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1.1: Dados experimentais, crescimento bacteriano.


O crescimento populacional foi historicamente um dos primeiros conceitos a serem explorados na biologia matemática e continua a ser de importância central. Thomas Malthus em 1821 afirmou uma teoria

"Que a população humana tende a aumentar a uma taxa mais rápida do que seus meios de subsistência e que, a menos que seja controlada por contenção moral ou desastre (como doença, fome ou guerra), pobreza generalizada e degradação inevitavelmente resultam." 2

Ao fazer isso, ele estava seguindo as setas em negrito da Figura 1.1. A população mundial aumentou aproximadamente seis vezes desde o terrível aviso de Malthus, e ajustes usando a rede adicional do gráfico ainda estão sendo discutidos.

Observação

Duane Nykamp, ​​da Universidade de Minnesota, está escrevendo Math Insight, mathinsight.org, uma coleção de páginas da web e applets projetados para lançar luz sobre conceitos subjacentes a alguns tópicos da matemática. Uma das páginas, mathinsight.org/bacterial_growth_initial_model, é uma excelente exibição do material desta seção.

Dados de crescimento bacteriano de um V. natriegens experimento são mostrados na Tabela 1.1. A população foi cultivada em um meio de crescimento de nutrientes comumente usado, mas o pH do meio foi ajustado para pH 6,25 3.

Tabela 1.1: Medições de densidade bacteriana. As unidades de “densidade populacional” são aquelas de absorbância medidas pelo espectrofotômetro.
pH 6,25
Tempo (min)Índice de tempo (t )Densidade populacional (B_t )Mudança pop / Unidade de tempo ((B_ {t + 1} - B_ {t}) / 1 )
000.0220.014
1610.0360.024
3220.0600.041
4830.1010.068
6440.1690.097
8050.266

Como você mede a densidade das bactérias? Idealmente, você colocaria, digamos, 1 microlitro de meio de crescimento sob uma lâmina de microscópio e contaria as bactérias nela. Isso é difícil, então o procedimento comumente usado é passar um feixe de luz através de uma amostra de meio de crescimento e medir a quantidade de luz absorvida. Quanto maior a densidade bacteriana, mais luz é absorvida e, portanto, a densidade bacteriana é medida em termos de absorbância unidades. O instrumento usado para fazer isso é chamado de espectrofotômetro.

O espectrofotômetro fornece uma medida de absorbância de luz que é diretamente proporcional à densidade bacteriana (isto é, a absorbância de luz é uma constante vezes a densidade bacteriana). A absorvância é realmente definida por

[ text {Absorbância} quad = quad- log _ {10} frac {I_ {t}} {I_ {0}} ]

onde (I_0 ) é a intensidade da luz que passa pelo meio sem a presença de bactérias e É a intensidade da luz que passa pelo meio com bactérias no tempo (t ). Pode parecer mais natural usar

[ frac {I_ {0} -I_ {t}} {I_ {0}} ]

como medida de absorbância. A razão para usar (log_ {10} frac {I_t} {I_0} ) está relacionada ao nosso próximo exemplo para absorção de luz abaixo da superfície de um lago, mas só é fácil de explicar depois que modelos contínuos são estudados. Veja o Capítulo ?? (Exercício ??).

1.1.1 Passos para a construção de um modelo matemático.

Esta seção ilustra uma possível sequência de etapas que levam a um modelo matemático de crescimento bacteriano.

Etapa 1. Modelo Matemático Preliminar: Descrição do crescimento bacteriano. As populações bacterianas aumentam rapidamente quando cultivadas em baixas densidades bacterianas em nutrientes abundantes. O aumento da população é devido à fissão binária - células únicas se dividem assexuadamente em duas células, subsequentemente as duas células se dividem para formar quatro células, e assim por diante. O tempo necessário para uma célula amadurecer e se dividir é aproximadamente o mesmo para quaisquer duas células.

Etapa 2. Notação. O primeiro passo para construir equações para um modelo matemático é uma introdução à notação. Nesse caso, os dados envolvem tempo e densidade bacteriana, e é fácil deixar (t ) denotar o tempo e (B_t ) denotar a densidade bacteriana no tempo t. No entanto, os dados foram lidos em múltiplos de 16 minutos, e isso ajudará nossa notação a redimensionar o tempo para que (t ) seja 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Assim, B3 é a densidade bacteriana no tempo (3 vezes 16 = 48 ) minutos. O tempo reescalonado é mostrado em ‘Índice de tempo’ na Tabela 1.1.

Etapa 3. Derive uma equação dinâmica. Em alguns casos, seu modelo matemático será suficientemente explícito para que você seja capaz de escrever a equação dinâmica diretamente do modelo. Para este desenvolvimento, primeiro olhamos para cálculos complementares e gráficos dos dados.

Etapa 3a. Cálculo das taxas de variação dos dados. A Tabela 1.1 contém uma coluna computada, 'Mudança de População por Unidade de Tempo'. No modelo matemático, o tempo para uma célula amadurecer e se dividir é aproximadamente constante, e a mudança geral da população por unidade de tempo deve fornecer informações úteis.

Explore 1.1.1 Faça isso. É importante. Suponha que o tempo para uma célula amadurecer e se dividir seja de τ minutos. Qual fração das células deve se dividir a cada minuto?

Usando nossa notação,

[B_ {0} = 0,022, quad B_ {1} = 0,036, quad B_ {2} = 0,060, quad text {etc.} ]

e

[B_ {1} -B_ {0} = 0,014, quad B_ {2} -B_ {1} = 0,024, quad text {etc.} ]

Etapa 3b. Gráficos dos dados. Outra etapa importante na modelagem é obter uma imagem visual dos dados. Mostrados na Figura 1.1.1 estão três gráficos que ilustram o crescimento bacteriano. O crescimento bacteriano A é um gráfico da coluna 3 vs coluna 2, B é um gráfico da coluna 4 vs coluna 2 e C é um gráfico da coluna 4 vs coluna 3 da Tabela 1.1.

Figura ( PageIndex {1} ): (A) Densidade da população bacteriana, (B_t ), vs índice de tempo, t. (B) Mudança de densidade populacional por unidade de tempo, (B_ {t + 1} - B_t ), vs índice de tempo, (t ). (C) Mudança da densidade populacional por unidade de tempo, (B_ {t + 1} - B_t ), vs densidade populacional, (B_t ).

Observação

Na plotagem de dados, a expressão 'plotagem B vs A' significa que B é a coordenada vertical e A é a coordenada horizontal. Os alunos às vezes invertem os eixos e interrompem uma convenção comumente usada que começou há cerca de 350 anos. Ao traçar a densidade bacteriana versus tempo, os alunos podem colocar a densidade bacteriana no eixo horizontal e o tempo no eixo vertical, ao contrário da prática amplamente utilizada. Talvez se o matemático que introduziu a geometria analítica, René DesCartes da França e Bélgica, tivesse vivido na China, onde os documentos são lidos de cima para baixo por colunas e da direita para a esquerda, a plotagem de dados seguiria outra convenção.

Sugerimos que você use a convenção estabelecida.

O gráfico Crescimento Bacteriano A é uma imagem clássica de crescimento de baixa densidade com a curva do gráfico para cima indicando uma taxa de crescimento crescente. Observe em Bacterial Growth B que a taxa de crescimento (coluna 4, escala vertical) está aumentando com o tempo.

O gráfico Crescimento Bacteriano C é um gráfico importante para nós, pois relaciona o aumento bacteriano com a densidade bacteriana, e o aumento bacteriano é baseado na divisão celular descrita em nosso modelo matemático. Como os pontos estão aproximadamente em uma linha reta, é fácil obter uma equação descritiva dessa relação. Nota: Veja Explorar 1.1.1.

Etapa 3c. Uma equação descritiva dos dados. Na Figura 1.1.2 é mostrada uma reprodução do gráfico Crescimento Bacteriano C em que o ponto (0,15, 0,1) é marcado com um '+' e uma linha é desenhada através de (0, 0) e (0,15, 0,1). A inclinação da linha é 2/3. A linha é 'ajustada a olho' aos primeiros quatro pontos. A linha pode ser "ajustada" de forma mais quantitativa, mas não é necessário fazer isso neste estágio.

Explore 1.1.2 Faça isso.

  1. Por que a linha na Figura 1.1.2 deve passar por (0, 0)?
  2. Suponha que a inclinação da linha seja 2/3. Faça uma estimativa do tempo necessário para que uma célula amadureça e se divida.

O quinto ponto, que é ((B_ {4}, B_ {5} - B_ {4}) = (0,169, 0,097) ) está abaixo da linha. Como a linha está tão próxima dos primeiros quatro pontos, há uma sugestão de que durante o quarto período de tempo, o crescimento, (B_ {5} - B_ {4} = 0,97 ), está abaixo da expectativa, ou talvez, (B_ {5} = 0,266 ) é um erro de medição e deve ser maior. Essas bactérias foram realmente cultivadas e medidas por 160 minutos e descobriremos no Volume II, Capítulo 14, que o valor medido (B_ {5} = 0,266 ) é consistente com os dados restantes. O crescimento bacteriano está diminuindo após (t = 4 ) ou após 64 minutos.

Figura ( PageIndex {2} ): Uma linha se ajusta aos primeiros quatro pontos de dados de crescimento bacteriano. A linha contém (0,0) e (0,15, 0,1) e tem inclinação = 2/3.

A inclinação da linha em Bacterial Growth C é ( frac {0.1} {0.15} = frac {2} {3} ) e o intercepto y é 0. Portanto, uma equação da linha é

[y = frac {2} {3} x ]

Etapa 3d. Converta a equação de dados em uma equação dinâmica. Os pontos no crescimento bacteriano C foram plotados deixando (x = B_t ) e (y = B_ {t + 1} - B_ {t} ) para (t ) = 0, 1, 2, 3, e 4. Se substituirmos xey na equação de dados (y = frac {2} {3} x ), obtemos [B_ {t + 1} -B_ {t} = frac {2} {3} B_ {t} label {1.1} ] Equação ref {1.1} é a nossa primeira instância de uma equação dinâmica descritiva de um processo biológico.

Etapa 4. Aprimore o modelo matemático preliminar da Etapa 1. O modelo matemático preliminar na Etapa 1 descreve a divisão celular microscópica e pode ser expandido para descrever a densidade celular macroscópica que foi observada no experimento. Pode-se extrapolar a partir da afirmação original, mas os dados observados orientam o desenvolvimento.

Em palavras, a Equação ref {1.1} diz que o crescimento durante o intervalo de tempo (t ^ {th} ) é ( frac {2} {3} ) vezes (B_t ), a bactéria presente no tempo (t ), o início do período. O número ( frac {2} {3} ) é chamado de taxa de crescimento relativo - o crescimento por intervalo de tempo é de dois terços do tamanho da população atual. De forma mais geral, pode-se dizer:

Modelo matemático 1.1.1 Crescimento bacteriano. Uma fração fixa de células se divide a cada período de tempo. (Neste caso, dois terços das células se dividem a cada 16 minutos.)

Etapa 5. Calcule uma solução para a equação dinâmica. Primeiro calculamos as estimativas de (B_1 ) e (B_2 ) previstas pela equação dinâmica. A equação dinâmica ref {1.1} especifica a mudança na densidade bacteriana ((B_ {t + 1} - B_ {t}) ) de (t ) para o tempo (t + 1 ). Para ser útil, um valor inicial de (B_0 ) é necessário. Assumimos o ponto de dados original, (B_0 = 0,022 ) como nosso ponto de referência. Será conveniente mudar (B_ {t + 1} - B_ {t} = frac {2} {3} B_t ) para o que chamamos de iteração equação:

[B_ {t + 1} -B_ {t} = frac {2} {3} B_ {t} quad B_ {t + 1} = frac {5} {3} B_ {t} label { 1.2} ]

Equação de iteração ref {1.2} é uma abreviação para pelo menos cinco equações

[B_ {1} = frac {5} {3} B_ {0}, quad B_ {2} = frac {5} {3} B_ {1}, quad B_ {3} = frac { 5} {3} B_ {2}, quad B_ {4} = frac {5} {3} B_ {3}, quad text {e} quad B_ {5} = frac {5} { 3} B_ {4} ]

Começando com (B_ {0} = 0,022 ), podemos calcular

[ begin {array} {l}
B_ {1} = frac {5} {3} B_ {0} = frac {5} {3} 0,022 = 0,037
B_ {2} = frac {5} {3} B_ {1} = frac {5} {3} 0,037 = 0,061
end {array} ]

Explorar 1.1.3 Use (B_ {0} = 0,022 ) e (B_ {t + 1} = frac {5} {3} B_t ) para calcular (B_ {1}, B_ {2}, B_ {3} , B_ {4} ) e (B_ {5} ). Há também alguma notação importante usada para descrever os valores de (B_t ) determinados pela iteração (B_ {t + 1} = frac {5} {3} B_ {t} ). Nós podemos escrever

[ begin {array} {lll}
B_ {1} & = frac {5} {3} B_ {0}
B_ {2} & = frac {5} {3} B_ {1} & B_ {2} = frac {5} {3} left ( frac {5} {3} B_ {0} right) & = frac {5} {3} frac {5} {3} B_ {0}
B_ {3} & = frac {5} {3} B_ {2} & B_ {3} = frac {5} {3} left ( frac {5} {3} frac {5} {3 } B_ {0} right) & = frac {5} {3} frac {5} {3} frac {5} {3} B_ {0}
end {array} ]

Explorar 1.1.4 Escreva uma equação para B4 em termos de B0, usando o padrão das últimas equações.

No intervalo de tempo 5, obtemos

[B_ {5} = frac {5} {3} frac {5} {3} frac {5} {3} frac {5} {3} frac {5} {3} B_ {0 } ]

que é complicado e geralmente é escrito

[B_ {5} = left ( frac {5} {3} right) ^ {5} B_ {0} ]

A forma geral é

[B_ {t} = left ( frac {5} {3} right) ^ {t} B_ {0} = B_ {0} left ( frac {5} {3} right) ^ { t} label {1.3} ]

Usando a densidade populacional inicial, (B_ {0} = 0,022 ), a Equação ref {1,3} torna-se

[B_ {t} = 0,022 left ( frac {5} {3} right) ^ {t} label {1.4} ]

e é a solução para a condição inicial e equação dinâmica ref {1.1}

[B_ {0} = 0,022, quad B_ {t + 1} -B_ {t} = frac {2} {3} B_ {t} ]

Populações cujo crescimento é descrito por uma equação da forma

[P_ {t} = P_ {0} R ^ {t} quad text {com} quad R> 1 ]

são considerados como exibindo um crescimento exponencial.

A equação ref {1.4} é escrita em termos do índice de tempo, (t ). Em termos de tempo, (T ) em minutos, (T = 16t ) e a Equação ref {1.4} podem ser escritos

[B_ {T} = 0,022 esquerda ( frac {5} {3} direita) ^ {T / 16} = 0,022 (1,032) ^ {T} rótulo {1,5} ]

Etapa 6. Compare as previsões do modelo matemático com os dados originais. Como nos saímos? Ou seja, quão bem os valores calculados de densidade bacteriana, (B_t ), correspondem aos valores observados? Os valores originais e calculados são mostrados na Figura 1.1.3.

pH 6,25
Tempo (min)Índice de TempoDensidade populacionalDensidade Computada
000.0220.022
1610.0360.037
3220.0600.061
4830.1010.102
6440.1690.170
8050.2660.283

Figura ( PageIndex {3} ): Comparação tabular e gráfica das densidades bacterianas reais (o) com as densidades bacterianas calculadas a partir da Equação 1.3 (+).

Os valores calculados correspondem de perto aos valores observados, exceto para a última medição onde o valor observado é menor do que o valor previsto do modelo matemático. O efeito de aglomeração de células ou contaminação ambiental ou idade das células começa a aparecer após uma hora de experimento e o modelo não leva isso em consideração. Retornaremos a essa população com dados para os próximos 80 minutos de crescimento na Seção 15.6.1 e desenvolveremos um novo modelo que explicará a taxa decrescente de crescimento à medida que o tamanho da população aumenta.

1.1.2 A respeito da validade de um modelo.

Usamos o modelo populacional uma vez e descobrimos que ele corresponde aos dados muito bem. A validade de um modelo, no entanto, só é estabelecida após vários usos em muitos laboratórios e exame crítico das forças e interações que levam às equações do modelo. Os modelos evoluem à medida que o conhecimento se acumula. O modelo de universo da humanidade evoluiu da crença de que a Terra é o centro do universo, para o modelo copernicano de que o sol é o centro do universo, para a compreensão de que o sol é apenas uma única estrela entre cerca de 200 bilhões em um galáxia, até a descoberta surpreendentemente recente (Hubble, 1923) de que nossa galáxia, a Via Láctea, é apenas uma única galáxia entre um enorme universo de galáxias.

É uma sorte que nossa solução de equação corresponda aos dados, mas deve-se reconhecer que dois parâmetros cruciais, (P_0 ) e (r ), foram calculados a partir dos dados, de modo que um ajuste pode não ser uma grande surpresa. Outras equações também correspondem aos dados. A parábola, (y = 0,0236 + 0,000186 t + 0,00893 t ^ 2 ), calculada pelo ajuste de mínimos quadrados aos primeiros cinco pontos de dados é mostrada na Figura 1.1.4 e corresponde aos dados tão bem quanto (P_ {t} = 0,022 (5/3) t ). Preferimos (P_ {t} = 0,022 (5/3) t ) como uma explicação dos dados em vez da parábola obtida pelo método dos mínimos quadrados porque é derivada de uma compreensão do crescimento bacteriano conforme descrito pelo modelo, enquanto a equação parabólica é simplesmente uma combinação da equação com os dados.

Exercícios para a Seção 1.1, Dados experimentais, crescimento bacteriano

Figura ( PageIndex {4} ): Um gráfico de (y = 0,0236 + 0,000186 t + 0,00893 t ^ {2} ) (+) que é o ajuste quadrático por mínimos quadrados para os primeiros seis pontos de dados (o) do crescimento de V. natriegens na Tabela 1.1

Exercício 1.1.1 Calcule B1, B2 e B3 como na Etapa 5 desta seção para

  1. (B_ {0} = 4 quad B_ {t + 1} -B_ {t} = 0,5 B_ {t} )
  2. (B_ {0} = 4 quad B_ {t + 1} -B_ {t} = 0,1 B_ {t} )
  3. (B_ {0} = 0,2 quad B_ {t + 1} -B_ {t} = 0,05 B_ {t} )
  4. (B_ {0} = 0,2 quad B_ {t + 1} -B_ {t} = 1 B_ {t} )
  5. (B_ {0} = 100 quad B_ {t + 1} -B_ {t} = 0,4 B_ {t} )
  6. (B_ {0} = 100 quad B_ {t + 1} -B_ {t} = 0,01 B_ {t} )

Exercício 1.1.2 Escreva uma equação solução para as condições iniciais e equações dinâmicas do Exercício 1.1.1 semelhante à Equação solução ref {1.4}, (B_ {t} = (5/3) ^ {t} 0,022 ) do par (B_ {0} = 0,022, B_ {t + 1} - B_ {t} = (2/3) B_ {t} ).

Exercício 1.1.3 Observe que o gráfico Crescimento bacteriano C é um gráfico de (B_ {t + 1} - B_ {t} vs B_ {t} ) Os pontos são ( left (B_ {0}, B_ {1} -B_ {0} right), left (B_ {1}, B_ {2} -B_ {1} right) ), etc. A segunda coordenada, (B_ {t + 1} - B_ {t} ) é o aumento da população durante o período de tempo (t ), dado que a população no início do período de tempo é (B_ {t} ). Explique por que o ponto (0, 0) seria um ponto deste gráfico.

Exercício 1.1.4 Na Tabela 1.2 são apresentados quatro conjuntos de dados. Para cada conjunto de dados, encontre um número (r ) para que os valores (B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, B_ {4}, B_ {5} ) e (B_6 ) calculado a partir da equação de diferença

[B_ {0} = text {conforme indicado na tabela,} quad B_ {t + 1} -B_ {t} = r B_ {t} ]

estão próximos dos números correspondentes na tabela. Calcule os números, (B_1 ) para (B_6 ) usando seu valor de (r ) na equação, (B_ {t + 1} = (1 + r) B_t ), e compare o seu cálculo números com os dados originais.

Para cada conjunto de dados, siga as etapas 3, 5 e 6. A linha que você desenhou perto dos dados na etapa 3 deve passar por (0, 0).

Exercício 1.1.5 A bactéria V. natriegens também foi cultivado em um meio de crescimento com pH de 7,85. Os dados para esse experimento são mostrados na Tabela 1.3. Repita a análise nas etapas 1 a 9 desta seção para esses dados. Depois de concluir as etapas de 1 a 9, compare sua taxa de crescimento relativo calculado de V. natriegens em pH 7,85 com nossa taxa de crescimento relativo calculado de 2/3 em pH 6,25.

Exercício 1.1.6 Que condição inicial e equação dinâmica descreveriam o crescimento de um Escherichia coli população em um meio nutriente que tinha 250.000 E. coli células por mililitro no início de um experimento e um quarto das células dividido a cada 30 minutos.

Tabela 1.2: Tabelas de dados para o Exercício 1.1.4
(uma)(b)(c)(d)
(t ) (B_t ) (t ) (B_t ) (t ) (B_t ) (t ) (B_t )
01.9900.015022.10287
12.6810.021123.41331
23.6320.031226.12375
34.8930.040327.53450
46.6340.055430.54534
58.9350.075534.45619
612.1060.106636.66718
Tabela 1.3: Dados para o exercício 1.1.5, V. natriegens crescimento em meio com pH de 7,85.
pH 7,85
Tempo (min)Densidade populacional
00.028
160.047
320.082
480.141
640.240
800.381

2 Merriam Webster’s Collegiate Dictionary, décima edição.

3 O experimento foi um projeto semestral de Deb Christensen em que vários V. natriegens as populações foram cultivadas em uma faixa de valores de pH.


Assista o vídeo: O laboratório de Microbiologia e o controle do crescimento microbiano (Outubro 2021).