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4.3: Imagem e Kernel - Matemática


Definição 4.2.0

O imagem de um homomorfismo ( rho: G rightarrow H ) é o conjunto ( { rho (g) mid g in G } subset H ), escrito ( rho (G) ) . O núcleo de ( rho ) é o conjunto ( {g mid g in G, rho (g) = 1 } ), escrito ( rho ^ {- 1} (1) ), onde (1 ) é a identidade de (H ).

Vamos tentar um exemplo. Lembre-se do homomorfismo ( phi: mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z} ), definido por ( phi (n) = 2n ) para qualquer (n in mathbb {Z} ) . A imagem de ( phi ) é o conjunto de todos os inteiros pares. Observe que o conjunto de todos os inteiros pares é um subgrupo de ( mathbb {Z} ). O kernel de ( phi ) é apenas (0 ).

Aqui está outro exemplo. Considere o mapa ( phi: mathbb {Z} _3 rightarrow mathbb {Z} _6 ) dado por ( phi (n) = 2n ). Portanto, ( phi (0) = 0 ), ( phi (1) = 2 ) e ( phi (2) = 4 ). Na verdade, este é um homomorfismo (de grupos aditivos): ( phi (a + b) = 2 (a + b) = 2a + 2b = phi (a) + phi (b) ). A imagem é o conjunto ( {0, 2, 4 } ), e, novamente, o kernel é apenas (0 ).

E outro exemplo. Existe um homomorfismo ( rho: mathbb {Z} _6 rightarrow mathbb {Z} _3 ) dado por ( rho (a) = a% 3 ) (divida por 3 e mantenha o resto). Então ( rho (0) = 0 ), ( rho (1) = 1 ), ( rho (2) = 2 ), ( rho (3) = 0 ), ( rho (4) = 1 ) e finalmente ( rho (5) = 2 ). Você pode verificar se este é realmente um homomorfismo, cuja imagem é toda de ( mathbb {Z} _3 ) e cujo kernel é ( {0, 3 } ).

Portanto, a imagem é o conjunto de tudo em (H ) que tem algo em (G ) que mapeia para ela. O kernel é o conjunto de elementos de (G ) que mapeiam para a identidade de (H ). O kernel é um subconjunto de (G ), enquanto o kernel é um subconjunto de (H ). Na verdade, ambos são subgrupos!

Proposição 4.2.1

A imagem ( rho (G) ) é um subgrupo de (H ). O kernel ( rho ^ {- 1} (1) ) é um subgrupo de (G ).

Para ver que o kernel é um subgrupo, precisamos mostrar que para qualquer (g ) e (h ) no kernel, (gh ) também está no kernel; em outras palavras, precisamos mostrar que ( rho (gh) = 1 ). Mas isso decorre da definição de um homomorfismo: ( rho (gh) = rho (g) rho (h) = 1 cdot 1 = 1 ). Deixamos ao leitor encontrar a prova de que a imagem é um subgrupo de (H ).

Mostre que para qualquer homomorfismo ( rho: G rightarrow H ), ( rho (G) ) é um subgrupo de (H ).

Podemos usar o kernel e a imagem para discernir propriedades importantes de ( rho ) como uma função.

Proposição 4.2.3

Seja ( rho: G rightarrow H ) um homomorfismo. Então ( rho ) é injetivo (um-para-um) se e somente se o kernel ( rho ^ {- 1} (1) = {1 } ).

Prova 4.2.4

Se assumirmos que ( rho ) é injetivo, então sabemos (a partir do exercício da última seção) que ( rho ^ {- 1} (1) = {1 } ). Para a direção reversa, suponha ( rho ^ {- 1} (1) = {1 } ), e suponha (por contradição) que ( rho ) não é injetivo. Então existe (x neq y ) com ( rho (x) = rho (y) ). Mas então ( rho (x) rho (y) ^ {- 1} = rho (xy ^ {- 1}) = 1 ). Já que (x neq y ), (xy ^ {- 1} neq 1 ), dando uma contradição.

O kernel é, na verdade, um tipo de subgrupo muito especial.

Proposição 4.2.5

Seja ( rho: G rightarrow H ) um homomorfismo, e seja (K ) o kernel de ( rho ). Então, para qualquer (k in K ) e (x in G ), temos (xkx ^ {- 1} in K ).

Prova 4.2.6

A prova é um cálculo simples: ( rho (xkx ^ {- 1}) = rho (x) rho (k) rho (x ^ {- 1}) = rho (x) 1 rho ( x ^ {- 1}) = 1 ). Portanto, (xkx ^ {- 1} ) está no kernel de ( rho ).


Kernel (álgebra)

Em álgebra, o núcleo de um homomorfismo (função que preserva a estrutura) é geralmente a imagem inversa de 0 (exceto para grupos cuja operação é denotada multiplicativamente, onde o kernel é a imagem inversa de 1). Um caso especial importante é o kernel de um mapa linear. O núcleo de uma matriz, também chamado de Espaço nulo, é o núcleo do mapa linear definido pela matriz.

O núcleo de um homomorfismo é reduzido a 0 (ou 1) se e somente se o homomorfismo for injetivo, ou seja, se a imagem inversa de cada elemento consistir em um único elemento. Isso significa que o kernel pode ser visto como uma medida do grau em que o homomorfismo deixa de ser injetivo. [1]

Para alguns tipos de estrutura, como grupos abelianos e espaços vetoriais, os núcleos possíveis são exatamente as subestruturas do mesmo tipo. Nem sempre é o caso e, às vezes, os grãos possíveis receberam um nome especial, como subgrupo normal para grupos e ideais bilaterais para anéis.

Os kernels permitem definir objetos de quociente (também chamados de álgebras de quociente na álgebra universal e cokernels na teoria das categorias). Para muitos tipos de estrutura algébrica, o teorema fundamental dos homomorfismos (ou primeiro teorema do isomorfismo) afirma que a imagem de um homomorfismo é isomórfica ao quociente do kernel.

O conceito de kernel foi estendido a estruturas tais que a imagem inversa de um único elemento não é suficiente para decidir se um homomorfismo é injetivo. Nestes casos, o kernel é uma relação de congruência.

Este artigo é um levantamento de alguns tipos importantes de kernels em estruturas algébricas.


4.3: Imagem e Kernel - Matemática

Você pode expressar o conjunto de soluções como uma combinação linear de certos vetores constantes nos quais os coeficientes são as variáveis ​​livres.

e então se resolve x + 2y + 3z = 0 (isso já está reduzido). A solução geral é

   -2               -3
y & # 160 & # 160 & # 160 1 & # 160 & # 160 + & # 160 & # 160 z & # 160 & # 160 & # 160 0
       0                1

estender o kernel, claramente. Eles são independentes porque, cada um, no ponto de coordenada correspondente à variável livre que é seu coeficiente, tem um 1, enquanto o (s) outro (s) vetor (es) tem um 0 naquele ponto.

Portanto, os vetores produzidos para abranger o kernel por este método são sempre uma base para o kernel, e a dimensão do kernel = número de variáveis ​​livres na resolução de AX = 0.

Ao obter uma base para a imagem, deseja-se selecionar certas colunas. As relações nas colunas da rref são iguais às relações nas colunas da matriz original. (Soluções das equações novamente.) Portanto, se um conjunto de colunas da rref é uma base para a imagem da rref, as colunas CORRESPONDENTES da matriz original A também são uma base. Uma coisa que sempre funciona é usar as colunas pivô da matriz original: essas são as colunas em que a rref possui linhas iniciais.

As colunas pivô são a primeira e a terceira. Isso mostra que a primeira e a terceira colunas da matriz original são a base de sua imagem. NO ENTANTO, essas duas matrizes não têm a mesma imagem.

O exemplo mais simples onde uma matriz A e sua rref não têm a mesma imagem (espaço de coluna) é quando A =

O espaço da coluna é a linha expandida por esse vetor: o eixo e_2 ou y.

e o espaço da coluna é a linha expandida por aquele vetor: o e_1 ou eixo x.


Kernel RBF & # 8211 Por que ele & # 8217s tão popular?

Nesta seção, vemos o kernel RBF (Radial Basis Function), que tem representação flexível e é usado principalmente em métodos de kernel práticos.

Kernel RBF é um kernel, que depende apenas de sua norma.
Especialmente, a seguinte forma de kernel é chamada Kernel gaussiano.

Nota: É sabido que é uma função de kernel válida, se for uma função de kernel.
O kernel gaussiano possui dimensionalidade infinita.

Nesta seção, eu & # 8217 mostrarei como ele se ajusta aos dados reais e o farei entender por que este kernel (estimativa de Parzen) é tão popular.
Para simplificar, discutimos o uso de regressão linear anterior em primeiro

Agora, para simplificar, vamos assumir a seguinte classificação binária do vetor de 2 dimensões e # 8217s e considerar a possibilidade de erros.

Como você pode imaginar facilmente, você verá os valores de erro com grande possibilidade quando ele estiver próximo ao limite e com menos possibilidade quando estiver longe do limite. Como você pode ver abaixo, a possibilidade de erros seguirá a distribuição normal bidimensional (distribuição gaussiana) dependendo da distância (norma euclidiana) da fronteira.

Nota: Para simplificar, aqui estamos assumindo que duas variáveis ​​são independentes uma da outra, então sua covariância é igual a zero. E também assumimos o desvio padrão para e são ambos.
(ou seja, a matriz de covariância na distribuição gaussiana é isotrópica.)

Pelo contrário, consideremos a possibilidade de erro do ponto seguinte.
Como você pode ver abaixo, isso será afetado tanto pelo limite do lado superior & # 8217s quanto pelo limite do lado inferior & # 8217s, e se tornará a soma de ambas as possibilidades.

Nota: Se você simplesmente adicionar essas possibilidades (para o lado superior e o lado inferior), as possibilidades totais excederão 1. Assim, estritamente falando, você deve normalizar a soma dessas possibilidades.

Eventualmente a possibilidade de erros será descrita como distribuição de densidade de probabilidade pela combinação (soma e normalização) de distribuições normais em cada ponto observado.

A fim de ver isso no breve exemplo, vamos assumir a seguinte curva seno unidimensional e temos os seguintes 6 pontos observados exatamente nesta curva.

Então, aplicando os seguintes passos, podemos estimar a curva seno original com esses 6 pontos.

  1. Assuma distribuições normais (distribuições gaussianas) para cada 6 pontos observados.
  2. Obtenha a proporção ponderada para cada distribuição.
    Por exemplo, assumimos na imagem acima (múltiplas distribuições Gaussianas). Então, o valor ponderado para cada elemento é:
    ,
    ,
    ,
    .
    A figura a seguir mostra os gráficos ponderados de cada distribuição.
  3. Multiplique por cada valor observado.
    Por exemplo, se o valor t do primeiro ponto observado é 5 (veja a imagem acima da curva sinusoidal), então o efeito deste primeiro valor (linha preta) será igual a. (Veja a imagem abaixo.)
  4. Finalmente, some todos esses valores (ou seja, esses efeitos) para 6 elementos em cada ponto do eixo x.

Lembre-se de que a função preditiva por regressão linear com função de base pode ser escrita como a combinação linear entre os valores alvo (t) e as funções kernel. (Consulte a seção anterior.)
Como resultado, você pode facilmente estimar a curva original pelo kernel gaussiano usando os dados observados fornecidos como segue.
O kernel gaussiano tem uma representação rica e pode se ajustar a vários tipos de fórmulas.

Nota: Aqui, mostrei um breve exemplo usando uma curva senoidal simples de 1 dimensão, mas consulte o capítulo 6.3.1 em & # 8220 Reconhecimento de padrão e aprendizado de máquina & # 8221 (Christopher M. Bishop, Microsoft) para as etapas gerais da regressão Nadaraya-Watson (kernel mais suave).

em gaussiano é determinado experimentalmente.
Quando é maior, o modelo se torna mais liso. Ao contrário, quando é menor, o modelo é dominado localmente por valores observados próximos.

O valor do desvio padrão () é grande

O valor do desvio padrão () é pequeno

Nota: Quando difere extremamente em cada ponto, pode-se usar o método de estimação por kNN (K vizinho mais próximo) na abordagem não paramétrica.
Ao contrário da abordagem paramétrica, esses não paramétricos caberão apenas perto dos dados observados. (Veja minha postagem inicial & # 8220Compreender os fundamentos da regressão & # 8221 para regressões paramétricas.)

Agora vamos voltar à equação (6) e (7).

Nessas equações, a fórmula de é desconhecida, mas podemos esperar que também sejam estimados pelo kernel gaussiano e, então, podemos obter multiplicadores de Lagrange ótimos sob essas suposições.
Como você viu acima, quando é menor no kernel gaussiano, o hiperplano também será cada vez mais dominado por dados observados próximos em relação aos distantes.

Nota: Em geral, uma função de regressão que forma uma combinação linear de kernel pelo conjunto de treinamento e valores alvo,, é chamada de linear mais suave.
Aqui, obtemos essa forma por pensamento intuitivo, mas você pode obter o resultado da regressão equivalente por inferência Bayesiana (cálculo algébrico) para uma função de base linear.


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Classificação

Sua pontuação final na aula é baseada em suas realizações em cada um dos principais tópicos do curso. Em cada área, atribuirei a você uma pontuação entre 0 e 5 com base na minha percepção da profundidade de sua compreensão desse conceito:

  • Para obter uma pontuação de 1 (D), você deve
    • conheça e exponha a definição do conceito com precisão.
    • reconhecer exemplos, e
    • execute cálculos corretamente.
    • reconhecer situações onde o conceito se aplica, e
    • configurar cálculos usando o conceito.
    • escrever provas formais usando o conceito.
    • usar o conceito em provas sofisticadas.

    Sua pontuação em cada tópico é baseada nos seguintes tipos de trabalho:

    • Questionários: Cada tópico será testado pelo menos uma vez na aula e pelo menos uma vez em um exame.
    • Trabalho de casa: Vou dar uma longa tarefa de casa sobre cada tópico. Eles podem ser revisados.
    • Portfólios: Em um portfólio, você escreve um resumo das partes importantes do tópico, identifica e completa os problemas relevantes. Os portfólios podem ser enviados via D2L ou apresentados a mim em meu escritório.

    Sua pontuação em cada tópico será o média das duas pontuações mais altas a partir de categorias diferentes acima.

    Sua pontuação final será o mais baixo de suas pontuações de tópico, ajustadas para cima em até um ponto de acordo com sua média geral. Aqui está a fórmula real:

    Aqui G é a sua nota final, UMA é a média das pontuações dos seus tópicos e M é o mínimo de suas pontuações nos tópicos. O número G é traduzido em uma nota por uma escala GPA.


    1. Introdução

    As mulheres são minoria em STEM (ciência, tecnologia, engenharia e matemática). De acordo com a Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), a participação das mulheres em “ciências, matemática e computação” no nível universitário é em média de 39% em todo o mundo. No entanto, este número varia com o país, os países mais bem classificados são Portugal (57%), Itália (53%) e Turquia (50%), enquanto o Reino Unido (46%) e os Estados Unidos (40%) classificam apenas acima da média da OCDE. O Japão (25%) ficou abaixo da média (OCDE, 2017).

    No Japão, relativamente poucas mulheres estudam física e matemática. A percentagem de universitárias do primeiro ano era de apenas 16% em física e 20% em matemática (Ministério da Educação, Cultura, Desporto, Ciência e Tecnologia, 2018). Um estudo recente no Japão perguntou a 1.086 membros do público até que ponto 18 campos (incluindo 12 campos STEM) eram adequados para mulheres. A porcentagem de participantes que responderam “concordo totalmente” ou “concordo” que um campo era adequado foi menor na engenharia mecânica. A física ficou em segundo lugar na base e a matemática ficou em quarto lugar na base. Esses assuntos foram vistos como inadequados para meninas em termos de gênero, sugerindo que o público japonês considera assuntos STEM mais adequados para homens do que mulheres (Ikkatai et al., 2020). Além disso, no Reino Unido, a física (Archer et al., 2017 DeWitt et al., 2019 Francis et al., 2017) e a matemática (Smith, 2014) são percebidos como campos masculinos. No total, 92% das meninas do ensino médio concordaram que trabalhar em um emprego STEM lhes permitiria uma boa vida, mas 67% acreditavam que os empregos STEM eram dominados por homens e 49% concordaram que empregos STEM eram difíceis de conseguir para as mulheres ( Cassidy et al., 2018). Esses resultados sugerem que uma imagem masculina da física e da matemática pode estar impedindo as meninas de escolher a física e a matemática, não apenas no Japão, mas também no Reino Unido.


    Maggie representou graficamente a imagem de uma rotação de 90 ° no sentido anti-horário sobre o vértice a de. as coordenadas b e c são (2, 6) e (4, 3) e as coordenadas b 'e c' da imagem são (-2, 2) e (1, 4). qual é a coordenada do vértice a. (explicar o trabalho)

    Deixe o vértice A ter coordenadas

    Os vetores AB e AB 'são perpendiculares, então

    Os vetores AC e AC 'são perpendiculares, então

    Agora, resolva o sistema de duas equações:

    Subtraia essas duas equações:

    Substitua-o na primeira equação:

    A rotação de 90 ° no sentido anti-horário sobre A (2,2) dá os pontos de imagem B 'e C' (consulte o diagrama anexo)


    Imagem Kernels

    Um kernel de imagem é uma pequena matriz usada para aplicar efeitos como os que você pode encontrar no Photoshop ou Gimp, como desfoque, nitidez, contorno ou relevo. Eles também são usados ​​no aprendizado de máquina para & # 39extração de recursos & # 39, uma técnica para determinar as partes mais importantes de uma imagem. Neste contexto, o processo é conhecido mais geralmente como "convolução" (consulte: redes neurais convolucionais).

    Para ver como eles funcionam, vamos começar inspecionando uma imagem em preto e branco. A matriz à esquerda contém números, entre 0 e 255, que correspondem cada um ao brilho de um pixel na imagem de um rosto. A imagem grande e granulada foi ampliada para facilitar a visualização da última imagem no tamanho & quotreal & quot.

    Vamos examinar a aplicação do seguinte 3x3 <> kernel à imagem de um rosto de cima.

    Abaixo, para cada bloco 3x3 de pixels na imagem à esquerda, multiplicamos cada pixel pela entrada correspondente do kernel e, em seguida, fazemos a soma. Essa soma se torna um novo pixel na imagem à direita. Passe o mouse sobre um pixel em qualquer imagem para ver como seu valor é calculado.

    Uma sutileza desse processo é o que fazer ao longo das bordas da imagem. Por exemplo, o canto superior esquerdo da imagem de entrada tem apenas três vizinhos. Uma maneira de corrigir isso é estender os valores das bordas em um na imagem original, mantendo a nova imagem do mesmo tamanho. Nesta demonstração, em vez disso, ignoramos esses valores, tornando-os pretos.

    Aqui é um playground onde você pode selecionar diferentes matrizes de kernel e ver como elas afetam a imagem original ou construir seu próprio kernel. Você também pode enviar sua própria imagem ou usar vídeo ao vivo se o seu navegador suportar.

    O afiado kernel enfatiza diferenças em valores de pixels adjacentes. Isso torna a imagem mais vívida.

    O borrão kernel tira a ênfase das diferenças nos valores dos pixels adjacentes.

    O relevo kernel (semelhante ao sobel kernel e às vezes referido como significando o mesmo) dá a ilusão de profundidade ao enfatizar as diferenças de pixels em uma determinada direção. Nesse caso, em uma direção ao longo de uma linha da parte superior esquerda para a parte inferior direita.

    O identidade kernel deixa a imagem inalterada. Que aborrecido!

    O personalizadas kernel é tudo o que você faz.

    sobel kernels são usados ​​para mostrar as diferenças nos valores de pixel adjacentes em uma direção particular.

    Um contorno kernel (também chamado de kernel & quotedge & quot) é usado para destacar grandes diferenças nos valores de pixel. Um pixel próximo aos pixels vizinhos com quase a mesma intensidade aparecerá preto na nova imagem, enquanto um próximo aos pixels vizinhos que diferem fortemente aparecerá branco.

    Para mais informações, dê uma olhada na excelente documentação do Gimp sobre o uso do kernel de imagem. Você também pode aplicar seus próprios filtros personalizados no Photoshop acessando Filter - & gt Other - & gt Custom.


    Lição 3

    Em uma lição anterior, os alunos foram lembrados da conexão entre multiplicação e divisão. Eles revisitaram a ideia de divisão como uma forma de encontrar um fator ausente, que pode ser o número de grupos ou o tamanho de um grupo.

    Nesta lição, os alunos interpretam situações de divisão em problemas de história que envolvem grupos de tamanhos iguais. Eles desenham diagramas e escrevem equações de divisão e multiplicação para entender a relação entre quantidades conhecidas e desconhecidas (MP2).

    Metas de aprendizagem

    Vamos explorar situações que envolvem divisão.

    Alvos de aprendizagem

    Padrões CCSS

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    Recursos adicionais

    IM 6–8 Math foi originalmente desenvolvido pela Open Up Resources e de autoria da Illustrative Mathematics®, e possui direitos autorais 2017-2019 da Open Up Resources. É licenciado sob a Licença Internacional Creative Commons Atribuição 4.0 (CC BY 4.0). O Currículo de Matemática 6–8 do NOSSO está disponível em https://openupresources.org/math-curriculum/.

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