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4.12.E: Problemas em Sequências e Série de Funções


Exercício ( PageIndex {1} )

Complete a prova dos Teoremas 2 e 3.

Exercício ( PageIndex {2} )

Complete a prova do Teorema 4.

Exercício ( PageIndex {2 '} )

No Exemplo ((a), ) mostre que (f_ {n} rightarrow + infty ) (pontualmente) em ((1, + infty), ) mas não uniformemente. Prove, no entanto, que o limite é uniforme em qualquer intervalo ([a, + infty), a> 1. ) (Defina "lim (f_ {n} = + infty ) (uniformemente)" em a maneira adequada.)

Exercício ( PageIndex {3} )

Usando o Teorema 1, discuta ( lim _ {n rightarrow infty} f_ {n} ) em (B ) e (C ( text {como no Exemplo} (a)) ) para cada um dos Os seguintes.
(i) (f_ {n} (x) = frac {x} {n}; B = E ^ {1}; C = [a, b] subconjunto E ^ {1} ).
(ii) (f_ {n} (x) = frac { cos x + n x} {n}; B = E ^ {1} ).
(iii) (f_ {n} (x) = sum_ {k = 1} ^ {n} x ^ {k}; B = (- 1,1); C = [- a, a], | a | <1 ).
(iv) (f_ {n} (x) = frac {x} {1 + n x}; C = [0, + infty) ).
( left. text {[Dica: prove que} Q_ {n} = sup frac {1} {n} (1- frac {1} {n x + 1} right) = frac { 1} {n}.] )
(v) (f_ {n} (x) = cos ^ {n} x; B = left (0, frac { pi} {2} right), C = left [ frac {1 } {4}, frac { pi} {2} right) ).
(vi) (f_ {n} (x) = frac { sin ^ {2} n x} {1 + n x}; B = E ^ {1} ).
(vii) (f_ {n} (x) = frac {1} {1 + x ^ {n}}; B = [0,1); C = [0, a], 0

Exercício ( PageIndex {4} )

Usando os Teoremas 1 e (2, ) discuta ( lim f_ {n} ) nos conjuntos dados abaixo, com
(f_ {n} (x) ) conforme indicado e (0
(i) ( frac {n x} {1 + n x}; [a, + infty), (0, a) ).
(ii) ( frac {n x} {1 + n ^ {3} x ^ {3}}; (a, + infty), (0, a) ).
(iii) ( sqrt [n] { cos x}; left (0, frac { pi} {2} right), [0, a], a < frac { pi} {2 } ).
(iv) ( frac {x} {n}; (0, a), (0, + infty) ).
(v) (x e ^ {- n x}; [0, + infty); E ^ {1} ).
(vi) (n x e ^ {- n x}; [a, + infty), (0, + infty) ).
(vii) (n x e ^ {- n x ^ {2}}; [a, + infty), (0, + infty) ).
[Dica: ( lim f_ {n} ) não pode ser uniforme se os (f_ {n} ) são contínuos em um conjunto, mas ( lim f_ {n} ) não é.
[Para (( mathrm {v}), f_ {n} ) tem um máximo em (x = frac {1} {n} ); portanto, encontre (Q_ {n} ).]

Exercício ( PageIndex {5} )

Defina (f_ {n}: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) por
[
f_ {n} (x) = left { begin {array} {ll} {nx} & { text {if} 0 leq x leq frac {1} {n}} {2- nx} & { text {if} frac {1} {n} ]
Mostre que todos (f_ {n} ) e ( lim f_ {n} ) são contínuos em cada intervalo ((- a, a), ) ( left. Text {embora} lim f_ {n} text {existe apenas pontualmente. (Compare isso com o Teorema} 3. direita) )

Exercício ( PageIndex {6} )

A função (f ) encontrada na prova do Teorema 3 é determinada de maneira única. Por quê?

Exercício ( PageIndex {7} )

( Rightarrow 7. ) Prove que se cada uma das funções (f_ {n} ) é constante em (B, ) ou se (B ) é finito, então um limite pontual de ( f_ {n} ) on (B ) também é um limite uniforme; da mesma forma para séries.

Exercício ( PageIndex {8} )

( Rightarrow 8. ) Prove que se (f_ {n} rightarrow f ( text {uniformemente}) ) em (B ) e se (C subseteq B, ) então (f_ {n} rightarrow f ) (uniformemente) em (C ) também.

Exercício ( PageIndex {9} )

( Rightarrow 9. ) Mostre que se (f_ {n} rightarrow f ( text {uniformemente}) ) em cada um dos (B_ {1}, B_ {2}, ldots, B_ {m }, ) então (f_ {n} rightarrow f ) (uniformemente) em ( bigcup_ {k = 1} ^ {m} B_ {k} ).
Rejeite-o para uniões infinitas com um exemplo. Faça o mesmo para as séries.

Exercício ( PageIndex {10} )

( Rightarrow 10. ) Deixe (f_ {n} rightarrow f ( text {uniformemente}) ) em (B ). Prove a equivalência das seguintes afirmações:
(i) Cada (f_ {n}, ) de um certo (n ) em diante, é limitado por (B ).
(ii) (f ) é limitado em (B ).
(iii) Os (f_ {n} ) são em última análise uniformemente limitados em (B; ) ou seja, todos os valores da função (f_ {n} (x), x em B, ) de um determinado (n = n_ {0} ) em diante, estão em um e o mesmo globo (G_ {q} (K) ) no espaço de intervalo.
Para funções reais, complexas e com valor vetorial, isso significa que
[
left ( existe K in E ^ {1} right) left ( forall n geq n_ {0} right) ( forall x in B) quad left | f_ {n} (x ) right | ]

Exercício ( PageIndex {11} )

( Rightarrow 11. ) Prove para funções reais, complexas ou com valor vetorial (f_ {n}, f, g_ {n}, g ) que se
[
f_ {n} rightarrow f text {e} g_ {n} rightarrow g text {(uniformemente) em} B,
]
então também
[
f_ {n} pm g_ {n} rightarrow f pm g ( text {uniformemente}) text {on} B.
]

Exercício ( PageIndex {12} )

( Rightarrow 12. ) Prove que se as funções (f_ {n} ) e (g_ {n} ) são reais ou complexas (ou se o (g_ {n} ) tem valor vetorial e o (f_ {n} ) tem valor escalar), e se
[
f_ {n} rightarrow f text {e} g_ {n} rightarrow g text {(uniformemente) em} B,
]
então
[
f_ {n} g_ {n} rightarrow f g text {(uniformemente) em} B
]
desde que (f ) e (g ) ou (f_ {n} ) e (g_ {n} ) sejam limitados em (B ) (pelo menos de alguns (n ) em diante); cf. Problema (11. )
Rejeite-o para o caso em que apenas um de (f ) e (g ) é limitado.
[Dica: Let (f_ {n} (x) = x ) e (g_ {n} (x) = 1 / n ) (constante) em (B = E ^ {1}. ) Dê alguns outros exemplos.]

Exercício ( PageIndex {13} )

( Rightarrow 13. ) Prove que se ( left {f_ {n} right } ) tende a (f ) (pontualmente ou uniformemente), o mesmo acontece com cada subsequência ( left { f_ {n_ {k}} right } ).

Exercício ( PageIndex {14} )

( Rightarrow 14. ) Sejam as funções (f_ {n} ) e (g_ {n} ) e as constantes (a ) e (b ) reais ou complexas ( left . text {(ou deixe} a text {e} b text {serem escalares e} f_ {n} text {e} g_ {n} text {serem avaliados em vetor} right). ) Prove que E se
[
f = sum_ {n = 1} ^ { infty} f_ {n} text {e} g = sum_ {n = 1} ^ { infty} g_ {n} text {(pontual ou uniformemente)} ,
]
então
[
a f + b g = sum_ {n = 1} ^ { infty} left (a f_ {n} + b g_ {n} right) text {no mesmo sentido. }
]
(Limites infinitos são excluídos.)
Em particular,
[
f pm g = sum_ {n = 1} ^ { infty} left (f_ {n} pm g_ {n} right) quad text {(regra de adição de termos)}
]
e
[
a f = sum_ {n = 1} ^ { infty} a f_ {n}.
]
( text {[Dica: Problemas de uso} 11 text {e} 12.] )

Exercício ( PageIndex {15} )

( Rightarrow 15. ) Deixe o espaço de intervalo das funções (f_ {m} ) e (g ) ser (E ^ {n} left ( text {* ou} C ^ {n } right), ) e deixe (f_ {m} = left (f_ {m 1}, f_ {m 2}, ldots, f_ {mn} right), g = left (g_ {1 }, ldots, g_ {n} right); ) ver §3, parte II. Provar que
[
f_ {m} rightarrow g quad text {(pontualmente ou uniformemente)}
]
se cada componente (f_ {m k} ) de (f_ {m} ) converge (no mesmo sentido) para o componente correspondente (g_ {k} ) de (g; ) ou seja,
[
f_ {m k} rightarrow g_ {k} quad text {(pontualmente ou uniformemente),} k = 1,2, ldots, n.
]
Similarmente,
[
g = sum_ {m = 1} ^ { infty} f_ {m}
]
sse
[
( forall k leq n) quad g_ {k} = sum_ {m = 1} ^ { infty} f_ {m k}.
]
( text {(Ver Capítulo} 3, §15, text {Teorema} 2) ).

Exercício ( PageIndex {16} )

( Rightarrow 16. ) Do Problema 15 deduza para funções complexas que (f_ {m} rightarrow g ) (pontualmente ou uniformemente) iff as partes real e imaginária de (f_ {m} ) convergem para aqueles de (g ) (pontualmente ou uniformemente). Ou seja, ( left (f_ {m} right) _ {re} rightarrow g_ {re} ) e ( left (f_ {m} right) _ {im} rightarrow g_ {im} ); da mesma forma para séries.

Exercício ( PageIndex {17} )

( Rightarrow 17. ) Prove que a convergência ou divergência (pontual ou uniforme) de um
a sequência ( left {f_ {m} right }, ) ou uma série ( sum f_ {m}, ) de funções não é afetada pela exclusão ou adição de um número finito de termos.
Prove também que ( lim _ {m rightarrow infty} f_ {m} ) (se houver) permanece o mesmo, mas ( sum_ {m = 1} ^ { infty} f_ {m} ) é alterado pela diferença entre os termos adicionados e excluídos.

Exercício ( PageIndex {18} )

( Rightarrow 18. ) Mostre que a série geométrica com proporção (r ),
[
sum_ {n = 0} ^ { infty} a r ^ {n} quad left (a, r in E ^ {1} text {ou} a, r in C right),
]
converge iff (| r | <1, ) nesse caso
[
sum_ {n = 0} ^ { infty} a r ^ {n} = frac {a} {1-r}
]
(similarmente se (a ) é um vetor e (r ) é um escalar). Deduza que ( sum (-1) ^ {n} ) diverge. (Ver Capítulo 3, §15, Problema 19.)

Exercício ( PageIndex {19} )

O Teorema 4 mostra que uma série convergente não muda sua soma se todos os vários termos consecutivos são substituídos por sua soma. Mostre com um exemplo que o processo reverso (dividindo cada termo em vários termos) pode afetar a convergência.
[Dica: Considere ( sum a_ {n} ) com (a_ {n} = 0. ) Divida (a_ {n} = 1-1 ) para obter uma série divergente: ( left. sum (-1) ^ {n-1}, text {com somas parciais} 1,0,1,0,1, ldots right] )

Exercício ( PageIndex {20} )

Encontre ( sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {n (n + 1)} ).
( left. text {[Dica: Verifique:} frac {1} {n (n + 1)} = frac {1} {n} - frac {1} {n + 1}. text {Portanto, encontre} s_ {n}, text {e deixe} n rightarrow infty. Right] )

Exercício ( PageIndex {21} )

As funções (f_ {n}: A rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), A subseteq (S, rho) ) são ditas equicontínuas em (p in A ) iff
[
( forall varepsilon> 0) ( exists delta> 0) ( forall n) left ( forall x in A cap G_ {p} ( delta) right) quad rho ^ { prime} left (f_ {n} (x), f_ {n} (p) right) < varepsilon.
]
Prove que se sim, e se (f_ {n} rightarrow f ) (ponto a ponto) em (A, ) então (f ) é contínuo em (p. )
[Dica: "imite" a prova do Teorema 2.]


Assista o vídeo: Cálculo III - Aula 07 - Séries de funções (Outubro 2021).