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5.3: Regra de L'Hôpital - Matemática


Provaremos agora uma regra útil para resolver limites indeterminados. Abaixo, (G _ { neg p} ) denota um globo excluído (G _ { neg p} ( delta) ) em (E ^ {1}, ) ou um sobre ( pm infty ) da forma ((a, + infty) ) ou (- infty, a). ) Para limites unilaterais, substitua (G _ { neg p} ) por seu apropriado " metade."

Teorema ( PageIndex {1} ) (regra de L'Hôpital)

Seja (f, g: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} ) diferenciável em (G _ { neg p} ), com (g ^ { prime} neq 0 ) lá . Se (| f (x) | ) e (| g (x) | ) tendem ambos para (+ infty, ^ {1} ) ou ambos para (0, ) como (x rightarrow p ) e se

[ lim _ {x rightarrow p} frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x)} = r text {existe em} E ^ {*}, ]

então também

[ lim _ {x rightarrow p} frac {f (x)} {g (x)} = r; ]

da mesma forma para (x rightarrow p ^ {+} ) ou (x rightarrow p ^ {-} ).

Prova

Basta considerar os limites esquerdo e direito. Ambos combinados produzem então o limite bilateral.

Primeiro, deixe (- infty leq p <+ infty ),

[ lim _ {x rightarrow p ^ {+}} | f (x) | = lim _ {x rightarrow p ^ {+}} | g (x) | = + infty text {e} lim _ {x rightarrow p ^ {+}} frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x)} = r text {(finito)}. ]

Então dado ( varepsilon> 0, ) podemos fixar (a> p left (a in G _ { neg p} right) ) de modo que

[ left | frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x)} - r right | < varepsilon, text {para todos} x text {no intervalo} (p, a). ]

Agora aplique a lei da média de Cauchy (§2, Teorema 2) a cada intervalo ([x, a], ) (p

[g ^ { prime} (q) [f (x) -f (a)] = f ^ { prime} (q) [g (x) -g (a)]. ]

Como (g ^ { prime} neq 0 ) (por suposição), (g (x) neq g (a) neq g (a) ) pelo Teorema 1, §2, então podemos dividir obter

[ frac {f (x) -f (a)} {g (x) -g (a)} = frac {f ^ { prime} (q)} {g ^ { prime} (q) }, quad text {onde} p

Isso combinado com (1) rendimentos

[ left | frac {f (x) -f (a)} {g (x) -g (a)} - r right | < varepsilon, ]

ou, configuração

[F (x) = frac {1-f (a) / f (x)} {1-g (a) / g (x)}, ]

temos

[ left | frac {f (x)} {g (x)} cdot F (x) -r right | < varepsilon text {para todos} x text {dentro} (p, a) . ]

Como (| f (x) | ) e (| g (x) | rightarrow + infty ) (por suposição), temos (F (x) rightarrow 1 ) como (x rightarrow p ^ {+} ). Portanto, pelas regras para limites direitos, existe (b in (p, a) ) tal que para todos (x in (p, b) ), ambos (| F (x) -1 | < varejpsilon ) e (F (x)> frac {1} {2} ). (Por quê?) Para tal (x ), fórmula (2) segura também. Além disso,

[ frac {1} {| F (x) |} <2 text {e} | r-r F (x) | = | r || 1-F (x) | <| r | varepsilon. ]

Combinando isso com (2), temos para (x in (p, b) )

[ begin {align} left | frac {f (x)} {g (x)} - r right | & = frac {1} {| F (x) |} left | frac {f (x)} {g (x)} F (x) -r F (x) right | & <2 left | frac {f (x)} {g (x)} cdot F (x) -r + r-r F (x) right | & <2 varepsilon (1+ | r |). end {alinhado} ]

Assim, dado ( varepsilon> 0, ) encontramos (b> p ) tal que

[ left | frac {f (x)} {g (x)} - r right | <2 varejpsilon (1+ | r |), quad x in (p, b). ]

Como ( varepsilon ) é arbitrário, temos ( lim _ {x rightarrow p ^ {+}} frac {f (x)} {g (x)} = r, ) como afirmado.

O caso ( lim _ {x rightarrow p ^ {+}} f (x) = lim _ {x rightarrow p ^ {+}} g (x) = 0 ) é mais simples. Como antes, obtemos

[ left | frac {f (x) -f (a)} {g (x) -g (a)} - r right | < varepsilon. ]

Aqui também podemos substituir ("a ^ { prime prime} ) por qualquer (y in (p, a). ) Mantendo (y ) fixo, deixe (x rightarrow p ^ {+} ). Em seguida, (f (x) rightarrow 0 ) e (g (x) rightarrow 0, ) então obtemos

[ left | frac {f (y)} {g (y)} - r right | leq varepsilon text {para qualquer} y in (p, a). ]

Como ( varepsilon ) é arbitrário, isso implica ( lim _ {y rightarrow p ^ {+}} frac {f (y)} {g (y)} = r. ) Assim é o caso (x rightarrow p ^ {+} ) é estabelecido para um (r. ) finito

Os casos (r = pm infty ) e (x rightarrow p ^ {-} ) são análogos, e os deixamos para o leitor. ( quad square )

Nota 1. ( lim frac {f (x)} {g (x)} ) pode existir mesmo se ( lim frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x )}) não. Por exemplo, pegue

[f (x) = x + sin x text {e} g (x) = x. ]

Então

[ lim _ {x rightarrow + infty} frac {f (x)} {g (x)} = lim _ {x rightarrow + infty} left (1+ frac { sin x} { x} direita) = 1 quad ( text {por quê?}), ]

mas

[ frac {f ^ { prime} (x)} {g ^ { prime} (x)} = 1+ cos x ]

não tende a nenhum limite como (x rightarrow + infty ).

Nota 2. A regra falha se as suposições necessárias não forem satisfeitas, por exemplo, se (g ^ { prime} ) tem valores zero em cada (G _ { neg p}; ) veja o Problema 4 abaixo.

Freqüentemente, é útil combinar a regra de L'Hôpital com algumas fórmulas de limite conhecidas, como

[ lim _ {z rightarrow 0} (1 + z) ^ {1 / z} = e text {ou} lim _ {x rightarrow 0} frac {x} { sin x} = 1 text {(ver §1, Problema 8).} ]

Exemplos

(a) ( lim _ {x rightarrow + infty} frac { ln x} {x} = lim _ {x rightarrow + infty} frac {( ln x) ^ { prime}} {1} = lim _ {x rightarrow + infty} frac {1} {x} = 0. )

(b) ( lim _ {x rightarrow 0} frac { ln (1 + x)} {x} = lim _ {x rightarrow 0} frac {1 / (1 + x)} { 1} = 1. )

(c) ( lim _ {x rightarrow 0} frac {x- sin x} {x ^ {3}} = lim _ {x rightarrow 0} frac {1- cos x} { 3 x ^ {2}} = lim _ {x rightarrow 0} frac { sin x} {6 x} = frac {1} {6} lim _ {x rightarrow 0} frac { sin x} {x} = frac {1} {6}. )

(Aqui, tivemos que aplicar a regra de L'Hôpital repetidamente.)

(d) Considere

[ lim _ {x rightarrow 0 ^ {+}} frac {e ^ {- 1 / x}} {x}. ]

Tomando as derivadas (até (n ) vezes), obtém-se

[ lim _ {x rightarrow 0 ^ {+}} frac {e ^ {- 1 / x}} {n! x ^ {n + 1}}, quad n = 1,2,3, ldots text {(sempre indeterminado!).} ]

Portanto, a regra não dá resultados. Nesse caso, entretanto, um dispositivo simples ajuda (consulte o Problema 5 abaixo).

(e) ( lim _ {n rightarrow infty} n ^ {1 / n} ) não tem a forma ( frac {0} {0} ) ou ( frac { infty} { infty}, ) então a regra não se aplica diretamente. Em vez disso, calculamos

[ lim _ {n rightarrow infty} ln n ^ {1 / n} = lim _ {n rightarrow infty} frac { ln n} {n} = 0 text {(Exemplo ( uma))}.]

Por isso

[n ^ {1 / n} = exp left ( ln n ^ {1 / n} right) rightarrow exp (0) = e ^ {0} = 1 ]

pela continuidade das funções exponenciais. A resposta é 1.


Regra de L'hopital

A regra de L'Hopital é um teorema que pode ser usado para avaliar limites difíceis. Envolve obter as derivadas desses limites, o que pode simplificar a avaliação do limite.

O teorema afirma que se feg são diferenciáveis ​​eg '(x) ≠ 0 em um intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente em a) e um dos seguintes é válido:

dado que o limite do lado direito existe ou existe. Para o caso 1, o limite é chamado de forma intermediária do tipo 0/0. Da mesma forma, no caso 2, é chamado de indeterminado da forma & infin / & infin.

Embora a regra de L'Hopital possa às vezes ser usada com limites indeterminados de outras formas, ela é normalmente mais útil para os limites das formas mencionadas: 0/0 ou & infin / & infin. Ambos os tipos de limite indeterminado representam uma "luta" entre o numerador e o denominador em que o "vencedor" não é claro sem cálculos adicionais. "Vencer", como é usado aqui e ao longo do resto do artigo, refere-se a qual parte da função é dominante, ou seja, qual está atingindo seu limite mais rapidamente.

Para limites da forma 0/0, se o numerador vencer, o limite será 0. Se, em vez disso, o denominador vencer, o limite será. Em caso de empate, o limite será um número finito.

A lógica reversa também se aplica aos limites da forma & infin / & infin. Ou seja, para limites do tipo & infin / & infin, se o numerador ganhar, o limite será & infin. Se o denominador vencer, o limite será 0. Se houver empate, o limite será um número finito, como no caso 0/0.

Conforme x se aproxima de & infin, tanto x quanto lnx se aproximam do infinito, então este é um limite indeterminado do tipo & infin / & infin. Se aplicarmos a regra de L'Hopital, obteremos:

que tende ao infinito, então o limite é.

Se inserirmos x = -4, obtemos 0/0, então, quando aplicamos a regra de L'Hopital, obtemos:

Nota: em vez de usar a regra de L'Hopital, poderíamos ter multiplicado o topo e o fundo por, que é o conjugado do numerador. Depois de fazer isso, obteríamos:

cujo limite em -4 pode ser avaliado inserindo x = -4. Em geral, devemos procurar uma maneira mais fácil de avaliar um limite, como usar conjugados, antes de recorrer à regra de L'Hopital.

Como lidar com 0 ∙ e infin

Sempre e, é chamado de forma indeterminada do tipo 0 ∙ & infin. O limite pode ser 0 ou & infin se f ou g ganhar, respectivamente, ou pode ser um número finito no caso de empate. Podemos transformar a forma indeterminada 0 ∙ & infin na forma 0/0 ou & infin / & infin reescrevendo fg como

respectivamente, para que possamos usar a regra de L'Hopital. Escolhemos entre 0/0 e & infin / & infin com base no que é mais fácil de calcular.

Quando plugamos para x para x obtemos e, então este é um produto indeterminado da forma 0 ∙ & infin. Nós reescrevemos

que tem o formato 0/0. Pela regra de L'Hopital:

Nota: poderíamos ter reescrito

que é da forma & infin / & infin, mas resolver isso com a regra de L'Hopital seria mais complicado.

Alternativamente, poderíamos ter notado isso e reescrito

Agora, aplicando a regra de L'Hopital resulta:

que é o que temos antes.

Aplicando a regra de L'Hopital várias vezes

Às vezes, a aplicação da regra de L'Hopital a limites indeterminados da forma 0/0 ou & infin / & infin resulta em outro limite 0/0 ou & infin / & infin, e temos que usar a regra de L'Hopital algumas vezes para determinar o limite.

Mas este ainda é um limite da forma & infin / & infin, e teríamos que aplicar a regra de L'Hopital 1000 vezes para podermos avaliar o limite. Após cada aplicação da regra de L'Hopital, o limite resultante ainda será & infin / & infin até que o denominador seja uma constante. No final, obteríamos:

Nota: Se n for um número inteiro positivo, o símbolo n! , chamado de "n fatorial", é definido como:

onde 0! é definido como 1.

Mesmo sendo 1000! é inimaginavelmente grande, e x cresce até o infinito, então o limite ainda é + & infin.

Como lidar com 1 e infin, 0 0 e infin 0

Sempre e, o limite é chamado de forma indeterminada do tipo 1 e infinito.

Substitua f (x) e g (x) por 0 ou infinito para os dois casos restantes.

Caso 1 e infinito: se f ganhar ou se aproximar de seu limite mais rapidamente, o resultado é 1. Se g ganhar, o resultado é & infin. Se houver empate, o resultado é um número finito.

0 0 caso: Se f ganhar, o resultado é 0. Se g vencer, o resultado será 1. Se houver empate, o resultado é um número finito.

Caso & infin 0: Se f ganhar, o resultado é & infin. Se g vencer, o resultado será 1. Se houver empate, o resultado é um número finito.

Para essas formas indeterminadas que envolvem expoentes como 1 & infin, 0 0, & infin 0, precisamos usar a função de log natural para transformar o limite na forma 0 0 ou & infin & infin para que possamos usar a regra de L'Hopital (ver o truque em Diferenciação implícita para um exemplo de como usamos a função ln).

À medida que x cresce, o limite é da forma & infin 0, então, por enquanto, chamamos o limite e pegamos o ln de ambos os lados para obter:

Como ln é uma função contínua, podemos trocar a ordem dos símbolos ln e lim para obter:

Como é apenas o recíproco do primeiro exemplo,, então L = 1.

e então esse limite é do tipo 1 e infin e precisamos pegar o ln deste limite:

Desde então, podemos descartar o termo:

Agora, isso está no formato 0/0, então aplicamos a regra de L'Hopital:

Como este é o ln do limite original, o limite original deve ser e 0 = 1.

Como lidar com & infin- & infin

Ao trabalhar com limites da forma, podemos usar a função exponencial para transformar o limite na forma. De certa forma, essa é a técnica reversa de usar a função ln para avaliar formas indeterminadas do tipo 1 & infin, & infin 0 e 0 0. Se feg são frações, podemos simplesmente combiná-los em um único quociente usando o mínimo denominador comum.

Tanto tan (x) quanto sec (x) se aproximam do infinito neste limite, então podemos usar a regra de L'Hopital. Mas, primeiro, uma vez que e podemos reescrever o acima como:

Agora está no formato 0/0, então podemos usar a regra de L'Hopital:

Ambos e se aproximam do infinito, então podemos chamar o limite de L por enquanto e pegar o exponencial de ambos os lados. Como o exponencial é uma função contínua como ln, podemos trocar a ordem das operações exponencial e limite:

Uma avaliação mais detalhada nos dá:

Poderíamos usar a regra de L'Hopital neste ponto, uma vez que ambos e x se aproximam de + & infin, então o limite é do tipo & infin / & infin, mas a matemática seria complicada.

Em vez disso, podemos reescrever x como:

e faça a substituição y = de modo que:

Este é o mesmo limite que avaliamos no Exemplo 4, então

Ainda não terminamos porque este é o exponencial do limite original, ou:

então pegamos o ln de ambos os lados para concluir que:

Quando não usar a regra de L'Hopital

A regra de L'Hopital pode dar a você a resposta errada se aplicada incorretamente.

Este limite pode ser avaliado simplesmente inserindo x = 0 para obter:

No entanto, se aplicarmos indiscriminadamente a regra de L'Hopital sem inserir o valor x = 0, obteremos:

Lembre-se de que a regra de L'Hopital só se aplica se o limite original for do tipo 0/0 ou & infin / & infin. Como o limite original era 2, a regra de L'Hopital não se aplica. É por isso que devemos sempre inserir o valor que x está se aproximando no limite para garantir que não haja uma maneira mais fácil de avaliar o limite antes de usar a regra de L'Hopital.

Além disso, a regra de L'Hopital nem sempre funciona porque, em alguns casos, a aplicação repetida da regra de L'Hopital ainda resultará em formas indeterminadas, independentemente de quantas vezes a regra é aplicada.

Ambos e abordagem, para que possamos aplicar a regra de L'Hopital:

No entanto, isso ainda é & infin / & infin, então aplicamos a regra de L'Hopital novamente:

No entanto, isso nos traz de volta ao ponto de partida, então precisamos usar outro método para avaliar o limite. Observe que, como x + 1 é sempre positivo e x se aproxima de + & infin. Além disso, completar o quadrado nos diz isso. Portanto,

Podemos ter esperado isso porque à medida que x se aproxima de & infin,, que pode ser aproximado de. Isso é igual, então podemos adivinhar que o limite deveria ser.

Por que a regra de L'Hopital funciona

Lembre-se da declaração da regra de L'Hopital:

Se feg são diferenciáveis ​​eg '(x) ≠ 0 em um intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente em a) e uma das seguintes opções:

dado que o limite do lado direito existe ou existe.

Para ver por que para o caso 0/0, lembre-se da definição de uma derivada no ponto x = a:

Se assumirmos que f 'e g' são contínuos em a, então seus limites próximos a x = a são iguais a seus valores em x = a:

Dividindo essas duas equações e lembrando das propriedades dos limites:

Observe que podemos cancelar os termos x - a no lado direito para obter:

Uma vez que assumimos que é do tipo 0/0, também podemos dizer que

Se inserirmos isso na fórmula, obteremos:

Podemos converter o caso quando é do tipo & infin / & infin em um caso do tipo 0/0 reescrevendo como:

Desde e, sabemos que e, então agora é um caso do tipo 0/0 para o qual acabamos de provar que a regra de L'Hopital funciona. Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hopital para obter:

Conectando-os à fórmula anterior:

Podemos simplificar o lado direito para obter:

Agora, conectamos isso de volta à equação anterior para obter:

Lembrando nossa reescrita original, sabemos que:

Observe que podemos cancelar um termo do lado esquerdo e direito da equação acima para obter:

Agora, se multiplicarmos ambos os lados por, obteremos a regra de L'Hopital para o caso & infin / & infin:


Qual é a regra de L'Hôpital?

A regra L & # 8217Hopital & # 8217s nos ajuda a simplificar nossa abordagem na avaliação de limites usando derivadas. Dada uma função racional, $ dfrac$, e temos $ lim_ dfrac = dfrac <0> <0> $ ou $ lim_ dfrac = dfrac < pm infty> < pm infty> $, ainda podemos avaliar seu limite usando a regra de L'Hôpital conforme mostrado abaixo.

Isso significa que quando recebemos uma função com forma indeterminada, de acordo com a regra de L'Hôpital, ainda podemos determinar seu limite por:

  • Tirando as derivadas do numerador e do denominador.
  • Use esta nova expressão racional em vez disso, então pegue a expressão deste limite em vez de $ x rightarrow a $.
  • Se a função ainda retornar um limite de $ dfrac <0> <0> $ e $ dfrac < pm infty> < pm infty> $, execute a regra de L’Hôpital novamente.

L & # 8217Hopital & # 8217s Regra

Mas o que acontecerá se o numerador e o denominador tenderem para $? Não está claro qual é o limite. Na verdade, dependendo de quais funções $ f (x) $ e $ g (x) $ são, o limite pode ser qualquer coisa!

Exemplo

Esses limites são exemplos de formas indeterminadas do tipo $ frac <0> <0> $. A regra L & # 8217Hôpital & # 8217s fornece um método para avaliar esses limites. Vamos denotar $ displaystyle lim_, lim_, lim_, lim_, < small textrm > lim_$ genericamente por $ lim $ no que segue.

Regra L & # 8217Hôpital & # 8217s para $ displaystyle frac $

Suponha $ lim f (x) = lim g (x) = 0 $. Então

  1. Se $ displaystyle lim , frac= L $, então $ displaystyle lim , frac= lim frac= L $.
  2. Se $ displaystyle lim , frac$ tende a infty $ ou $ - infty $ no limite, então $ displaystyle frac também$.

Considere $ displaystyle lim_, frac$, onde $ x (a) = y (a) = 0 $. No tempo $ t $, a linha secante através de $ (x (t), y (t)) $ e $ (0,0) $ tem inclinação [ frac= frac. ] Como $ t para a ^ + $, $ x (t) para 0 $ e $ y (t) para 0 $, e esperamos que a linha secante se aproxime da linha tangente em $ (0,0 ) $ cada vez melhor. No limite de $ t a ^ + $, [< small textrm> = lim_, frac. ] Mas também podemos calcular a inclinação da reta tangente em $ (0,0) $ como

[< small textrm> = left. frac right | _= frac>> = lim_ frac. ] Portanto, [ lim_ frac= lim_ frac. ] Esta é uma interpretação geométrica informal, e certamente não uma prova, da Regra de L & # 8217Hôpital & # 8217s. No entanto, dá-nos uma ideia da declaração formal da regra.

Usaremos uma extensão do Teorema do Valor Médio:

Teorema do valor médio estendido (Cauchy)

Sejam $ f $ e $ g $ diferenciáveis ​​em $ (a, b) $ e contínuos em $ [a, b] $. Suponha que $ g '(x) neq 0 $ em $ (a, b) $. Então, há pelo menos um ponto $ c $ em $ (a, b) $ tal que [ frac= frac. ] A prova deste teorema é bastante simples e pode ser encontrada na maioria dos textos de cálculo.

Vamos agora esboçar a prova da regra L & # 8217Hôpital & # 8217s para o caso $ frac <0> <0> $ no limite de $ x para c ^ + $, onde $ c $ é finito. O caso $ x a c ^ - $ pode ser provado de maneira semelhante, e esses dois casos juntos podem ser usados ​​para provar a regra de L & # 8217Hôpital & # 8217s para um limite bilateral. Esta prova foi retirada de Salas e Hille & # 8217s Cálculo: Uma Variável.

Sejam $ f $ e $ g $ definidos em um intervalo $ (c, b) $, onde $ f (x) a 0 $ e $ g (x) a 0 $ as $ x a c ^ + $ mas $ displaystyle frac$ tende a um limite finito $ L $. Então $ f & # 8217 $ e $ g & # 8217 $ existem em algum conjunto $ (c, c + g] $ e $ g & # 8217 neq 0 $ em $ (c, c + h] $. Além disso, $ f $ e $ g $ são contínuos em $ [c, c + h] $, onde definimos $ f (c) = 0 $ e $ g (c) = 0 $.

Exemplo
  • $ displaystyle lim_, frac < sin x>= lim_, frac < frac( sin x)> < frac(x)> = lim_, frac < cos x> <1> = 1. $
  • $ displaystyle lim_, frac <2 ln x>= lim_, frac < frac(2 ln x)> < frac(x-1)> = lim_, frac <

Se o numerador e o denominador tendem a $ infty $ ou $ - infty $, a regra de L & # 8217Hôpital & # 8217s ainda se aplica.

Regra L & # 8217Hôpital & # 8217s para $ displaystyle frac $

Suponha que $ lim f (x) $ e $ lim g (x) $ sejam ambos infinitos. Então

  1. Se $ displaystyle lim , frac= L $, então $ displaystyle lim , frac= lim frac= L $.
  2. Se $ displaystyle lim , frac$ tende a infty $ ou $ - infty $ no limite, então $ displaystyle frac também$.

A prova desta forma de Regra L & # 8217Hôpital & # 8217s requer uma análise mais avançada.

Aqui estão alguns exemplos de formas indeterminadas do tipo $ displaystyle frac < infty> < infty> $.

Exemplo

Às vezes, é necessário usar a Regra L & # 8217Hôpital & # 8217s várias vezes no mesmo problema:

Exemplo

Ocasionalmente, um limite pode ser reescrito para aplicar a regra L & # 8217Hôpital & # 8217s:

Exemplo

Podemos usar outros truques para aplicar a regra L & # 8217Hôpital & # 8217s. No próximo exemplo, usamos a regra L & # 8217Hôpital & # 8217s para avaliar uma forma indeterminada do tipo ^ 0 $:

Exemplo

Para avaliar $ displaystyle lim_, x ^ x $, primeiro avaliaremos $ displaystyle lim_, ln (x ^ x) $. [ lim_, ln (x ^ x) = lim_, x ln (x) = 0, quad < small textrm >. ] Então, desde $ displaystyle lim_, ln (x ^ x) para 0 $ como $ x para 0 ^ + $ e $ ln (u) = 0 $ se e somente se $ u = 1 $, [x ^ x para 1 quad textrm quad x para 0 ^ +. ] Portanto, [ lim_, x ^ x = 1. ]

Observe que a regra L & # 8217Hôpital & # 8217s se aplica apenas a formulários indeterminados. Para o limite no primeiro exemplo deste tutorial, a regra L & # 8217Hôpital & # 8217s não se aplica e daria um resultado incorreto de 6. A regra L & # 8217Hôpital & # 8217s é poderosa e extremamente fácil de usar para avaliar formas indeterminadas do tipo $ frac <0> <0> $ e $ frac < infty> < infty> $.

Conceitos chave

Suponha $ lim f (x) = lim g (x) = 0 $. Então

  1. Se $ displaystyle lim frac= L, $ então $ displaystyle lim frac= displaystyle lim frac= L $.
  2. Se $ displaystyle lim frac$ tende a infty $ ou $ - infty $ no limite, então $ frac também$.

Regra L & # 8217Hôpital & # 8217s para $ frac < infty> < infty> $
Suponha que $ lim f (x) $ e $ lim g (x) $ sejam ambos infinitos. Então


Limites por L & # x27Hôpital & Calculadora de regra # x27s

Exemplo

Problemas resolvidos

Problemas difíceis

Exemplo resolvido de limites pela regra de l'hôpital

Insira o valor $ no limite

Subtraia os valores $ 1 $ e $ -1 $

Se avaliarmos diretamente o limite $ lim_ left ( frac <1- cos left (x right)> right) $ como $ x $ tende a $, podemos ver que nos dá uma forma indeterminada

Podemos resolver esse limite aplicando a regra de L'Hôpital, que consiste em calcular a derivada do numerador e do denominador separadamente

Encontre a derivada do numerador

A derivada de uma soma de duas funções é a soma das derivadas de cada função

A derivada da função constante ($ 1 $) é igual a zero

A derivada de uma função multiplicada por uma constante ($ -1 $) é igual à constante vezes a derivada da função

A derivada do cosseno de uma função é igual a menos o seno da função vezes a derivada da função, em outras palavras, se $ f (x) = cos (x) $, então $ f & # x27 (x) = - sin (x) cdot D_x (x) $

Encontre a derivada do denominador

A regra de potência para diferenciação afirma que se $ n $ é um número real e $ f (x) = x ^ n $, então $ f & # x27 (x) = nx ^$


Conteúdo

Embora implícita no desenvolvimento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a ideia moderna do limite de uma função remonta a Bolzano que, em 1817, introduziu os fundamentos da técnica épsilon-delta para definir funções contínuas. No entanto, seu trabalho não foi conhecido durante sua vida. [1]

Em seu livro de 1821 Cours d'analyse, Cauchy discutiu quantidades variáveis, infinitesimais e limites, e definiu a continuidade de y = f (x) < displaystyle y = f (x)> dizendo que uma mudança infinitesimal em x necessariamente produz uma mudança infinitesimal em y, enquanto (Grabiner 1983) afirma que ele deu apenas uma definição verbal. [2] Weierstrass introduziu pela primeira vez a definição de limite épsilon-delta na forma que geralmente é escrita hoje. Ele também introduziu as notações lim e limxx0. [3]

A notação moderna de colocar a seta abaixo do símbolo de limite deve-se a Hardy, que é introduzida em seu livro Um curso de matemática pura em 1908. [4]

Imagine uma pessoa caminhando sobre uma paisagem representada pelo gráfico de y = f(x) Sua posição horizontal é medida pelo valor de x, muito parecido com a posição dada por um mapa da terra ou por um sistema de posicionamento global. Sua altitude é dada pela coordenada y. Eles caminham em direção à posição horizontal dada por x = p. À medida que se aproximam cada vez mais, eles percebem que sua altitude se aproxima eu. Se questionado sobre a altitude de x = p, eles então responderiam eu.

O que, então, significa dizer que sua altitude está se aproximando EU? Isso significa que sua altitude fica cada vez mais perto de eu- exceto por um possível pequeno erro de precisão. Por exemplo, suponha que definimos uma meta de precisão específica para o nosso viajante: eles devem ficar a dez metros de eu. Eles relatam que, de fato, podem chegar a dez metros verticais de eu, uma vez que eles notam que quando estão dentro de cinquenta metros horizontais de p, a altitude deles é sempre dez metros ou menos de eu.

A meta de precisão é então alterada: eles podem ficar dentro de um metro vertical? sim. Se eles estiverem em qualquer lugar dentro de sete metros horizontais de p, sua altitude sempre permanecerá dentro de um metro do alvo eu. Em resumo, dizer que a altitude do viajante se aproxima eu conforme sua posição horizontal se aproxima p, quer dizer que para cada meta de precisão do alvo, por menor que seja, existe alguma vizinhança de p cuja altitude cumpre essa meta de precisão.

A declaração informal inicial agora pode ser explicada:

O limite de uma função f(x) Como x aproximações p é um número eu com a seguinte propriedade: dada qualquer distância do alvo de eu, há uma distância de p dentro do qual os valores de f(x) permanecem dentro da distância do alvo.

Na verdade, esta declaração explícita é bastante próxima da definição formal do limite de uma função, com valores em um espaço topológico.

Mais especificamente, para dizer que

é dizer que ƒ(x) pode ser feito o mais próximo de eu como desejado, fazendo x perto o suficiente, mas não igual, de p.

As seguintes definições, conhecidas como (ε, δ) -definitions, são as definições geralmente aceitas para o limite de uma função em vários contextos.

Suponha f : RR é definido na linha real e p, LR . Dir-se-ia que o limite de f, Como x aproximações p, é eu e escrito

se a seguinte propriedade for válida:

  • Para cada real ε & gt 0, existe um verdadeiro δ & gt 0 tal que para todo x real, 0 & lt | xp | & lt δ implica que | f(x) − eu | & lt ε . [6]

Uma definição mais geral se aplica a funções definidas em subconjuntos da linha real. Deixar (uma, b) ser um intervalo aberto em R, e p um ponto de (uma, b) Deixar f ser uma função de valor real definida em todos os (uma, b) - exceto possivelmente em p em si. Diz-se então que o limite de f Como x aproximações p é EU, se para cada real ε & gt 0, existe um verdadeiro δ & gt 0 de modo que 0 & lt | xp | & lt δ e x ∈ (uma, b) implica que | f(x) − eu | & lt ε .

Aqui, observe que o valor do limite não depende de f sendo definido em p, nem no valor f(p) - se estiver definido.

As cartas ε e δ pode ser entendido como "erro" e "distância". Na verdade, Cauchy costumava ε como uma abreviatura para "erro" em alguns de seus trabalhos, [2] embora em sua definição de continuidade, ele usou um infinitesimal α < displaystyle alpha> ao invés de qualquer um ε ou δ (veja Cours d'Analyse). Nestes termos, o erro (ε) na medição do valor no limite pode ser feito tão pequeno quanto desejado, reduzindo a distância (δ) até o ponto limite. Conforme discutido abaixo, essa definição também funciona para funções em um contexto mais geral. A ideia de que δ e ε representar distâncias ajuda a sugerir essas generalizações.

Edição de existência e limites unilaterais

Alternativamente, x pode se aproximar p de cima (direita) ou abaixo (esquerda), caso em que os limites podem ser escritos como

respectivamente. Se esses limites existem em p e são iguais lá, isso pode ser referido como a limite de f(x) no p. [7] Se os limites unilaterais existem em p, mas são desiguais, então não há limite em p (ou seja, o limite em p não existe). Se qualquer um dos limites unilaterais não existir em p, então o limite em p também não existe.

Uma definição formal é a seguinte. O limite de f(x) Como x aproximações p de cima é eu se, para cada ε & gt 0, existe um δ & gt 0 de modo que |f(x) − eu| & lt ε sempre que 0 & lt xp & lt δ. O limite de f(x) Como x aproximações p de baixo é eu se, para cada ε & gt 0, existe um δ & gt 0 de modo que |f(x) − eu| & lt ε sempre que 0 & lt px & lt δ.

Se o limite não existir, a oscilação de f no p é diferente de zero.

Mais subconjuntos gerais Editar

Além de intervalos abertos, os limites podem ser definidos para funções em subconjuntos arbitrários de R, da seguinte forma (Bartle & amp Sherbert 2000) erro harv: sem destino: CITEREFBartleSherbert2000 (ajuda): let f ser uma função de valor real definida em um subconjunto S da linha real. Deixar p ser um ponto limite de S-isso é, p é o limite de alguma sequência de elementos de S distinto da p. O limite de f, Como x aproximações p de valores em S, é EU, se para cada ε & gt 0 , existe um δ & gt 0 tal que 0 & lt | xp | & lt δ e xS implica que | f(x) − eu | & lt ε .

Esse limite costuma ser escrito como:

A condição que f ser definido em S é aquele S ser um subconjunto do domínio de f. Esta generalização inclui como casos especiais limites em um intervalo, bem como limites canhotos de funções de valor real (por exemplo, tomando S ser um intervalo aberto da forma (- ∞, a) < displaystyle (- infty, a)>) e limites para destros (por exemplo, tomando S para ser um intervalo aberto da forma (a, ∞) < displaystyle (a, infty)>). Ele também estende a noção de limites unilaterais para os pontos finais incluídos de intervalos (semifechados), de modo que a função de raiz quadrada f(x)= √ x pode ter limite de 0 quando x se aproxima de 0 de cima.

Limites excluídos versus não excluídos Editar

A definição de limite dada aqui não depende de como (ou se) f é definido em p. Bartle (1967) refere-se a isso como um limite excluído, porque exclui o valor de f no p. O correspondente limite não excluído depende do valor de f no p, E se p está no domínio de f:

  • Um número eu é o limite não excluído de f Como x aproximações p se, para cada ε & gt 0, existe um δ & gt 0 tal que | xp | & lt δ e xDm(f) implica | f(x) − eu | & lt ε.

A definição é a mesma, exceto que o bairro | xp | & lt δ agora inclui o ponto p, em contraste com a vizinhança excluída 0 & lt | xp | & lt δ. Isso torna a definição de um limite não excluído menos geral. Uma das vantagens de trabalhar com limites não deletados é que eles permitem enunciar o teorema sobre os limites das composições sem quaisquer restrições nas funções (além da existência de seus limites não deletados) (Hubbard (2015)).

Bartle (1967) observa que, embora por "limite" alguns autores se refiram a esse limite não excluído, os limites excluídos são os mais populares. Por exemplo, Apostol (1974), Courant (1924), Hardy (1921), Rudin (1964), Whittaker & amp Watson (1902) erro harvtxt: sem alvo: CITEREFWhittakerWatson1902 (ajuda) todos consideram "limite" para significar o limite excluído.


O que é a regra de L'H & ocircpital?

entre outros. O texto acima não é uma lista exaustiva de todas as formas indeterminadas possíveis. Infelizmente, muitas dessas outras formas indeterminadas não são avaliadas facilmente. Pelo menos, sem as ferramentas certas.

Agora que desenvolvemos a ideia de derivados, no entanto, podemos usá-los como uma ferramenta para avaliar alguns desses limites indeterminados mais difíceis. Isso é feito usando a técnica conhecida como Regra de L'H & ocircpital.

Regra de L'H & ocircpital (ideia básica)

A regra de L'H & ocircpital nos diz que as derivadas e os limites estão relacionados da seguinte maneira:

Se $ displaystyle lim limits_ frac = frac 0 0 , left ( mbox frac infty infty right) $, então podemos usar a derivada de $ f $ e $ g $ da seguinte maneira:

Há algumas coisas que você precisa entender sobre a regra de L'H & ocircpital.

  • O lado direito da equação é NÃO a derivada de $ frac$, significando que não foi encontrado usando a regra de quociente. Em vez disso, a regra de L'H & ocircpital trata o numerador e denominador como funções separadas.
  • Às vezes, a regra de L'H & ocircpital deve ser aplicada mais de uma vez para encontrar o valor limite.
  • Esta regra é NÃO uma bala mágica. Existem algumas situações em que a regra falha em produzir uma solução utilizável. Ou seja, o limite permanece indeterminado.

A prova de que a regra de L'H & ocircpital é válida requer o uso da Extensão do Teorema do Valor Médio de Cauchy (que discutimos na lição anterior) e está incluída no final desta lição.

A prova é um bom exemplo de como o Teorema do Valor Médio pode ser usado para provar outras ideias importantes, mas (para ser honesto) se você não ler ou compreender a prova da Regra de L'H & ocircpital, isso não prejudicará sua capacidade para usar para avaliar limites. Então, você pode pular se necessário ( é uma prova realmente bonita, no entanto. Vale a pena ler!).

Aplicações básicas da regra de L'H e ocircpital

Exemplo 1

Observe que já aprendemos sobre esse limite específico. Em uma lição anterior, mostramos que

O objetivo deste exemplo é mostrar que a regra de L'H & ocircpital nos dá a mesma resposta (o que nos ajuda a acreditar que a regra funciona, uma vez que ainda não o provamos).

Mostre que o limite tem a forma correta para a Regra de L'H & ocircpital $ left ( frac 0 0 right. $ Ou $ left. Frac infty infty right) $.

$ displaystyle lim_frac x = frac 0 = frac 0 0 $

Use L'Hôpital's Rule, where $f(x) = sin x$ and $g(x) = x$ .

For reference, here is a graph of the function near $x = 0$ . Note that the function is undefined at $x = 0$ .

Exemplo 2

Let's try one more that we could evaluate directly using techniques from an earlier lesson. This particular limit will require two applications of the rule.

Verify the limit has the correct form for L'Hôpital's rule.

Use L'Hôpital's Rule, where $f(x) = 3x^2 - 5x + 7$ and $g(x) = 4x^2 + 9x - 1$ .

Apply L'Hôpital's Rule a second time.

For reference, here is a graph of the function.

Exemplo 3

Note that this particular example is não one of the forms from an earlier lesson. So, without L'Hôpital's Rule, we would be hard pressed to evaluate it.

Evaluate the limit in its current form (to make sure L'Hôpital's Rule applies).

Since we have a $frac 0 0$ form, we can use L'Hôpital's rule to try and evaluate it.

For reference, here is the graph of the function, with the limit value indicated. Note that the function is undefined at $x=1$ .

Not A Magic Bullet

It is important to note that L'Hôpital's rule is one tool in our toolbox, but it doesn't help with every limit. In the next lesson we'll look at some examples of limits where applying L'Hôpital's rule isn't appropriate, and we'll discuss what we can do to successfully evaluate such limits.

Proof of L'Hôpital's Rule

As always, before working through the proof, we need to first state the theorem formally.

Formal Statement

Suppose $limlimits_ frac$ has the form $frac 0 0$ or $frac infty infty$ . Also, suppose $f$ and $g$ are continuous in some open interval containing $x=a$ (except possibly at $x=a$ itself) and neither $g(x)$ nor $g'(x)$ are equal to zero in that same interval (again, except possibly at $x=a$ itself).
Então

provided the right-hand limit exists or is $pminfty$ .

Proof:

This proof focuses on the case where $limlimits_ frac = frac 0 0$ . The case where the limit is $fracinfty infty$ is approached similarly.

Since $limlimits_ f(x) = 0$ , we know that either $f(a) = 0$ or $f$ has a removable discontinuity at $x = a$ . In the case where we have the removable discontinuity, we can redefine $f$ so that $f(a) = 0$ without affecting the value of the limit, so let's do that.

Likewise, the same situation applies to $g(x)$ at $x = a$ , so make the same redefinition if needed. This means we now have $lue$ and $ ed$ , so we can write .

Since $f$ and $g$ are differentiable in the neighborhood of $x=a$ , we can apply Cauchy's extension of the MVT. This means there is a $cin(a,x)$ such that

Dividing both sides by $g'(c)$ gives us

If we examine the limit as $x o a^+$ , we see that $c o a^+$ as well (since $c geq a$ ). This means we can say

As similar argument with $x o a^-$ allows us to say

Finally, the last phrase in the formal statement of L'Hôpital's Rule says that the equation is valid provided the limit on the right exists. In order for this statement to be valid, we know the one-sided limits have to be the same. In that case


5.3: L'Hôpital's Rule - Mathematics

mQ5 pQDo_"W>Un=O1aXo,[email protected]%6X'Ak-=ZuJ)B5_17EGN_N2#G2=AYeOoKDK."#"_2 P^)bUXWg h#%NpFcMp]m$- [email protected] +i?I2U-csr_=+eeJ8'mmlYs31C5KPke!W#>.UsCU ia][email protected]#`gccQ)OHbZK8&=2_67dTU1?!%^.Q`P4m&"/25XHMZ5+kIb $b2a36&6=hBZmuli4:6kFuiMY=0g3p.`tA[BVg.L2hF#W.,Uip,EJt0GHOGK9rF .Ki&/[email protected]$>O9)[email protected]&[hdMk`[email protected]'1Pe8Aa/)^?M*%_I*Th]oP%aKk4Y ^f>3XB&KET!W7X0:96=ii0J"^epBTMe:c+AHXq?Q&mb+Yh2*r'[email protected] -i-9.KZ=!:`7s&BmbBV27_!HmR+j)J?qBh9%!j+eou$QR0PZmJHWd!LiJ_T72`Va^ /[email protected]?2e$C&pBHXDg6e8^WI:[email protected]/CMTfTZi)24Uf#mXNQ'bcDSM

> endstream endobj 28 0 obj > /ExtGState > >> endobj 30 0 obj > stream 8XugN)% :o94L!h/?!`@C,@WAmPIA'%](/&.+U(^t!:b38! MOb]P^DGEE&94^]TH[g^4\_^-/FpZe`,7T/!O/lF^"qBfBkC=elm6T=61XqB(5l9

> endstream endobj 31 0 obj > /ExtGState > >> endobj 32 0 obj > endobj 33 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 8 0 obj > endobj 34 0 obj > endobj 35 0 obj > stream 8V^jCJ5FD'V CoVGU=&c]9T,Y-PPib578WHhcrM#A cL0][email protected]^[email protected]:SI)STAb"E[`IBS/V,' L#^ [email protected]?"'B3Wrm>O``bt`a6E]MY8S-jLGn^oI[8Yk"[email protected] *i2M-"lYjc'SWJPRUUB6-j0,hFd#uqDkgG V9J39]^%jJscK1hutNa+u$ju !dFt[jAfkC>eE8Gb+I#QrTpb!W @"EXJr9uHTg.3 ]):[email protected],imV WTduRC'"(p2% d$.ufHOR?b)FOAnPHiO](WK#a6d0M/NQ%dr?+BRTNNk-Qa%XnSi=:p>(pbGsVuu?: PU#r4"G?DsRU.s9d9D&5+9%o+*R^3-b*)g37PNTa-i,75"+c0U!FcLjrMhH(Dn=a M/mh/"@'/8gM*!aB]r!/O?`8kL(TV%]b9%[email protected]/$L$P6)-`0dUhcQ/.rI`8PZXm H^g,/V>KM/9=BSoCnI?Mrt8fRR 5.OW'^.badG:hU^H/O`a,T$r-r?5`=Te^'eqtbpYqSAVOo428Q4L :.'3n7(PEFg(I5RQqZ`5n]^tlp[^F)(ND5ua`MZgG`kmgS4_qWT0DlOTW^:gmGT^ =iNmTM]&U.c>%OcJX'^u/QjXXKNk-?cc%[email protected]#i_u1%!12,n/H

> endstream endobj 4 0 obj > endobj 5 0 obj > endobj 6 0 obj > endobj 41 0 obj > endobj 13 0 obj > endobj 14 0 obj > endobj 15 0 obj > endobj 16 0 obj > endobj 40 0 obj > endobj 42 0 obj > endobj 1 0 obj > endobj 10 0 obj > endobj 17 0 obj > endobj 20 0 obj > endobj 23 0 obj > endobj 26 0 obj > endobj 29 0 obj > endobj 9 0 obj > endobj 43 0 obj > endobj 44 0 obj > endobj xref 0 45 0000000000 65535 f 0000037895 00000 n 0000000016 00000 n 0000002559 00000 n 0000031982 00000 n 0000032086 00000 n 0000032186 00000 n 0000028902 00000 n 0000029002 00000 n 0000038473 00000 n 0000037975 00000 n 0000002684 00000 n 0000007795 00000 n 0000033028 00000 n 0000034082 00000 n 0000035139 00000 n 0000035252 00000 n 0000038058 00000 n 0000007958 00000 n 0000011933 00000 n 0000038141 00000 n 0000012062 00000 n 0000016478 00000 n 0000038224 00000 n 0000016619 00000 n 0000021956 00000 n 0000038307 00000 n 0000022083 00000 n 0000025932 00000 n 0000038390 00000 n 0000026059 00000 n 0000028562 00000 n 0000028679 00000 n 0000028802 00000 n 0000029100 00000 n 0000029366 00000 n 0000030585 00000 n 0000030783 00000 n 0000031258 00000 n 0000031488 00000 n 0000035364 00000 n 0000032285 00000 n 0000036571 00000 n 0000038596 00000 n 0000038646 00000 n trailer ] >> startxref 38755 %%EOF


L’Hôpital’s Rule

L’Hôpital’s Rule, which was named after French Mathematician, Guillaume Francois Antoine de L’Hôpital, is a very important rule when trying to find the limit of a function when it plugging in the values makes it indeterminate. This is not the situation when the the right hand limit and the left hand limit are not equal because then the limit does not exist. This is when the right hand limit and the left hand limit approach the same value, but when we plug in the value we are approaching then we get either ∞/∞, -∞/∞, or 0/0.

We get an indeterminate value. All three of those situations don’t have a real value, but the limit does exist because the limit is the value that the function is approaching, and not necessarily the value the function equals.

Here are the three situations when you can use L’Hôpital’s Rule to find the derivative of the function:

When you get one of these three situation, then you can use L’Hôpital’s Rule to determine what the limit is. It states that in this situation the limit of the two functions equals the limit of the derivative of the numerator divided by the derivative of the denominator, or to say it symbolically.

There are times when just taking the first derivative is not enough to find the answer. Meaning that even after taking the derivative of the function when you take the limit of the function then you still get an indeterminate answer, 0/0, ∞/∞, -∞/∞. In that case you can take the derivative of the derivative function and try again. That’s the beauty of L’Hôpital’s Rule, it allows us to keep taking the derivative of the function until we get a determinate answer.


5.3: L'Hôpital's Rule - Mathematics

The following problems involve the use of l'Hopital's Rule. It is used to circumvent the common indeterminate forms $ frac< "0" > < 0 >$ and $ frac<"infty" > < infty >$ when computing limits. There are numerous forms of l"Hopital's Rule, whose verifications require advanced techniques in calculus, but which can be found in many calculus books. This link will show you the plausibility of l'Hopital's Rule. Following are two of the forms of l'Hopital's Rule.

THEOREM 1 (l'Hopital's Rule for zero over zero): Suppose that $ displaystyle < lim_f(x) =0 > $, $ displaystyle < lim_g(x) =0 > $, and that functions $f$ and $g$ are differentiable on an open interval $I$ containing $a$. Assume also that $ g'(x) e 0$ in $I$ if $x e a$. Then $ displaystyle < lim_ frac > = displaystyle < lim_ frac > $ so long as the limit is finite, infty$, or $-infty$. Similar results hold for $ x ightarrow infty $ and $ x ightarrow - infty $.

THEOREM 2 (l'Hopital's Rule for infinity over infinity): Assume that functions $f$ and $g$ are differentiable for all $x$ larger than some fixed number. If $ displaystyle < lim_f(x) = infty > $ and $ displaystyle < lim_g(x) = infty > $, then $ displaystyle < lim_ frac > = displaystyle < lim_ frac > $ so long as the limit is finite, infty$, or $-infty$. Similar results hold for $ x ightarrow infty $ and $ x ightarrow - infty $.

In both forms of l'Hopital's Rule it should be noted that you are required to differentiate (separately) the numerator and denominator of the ratio if either of the indeterminate forms $ frac< "0" > < 0 >$ or $ frac<"infty" > < infty >$ arises in the computation of a limit. Do not confuse l'Hopital's Rule with the Quotient Rule for derivatives. Here is a simple illustration of Theorem 1.

EXAMPLE 1: $ displaystyle < lim_ frac = frac<" 2-2" > < (2)^2-4 >= frac< "0" > < 0 >> $ (Now apply Theorem 1. Differentiate top and bottom separately.) $ = displaystyle < lim_frac<1-0> <2x-0>> $ $ = displaystyle < lim_frac<1> <2x>> $ $ = frac<1> <2(2)>$ $ = frac<1> <4>$ Here is a simple illustration of Theorem 1.

Indeterminate forms besides $ frac< "0" > < 0 >$ and $ frac<"infty" > < infty >$ include $ "0 cdot infty $, $ "infty - infty" $, $ "1^" $, $ "0^<0>" $, and $ "infty^<0>" $. These forms also arise in the computation of limits and can often be algebraically transformed into the form $ frac< "0" > < 0 >$ or $ frac<"infty" > < infty >$, so that l'Hopital's Rule can be applied. Following are two examples of such transformations. The second example uses the fact that $ y=e^x $ and $ y=ln x $ are inverse functions, so that $ z= e^ $ for all $ z>0 $ and $ ln z^m=m ln z$ for all $ z>0 $ and any $ m$.

EXAMPLE 3: $ displaystyle< lim_> sqrt cdot ln x > = " 0 cdot -infty"$ (Circumvent this indeterminate form by "flipping" $ sqrt $.) $ = displaystyle< lim_> frac<1/sqrt> > = frac< "- infty" > < infty >$ (Now use Theorem 2 for l'Hopital's Rule.) $ = displaystyle< lim_> frac<1/x><-1/2x^<3/2>> > $ $ = displaystyle< lim_> -2 sqrt > $ $ = -2 sqrt <0>$ $ = -2 (0) $ $ = 0 $

EXAMPLE 4: $ displaystyle< lim_> x^x > = " 0^0" $ (Use the fact that $ z=e^ $.) $ = displaystyle< lim_> e^< ln <>> > > $ (Use the fact that $ ln z^m=m ln z$ .) $ = displaystyle< lim_> e^ < x ln x >> $ (This next step uses the fact that $y=e^ $ is a continuous function.) $ = displaystyle< e^> < x ln x >> > $ $ = displaystyle < e^< "0 cdot (-infty)">> $ (Circumvent this indeterminate form by "flipping" $ x $.) $ = displaystyle< e^> < frac< ln x > <1/x>> > > $ (Now apply Theorem 2 for l'Hopita's Rule.) $ = displaystyle< e^> < frac< 1/x > <-1/x^2>> > > $ $ = displaystyle< e^> < (-x) >> > $ $ = e^0 $ $ = 1 $

In the list of limit problems which follows, most problems are average and a few are somewhat challenging. In some cases there may be methods other than l'Hopital's Rule that could be used to compute the given limit. Nonetheless, l'Hopital's Rule will be used whenever applicable in this problem set.

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. . L'HOPITAL ALERT . The following problems require algebraic manipulation BEFORE l'Hopital's Rule can be applied.

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ロピタルの定理

本定理はスイスの数学者、ヨハン・ベルヌーイによって発見されたものであるとされている [1] (ロピタルの定理論争を参照)。本定理の名称としては、欧州で最初の微分学書である Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (西暦1696年, 直訳: 曲線の理解のための無限小の解析) を出版し [2] 、その中で本定理を広く世に知らしめた17世紀のフランスの数学者、ギヨーム・ド・ロピタルの名を冠してロピタルの定理と呼ばれることが通例である。ベルヌーイとロピタルとの間には契約があってロピタルは命名権のためにいくらかの対価を与えたということである。ロピタルの死後にベルヌーイが自分こそが定理の発見者であると暴露した [3] 。

ロピタルの定理の一般形は多くの場合に適用される。ceu が拡大実数(すなわち実数、正の無限大、負の無限大) であり、次の条件、

が存在するという条件は十分条件にすぎない。不定形の微分ではしばしば極限値が存在せず、極限値が存在しない場合はロピタルの定理は適用できない。例えば、f(x) = x + sin(x) と g(x) = x に対しては、

  • 以下に示す式はsinc関数と 0/0形の不定形を含む例である。
  • 次の式は0/0を含む、さらに巧妙な例である。ロビタルの定理を一回適用してもまだ不定形である。この場合は本定理を三回適用することにより、極限を求めることができる。
  • この例は∞/∞形の不定形を持つ。 n が正の整数であるとき、
  • これは レイズドコサインフィルタ (en) のインパルス応答と0/0形の不定形を持つ例である。
  • 次の定理を証明するためにロピタルの定理を使用することができる。もし f ″ x で連続ならば、
  • ロビタルの定理はしばしば巧妙な方法において引き合いに出される。ここで f ( x ) + f ′ ( x ) が x → ∞ で収束すると、

0/0、∞/∞ 以外、すなわち " 1 ∞ ", " 0 0 ", " ∞ 0 ", " 0·∞ ", " ∞ − ∞ " などの不定形に対してもロピタルの定理を適用できる可能性がある。例えば、 "∞ − ∞" を含む極限を求めるためには二つの関数の差を分数に変換することにより、

を得る。ここにロピタルの定理が (1) から (2) そして (3) から (4) への変形に用いられた。

指数関数を含む不定形では、対数を用いて指数部から降ろすとロピタルの定理を適用できる可能性がある。次の式は 0 0 形の不定形を含む例である。

となるが、 cos 関数が連続であるので極限操作を cos 関数の内側に移動することが有効である。この極限を計算するための他の方法は変数の置換である。y = 1/x とする。|x|が無限大に近づくにつれて y は 0 に近づく。従って、

である。最後の極限はロピタルの定理を用いて計算することもできるが、それを用いなくても 0 における sin 関数の微分の定義と同様の手法でも可能である。

|x| ≥ 1 に対して、最後の行の第2項の極限のかっこの中の展開は有界であるので極限は 0 である。

であることの証明であるとき、もしその極限をロピタルの定理を使用して計算すれば、この論法は結論を仮定として用いることとなり (論点先取)、たとえ結論が正しくとも非合理的な証明である。


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