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4.11: Espaços de produto. Limites duplos e iterados - matemática


Dados dois espaços métricos ( left (X, rho_ {1} right) ) e ( left (Y, rho_ {2} right), ) podemos considerar o produto cartesiano (X vezes Y, ) adequadamente metrizado. Devemos adotar o primeiro deles como segue.

Definição

Pelo produto de dois espaços métricos ( left (X, rho_ {1} right) ) e ( left (Y, rho_ {2} right) ) entende-se o espaço ((X times Y, rho), ) onde a métrica ( rho ) é definida por

[
rho left ((x, y), left (x ^ { prime}, y ^ { prime} right) right) = max left { rho_ {1} left (x, x ^ { prime} right), rho_ {2} left (y, y ^ { prime} right) right }
]

para (x, x ^ { prime} in X ) e (y, y ^ { prime} in Y ).

Assim, a distância entre ((x, y) ) e ( left (x ^ { prime}, y ^ { prime} right) ) é a maior das duas distâncias

[
rho_ {1} left (x, x ^ { prime} right) text {in} X text {e} rho_ {2} left (y, y ^ { prime} right) text {in} Y.
]

A verificação de que ( rho ) em ((1) ) é, de fato, uma métrica é deixada para o leitor. Agora obtemos o seguinte teorema.

Teorema ( PageIndex {1} )

(i) Um globo (G _ {(p, q)} ( varepsilon) ) em ((X vezes Y, rho) ) é o produto cartesiano dos globos ( varepsilon ) correspondentes em (X ) e (Y ),

[
G _ {(p, q)} ( varejpsilon) = G_ {p} ( varejpsilon) vezes G_ {q} ( varejpsilon).
]

(ii) Convergência de sequências ( left { left (x_ {m}, y_ {m} right) right } ) em (X vezes Y ) é componente a componente. Ou seja, nós temos

[
left (x_ {m}, y_ {m} right) rightarrow (p, q) text {in} X vezes Y text {iff} x_ {m} rightarrow p text {in} X texto {e} y_ {m} rightarrow q text {in} Y.
]

Prova

Novamente, a prova fácil é deixada como um exercício.

Neste contexto, lembre-se que pelo Teorema 2 do Capítulo 3, §15, a convergência em (E ^ {2} ) é componente também, embora a métrica padrão em (E ^ {2} ) não seja o produto métrico ((1); ) é antes a métrica (ii) do Problema 10 no Capítulo 3, §11. Podemos ter adotado esta segunda métrica para (X vezes Y ) também. Então a parte (i) do Teorema 1 falharia, mas a parte (ii) ainda seguiria fazendo

[
rho_ {1} left (x_ {m}, p right) < frac { varepsilon} { sqrt {2}} text {e} rho_ {2} left (y_ {m}, q right) < frac { varepsilon} { sqrt {2}}.
]

Segue-se que, no que diz respeito à convergência, as duas escolhas de ( rho ) são equivalentes.

Nota 1. De maneira mais geral, duas métricas para um espaço (S ) são consideradas equivalentes se exatamente as mesmas sequências convergirem (para os mesmos limites) em ambas as métricas. Então também todos os limites de função são os mesmos, uma vez que são limites reduenciais, pelo Teorema 1 do §2; da mesma forma para noções como continuidade, compactação, completude, fechamento, abertura, etc.

Em vista disso, devemos freqüentemente chamar (X times Y ) um espaço de produto (no sentido mais amplo) mesmo que sua métrica não seja o ( rho ) da fórmula ((1) ), mas equivalente para isso. Nesse sentido, (E ^ {2} ) é o espaço do produto (E ^ {1} vezes E ^ {1}, ) e (X vezes Y ) é sua generalização.

Várias idéias válidas em (E ^ {2} ) se estendem naturalmente para (X vezes Y. ) Assim, funções definidas em um conjunto (A subseteq X vezes Y ) podem ser tratadas como funções de dois variáveis ​​ (x, ) (y ) tais que ((x, y) in A. ) Dado ((p, q) in X vezes Y, ) podemos considerar ordinário ou relativo limites em ((p, q), ) por exemplo limites ao longo de um caminho

[
B = {(x, y) em X vezes Y | y = q }
]

(brevemente chamado de "linha (y = q ^ { prime prime}). ) Neste caso, (y ) permanece fixo ((y = q) ) enquanto (x rightarrow p; ) falamos então de limites e continuidade em uma variável (x, ) em oposição àqueles em ambas as variáveis ​​conjuntamente, ou seja, os limites ordinários (cf. §3, parte ( mathrm {IV}) ).

Alguns outros tipos de limites serão definidos abaixo. Para simplificar, consideramos apenas as funções (f: (X vezes Y) rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) definidas em todos os (X vezes Y. ) Se confusão é improvável, escrevemos ( rho ) para todas as métricas envolvidas (como ( rho ^ { prime} ) em (T). ) Abaixo, (p ) e (q ) sempre denotam pontos de cluster de (X ) e (Y, ) respectivamente (isso justifica a notação "lim". Claro, nossas definições se aplicam em particular a (E ^ {2} ) como o especial mais simples caso de (X vezes Y ).

Definição

Diz-se que uma função (f: (X vezes Y) rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) tem o limite duplo (s in T ) em (( p, q), ) denotado

[
s = lim _ {x rightarrow p atop y rightarrow q} f (x, y),
]

iff para cada ( varepsilon> 0, ) há um ( delta> 0 ) tal que (f (x, y) in G_ {s} ( varejpsilon) ) sempre que (x em G _ { neg p} ( delta) ) e (y in G _ { neg q} ( delta). ) Em símbolos,

[
( forall varepsilon> 0) ( exists delta> 0) left ( forall x in G _ { neg p} ( delta) right) left ( forall y in G _ {- q} ( delta) right) quad f (x, y) in G_ {s} ( varepsilon).
]

Observe que este é o limite relativo ao longo do caminho

[
D = (X - {p }) vezes (Y - {q })
]

excluindo as duas "linhas" (x = p ) e (y = q ). Se (f ) fosse restrito a (D, ), isso coincidiria com o limite não relativo comum (ver §1), denotado

[
s = lim _ {(x, y) rightarrow (p, q)} f (x, y),
]

onde apenas o ponto ((p, q) ) é excluído. Então nós teríamos

[
( forall varepsilon> 0) ( exists delta> 0) left ( forall (x, y) in G _ { neg (p, q)} ( delta) right) quad f (x , y) em G_ {s} ( varepsilon).
]

Agora considere os limites em uma variável, digamos,

[
lim _ {y rightarrow q} f (x, y) text {com} x text {fixo.}
]

Se este limite existir para cada escolha de (x ) de algum conjunto (B subseteq X, ), ele define uma função

[
g: B rightarrow T
]

com valor

[
g (x) = lim _ {y rightarrow q} f (x, y), quad x em B.
]

Isso significa que

[
( forall x in B) ( forall varepsilon> 0) ( exists delta> 0) left ( forall y in G _ { neg q} ( delta) right) quad rho ( g (x), f (x, y)) < varejpsilon.
]

Aqui, em geral, ( delta ) depende de ambos ( varepsilon ) e (x. ) No entanto, em alguns casos (assemelhando-se à continuidade uniforme), um e o mesmo ( delta ) (dependendo on ( varepsilon ) apenas () ) se encaixa todas as escolhas de (x ) de (B. ) Isso sugere a seguinte definição.

Definição

Com a notação anterior, suponha
[
lim _ {y rightarrow q} f (x, y) = g (x) text {existe para cada} x em B (B subseteq X).
]
Dizemos que este limite é uniforme em (x ( text {on} B), ) e escrevemos
[
"g (x) = lim _ {y rightarrow q} f (x, y) ( text {uniformemente para} x em B),"
]
iff para cada ( varepsilon> 0, ) há um ( delta> 0 ) tal que ( rho (g (x), f (x, y)) < varejpsilon ) para todos (x em B ) e todos (y em G _ { neg q} ( delta). ) Em símbolos,
[
( forall varepsilon> 0) ( exists delta> 0) ( forall x in B) left ( forall y in G _ { neg q} ( delta) right) quad rho ( g (x), f (x, y)) < varejpsilon.
]

Normalmente, o conjunto (B ) nas fórmulas ((4) ) e ((5) ) é uma vizinhança excluída de (p ) em (X, ) por exemplo,
[
B = G _ { neg p} (r), text {ou} B = X - {p }.
]
Suponha que ((4) ) para tal (B, ) então
[
lim _ {y rightarrow q} f (x, y) = g (x) text {existe para cada} x em B.
]
Se, além disso,
[
lim _ {x rightarrow p} g (x) = s
]
existe, chamamos s de limite iterado de (f ) em ((p, q) ) (primeiro em (y, ) e depois em (x), ) denotado
[
lim _ {x rightarrow p} lim _ {y rightarrow q} f (x, y).
]
Este limite é obtido primeiro deixando (y rightarrow q ) (com (x ) fixo () ) e, em seguida, deixando (x rightarrow p. ) De forma semelhante, nós definimos
[
lim _ {y rightarrow q} lim _ {x rightarrow p} f (x, y).
]
Em geral, os dois limites iterados (se existirem) são diferentes, e sua existência não implica o do limite duplo ((2), ) muito menos ((3), ) nem implica a igualdade de todos esses limites. (Veja os Problemas 4ss abaixo.) No entanto, temos o seguinte teorema.

Teorema ( PageIndex {2} )

(Osgood). Seja ( left (T, rho ^ { prime} right) ) completo. Assuma a existência dos seguintes limites da função (f: X vezes Y rightarrow T: )
(i) ( lim _ {y rightarrow q} f (x, y) = g (x) ) (uniformemente para (x in X - {p }) ) e
(ii) ( lim _ {x rightarrow p} f (x, y) = h (y) ) para (y in Y - {q } ).
Então, o limite duplo e os dois limites iterados de (f ) em ((p, q) ) existem e todos
três coincidem.

Prova

Seja ( varepsilon> 0. ) Pela nossa suposição (i), existe um ( delta> 0 ) tal que
[
( forall x in X - {p }) left ( forall y in G _ { neg q} ( delta) right) quad rho (g (x), f (x, y )) < frac { varepsilon} {4} quad ( mathrm {cf}. (5)).
]
Agora tome qualquer (y ^ { prime}, y ^ { prime prime} in G _ { neg q} ( delta). ) Pela suposição (ii), existe um (x ^ { prime} in X - {p } ) tão perto de (p ) que
[
rho left (h left (y ^ { prime} right), f left (x ^ { prime}, y ^ { prime} right) right) < frac { varejpsilon} { 4} text {e} rho left (h left (y ^ { prime prime} right), f left (x ^ { prime}, y ^ { prime prime} right) right) < frac { varepsilon} {4} cdot ( mathrm {Por que}?)
]
Portanto, usando ( left (5 ^ { prime} right) ) e a lei do triângulo (repetidamente), obtemos para tal (y ^ { prime}, y ^ { prime prime} )
[
begin {alinhado} rho left (h left (y ^ { prime} right), h left (y ^ { prime prime} right) right) leq & rho left ( h left (y ^ { prime} right), f left (x ^ { prime}, y ^ { prime} right) right) + rho left (f left (x ^ { prime}, y ^ { prime} right), g left (x ^ { prime} right) right) & + rho left (g left (x ^ { prime} direita), f left (x ^ { prime}, y ^ { prime prime} right) right) + rho left (f left (x ^ { prime}, y ^ { prime prime} right), h left (y ^ { prime prime} right) right) <& frac { varejpsilon} {4} + frac { varejpsilon} {4} + frac { varepsilon} {4} + frac { varepsilon} {4} = varepsilon end {alinhado}
]
Segue-se que a função (h ) satisfaz o critério de Cauchy do Teorema 2 no §2. (Aplica-se uma vez que (T ) está completo.) Assim, ( lim _ {y rightarrow q} h (y) ) existe e, pela suposição (ii), é igual a ( lim _ { y rightarrow q} lim _ {x rightarrow p} f (x, y) ) (que portanto existe).
Vamos então (H = lim _ {y rightarrow q} h (y). ) Com ( delta ) como acima, fixe alguns (y_ {0} in G _ { neg q} ( delta) ) tão perto de (q ) que
[
rho left (h left (y_ {0} right), H right) < frac { varepsilon} {4}.
]
Além disso, usando a suposição (ii), escolha um ( delta ^ { prime}> 0 left ( delta ^ { prime} leq delta right) ) de modo que
[
rho left (h left (y_ {0} right), f left (x, y_ {0} right) right) < frac { varepsilon} {4} quad text {para} x in G _ { neg p} left ( delta ^ { prime} right).
]
Combinando com ( left (5 ^ { prime} right), ) obtenha ( left ( forall x in G _ {- p} left ( delta ^ { prime} right) right) ) )
[
rho (H, g (x)) leq rho left (H, h left (y_ {0} right) right) + rho left (h left (y_ {0} right) , f left (x, y_ {0} right) right) + rho left (f left (x, y_ {0} right), g (x) right) < frac {3 varejpsilon} {4}.
]
Desse modo
[
left ( forall x in G _ { neg p} left ( delta ^ { prime} right) right) quad rho (H, g (x)) < varejpsilon.
]
Portanto ( lim _ {x rightarrow p} g (x) = H, ) ou seja, o segundo limite iterado, ( lim _ {x rightarrow p} lim _ {y rightarrow q} f ( x, y), ) da mesma forma existe e é igual a (H. )
Finalmente, com o mesmo ( delta ^ { prime} leq delta, ) combinamos ((6) ) e ( left (5 ^ { prime} right) ) para obter
[
begin {array} {l} { left ( forall x in G _ { neg p} left ( delta ^ { prime} right) right) left ( forall y in G _ { neg q} left ( delta ^ { prime} right) right) rho (H, f (x, y)) leq rho (H, g (x)) + rho (g (x ), f (x, y)) < frac {3 varepsilon} {4} + frac { varepsilon} {4} = varejpsilon} end {array}
]
Portanto, o limite duplo ((2) ) também existe e é igual a (H. Square )

Nota 2. A mesma prova funciona também com (f ) restrito a ((X - {p }) times (Y - {q }) ) de modo que as "linhas" (x = p ) e (y = q ) são excluídos de (D_ {f}. ) Neste caso,
as fórmulas ((2) ) e ((3) ) significam o mesmo; ou seja,
[
lim _ {x rightarrow p sobre y rightarrow q} f (x, y) = lim _ {(x, y) rightarrow (p, q)} f (x, y).
]

Nota 3. No Teorema (2, ) podemos tomar (E ^ {*} ) (adequadamente metrizado) para (X ) ou (Y ) ou (T. ) Então o teorema também se aplica aos limites em ( pm infty, ) e limites infinitos. Também podemos tomar (X = Y = N cup {+ infty } ) (os naturais junto com (+ infty), ) com o mesmo (E ^ {*} ) - métrico e considere os limites em (p = + infty. ) Além disso, pela Nota (2, ) podemos restringir (f ) a (N vezes N, ) de modo que (f: N times N rightarrow T ) torna-se uma sequência dupla (Capítulo 1, §9). Escrevendo (m ) e (n ) para (x ) e (y, ) e (u_ {mn} ) para (f (x, y), ) obtemos então o de Osgood teorema para sequências duplas (também chamado de teorema de Moore-Smith) como segue.

Teorema ( PageIndex {2 '} )

Seja ( left {u_ {m n} right } ) uma sequência dupla em um espaço completo ( left (T, rho ^ { prime} right). ) Se
[
lim _ {n rightarrow infty} u_ {m n} = q_ {m} text {existe para cada} m
]
e se
[
lim _ {m rightarrow infty} u_ {m n} = p_ {n} ( text {uniformemente em} n) text {igualmente existe,}
]
então o limite duplo e os dois limites iterados de ( left {u_ {m n} right } ) existem e
[
lim _ {m rightarrow infty atop n rightarrow infty} u_ {mn} = lim _ {n rightarrow infty} lim _ {m rightarrow infty} u_ {mn} = lim _ {m rightarrow infty} lim _ {n rightarrow infty} u_ {mn}.
]
Aqui, a suposição de que ( lim _ {m rightarrow infty} u_ {m n} = p_ {n} ) (uniformemente em (n) ) significa, por ((5), ) que
[
( forall varepsilon> 0) ( exists k) ( forall n) ( forall m> k) quad rho left (u_ {m n}, p_ {n} right) < varejpsilon.
]
Da mesma forma, a declaração " ( lim _ {m rightarrow infty atop n rightarrow infty} u_ {mn} = s ^ { prime prime} ( operatorname {ver} (2)) ) é Equivale a
[
( forall varepsilon> 0) ( exists k) ( forall m, n> k) quad rho left (u_ {m n}, s right) < varejpsilon.
]

Nota 4. Dada qualquer sequência ( left {x_ {m} right } subseteq (S, rho), ) podemos considerar o duplo ( operatorname {limit} lim _ {m rightarrow infty em cima de n rightarrow infty} rho left (x_ {m}, x_ {n} right) ) em (E ^ {1}. ) Usando ((8), ) pode-se ver facilmente que
[
lim _ {m rightarrow infty atop n rightarrow infty} rho left (x_ {m}, x_ {n} right) = 0
]
sse
[
( forall varepsilon> 0) ( existe k) ( forall m, n> k) quad rho left (x_ {m}, x_ {n} right) < varejpsilon,
]
ou seja, (i f f left {x_ {m} right } ) é uma sequência de Cauchy. Assim, as sequências de Cauchy são aquelas para as quais ( lim _ {n rightarrow infty atop n rightarrow infty} rho left (x_ {m}, x_ {n} right) = 0 ).

Teorema ( PageIndex {3} )

Em cada espaço métrico ((S, rho), ) a métrica ( rho: (S times S) rightarrow E ^ {1} ) é uma função contínua no espaço do produto (S times S ).

Prova

Fixe qualquer ((p, q) in S times S. ) Pelo teorema 1 de §2, rho ) é contínuo em ((p, q) ) iff
[
rho left (x_ {m}, y_ {m} right) rightarrow rho (p, q) text {sempre que} left (x_ {m}, y_ {m} right) rightarrow (p , q),
]
ou seja, sempre que (x_ {m} rightarrow p ) e (y_ {m} rightarrow q. ) No entanto, isso segue o Teorema 4 no Capítulo 3, §15. Assim, a continuidade é comprovada. (quadrado)


Assista o vídeo: R1 3B Grenseverdier del1 (Outubro 2021).