infty ).

Cuidado: Nenhum teorema deste tipo existe para os seguintes casos (que, portanto, são chamados expressões indeterminadas):

[(+ infty) + (- infty), quad ( pm infty) cdot 0, quad frac { pm infty} { pm infty}, quad frac {0} {0}, quad ( pm infty) ^ {0}, quad 0 ^ {0}, quad 1 ^ { pm infty}. ]

Nestes casos, não basta conhecer apenas os limites de (f ) e (g. ). É necessário investigar as próprias funções para dar uma resposta definitiva, pois em cada caso a resposta pode ser diferente, dependendo das propriedades de (f ) e (g. ) As expressões (1 *) permanecem indeterminados mesmo se considerarmos os tipos mais simples de funções, a saber, sequências, como mostraremos a seguir.

Exemplos

(a) Deixe

[u_ {m} = 2 m text {e} v_ {m} = - m. ]

(Isso corresponde a (f (x) = 2 x ) e (g (x) = - x.) ) Então, como é facilmente visto,

[u_ {m} rightarrow + infty, v_ {m} rightarrow- infty, text {e} u_ {m} + v_ {m} = 2 m-m = m rightarrow + infty. ]

Se, no entanto, tomarmos (x_ {m} = 2 m ) e (y_ {m} = - 2 m, ) então

[x_ {m} + y_ {m} = 2 m-2 m = 0; ]

assim, (x_ {m} + y_ {m} ) é constante, com limite 0 (para o limite de uma função constante é igual a seu valor; consulte §1, Exemplo (a)).

A seguir vamos

[u_ {m} = 2 m text {e} z_ {m} = - 2 m + (- 1) ^ {m}. ]

Então novamente

[u_ {m} rightarrow + infty text {e} z_ {m} rightarrow- infty, text {mas} u_ {m} + z_ {m} = (- 1) ^ {m}; ]

(u_ {m} + z_ {m} ) "oscila" de (- 1 ) a 1 como (m rightarrow + infty, ) então não tem limite algum.

Esses exemplos mostram que ((+ infty) + (- infty) ) é de fato uma expressão indeterminada, pois a resposta depende da natureza das funções envolvidas. Nenhuma resposta geral é possível.

(b) Agora mostramos que (1 ^ {+ infty} ) é indeterminado.

Pegue primeiro uma constante ( left {x_ {m} right }, x_ {m} = 1, ) e deixe (y_ {m} = m. ) Então

[x_ {m} rightarrow 1, y_ {m} rightarrow + infty, text {e} x_ {m} ^ {y_ {m}} = 1 ^ {m} = 1 = x_ {m} rightarrow 1. ]

Se, no entanto, (x_ {m} = 1 + frac {1} {m} ) e (y_ {m} = m, ) então novamente (y_ {m} rightarrow + infty ) e (x_ {m} rightarrow 1 ) (pelo Teorema 10 acima e Teorema 1 do Capítulo 3, §15), mas

[x_ {m} ^ {y_ {m}} = left (1+ frac {1} {m} right) ^ {m} ]

não tende a (1; ) tende a (e> 2, ) conforme mostrado no Capítulo 3, §15. Assim, novamente o resultado depende de ( left {x_ {m} right } ) e ( left {y_ {m} right }. )

De maneira semelhante, mostra-se que os outros casos (1 *) são indeterminados.

Nota 1. Freqüentemente, é útil introduzir convenções "abreviadas" adicionais. Assim, o símbolo ( infty ) (infinito sem sinal) pode denotar uma função (f ) tal que

[| f (x) | rightarrow + infty text {as} x rightarrow p; ]

também escrevemos (f (x) rightarrow infty. ) O símbolo (0 ^ {+} ) (respectivamente, (0 ^ {-}) ) denota uma função (f ) tal que

[f (x) rightarrow 0 text {as} x rightarrow p ]

e além disso

[f (x)> 0 text {} (f (x) <0, text {respectivamente}) text {em algum} G _ { neg p} ( delta). ]

Temos então as seguintes fórmulas adicionais:

(i) ( frac {( pm infty)} {0 ^ {+}} = pm infty, frac {( pm infty)} {0 ^ {-}} = mp infty ).

(ii) Se (q> 0, ) então ( frac {q} {0 ^ {+}} = + infty ) e ( frac {q} {0 ^ {-}} = - infty ).

(iii) ( frac { infty} {0} = infty ).

(iv) ( frac {q} { infty} = 0 ).

Cabe ao leitor fornecer a prova.

Nota 2. Todas essas fórmulas e teoremas também valem para limites relativos.

Até agora, não definimos nenhuma operação aritmética em (E ^ {*}. ) Para preencher esta lacuna (pelo menos parcialmente), trataremos daqui em diante os Teoremas 1-16 acima não apenas como certas declarações de limite (em "taquigrafia" ), mas também como definições de certas operações em (E ^ {*}. ) Por exemplo, a fórmula ((+ infty) + (+ infty) = + infty ) deve ser tratada como a definição de a soma real de (+ infty ) e (+ infty ) em (E ^ {*}, ) com (+ infty ) considerado desta vez como um elemento de (E ^ { *} ) (não como uma função). Esta convenção define as operações aritméticas para certos casos apenas; o indeterminado expressões (1 *) permanecem indefinidos, a menos que decidamos atribuir-lhes algum significado.

Em uma análise superior, realmente se mostra conveniente atribuir um significado a pelo menos alguns deles. Devemos adotar estas convenções (reconhecidamente arbitrárias):

( left { begin {array} {l} {( pm infty) + ( mp infty) = ( pm infty) - ( pm infty) = + infty; 0 ^ { 0} = 1;} {0 cdot ( pm infty) = ( pm infty) cdot 0 = 0 text {(mesmo se} 0 text {representa o vetor zero}). } end {array} right. )

Cuidado: Essas fórmulas não devem ser tratadas como teoremas de limite (em "taquigrafia"). Somas e produtos de o formulário (2 *) será chamado "não ortodoxo."


É natural agora nos perguntarmos como o limite de sequências se comporta em relação às operações. Nesse sentido, o limite atua da forma mais simples possível quando as sequências são convergentes.

A última propriedade precisa que $ lim_ neq0 $.

Essas propriedades nos permitem calcular o limite através de limites já conhecidos. A seguinte proposição revela-se ainda mais útil: O limite do produto de uma sequência limitada por outra com limite zero tem limite zero.

Vamos ver um exemplo dessa proposição.

Consideramos a sequência $ a_n = (- 1) ^ n $, lembre-se que esta sequência não tem um extremo, mas é limitada, e a sequência $ b_n = dfrac <1>$, que tem limite de $ 0 $. De acordo com a proposição anterior, o produto das duas sequências tem limite de $ 0 $. Isso quer dizer: $$ lim_>=0$$


Restrições de nomenclatura¶

Como os nomes do banco de dados são maiúsculas insensível no MongoDB, os nomes dos bancos de dados não podem diferir apenas pela caixa dos caracteres.

Restrições em nomes de banco de dados para Windows¶

Para implantações do MongoDB em execução no Windows, os nomes dos bancos de dados não podem conter nenhum dos seguintes caracteres:

Além disso, os nomes do banco de dados não podem conter o caractere nulo.

Restrições em nomes de banco de dados para sistemas Unix e Linux¶

Para implantações MongoDB em execução em sistemas Unix e Linux, os nomes dos bancos de dados não podem conter nenhum dos seguintes caracteres:

Além disso, os nomes do banco de dados não podem conter o caractere nulo.

Os nomes dos bancos de dados não podem estar vazios e devem ter menos de 64 caracteres.

Restrição de nomes de coleção¶

Os nomes das coleções devem começar com um sublinhado ou uma letra, e não pode:

  • contém o $.
  • ser uma string vazia (por exemplo, & quot & quot).
  • contém o caractere nulo.
  • comece com o sistema. prefixo. (Reservado para uso interno.)

Se o nome de sua coleção incluir caracteres especiais, como o caractere de sublinhado, ou começar com números, para acessar a coleção, use o método db.getCollection () no shell mongo ou um método semelhante para seu driver.

  • Para featureCompatibilityVersion definido como & quot4.4 & quot ou superior, o MongoDB aumenta o limite no namespace de coleção / visualização para 255 bytes. Para uma coleção ou visualização, o namespace inclui o nome do banco de dados, o separador de ponto (.) E o nome da coleção / visualização (por exemplo, & ltdatabase & gt. & Ltcollection & gt),
  • Para featureCompatibilityVersion definido como & quot4.2 & quot ou anterior, o comprimento máximo do namespace de coleção / visualização permanece 120 bytes.

Nomes de campo de nível superior não pode comece com o caractere de cifrão ($).

Caso contrário, a partir do MongoDB 3.6, o servidor permite o armazenamento de nomes de campo que contêm pontos (ou seja.) E cifrões (ou seja, $).

O MongoDB Query Language nem sempre pode expressar consultas de forma significativa em documentos cujos nomes de campo contenham esses caracteres (consulte SERVER-30575).

Até que o suporte seja adicionado na linguagem de consulta, o uso de $ e. em nomes de campo não é recomendado e não é compatível com os drivers oficiais do MongoDB.

O MongoDB Query Language é indefinido em documentos com nomes de campo duplicados. Os construtores BSON podem suportar a criação de um documento BSON com nomes de campo duplicados. Embora o construtor BSON não possa gerar um erro, a inserção desses documentos no MongoDB não é compatível ainda que a inserção é bem-sucedida. Por exemplo, inserir um documento BSON com nomes de campo duplicados por meio de um driver MongoDB pode resultar no driver descartando silenciosamente os valores duplicados antes da inserção.


Limites infinitos no infinito

Às vezes, os valores de uma função tornar-se arbitrariamente grande como (ou como Neste caso, nós escrevemos (ou Por outro lado, se os valores de são negativos, mas tornam-se arbitrariamente grandes em magnitude à medida que (ou como nós escrevemos (ou

Por exemplo, considere a função Conforme visto em (Figura) e (Figura), como os valores tornar-se arbitrariamente grande. Portanto, Por outro lado, como os valores de são negativos, mas tornam-se arbitrariamente grandes em magnitude. Consequentemente,

Os valores de uma função de poder como
10 20 50 100 1000
1000 8000 125,000 1,000,000 1,000,000,000
-10 -20 -50 -100 -1000
-1000 -8000 -125,000 -1,000,000 -1,000,000,000

Figura 8. Para esta função, os valores funcionais se aproximam do infinito conforme

Definição

(Informal) Dizemos uma função tem um limite infinito no infinito e escrever

E se torna-se arbitrariamente grande para suficientemente grande. Dizemos que uma função tem um limite infinito negativo no infinito e escrevemos

E se e torna-se arbitrariamente grande para suficientemente grande. Da mesma forma, podemos definir limites infinitos como


Calculadora de limites para o infinito

Exemplo

Problemas resolvidos

Problemas difíceis

Exemplo resolvido de limites ao infinito

À medida que uma variável vai para o infinito, a expressão $ 2x ^ 3-2x ^ 2 + x-3 $ se comporta da mesma maneira que sua maior potência

À medida que uma variável vai para o infinito, a expressão $ x ^ 3 + 2x ^ 2-x + 1 $ se comporta da mesma maneira que sua maior potência

Insira o valor $ infty $ no limite

Infinito à potência de qualquer número positivo é igual ao infinito, então $ infty ^ 3 = infty $

Qualquer expressão multiplicada pelo infinito tende ao infinito

Infinito à potência de qualquer número positivo é igual ao infinito, então $ infty ^ 3 = infty $

Se avaliarmos diretamente o limite $ lim_ left ( frac <2x ^ 3-2x ^ 2 + x-3> right) $ como $ x $ tende a $ infty $, podemos ver que nos dá uma forma indeterminada

Podemos resolver esse limite aplicando a regra de L'Hôpital, que consiste em calcular a derivada do numerador e do denominador separadamente


Detalhes para o código de erro 5.1.0

O NDR do Exchange Online para este erro específico pode conter algumas ou todas as seguintes informações:

Seção de informações do usuário

  • O servidor tentou entregar esta mensagem, sem sucesso, e parou de tentar. Tente enviar esta mensagem novamente. Se o problema persistir, entre em contato com o suporte técnico.

Seção de informações de diagnóstico para administradores

# 550 4.4.7 QUEUE. Mensagem expirada expirada ##

A mensagem foi considerada muito antiga pelo sistema de rejeição, seja porque permaneceu no host por muito tempo ou porque o valor de tempo de vida especificado pelo remetente da mensagem foi excedido.

450 4.7.0 A configuração da sessão do proxy falhou no front-end com '451 4.4.0 Endereço IP de destino primário respondido com. Certifique-se de registrar o erro que segue esta string e o último ponto final tentado.


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Conteúdo

O filósofo grego Zenão de Elea é famoso por formular paradoxos que envolvem processos limitantes.

Leucipo, Demócrito, Antifonte, Eudoxo e Arquimedes desenvolveram o método da exaustão, que usa uma sequência infinita de aproximações para determinar uma área ou um volume. Arquimedes conseguiu somar o que hoje é chamado de série geométrica.

Newton lidou com séries em seus trabalhos sobre Análise com série infinita (escrito em 1669, distribuído em manuscrito, publicado em 1711), Método de fluxões e séries infinitas (escrito em 1671, publicado em tradução para o inglês em 1736, original em latim publicado muito mais tarde) e Tractatus de Quadratura Curvarum (escrito em 1693, publicado em 1704 como um apêndice de seu Optiks) Neste último trabalho, Newton considera a expansão binomial de (x + o) n , que ele então lineariza por tomando o limite Como o tende a 0.

No século 18, matemáticos como Euler conseguiram somar alguns divergente série, parando no momento certo, eles não se importavam muito se um limite existia, desde que pudesse ser calculado. No final do século, Lagrange em seu Théorie des fonctions analytiques (1797) opinou que a falta de rigor impedia um maior desenvolvimento no cálculo. Gauss, em seu estudo da série hipergeométrica (1813), investigou pela primeira vez rigorosamente as condições sob as quais uma série convergia para um limite.

A definição moderna de um limite (para qualquer ε existe um índice N de modo a . ) foi dado por Bernhard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Praga 1816, que foi pouco notada na época), e por Karl Weierstrass na década de 1870.


Computabilidade em reais, limites infinitos e equações diferenciais

Estudamos uma classe contável de funções de valor real definidas indutivamente a partir de um conjunto básico de funções triviais por composição, resolvendo equações diferenciais de primeira ordem e tomando limites infinitos. Esta classe é a contraparte analítica das funções recursivas parciais de Kleene. Contando o número de limites aninhados necessários para definir uma função, essa classe pode ser estratificada por uma hierarquia potencialmente infinita - uma hierarquia de limites infinitos. No primeiro nível significativo da hierarquia, temos as extensões das funções recursivas primitivas clássicas. No próximo nível, encontramos funções recursivas parciais e, no nível seguinte, encontramos a solução para o problema da parada.

Usamos métodos de análise numérica para mostrar que a hierarquia não entra em colapso, concluindo que a obtenção de limites infinitos sempre pode produzir novas funções a partir de funções nos níveis anteriores da hierarquia.


Isso não é exatamente uma "prova", mas apenas para lhe dar uma idéia: seja $ f (x) = e ^ x $. Então $ f '(x) = e ^ x $ e, portanto, $ f ^ <(n)> (x) = e ^ x $ para $ n = 1,2,3, ldots $. Portanto, $ f ^ <(n)> (0) = 1 $ para todos os $ n $. Então a série de Taylor para $ e ^ x $ centrada em zero é

Conectando $ x = 1 $, vemos que $ e = sum_^ infty frac1$.

Se você expandir $ left (1+ frac1n right) ^ n $, você obterá $ tag1 sum_^ n frac1= sum_^ n frac<(n-k)! n ^ k> cdot frac1$ O fator $ frac$ é $ le 1 $ (o denominador é o numerador com alguns fatores $ n-i $ aumentados para $ n $), portanto, a expressão em $ (1) $ é sempre lt sum_^ infty frac1$, portanto $ mathrm e le sum_^ infty frac1$.

Por outro lado, para qualquer $ k $ dado, temos $ frac<(n-k)! n ^ k> to1 $ as $ n to infty $. Portanto, para qualquer $ epsilon & gt0 $ e qualquer $ m in mathbb N $, podemos escolher $ n $ tão grandes que os primeiros $ m $ summands em $ (1) $ excedem $ sum_^ m frac <1- epsilon>$. Como todas as somas são positivas, concluímos que $ left (1+ frac1n right) ^ n & gt (1- epsilon) sum_^ m frac1 $, portanto $ (1- epsilon) sum_^ infty frac1 le mathrm e $ para todos os $ epsilon & gt0 $.


4.4: Limites infinitos. Operações em E *

Esta seção descreve o algoritmo de caminho mais curto de todos os pares na biblioteca de algoritmos gráficos do Neo4j Labs.

Esta é a documentação da Graph Algorithms Library, que foi preterida pela Graph Data Science Library (GDS).

O caminho mais curto de todos os pares (APSP) calcula o caminho mais curto (ponderado) entre todos os pares de nós. Este algoritmo tem otimizações que o tornam mais rápido do que chamar o algoritmo Single Source Shortest Path para cada par de nós no gráfico.

O algoritmo All Pairs Shortest Path foi desenvolvido pela equipe do Neo4j Labs e não é oficialmente suportado.

9.4.4.1. História e explicação

Alguns pares de nós podem não ser alcançáveis ​​entre si, portanto, nenhum caminho mais curto existe entre esses pares. Nesse cenário, o algoritmo retornará o valor Infinity como resultado entre esses pares de nós.

A cifra simples não suporta a filtragem de valores Infinity, então a função algo.isFinite foi adicionada para ajudar a filtrar valores Infinity dos resultados.

9.4.4.2. Casos de uso - quando usar o algoritmo de caminho mais curto de todos os pares

  • O algoritmo All Pairs Shortest Path é usado em problemas do sistema de serviços urbanos, como a localização de equipamentos urbanos ou a distribuição ou entrega de mercadorias. Um exemplo disso é determinar a carga de tráfego esperada em diferentes segmentos de uma rede de transporte. Para obter mais informações, consulte Urban Operations Research.
  • O caminho mais curto de todos os pares é usado como parte do algoritmo de design do data center REWIRE que encontra uma rede com largura de banda máxima e latência mínima. Há mais detalhes sobre essa abordagem em "REWIRE: Uma Estrutura Baseada em Otimização para Design de Rede de Data Center"

9.4.4.3. Amostra de algoritmo de caminho mais curto de todos os pares

O seguinte criará um gráfico de amostra:

O seguinte irá executar o algoritmo e transmitir os resultados:

Essa consulta retornou os 10 principais pares de nós que estão mais distantes um do outro. F e E parecem estar bastante distantes dos outros.

Por enquanto, apenas o caminho mais curto de fonte única suporta o carregamento do relacionamento como não direcionado, mas podemos usar o carregamento Cypher para nos ajudar a resolver isso. O gráfico não direcionado pode ser representado como gráfico bidirecional, que é um gráfico direcionado no qual o reverso de cada relacionamento também é um relacionamento.

Não temos que salvar esta relação reversa, podemos projetá-la usando Carregamento de Cypher . Observe que a consulta de relacionamento não especifica a direção do relacionamento. Isso é aplicável a todos os outros algoritmos que usam carregamento Cypher.

O seguinte executará o algoritmo, tratando o gráfico como não direcionado:

9.4.4.4. Grande projeção gráfica

O rótulo padrão e a projeção do tipo de relacionamento têm uma limitação de 2 bilhões de nós e 2 bilhões de relacionamentos. Portanto, se nosso gráfico projetado contém mais de 2 bilhões de nós ou relacionamentos, precisaremos usar a projeção de gráfico enorme.


Assista o vídeo: Obliczanie granic ciągów liczbowych postaci wielomianowej (Outubro 2021).