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1.4: Propriedades da Álgebra


Em álgebra, frequentemente precisaremos simplificar uma expressão. Existem três formas básicas de simplificação que discutiremos nesta seção.

World Note

O termo "álgebra" vem da palavra árabe al-jabr que significa "reunião". Foi usado pela primeira vez no Iraque em 830 DC por Mohammad ibn-Musa al-Khwarizmi.

Definições

Uma expressão algébrica consiste em coeficientes, variáveis ​​e termos. Dada uma expressão algébrica, um

  • coeficiente é o número na frente da variável.
  • variável é uma letra que representa qualquer número.
  • prazo é o produto de um coeficiente e variável (s).

Por exemplo,

[t qquad 2x qquad 3st qquad 7x ^ 2 qquad 5ab ^ 3c nonumber ]

são todos exemplos de termos porque cada um é o produto de um coeficiente e variável (es).

Avaliando expressões

A primeira forma de simplificar expressões é avaliar expressões. Dados valores específicos para cada variável, podemos simplificar a expressão substituindo as variáveis ​​por seus valores correspondentes.

[prpalg1] [0,15cm] Avalie (p (q + 6) ) quando (p = 3 ) e (q = 5 ).

[ begin {alinhado} p (q + 6) & & tmop {Substitua} p tmop {por} 3 tmop {e} q tmop {por} 5 (3) ((5) + 6 ) & & tmop {Avaliar} tmop {parênteses} (3) (11) & & tmop {Multiplicar} 33 & & tmop {Resultado} end {alinhado} ]

Sempre que substituirmos uma variável, colocaremos o novo número dentro de um conjunto de parênteses. Observe que 3 e 5 no exemplo [prpalg1] estão entre parênteses. Isso é para preservar as operações que às vezes são perdidas em uma substituição simples. Às vezes, os parênteses não fazem diferença, mas é um bom hábito sempre usá-los para evitar possíveis erros aritméticos futuros.

Avalie (x + z x (3 - z) left ( dfrac {x} {3} right) ) quando (x = - 6 ) e (z = - 2 ).

[ begin {alinhados} x + zx (3 - z) left ( dfrac {x} {3} right) & & tmop {Substitua} x tmop {com} 6 tmop {e} z tmop {with} 2 && (- 6) + (- 2) (- 6) (3 - (- 2)) left ( frac {(- 6)} {3} right) & & tmop {Avaliar} tmop {parênteses} && - 6 + (5) (- 2) & & tmop {Multiplicar} tmop {esquerda} tmop {para} tmop {direita} - 6 + {12 (5)} (- 2) & & tmop {Multiply} tmop {left} tmop {to} tmop {right} - 6 + {60 (- 2)} & & tmop {Multiplicar} {- 6 - 120} & & tmop {Subtrair} - 126 & & tmop {Resultado} end {alinhado} ]

Termos semelhantes

É comum no estudo da Álgebra que os valores das variáveis ​​sejam desconhecidos. Neste caso, simplificamos combinando termos como.

Dois termos são se a (s) variável (is) de base e o expoente de cada variável são idênticos.
Por exemplo, (3 x ^ 2 y tmop {e} - 7 x ^ 2 y ) são termos semelhantes porque ambos contêm as mesmas variáveis ​​de base, (x ) e (y ), e os expoentes em (x ) (o (x ) é elevado ao quadrado em ambos os termos) e (y ) são iguais.

Se dois termos forem termos como, adicionamos (ou subtraímos) o e, em seguida, mantemos as variáveis ​​(e expoentes na variável correspondente) iguais.

[0,15cm] Simplifique: (5 x - 2 y - 8 x + 7 y )

[ begin {alinhados} 5 x - 2 y - 8 x + 7 y & & tmop {Combine} tmop {like} tmop {terms} 5 x - 8 x tmop {and} - 2 y + 7 y - 3 x + 5 y & & tmop {Resultado} end {alinhado} ]

[prealg2] Simplifique: (8 x ^ 2 - 3 x + 7 - 2 x ^ 2 + 4 x - 3 )

[ begin {alinhados} 8 x ^ 2 - 3 x + 7 - 2 x ^ 2 + 4 x - 3 & & tmop {Combine} tmop {like} tmop {terms} 8 x ^ 2 - 2 x ^ 2 tmop {e} - 3 x + 4 x tmop {e} && 7 - 3 6 x ^ 2 + x + 4 & & tmop {Resultado} end {alinhado} ]

À medida que combinamos termos semelhantes, interpretamos os sinais de subtração como parte do termo a seguir. Portanto, se vemos um sinal de subtração, tratamos o termo a seguir como um termo negativo.
Observe, quando escrevemos o resultado simplificado, é prática comum escrever a expressão em forma padrão, termos escritos com expoentes descendentes. Por exemplo, olhando para o resultado no exemplo [prealg2], escrevemos (6 x ^ 2 + x + 4 ), onde o termo (x ^ 2 ) é escrito primeiro, pois é o maior expoente e depois o (x ) termo. Sempre escrevemos o termo apenas com o coeficiente no final, por exemplo, (4 ).

Distribuição

O método final para simplificar as expressões algébricas é distribuição. Muitas vezes recebemos expressões algébricas com conjuntos de parênteses e termos diretamente na frente das expressões (como produto). Usando o propriedade distributiva, podemos reescrever a expressão sem parênteses.

O é um produto entre um termo e uma soma ou diferença de dois ou mais termos: [a (b + d) = a cdot b + a cdot d ]

[0,15 cm] Simplifique: (4 (2 x - 7) )

[ begin {align} 4 (2 x - 7) & & tmop {Multiply} tmop {each} tmop {term} tmop {by} 4 textcolor {blue} {4} cdot 2x - textcolor {blue} {4} cdot 7 && text {Simplifique} 8 x - 28 & & tmop {Resultado} end {alinhado} ]

Simplifique: (- 7 (5 x - 6) )

[ begin {align} - 7 (5 x - 6) & & tmop {Multiply} tmop {each} tmop {term} tmop {by} - 7 textcolor {blue} {(- 7 )} cdot 5x - textcolor {blue} {(- 7)} cdot 6 && text {Simplifique} - 35x + 42 & & tmop {Resultado} end {alinhado} ]

No exemplo anterior, usamos o fato de que o sinal está anexado ao número, ou seja, tratamos o (- 6 ) como um número negativo: ((- 7) (- 6) = 42 ), a número positivo. O erro mais comum no uso da propriedade distributiva é um erro de sinal (negativos). Tenha muito cuidado com seus sinais!

É possível distribuir um negativo entre parênteses. Quando há um negativo antes do parêntese, podemos pensar no negativo como um (- 1 ). Nem sempre escrevemos, mas sabemos que está lá. Em seguida, distribuímos o (- 1 ) como de costume.

Simplifique (- (4 x - 5 y + 6) )

[ begin {alinhados} - (4 x - 5 y + 6) & & tmop {Negativo} tmop {can} tmop {be} tmop {pensamento} tmop {of} tmop {as} - 1 textcolor {blue} {- 1} (4 x - 5 y + 6) & & tmop {Multiply} tmop {each} tmop {term} tmop {by} textcolor {blue} {- 1} textcolor {blue} {(- 1)} 4x - textcolor {blue} {(- 1)} 5y + textcolor {blue} {(- 1)} 6 && text {Simplifique} textcolor {blue} {-} 4 x textcolor {blue} {+} 5 y textcolor {blue} {-} 6 & & tmop {Result} end {alinhado} ]

Juntando tudo

Distribuir entre parênteses e combinar termos semelhantes pode ser combinado em um único problema. A ordem das operações implica em multiplicação (distribuição) primeiro, depois adicione ou subtraia (combine termos semelhantes). Assim, primeiro distribuímos e depois combinamos termos semelhantes.

[0,15 cm] Simplifique: (5 + 3 (2 x - 4) )

[ begin {alinhados} 5 + 3 (2 x - 4) & & tmop {Distribuir} 5 + 6 x - 12 & & tmop {Combinar} tmop {like} tmop {termos} - 7 + 6 x & & text {Reescrever na forma padrão} 6x - 7 && text {Resultado} end {alinhado} ]

Simplifique: (3 x - 2 (4 x - 5) )

[ begin {alinhado} 3 x - 2 (4 x - 5) & & tmop {Distribuir} 3 x - 8 x + 10 & & tmop {Combinar} tmop {like} tmop {terms} - 5 x + 10 & & tmop {Resultado} end {alinhado} ]

Simplifique: (2 (5 x - 8) - 6 (4 x + 3) )

[ begin {alinhados} 2 (5 x - 8) - 6 (4 x + 3) & & tmop {Distribuir} 10 x - 16 - 24 x - 18 & & tmop {Combinar} tmop { like} tmop {termos} - 14 x - 34 & & tmop {Resultado} end {alinhado} ]

Simplifique: (4 (3 x - 8) - (2 x - 7) )

[ begin {align} 4 (3 x - 8) - (2 x - 7) & & text {Trate o negativo como uma} textcolor {blue} {- 1} 4 (3 x - 8) textcolor {blue} {- 1} (2 x - 7) & & tmop {Distribuir} 12 x - 32 - 2 x + 7 & & tmop {Combinar} tmop {like} tmop {terms} 10 x - 25 & & tmop {Resultado} end {alinhado} ]


Propriedades Algébricas de Números Reais

As propriedades algébricas básicas dos números reais a, bec são:

1. Fechamento: a + b e ab são números reais
2. Comutativo: a + b = b + a, ab = ba
3. Associativo: (a + b) + c = a + (b + c), (ab) c = a (bc)
4. Distributiva: (a + b) c = ac + bc
5. Identidade: a + 0 = 0 + a = a
6. Inverso: a + (-a) = 0, a (1 / a) = 1
7. Cancelamento: Se a + x = a + y, então x = y
8. Fator zero: a0 = 0a = 0
9. Negação: - (- a) = a, (-a) b = a (-b) = - (ab), (-a) (- b) = ab


Resolvendo Desigualdades em Uma Variável Algebricamente

Como os exemplos mostraram, podemos realizar as mesmas operações em ambos os lados de uma inequação, assim como fazemos com equações que combinamos termos e executamos operações. Para resolver, isolamos a variável.

Exemplo 5: Resolvendo uma Desigualdade Algebricamente

Resolva a desigualdade: [latex] 13 - 7x ge 10x - 4 [/ latex].

Solução

Resolver essa desigualdade é semelhante a resolver uma equação até a última etapa.

O conjunto de solução é dado pelo intervalo [latex] left (- infty, 1 right] [/ latex], ou todos os números reais menores e incluindo 1.

Experimente 5

Resolva a desigualdade e escreva a resposta usando a notação de intervalo: [latex] -x + 4 & lt frac <1> <2> x + 1 [/ latex].

Exemplo 6: Resolvendo uma desigualdade com frações

Resolva a seguinte desigualdade e escreva a resposta na notação de intervalo: [latex] - frac <3> <4> x ge - frac <5> <8> + frac <2> <3> x [/ latex] .

Solução

Começamos a resolver da mesma forma que fazemos ao resolver uma equação.

O conjunto de solução é o intervalo [latex] left (- infty, frac <15> <34> right] [/ latex].

Experimente 6

Resolva a desigualdade e escreva a resposta na notação de intervalo: [latex] - frac <5> <6> x le frac <3> <4> + frac <8> <3> x [/ latex].


Propriedades dos Fundamentos da Matemática de Zero e Um

Zero (0) e um (1) são números muito especiais. Eles possuem as propriedades importantes fornecidas abaixo:

Propriedade de adição de zero

Adicionar 0 a um número deixa o mesmo. 0 é chamada de identidade aditiva e a propriedade é chamada de propriedade de identidade aditiva.

Propriedade de multiplicação de zero

Zero vezes qualquer número é igual a zero. O que significa que multiplicar qualquer número por 0 resulta em 0.

Propriedade de multiplicação de um

Multiplicar qualquer número por 1 o deixa inalterado. 1 é chamada de identidade multiplicativa, portanto, a propriedade é chamada de identidade multiplicativa.

Expoentes de um

O número um elevado a qualquer potência é sempre um.

Expoente um

Qualquer número elevado ao poder um permanece o mesmo.

Expoentes de zero

O número zero elevado a qualquer potência permanece zero.

Expoente zero

Qualquer número elevado à potência zero é um

Zero como numerador

Zero dividido por qualquer número diferente de zero é zero.

Zero como denominador

Qualquer divisão por zero não é definida

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Propriedades das Relações

Uma relação binária (R ) definida em um conjunto (A ) pode ter as seguintes propriedades:

  • Reflexividade
  • Irreflexividade
  • Simetria
  • Anti-simetria
  • Assimetria
  • Transitividade

A seguir, discutiremos essas propriedades com mais detalhes.

Relação Reflexiva

Uma relação binária (R ) é chamada reflexiva se e somente se ( forall a in A, ) (aRa. ) Portanto, uma relação (R ) é reflexiva se relacionar todos os elementos de (A ) para si mesmo.

Exemplos de relações reflexivas:

  1. A relação ( ge ) (& # 8220é maior ou igual a & # 8221) no conjunto de números reais.
  2. Similaridade de triângulos.
  3. A relação ( right), left (<1,2> ​​ right),> right.> ) (< left. < kern-2pt left (<2,2> right), left (< 3,3> right), left (<3,1> right)> right >> ) no conjunto (A = left <<1,2,3> right >. )

As relações reflexivas são sempre representadas por uma matriz que tem (1 ) na diagonal principal. O dígrafo de uma relação reflexiva tem um loop de cada nó para si mesmo.

Relação Irreflexiva

Uma relação binária (R ) em um conjunto (A ) é chamada de irreflexiva se (aRa ) não vale para qualquer (a em A. ) Isso significa que não há nenhum elemento em (R ) que está relacionado a si mesmo.

Exemplos de relações irreflexivas:

  1. A relação ( lt ) (& # 8220é menor que & # 8221) no conjunto de números reais.
  2. Relação de uma pessoa ser filho de outra pessoa.
  3. A relação ( right), left (<2,1> right),> right.> ) (< left. < kern-2pt left (<1,3> right), left (< 2,3> right), left (<3,1> right)> right >> ) no conjunto (A = left <<1,2,3> right >. )

A matriz de uma relação irreflexiva tem tudo (0 & # 8217 text) em sua diagonal principal. O gráfico direcionado para a relação não tem loops.

Relação Simétrica

Uma relação binária (R ) em um conjunto (A ) é chamada simétrica se para todos (a, b em A ) ela mantém que se (aRb ) então (bRa. ) Em outro palavras, a ordem relativa dos componentes em um par ordenado não importa & # 8211 se uma relação binária contém um ( left ( right) ) elemento, também incluirá o elemento simétrico ( left ( certo).)

Exemplos de relações simétricas:

  1. A relação (= ) (& # 8220é igual a & # 8221) no conjunto de números reais.
  2. A relação & # 8220é perpendicular a & # 8221 no conjunto de linhas retas em um plano.
  3. A relação ( right), left (<1,2> ​​ right),> right.> ) (< left. < kern-2pt left (<2,1> right), left (< 1,3> right), left (<3,1> right)> right >> ) no conjunto (A = left <<1,2,3> right >. )

Para uma relação simétrica, a matriz lógica (M ) é simétrica em relação à diagonal principal. A transposta da matriz (M ^ T ) é sempre igual à matriz original (M. ) Em um dígrafo de relação simétrica, para cada aresta entre nós distintos, existe uma aresta na direção oposta.

Relação Anti-simétrica

Uma relação binária (R ) em um conjunto (A ) é considerada anti-simétrica se não houver nenhum par de elementos distintos de (A ) cada um dos quais está relacionado por (R ) ao outro. Assim, uma relação anti-simétrica (R ) pode incluir ambos os pares ordenados ( left ( direita e esquerda( right) ) se e somente se (a = b. )

Exemplos de relações anti-simétricas:

  1. A relação ( ge ) (& # 8220é maior ou igual a & # 8221) no conjunto de números reais.
  2. A relação de subconjunto ( subseteq ) em um conjunto de potência.
  3. A relação ( right), left (<2,1> right),> right.> ) (< left. < kern-2pt left (<2,3> right), left (< 3,1> right), left (<3,3> right)> right >> ) no conjunto (A = left <<1,2,3> right >. )

Em uma matriz (M = left [<<>>> right] ) representando uma relação anti-simétrica (R, ) todos os elementos simétricos em torno da diagonal principal não são iguais entre si: (<>> ne <>> ) for (i ne j. ) O dígrafo de uma relação anti-simétrica pode ter loops, entretanto as conexões entre dois vértices distintos podem ter apenas um caminho.

Relação Assimétrica

Uma relação binária assimétrica é semelhante à relação antissimétrica. A diferença é que uma relação assimétrica (R ) nunca tem os dois elementos (aRb ) e (bRa ) mesmo se (a = b. )

Toda relação assimétrica também é antissimétrica. O inverso não é verdadeiro. Se uma relação anti-simétrica contém um elemento do tipo ( left ( right), ) não pode ser assimétrico. Assim, uma relação binária (R ) é assimétrica se e somente se ela é antisimétrica e irreflexiva.

Exemplos de relações assimétricas:

  1. A relação ( gt ) (& # 8220é maior que & # 8221) no conjunto de números reais.
  2. A relação familiar & # 8220é pai de & # 8221.
  3. A relação (R = left << left (<2,1> right), left (<2,3> right), left (<3,1> right)> right > ) no conjunto (A = left <<1,2,3> right >. )

A matriz para uma relação assimétrica não é simétrica em relação à diagonal principal e não contém elementos diagonais. O dígrafo de uma relação assimétrica não deve ter loops e nem arestas entre vértices distintos em ambas as direções.

Relação Transitiva

Uma relação binária (R ) em um conjunto (A ) é chamada transitiva se para todos (a, b, c em A ) ela mantém que se (aRb ) e (bRc, ) então (aRc. )

Esta condição deve ser válida para todos os triplos (a, b, c ) no conjunto. Se houver algum triplo (a, b, c em A ) tal que ( left ( direita) em R ) e ( esquerda ( direita) em R, ) mas ( esquerda ( right) notin R, ) então a relação (R ) não é transitiva.

Exemplos de relações transitivas:

  1. A relação ( gt ) (& # 8220é maior que & # 8221) no conjunto de números reais.
  2. A relação & # 8220é paralela a & # 8221 no conjunto de linhas retas.
  3. A relação ( right), left (<1,3> right),> right.> ) (< left. < kern-2pt left (<2,2> right), left (< 2,3> right), left (<3,3> right)> right >> ) no conjunto (A = left <<1,2,3> right >. )

Em uma matriz (M = left [<<>>> right] ) de uma relação transitiva (R, ) para cada par de ( left (direita e esquerda( direita) - ) entradas com valor (1 ) existe a ( esquerda ( direita) - ) entrada com valor (1. ) A presença de (1 & # 8217 texto) na diagonal principal não viola a transitividade.


Propriedades de números reais

Existem várias propriedades que podem ser usadas para nos ajudar a trabalhar com números reais.

Lembre-se de que os números reais são compostos de todos os números racionais e irracionais. As propriedades nos ajudam a somar, subtrair, multiplicar, dividir e várias outras operações matemáticas.

Aqui está uma breve olhada em várias das propriedades:

Comutativo: a + b = b + a & ab = ba

Esta propriedade tem tudo a ver com a ordem. Se você mudar a ordem dos números ao somar ou multiplicar, a resposta não muda.

Exemplos: 3 x 4 = 4 x 3 e 3 + 4 = 4 + 3
12 = 12 7 = 7

a (bc) = (ab) c & a + (b + c) = (a + b) + c

Esta propriedade tem tudo a ver com grupos. Observe que a localização dos parênteses pode ser alterada e a resposta ainda é a mesma.

Exemplos: (5 + 6) + 3 = 5 + (6 + 3) e (3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)

Distributiva: a (b + c) = ab + ac

Essa propriedade trata de lidar com um número fora dos parênteses quando há uma soma ou diferença dentro. Verifique como o número externo pode ser usado.

Exemplos: 4 (3 + 5) = 4 (3) + 4 (5) ou 4 (8 - 7) = 4 (8) - 4 (7)

Propriedade de multiplicação de zero: m * 0 = 0

Já reparou nesta pequena propriedade útil? Sempre que você multiplica algo por zero, obtém zero. Não importa qual é o número real, se você multiplicar por zero, você obtém zero!

Exemplos: 4 x 0 = 0, 15 x 0 = 0, 1 1/2 x 0 = 0, -32 x 0 = 0

Propriedade de identidade: a + 0 = a & a * 1 = a

Além disso, esta propriedade diz que você pode adicionar 0 e não alterar o valor do número. Então 4 + 0 = 4 ou -13 + 0 = -13.

A identidade aditiva é 0!

Para multiplicação, esta propriedade diz que você pode multiplicar por 1 e não alterar o valor do número. Então 4 x 1 = 4 e -13 x 1 = -13.

A identidade multiplicativa é 1!

Inverso: a + (-a) = 0 e a * = 1
A propriedade inversa tem tudo a ver com desfazer.

Para "desfazer", você pode adicionar o inverso aditivo. Em outras palavras, quando você adiciona um número e seu inverso oposto ou aditivo, você obtém 0.

Exemplos: 4 + (-4) = 0 ou -5,8 + 5,8 = 0

Você também pode multiplicar pelo inverso recíproco ou multiplicativo para obter 1.

Exemplos: 8 x = 1 ou -15 x = 1

* Observe que a divisão por 0 é indefinida.

Esta propriedade tem tudo a ver com as respostas que você obtém. Se você fizer algo com dois números reais e sempre obtiver uma resposta com um número real, poderá dizer que os números reais são fechados nessa operação.

Se você adicionar quaisquer dois números reais, obterá uma soma de número real. Portanto, os números reais são fechados sob adição.

Além disso, se você multiplicar quaisquer dois números reais, obterá um produto de número real. Portanto, os números reais são fechados na multiplicação.

Usar essas propriedades o ajudará a realizar e simplificar muitas outras operações ou problemas matemáticos mais complexos! Use-os para ajudá-lo a aprender seus fatos matemáticos com ainda mais rapidez.

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Propriedades Logarítmicas

Observe que o que está acima não é uma definição, apenas uma descrição concisa.

Assim como a subtração é a operação inversa da adição, e obter uma raiz quadrada é a operação inversa do quadrado, a exponenciação e os logaritmos são operações inversas. Encontrar um antilog é a operação inversa de encontrar um log, então é outro nome para exponenciação. No entanto, historicamente, isso foi feito como uma consulta de tabela. Alguma história foi dada anteriormente e a definição formal é repetida abaixo, desta vez com restrições.

y = log b x se e somente se b y = x,
onde x & # 62 0, b & # 62 0 e b 1.

Conforme observado acima, a base pode ser qualquer número positivo (exceto 1). No entanto, duas opções são mais comuns: 10 e e = 2,718281828. Logs para a base 10 são freqüentemente chamados de logs comuns, enquanto logs para a base e são frequentemente chamados de logs naturais. Logs para as bases de 10 ee agora são bastante padrão na maioria das calculadoras. Freqüentemente, ao obter um registro, a base é arbitrária e não precisa ser especificada. No entanto, em outras ocasiões, é necessário e deve ser assumido ou especificado.

Apenas no nível do ensino médio, log x significa consistentemente log 10 x.
Na faculdade, especialmente em matemática e física, log x significa consistentemente log e x.
Uma notação popular (desprezada por alguns) é: ln x significa log e x.

Para calcular logs para outras bases, a mudança da regra de base abaixo (# 4) deve ser usada. É apenas a multiplicação por uma constante (1 / log a b).

  1. log b (xy) = log b x + log b y.
  2. log b (x / y) = log b x - log b y.
  3. log b (x n) = n log b x. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160
  4. log b x = log a x / log a b. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160

Todas essas quatro propriedades básicas decorrem diretamente do fato de que os logs são expoentes. Em outras palavras, os três primeiros podem ser lembrados como: O log de um produto é igual à soma dos logs dos fatores. O log de um quociente é igual à diferença entre os logs do numerador e do demoninador. O log de uma potência é igual à potência vezes o log da base.

Propriedades adicionais, algumas óbvias, outras não tão óbvias, estão listadas abaixo para referência. O número 6 é chamado de propriedade recíproca.

  1. log b 1 = 0. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160
  2. log b b = 1. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160
  3. log b b 2 = 2. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160
  4. log b b x = x. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160
  5. b log b x = x. & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160
  6. log a b = 1 / log b a.
A invenção das toras foi seguida rapidamente pela invenção da régua de cálculo. As réguas de cálculo simplificam a multiplicação e a divisão, convertendo essas operações em adição e subtração. Isso é feito colocando os números em uma escala logarítmica. A seguir estão os logs de alguns pequenos inteiros.
n log 10 n log e n
10.0000.000
20.3010.693
30.4771.099
40.6021.386
50.6991.609
60.7781.792
70.8451.946
80.9032.079
90.9542.197
101.0002.303

A partir disso, podemos verificar prontamente propriedades como: log 10 = log 2 + log 5 e log 4 = 2 log 2. Elas são verdadeiras para ambas as bases. Na verdade, o resultado útil de 10 3 = 1000 1024 = 2 10 pode ser facilmente visto como 10 log 10 & # 1602 3.

    Alinhe o 1 esquerdo na escala D com o 2 na escala C. Observe o número acima de 4 na escala D da escala C. Como esses números estão dispostos em uma escala logorítmica, você mostrou que log 2 + log 4 = log (2 & # 2154) = log 8. Faça um círculo em 8.

Normalmente há um cursor (o significado original, não o tipo que pisca na tela do computador) presente que permite obter cerca de três casas decimais de precisão, daí o termo precisão da régua de cálculo.

A seguir, está um problema interessante que une a fórmula quadrática, logaritmos e expoentes muito nitidamente. log (2 x +2) + log x - log (12) = 0 Simplifique os logaritmos combinando-os.
log (2 x 2 + 2 x) - log (12) = 0
log ((2x 2 + 2x) / 12) = 0
Depois de dividir por 2, exponencie ambos os lados (a base b é arbitrária, pois não foi especificada acima)!
(x 2 + x) / 6 = b 0
(x 2 + x) / 6 = 1
x 2 + x = 6
x 2 + x - 6 = 0
(x + 3) (x - 2) = 0 x

Espaço em branco, portanto, quando impresso com Mozilla (ops, sem caixas), fica atrás da régua de cálculo.

No entanto, x -3, uma vez que o domínio do log é apenas os reais positivos. (b x nunca pode ser um número negativo com b> 0).

O próximo exemplo (6.11 # 51) combina logaritmos com equações simultâneas. Também é muito conveniente introduzir o conceito de substituição, tão útil no cálculo.

log 9 x + log y 8 = 2. & # 160 & # 160 & # 160
log x 9 + log 8 y = 8/3.

Seja u = log 9 x ev = log 8 y. Pela propriedade recíproca acima, 1 / u = log x 9 e 1 / v = log y 8.

Podemos reescrever nossas equações agora como:

Resolvendo por substituição, u = 2 - 1 / v, assim: 1 / (2 - 1 / v) + v = 8/3.
3 (1 + 2 v - 1) = 8 (2 - 1 / v)
6 v 2 = 16 v - 8.
6 v 2 - 16 v + 8 = 0.
3 v 2 - 8 v + 4 = 0.
Para isso, aplicamos a fórmula quadrática e descobrimos que
v = (8 & # 177 (64 - 48)) / 6.
= (8 e # 177 4) / 6 ou 2, 2/3.
Assim, u = 3/2 ou 1/2 & # 160 & # 160 & # 160 ou (u, v) = <(3/2, 2), (1/2, 2/3)>
Assim, (x, y) = <(27, 64), (3, 4)>


Conteúdo

A palavra álgebra vem do árabe: الجبر, romanizado: al-jabr, aceso. 'reunião de partes quebradas, [1] formação de ossos [2]' do título do livro do início do século IX c Ilm al-jabr wa l-muqābala "The Science of Restoring and Balancing", do matemático e astrônomo persa al-Khwarizmi. Em sua obra, o termo al-jabr refere-se à operação de mover um termo de um lado para o outro de uma equação, المقابلة al-muqābala "equilíbrio" referia-se à adição de termos iguais para ambos os lados. Encurtado para apenas algeber ou álgebra em latim, a palavra acabou entrando na língua inglesa durante o século XV, do espanhol, italiano ou latim medieval. Originalmente, referia-se ao procedimento cirúrgico de colocação de ossos quebrados ou deslocados. O significado matemático foi registrado pela primeira vez (em inglês) no século XVI. [7]

A palavra "álgebra" tem vários significados relacionados em matemática, como uma única palavra ou com qualificadores.

  • Como uma única palavra sem um artigo, "álgebra" nomeia uma ampla parte da matemática.
  • Como uma única palavra com um artigo ou no plural, "uma álgebra" ou "álgebras" denota uma estrutura matemática específica, cuja definição precisa depende do contexto. Normalmente, a estrutura tem uma adição, multiplicação e multiplicação escalar (consulte Álgebra sobre um campo). Quando alguns autores usam o termo "álgebra", eles fazem um subconjunto das seguintes suposições adicionais: associativa, comutativa, unital e / ou dimensão finita. Na álgebra universal, a palavra "álgebra" se refere a uma generalização do conceito acima, que permite operações n-árias.
  • Com um qualificador, há a mesma distinção:
    • Sem um artigo, significa uma parte da álgebra, como álgebra linear, álgebra elementar (as regras de manipulação de símbolos ensinadas em cursos elementares de matemática como parte do ensino primário e secundário) ou álgebra abstrata (o estudo das estruturas algébricas para si mesmos).
    • Com um artigo, significa uma instância de alguma estrutura abstrata, como uma álgebra de Lie, uma álgebra associativa ou uma álgebra de operador de vértice.
    • Às vezes, ambos os significados existem para o mesmo qualificador, como na frase: Álgebra comutativa é o estudo dos anéis comutativos, que são álgebras comutativas sobre os inteiros.

    A álgebra começou com cálculos semelhantes aos da aritmética, com letras representando números. [5] Isso permitiu provas de propriedades que são verdadeiras, independentemente dos números envolvidos. Por exemplo, na equação quadrática

    Historicamente, e no ensino atual, o estudo da álgebra começa com a resolução de equações como a equação quadrática acima. Depois, questões mais gerais, como "uma equação tem solução?", "Quantas soluções uma equação tem?", "O que pode ser dito sobre a natureza das soluções?" são considerados. Essas questões levaram a estender a álgebra a objetos não numéricos, como permutações, vetores, matrizes e polinômios. As propriedades estruturais desses objetos não numéricos foram então abstraídas em estruturas algébricas, como grupos, anéis e campos.

    Antes do século 16, a matemática era dividida em apenas dois subcampos, aritmética e geometria. Ainda que alguns métodos, desenvolvidos muito antes, possam ser considerados hoje como álgebra, o surgimento da álgebra e, logo depois, do cálculo infinitesimal como subcampos da matemática data apenas do século XVI ou XVII. A partir da segunda metade do século 19, surgiram muitos novos campos da matemática, a maioria dos quais fazia uso tanto da aritmética quanto da geometria, e quase todos usavam álgebra.

    Hoje, a álgebra cresceu até incluir muitos ramos da matemática, como pode ser visto na Classificação de Matemática [8], onde nenhuma das áreas de primeiro nível (entradas de dois dígitos) é chamada álgebra. Hoje a álgebra inclui a seção 08-Sistemas algébricos gerais, teoria de 12 campos e polinômios, 13-álgebra comutativa, teoria da matriz de álgebra 15-linear e multilinear, 16-anéis e álgebras associativos, 17-anéis e álgebras não associativos, teoria homológica de 18 categorias álgebra, teoria 19-K e teoria dos 20 grupos. A álgebra também é amplamente usada na teoria dos 11 números e na geometria algébrica.

    História inicial da álgebra

    As raízes da álgebra podem ser encontradas nos antigos babilônios, [9] que desenvolveram um sistema aritmético avançado com o qual eram capazes de fazer cálculos de forma algorítmica. Os babilônios desenvolveram fórmulas para calcular soluções para problemas normalmente resolvidos hoje usando equações lineares, equações quadráticas e equações lineares indeterminadas. Por outro lado, a maioria dos egípcios desta era, bem como a matemática grega e chinesa no primeiro milênio aC, geralmente resolviam essas equações por métodos geométricos, como os descritos no Rhind Mathematical Papyrus, Euclides Elementos, e Os nove capítulos sobre a arte matemática. O trabalho geométrico dos gregos, tipificado na Elementos, forneceu a estrutura para generalizar fórmulas além da solução de problemas particulares em sistemas mais gerais de formulação e resolução de equações, embora isso não fosse realizado até que a matemática se desenvolvesse no Islã medieval. [10]

    Na época de Platão, a matemática grega havia sofrido uma mudança drástica. Os gregos criaram uma álgebra geométrica em que os termos eram representados por lados de objetos geométricos, geralmente linhas, que tinham letras associadas a eles. [5] Diofanto (século III dC) foi um matemático grego alexandrino e autor de uma série de livros chamados Aritmética. Esses textos tratam da solução de equações algébricas, [11] e levaram, na teoria dos números, à noção moderna de equação diofantina.

    As tradições anteriores discutidas acima tiveram uma influência direta sobre o matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (c. 780-850). Mais tarde ele escreveu O Livro Compendido sobre Cálculo por Conclusão e Equilíbrio, que estabeleceu a álgebra como uma disciplina matemática independente da geometria e da aritmética. [12]

    Os matemáticos helenísticos Heróis de Alexandria e Diofanto [13], bem como matemáticos indianos, como Brahmagupta, continuaram as tradições do Egito e da Babilônia, embora Diofanto ' Aritmética e de Brahmagupta Brāhmasphuṭasiddhānta estão em um nível superior. [14] [ melhor fonte necessária ] Por exemplo, a primeira solução aritmética completa escrita em palavras em vez de símbolos, [15] incluindo soluções zero e negativa, para equações quadráticas foi descrita por Brahmagupta em seu livro Brahmasphutasiddhanta, publicado em 628 DC. [16] Mais tarde, matemáticos persas e árabes desenvolveram métodos algébricos para um grau muito mais alto de sofisticação. Embora Diofanto e os babilônios usassem principalmente Ad hoc métodos para resolver equações, a contribuição de Al-Khwarizmi foi fundamental. Ele resolveu equações lineares e quadráticas sem simbolismo algébrico, números negativos ou zero, portanto, ele teve que distinguir vários tipos de equações. [17]

    No contexto em que a álgebra é identificada com a teoria das equações, o matemático grego Diophantus é tradicionalmente conhecido como o "pai da álgebra" e no contexto em que é identificado com regras para manipular e resolver equações, o matemático persa al-Khwarizmi considerado como "o pai da álgebra". [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] Agora existe um debate se quem (no sentido geral) tem mais direito de ser conhecido como "o pai da álgebra". Aqueles que apoiam Diofanto apontam para o fato de que a álgebra encontrada em Al-Jabr é um pouco mais elementar do que a álgebra encontrada em Aritmética e essa Aritmética é sincronizado enquanto Al-Jabr é totalmente retórico. [25] Aqueles que apoiam Al-Khwarizmi apontam para o fato de que ele introduziu os métodos de "redução" e "balanceamento" (a transposição de termos subtraídos para o outro lado de uma equação, ou seja, o cancelamento de termos semelhantes no oposto sides of the equation) which the term al-jabr originally referred to, [26] and that he gave an exhaustive explanation of solving quadratic equations, [27] supported by geometric proofs while treating algebra as an independent discipline in its own right. [22] His algebra was also no longer concerned "with a series of problems to be resolved, but an exposition which starts with primitive terms in which the combinations must give all possible prototypes for equations, which henceforward explicitly constitute the true object of study". He also studied an equation for its own sake and "in a generic manner, insofar as it does not simply emerge in the course of solving a problem, but is specifically called on to define an infinite class of problems". [28]

    Another Persian mathematician Omar Khayyam is credited with identifying the foundations of algebraic geometry and found the general geometric solution of the cubic equation. His book Treatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070), which laid down the principles of algebra, is part of the body of Persian mathematics that was eventually transmitted to Europe. [29] Yet another Persian mathematician, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, found algebraic and numerical solutions to various cases of cubic equations. [30] He also developed the concept of a function. [31] The Indian mathematicians Mahavira and Bhaskara II, the Persian mathematician Al-Karaji, [32] and the Chinese mathematician Zhu Shijie, solved various cases of cubic, quartic, quintic and higher-order polynomial equations using numerical methods. In the 13th century, the solution of a cubic equation by Fibonacci is representative of the beginning of a revival in European algebra. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412–1486) took "the first steps toward the introduction of algebraic symbolism". He also computed ∑n 2 , ∑n 3 and used the method of successive approximation to determine square roots. [33]

    Modern history of algebra

    François Viète's work on new algebra at the close of the 16th century was an important step towards modern algebra. In 1637, René Descartes published La Géométrie, inventing analytic geometry and introducing modern algebraic notation. Another key event in the further development of algebra was the general algebraic solution of the cubic and quartic equations, developed in the mid-16th century. The idea of a determinant was developed by Japanese mathematician Seki Kōwa in the 17th century, followed independently by Gottfried Leibniz ten years later, for the purpose of solving systems of simultaneous linear equations using matrices. Gabriel Cramer also did some work on matrices and determinants in the 18th century. Permutations were studied by Joseph-Louis Lagrange in his 1770 paper "Réflexions sur la résolution algébrique des équations " devoted to solutions of algebraic equations, in which he introduced Lagrange resolvents. Paolo Ruffini was the first person to develop the theory of permutation groups, and like his predecessors, also in the context of solving algebraic equations.

    Abstract algebra was developed in the 19th century, deriving from the interest in solving equations, initially focusing on what is now called Galois theory, and on constructibility issues. [34] George Peacock was the founder of axiomatic thinking in arithmetic and algebra. Augustus De Morgan discovered relation algebra in his Syllabus of a Proposed System of Logic. Josiah Willard Gibbs developed an algebra of vectors in three-dimensional space, and Arthur Cayley developed an algebra of matrices (this is a noncommutative algebra). [35]

    Some areas of mathematics that fall under the classification abstract algebra have the word algebra in their name linear algebra is one example. Others do not: group theory, ring theory, and field theory are examples. In this section, we list some areas of mathematics with the word "algebra" in the name.

      , the part of algebra that is usually taught in elementary courses of mathematics. , in which algebraic structures such as groups, rings and fields are axiomatically defined and investigated. , in which the specific properties of linear equations, vector spaces and matrices are studied. , a branch of algebra abstracting the computation with the truth valuesfalso e verdadeiro. , the study of commutative rings. , the implementation of algebraic methods as algorithms and computer programs. , the study of algebraic structures that are fundamental to study topological spaces. , in which properties common to all algebraic structures are studied. , in which the properties of numbers are studied from an algebraic point of view. , a branch of geometry, in its primitive form specifying curves and surfaces as solutions of polynomial equations. , in which algebraic methods are used to study combinatorial questions. : a set of finitary relations that is closed under certain operators.

    Many mathematical structures are called algebras:

      or more generally algebra over a ring.
      Many classes of algebras over a field or over a ring have a specific name:
      and F-coalgebra
      , a residuated Boolean algebra expanded with an involution called converse. , a complementeddistributive lattice.

    Elementary algebra is the most basic form of algebra. It is taught to students who are presumed to have no knowledge of mathematics beyond the basic principles of arithmetic. In arithmetic, only numbers and their arithmetical operations (such as +, −, ×, ÷) occur. In algebra, numbers are often represented by symbols called variables (such as uma, n, x, y ou z) This is useful because:

    • It allows the general formulation of arithmetical laws (such as uma + b = b + uma para todos uma e b), and thus is the first step to a systematic exploration of the properties of the real number system.
    • It allows the reference to "unknown" numbers, the formulation of equations and the study of how to solve these. (For instance, "Find a number x such that 3x + 1 = 10" or going a bit further "Find a number x de tal modo que machado + b = c". This step leads to the conclusion that it is not the nature of the specific numbers that allow us to solve it, but that of the operations involved.)
    • It allows the formulation of functional relationships. (For instance, "If you sell x tickets, then your profit will be 3x − 10 dollars, or f(x) = 3x − 10, where f is the function, and x is the number to which the function is applied".)

    Polinômios

    UMA polinomial is an expression that is the sum of a finite number of non-zero terms, each term consisting of the product of a constant and a finite number of variables raised to whole number powers. Por exemplo, x 2 + 2x − 3 is a polynomial in the single variable x. UMA polynomial expression is an expression that may be rewritten as a polynomial, by using commutativity, associativity and distributivity of addition and multiplication. For example, (x − 1)(x + 3) is a polynomial expression, that, properly speaking, is not a polynomial. UMA função polinomial is a function that is defined by a polynomial, or, equivalently, by a polynomial expression. The two preceding examples define the same polynomial function.

    Two important and related problems in algebra are the factorization of polynomials, that is, expressing a given polynomial as a product of other polynomials that cannot be factored any further, and the computation of polynomial greatest common divisors. The example polynomial above can be factored as (x − 1)(x + 3). A related class of problems is finding algebraic expressions for the roots of a polynomial in a single variable.

    Education

    It has been suggested that elementary algebra should be taught to students as young as eleven years old, [36] though in recent years it is more common for public lessons to begin at the eighth grade level (≈ 13 y.o. ±) in the United States. [37] However, in some US schools, algebra is started in ninth grade.

    Abstract algebra extends the familiar concepts found in elementary algebra and arithmetic of numbers to more general concepts. Here are the listed fundamental concepts in abstract algebra.

    Sets: Rather than just considering the different types of numbers, abstract algebra deals with the more general concept of conjuntos: a collection of all objects (called elements) selected by property specific for the set. All collections of the familiar types of numbers are sets. Other examples of sets include the set of all two-by-two matrices, the set of all second-degree polynomials (machado 2 + bx + c), the set of all two dimensional vectors in the plane, and the various finite groups such as the cyclic groups, which are the groups of integers modulo n. Set theory is a branch of logic and not technically a branch of algebra.

    Binary operations: The notion of addition (+) is abstracted to give a binary operation, ∗ say. The notion of binary operation is meaningless without the set on which the operation is defined. For two elements uma e b in a set S, umab is another element in the set this condition is called closure. Addition (+), subtraction (−), multiplication (×), and division (÷) can be binary operations when defined on different sets, as are addition and multiplication of matrices, vectors, and polynomials.

    Identity elements: The numbers zero and one are abstracted to give the notion of an identity element for an operation. Zero is the identity element for addition and one is the identity element for multiplication. For a general binary operator ∗ the identity element e must satisfy umae = uma e euma = uma, and is necessarily unique, if it exists. This holds for addition as uma + 0 = uma and 0 + uma = uma and multiplication uma × 1 = uma and 1 × uma = uma. Not all sets and operator combinations have an identity element for example, the set of positive natural numbers (1, 2, 3, . ) has no identity element for addition.

    Inverse elements: The negative numbers give rise to the concept of inverse elements. For addition, the inverse of uma is written −uma, and for multiplication the inverse is written uma −1 . A general two-sided inverse element uma −1 satisfies the property that umauma −1 = e e uma −1 ∗ uma = e, Onde e is the identity element.

    Associativity: Addition of integers has a property called associativity. That is, the grouping of the numbers to be added does not affect the sum. For example: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) . In general, this becomes (umab) ∗ c = uma ∗ (bc) This property is shared by most binary operations, but not subtraction or division or octonion multiplication.

    Commutativity: Addition and multiplication of real numbers are both commutative. That is, the order of the numbers does not affect the result. For example: 2 + 3 = 3 + 2. In general, this becomes umab = buma. This property does not hold for all binary operations. For example, matrix multiplication and quaternion multiplication are both non-commutative.

    Groups

    Combining the above concepts gives one of the most important structures in mathematics: a grupo. A group is a combination of a set S and a single binary operation ∗, defined in any way you choose, but with the following properties:

    • An identity element e exists, such that for every member uma do S, euma e umae are both identical to uma.
    • Every element has an inverse: for every member uma do S, there exists a member uma −1 such that umauma −1 and uma −1 ∗ uma are both identical to the identity element.
    • The operation is associative: if uma, b e c are members of S, then (umab) ∗ c is identical to uma ∗ (bc).

    If a group is also commutative – that is, for any two members uma e b do S, umab is identical to buma – then the group is said to be abelian.

    For example, the set of integers under the operation of addition is a group. In this group, the identity element is 0 and the inverse of any element uma is its negation, −uma. The associativity requirement is met, because for any integers uma, b e c, (uma + b) + c = uma + (b + c)

    The non-zero rational numbers form a group under multiplication. Here, the identity element is 1, since 1 × uma = uma × 1 = uma for any rational number uma. The inverse of uma é 1 /uma, since uma × 1/uma = 1.

    The integers under the multiplication operation, however, do not form a group. This is because, in general, the multiplicative inverse of an integer is not an integer. For example, 4 is an integer, but its multiplicative inverse is ¼, which is not an integer.

    The theory of groups is studied in group theory. A major result in this theory is the classification of finite simple groups, mostly published between about 1955 and 1983, which separates the finite simple groups into roughly 30 basic types.

    Semi-groups, quasi-groups, and monoids structure similar to groups, but more general. They comprise a set and a closed binary operation but do not necessarily satisfy the other conditions. A semi-group has an associative binary operation but might not have an identity element. A monoid is a semi-group which does have an identity but might not have an inverse for every element. A quasi-group satisfies a requirement that any element can be turned into any other by either a unique left-multiplication or right-multiplication however, the binary operation might not be associative.

    All groups are monoids, and all monoids are semi-groups.

    Exemplos
    Set Números naturais N Inteiros Z Rational numbers Q (also real R and complex C numbers) Integers modulo 3: Z3 =
    Operation + × (w/o zero) + × (w/o zero) + × (w/o zero) ÷ (w/o zero) + × (w/o zero)
    Closed sim sim sim sim sim sim sim sim sim sim
    Identity 0 1 0 1 0 N/A 1 N/A 0 1
    Inverse N/A N/A uma N/A uma N/A 1/uma N/A 0, 2, 1, respectively N/A, 1, 2, respectively
    Associative sim sim sim sim sim Não sim Não sim sim
    Commutative sim sim sim sim sim Não sim Não sim sim
    Structure monoid monoid abelian group monoid abelian group quasi-group abelian group quasi-group abelian group abelian group (Z2)

    Rings and fields

    Groups just have one binary operation. To fully explain the behaviour of the different types of numbers, structures with two operators need to be studied. The most important of these are rings and fields.

    UMA ring has two binary operations (+) and (×), with × distributive over +. Under the first operator (+) it forms an abelian group. Under the second operator (×) it is associative, but it does not need to have an identity, or inverse, so division is not required. The additive (+) identity element is written as 0 and the additive inverse of uma is written as −uma.

    Distributivity generalises the distributive law for numbers. For the integers (uma + b) × c = uma × c + b × c e c × (uma + b) = c × uma + c × b, and × is said to be distributive over +.

    The integers are an example of a ring. The integers have additional properties which make it an integral domain.

    UMA field é um ring with the additional property that all the elements excluding 0 form an abelian group under ×. The multiplicative (×) identity is written as 1 and the multiplicative inverse of uma is written as uma −1 .

    The rational numbers, the real numbers and the complex numbers are all examples of fields.


    3. Universal Algebra

    Universal algebra is the next level of abstraction after abstract algebra. Whereas elementary algebra treats equational reasoning in a particular algebra such as the field of reals or the field of complex numbers, and abstract algebra studies particular classes of algebras such as groups, rings, or fields, universal algebra studies classes of classes of algebras. Much as abstract algebra numbers groups, rings, and fields among its basic classes, so does universal algebra count varieties, quasivarieties, and elementary classes among its basic classes of classes.

    UMA modelo of a theory is a structure for which all the equations of that theory are identities. Terms are built up from variables and constants using the operations of the theory. An equation is a pair of terms it is satisfied by an algebra when the two terms are equal under all valuations of (assignments of values to) the (n) variables appearing in the terms, equivalently when they denote the same (n)-ary operation. A quasiequation is a pair consisting of a finite set of equations, called the premises or antecedents, and another equation, the conclusion it is satisfied by an algebra when the two terms of the conclusion are equal under all valuations of the (n) variables appearing in the terms satisfying the premises. A first order formula is a quantified Boolean combination of relational terms.

    UMA variety is the class of all models of a set of equations. UMA quasivariety is the class of all models of a set of quasiequations. Um elementary class is the class of all models of a set of first-order formulas.

    Quasivarieties have received much less attention than either varieties or elementary classes, and we accordingly say little about them here. Elementary classes are treated in sufficient depth elsewhere in this encyclopedia that we need not consider them here. We therefore focus in this section on varieties.

    Abelian groups, groups, rings, and vector spaces over a given field all form varieties.

    A central result in this area is the theorem that a lattice arises as the lattice of subalgebras of some algebra if and only if it arises as the lattice of congruences on some algebra. Lattices of this sort are called algebraic lattices. When the congruences of an algebra permute, its congruence lattice is modular, a strong condition facilitating the analysis of finite algebras in particular.

    3.1 Concepts

    Familiar theorems of number theory emerge in algebraic form for algebras. An algebra (A) is called directly irreducible or simple when its lattice of congruences is the two-element lattice consisting of (A) and the one-element algebra, paralleling the notion of prime number (p) as a number whose lattice of divisors has two elements (p) and 1. However the counterpart of the fundamental theorem of arithmetic, that every positive integer factors uniquely as a product of primes, requires a more delicate kind of product than direct product. Birkhoff&rsquos notion of subdirect product enabled him to prove the Subdirect Representation Theorem, that every algebra arises as the subdirect product of its subdirectly irreducible quotients. Whereas there are many subdirectly irreducible groups, the only subdirectly irreducible Boolean algebra is the initial or two-element one, while the subdirectly irreducible rings satisfying (x^n = x) for some (n gt 1) are exactly the finite fields.

    Another central topic is duality: Boolean algebras are dual to Stone spaces, complete atomic Boolean algebras are dual to sets, distributive lattices with top and bottom are dual to partially ordered sets, algebraic lattices are dual to semilattices, and so on. Duality provides two ways of looking at an algebra, one of which may turn out to be more insightful or easier to work with than the other depending on the application.

    The structure of varieties as classes of all models of some equational theory is also of great interest. The earliest result in this area is Birkhoff&rsquos theorem that a class of algebras is a variety if and only if it is closed under formation of quotients (homomorphic images), subalgebras, and arbitrary (including empty and infinite) direct products. This &ldquomodern algebra&rdquo result constitutes a completeness theorem for equational logic in terms of its models. Its elementary counterpart is the theorem that the equational theories on a free algebra (F(V)), defined as the deductively closed sets of equations that use variables from (V), are exactly its substitutive congruences.

    A locally finite variety is one whose finitely generated free algebras are finite, such as pointed sets, graphs (whether of the directed or undirected variety), and distributive lattices. A congruence permutable variety is a variety all of whose algebras are congruence permutable. Maltsev characterized these in terms of a necessary and sufficient condition on their theories, namely that (F)(3) contain an operation (t(x, y, z)) for which (t(x, x, y) = t(y, x, x) = y) are in the theory. Analogous notions are congruence distributivity and congruence modularity, for which there exist analogous syntactic characterizations of varieties of algebras with these properties. A more recently developed power tool for this area is McKenzie&rsquos notion of tame congruences, facilitating the study of the structure of finite algebras.

    Within the algebraic school, varieties have been defined with the understanding that the operations of a signature form a set. Insights from category theory, in particular the expression of a variety as a monad, defined as a monoid object in the category (C^C) of endofunctors of a category (C) (Set in the case of ordinary universal algebra) indicate that a cleaner and more general notion of variety is obtained when the operations can form a proper class. For example the important classes of complete semilattices, CSLat, and complete atomic Boolean algebras, CABA, form varieties only with this broader notion of signature. In the narrow algebraic sense of variety, the dual of a variety can never be a variety, whereas in the broader monadic notion of variety, the variety Set of sets is dual to CABA while CSLat is self-dual.

    3.2 Equational Logic

    Axiom systems. Identities can also be used to transform equations to equivalent equations. When those equations are themselves identities for some domain, the equations they are transformed into remain identities for that domain. One can therefore start from some finite set of identities and manufacture an unlimited number of new identities from them.

    For example if we start from just the two identities ((x+y)+z = x+(y+z)) and (x+y = y+x), we can obtain the identity ((w+x)+(y+z) = (w+y)+(x+z)) via the following series of transformations.

    This process of manufacturing new identities from old is called deduction. Any identity that can be generated by deduction starting from a given set (A) of identities is called a consequence of (A). The set of all consequences of (A) is called the deductive closure of (A). We refer to (A) as an axiomatization of its deductive closure. A set that is its own deductive closure is said to be deductively closed. It is straightforward to show that a set is deductively closed if and only if it is the deductive closure of some set.

    Um equational theory is a deductively closed set of equations, equivalently the set of all consequences of some set (A) of equations. Every theory always has itself as its own axiomatization, but it will usually also have smaller axiomatizations. A theory that has a finite axiomatization is said to be finitely based ou finitely axiomatizable.

    Effectiveness. Finitely based theories can be effectively enumerated. That is, given a finite set (A) of equations, one can write a computer program that prints consequences of (A) for ever in such a way that every consequence of (A) will appear at some finite position in the infinite list of all consequences. The same conclusion obtains when we weaken the requirement that (A) be finite to merely that it can be effectively enumerated. That is, if the axiomatization is effectively enumerable so is its deductive closure.

    (In reconciling the finite with the infinite, bear in mind that if we list all the natural numbers 0, 1, 2, &hellip in order, we obtain an infinite list every member of which is only finitely far from the beginning, and also has a well-defined predecessor (except for 0) and successor. Only if we attempt to pad this list out at the &ldquoend&rdquo with infinite numbers does this principle break down.

    One way to visualize there being an &ldquoend&rdquo that could have more elements beyond it is to consider the rationals of the form (1/n) for all nonzero integers (n), in increasing order. This list starts out (-1/1, -1/2, -1/3,ldots) and after listing infinitely many negative rationals of that form, with no greatest such, switches over to positive rationals, with no first such, finally ending with 1/3, 1/2, 1/1. The entire list is discrete in the sense that every rational except the endpoints (-1/1) and 1/1 has a well-defined predecessor and successor in this subset of the rationals, unlike the situation for the set of all rationals between (-1/1) and (1/1). This would no longer be the case were we to introduce the rational 0 &ldquoin the middle&rdquo, which would have neither a predecessor nor a successor.)

    Equational Logic. Our informal account of deduction can be formalized in terms of five rules for producing new identities from old. In the following, (s) and (t) denote arbitrary terms.

    (R1) From nothing infer (t = t). (R2) From (s = t) infer (t = s). (R3) From (s = t) and (t = u) infer (s = u). (R4) From (s_1 = t_1, s_2 = t_2 , ldots ,s_n = t_n) infer (f(s_1, s_2 , ldots ,s_n)= f(t_1, t_2 , ldots ,t_n)), where (f) is an (n)-ary operation. (R5) From (s = t) infer (s' = t') where (s') and (t') are the terms resulting from consistently substituting terms for variables in (s) and (t) respectively.

    &ldquoConsistently&rdquo in this context means that if a term is substituted for one occurrence of a given variable, the same term must be substituted for all occurrences of that variable in both (s) and (t). We could not for example appeal solely to R5 to justify substituting (u+v) for (x) in the left hand side of (x+y = y+x) and (v+u) for (x) in the right hand side, though some other rule might permit it.

    An equational theory as a set of pairs of terms amounts to a binary relation on the set of all terms. Regras R1&ndashR3 correspond to respectively reflexivity, symmetry, and transitivity of this binary relation, (i.e). these three rules assert that an equational theory is an equivalence relation. Regra R4 expresses the further property that this binary relation is a congruence. Regra R5 further asserts that the relation is a substitutive congruence. It can be shown that a binary relation on the set of terms is an equational theory if and only if it is a substitutive congruence. These five rules therefore completely axiomatize equational logic in the sense that every consequence of a set (A) of equations can be produced from (A) via finitely many applications of these five rules.

    3.3 Birkhoff&rsquos Theorem

    A variety is by definition the class of models of some equational theory. In 1935 Birkhoff provided an equivalent characterization of varieties as any class closed under quotients (homomorphic images), direct products, and subalgebras. These notions are defined as follows.

    Given two algebras ((X, f_1 , ldots f_k)) and ((Y, g_1 , ldots g_k)), a homomorphism (h: (X, f_1 , ldots f_k) ightarrow (Y, g_1 , ldots g_k)) is a function (h: X ightarrow Y) satisfying (h(f_i (x_0 , ldots ,x_-1 >)) = g_i (h(x_0), ldots ,h(x_-1 >)))) for each (i) from 1 to (k) where (n_i) is the arity of both (f_i) and (g_i).

    UMA subalgebra of an algebra is a set of elements of the algebra closed under the operations of the algebra.

    Let (I) be an arbitrary set, which may be empty, finite, or infinite. UMA family (langle A_ angle_) of algebras ((X_i, f_<1>^i,ldots, f_k^i)) indexed by (I) consists of one algebra (A_i) for each element (i) of (I). Nós definimos o direct product (Pi A_i) (or (Pi_ A_i) in full) of such a family as follows.

    The underlying set of (Pi A_i) is the cartesian product (Pi X_i) of the underlying sets (X_i), and consists of those (I)-tuples whose (i)-th element is some element of (X_i). ((I) may even be uncountable, but in this case the nonemptiness of (Pi X_i) as a consequence of the nonemptiness of the individual (X_i)&rsquos is equivalent to the axiom of choice. This should be kept in mind for any constructive applications of Birkhoff&rsquos theorem.)

    The (j)-th operation of (Pi A_i), of arity (n_j), takes an (n_j)-tuple (t) of elements of (Pi X_i) and produces the (I)-tuple (langle f_^i(t_<1>^i , ldots t_ >^i) angle_) where (t_k^i) is the (i)-th component of the (k)-th component of (t) for (k) from 1 to (n_j).

    Given two algebras (A), (B) and a homomorphism (h: A ightarrow B), the homomorphic image (h(A)) is the subalgebra of (B) consisting of elements of the form (h(a)) for (a) in (A).

    Given a class (C) of algebras, we write (P(C)) for the class of all algebras formed as direct products of families of algebras of (C, S(C)) for the class of all subalgebras of algebras of (C), and (H(C)) for the class of all homomorphic images of algebras of (C).

    It is relatively straightforward to show that any equation satisfied by all the members of (C) is also satisfied by all the members of (P(C), S(C)), and (H(C)). Hence for a variety (V, P(V) = S(V) = H(V)).

    Birkhoff&rsquos theorem is the converse: for any class (C) such that (P(C) = S(C) = H(C), C) is a variety. In fact the theorem is slightly stronger: for any class (C), HSP((C)) is a variety. That is, to construct all the models of the theory of (C) it suffices to close (C) first under direct products, then under subalgebras, and finally under homomorphic images that is, later closures do not compromise earlier ones provided (P, S), and (H) are performed in that order.

    A basic application of Birkhoff&rsquos theorem is in proving the completeness of a proposed axiomatization of a class (C). Given an arbitrary model of the axioms, it suffices to show that the model can be constructed as the homomorphic image of a subalgebra of a direct product of algebras of (C).

    This completeness technique complements the completeness observed in the previous section for the rules of equational logic.


    Discrete Math Problem - Properties of Relations

    I'm new to this forum, and wasn't sure where to post a Discrete Math problem, but as the class has probability topics I figured this was appropriate.

    Quick background: Taking discrete math online, and it's very difficult to follow. The text is beyond my comprehension. I got the below problem incorrect on an assignment, and when I asked the professor for help, I was told he/she needed to check the text and would get back to me. Great class, huh? So, I'll show my thought process, and hopefully someone can steer me in the right direction. Also, searched all over YouTube for videos, and didn't find any that clarified relations (at least for my brain). Please do not tell me the analogies such as "the father of". That's only confusing me more! I learn best by seeing numerous examples, so I understand the pattern, and then I start understanding through reading. Thanks for any help/clarification, I really appreciate it.

    "Let A=<1,2,3,4>. Determine whether the relation is reflexive, irreflexive, symmetric, asymmetric, antisymmetric, or transitive.
    R=<(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)>"

    1. Ok, I know (haha, think) this isn't reflexive. For that to be true, I'd need to see (1,1), (2,2), (3,3), or (4,4).

    2. I know this is irreflexive as there are no identical pairs (e.g. no (2,2))

    3. It is not symmetric from the get-go as the first ordered pair is (1,2) and there’s no (2,1)


    4. It is not antisymmetric as there are no values (x,y),(y,x) where can draw the conclusion x=y (note: this one confuses me slightly, so I may be misinterpreting it)


    5. It is asymmetric as there is neither symmetry nor asymmetry. (note: again, not sure I'm interpreting this one correctly)


    6. It is transitive (the most confusing one for me). Okay, so if (x,y) and (y,z) we can conclude the relation (x,z). I see (1,2) and (2,3) as well as (1,3). That's transitive, right? Does that alone make it transitive, or does this have to hold true for other values as well?

    Anyway, that's it. I got it wrong with no explanation why, so any clarification on relations would really help me out. Also, I've tried drawing this as a Digraph, and that doesn't help either. Hopefully someone can find a way to make me grasp this concept.


    When a fraction equals zero :

    Where a fraction equals zero, its numerator, the part which is above the fraction line, must equal zero.

    Now,to get rid of the denominator, Tiger multiplys both sides of the equation by the denominator.

    Now, on the left hand side, the 5 cancels out the denominator, while, on the right hand side, zero times anything is still zero.

    The equation now takes the shape :
    5y-7x+55 = 0

    Equation of a Straight Line

    Tiger recognizes that we have here an equation of a straight line. Such an equation is usually written y=mx+b ("y=mx+c" in the UK).

    "y=mx+b" is the formula of a straight line drawn on Cartesian coordinate system in which "y" is the vertical axis and "x" the horizontal axis.

    y tells us how far up the line goes
    x tells us how far along
    m is the Slope or Gradient i.e. how steep the line is
    b is the Y-intercept i.e. where the line crosses the Y axis

    The X and Y intercepts and the Slope are called the line properties. We shall now graph the line 5y-7x+55 = 0 and calculate its properties

    Graph of a Straight Line :

    Calculate the Y-Intercept :

    Notice that when x = 0 the value of y is -11/1 so this line "cuts" the y axis at y=-11.00000

    Calculate the X-Intercept :

    When y = 0 the value of x is 55/7 Our line therefore "cuts" the x axis at x= 7.85714

    Calculate the Slope :

    Slope is defined as the change in y divided by the change in x. We note that for x=0, the value of y is -11.000 and for x=2.000, the value of y is -8.200. So, for a change of 2.000 in x (The change in x is sometimes referred to as "RUN") we get a change of -8.200 - (-11.000) = 2.800 in y. (The change in y is sometimes referred to as "RISE" and the Slope is m = RISE / RUN)


    Assista o vídeo: Wyrażenia algebraiczne - wprowadzenie #1 Wyrażenia algebraiczne (Outubro 2021).