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2.3: Notação de Função - Matemática


É comum permitir que uma letra denote um conjunto de pares ordenados que é uma função.

Observação

Se F denota uma função, então, para qualquer par ordenado, (x, y) em F, y é denotado por F (x).

Assim, o par ordenado (x, F (x)) é um par ordenado de F. A notação torna muito fácil descrever uma função por meio de uma equação. Ao invés de

'Seja (F ) a coleção de pares de números ordenados aos quais um par ordenado ((x, y) ) pertence se e somente se (x ) é um número e (y = x ^ {2 } + x ). '

um pode escrever

'Seja (F ) a função tal que para todos os números (x ), (F (x) = x ^ {2} + x ).'

Operacionalmente, você descobrirá que muitas vezes pode simplesmente substituir y em uma equação por F (x) e definir uma função. Além disso, como você está acostumado a usar y em uma equação, muitas vezes você pode substituir F (x) na definição de uma função por y e usar a equação resultante, que é mais familiar.

Todas as expressões a seguir podem ser usadas na definição de uma função.

  1. (F (x) = x ^ {2} )
  2. (F (x) = x + 5 )
  3. (F (x) = x + frac {1} {x} quad x neq 0 )
  4. (F (x) = e ^ {x} )
  5. (F (x) = sqrt {x} quad x geq 0 )
  6. (F (x) = log _ {10} x quad x> 0 )

Observe que algumas condições, (x neq 0 ) e (x geq 0 ) e (x> 0 ), estão incluídas para algumas das expressões. Essas condições descrevem o domínio da função. Por exemplo, o domínio da função f definida por (F (x) = log_ {10} x ) é o conjunto de números positivos.

Você também pode ver algo como

[ begin {array} {ll}
F (x) = sqrt {1 + x} & F (x) = frac {1-x} {1 + x}
F (x) = sqrt {1-x ^ {2}} & F (x) = log _ {10} left (x ^ {2} -x right)
end {array} ]

A intenção é que o domínio seja o conjunto de todos os valores de x para os quais as expressões podem ser calculadas, embora nenhuma restrição seja escrita. Freqüentemente, as restrições são baseadas nestas regras:

Observação

  1. Evite dividir por zero.
  2. Evite calcular a raiz quadrada de números negativos.
  3. Evite calcular o logaritmo de 0 e números negativos.

Assumindo que usamos apenas números reais e não números complexos, as descrições completas das funções anteriores seriam

[ begin {array} {llllll}
f (x) & = sqrt {1 + x}, & x geq-1 quad & quad F (x) & = frac {1-x} {1 + x}, & x neq-1
F (x) & = sqrt {1-x ^ {2}}, & -1 leq x leq 1 quad & quad F (x) & = log _ {10} left (x ^ { 2} -x right), & x <0 & text {ou} quad 1 end {array} ]

Uso de parênteses. O uso de parênteses na notação de função é especial para funções e não significa multiplicação. O símbolo entre parênteses é sempre a variável independente, um membro do domínio, e (F (x) ) é um valor da variável dependente, um membro do intervalo. É particularmente complicado porque frequentemente precisaremos usar o símbolo (F (x + h) ), e os alunos confundem isso com uma multiplicação e substituem por (F (x) + F (h) ). Raramente isso é correto.

Exemplo 2.3.1 Para a função, R, definido por

[ begin {array} {c}
R (x) = x + frac {1} {x} quad x neq 0
R (1 + 3) = R (4) = 4 + frac {1} {4} = 4,25
R (1) = 1 + frac {1} {1} = 2.0 quad text {e}
R (3) = 3 + frac {1} {3} = 3,3333 cdots
R (1) + R (3) = 2 + 3,3333 cdots = 5,3333 cdots neq 4,25 = R (4)
end {array} ]

Nesse caso

[R (1 + 3) neq R (1) + R (3) ]

Exercícios para a Seção 2.3 Notação de Função.

Exercício 2.3.1 Seja (F ) a coleção de pares de números ordenados aos quais um par ordenado ((x, y) ) pertence se e somente se (x ) for um número e (y = x ^ {2} + x ).

  1. Qual dos pares de números ordenados pertence a F? (0,1), (0,0), (1,1), (1,3), (1, -1), (-1,1), (-1,0), (-1, - 1).
  2. Existe alguma incerteza quanto aos membros do F?
  3. Qual é o domínio de F?
  4. Qual é o intervalo de F?

Exercício 2.3.2 Para a função, (F ), definido por (F (x) = x ^ 2 ),

  1. Calcule (F (1 + 2) ) e (F (1) + F (2) ). É (F (1 + 2) = F (1) + F (2) )?
  2. Calcule (F (3 + 5) ) e (F (3) + F (5) ). É (F (3 + 5) = F (3) + F (5) )?
  3. Calcule (F (0 + 4) ) e (F (0) + F (4) ). É (F (0 + 4) = F (0) + F (4) )?

Exercício 2.3.3 Encontre uma função, (L ), definida para todos os números (domínio são todos os números) de modo que para todos os números (a ) e (b ), (L (a + b) = L (a) + L (b) . Existe outra função desse tipo?

Exercício 2.3.4 Encontre uma função, (M ), definida para todos os números (domínio são todos os números) de modo que para todos os números (a ) e (b ), (M (a + b) = M (a) times M (b) ). Existe outra função desse tipo?

Exercício 2.3.5 Para a função, (F (x) = x ^ {2} + x ), calcule o seguinte

  1. ( frac {F (5) -F (3)} {5-3} )
  2. ( frac {F (3 + 2) -F (3)} {2} )
  3. ( frac {F (b) -F (a)} {b-a} )
  4. ( frac {F (a + h) -F (a)} {h} )

Exercício 2.3.6 Repita as etapas (a) - (d) do Exercício 2.3.5 para as funções

  1. (F (x) = 3 x )
  2. (F (x) = x ^ {3} )
  3. (F (x) = 2 ^ {x} )
  4. (F (x) = sin x )

Exercício 2.3.7

  1. Na Figura 2.3.7A está o gráfico de (y ^ {4} = x ^ {2} ) para (- 2 leq x leq 2 ). Escreva equações que definem cinco subgráficos simples máximos diferentes.
  2. Na Figura 2.3.7B está o gráfico de (| x | + | y ​​| = 1 ) para (- 1 leq x leq 1 ). Escreva equações que definem cinco subgráficos simples máximos diferentes.

Figura para o exercício 2.3.7 Gráfico de A (y ^ {4} = x ^ {2} ) e B (| x | + | y ​​| = 1 ), para o Exercício 2.3.7.

Exercício 2.3.8 Quais são os domínios implícitos das funções

[ begin {array} {ll}
F (x) = sqrt {x-1} & F (x) = frac {1 + x ^ {2}} {1-x ^ {2}}
F (x) = sqrt {4-x ^ {2}} & F (x) = log _ {10} left (x ^ {2} right)
end {array} ]


2.3 Funções matemáticas e estatísticas

Além das fórmulas, outra maneira de realizar cálculos matemáticos no Excel é por meio de funções. As funções estatísticas aplicam um processo matemático a um grupo de células em uma planilha. Por exemplo, a função SUM é usada para adicionar os valores contidos em um intervalo de células. Uma lista de funções estatísticas comumente usadas é mostrada em Tabela 2.4. As funções são mais eficientes do que as fórmulas quando você aplica um processo matemático a um grupo de células. Se você usar uma fórmula para adicionar os valores em um intervalo de células, terá que adicionar cada localização de célula à fórmula, uma de cada vez. Isso pode consumir muito tempo se você precisar adicionar os valores em algumas centenas de localizações de células. No entanto, ao usar uma função, você pode destacar todas as células que contêm valores que deseja somar em apenas uma etapa. Esta seção demonstra uma variedade de funções estatísticas que adicionaremos à pasta de trabalho Orçamento pessoal. Além de demonstrar funções, esta seção também analisa a porcentagem dos cálculos totais e o uso de referências absolutas.

Tabela 2.4 Funções estatísticas comumente usadas

Função Saída
abdômen O valor absoluto de um número
MÉDIA A média ou média aritmética para um grupo de números
CONTAR O número de localizações de células em um intervalo que contém um caractere numérico
CONT.valor O número de localizações de células em um intervalo que contém um texto ou caractere numérico
MAX O maior valor numérico em um grupo de números
MEDIANA O número do meio em um grupo de números (metade dos números no grupo são maiores do que a mediana e metade dos números no grupo são menores do que a mediana)
MIN O menor valor numérico em um grupo de números
MODO O número que aparece com mais frequência em um grupo de números
PRODUTOS O resultado da multiplicação de todos os valores em um intervalo de localizações de células
SQRT A raiz quadrada positiva de um número
STDEV.S O desvio padrão para um grupo de números com base em uma amostra
SOMA O total de todos os valores numéricos em um grupo


3.3: Representando uma sequência (15 minutos)

Atividade

O objetivo desta atividade é que os alunos criem outra representação de uma determinada sequência e lhes dê a oportunidade de usar o vocabulário que aprenderam para sequências geométricas e aritméticas.

Monitore para alunos que criam o gráfico de Mai para entender seu raciocínio e para alunos que raciocinam sobre se a sequência é definida por uma taxa de mudança ou um fator de crescimento para convidar a compartilhar durante a discussão.

Jada e Mai estão tentando decidir que tipo de sequência poderia ser:

Jada diz: “Acho que essa sequência é geométrica porque na coluna de valor cada linha é 3 vezes maior que a linha anterior.”

Mai diz: “Não acho que seja geométrico. Fiz um gráfico e não parece geométrico. ”

Você concorda com Jada ou Mai? Explique ou mostre seu raciocínio.

Resposta do Aluno

Para obter acesso, consulte um de nossos Parceiros Certificados de IM.

Síntese de Atividades

Convide alunos previamente selecionados para compartilhar seus raciocínios, exibindo quaisquer gráficos criados para que todos possam ver. Se a ideia de inclinação ou taxa média de mudança não surgir, pergunte aos alunos como eles poderiam ter encontrado os pontos que faltam para uma sequência aritmética que acabou de ser fornecida ((2,6) ) e ((5,18) ) . Desenhe o triângulo de inclinação e mostre o cálculo da taxa média de mudança.


Identificação de funções básicas do kit de ferramentas

Neste texto, exploraremos as funções - as formas de seus gráficos, suas características únicas, suas fórmulas algébricas e como resolver problemas com elas. Ao aprender a ler, começamos com o alfabeto. Ao aprender a fazer aritmética, começamos com números. Ao trabalhar com funções, é igualmente útil ter um conjunto básico de elementos de bloco de construção. Chamamos essas funções de & # 8220toolkit functions, & # 8221, que formam um conjunto de funções nomeadas básicas para as quais conhecemos o gráfico, a fórmula e as propriedades especiais. Algumas dessas funções são programadas para botões individuais em muitas calculadoras. Para essas definições, usaremos [latex] x [/ latex] como variável de entrada e [latex] y = f left (x right) [/ latex] como variável de saída.

Veremos essas funções do kit de ferramentas, combinações de funções do kit de ferramentas, seus gráficos e suas transformações com frequência ao longo deste livro. Será muito útil se pudermos reconhecer essas funções do kit de ferramentas e seus recursos rapidamente por nome, fórmula, gráfico e propriedades básicas da tabela. Os gráficos e os valores da tabela de amostra estão incluídos em cada função mostrada abaixo.


O objetivo da tarefa é identificar explicitamente um erro comum cometido por muitos alunos, quando fazem uso da "identidade" $ f (x + h) = f (x) + f (h). $ A função $ f $ em geral, não pode ser distribuído por uma soma de entradas. Este é um erro fácil de cometer porque $ f (x + h) = f (x) + f (h) $ é uma afirmação verdadeira se $ f, x, h $ são números reais e as operações implícitas nos parênteses são multiplicações . A tarefa faz com que os alunos encontrem um único exemplo explícito para o qual a identidade é falsa, mas vale a pena enfatizar que, na verdade, a identidade falha para a grande maioria das funções. Entre as funções contínuas, o funções que satisfazem a identidade para todos $ x $ e $ h $ são as funções $ f (x) = ax $ para uma constante $ a $.

A afirmação não é verdadeira para todas as funções.

Uma função para a qual é válido é a função $ f $ dada por $ f (a) = 5a $. Se $ f (a) = 5a $, então $ f (x + h) = 5 (x + h) = 5 cdot x + 5 cdot h = f (x) + f (h). $
Uma função para a qual a declaração não é válida é a função $ f $ dada por $ f (a) = a ^ 2 $. Se $ f (a) = a ^ 2 $, então $ f (x + h) = (x + h) ^ 2 = x ^ 2 + 2xh + h ^ 2. $ Isso difere de $ f (x) + f (h) = x ^ 2 + h ^ 2 $ por $ 2xh $. Este meio termo não é zero, a menos que $ x $ ou $ h $ seja zero.


2.3: Notação de Função - Matemática

A capacidade de decodificar fluentemente palavras, números ou símbolos que foram apresentados em um formato codificado (por exemplo, símbolos visuais para texto, símbolos táteis para Braille, expressões algébricas para relacionamentos) requer prática para qualquer aluno, mas alguns alunos alcançarão a automaticidade mais rapidamente do que outros. Os alunos precisam de uma exposição consistente e significativa aos símbolos para que possam compreendê-los e usá-los com eficácia. A falta de fluência ou automaticidade aumenta muito a carga cognitiva de decodificação, reduzindo assim a capacidade de processamento e compreensão da informação. Para garantir que todos os alunos tenham igual acesso ao conhecimento, pelo menos quando a habilidade de decodificar não é o foco da instrução, é importante fornecer opções que reduzam as barreiras que a decodificação levanta para alunos que não estão familiarizados ou não fluem com os símbolos.

  • Permitir o uso de Text-to-Speech
  • Use voz automática com notação matemática digital (Math ML)
  • Use texto digital com uma gravação de voz humana (por exemplo, Daisy Talking Books)
  • Permitir flexibilidade e fácil acesso a várias representações de notação quando apropriado (por exemplo, fórmulas, problemas de palavras, gráficos)
  • Ofereça esclarecimento de notação por meio de listas de termos-chave

Explore a pesquisa usada para desenvolver o Checkpoint 2.3.


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2.2: Uma notação útil (15 minutos)

Atividade

Nesta atividade, os alunos aprendem que a notação de função pode ser usada como um atalho prático para se comunicar sobre funções e partes ou recursos específicos de uma função. Eles interpretam declarações que estão escritas nesta notação e usam a notação para se referir a pontos em um gráfico ou para representar declarações verbais simples sobre uma função.

Lançar

Explique aos alunos que uma maneira de falar sobre funções com precisão e sem descrições prolixas é nomeando as funções e usando notação de função.

  • Suponha que atribuamos um nome a cada função que relaciona a distância do cão ao posto e o tempo desde que o dono do cão saiu: função (f ) para o Dia 1, função (g ) para o Dia 2, função (h ) para o Dia 3. A entrada de cada função é o tempo em segundos, (t ).
  • Para representar “a distância do cão até o posto 60 segundos depois que o dono saiu”, podemos simplesmente escrever: (f (60) ). Para expressar a mesma quantidade para o segundo e terceiro dias, podemos escrever (g (60) ) e (h (60) ).

Peça aos alunos que consultem os três gráficos do aquecimento para responder às perguntas.

Vamos nomear as funções que relacionam a distância do cão ao posto e o tempo desde que seu dono saiu: função (f ) para o Dia 1, função (g ) para o Dia 2, função (h ) para o Dia 3. A entrada de cada função é o tempo em segundos, (t ).

    Use a notação de função para completar a tabela.
    dia 1dia 2dia 3
    uma. distância da postagem 60 segundos depois que o proprietário saiu
    b. distância da postagem quando o dono saiu
    c. distância da postagem 150 segundos depois que o proprietário saiu

Descreva o que cada expressão representa neste contexto:

A equação (g (120) = 4 ) pode ser interpretada como significando: “No Dia 2, 120 segundos depois que o dono do cão saiu, o cão estava a 1 metro do poste.”


2.3: Notação de Função - Matemática

Agora precisamos passar para o segundo tópico deste capítulo. Antes de fazermos isso, no entanto, precisamos cuidar de uma definição rápida.

Definição de Relação

UMA relação é um conjunto de pares ordenados.

Esta parece ser uma definição estranha, mas vamos precisar dela para a definição de uma função (que é o tópico principal desta seção). No entanto, antes de realmente darmos a definição de uma função, vamos ver se podemos obter uma alça sobre o que é uma relação.

Pense no Exemplo 1 na seção Gráficos deste capítulo. Nesse exemplo, construímos um conjunto de pares ordenados que usamos para esboçar o gráfico de (y = < left ( right) ^ 2> - 4 ). Aqui estão os pares ordenados que usamos.

Qualquer um dos itens a seguir são relações porque consistem em um conjunto de pares ordenados.

É claro que existem muitas outras relações que poderíamos formar a partir da lista de pares ordenados acima, mas queríamos apenas listar algumas relações possíveis para dar alguns exemplos. Observe também que também podemos obter outros pares ordenados da equação e adicioná-los a qualquer uma das relações acima, se quisermos.

Agora, neste ponto você provavelmente está se perguntando por que nos preocupamos com as relações e essa é uma boa pergunta. Algumas relações são muito especiais e são usadas em quase todos os níveis da matemática. A definição a seguir nos diz exatamente quais relações são essas relações especiais.

Definição de uma função

UMA função é uma relação para a qual cada valor do conjunto dos primeiros componentes dos pares ordenados está associado a exatamente um valor do conjunto dos segundos componentes do par ordenado.

Ok, isso é uma boca cheia. Vamos ver se podemos descobrir o que isso significa. Vamos dar uma olhada no exemplo a seguir que esperançosamente nos ajudará a descobrir tudo isso.

A partir desses pares ordenados, temos os seguintes conjuntos de primeiros componentes (ou seja, o primeiro número de cada par ordenado) e os segundos componentes (ou seja, o segundo número de cada par ordenado).

Para o conjunto de segundos componentes, observe que o “-3” ocorreu em dois pares ordenados, mas só o listamos uma vez.

Para ver por que essa relação é uma função, basta escolher qualquer valor do conjunto de primeiros componentes. Agora, volte à relação e encontre cada par ordenado em que este número é o primeiro componente e liste todos os segundos componentes desses pares ordenados. A lista de segundos componentes consistirá em exatamente um valor.

Por exemplo, vamos escolher 2 do conjunto de primeiros componentes. Pela relação, vemos que há exatamente um par ordenado com 2 como primeiro componente, ( left (<2, - 3> right) ). Portanto, a lista de segundos componentes (ou seja, a lista de valores do conjunto de segundos componentes) associados a 2 é exatamente um número, -3.

Observe que não nos importamos que -3 é o segundo componente de um segundo par ordenado na relação. Isso é perfeitamente aceitável. Apenas não queremos que haja mais de um par ordenado com 2 como primeiro componente.

Vimos um único valor do conjunto de primeiros componentes para nosso exemplo rápido aqui, mas o resultado será o mesmo para todas as outras opções. Independentemente da escolha dos primeiros componentes, haverá exatamente um segundo componente associado a ele.

Portanto, essa relação é uma função.

Para realmente ter uma idéia do que a definição de uma função está nos dizendo, provavelmente também deveríamos verificar um exemplo de uma relação que não é uma função.

Não se preocupe com a origem dessa relação. É apenas um que inventamos para este exemplo.

Aqui está a lista do primeiro e do segundo componentes

Do conjunto dos primeiros componentes, vamos escolher 6. Agora, se subirmos para a relação, veremos que existem dois pares ordenados com 6 como primeiro componente: ( left (<6,10> right) ) e ( left (<6, - 4> right) ). A lista de segundos componentes associados a 6 é então: 10, -4.

A lista de segundos componentes associados a 6 tem dois valores e, portanto, essa relação não é uma função.

Observe que o fato de que se tivéssemos escolhido -7 ou 0 do conjunto dos primeiros componentes, haverá apenas um número na lista de segundos componentes associados a cada um. Isso não importa. O fato de termos encontrado até mesmo um único valor no conjunto dos primeiros componentes com mais de um segundo componente associado a ele é suficiente para dizer que essa relação não é uma função.

Como um comentário final sobre este exemplo, vamos notar que se removêssemos o primeiro e / ou o quarto par ordenado da relação, teríamos uma função!

Portanto, espero que você tenha pelo menos uma noção do que a definição de uma função está nos dizendo.

Agora que o forçamos a passar pela definição real de uma função, vamos dar outra definição "funcional" de uma função que será muito mais útil para o que estamos fazendo aqui.

A definição real funciona em uma relação. No entanto, como vimos com as quatro relações que demos antes da definição de uma função e a relação que usamos no Exemplo 1, frequentemente obtemos as relações de alguma equação.

É importante notar que nem todas as relações vêm de equações! A relação do segundo exemplo, por exemplo, era apenas um conjunto de pares ordenados que anotamos para o exemplo e não veio de nenhuma equação. Isso também pode ser verdadeiro com relações que são funções. Eles não precisam vir de equações.

No entanto, dito isso, as funções que usaremos neste curso vêm todas de equações. Portanto, vamos escrever uma definição de uma função que reconheça esse fato.

Antes de darmos a definição “funcional” de uma função, precisamos apontar que esta NÃO é a definição real de uma função, que é dada acima. Esta é simplesmente uma boa “definição de trabalho” de uma função que liga as coisas aos tipos de funções com as quais trabalharemos neste curso.

“Definição de Trabalho” de Função

UMA função é uma equação para a qual qualquer (x ) que possa ser inserido na equação produzirá exatamente um (y ) da equação.

Aí está. Essa é a definição de funções que vamos usar e provavelmente será mais fácil decifrar o que significa.

Antes de examinarmos isso um pouco mais, observe que usamos a frase “ (x ) que pode ser conectado a” na definição. Isso tende a implicar que nem todos os (x ) 's podem ser conectados a uma equação e isso é de fato correto. Voltaremos e discutiremos isso com mais detalhes no final desta seção, no entanto, neste ponto, lembre-se de que não podemos dividir por zero e se quisermos números reais fora da equação, não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo. Portanto, com esses dois exemplos, fica claro que nem sempre seremos capazes de inserir todos os (x ) em qualquer equação.

Além disso, ao lidar com funções, sempre vamos supor que (x ) e (y ) serão números reais. Em outras palavras, vamos esquecer que sabemos alguma coisa sobre números complexos por um tempo enquanto lidamos com esta seção.

Ok, com isso resolvido, vamos voltar à definição de uma função e ver alguns exemplos de equações que são funções e equações que não são funções.

A definição “funcional” de função é que se pegarmos todos os valores possíveis de (x ) e os inserirmos na equação e resolvermos para (y ), obteremos exatamente um valor para cada valor de (x ). Neste estágio do jogo, pode ser muito difícil realmente mostrar que uma equação é uma função, então vamos conversar mais sobre ela. Por outro lado, muitas vezes é muito fácil mostrar que uma equação não é uma função.

Portanto, precisamos mostrar que não importa o que (x ) inserirmos na equação e resolvermos para (y ), obteremos apenas um único valor de (y ). Observe também que o valor de (y ) provavelmente será diferente para cada valor de (x ), embora não precise ser.

Vamos começar inserindo alguns valores de (x ) e ver o que acontece.

[começarx & = - 4: hspace <0.25in> & y & = 5 left (<- 4> right) + 1 = - 20 + 1 = - 19 x & = 0: hspace <0.25in> & y & = 5 left (0 right) + 1 = 0 + 1 = 1 x & = 10: hspace <0.25in> & y & = 5 left (<10> right) + 1 = 50 + 1 = 51 fim]

Então, para cada um desses valores de (x ), obtemos um único valor de (y ) da equação. Agora, isso não é suficiente para afirmar que se trata de uma função. Para provar oficialmente que esta é uma função, precisamos mostrar que ela funcionará independentemente do valor de (x ) que inserirmos na equação.

Claro, não podemos inserir todos os valores possíveis de (x ) na equação. Isso simplesmente não é fisicamente possível. No entanto, vamos voltar e olhar para aqueles que conectamos. Para cada (x ), ao conectar, primeiro multiplicamos o (x ) por 5 e, em seguida, adicionamos 1 nele. Agora, se multiplicarmos um número por 5, obteremos um único valor da multiplicação. Da mesma forma, só obteremos um único valor se adicionarmos 1 a um número. Portanto, parece plausível que, com base nas operações envolvidas em inserir (x ) na equação, obteremos apenas um único valor de (y ) da equação.

Então, essa equação é uma função.

Novamente, vamos inserir alguns valores de (x ) e resolver para (y ) para ver o que acontece.

[começarx & = - 1: hspace <0.25in> & y = < left (<- 1> right) ^ 2> + 1 = 1 + 1 = 2 x & = 3: hspace <0.25in> & y = < left (3 right) ^ 2> + 1 = 9 + 1 = 10 end]

Agora, vamos pensar um pouco sobre o que estávamos fazendo com as avaliações. Primeiro, elevamos ao quadrado o valor de (x ) que inserimos. Quando elevamos ao quadrado um número, haverá apenas um valor possível. Em seguida, adicionamos 1 a isso, mas, novamente, isso resultará em um único valor.

Então, parece que essa equação também é uma função.

Observe que não há problema em obter o mesmo valor de (y ) para diferentes (x ) 's. Por exemplo,

[x = - 3: hspace <0.25in> y = < left (<- 3> right) ^ 2> + 1 = 9 + 1 = 10 ]

Simplesmente não podemos obter mais de um (y ) da equação depois de inserirmos o (x ).

Como fizemos com as duas equações anteriores, vamos inserir alguns valores de (x ), resolver para (y ) e ver o que obtemos.

[começarx & = 3: hspace <0,25 pol.> & & = 3 + 1 = 4 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> y = pm 2 x & = - 1: hspace <0.25in> & & = - 1 + 1 = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> y = 0 x & = 10: hspace <0.25in> & & = 10 + 1 = 11 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> y = pm sqrt <11> end]

Agora, lembre-se de que estamos resolvendo para (y ) e isso significa que no primeiro e último caso acima, obteremos dois valores diferentes de (y ) de (x ) e, portanto, esta equação NÃO é uma função.

Observe que podemos ter valores de (x ) que resultarão em um único (y ) como vimos acima, mas isso não importa. Se mesmo um valor de (x ) resultar em mais de um valor de (y ), ao resolver a equação não será uma função.

O que isso realmente significa é que não precisamos ir além da primeira avaliação, uma vez que ela forneceu vários valores de (y ).

Com este caso, vamos usar a lição aprendida na parte anterior e ver se podemos encontrar um valor de (x ) que dará mais de um valor de (y ) na resolução. Porque temos um y 2 no problema, isso não deve ser muito difícil de fazer, uma vez que resolver eventualmente significará usar a propriedade da raiz quadrada que dará mais de um valor de (y ).

[x = 0: hspace <0.25in> <0 ^ 2> + = 4 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> = 4 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> y = pm , 2 ]

Então, essa equação não é uma função. Lembre-se de que, da seção anterior, esta é a equação de um círculo. Círculos nunca são funções.

Esperançosamente, esses exemplos deram a você uma ideia melhor do que uma função realmente é.

Agora precisamos passar para algo chamado notação de função. A notação de função será amplamente usada na maioria dos capítulos restantes deste curso e, por isso, é importante entendê-la.

Vamos começar com a seguinte equação quadrática.

Podemos usar um processo semelhante ao que usamos no conjunto de exemplos anterior para nos convencer de que se trata de uma função. Uma vez que esta é uma função, iremos denotá-la da seguinte forma,

Portanto, substituímos o (y ) pela notação (f left (x right) ). Isso é lido como “f de (x )”. Observe que não há nada de especial sobre o (f ) que usamos aqui. Poderíamos simplesmente ter usado qualquer um dos seguintes,

[g left (x right) = - 5x + 3 , , , hspace <0,25in> h left (x right) = - 5x + 3 hspace <0,25in> R left (x right) = - 5x + 3 ]

A letra que usamos não importa. O que é importante é a parte “ ( left (x right) )”. A letra entre parênteses deve corresponder à variável usada no lado direito do sinal de igual.

É muito importante notar que (f left (x right) ) não é realmente nada mais do que uma maneira muito sofisticada de escrever (y ). Se você mantiver isso em mente, poderá descobrir que lidar com a notação de funções se torna um pouco mais fácil.

Além disso, este é NÃO uma multiplicação de (f ) por (x )! Este é um dos erros mais comuns que as pessoas cometem quando lidam pela primeira vez com funções. Esta é apenas uma notação usada para denotar funções.

Em seguida, precisamos falar sobre avaliando funções. Avaliar uma função nada mais é do que perguntar qual é seu valor para valores específicos de (x ). Outra maneira de ver isso é que estamos perguntando qual é o valor (y ) para um determinado (x ).

A avaliação é realmente muito simples. Vamos pegar a função que examinamos acima

e pergunte qual é o seu valor para (x = 4 ). Em termos de notação de função, iremos “perguntar” isso usando a notação (f left (4 right) ). Então, quando há algo diferente da variável entre parênteses, estamos realmente perguntando qual é o valor da função para aquela quantidade particular.

Agora, quando dizemos o valor da função, estamos realmente perguntando qual é o valor da equação para aquele valor particular de (x ). Aqui está (f left (4 right) ).

[f left (4 right) = < left (4 right) ^ 2> - 5 left (4 right) + 3 = 16 - 20 + 3 = - 1 ]

Observe que a avaliação de uma função é feita exatamente da mesma maneira que avaliamos as equações. Tudo o que fazemos é inserir (x ) o que quer que esteja dentro do parêntese à esquerda. Aqui está outra avaliação para esta função.

[f left (<- 6> right) = < left (<- 6> right) ^ 2> - 5 left (<- 6> right) + 3 = 36 + 30 + 3 = 69 ]

Portanto, novamente, o que quer que esteja dentro do parêntese à esquerda é plugado para (x ) na equação à direita. Vamos dar uma olhada em mais alguns exemplos.

  1. (f left (3 right) ) e (g left (3 right) )
  2. (f left (<- 10> right) ) e (g left (<- 10> right) )
  3. (f left (0 right) )
  4. (f left (t right) )
  5. (f left ( direita) ) e (f esquerda ( certo))
  6. (f left (<> right) )
  7. (g left (<- 5> direita) )

Ok, temos duas avaliações de função para fazer aqui e também temos duas funções, então vamos precisar decidir qual função usar para as avaliações. A chave aqui é perceber a letra que está na frente do parêntese. Para (f left (3 right) ) usaremos a função (f left (x right) ) e para (g left (3 right) ) usaremos (g left (x right) ). Em outras palavras, só precisamos ter certeza de que as variáveis ​​correspondem.

Aqui estão as avaliações para esta parte.

[começarf left (3 right) & = < left (3 right) ^ 2> - 2 left (3 right) + 8 = 9 - 6 + 8 = 11 g left (3 right) & = sqrt <3 + 6> = sqrt 9 = 3 end]

Este é praticamente o mesmo que a parte anterior, com uma exceção que abordaremos quando chegarmos a esse ponto. Aqui estão as avaliações.

[f left (<- 10> right) = < left (<- 10> right) ^ 2> - 2 left (<- 10> right) + 8 = 100 + 20 + 8 = 128 ]

Certifique-se de lidar com os sinais negativos corretamente aqui. Agora o segundo.

Agora alcançamos a diferença. Lembre-se de que, quando começamos a falar sobre a definição de funções, afirmamos que trataríamos apenas de números reais. Em outras palavras, nós apenas inserimos números reais e queremos apenas números reais de volta como respostas. Então, uma vez que obteríamos um número complexo com isso, não podemos inserir -10 nesta função.

[f left (0 right) = < left (0 right) ^ 2> - 2 left (0 right) + 8 = 8 ]

Novamente, não se esqueça de que isso não é multiplicação! Por alguma razão, os alunos gostam de pensar nisso como uma multiplicação e obter uma resposta zero. Tome cuidado.

O restante dessas avaliações agora será um pouco diferente. Como este mostra, não precisamos apenas ter números entre parênteses. No entanto, a avaliação funciona exatamente da mesma maneira. Colocamos no (x ) 's no lado direito do sinal de igual, o que quer que esteja entre parênteses. Neste caso, isso significa que conectamos (t ) para todos os (x ) 's.

Observe que, neste caso, é praticamente a mesma coisa que nossa função original, exceto que desta vez estamos usando (t ) como uma variável.

Agora, vamos complicar um pouco mais, ou pelo menos eles parecem ser mais complicados. As coisas não estão tão ruins quanto podem parecer, no entanto. Vamos avaliar (f left ( direita) ) primeiro. Este funciona exatamente da mesma forma que a parte anterior. Todos os (x ) 's à esquerda serão substituídos por (t + 1 ). Teremos algumas simplificações para fazer também após a substituição.

Tenha cuidado com os parênteses neste tipo de avaliação. É fácil bagunçar com eles.

Agora, vamos dar uma olhada em (f left ( certo)). Com exceção de (x ), é idêntico a (f left ( right) ) e funciona exatamente da mesma maneira.

Não fique animado com o fato de que reutilizamos (x ) 's na avaliação aqui. Em muitos lugares onde faremos isso nas seções posteriores, haverá (x ) 's aqui e você precisará se acostumar a ver isso.

Novamente, não fique animado com os (x ) 's entre parênteses aqui. Apenas avalie como se fosse um número.

Mais uma avaliação e desta vez usaremos a outra função.

A avaliação de função é algo que faremos muito nas seções e capítulos posteriores, portanto, certifique-se de que você pode fazer isso. Você encontrará várias seções posteriores muito difíceis de entender e / ou fazer o trabalho se não tiver uma boa compreensão de como funciona a avaliação de funções.

Enquanto estamos no assunto de avaliação de funções, devemos agora falar sobre funções por partes. We’ve actually already seen an example of a piecewise function even if we didn’t call it a function (or a piecewise function) at the time. Recall the mathematical definition of absolute value.

This is a function and if we use function notation we can write it as follows,

This is also an example of a piecewise function. A piecewise function is nothing more than a function that is broken into pieces and which piece you use depends upon value of (x). So, in the absolute value example we will use the top piece if (x) is positive or zero and we will use the bottom piece if (x) is negative.

Let’s take a look at evaluating a more complicated piecewise function.

evaluate each of the following.

  1. (gleft( < - 6> ight))
  2. (gleft( < - 4> ight))
  3. (gleft( 1 ight))
  4. (gleft( <15> ight))
  5. (gleft( <21> ight))

Before starting the evaluations here let’s notice that we’re using different letters for the function and variable than the ones that we’ve used to this point. That won’t change how the evaluation works. Do not get so locked into seeing (f) for the function and (x) for the variable that you can’t do any problem that doesn’t have those letters.

Now, to do each of these evaluations the first thing that we need to do is determine which inequality the number satisfies, and it will only satisfy a single inequality. When we determine which inequality the number satisfies we use the equation associated with that inequality.

So, let’s do some evaluations.

In this case -6 satisfies the top inequality and so we’ll use the top equation for this evaluation.

[gleft( < - 6> ight) = 3 ight)^2> + 4 = 112]

Now we’ll need to be a little careful with this one since -4 shows up in two of the inequalities. However, it only satisfies the top inequality and so we will once again use the top function for the evaluation.

In this case the number, 1, satisfies the middle inequality and so we’ll use the middle equation for the evaluation. This evaluation often causes problems for students despite the fact that it’s actually one of the easiest evaluations we’ll ever do. We know that we evaluate functions/equations by plugging in the number for the variable. In this case there are no variables. That isn’t a problem. Since there aren’t any variables it just means that we don’t actually plug in anything and we get the following,

Again, like with the second part we need to be a little careful with this one. In this case the number satisfies the middle inequality since that is the one with the equal sign in it. Then like the previous part we just get,

Don’t get excited about the fact that the previous two evaluations were the same value. This will happen on occasion.

For the final evaluation in this example the number satisfies the bottom inequality and so we’ll use the bottom equation for the evaluation.

[gleft( <21> ight) = 1 - 6left( <21> ight) = - 125]

Piecewise functions do not arise all that often in an Algebra class however, they do arise in several places in later classes and so it is important for you to understand them if you are going to be moving on to more math classes.

As a final topic we need to come back and touch on the fact that we can’t always plug every (x) into every function. We talked briefly about this when we gave the definition of the function and we saw an example of this when we were evaluating functions. We now need to look at this in a little more detail.

First, we need to get a couple of definitions out of the way.

Domain and Range

O domínio of an equation is the set of all (x)’s that we can plug into the equation and get back a real number for (y). O alcance of an equation is the set of all (y)’s that we can ever get out of the equation.

Note that we did mean to use equation in the definitions above instead of functions. These are really definitions for equations. However, since functions are also equations we can use the definitions for functions as well.

Determining the range of an equation/function can be pretty difficult to do for many functions and so we aren’t going to really get into that. We are much more interested here in determining the domains of functions. From the definition the domain is the set of all (x)’s that we can plug into a function and get back a real number. At this point, that means that we need to avoid division by zero and taking square roots of negative numbers.

Let’s do a couple of quick examples of finding domains.

  1. (displaystyle gleft( x ight) = frac<><<+ 3x - 10>>)
  2. (fleft( x ight) = sqrt <5 - 3x>)
  3. (displaystyle hleft( x ight) = frac <>><<+ 4>>)
  4. (displaystyle Rleft( x ight) = frac <>><<- 16>>)

The domains for these functions are all the values of (x) for which we don’t have division by zero or the square root of a negative number. If we remember these two ideas finding the domains will be pretty easy.

So, in this case there are no square roots so we don’t need to worry about the square root of a negative number. There is however a possibility that we’ll have a division by zero error. To determine if we will we’ll need to set the denominator equal to zero and solve.

[ + 3x - 10 = left( direita esquerda( ight) = 0hspace<0.25in>x = - 5,,,x = 2]

So, we will get division by zero if we plug in (x = - 5) or (x = 2). That means that we’ll need to avoid those two numbers. However, all the other values of (x) will work since they don’t give division by zero. The domain is then,

In this case we won’t have division by zero problems since we don’t have any fractions. We do have a square root in the problem and so we’ll need to worry about taking the square root of a negative numbers.

This one is going to work a little differently from the previous part. In that part we determined the value(s) of (x) to avoid. In this case it will be just as easy to directly get the domain. To avoid square roots of negative numbers all that we need to do is require that

This is a fairly simple linear inequality that we should be able to solve at this point.

[5 ge 3xhspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>x le frac<5><3>]

The domain of this function is then,

In this case we’ve got a fraction, but notice that the denominator will never be zero for any real number since x 2 is guaranteed to be positive or zero and adding 4 onto this will mean that the denominator is always at least 4. In other words, the denominator won’t ever be zero. So, all we need to do then is worry about the square root in the numerator.

[começar7x + 8 & ge 0 7x & ge - 8 x & ge - frac<8><7>end]

Now, we can actually plug in any value of (x) into the denominator, however, since we’ve got the square root in the numerator we’ll have to make sure that all (x)’s satisfy the inequality above to avoid problems. Therefore, the domain of this function is

In this final part we’ve got both a square root and division by zero to worry about. Let’s take care of the square root first since this will probably put the largest restriction on the values of (x). So, to keep the square root happy (i.e. no square root of negative numbers) we’ll need to require that,

[começar10x - 5 & ge 0 10x & ge 5 x & ge frac<1><2>end]

So, at the least we’ll need to require that (x ge frac<1><2>) in order to avoid problems with the square root.

Now, let’s see if we have any division by zero problems. Again, to do this simply set the denominator equal to zero and solve.

[ - 16 = left( direita esquerda( ight) = 0hspace <0.25in>Rightarrow hspace <0.25in>x = - 4,,,x = 4]

Now, notice that (x = - 4) doesn’t satisfy the inequality we need for the square root and so that value of (x) has already been excluded by the square root. On the other hand, (x = 4) does satisfy the inequality. This means that it is okay to plug (x = 4) into the square root, however, since it would give division by zero we will need to avoid it.


Math Insight

Recall the notation that $R$ stands for the real numbers. Similarly, $R^2$ is a two-dimensional vector, and $R^3$ is a three-dimensional vector.

Scalar-valued functions

In one-variable calculus, you worked a lot with one-variable functions, i.e., functions from $R$ onto $R$. If $f(x)$ is such a one-variable functions, we can write $f: R o R$ as a shorthand way of expressing that $f$ is a function from $R$ onto $R$.

A function like $f(x,y) = x+y$ is a function of two variables. It takes an element of $R^2$, like $(2,1)$, and gives a value that is a real number (i.e., an element of $R$), like $f(2,1)= 3$. Since $f$ maps $R^2$ to $R$, we write $f : R^2 o R$. We can also use this &ldquomapping&rdquo notation to define the actual function. We could define the above $f(x,y)$ by writing $f: (x,y) mapsto x+y$.

To contrast a simple real number with a vector, we refer to the real number as a escalar. Hence, we can refer to $f : R^2 o R$ as a scalar-valued function of two variables or even just say it is a real-valued function of two variables.

Everything works the same for scalar valued functions of three or more variables. For example, $f(x,y,z)$, which we can write $f : R^3 o R$, is a scalar-valued function of three variables.

Vector-valued functions

In contrast, a função com valor vetorial takes on values that are vectors. First, let's talk about vector-valued functions of a single variable.

A vector-valued function in two dimensions can be written $f : R o R^2$. An example is $vc(t)=(3t,-t)$. For a given real number, which we'll denote by $clubsuit$ for fun, $vc(clubsuit)$ is the two-dimensional vector $(3clubsuit,-clubsuit)$. Similarly, a vector-valued function in three dimensions can be written $f : R o R^3$. For example, if $vc(s) =(1-s,s^3, cos s)$, then $vc(0) = (1,0,1)$. We sometimes write vector-valued functions using the standard unit vector $vc$, $vc$, and $vc$, as in $vc(s) = (1-s)vc + s^3 vc + (cos s) vc$.

Lastly, we can have vector-valued functions of multiple variables. For example, a function could take values in $R^3$, say $(x,y,z)$, and map them to $R^2$, such as $f(x,y,z) = (x-y, x^<22>/z)$. We can write a function from $R^3$ to $R^2$ as $f: R^3 o R^2$. You get the idea.

The domain of a function

The function $f(t) = (t, t^2)$ is defined over all real numbers $R$, i.e., the domínio of the function is $R$. Sometimes a function of one variable may be defined over a subset of real numbers, say some set $U subset R$ in this case, the domain of the function is $U$. (Note, the symbol &ldquo$subsetrdquo just means &ldquois subset of&rdquo.) In three dimensions, for example, we can specify the domain by writing $vc : U subset R o R^3$, or simply $vc :U o vc^3$.

Example: since $log t$ isn't a real number for $t le 0$, the domain of $vc(t) = (log t) vc + t vc$, is the set $D=(0, infty)$. We could write this $vc : (0,infty) o R^2$. What would the domain be if we replaced $log t$ with $log (t-3)$ or $log (2-t)$? You have to think where $log (t-3)$ or $log (2-t)$ is a real number, i.e., where $t-3>0$ or where $2-t>0$.

We use the same notation for functions of multiple variables. If we wrote $vc: U subset R^2 o R^3$, we would mean a function maps values in a subset $U$ of $R^2$ to values in $R^3$.


Assista o vídeo: O QUE SÃO FUNÇÕES MATEMÁTICAS? QUER QUE DESENHE? DESCOMPLICA (Outubro 2021).