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8.8.E: Problemas em Medidas de Produto e Teoremas de Fubini - Matemática


Exercício ( PageIndex {1} )

Prove os Lemas 2 e 3.

Exercício ( PageIndex {1 '} )

Mostre que ( {A in mathcal {M} | m A < infty } ) é um anel definido.

Exercício ( PageIndex {2} )

Preencha todos os detalhes da prova nos Teoremas 1 a 3.

Exercício ( PageIndex {2 '} )

Faça o mesmo para os Lemas 5 a 7.

Exercício ( PageIndex {3} )

Prove que se (m ) e (n ) são ( sigma ) - finitos, então é (p = m vezes n. ) Rejeite o inverso com um exemplo.
[Dica: ( left ( cup_ {i} A_ {i} right) times left (U_ {j} B_ {j} right) = U_ {i, j} left (A_ {i} times B_ {j} right) ). Verificar!]

Exercício ( PageIndex {4} )

Prove o seguinte.
(i) Cada (D in mathcal {P} ) (como no texto) é (p) ( sigma ) - finito.
(ii) Todos os ( mathcal {P} ) - mapas mensuráveis ​​ (f: X vezes Y rightarrow E ^ {*} ) têm ( sigma ) - suporte finito.
[Dicas: (i) Use o Problema (14 ( mathrm {b}) ) do Capítulo 7, §3. (ii) Use (i) para ( mathcal {P} ) - mapas elementares e não negativos primeiro. (] )

Exercício ( PageIndex {5} )

(i) Encontre (D em mathcal {P} ^ {*} ) e (x em X ) de modo que (C_ {D} (x, cdot) ) não seja (n ) - mensurável em (Y. ) Isso contradiz o Lema (7? )
[Dica: Deixe (m = n = ) Lebesgue medir em (E ^ {1}; D = {x } vezes Q, ) com (Q ) não mensurável. (] )
(ii) Quais ( mathcal {C} ) - conjuntos têm medida diferente de zero se (X = Y = E ^ {1}, m ^ {*} ) é como no Problema (2 (b) ) do Capítulo (7, §5 ( text {com} S = X), ) e (n ) é medida de Lebesgue?

Exercício ( PageIndex {5 '} )

Seja (m = n = ) Medida de Lebesgue em ([0,1] = X = Y. ) Let
[
f_ {k} = left { begin {array} {ll} {k (k + 1)} & { text {on} left ( frac {1} {k + 1}, frac {1 } {k} right] text {and}} {0} & { text {em outro lugar.}} end {array} right.
]
Deixar
[
f (x, y) = sum_ {k = 1} ^ { infty} left [f_ {k} (x) -f_ {k + 1} (x) right] f_ {k} (y);
]
a série converge. (Por quê?) Mostre isso
(i) (( para todo k) int_ {X} f_ {k} = 1 );
(ii) ( int_ {X} int_ {Y} f d n d m = 1 neq 0 = int_ {Y} int_ {X} f d m d n ).
O que está errado? É (f ) ( mathcal {P} ) - mensurável?
[Dica: Explore
[
left. int_ {X} int_ {Y} | f | d n d m. right]
]

Exercício ( PageIndex {6} )

Seja (X = Y = [0,1], m ) como no Exemplo (( mathrm {c}) ) do Capítulo (7, §6, (S = X) ) e (n = ) Medida Lebesgue em (Y. )
(i) Mostre que (p = m times n ) é uma medida topológica sob a métrica padrão em (E ^ {2}. )
(ii) Prove que (D = {(x, y) in X vezes Y | x = y } in mathcal {P} ^ {*} ).
(iii) Descreva ( mathcal {C} ).
[Dicas: (i) Qualquer subintervalo de (X vezes Y ) está em ( mathcal {P} ^ {*}; ) (ii) (D ) está fechado. Verificar!]

Exercício ( PageIndex {7} )

Continuando o problema (6, ) let (f = C_ {D} ).
(i) Mostre que
[
int_ {Y} int_ {X} f d n d m = 0 neq 1 = int_ {Y} int_ {X} f d m d n.
]
O que está errado?
[Dica: (D ) não é ( sigma ) - finito; Para se
[
D = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i},
]
pelo menos um (D _ { mathrm {i}} ) é incontável e não tem valores de cobertura básicos finitos (por quê?), então (p ^ {*} D _ { mathrm {i}} = infty. )]
(ii) Calcule (p ^ {*} {(x, 0) | x em X } ) e (p ^ {*} {(0, y) | y em Y } )

Exercício ( PageIndex {8} )

Mostre que (D in mathcal {P} ^ {*} ) é ( sigma ) - finito sse
[
D subseteq bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i} ( text {disjoint})
]
para alguns conjuntos (D_ {i} in mathcal {C} ).
[Dica: Primeiro, deixe ( left.p ^ {*} D < infty. Text {Use o Corolário} 1 text {do Capítulo} 7, §1. Right] )

Exercício ( PageIndex {9} )

Dado (D in mathcal {P}, a in X, ) e (b in Y, ) let
[
D_ {a} = {y in Y | (a, y) in D }
]
e
[
D ^ {b} = {x em X | (x, b) em D }.
]
(Veja a Figura ( left.34 text {para} X = Y = E ^ {1}. Right) )
Provar que
(i) (D_ {a} in mathcal {N}, D ^ {b} in mathcal {M} );
(ii) (C_ {D} (a, cdot) = C_ {D_ {a}}, n D_ {a} = int_ {Y} C_ {D} (a, cdot) dn, m D ^ {b} = int_ {X} C_ {D} ( cdot, b) dm ).
[Dica: vamos
[
H = left {(x, y) in E ^ {2} | 0 leq y ]
Mostre que ( mathcal {R} ) é um ( sigma ) - anel ( supseteq C. ) Portanto ( mathcal {R} supseteq mathcal {P}; D in mathcal {R}; D_ {a} in mathcal {N}. ) Similarmente para (D ^ {b}. )]

Exercício ( PageIndex {10} )

( Rightarrow 10 ). Seja (m = n = ) Lebesgue medida em (E ^ {1} = X = Y. ) Seja (f: E ^ {1} rightarrow [0, infty) ) seja (m ) - mensurável em (X. ) Let
[
H = left {(x, y) in E ^ {2} | 0 leq y ]
e
[
G = left {(x, y) in E ^ {2} | y = f (x, y) right }
]
(o "gráfico" de (f )). Provar que
(i) (H in mathcal {P} ^ {*} ) e
[
p H = int_ {X} f d m
]
(= "a área sob f")
(ii) (G in mathcal {P} ^ {*} ) e (p G = 0 ).
[Dicas: (i) Primeiro pegue (f = C_ {D}, ) e mapas elementares e não negativos. Em seguida, use o Lema 2 em §2 (última cláusula). Corrija mapas elementares e não negativos (f_ {k} nearrow f, ) assumindo ( left.f_ {k} [
H_ {k} = left {(x, y) | 0 leq y ]
Mostre que (H_ {k} nearrow H in mathcal {P} ^ {*} ).
(ii) Definir
[
phi (x, y) = y-f (x).
]
Usando o Corolário 4 de §1, mostre que ( phi ) é (p ) - mensurável em (E ^ {2}; ) então (G = E ^ {2} ( phi = 0) in mathcal {P} ^ {*} ). Eliminando um conjunto nulo (Lema (6), ) assume (G in mathcal {P}. ) Pelo Problema 9 (ii),
[
left ( forall x in E ^ {1} right) quad int_ {Y} C_ {G} (x, cdot) d n = n G_ {x} = 0,
]
como ( left.G_ {x} = {f (x) }, text {um singleton.} right] )

Exercício ( PageIndex {11} )

Deixar
[
f (x, y) = phi_ {1} (x) phi_ {2} (y).
]
Prove que se ( phi_ {1} ) é (m ) - integrável em (X ) e ( phi_ {2} ) é (n ) - integrável em (Y, ) então (f ) é (p ) - integrável em (X vezes Y ) e
[
int_ {X vezes Y} f d p = int_ {X} phi_ {1} cdot int_ {Y} phi_ {2}.
]

Exercício ( PageIndex {* 12} )

Prove o teorema (3 ( text {ii) para} f: X vezes Y rightarrow E (E text {completo)} ).
[Esboço: Se (f ) for ( mathcal {P} ^ {*} ) - simples, use o Lema 7 acima e o Teorema 2 em §7.
Se
[
f = sum_ {k = 1} ^ { infty} a_ {k} C_ {D_ {k}}, quad D_ {k} in mathcal {P} ^ {*},
]
deixar
[
H_ {k} = bigcup_ {i = 1} ^ {k} D_ {i}
]
e (f_ {k} = f C_ {H_ {k}}, ) então os (f_ {k} ) são ( mathcal {P} ^ {*} ) - simples (daí os mapas de Fubini) , e (f_ {k} rightarrow f ) (ponto-a-ponto) em (X vezes Y, ) com ( left | f_ {k} right | leq | f | ) e
[
int_ {X vezes Y} | f | d p ​​< infty
]
(por suposição). Agora use o Teorema 5 de §6.
Seja (f ) agora ( mathcal {P} ^ {*} ) - mensurável; assim
[
f = lim _ {k rightarrow infty} f_ {k} text {(uniformemente)}
]
para alguns ( left. mathcal {P} ^ {*} text {-mapas elementares} g_ {k} text {(Teorema} 3 text {in} §1 right). ) Por suposição, (f = f C_ {H} (H ) ( sigma ) - finito); portanto, podemos assumir que (g_ {k} = g_ {k} C_ {H}. ) Então, como mostrado acima, todos (g_ {k} ) são mapas de Fubini. O mesmo ocorre com (f ) pelo Lema 1 em §7 (verifique!), Fornecido (H subseteq D ) para algum (D in mathcal {C}. )
No caso geral, pelo Problema 8,
[
H subseteq bigcup_ {i} D_ {i} ( text {disjunto}), D_ {i} in mathcal {C}.
]
Seja (H_ {i} = H cap D_ {i}. ) Pela etapa anterior, cada (f C_ {H_ {i}} ) é um mapa Fubini; então é
[
f_ {k} = sum_ {i = 1} ^ {k} f C_ {H_ {i}}
]
(por quê?), portanto (f = lim _ {k rightarrow infty} f_ {k}, ) pelo Teorema 5 de §6. (Verificar!)]

Exercício ( PageIndex {13} )

Deixe (m = ) Lebesgue medir em (E ^ {1}, p = ) Lebesgue medir em (E ^ {s}, X = (0, infty), ) e
[
Y = left { bar {y} in E ^ {s} || bar {y} | = 1 right }.
]
Dado ( bar {x} in E ^ {s} - { overline {0} }, ) let
[
r = | bar {x} | text {e} bar {u} = frac { bar {x}} {r} in Y.
]
Chame (r ) e ( bar {u} ) as coordenadas polares de ( bar {x} neq overline {0} ).
Se (D subseteq Y, ) definido
[
n ^ {*} D = s cdot p ^ {*} {r bar {u} | bar {u} em D, 0 ]
Mostre que (n ^ {*} ) é uma medida externa em (Y; ), portanto, induz uma medida (n ) em (Y. )
Então prove isso
[
int_ {E ^ {s}} f d p = int_ {X} r ^ {s-1} d m (r) int_ {Y} f (r bar {u}) d n ( bar {u})
]
if (f ) is (p ) - mensurável e não negativo em (E ^ {s}. )
[Dica: comece com (f = C_ {A}, )
[
A = {r bar {u} | bar {u} em H, a ]
para algum conjunto aberto ( left.H subseteq Y text {(subespaço de} E ^ {s} right). ) Em seguida, vamos (A in mathcal {B} ( text {conjunto Borel in} Y); ) então ( left.A subseteq mathcal {P} ^ {*}. text {Então deixe} f text {ser} p text {-elementar, e assim por diante.} certo])


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