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4.5: Função Monótona


Uma função (f: A rightarrow E ^ {*}, ) com (A subseteq E ^ {*}, ) é considerada não decrescente em um conjunto (B subseteq A ) iff

[x leq y text {implica} f (x) leq f (y) text {para} x, y em B. ]

Diz-se que não aumenta em (B ) iff

[x leq y text {implica} f (x) geq f (y) text {para} x, y em B. ]

Notação: (f uparrow ) e (f downarrow ( text {on} B), ) respectivamente.

Em ambos os casos, (f ) é considerado monótono ou monotônico em (B. ) Se (f ) também é um para um em (B ) (ou seja, quando restrito a (B )), dizemos que é estritamente monótono (aumentando se (f uparrow ) e diminuindo se (f downarrow )).

Claramente, (f ) não está diminuindo se a função (- f = (- 1) f ) não está aumentando. Assim, em provas, precisamos considerar apenas o caso (f uparrow ). O caso (f downarrow ) se reduz a ele aplicando o resultado a (- f. )

Teorema ( PageIndex {1} )

Se uma função (f: A rightarrow E ^ {*} left (A subseteq E ^ {*} right) ) é monótona em (A, ) ela tem uma esquerda e uma direita (possivelmente infinito ) limite em cada ponto (p in E ^ {*} ).

Em particular, se (f uparrow ) em um intervalo ((a, b) neq emptyset, ) então

[f left (p ^ {-} right) = sup _ {a

e

[f left (p ^ {+} right) = inf _ {p

(No caso de (f downarrow, ) troque "sup" e "inf.")

Prova

Para consertar idéias, assuma (f uparrow ).

Seja (p in E ^ {*} ) e (B = {x in A | x

Existem três casos possíveis:

(1) Se (q ) for finito, qualquer globo (G_ {q} ) é um intervalo ((c, d), c

[c

Portanto, como (f uparrow, ) certamente temos

[c x_ {0} text {} (x em B). ]

Além disso, como (f (x) in f [B], ) temos

[f (x) leq sup f [B] = q

então (c

Assim, mostramos que

[ left ( forall G_ {q} right) left ( exists x_ {0}

então (q ) é um limite esquerdo em (p ).

(2) Se (q = + infty, ) a mesma prova funciona com (G_ {q} = (c, + infty]. ) Verifique!

(3) Se (q = - infty, ) então

[( forall x in B) quad f (x) leq sup f [B] = - infty, ]

ou seja, (f (x) leq- infty, ) então (f (x) = - infty ) (constante) em (B ). Portanto, (q ) também é um limite esquerdo em (p ) (§1, Exemplo (a)).

Em particular, se (f uparrow ) on (A = (a, b) ) com (a, b in E ^ {*} ) e (a

[q = f left (p ^ {-} right) = sup f [B] = sup _ {a

Assim, tudo está provado para limites esquerdos.

A prova dos limites corretos é bastante semelhante; um só tem que definir

[B = {x em A | x> p }, q = inf f [B]. quad square ]

Nota 1. A segunda cláusula do Teorema 1 é válida mesmo se ((a, b) ) for apenas um subconjunto de (A, ), pois os limites em questão não são afetados pela restrição de (f ) a ((a, b). ) (Por quê?) Os pontos finais (a ) e (b ) podem ser finitos ou infinitos.

Nota 2. Se (D_ {f} = A = N ) (os naturais), então, por definição, (f: N rightarrow E ^ {*} ) é uma sequência com termo geral (x_ {m} = f (m), m em N ) (ver §1, Nota 2). Então, definindo (p = + infty ) na prova do Teorema 1, obtemos o Teorema 3 do Capítulo 3, §15. (Verificar!)

Exemplo ( PageIndex {1} )

A função exponencial (F: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) para a base (a> 0 ) é dada por

[F (x) = a ^ {x}. ]

É monótono (Capítulo 2, §§11-12, fórmula (1)), então (F left (0 ^ {-} right) ) e (F left (0 ^ {+} right )) existir. Pelo critério sequencial (Teorema 1 de §2), podemos usar uma sequência adequada para encontrar (F left (0 ^ {+} right), ) e escolhemos (x_ {m} = frac { 1} {m} rightarrow 0 ^ {+}. ) Então

[F left (0 ^ {+} right) = lim _ {m rightarrow infty} F left ( frac {1} {m} right) = lim _ {m rightarrow infty } a ^ {1 / m} = 1 ]

(ver Capítulo 3, §15, Problema 20).

Da mesma forma, tomando (x_ {m} = - frac {1} {m} rightarrow 0 ^ {-}, ) obtemos (F left (0 ^ {-} right) = 1. ) Desse modo

[F left (0 ^ {+} right) = F left (0 ^ {-} right) = lim _ {x rightarrow 0} F (x) = lim _ {x rightarrow 0 } a ^ {x} = 1. ]

(Veja também o Problema 12 de §2.)

Em seguida, corrija qualquer (p in E ^ {1}. ) Observando que

[F (x) = a ^ {x} = a ^ {p + x-p} = a ^ {p} a ^ {x-p}, ]

definimos (y = x-p. ) (Por que essa substituição é admissível?) Então (y rightarrow 0 ) como (x rightarrow p, ) então obtemos

[ lim _ {x rightarrow p} F (x) = lim a ^ {p} cdot lim _ {x rightarrow p} a ^ {xp} = a ^ {p} lim _ {y rightarrow 0} a ^ {y} = a ^ {p} cdot 1 = a ^ {p} = F (p). ]

Como ( lim _ {x rightarrow p} F (x) = F (p), F ) é contínuo em cada (p in E ^ {1}. ) Assim, todas as exponenciais são contínuas.

Teorema ( PageIndex {2} )

Se uma função (f: A rightarrow E ^ {*} left (A subseteq E ^ {*} right) ) não está diminuindo em um intervalo finito ou infinito (B = (a, b) subseteq A ) e se (p in (a, b), ) então

[f left (a ^ {+} right) leq f left (p ^ {-} right) leq f (p) leq f left (p ^ {+} right) leq f left (b ^ {-} right), ]

e para nenhum (x in (a, b) ) temos

[f left (p ^ {-} right)

da mesma forma no caso (f downarrow ) (com todas as desigualdades invertidas).

Prova

Pelo Teorema 1, (f uparrow ) em ((a, p) ) implica

[f left (a ^ {+} right) = inf _ {a

portanto, certamente (f left (a ^ {+} right) leq f left (p ^ {-} right). ) Como (f uparrow, ) também temos (f (p ) geq f (x) ) para todos (x in ) ((a, p); ) portanto

[f (p) geq sup _ {a

Desse modo

[f left (a ^ {+} right) leq f left (p ^ {-} right) leq f (p); ]

da mesma forma para o resto de (1).

Além disso, se (a

[f left (p ^ {-} right) = sup _ {a

Se, entretanto, (p leq x

Nota 3. Se (f left (p ^ {-} right), f left (p ^ {+} right), ) e (f (p) ) existem (todos finitos), então

[ left | f (p) -f left (p ^ {-} right) right | text {e} left | f left (p ^ {+} right) -f (p) certo | ]

são chamados, respectivamente, de saltos à esquerda e à direita de (f ) em (p; ) sua soma é o salto (total) em (p. ) Se (f ) é monótono, o salto é igual ( left | f left (p ^ {+} right) -f left (p ^ {-} right) right |. )

Para um exemplo gráfico, considere a Figura 14 em §1. Aqui (f (p) = f left (p ^ {-} right) ) (ambos finitos (), ) então o salto para a esquerda é (0. ) No entanto, (f left ( p ^ {+} right)> f (p), ) então o salto para a direita é maior que (0. ) Visto que

[f (p) = f left (p ^ {-} right) = lim _ {x rightarrow p ^ {-}} f (x), ]

(f ) é contínuo à esquerda (mas não contínuo à direita) em (p ).

Teorema ( PageIndex {3} )

Se (f: A rightarrow E ^ {*} ) é monótono em um intervalo finito ou infinito ((a, b) ) contido em (A, ) então todas as suas descontinuidades em ((a, b), ) se houver, são "saltos", que
é, pontos (p ) nos quais (f left (p ^ {-} right) ) e (f left (p ^ {+} right) ) existem, mas (f esquerda (p ^ {-} direita) neq f (p) ) ou (f esquerda (p ^ {+} direita) neq f (p). )

Prova

Pelo Teorema 1, (f left (p ^ {-} right) ) e (f left (p ^ {+} right) ) existem em cada (p in (a, b) ).

Se, além disso, (f left (p ^ {-} right) = f left (p ^ {+} right) = f (p), ) então

[ lim _ {x rightarrow p} f (x) = f (p) ]

pelo Corolário 3 de §1, então f é contínuo em (p ). Assim, as descontinuidades ocorrem apenas se (f left (p ^ {-} right) neq f (p) ) ou (f left (p ^ {+} right) neq f (p). quadrado)


Guia para executar funções no .NET 5.0 no Azure

Este artigo é uma introdução ao uso do C # para desenvolver funções de processo isoladas do .NET, que são executadas fora do processo no Azure Functions. A execução fora do processo permite desacoplar o código da função do tempo de execução do Azure Functions. Ele também fornece uma maneira de criar e executar funções voltadas para a versão atual do .NET 5.0.

Se você não precisa oferecer suporte ao .NET 5.0 ou executar suas funções fora do processo, convém desenvolver funções de biblioteca de classes C #.


Continuidade de funções monótonas

Seja f uma função monótona no intervalo aberto (a, b). Então f é contínuo, exceto possivelmente em um número contável de pontos em (a, b).

Suponha que f esteja aumentando. Além disso, suponha que (a, b) seja limitado ef está aumentando no intervalo fechado [a, b]. Caso contrário, expresse (a, b) como a união de uma sequência ascendente de intervalos abertos e limitados, cujos fechamentos estão contidos em (a, b), e tome a união das descontinuidades em cada uma dessas coleções contáveis ​​de intervalos.

Fiquei um pouco confuso com a última frase, porque não tinha certeza do que significava "encerramento". É assim que meu livro o define,

Para um conjunto E de número real, um número real x é chamado um ponto de ponto de fechamento de E desde que a cada intervalo aberto que contians x também contenha um ponto em E. A coleção de pontos de fechamento de E é chamada de fecho de E e denotado por $ bar$. É claro que sempre temos $ E subseteq bar$.

Não tenho certeza se entendi esse teorema corretamente, porque. Pelo que entendi, o (a, b) precisa ser incluído nos fechamentos (uma vez que $ E subseteq bar$) das sequências ascendentes, certo? Mas diz o contrário ("fechamentos dos quais estão contidos em (a, b)). Alguém poderia tentar esclarecer isso para mim?


4.5: Função Monótona

& # 65279 이번 시간 에도 중요 하지만 처음 접하는 분들 에게는 조금 어려운 부분 일 수도 있기 때문에, (opcional) 강의 로 지정 지정. 이해 가 어려우 시다면 건너 뛰고 봐도, 일상 생활 을 하시는 분들 에게는 지장 이 없겠 습니다. 고로 그 말 은, 집합론 (teoria dos conjuntos) 에 상당히 의존 을 많이 하는 부분 이기 때문 때문. 사실 이번 해석학 포스팅 에서 우리 가 이해해야 할 정리 는 딱 1 개 입니다. 그런데, 그 딱 1 개의 증명 을 위해서 우리 는 엄청난 희생 을 해야 할 필요 가. 정신적 인 인내심 도 많이 중요 할듯 하구요. ^^ 상당히 많은 수학 적인 내용 이 담겨 있습니다. 일단 은, 우리 는 수학 에 관심 을 가질 만한 사람 이라면 한번씩 가져 봤을 질문 으로 시작해 봅시다.

& # 8203 자연수 의 개수 가 더 많은가? 유리수 의 개수 가 더 많은가?

& # 8203 이것 에 대해 심도 있게 다뤄 봤으면 좋기 야 하겠지만, 이것을 또 엄밀히 다루 려면 그에 못지 않은 내공 이 필요 하기 때문에, 간단 하게 설명해 본다면, 두 집합 의 원소 의 개수 는 서로 같다고 합니다. 그런데, 중요한 것은, 비교 해야 하는 대상 이 서로 '무한 하다' 는 것이고, 무한한 원소 의 개수 를 비교 해야 하는 상황 인데, 어떻게 같다고 단언 할 할 수 있을까요? 일단, 사실 무한 집합 에서는 갯수 라고 하긴 뭣 하고 Cardinal (기수 ) 를 이용 해서, "그 기수 가 같다", 혹은 두 집합 이 "대등 하다 (equipotente)"라고 해서, 만일 주장 대로 라면,

이 된다는 것인데, 일단 두 집합 의 기수 가 같다 의 정의 는 다음 과 같습니다.

& # 8203 Def 3.4.9 (equipotente)

Se lá existe f: X → Y s.t f é bijeção (1-1 & amp em), então X, Y são deontados equipotentes

일단, 말로 풀어 보면 두 집합 사이 가 대등 하다, 즉 기수 가 같다는 것은 X, Y 로 가는 적당한 전단 사 함수 가 존재 하면 되는 겁니다. 그래서 만일 자연수 와 유리수 유리수 의 기수 가 같다 라는 것이 사실 이라면, 실제 자연수 에서 유리수 로 대응 시키는 전단 사 함수 함수 가 존재할 것이고, 저 정의 가, 기수 가 같다 라고 말할 수 있는 있는 이유 는 이 말 은 결국 원소 의 갯수 할지라 도, 하나 확실한 건 자연수 하나 하나 에 유리수 가 빠짐 없이 대응 되기 때문 입니다. 이 말 은, 더 비유 해보면 유리수 각각 하나 하나 에 번호 를 붙여 그 갯수 를 셀 수 있다는. 물론, 그러한 함수 는 존재 하기 만 하면 되는거 여서, 내가 그런 함수 를 1 개 만들어 주기만 하면 끝 입니다. 그러나 사실 저렇게 전단 사 사 함수 가 존재 한다는 것을 직접 보이는 것은 어렵고, 집합 론적 으로 약간 의 더 이론 을 이용 하여, 실제 대등 한 관계 를 보이게 됩니다. 여러분 은 집합론 공부 를 통해, 실제 자연수 와 유리수 는 대등 하다는 것, 즉

임을 알 수 있고, 자세한 논의 는 생략 하도록 하겠습니다.

그다음, & # 8203 무한 집합 에도 종류 가 있는데, 지금 처럼 운 이 좋게 자연수 에 집합 에 번호 를 하나씩 붙여 줄 수 있는 집합 이 있는 고 하면, 무한 집합 이더라도 자연수 와 대등 하지 않아서, 번호 를 부여해 줄 수 없는 무한 집합 이 있습니다. 먼저 긍정적 인 쪽 을 먼저 보면, 이렇게 번호 를 붙여 줄 수 있는 무한한 집합 을 Conjunto de Denumerbale 이라 하고, 그냥 원소 의 개수 가 유한 한 집합 (conjunto finito) 과, 번호 를 붙여 줄 수 있는 집합 (numerável) 을 퉁 쳐서, 가산 집합 (Conjunto contável) 이라고 부릅니다. 이들은 즉, '개수 를 셀 수 있다' 라는 특성 을 보여주는 집합 입니다. 기호 로 표현 하자면, conjunto finito, conjunto enumerável 은 각각

& # 8203 이렇게 표현할 수 있을 겁니다. 반면, 부정적인 쪽 으론 무한 집합 중에서 자연수 와 대등 하지 않는 집합 은, 이는 바로 비가 산 집합 (conjunto não enumerável) 이고, 기호 로 표현 하면

이 됩니다. 가령 (0,1) 은 대표적인 비가 산 집합 인데, 대충 증명 을 소개 하면 말하는 칸토어 의 대각선 논법 을 이용해, 각 원소 를 끄집어 내서 소수 로 표현 하고, 거기 에 개수 를 부여 시키고, 칸칸 을 맞춰 이쁘게 쓴 다음 적고 , 각 자연수 에서 대응 되는 되는 소숫점 으로 대각선 으로 내려서 쓰면, 그 소수 는 어떤 자연수 와 대응 되는 부여 해준 원소 와 도 같지 않다는 뭐, 그런 내용 이 있지 않습니까? 그럼 으로서, & # 8203 무한 집합 이더라도, 개수 를 부여 해줄 수 없는 집합 이 생깁니다. 그래서, 우리 가 집합 의 종류 에 따라, (마치 중딩 때 실수 는 유리수, 무리수, 자연수, 순환 소수, 비순환 소수, 0. 이렇게 분류 하듯 이) 집합 은 크게 이렇게 분류 할 수 있습니다.

한편, 제가 소개 할 정리 는 & # 8203 우리 가 증명할 때 절대적 으로 필요한 내용 인데요. 일단 그 필요한 정리 를 이해 하기 위한 definição 을 하나 봅시다.

두 기 & # 8203 수가 작 거나 같다 라는 말 은, 일단 | A | = | B | 인 경우 라면 B = B_0 을 택 하면 문제 없는 것이나, 기수 가 작다 는 것은 A 집합 의 원소 와 대응 을 시킬 때, B 쪽에서 몇 개의 원소 는 A 와 대응 이 안된다는 의미 입니다. 이 말 의 의미 를 해석 해보면, 바로 단사 함수 이면서 (A, B 각각 의 원소 의 개수 를 비교 하는 상황 이니까) 전사 함수 가 아닌 경우 가, 이런 경우 가 바로 부등호 가 성립 하는 경우 일텐데, 이 경우 엔 B 집합 을 실제 보다 더 적은 집합 으로 축소 시키면, 실제 em 가 되면서 대등 해진다 는 이야기 입니다. 특히 B_0 를 f (A) 로 둔다면 당연히 대등 한 집합 이 될 것이고, 이것은

& # 8203 인 상황 을 의미 합니다. 고로, | A | ≤ | B | 인 상황 은 다음 과 같은 상황 을 의미 하죠. (자세한 증명 은 생략 합니다)

그래서, 이 정도 되면, 우리 는 해석학 주제 로 정리 를 받아 들일 준비 가 되었는데 바로 & # 8203 이 겁니다.

Se f é monótono no intervalo aberto I, então o conjunto de descontínuo de f é

여기서, 우리 가 다뤘던 contável 이란 단어 가 나오죠. 일단 해석 해보면, f 라는 함수 가 구간 I 에서 단 조성을 띄면, 함수 에서 불연속 적인 적인 점 f 의 원소 는 '기껏 해야'

& # 8203contável 하다. 즉, 유한 하거나, (무한 하다면) 자연수 와 대등 한 수준 으로 만큼 의 불연속 점 밖에 안 생긴다 는 겁니다. 일단, 그림 을 통해 주어진 상황 을 이해해 볼 수 있는데, 만일 단조 증가 함수 라고 하고, 구간 (a, b) 에서 반드시 정의 된 함수 를 만든다고 합시다. 대략적 으로 불연속 점이, 유한 한 경우 는 유 한번 의 점프 를 통해서 잘 정의 될 수 있을것 같습니다.

그러나, 만일 유리수 점 만큼 불연속 점이 생겨도, 끝까지 도달 할 수 있을까요 ?? 즉 유리수 갯수 만큼 의 점프 가 일어난다 고 한다면? 일단, 감 이 안오는 것 같구요.

불연속 점이 만일 incontável 하다면? 사실, 이 경우 는 도달 할 수가 없는 것 같아 보이기도 하고. 긴가민가 합니다 우리 는 이 이 정도 되면 우리 의 직관 만으로는, 이게 될지 안될지 전혀 알 길이 없고, 이제 논리 에 의존 하여, 판단 할 필요 가 있습니다. & # 8203

우리 는 앞서, 여러 집합 관계 의 대등 성 을 보였습니다. 일반성 을 잃지 않을 테니 (w.l.g) 우리 는 단조 증가 인 경우 에 대해 생각해 보고,

아이디어 는 불연속 점 에 에 한 대상 을 E 라고 하고, 유리수 집합 을 Q 라고 할 때, 즉 E 라는 대상 을 다시 서술 하면,

이고, 우리 는 새로운 함수 E 에서 Q 로 가는 함수 를 만들어 내는데

여기서 이 r_a 를 대응 시키는 방법 은 함수 어떤 지점, 만일 x = a 점 에서 불연속 점이 발생 한다면, 반드시 좌 극한 과 우 극한 사이 에 적당한 실수 가 존재 할텐데

& # 8203Ψ 함수 의 역할 이, 각각 의 & # 8203 불연속 점 a 을 할당 하여 주어진 조건 을 만족 하는 유리수 를 할당 시키는 함수 가 됩니다. 이 때, 주어진 함수 는 단조 증가 라고 가정 했기 때문에 r_a 는 반드시 저 좌, 우 극한 사이 의 서로 다른 값 에 끼 이게 됩니다. 이렇게 보내는 Ψ 함수 가 단 사임 을 보일 겁니다. 이 함수 가 단 사임 이 확증 되었다면, 그냥 E 의 상 (imagem) 을 보낼 때 두 집합 의 기수 관계 가

가 될 것이라는 걸 앞에서 보였고, & # 8203 이 사실 로부터 | E | ≤ | Q | 이고, 유리수 의 집합 은 자연수 의 집합과 대등 하고 N 은 셀 수 있는 집합 이니까, 불연속 점 의 개수 가 아무리 많아 봤자, 그 최대치 가 자연수 와 대등 하는 집합 을 넘지 못한다 는 사실 로부터 증명 이 끝나는 겁니다. (no máximo contável)

& # 8203 주어진 함수 가 단 사임 을 보이는 방법 은, 간단 합니다. 단사 의 정의 를 이용 하면 되는데, (3.4.20 ) 에서 언급 한 것 처럼, 대우 명제 를 사용 하려고 합니다. 증명 도 그리 복잡 하지도 않습니다. thm3.4.6) 의 정리 를 잘 알고 있다면 말이죠, 만일 p & lt q (즉, p ≠ q 인 상황 을 가정 한 것) 라고 한다면,

thm3.4.6) 의 Furthemore 문두 에 의해서, & # 8203

이 됨으로서, 이 사실 로부터 r_p 와 r_q 는 서로 다름 을 의미. 근데, 이것은 Ψ 함수 에 의해 나오는 것이므로 (3.4.22) 로부터,

임을 의미 하므로 & # 8203 Ψ 함수 는 단사 함수 가 맞습니다. 그 사실 로부터 (3.4.21) 의 관계 가 성립 하게 되고, & # 8203 이 사실 의 증명 은 아까 말했듯 이 불연속 점 을 말하는 집합


Sistemas de dedução

Sistemas de dedução permitem inferir novos julgamentos a partir de um conjunto de julgamentos conhecidos. Eles são frequentemente especificados como um conjunto de regras, em que cada regra é representada como uma barra horizontal com uma ou mais premissas aparecendo acima da barra e uma conclusão que pode ser deduzida dessas premissas que aparecem abaixo da barra.

As regras acima formam um fragmento da lógica proposicional. e são usados ​​para denotar declarações lógicas, chamadas proposições. e são operadores lógicos binários, cada um dos quais mapeia um par de proposições para uma única proposição. é o e operador: se e são declarações lógicas, então é a afirmação simultânea de ambas e. é o implicação operador: afirma que se sabemos que é verdade, então podemos concluir que também é verdade.

A regra da extrema esquerda tem duas premissas e, e conclui a partir dessas premissas a proposição. Invocar uma regra para deduzir sua conclusão a partir de suas premissas é chamado aplicando a regra. Uma árvore de aplicativos de regras é chamada de prova.

Os sistemas de dedução são freqüentemente vistos como linguagens de prova. No entanto, também pode ser proveitoso ver um sistema de dedução como uma função que, dado um conjunto de proposições de entrada, produz o conjunto de todas as proposições que podem ser concluídas a partir de exatamente uma aplicação de regra, usando as proposições de entrada como premissas. Mais concretamente, deixando ser o conjunto de proposições, o conjunto de regras de dedução acima corresponde à seguinte função.

é uma função monótona do poset para si mesmo. Isso ocorre porque conjuntos de entrada maiores nos dão mais maneiras de aplicar as regras de nosso sistema, gerando conjuntos de saída maiores. Uma proposição demonstrável é claramente um elemento de. Gostaríamos de caracterizar como o menor ponto de fixação, ou seja, gostaríamos de provar isso e, para todos, implica.

Além das noções lógicas padrão, os sistemas de dedução podem ser usados ​​para descrever sistemas de tipo, lógicas de programa e semântica operacional.


4.5 Funções invertíveis

O inverso de f, f - 1: [c, d] & # 8594 [a, b] é definido como f - 1 & # 8290 (x) = y, onde y é o elemento único tal que f & # 8290 ( y) = x.

Exemplo 4.5.1

As funções a seguir são invertíveis.

f: [0, 1] & # 8594 [0, 1] f & # 8290 (x) = x k, onde k & # 8805 1.

f: [0, & # 960 2] & # 8594 [0, 1], f & # 8290 (x) = s & # 8290 i & # 8290 n & # 8290 (x).

f: [0, 1] & # 8594 [0, 1] f & # 8290 (x) = x se x & # 8800 1 3 & # 8201 ou 1 2. Por outro lado, f & # 8290 (1 3) = 1 2 e f & # 8290 (1 2) = 1 3.

Proposta 4.5.1

Seja f: [a, b] & # 8594 [c, d] uma função contínua invertível. Então, sua função inversa f - 1 também é contínua.

Prova: & # 8201 & # 8201 Seja n = 1 & # 8734 uma sequência convergente em [c, d] tendendo a y. Precisamos mostrar que n = 1 & # 8734 também é convergente e tende a f - 1 & # 8290 (y). Suponha que não seja verdade. Então, existe uma subsequência k = 1 & # 8734 convergindo para z tal que z & # 8800 f - 1 & # 8290 (y).

Lembre-se de que na Questão 2.2.1 vimos que se n = 1 & # 8734 não convergem para x, então existe uma subsequência k = 1 & # 8734 e & # 949 & gt 0 tal que para qualquer k & # 8805 1 | x n k - x | & # 8805 & # 949. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, temos uma subsequência convergente desta subsequência. O limite desta subsequência é pelo menos & # 949 -diferente de x!

Como f é contínuo, k = 1 & # 8734 deve convergir para f & # 8290 (z). Ou seja, k = 1 & # 8734 deve convergir para f & # 8290 (z) & # 8800 y. Isso leva a uma contradição. & # 9633

Definição 4.5.1

Uma função f: [a, b] & # 8594 [c, d] é estritamente monotônica se para qualquer x & lt yf & # 8290 (x) & lt f & # 8290 (y) [esta é a versão funcional de aumento estrito] .

Exemplo 4.5.2

Se uma função é diferenciável e possui derivada positiva, ela é estritamente monotônica. Este é o motivo pelo qual você encontra o máximo local de uma função procurando os zeros de sua derivada f & # 8242. Este fato será provado rigorosamente no Math114. Por outro lado, existem funções estritamente monotônicas que nem mesmo são contínuas em um determinado ponto. Seja f: [0, 1] & # 8594 [0, 1] uma função definida da seguinte maneira:

f & # 8290 (x) = x, sempre que x & # 8804 1 2.

Exercício 4.5.1

Se g: [a, b] & # 8594 [c, d] for estritamente monotônico ef: [c, d] & # 8594 [e, f] for estritamente monotônico, então f & # 8728 g: [a, b ] & # 8594 [e, f] é estritamente monotônico.

Proposta 4.5.2

Seja f: [a, b] & # 8594 [c, d] estritamente monotônico e contínuo, de modo que f & # 8290 (a) = c, f & # 8290 (b) = d. Então f é invertível. O inverso é, novamente, estritamente monotônico.

Prova: & # 8201 & # 8201 Injetividade segue da definição de monotonicidade estrita. Se x & lt y, então f & # 8290 (x) & # 8800 f & # 8290 (y). Portanto, precisamos provar que para qualquer z & # 8712 [c, d] existe t & # 8712 [a, b] tal que f & # 8290 (t) = z. No entanto, esta afirmação segue imediatamente do Teorema do Valor Intermediário. & # 9633

Lembre-se de que f: x & # 8594 x n é uma função estritamente monotônica que mapeia a meia-linha não negativa [0, & # 8734) para si mesma. Portanto, seu inverso f - 1 existe e é uma função contínua pela proposição 4.5.1 e pela proposição 4.5.2. Essa função estritamente monotônica é chamada de n -ésima função raiz g: x & # 8594 x 1 n. Como prometi no início, sabemos que existe um único número positivo x tal que x 2 = 2.


Como verificar se um array é monotônico?

Uma matriz é chamada de monotônica se for monótona crescente ou monótona decrescente.

Uma matriz A é monótona aumentando se para todos i & lt = j, A [i] & lt = A [j]. Uma matriz A é monótona decrescente se para todos i & lt = j, A [i] & gt = A [j]. Retorna verdadeiro se e somente se a matriz A fornecida for monotônica.

Exemplo 1:
Entrada: [6,5,4,4]
Resultado: verdadeiro
Exemplo 2:
Entrada: [1,3,2]
Resultado: falso

Algoritmo de duas passagens para testar se a matriz é monotônica

Podemos varrer a matriz duas vezes (duas passagens) com complexidade O (N) (com complexidade de espaço O (1) & # 8211 constante) & # 8211 uma para testar se a matriz está aumentando monotônica e outra para testar se a matriz está diminuindo monotônica, com base na definição. A implementação C ++ é direta, da seguinte maneira:

Alternativamente, definimos uma função de comparação de inteiros sgn que retorna -1, 0 ou 1 para representar as relações entre dois inteiros, menores, iguais ou maiores.

Em seguida, acompanhamos o anterior variável que armazena um resultado de comparação diferente de zero. Se virmos o oposto, a resposta é falsa.


4.5: Função Monótona

Na pesquisa de engenharia, às vezes um diagrama pode ajudar o pesquisador a entender melhor uma função. A tendência de aumento ou diminuição de uma função é útil ao esboçar um esboço.

Uma função é chamada aumentando em um intervalo se o valor da função aumenta à medida que o valor independente aumenta. Isso se x1 > x2, então f (x1) & gt f (x2) Por outro lado, uma função é chamada decrescente em um intervalo se o valor da função diminui à medida que o valor independente aumenta. Isso se x1 & gt x2, então f (x1) & lt f (x2) A tendência de aumento ou diminuição de uma função é chamada de monotonicidade em seu domínio.

O conceito de monotonicidade pode ser melhor compreendido encontrando o intervalo crescente e decrescente da função, digamos y = (x-1) 2. No intervalo de (- & infin, 1], a função está diminuindo. No intervalo de [1, + & infin), a função está aumentando. No entanto, a função não é monotônica em seu domínio (- & infin, + & infin).

No Derivado e Monotônico gráfico à esquerda, a função está diminuindo em [x1, x2] e [x3, x4], e a inclinação das linhas tangentes da função são negativas. Por outro lado, a função está aumentando em [x2, x3] e a inclinação da linha tangente da função é positiva. Existe alguma relação certa entre monotonicidade e derivada? A resposta é sim e é discutida a seguir.

Teste para estados de funções monotônicas:

Suponha que uma função seja contínua em [a, b] e seja diferenciável em (a, b).

  • Se a derivada for maior que zero para todo x em (a, b), então a função está aumentando em [a, b].
  • Se a derivada for menor que zero para todo x em (a, b), então a função está diminuindo em [a, b].

O teste para funções monotônicas pode ser melhor compreendido encontrando o intervalo crescente e decrescente para a função f (x) = x 2 - 4.

A função f (x) = x 2 - 4 é uma função polinomial, é contínua e diferenciável em seu domínio (- & infin, + & infin), e assim satisfaz a condição de teste de função monoatômica. Para encontrar sua monotonicidade, a derivada da função precisa ser calculada. Isso é

É óbvio que a função df (x) / dx = 2x é negativa quando x & lt 0, e é positiva quando x & gt 0. Portanto, a função f (x) = x 2 - 4 está aumentando no intervalo de (- & infin, 0) e diminuindo no intervalo de (0, + & infin). Este resultado é confirmado pelo diagrama à esquerda.


Mostrando que $ F $ é uma função monótona

Atualmente estou estudando o livro didático Princípios de Análise de Programa por Flemming Nielson, Hanne R. Nielson e Chris Hankin. Capítulo 1.3 Análise de fluxo de dados diz o seguinte:

A menor solução. O sistema de equações acima define os doze conjuntos $ text_ exto(1), pontos, texto_ < text> (6) $ em termos um do outro. Escrevendo $ overrightarrow$ para essas doze tuplas de conjuntos, podemos considerar o sistema de equações como definindo uma função $ F $ e exigindo que: $ overrightarrow = F ( overrightarrow) $ Para ser mais específico, podemos escrever $ F ( overrightarrow) (F_ text(1) ( overrightarrow), F_ text(1) ( overrightarrow), dots, F_ text(6) ( overrightarrow), F_ text(6) ( overrightarrow)) $ onde, por exemplo: $ F_ text(3) ( dots, overrightarrow_ exto(2), dots, overrightarrow_ exto(5), dots) = overrightarrow_ exto(2) cup overrightarrow_ exto(5) $ Deve ficar claro que $ F $ opera sobre doze tuplas de conjuntos de pares de variáveis ​​e rótulos que podem ser escritos como $ F: ( mathcal

( mathbf < text_ star times mathbf < text_ star>))> ^ <12> to ( mathcal

( mathbf < text_ star times mathbf < text_ star>))> ^ <12> $ onde pode ser natural tomar $ mathbf < text_ star> = mathbf < text> $ e $ mathbf < text_ star> = mathbf < text> $. No entanto, isso simplificará a apresentação neste capítulo para permitir que $ mathbf < text_ star> $ be a finito subconjunto de $ mathbf < text> $ que contém as variáveis ​​que ocorrem no programa $ mathbf$ de interesse e da mesma forma para $ mathbf < text_ star> $. Portanto, para o programa de exemplo, podemos ter $ mathbf < text_ star> = $ e $ mathbf < text_ star> = <1, dots, 6,? > $.

É imediato que $ ( mathcal

( mathbf < text_ star times mathbf < text_ star>))> ^ <12> $ pode ser parcialmente ordenado configurando $ overrightarrow < text> sqsubseteq overrightarrow < text> ^ prime text forall i: text_i subseteq text_i ^ prime $ onde $ overrightarrow < text> = ( texto_1, pontos, texto_ <12>) $ e da mesma forma $ overrightarrow < text> ^ prime = ( text_1 ^ prime, dots, text_ <12> ^ prime) $. Isso torna $ ( mathcal

( mathbf < text_ star times mathbf < text_ star>))> ^ <12> $ em uma rede completa (consulte o Apêndice A) com o mínimo de elemento $ overrightarrow < emptyset> = ( emptyset, dots, emptyset) $ e binários mínimos limites superiores dados por : $ overrightarrow < text> sqcup overrightarrow < text> ^ prime = ( text_1 xícara texto_1 ^ prime, dots, text_ <12> cup text_ <12> ^ prime) $

É fácil mostrar que $ F $ é na verdade uma função monótona (consulte o Apêndice A), o que significa que: $ overrightarrow < text> sqsubseteq overrightarrow < text> ^ prime text F ( overrightarrow < text>) sqsubseteq F ( overrightarrow < text>) ^ prime $ Envolve cálculos como $ text_ exto(2) subseteq text_ exto^ prime (2) text exto_ exto(5) subseteq text_ exto^ prime (5) $ implicam $ text_ exto(2) xícara texto_ exto(5) subseteq text^ prime_ text(2) xícara texto_ exto^ prime (5) $ e os detalhes são deixados para o leitor.

O Apêndice A fornece a seguinte definição para função monótona:

A função $ f $ é monótono (ou isótono ou preservador da ordem) if $ forall l, l ^ prime in L_1: l sqsubseteq_1 l ^ prime Rightarrow f (l) sqsubseteq_2 f (l ^ prime) $

Do início do livro:

I am trying to do as the author said, and show that $F$ is a monotone function. However, I have so far been unable to make progress. It seems to me that such a proof should proceed by showing that, for some arbitrary element of the set of elements $F(overrightarrow< ext>)$ , if we use the fact that $overrightarrow< ext> sqsubseteq overrightarrow< ext>^prime$ , then we can deduce that said arbitrary element is also an element of the set $F(overrightarrow< ext>)^prime$ , and so $F(overrightarrow< ext>) sqsubseteq F(overrightarrow< ext>)^prime$ . However, it seems to me that the textbook is very poorly written, and so it is difficult for me to even understand what said arbitrary elements of the set $F(overrightarrow< ext>)^prime$ even are (they seem to be some kind of cartesian product, but I get very confused when trying to figure out precisely what they are). So how is it shown that $F$ is a monotone function?


4.5: Monotone Function

Define f ( x ) by if is a rational number expressed in lowest terms, and f ( x )=0 for irrational x . (I've sometimes heard this called the ``ruler'' function, since its graph vaguely resembles the markings on a ruler.) Then f has the surprising property that it is continuous at all irrationals and discontinuous at all rationals. It's easy to believe that f is discontinuous at all rationals, since for a rational number , there are irrational numbers x arbitrarily close to , but f ( x )=0 is not getting close to .

It's a bit harder to see that f is continuous at any irrational x . Roughly speaking, there's no way that rational numbers can approach an irrational number x without their denominators going to infinity, so that f approaches 0. More formally, take any . There is an integer q with . Look at all the rational numbers of the form . Since x is irrational, it is not one of these numbers. Because of the way the numbers , p =0, , , appear on the number line, there is a closest number in this set to x (a careful proof of this fact uses properties of the integers). Take to be smaller than the distance from x to the closest number of the form . Then no rational number within of x may be written as a fraction with denominator less than or equal to q , so all numbers with of x must have their function values within of f ( x ), so f is continuous at any irrational x .


Details

The smoothing function $f(argvals)$ is determined by three objects that need to be estimated from the data:

$W(argvals)$, a functional data object that is first exponentiated and then the result integrated. This is the heart of the monotone smooth. The closer $W(argvals)$ is to zero, the closer the monotone smooth becomes a straight line. The closer $W(argvals)$ becomes a constant, the more the monotone smoother becomes an exponential function. It is assumed that $W(0) = 0.$

$b0$, an intercept term that determines the value of the smoothing function at $argvals = 0$.

$b1$, a regression coefficient that determines the slope of the smoothing function at $argvals = 0$.

In addition, it is possible to have the intercept $b0$ depend in turn on the values of one or more covariates through the design matrix Zmat as follows: $b0 = Z c$. In this case, the single intercept coefficient is replaced by the regression coefficients in vector $c$ multiplying the design matrix.


Assista o vídeo: Matemática A - 10º ano - Funções: monotonia de funções reais de variável real (Outubro 2021).