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1.2.E: Problemas em Relações e Mapeamentos (Exercícios) - Matemática


Exercício ( PageIndex {1} )

Para as relações especificadas no Problema 7 dos §§1-3, encontre (D_ {R}, D_ {R} ^ { prime}, ) e (R ^ {- 1} ). Além disso, encontre (R [A] ) e (R ^ {- 1} [A] ) se
[
begin {array} {ll} { text {(a)} A = left { frac {1} {2} right };} & { text {(b)} A = {1 }} { text {(c)} A = {0 };} & { text {(d)} A = emptyset text {; }} { text {(e)} A = {0,3, -15 };} & { text {(f)} A = {3,4,7,0, -1, 6 }} { text {(g)} A = {x | -20 ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Prove que se (A subseteq B ), então (R [A] subseteq R [B]. ) Rejeite o inverso por um contra-exemplo.

Exercício ( PageIndex {3} )

Provar que
(i) (R [A xícara B] = R [A] xícara R [B] );
(ii) (R [A cap B] subseteq R [A] cap R [B] );
(iii) (R [A-B] supseteq R [A] -R [B] ).
Rejeite as inclusões reversas em (ii) e (iii) por meio de exemplos. Faça (i) e (ii) com (A, B ) substituído por uma família de conjuntos arbitrários ( left {A_ {i} | i in I right } ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Sob quais condições as seguintes afirmações são verdadeiras?
[
begin {array} {cc} text {(i)} R [x] = conjunto vazio; & text {(ii)} R ^ {- 1} [x] = emptyset; text {(iii)} R [A] = conjunto vazio; & text {(iv)} R ^ {- 1} [A] = emptyset; end {array}
]

Exercício ( PageIndex {5} )

Let (f: N rightarrow N (N = { text {naturals} }). ) Para cada uma das seguintes funções, especifique (f [N], ) ie, (D_ {f} ^ { prime}, ) e determine se (f ) é um para um e para (N, ) dado que para todos (x em N ),
[
begin {array} {ll} { text {(i)} f (x) = x ^ {3};} & { text {(ii)} f (x) = 1; quad text {(iii)} f (x) = | x | +3} { text {(iv)} f (x) = x ^ {2};} & {( mathrm {v} ) f (x) = 4 x + 5} end {array}
]
Faça tudo isso também se (N ) denota
(a) o conjunto de todos os inteiros;
(b) o conjunto de todos os reais.

Exercício ( PageIndex {6} )

Prove que para qualquer mapeamento (f ) e quaisquer conjuntos (A, B, A_ {i} (i in I) ),
(a) (f ^ {- 1} [A xícara B] = f ^ {- 1} [A] xícara f ^ {- 1} [B] );
(b) (f ^ {- 1} [A cap B] = f ^ {- 1} [A] cap f ^ {- 1} [B] );
(c) (f ^ {- 1} [A-B] = f ^ {- 1} [A] -f ^ {- 1} [B] );
(d) (f ^ {- 1} esquerda [ bigcup_ {i} A_ {i} direita] = bigcup_ {i} f ^ {- 1} esquerda [A_ {i} direita] ) ;
(e) (f ^ {- 1} left [ bigcap_ {i} A_ {i} right] = bigcap_ {i} f ^ {- 1} left [A_ {i} right] ) .
Compare com o Problema 3.
[Dica: primeiro verifique se (x in f ^ {- 1} [A] ) iff (x in D_ {f} ) e (f (x) in A.] )

Exercício ( PageIndex {7} )

Seja (f ) um mapa. Provar que
(a) (f left [f ^ {- 1} [A] right] subseteq A );
(b) (f left [f ^ {- 1} [A] right] = A ) if (A subseteq D_ {f} ^ { prime} );
(c) se (A subseteq D_ {f} ) e (f ) for um para um, (A = f ^ {- 1} [f [A]] ) /
É (f [A] cap B subseteq f left [A cap f ^ {- 1} [B] right]? )

Exercício ( PageIndex {8} )

É (R ) uma relação de equivalência no conjunto (J ) de todos os inteiros, e, em caso afirmativo, quais são as classes (R ), se
(a) (R = {(x, y) | x-y text {é divisível por um fixo} n } );
(b) (R = {(x, y) | x-y texto {é ímpar} } );
(c) (R = {(x, y) | x-y text {é primo} } ).
((x, y, n text {denotam inteiros.)} )

Exercício ( PageIndex {9} )

Alguma relação no Problema 7 dos §§ 1-3 é reflexiva? Simétrico? Transitivo?

10. Mostre por exemplos que (R ) pode ser
(a) reflexivo e simétrico, sem ser transitivo;
(b) reflexivo e transitivo sem ser simétrico.
Simetria mais transitividade implica reflexividade? Dê uma prova ou contra-exemplo.


Matemática Pré-cálculo Matemática em Nebraska

O sistema de coordenadas retangulares consiste em duas linhas de números reais que se cruzam em um ângulo reto. A linha numérica horizontal é chamada de e a linha numérica vertical é chamada de. Essas duas linhas numéricas definem uma superfície plana chamada plano, e cada ponto neste plano está associado a um de números reais ((x, y) text <.> ) O primeiro número é chamado de, e o segundo número é chamado de. A interseção dos dois eixos é conhecida como o, que corresponde ao ponto ((0, 0) text <.> )

Os eixos (x ) - e (y ) - dividem o plano em quatro regiões chamadas, nomeadas usando os algarismos romanos I, II, III e IV, conforme ilustrado. O par ordenado ((x, y) ) representa a posição dos pontos em relação à origem. Por exemplo, o par ordenado ((- 4, 3) ) representa as unidades de posição (4 ) à esquerda da origem e (3 ) unidades acima no segundo quadrante.

Em seguida, definimos a como qualquer conjunto de pares ordenados, gráficos, correspondências, tabelas ou equações. No contexto da álgebra, as relações de interesse são conjuntos de pares ordenados ((x, y) ) no plano de coordenadas retangulares. Normalmente, as coordenadas são relacionadas por uma regra expressa por meio de uma equação algébrica (mas também podem ser relacionadas por meio de tabelas, gráficos ou diagramas).

Por exemplo, considere a função de valor absoluto, denotada como (| a | text <.> ) Esta função recebe uma entrada (a ) e nos diz sua distância de zero. Por exemplo, (| 5 | = 5 text <,> ) (| -7 | = 7 text <,> ) e (| -112 | = 112 text <.> ) Agora vamos considere as equações algébricas (y = | x | -2 ) e (x = | y | +1 text <.> ) Ambas as equações definem relações entre (x ) e (y ) envolvendo os valores absolutos. A seguir estão alguns números inteiros que satisfazem as duas equações:

Aqui, duas relações que consistem em sete soluções de pares ordenados são obtidas:

Podemos exibir visualmente qualquer relação desse tipo em um plano de coordenadas traçando os pontos ou pares ordenados.

Os conjuntos de solução de cada equação formarão uma relação que consiste em um número infinito de pares ordenados. Podemos usar as soluções de pares ordenados dados para estimar todos os outros pares ordenados desenhando uma linha através dos pontos dados. Aqui, colocamos uma seta no final de nossas linhas para indicar que esse conjunto de pares ordenados continua sem limites.

A representação de uma relação em um plano de coordenadas retangular, conforme ilustrado acima, é chamada de a. Qualquer curva representada graficamente em um plano de coordenada retangular representa um conjunto de pares ordenados e, portanto, define uma relação.

O conjunto que consiste em todos os primeiros componentes de uma relação, neste caso os (x ) - valores, é chamado de. E o conjunto que consiste em todos os segundos componentes de uma relação, neste caso os valores (y ), é chamado de (ou codomínio). Freqüentemente, podemos determinar o domínio e o alcance de uma relação se tivermos seu gráfico.

Aqui podemos ver que o gráfico de (y = | x | -2 ) tem um domínio que consiste em todos os números reais, ( mathbb= (- infty, infty) text <,> ) e um intervalo de todos os (y ) - valores maiores ou iguais a (- 2 text <,> ) ([- 2, infty) text <.> ) O domínio do gráfico de (x = | y | +1 ) consiste em todos os (x ) - valores maiores ou iguais a (1 text <,> ) ([1, infty) text <,> ) e o intervalo consiste em todos os números reais, ( mathbb= (- infty, infty) text <.> )

Exemplo 58

Determine o domínio e o intervalo da seguinte relação.

O valor mínimo de (x ) representado no gráfico é (- 8 ) e todos os outros são maiores. Portanto, o domínio consiste em todos os (x ) - valores no intervalo ([- 8, infty) text <.> ) O mínimo (y ) - valor representado no gráfico é (0 ) então o intervalo é ([0, infty) text <.> )

O domínio é dado por ([- 8, infty) ) e o intervalo é ([0, infty) text <.> )

Funções de subseção

De especial interesse são as relações em que cada valor (x ) corresponde a exatamente um valor (y ). Uma relação com essa propriedade é chamada de a.

Exemplo 59

Determine o domínio e o intervalo da seguinte relação e indique se é uma função ou não: ( lbrace (-1,4), (0,7), (2,3), (3,3), (4 , -2) rbrace text <.> )

Aqui separamos o domínio ( (x ) - valores) e o intervalo ( (y ) - valores) e representamos a correspondência entre os valores com setas.

A relação é uma função porque cada valor (x ) corresponde exatamente a um valor (y ). O domínio é ( <- 1, 0, 2, 3, 4 > ) e o intervalo é ( <- 2, 3, 4, 7 > text <.> )

Exemplo 60

Determine o domínio e o intervalo da seguinte relação e indique se é uma função ou não: ( lbrace (-4, -3), (- 2,6), (0,3), (3,5), (3,7) rbrace text <.> )

A relação não é uma função porque o valor (x ) (3 ) corresponde a dois valores (y ). Também podemos reconhecer funções como relações onde nenhum valor (x ) - é repetido (ignorando a redundância). O domínio é ( <- 4, -2, 0, 3 > ) e o intervalo é ( <- 3, 3, 5, 6, 7 > text <.> )

Considere as relações que consistem nas soluções de sete pares ordenados para (y = | x | -2 ) e (x = | y | +1 text <.> ) A correspondência entre o domínio e o intervalo de cada um pode ser representado da seguinte forma:

Observe que cada elemento no domínio do conjunto de solução de (y = | x | -2 ) corresponde a apenas um elemento no intervalo, é uma função. As soluções para (x = | y | +1 text <,> ) por outro lado, têm valores no domínio que correspondem a dois elementos no intervalo. Em particular, o (x ) - valor (4 ) corresponde a dois (y ) - valores (- 3 ) e (3 text <.> ) Portanto, (x = | y | +1 ) não define uma função.

Podemos identificar visualmente as funções por meio de seus gráficos usando o. Se qualquer linha vertical cruzar o gráfico mais de uma vez, o gráfico não representa uma função.

A linha vertical representa um valor no domínio, e o número de interseções com o gráfico representa o número de valores aos quais ele corresponde. Como podemos ver, qualquer linha vertical cruzará o gráfico de (y = | x | -2 ) apenas uma vez, portanto, é uma função. Uma linha vertical pode cruzar o gráfico de (x = | y | +1 ) mais de uma vez, portanto, não é uma função. Conforme ilustrado, o valor (x ) (3 ) corresponde a mais de um valor (y ).

Exemplo 61

Dado o gráfico, indique o domínio e o intervalo e determine se ele representa ou não uma função:

No gráfico, podemos ver que o valor mínimo (x ) é (- 1 ) e o valor máximo (x ) é (5 text <.> ) Portanto, o domínio consiste em todos os números reais no conjunto de ([- 1,5] text <.> ) O valor máximo (y ) - é (3 ) e o mínimo é (- 3 text <, > ) portanto, o intervalo consiste em (y ) - valores no intervalo ([- 3,3] text <.> )

Além disso, como podemos encontrar uma linha vertical que cruza o gráfico mais de uma vez, concluímos que o gráfico não é uma função. Existem muitos valores (x ) - no domínio que correspondem a dois valores (y ).

O domínio, em notação de intervalo, é ([- 1,5] ) e o intervalo é ([- 3,3] text <.> ) A relação não é uma função.

Exercício 62

Dado o gráfico, indique o domínio e o intervalo e determine se ele representa ou não uma função:

O domínio, em notação de intervalo, é ([- 4, infty) ) e o intervalo é ( mathbb= (- infty, infty) text <.> ) A relação não é uma função.

Notação de função de subseção

Com a definição de uma função, vem uma notação especial. Se considerarmos cada valor x como a entrada que produz exatamente uma saída, podemos usar:

A notação (f (x) ) é lida como (f ) de (x ) e não deve ser confundida com multiplicação. A álgebra freqüentemente envolve funções e, portanto, a notação se torna útil ao executar tarefas comuns. Aqui (f ) é o nome da função e (f (x) ) denota o valor no intervalo associado ao valor (x ) no domínio. As funções são frequentemente nomeadas com letras diferentes, alguns nomes comuns para funções são (f, g, h, C text <,> ) e (R text <.> ) Determinamos que o conjunto de soluções para (y = | x | -2 ) é uma função, portanto, usando a notação de função, podemos escrever ( alert= | x | -2 ) em vez de (y = | x | -2 text <.> )

É importante notar que (y ) e (f (x) ) são usados ​​alternadamente. Esta notação é usada da seguinte maneira:

Aqui, a notação compacta (f (-5) = 3 ) indica que onde (x = -5 ) (a entrada), a função resulta em (y = 3 ) (a saída). Em outras palavras, substitua a variável pelo valor dado entre parênteses.

De cima, podemos ver que nossa saída depende de nossa entrada. Outra maneira de definir isso é chamar nossa entrada (x ) the e nossa saída (y ) the. Na verdade, acima, a saída da nossa função foi dependente sobre qual foi a entrada - quando inserimos (- 5 text <,> ) obtivemos a resposta (3 text <.> )

Exemplo 63

Considere a função (M = 53 + 14t ) em que (M ) representa milhas de casa na viagem de bicicleta de Gabby como uma função de (t text <,> ) o número de horas desde que Gabby saiu do escritório. Qual é a variável independente e qual é a variável dependente?

Ao traduzir problemas de palavras em equações, pode ser útil lembrar que a frase "uma função de" nos diz nossa entrada, ou a variável independente é o tempo (t text <.> )

A variável independente é (t text <,> ) e a variável dependente é (M text <.> )

A notação de função simplifica a tarefa de avaliação. Por exemplo, use a função (h ) definida por (h (x) = frac <1> <2> x-3 ) para avaliar (x ) - valores no conjunto (<- 2,0,7> text <.> )

Dada qualquer função definida por (h (x) = y ), a entrada (x ) pode ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo:

Exemplo 64

Dado (g (x) = x ^ 2 text <,> ) find (g (-2), g left ( frac <1> <2> right) text <,> ) e (g (x + h) text <.> )

Ao avaliar, é uma prática recomendada começar substituindo as variáveis ​​por parênteses e, em seguida, substituir os valores apropriados. Isso ajuda na ordem das operações ao simplificar as expressões.

Neste ponto, é importante observar que, em geral, (f (x + h) neq f (x) + f (h) text <.> ) O exemplo anterior, onde (g (x ) = x ^ 2 text <,> ) ilustra isso muito bem.

Exemplo 65
Exemplo 66

Dado o gráfico de (g (x) text <,> ) find (g (-8), , g (0), ) e (g (8) text <.> )

Use o gráfico para encontrar os (y ) - valores correspondentes onde (x = -8, 0, ) e (8 text <.> )

Descobrimos que (g (-8) = - 2, , g (0) = 0 text <,> ) e (g (8) = 2 text <.> )

Às vezes, a saída é fornecida e somos solicitados a encontrar a entrada.

Exemplo 67

Dado (f (x) = 5x + 7 text <,> ) find (x ) onde (f (x) = 27 text <.> )

Neste exemplo, a saída é fornecida e somos solicitados a encontrar a entrada. Substitua (f (x) ) por (27 ) e resolva a equação resultante.

Portanto (f (4) = 27 text <.> ) Como verificação, podemos avaliar (f (4) = 5 (4) + 7 = 27 text <.> )

Exemplo 68

Dado o gráfico de (g (x) text <,> ) find (x ) onde (g (x) = 2 text <.> )

Aqui somos solicitados a encontrar o valor (x ) - correspondente a um valor (y ) particular. Começamos com (2 ) no eixo (y ) e depois lemos o valor (x ) correspondente.

Podemos ver que (g (x) = 2 ) onde (x = -5 text <,> ) que significa (g (-5) = 2 text <.> )


1.2.E: Problemas em Relações e Mapeamentos (Exercícios) - Matemática

Esta seção enfoca "Relações" na Matemática Discreta. Essas Questões de Múltipla Escolha (MCQ) devem ser praticadas para melhorar as habilidades de Matemática Discreta necessárias para várias entrevistas (entrevistas em campus, entrevistas de entrada, entrevistas de empresas), colocações, exames de admissão e outros exames competitivos.

1. Podem existir relações entre?

A. objetos do mesmo conjunto
B. entre objetos de dois ou mais conjuntos.
C. Ambos A e B
D. Nenhuma das opções acima

Explicação: Podem existir relações entre objetos do mesmo conjunto ou entre objetos de dois ou mais conjuntos.

2. Uma relação binária R em um único conjunto A é um subconjunto de?

A. A X A
B. A% A
C. A ^ A
D. A? UMA

Explicação: Uma relação binária R em um único conjunto A é um subconjunto de A × A.

3. Para dois conjuntos distintos, A e B, tendo cardinalidades m e n respectivamente, a cardinalidade máxima de uma relação R de A para B é?

A. m + n
B. m * n
C. m ^ n
D. Nenhuma das opções acima

Explicação: Para dois conjuntos distintos, A e B, tendo cardinalidades m e n respectivamente, a cardinalidade máxima de uma relação R de A para B é mn

4. Uma relação pode ser representada usando um?

A. Gráfico indireto
B. Gráfico circular
C. Gráfico direcionado
D. Gráfico de linha

Explicação: Uma relação pode ser representada usando um gráfico direcionado.

5. A relação ______ entre os conjuntos X e Y é o conjunto X × Y

A. Vazio
B. Completo
C. Identidade
D. Inverso

Explicação: A relação completa entre os conjuntos X e Y é o conjunto X × Y.

6. Uma relação R no conjunto A é chamada _________ se xRy implica yRx.

A. Irreflexive
B. Reflexivo
C. Anti-simétrico
D. Simétrico

Explicação: Uma relação R no conjunto A é chamada de Simétrica se xRy implica yRx.

7. A relação R = <(a, b), (b, a)> no conjunto X = é?

A. Irreflexive
B. Reflexivo
C. Anti-simétrico
D. Simétrico

Explicação: A relação R = <(a, b), (b, a)> no conjunto X = é irreflexivo.

A. reflexivo, simétrico e transitivo
B. irreflexivo, simétrico e transitivo
C. nem reflexivo, nem irreflexivo, mas transitivo
D. irreflexivo e anti-simétrico

Explicação: Não reflexivo -> (3,3) não presente não irreflexivo -> (1, 1) está presente não simétrico -> (2, 1) está presente, mas não (1, 2) não anti-simétrico - (2, 3) e (3, 2) estão presentes não assimétricos -> assimetria requer antissimetria e irreflexividade. Portanto, é um fechamento transitivo de relação.

9. Considere a relação binária, A = <(a, b) | b = a - 1 e a, b pertencem a <1, 2, 3 >>. O fechamento transitivo reflexivo de A é?

Explicação: Por definição de fechamento transitivo, temos que a está relacionado a todos os b menores (como todo a está relacionado a b - 1) e da propriedade reflexiva a está relacionado a a.

10. A complexidade de tempo de calcular o fechamento transitivo de uma relação binária em um conjunto de n elementos deve ser ________

Explicação: Cálculo dos resultados do fechamento transitivo na multiplicação da matriz. Podemos fazer a multiplicação de matrizes em tempo O (n3). Existem algoritmos melhores que fazem menos do que o tempo cúbico.


PROBLEMAS DE PALAVRA NAS RELAÇÕES E FUNÇÕES

O custo total da passagem aérea em uma determinada rota é composto pelo custo base C e a sobretaxa de combustível S em rúpias. Ambos C e S são funções da milhagem m C (m) = 0,4m + 50 e S (m) = 0,03m. Determine uma função para o custo total de uma passagem em termos de milhagem e encontre a tarifa aérea para voar 1.600 milhas.

Para & # xa0 encontrar a tarifa aérea para voar 1600 milhas, temos que aplicar 1600 em vez de m.

Portanto, o & # xa0 custo total da passagem aérea para voar 1.600 milhas é 738.

Um vendedor cujos ganhos anuais podem ser representados pela função A (x) = 30.000 + 0,04x, onde x é o valor em rúpias da mercadoria que vende. Seu filho também trabalha com vendas e seus ganhos são representados pela função S (x) = 25.000 + 0,05x. Encontre (A + S) (x) e determine a renda familiar total se cada um deles vender 1, 50, 00, 000 rúpias em mercadorias.

Portanto, a receita necessária é & # xa0 1405000.

A função para trocar dólares americanos por dólares de Cingapura em um determinado dia é f (x) = 1,23x, onde x representa o número de dólares americanos. No mesmo dia, a função de troca do dólar de Cingapura por rúpia indiana é g (y) = 50,50y, onde y representa o número de dólares de Cingapura. Escreva uma função que forneça a taxa de câmbio do dólar americano em termos de rupia indiana.

A função para trocar dólares americanos por dólares de Cingapura:

Aqui, "x" representa o dólar americano ef (x) representa o dólar de Cingapura.

Trocar dólar de Cingapura por rúpia indiana é

Aplicando & # xa0 S.D & # xa0 = & # xa0 I.R / 50.50 in (1), obtemos

Portanto, a taxa de câmbio & # xa0 de dólares americanos em termos de rupia indiana é & # xa0 I.R & # xa0 = & # xa0 62,115 DC.

O proprietário de um pequeno restaurante pode preparar uma refeição específica a um custo de 100 rúpias. Ele estima que, se o preço do menu da refeição for x rúpias, será fornecido o número de clientes que pedirão aquela refeição a esse preço em uma noite pela função D (x) = 200 − x. Expresse a receita do dia, o custo total e o lucro desta refeição como funções de x.

Preço de custo da refeição & # xa0 = & # xa0 100

Número de clientes & # xa0 = & # xa0 200 - x

Receita de 1 dia & # xa0 = & # xa0 Nº de clientes & # xa0 ⋅ x

& # xa0 Receita de 1 dia & # xa0 & # xa0 = & # xa0 200 x - x 2

Custo total & # xa0 = & # xa0 Custo da refeição & # xa0 ⋅ Nº de clientes

Lucro & # xa0 = & # xa0 Custo total - receita de 1 dia

A fórmula para conversão de temperaturas Fahrenheit para Celsius é y = (5x / 9) - (160/9). Encontre o inverso desta função e determine se o inverso também é uma função

O inverso também é uma função.

Uma cifra simples pega um número e o codifica, usando a função f (x) = 3x − 4. Encontre o inverso desta função, determine se o inverso também é uma função e verifique a propriedade simétrica sobre a linha y = x (desenhando as linhas).

O inverso também é uma função.

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Exercícios de Matemática Computacional com MATLAB

Projetado para fornecer ferramentas para o estudo independente, este livro contém exercícios matemáticos testados pelo aluno combinados com exercícios de programação do MATLAB.

A maioria dos capítulos abre com uma revisão seguida por exercícios teóricos e de programação, com soluções detalhadas fornecidas para todos os problemas, incluindo programas. Muitos dos exercícios do MATLAB são apresentados como bonecos russos: cada questão melhora e completa o programa anterior e os resultados são fornecidos para validar os programas intermediários.

O livro oferece comandos úteis do MATLAB, conselhos sobre tabelas, vetores, matrizes e comandos básicos para plotagem. Ele contém material sobre autovalores e autovetores e normas importantes de vetores e matrizes, incluindo métodos iterativos de teoria de perturbação para resolver equações não lineares e lineares polinomiais e interpolação polinomial por partes. Curvas de Bézier aproximações de funções e integrais e muito mais. Os dois últimos capítulos consideram as equações diferenciais ordinárias, incluindo dois problemas de valor limite de ponto, e lidam com métodos de diferenças finitas para algumas equações diferenciais parciais.

O formato é projetado para ajudar os alunos a trabalharem sozinhos, com parágrafos de revisão concisos, Dica de matemática notas de rodapé sobre os aspectos matemáticos de um problema e Dica do MATLAB notas de rodapé com dicas de programação.

Ambos os autores têm uma longa experiência, em universidades e escolas de engenharia, no ensino de métodos numéricos e análise numérica. Os autores começaram a colaboração em pesquisa há alguns anos. Eles perceberam que tinham abordagens complementares para pesquisa e ensino de matemática. Eles acham que a combinação dessas abordagens oferece uma perspectiva interessante para um livro original.

Tom Lyche recebeu o prêmio John Gregory Memorial Award da fundação Dagstuhl por "Contribuições proeminentes para a modelagem geométrica" ​​e é membro da Academia Norueguesa de Ciências e Letras. Ele publicou mais de 85 artigos nas principais revistas internacionais e procedimentos arbitrados, editou 14 livros e está no conselho editorial de 4 revistas internacionais.

Jean-Louis Merrien é um pesquisador ativo em subdivisão e publicou o livro “Analyze Numerique avec Matlab”, Dunod, Paris 2007.

“Este é um livro muito interessante e útil para qualquer graduação avançada e estudante de pós-graduação em matemática, estatística, física computacional, química e engenharia, com foco em análise numérica e ciência computacional. O objetivo principal deste livro é fornecer aos alunos a oportunidade de aplicar a análise numérica e o conhecido MATLAB para resolver problemas em suas próprias especialidades. ” (T. E. Simos, Computing Reviews, janeiro de 2015)

“Este é um novo tipo de livro interessante na área de análise numérica. … É amplamente aceito que resolver exercícios é essencial para alcançar uma compreensão mais profunda de um tópico matemático. Sob esse ponto de vista, o presente livro pode ser visto como um veículo adequado para realmente entrar no campo da análise numérica. … O livro também pode servir como uma rica fonte de exercícios para cursos universitários. ” (Rolf Dieter Grigorieff, zbMATH, Vol. 1304, 2015)


Mapeamento

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Mapeamento, qualquer forma prescrita de atribuir a cada objeto em um conjunto um objeto específico em outro (ou o mesmo) conjunto. O mapeamento se aplica a qualquer conjunto: uma coleção de objetos, como todos os números inteiros, todos os pontos em uma linha ou todos aqueles dentro de um círculo. Por exemplo, “multiplicar por dois” define um mapeamento do conjunto de todos os números inteiros no conjunto de números pares. Uma rotação é um mapa de um plano ou de todo o espaço em si mesmo. Na matemática, as palavras mapeamento, mapa, e transformação tendem a ser usados ​​indistintamente.

A noção matemática de mapeamento é uma abstração do processo de fazer um mapa geográfico. Agora é considerada uma noção fundamental que permeia grande parte da matemática. Importantes classes especiais de mapeamentos são homomorfismos em álgebra, isometrias em geometria, operadores em análise, homeomorfismos em topologia, representações em teoria de grupo e isomorfismos em uma variedade de contextos (Vejo fundamentos da matemática: estruturas isomórficas).


Considere os gráficos abaixo e determine se eles são ou não funções:

Esboce o seguinte e determine se são funções ou não:

A tabela a seguir apresenta a renda per capita média, (d ), em uma região do país em função de (u ), o percentual de desempregados. Escreva uma equação para mostrar que a renda média é função da porcentagem de desempregados.

A renda per capita é uma medida da quantidade média de dinheiro ganho por pessoa em uma determinada área.

Vemos que existe uma diferença constante de (- text <500> ) entre os valores consecutivos de (d ), portanto a relação é uma função linear da forma (y = mx + c ):

(u ) é a variável independente e (d ) é a variável dependente.

começar d & amp = mu + c m & amp = - text <500> d & amp = - text <500> u + c end

Substitua qualquer um dos conjuntos de valores fornecidos para resolver por (c ):

A função é: (d = - text <500> u + text <23 & # 160000> )

Notação de função

Para a função (y = f left (x right) ), (y ) é a variável dependente, porque o valor de (y ) (saída) depende do valor de (x ) (entrada). Dizemos que (x ) é a variável independente, uma vez que podemos escolher (x ) como qualquer número. Da mesma forma, se (g left (t right) = 2t + 1 ), então (t ) é a variável independente e (g ) é o nome da função.

Se (h left (x right) = 3x-5 ) e precisamos determinar quando (h left (x right) = 3 ), então resolvemos para o valor de (x ) de tal modo que:

começar h left (x right) & amp = 3x-5 3 & amp = 3x - 5 8 & amp = 3x portanto x & amp = frac <8> <3> end

Se (h left (x right) = 3x-5 ) e precisamos determinar (h left (3 right) ), então calculamos o valor para (h left (x right) ) ) quando (x = 3 ):


Diagramas de mapeamento

Uma função é um tipo especial de relação em que cada elemento do domínio é pareado com exatamente um elemento no intervalo. Um mapeamento mostra como os elementos são pareados. É como um fluxograma para uma função, mostrando os valores de entrada e saída.

Um diagrama de mapeamento consiste em duas colunas paralelas. A primeira coluna representa o domínio de uma função f, e a outra coluna de seu intervalo. Linhas ou setas são desenhadas de domínio para intervalo, para representar a relação entre quaisquer dois elementos.

Uma função representada pelo mapeamento acima, em que cada elemento do intervalo é emparelhado com exatamente um elemento do domínio, é chamada de mapeamento um-para-um.

No mapeamento, o segundo elemento do intervalo se associa a mais de um elemento no domínio. Se o (s) elemento (s) no intervalo que mapearam mais de um elemento no domínio são chamados de mapeamento muitos para um.

Neste mapeamento, o primeiro elemento no domínio foi mapeado com mais de um elemento no intervalo. Se um elemento no domínio for mapeado com mais de um elemento no intervalo, o mapeamento é chamado de relação um para muitos. Relações um para muitos não são funções.

Desenhe um diagrama de mapeamento para a função f (x) = 2 x 2 + 3 no conjunto de números reais.

Primeiro, escolha alguns elementos do domínio. Em seguida, encontre os valores y correspondentes (intervalo) para os valores x escolhidos.

O domínio da função são todos os números reais. Seja x = & menos 1, 0, 1, 2 e 3.


Planilhas de habilidades do mapa

Aprimore o pensamento espacial, melhore a alfabetização visual e oriente-se em relação ao seu entorno com habilidades de leitura de mapas. Aprenda a ler e interpretar mapas com nossas planilhas de habilidades de mapas, que irão efetivamente treinar as crianças da 1ª à 5ª série na compreensão de direções, usando coordenadas simples, calculando distâncias reais usando uma escala de mapa ou seguindo instruções direcionais. Experimente algumas dessas planilhas gratuitamente!

Incentive as crianças da 1ª e 2ª séries a compreenderem seus arredores, aprendendo os nomes e localizações das direções cardeais e intermediárias ou intermediárias primárias com este gráfico.

Use esta atividade de recortar e colar para rotular a rosa dos ventos, para revisar e reiterar as oito direções e, colocar os jovens geógrafos no caminho da aquisição de habilidades com mapas.

Faça um progresso positivo aprendendo a ler um mapa básico com esta planilha em PDF e ajude crianças do ensino fundamental a desenvolver habilidades de raciocínio espacial à medida que concluem uma variedade de tarefas divertidas.

Estudar o mapa de um lugar ajuda a adquirir conhecimento visual sobre o layout e a localização das coisas umas em relação às outras. Nossa planilha para impressão ajudará a desenvolver essa habilidade o suficiente.

Este interessante printable de interpretar o layout de uma sala para responder a perguntas relevantes, ajudará imensamente as crianças da 3ª série a entender as coisas ao seu redor.

Seus alunos da 3ª, 4ª e 5ª séries gostariam de ajudar os jovens viajantes a conhecer suas direções? O exercício em pdf apresenta o mapa dos EUA com nomes de estado abreviados.

Deixe as crianças calcularem a distância que os lugares estão localizados, em relação uns aos outros, usando uma escala de mapa. Corte a escala na parte inferior da página para medir a distância nesta planilha de habilidades do mapa.

Esta atividade única de busca de palavras exige que as crianças da 4ª e 5ª série decifrem as pistas fornecidas para encontrar as palavras na grade. Eles aprenderão as palavras-chave associadas aos mapas e suas definições.

Ser capaz de ler e interpretar coordenadas em um mapa é essencial para especificar localizações precisas em um mapa. Esta adorável grade de mapas com tema de caça ao tesouro tornará o aprendizado muito mais divertido.

O seu filho da 5ª série é bom em analisar mapas? Faça-os localizar lugares, interpretar legendas, estimar distâncias e responder perguntas com base em suas análises para preencher esta planilha em PDF.


Aplicando as regras que aprendemos, serão necessárias no mínimo 6 tabelas-

  • Conta (Ac_no, Saldo, b_name)
  • Filial (b_name, b_city, Ativos)
  • Empréstimo (L_no, Amt, b_name)
  • Mutuário (C_name, L_no)
  • Cliente (C_name, C_street, C_city)
  • Depositante (C_name, Ac_no)

Obtenha mais notas e outros materiais de estudo de Sistema de gerenciamento de banco de dados (DBMS).

Assista a palestras em vídeo visitando nosso canal no YouTube LearnVidFun.


Planilhas de simbiose

Os gráficos expositivos, exercícios e atividades incorporados em nossas planilhas de pdf definem, explicam e elucidam a simbiose, seus termos relacionados e relações simbióticas. Os alunos do ensino médio encontrarão especialmente os numerosos exemplos fornecidos em nossos impressos, imensamente úteis para compreender claramente esse fenômeno de imensa relevância ecológica e as interações especiais entre as espécies que são cruciais para muitos processos biológicos no mundo. Presenteie-os com nossas planilhas gratuitas!

A palavra grega simbiose se traduz como "o estado de viver junto". Vamos entender a definição de simbiose como um termo biológico e os tipos em detalhes com este gráfico para impressão.

Esta planilha pdf da 6ª série define os termos-chave como hospedeiro, simbionte, organismo, etc. associados à simbiose na forma de um exercício de combinação é muito útil para compreender o conceito.

Relações simbióticas são encontradas em todo o mundo natural. Encontre exemplos explicados de mutualismo, comensalismo e parasitismo neste gráfico para o benefício de nossos alunos da 6ª e 7ª série.

Faça com que os alunos da 7ª e 8ª séries tentem responder às perguntas sobre simbiose e relações simbióticas nesta planilha para obter uma visão mais profunda deste fenômeno ecológico.

Make use of this visually appealing pictorial worksheet for children to identify the type of symbiotic relationship between organisms shown. Help them know how these relationships evolved.

In this pdf worksheet on symbiosis, children of grade 8 will read the description of the distinct characteristics of individual organisms to figure out the type of relationship they share.

Enjoy this printable exercise of sorting the symbiotic pair under their relevant category to know of many more examples of interdependencies of organisms that is the major driving force of evolution.

Grade 6 children will love this cut and glue activity of putting pairs of organisms together that interact in a specific way to benefit from the presence of the other and keep the ecosystem functioning.

Learn more about the various types of symbiosis like cleaning symbiosis, endosymbiosis and ectosymbiosis, mimicry, competition and more, with our fill in the blanks exercise pdf.