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6.5.E: Problemas de Diferenciação Repetida e Expansões de Taylor - Matemática


Exercício ( PageIndex {1} )

Complete todos os detalhes na prova do Teorema 1. Qual é a motivação para introduzir as funções auxiliares (h_ {t} ) e (g_ {s} ) desta maneira particular?

Exercício ( PageIndex {2} )

A "multiplicação" simbólica na Nota 2 é sempre comutativa? (Veja o Exemplo (A).) Por que foi possível coletar termos "semelhantes"
[ frac { parcial ^ {2} f} { parcial x parcial y} d x d y texto {e} frac { parcial ^ {2} f} { parcial y parcial x} d y d x ]
no Exemplo (B)? Usando (5), encontre a fórmula geral para (d ^ {3} f. ) Expanda-a!

Exercício ( PageIndex {3} )

Faça a indução no Teorema 2 e no Corolário 2. (Use uma notação adequada para os subscritos: (k_ {1} k_ {2} ldots ) ​​em vez de (j k ldots ).)

Exercício ( PageIndex {4} )

Faça o Exemplo (C) com (m = 3 ) (em vez de (m = 2 )) e com ( vec {p} = (0,0) ). Mostre que (R_ {m} rightarrow 0, ) ou seja, (f ) admite uma série de Taylor sobre ( vec {p}. )
Faça isso das duas maneiras a seguir.
(i) Use o Teorema 2.
(ii) Expanda ( sin y ) como no Problema 6 (a) no Capítulo 5, §6, e então multiplique a termo por (x. )
Dê uma estimativa para (R_ {3} ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Use o Teorema 2 para expandir as seguintes funções em potências de (x-3 ) e (y + 2 ) exatamente (escolhendo (m ) de forma que (R_ {m} = 0 )).
(i) (f (x, y) = 2 x y ^ {2} -3 y ^ {3} + y x ^ {2} -x ^ {3} );
(ii) (f (x, y) = x ^ {4} -x ^ {3} y ^ {2} +2 x y-1 );
(iii) (f (x, y) = x ^ {5} y-a x y ^ {5} -x ^ {3} ).

Exercício ( PageIndex {6} )

Para as funções do Problema 15 em §4, dê suas expansões de Taylor até (R_ {2}, ) com
[ vec {p} = left (1, frac { pi} {4}, 1 right) ]
no caso (i) e
[ vec {p} = left (e, frac { pi} {4} e right) ]
em (ii). Limite (R_ {2} ).

Exercício ( PageIndex {7} )

(Teorema de Taylor generalizado.) Seja ( vec {u} = vec {x} - vec {p} neq overrightarrow {0} ) em (E ^ { prime} ) ( (E ^ { prime} ) não precisa ser (E ^ {n} ) ou (C ^ {n} )); let (I = L [ vec {p}, vec {x}]. ) Prove a seguinte afirmação:
Se (f: E ^ { prime} rightarrow E ) e as funções derivadas (D _ { vec {u}} ^ {i} f (i leq m) ) são relativamente contínuas em (I ) e tem ( vec {u} ) - derivadas direcionadas em (IQ ) ( (Q ) contável), então a fórmula (6) e a Nota 3 são válidas, com (d ^ {i} f ( vec {p}; vec {u}) ) substituído por (D _ { vec {u}} ^ {i} f ( vec {p}) ).
[Dica: proceda como no Teorema 2 sem usar a regra da cadeia ou quaisquer parciais ou componentes. Em vez de (8), prove que (h ^ {(i)} (t) = D _ { vec {u}} ^ {i} f ( vec {p} + t vec {u}) ) em (JQ ^ { prime}, Q ^ { prime} = g ^ {- 1} [Q] ).]

Exercício ( PageIndex {8} )

(i) Modifique o Problema 7 definindo
[ vec {u} = frac { vec {x} - vec {p}} {| vec {x} - vec {p} |}. ]
Portanto, expanda (f ( vec {x}) ) em potências de (| vec {x} - vec {p} |. )
(ii) Deduza o Teorema 2 do Problema 7, usando o Corolário 2.

Exercício ( PageIndex {9} )

Dado (f: E ^ {2} left (C ^ {2} right) rightarrow E, f in CD ^ {m} ) em um conjunto aberto (A, ) e ( vec {s} in A, ) provar que ( left ( forall vec {u} in E ^ {2} left (C ^ {2} right) right) )
[d ^ {i} f ( vec {s}; vec {u}) = sum_ {j = 0} ^ {i} left ( begin {array} {c} {i} { j} end {array} right) u_ {1} ^ {j} u_ {2} ^ {ij} D_ {k_ {1} dots k_ {i}} f ( vec {s}), quad 1 leq i leq m, ]
onde ( left ( begin {array} {l} {i} {j} end {array} right) ) são coeficientes binomiais, e no (j ) ésimo termo,
[k_ {1} = k_ {2} = cdots = k_ {j} = 2 ]
e
[k_ {j + 1} = cdots = k_ {i} = 1. ]
Em seguida, refaça a fórmula (6) para (n = 2 ).
[Dica: use indução, como no teorema binomial.]

Exercício ( PageIndex {10} )

( Rightarrow ) Dado ( vec {p} in E ^ { prime} = E ^ {n} left (C ^ {n} right) ) e (f: E ^ { prime} rightarrow E, ) provar que (f in CD ^ {1} ) em ( vec {p} ) iff (f ) é diferenciável em ( vec {p} ) e
[( forall varepsilon> 0) ( exists delta> 0) left ( forall vec {x} in G _ { vec {p}} ( delta) right) quad left | d ^ {1} f ( vec {p}; cdot) -d ^ {1} f ( vec {x}; cdot) right | < varepsilon, ]
com norma ( | ) como na Definição 2 em §2. (Isso se aplica?)
[Dica: Se (f in C D ^ {1}, ) use o Teorema 2 em §3. Pelo contrário, verifique se
[ varepsilon geq left | d ^ {1} f ( vec {p}; vec {t}) - d ^ {1} f ( vec {x}; vec {t}) right | = left | sum_ {k = 1} ^ {n} left [D_ {k} f ( vec {p}) - D_ {k} f ( vec {x}) right] t_ {k } right | ]
if ( vec {x} in G _ { vec {p}} ( delta) ) e (| vec {t} | leq 1. ) Take ( vec {t} = vec {e} _ {k}, ) para provar a continuidade de (D_ {k} f ) em ( vec {p} ).]

Exercício ( PageIndex {11} )

Prove o seguinte.
(i) Se ( phi: E ^ {n} rightarrow E ^ {m} ) for linear e ([ phi] = left (v_ {i k} right), ) então
[ | phi | ^ {2} leq sum_ {i, k} left | v_ {i k} right | ^ {2}. ]
(ii) Se (f: E ^ {n} rightarrow E ^ {m} ) for diferenciável em ( vec {p}, ) então
[ | df ( vec {p}; cdot) | ^ {2} leq sum_ {i, k} left | D_ {k} f_ {i} ( vec {p}) right | ^ {2}. ]
(iii) Portanto, encontre uma nova prova inversa no Problema 10 para (f: E ^ {n} rightarrow E ^ {m} ).
Considere (f: C ^ {n} rightarrow C ^ {m}, ) também.
[Dicas: (i) Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, (| phi ( vec {x}) | ^ {2} leq | vec {x} | ^ {2} sum_ {i, k} left | v_ {ik} right | ^ {2}. ) (Por quê?) (ii) Use a parte (i) e o Teorema 4 em §3.]

Exercício ( PageIndex {12} )

(i) Encontre (d ^ {2} u ) para as funções do Problema 10 no §4, nas notações de "variável" e "mapeamento".
(ii) Faça isso também para
[u = f (x, y, z) = left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} right) ^ {- frac {1} {2}} ]
e mostre que (D_ {11} f + D_ {22} f + D_ {33} f = 0 ).
(iii) O último vale para (u = arctan frac {y} {x}? )

Exercício ( PageIndex {13} )

Seja (u = g (x, y), x = r cos theta, y = r sin theta ) (passagem para os polares).
Usando "variáveis" e, em seguida, a notação "mapeamentos", prove que se (g ) é diferenciável, então
(i) ( frac { parcial u} { parcial r} = cos theta frac { parcial u} { parcial x} + sin theta frac { parcial u} { parcial y }) e
(ii) (| nabla g (x, y) | ^ {2} = esquerda ( frac { parcial u} { parcial r} direita) ^ {2} + esquerda ( frac {1 } {r} frac { partial u} { partial theta} right) ^ {2} ).
(iii) Assumindo (g in CD ^ {2}, ) express ( frac { parcial ^ {2} u} { parcial r parcial theta}, frac { parcial ^ {2} u} { parcial r ^ {2}}, ) e ( frac { parcial ^ {2} u} { parcial theta ^ {2}} ) como em (i).

Exercício ( PageIndex {14} )

Seja (f, g: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) da classe (CD ^ {2} ) em (E ^ {1}. ) Verificar (em "variável" notação, também) as seguintes declarações.
(i) (D_ {11} h = a ^ {2} D_ {22} h ) se (a in E ^ {1} ) (fixo) e
[h (x, y) = f (a x + y) + g (y-a x). ]
(ii) (x ^ {2} D_ {11} h (x, y) +2 xy D_ {12} h (x, y) + y ^ {2} D_ {22} h (x, y) = 0 ) se
[h (x, y) = x f left ( frac {y} {x} right) + g left ( frac {y} {x} right). ]
(iii) (D_ {1} h cdot D_ {21} h = D_ {2} h cdot D_ {11} h ) se
[h (x, y) = g (f (x) + y) ]
Encontre (D_ {12} h, ) também.

Exercício ( PageIndex {15} )

Suponha que (E ^ { prime} = E ^ {n} left (C ^ {n} right) ) e (E ^ { prime prime} = E ^ {m} left (C ^ {m} right). ) Let (f: E ^ { prime} rightarrow E ^ { prime prime} ) e (g: E ^ { prime prime} rightarrow E ) ser duas vezes diferenciável em ( vec {p} in E ^ { prime} ) e ( vec {q} = f ( vec {p}) in E ^ { prime prime} ) , respectivamente, e definir (h = g circ f ).
Mostre que (h ) é duas vezes diferenciável em ( vec {p}, ) e
[d ^ {2} h ( vec {p}; vec {t}) = d ^ {2} g ( vec {q}; vec {s}) + dg ( vec {q}; vec {v}), ]
onde ( vec {t} in E ^ { prime}, vec {s} = df ( vec {p}; vec {t}), ) e ( vec {v} = esquerda (v_ {1}, ldots, v_ {m} direita) in E ^ { prime prime} ) satisfaz
[v_ {i} = d ^ {2} f_ {i} ( vec {p}; vec {t}), quad i = 1, ldots, m. ]
Assim, o segundo diferencial não é invariante no sentido da Nota 4 no §4.
[Dica: mostre isso
[D_ {kl} h ( vec {p}) = sum_ {j = 1} ^ {m} sum_ {i = 1} ^ {m} D_ {ij} g ( vec {q}) D_ {k} f_ {i} ( vec {p}) D_ {l} f_ {j} ( vec {p}) + sum_ {i = 1} ^ {m} D_ {i} g ( vec { q}) D_ {kl} f_ {i} ( vec {p}). ]
Continuar.]

Exercício ( PageIndex {16} )

Continuando o Problema 15, prove a regra invariante:
[d ^ {r} h ( vec {p}; vec {t}) = d ^ {r} g ( vec {q}; vec {s}), ]
se (f ) é um polinômio de primeiro grau e (g ) é (r ) vezes diferenciável em ( vec {q} ).
[Dica: aqui todas as parciais de ordem superior de (f ) desaparecem. Use indução.]


Assista o vídeo: Polinomios 61 V Ejercicio 13 Polinomio de Taylor (Outubro 2021).