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5.8: Arcos retificáveis. Continuidade Absoluta


Se uma função (f: E ^ {1} rightarrow E ) é de variação limitada (§7) em um intervalo (I = [a, b], ) podemos definir uma função real (v_ { f} ) em (I ) por

[v_ {f} (x) = V_ {f} [a, x] (= text {variação total de} f text {on} [a, x]) text {for} x in I; ]

(v_ {f} ) é chamada de função de variação total, ou função de comprimento, gerada por (f ) em (I ). Observe que (v_ {f} uparrow ) em (I. ) (Por quê?) Agora consideramos o caso em que (f ) também é relativamente contínuo em (I, ) de modo que o conjunto (A = f [I] ) é um arco retificável (ver §7, Nota 1 e Definição 2).

Definição 1

Uma função (f: E ^ {1} rightarrow E ) é (fracamente) absolutamente contínua em (I = [a, b] ) iff (V_ {f} [I] <+ infty ) e (f ) é relativamente contínuo em (I ).

Teorema ( PageIndex {1} )

Os seguintes são equivalentes:

(i) (f ) é (fracamente) absolutamente contínuo em (I = [a, b] );

(ii) (v_ {f} ) é finito e relativamente contínuo em (I; ) e

(iii) (( forall varepsilon> 0) text {} ( exists delta> 0) text {} ( forall x, y in I | 0 leq yx < delta) text { } V_ {f} [x, y] < varepsilon ).

Prova

Devemos mostrar que (ii) ( Rightarrow ) (iii) ( Rightarrow ) (i) ( Rightarrow ) (ii).

(ii) ( Rightarrow ) (iii). Como (I = [a, b] ) é compacto, (ii) implica que (v_ {f} ) é uniformemente contínuo em (I ) (Teorema 4 do Capítulo 4, §8). Desse modo

[( forall varepsilon> 0) text {} ( exists delta> 0) text {} ( forall x, y in I | 0 leq yx < delta) quad v_ {f} (y) -v_ {f} (x) < varepsilon. ]

No entanto,

[v_ {f} (y) -v_ {f} (x) = V_ {f} [a, y] -V_ {f} [a, x] = V_ {f} [x, y] ]

por aditividade (Teorema 1 em §7). Assim (iii) segue.

(iii) ( Rightarrow ) (i). Pelo corolário 3 de §7, (| f (x) -f (y) | leq V_ {f} [x, y]. ) Portanto, (iii) implica que

[( forall varepsilon> 0) text {} ( exists delta> 0) text {} ( forall x, y in I | | xy | < delta) quad | f (x) -f (y) | < varepsilon, ]

e assim (f ) é relativamente (mesmo uniformemente) contínuo em (I ).

Agora com ( varepsilon ) e ( delta ) como em (iii), pegue uma partição (P = left {t_ {0}, ldots, t_ {m} right } ) de (I ) tão bem que

[t_ {i} -t_ {i-1} < delta, quad i = 1,2, ldots, text {} m. ]

Então (( forall i) V_ {f} left [t_ {i-1}, t_ {i} right] < varepsilon. ) Somando essas (m ) desigualdades e usando a aditividade de (V_ {f}, ) nós obtemos

[V_ {f} [I] = sum_ {i = 1} ^ {m} V_ {f} left [t_ {i-1}, t_ {i} right]

Assim (i) segue, por definição.

Que (i) ( Rightarrow ) (ii) é dado como o próximo teorema. ( quad square )

Teorema ( PageIndex {2} )

If (V_ {f} [I] <+ infty ) e if (f ) é relativamente contínuo em algum (p in I ) (sobre (I = [a, b]), ) então o mesmo se aplica à função de comprimento (v_ {f} ).

Prova

Consideramos a continuidade à esquerda primeiro, com (a

Seja ( varepsilon> 0. ) Por suposição, existe ( delta> 0 ) tal que

[| f (x) -f (p) | < frac { varepsilon} {2} text {quando} | x-p | < delta text {e} x in [a, p]. ]

Corrija qualquer (x. ) Além disso, (V_ {f} [a, p] = sup _ {P} S (f, P) ) sobre ([a, p]. ) Assim

[V_ {f} [a, p] - frac { varepsilon} {2} < sum_ {i = 1} ^ {k} left | Delta_ {i} f right | ]

para alguma partição

[P = left {t_ {0} = a, ldots, t_ {k-1}, t_ {k} = p right } text {of} [a, p]. text {(por quê?)} ]

Podemos assumir (t_ {k-1} = x, x ) como acima. (Se (t_ {k-1} neq x, ) adicione (x ) a (P.) ) Então

[ left | Delta_ {k} f right | = | f (p) -f (x) | < frac { varepsilon} {2}, ]

e, portanto

[V_ {f} [a, p] - frac { varepsilon} {2} < sum_ {i = 1} ^ {k-1} left | Delta_ {i} f right | + left | Delta_ {k} f right | < sum_ {i = 1} ^ {k-1} left | Delta_ {i} f right | + frac { varepsilon} {2} leq V_ { f} left [a, t_ {k-1} right] + frac { varepsilon} {2}. ]

No entanto,

[V_ {f} [a, p] = v_ {f} (p) ]

e

[V_ {f} left [a, t_ {k-1} right] = V_ {f} [a, x] = v_ {f} (x). ]

Assim, (1) produz

[ left | v_ {f} (p) -v_ {f} (x) right | = V_ {f} [a, p] -V_ {f} [a, x] < varepsilon text {para } x in [a, p] text {com} | xp | < delta. ]

Isso mostra que (v_ {f} ) é deixado contínuo em (p ).

A continuidade correta é provada de forma semelhante ao observar que

[v_ {f} (x) -v_ {f} (p) = V_ {f} [p, b] -V_ {f} [x, b] text {para} p leq x

Assim, (v_ {f} ) é, de fato, relativamente contínuo em (p. ) Observe que (v_ {f} ) também é de variação limitada em (I, ) sendo monótono e finito (ver Teorema 3 (ii) do §7).

Isso completa a prova do Teorema 2 e do Teorema 1. ( quad square )

Também temos o seguinte.

Corolário ( PageIndex {1} )

Se (f ) é real e absolutamente contínuo em (I = [a, b] ) (fracamente), então são as funções não decrescentes (g ) e (h (f = gh) ) definidas em Teorema 3 do §7.

De fato, a função (g ) conforme definida lá é simplesmente (v_ {f}. ) Portanto, é relativamente contínua e finita em (I ) pelo Teorema 1. Portanto, também é (h = fg. ) Ambos são de variação limitada (monótono!) E portanto absolutamente contínuos (fracamente).

Nota 1. A prova do Teorema 1 mostra que continuidade absoluta (fraca) implica continuidade uniforme. O inverso falha, entretanto (ver Problema 1 (iv) em §7).

Agora aplicamos nossa teoria às antiderivadas (integrais).

Corolário ( PageIndex {2} )

Se (F = int f ) on (I = [a, b] ) e se (f ) é limitado ( left (| f | leq K in E ^ {1} direita) ) em (IQ ) ( (Q ) contável), então (F ) é fracamente absolutamente contínuo em (I. )

(Na verdade, segue-se mesmo a variedade mais forte de continuidade absoluta. Veja o Capítulo 7, §11, Problema 17).

Prova

Por definição, (F = int f ) é finito e relativamente contínuo em (I, ) então só temos que mostrar que (V_ {F} [I] <+ infty. ) Isso, entretanto , segue facilmente pelo Problema 3 de §7 ao notar que (F ^ { prime} = f ) em (IS ) ( (S ) contável). Detalhes são deixados para o leitor. ( quad square )

Nosso próximo teorema expressa o comprimento do arco na forma de uma integral.

Teorema ( PageIndex {3} )

Se (f: E ^ {1} rightarrow E ) é continuamente diferenciável em (I = [a, b] ) (§6), então (v_ {f} = int left | f ^ { prime} right | ) em (I ) e

[V_ {f} [a, b] = int_ {a} ^ {b} left | f ^ { prime} right |. ]

Prova

Seja (a

[ Delta v_ {f} = v_ {f} (x) -v_ {f} (p) = V_ {f} [p, x]. quad text {(por quê?)} ]

Como um primeiro passo, vamos mostrar que

[ frac { Delta v_ {f}} { Delta x} leq sup _ {[p, x]} left | f ^ { prime} right |. ]

Para qualquer partição (P = left {p = t_ {0}, ldots, t_ {m} = x right } ) de ([p, x], ) temos

[S (f, P) = sum_ {i = 1} ^ {m} esquerda | Delta_ {i} f direita | leq sum_ {i = 1} ^ {m} sup _ { left [t_ {i-1}, t_ {i} right]} left | f ^ { prime} right | left ( t_ {i} -t_ {i-1} right) leq sup _ {[p, x]} left | f ^ { prime} right | Delta x. ]

Uma vez que isso vale para qualquer partição (P, ), temos

[V_ {f} [p, x] leq sup _ {[p, x]} left | f ^ { prime} right | Delta x, ]

o que implica (2).

Por outro lado,

[ Delta v_ {f} = V_ {f} [p, x] geq | f (x) -f (p) | = | Delta f |. ]

Combinando, obtemos

[ left | frac { Delta f} { Delta x} right | leq frac { Delta v_ {f}} { Delta x} leq sup _ {[p, x]} left | f ^ { prime} right | <+ infty ]

uma vez que (f ^ { prime} ) é relativamente contínuo em ([a, b], ), portanto, também uniformemente contínuo e limitado. (Assumimos aqui (a

Agora

[| | f ^ { prime} (p) | - | f ^ { prime} (x) | | leq left | f ^ { prime} (p) -f ^ { prime} (x) right | rightarrow 0 quad text {as} x rightarrow p, ]

então, tomando limites como (x rightarrow p, ) obtemos

[ lim _ {x rightarrow p} frac { Delta v_ {f}} { Delta x} = left | f ^ { prime} (p) right |. ]

Assim, (v_ {f} ) é diferenciável em cada (p ) em ((a, b), ) com (v_ {f} ^ { prime} (p) = left | f ^ { prime} (p) right |. ) Além disso, (v_ {f} ) é relativamente contínuo e finito em ([a, b] ) (pelo Teorema 1). Portanto, (v_ {f} = int left | f ^ { prime} right | ) em ([a, b], ) e obtemos

[ int_ {a} ^ {b} left | f ^ { prime} right | = v_ {f} (b) -v_ {f} (a) = V_ {f} [a, b], text {como afirmado.} quad square ]

Nota 2. Se o espaço de intervalo (E ) for (E ^ {n} ) (* ou (C ^ {n} )), (f ) tem (n ) componentes

[f_ {1}, f_ {2}, ldots, f_ {n}. ]

Pelo Teorema 5 em §1, (f ^ { prime} = left (f_ {1} ^ { prime}, f_ {2} ^ { prime}, ldots, f_ {n} ^ { prime }certo

[ left | f ^ { prime} right | = sqrt { sum_ {k = 1} ^ {n} left | f_ {k} ^ { prime} right | ^ {2}}, ]

e nós temos

[V_ {f} [a, b] = int_ {a} ^ {b} sqrt { sum_ {k = 1} ^ {n} left | f_ {k} ^ { prime} right | ^ {2}} = int_ {a} ^ {b} sqrt { sum_ {k = 1} ^ {n} left | f_ {k} ^ { prime} (t) right | ^ {2 }} dt quad text {(notação clássica).} ]

Em particular, para funções complexas, temos (ver Capítulo 4, §3, Nota 5)

[V_ {f} [a, b] = int_ {a} ^ {b} sqrt {f _ { mathrm {re}} ^ { prime} (t) ^ {2} + f _ { mathrm { im}} ^ { prime} (t) ^ {2}} d t. ]

Na prática, a fórmula (5) é usada quando uma curva é dada parametricamente por

[x_ {k} = f_ {k} (t), quad k = 1,2, ldots, text {} n, ]

com o (f_ {k} ) diferenciável em ([a, b]. ) Curvas em (E ^ {2} ) são freqüentemente fornecidas na forma não paramétrica como

[y = F (x), quad F: E ^ {1} rightarrow E ^ {1}. ]

Aqui (F [I] ) é (não ) a curva desejada, mas simplesmente um conjunto em (E ^ {1}. ) Para aplicar (5) aqui, primeiro substituímos " (y = F ( x) ) "por equações paramétricas adequadas,

[x = f_ {1} (t) text {e} y = f_ {2} (t); ]

ou seja, introduzimos uma função (f: E ^ {1} rightarrow E, ) com (f = left (f_ {1}, f_ {2} right). ) Um óbvio (mas não o apenas) forma de alcançá-lo é definir

[x = f_ {1} (t) = t text {e} y = f_ {2} (t) = F (t) ]

de modo que (f_ {1} ^ { prime} = 1 ) e (f_ {2} ^ { prime} = F ^ { prime}. ) Então a fórmula (5) pode ser escrita como

[V_ {f} [a, b] = int_ {a} ^ {b} sqrt {1 + F ^ { prime} (x) ^ {2}} dx, quad f (x) = ( x, F (x)). ]

Exemplo

Encontre o comprimento do círculo

[x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}. ]

Aqui é conveniente usar as equações paramétricas

[x = r cos t text {e} y = r sin t, ]

ou seja, para definir (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {2} ) por

[f (t) = (r cos t, r sin t), ]

ou, em notação complexa,

[f (t) = r e ^ {t i}. ]

Então o círculo é obtido deixando (t ) variar em ([0,2 pi]. ) Assim, (5) resulta

[V_ {f} [0,2 pi] = int_ {a} ^ {b} r sqrt { cos ^ {2} t + sin ^ {2} t} dt = r int_ {a} ^ {b} 1 dt = r left.t right | _ {0} ^ {2 pi} = 2 r pi. ]

Observe que (f ) descreve o mesmo círculo (A = f [I] ) em (I = [0,4 pi]. ) Mais geralmente, poderíamos deixar (t ) variar em qualquer intervalo ([a, b] ) com (ba geq 2 pi. ) No entanto, o comprimento, (V_ {f} [a, b], ) mudaria (dependendo de (ba) ). Isso ocorre porque o círculo (A = f [I] ) não é um arco simples (ver §7, Nota 1), então ( ell A ) depende de (f ) e (I, ) e deve-se ter cuidado ao selecionar ambos de forma adequada.