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3.1: Fundamentos e FTA - Matemática


Em primeiro lugar, fazemos o

Dizemos que (p in NN ) é melhor if (p> 1 ) e os únicos números naturais que dividem (p ) são (1 ) e (p ).

[por exemplo: primos] Alguns primos são (2 ), (3 ), (5 ), (7 ), (11 ), (13 ) e (17 ) . Observe que (2 ) é o único primo par (claramente - qualquer outro seria um múltiplo de (2 ) e, portanto, não poderia ser primo), e tem algumas propriedades incomuns - a piada é que “ (2 ) é o primo mais estranho. ”

O maior número primo conhecido pelos humanos no momento em que este livro foi escrito é [2 ^ {57.885.161} -1 ], que foi provado ser primo em janeiro de 2013 por um programa de computador distribuído chamado GIMPS [a Excelente pesquisa principal da Mersenne na Internet] sendo executado em centenas de máquinas na Internet.

Em contraste, também usamos o seguinte termo

Um número (c in NN ) que é maior que (1 ) e não primo é chamado composto.

Até onde deve ir uma verificação ingênua de força bruta para ver se um número é composto?

Se (n ) é um composto, então tem um divisor positivo (d ) que satisfaz (d le sqrt {n} ).

Suponha que (n ) seja composto. Então tem algum divisor (a in NN ). Observe que (n = a cdot frac {n} {a} ), então ( frac {n} {a} in NN ) também é um divisor. Mas (a ) e ( frac {n} {a} ) não podem ser menores que ( sqrt {n} ), porque se fossem, teríamos [n = a cdot frac {n} {a} < sqrt {n} cdot sqrt {n} = n ] o que seria uma contradição. Portanto, (a ) ou ( frac {n} {a} ) é o divisor (d ) prometido pela declaração do teorema.

O Lema de Euclides (Lema [lem: euclídeos]) assume uma forma particularmente agradável se o divisor envolvido for primo:

[prop: primesdividingproducts] Suponha que (p ) seja um primo e (a, b in ZZ ). Se (p mid ab ) então (p mid ) ou (p mid b ).

Observe que ( gcd (p, a) mid p ), portanto ( gcd (p, a) ) é (1 ) ou (p ) uma vez que (p ) é primo . Mas também ( gcd (a, p) mid a ), então (p mid a ) ou ( gcd (a, p) = 1 ). If (p mid a ), está feito. Se não, visto que, portanto, ( gcd (a, p) = 1 ), o Lema de Euclides [lem: euclids] nos diz que (p mid b ).

Uma forma mais geral disso é

[cor: primedivis] Suponha que (p ) seja um primo, (k in NN ) e (a_1, dots, a_k in ZZ ). Então, se (p mid a_1 dots a_k ), segue-se que (p ) divide pelo menos um dos (a_j ).

Deixado para o leitor (use indução em (k )).

Isso leva ao apropriadamente nomeado

O Teorema Fundamental da Aritmética: Vamos (n in NN ), (n ge2 ). Então ( existe k em NN ) e primes (p_1, pontos, p_k ) de modo que (n = p_1 pontos p_k ). Além disso, se (l in NN ) e (q_1, dots, q_l ) também são primos tais que (n = q_1 dots q_l ), então (l = k ) e a fatoração em termos de (q ) 's é meramente uma reordenação daquele em termos de (p )' s.

Usamos o Segundo Princípio de Indução Matemática para a parte da existência. A afirmação geral que estamos provando é ( forall n in ZZ, n> 1 Rightarrow S (n) ), onde (S (n) ) é a afirmação “ ( existe k in NN ) e primes (p_1, dots, p_k ) de modo que (n = p_1 dots p_k ). ”

Como caso básico, diga (n = 2 ). Então (k = 1 ) e (p_1 = 2 ) funciona.

Agora suponha que (S (k) ) seja verdadeiro para todos (k

Agora suponha que (n em ZZ ) satisfaça (n> 1 ) e ( existe k, l em NN ) e ambos os primos (p_1, pontos p_k ) e (q_1, dots, q_l ) tal que [p_1 dots p_k = n = q_1 dots q_l . ] Certamente (p_1 ) divide o lado esquerdo dessas expressões duais para (n ). Então, por corolário [cor: primedivis], (p_1 ) divide um dos (q_j ), o que significa que deve ser aquele (p_1 = q_j ) uma vez que são primos. Removendo o (p_1 ) da esquerda e o (q_j ) da direita, obtemos [p_2 dots p_k = n = q_1 dots q_ {j-1} cdot q_ {j + 1} pontos q_l . ] Continuando desta forma, ou obtemos a declaração de unicidade no teorema, ou ficamos sem (p ) 's ou (q )' s. No entanto, não podemos correr de primos de um lado antes do outro, porque isso tornaria um produto de primos de um lado igual a (1 ), o que é impossível.

Exercícios para §1

Forneça todos os detalhes da prova do Corolário [cor: primedivis].

Enuncie e prove um teorema sobre as fatorações primárias dos números (a, b in NN ) e de seu mdc.

Um número (n in ZZ, n> 1 ) é chamado sem quadrados se não for divisível pelo quadrado de qualquer número natural diferente de (1 ). Prove que um (n in ZZ, n ge1 ) é livre de quadrados se e somente se for o produto de números primos distintos.


Análise de árvore de falhas

Análise de árvore de falhas (FTA) é uma análise de falha dedutiva de cima para baixo em que um estado indesejado de um sistema é analisado usando a lógica booleana para combinar uma série de eventos de nível inferior. Este método de análise é usado principalmente em engenharia de segurança e engenharia de confiabilidade para entender como os sistemas podem falhar, para identificar as melhores maneiras de reduzir o risco e para determinar (ou ter uma ideia) as taxas de eventos de um acidente de segurança ou um nível de sistema específico (funcional ) falha. O FTA é usado na indústria aeroespacial, [1] energia nuclear, química e de processo, [2] [3] [4] farmacêutica, [5] petroquímica e outras indústrias de alto risco, mas também é usado em campos tão diversos como a identificação de fatores de risco relacionadas a falhas no sistema de serviço social. [6] O FTA também é usado na engenharia de software para fins de depuração e está intimamente relacionado à técnica de eliminação de causa usada para detectar bugs.

Na indústria aeroespacial, o termo mais geral "condição de falha do sistema" é usado para o "estado indesejado" / evento principal da árvore de falha. Essas condições são classificadas pela gravidade de seus efeitos. As condições mais severas requerem a mais extensa análise da árvore de falhas. Essas condições de falha do sistema e sua classificação são frequentemente determinadas previamente na análise de risco funcional.


A Equipe de Matemática do Departamento de Educação da Virgínia e rsquos compilou vários Aprendizagem no local Recursos matemáticos para ajudar professores, pais e alunos durante este período sem precedentes.

Virginia Standards of Learning - Mathematics Tracking Logs (2020-2021 School Year to 2021-2022 School Year)

Padrões de Matemática Registros de Rastreamento de Aprendizagem para as séries do jardim de infância até o Álgebra II foram desenvolvidos para ajudar os professores a identificar quais padrões os alunos tiveram exposição e experiência suficientes durante o ano letivo de 2020-2021. Eles podem apoiar decisões sobre quando e como a experiência com novos padrões pode ocorrer no ano letivo de 2021-2022. Documentos de padrões de ponte de matemática - Este é um documento PDF. (PDF) pode ser usado em conjunto com os Registros de Rastreamento como um suporte na identificação do conteúdo que pode ser conectado ao planejar a instrução e promover uma compreensão mais profunda do aluno.

Bridging Mathematics

Documentos de padrões de ponte de matemática - Este é um documento PDF. (PDF) pode ser usado em conjunto com os Registros de Rastreamento como um suporte na identificação do conteúdo que pode ser conectado ao planejar a instrução e promover uma compreensão mais profunda do aluno. Os padrões são considerados uma ponte quando: funcionam como uma ponte para a qual outro conteúdo dentro do nível de série / curso está conectado, servem como conhecimento de pré-requisito para o conteúdo a ser abordado em níveis de série / cursos futuros ou possuem resistência além de uma única unidade de instrução dentro de um grau / curso.

Aprendizagem no local & ndash Recursos Online

A lista a seguir contém alguns dos muitos recursos on-line gerais que são gratuitos para professores, pais e alunos o tempo todo.

Recurso e descrição de matemática online 2ª série Classes 3-5 Do 6º ao 8º ano Do 9º ao 12º ano
PBS para pais - inclui atividades e jogos que podem ser pesquisados ​​por idade e assunto. Y N N N
Matemática para dormir - oferece problemas de matemática online para os pais fazerem com seus filhos todos os dias, bem como jogos interativos animados. Y Y N N
GregTangMath - fornece jogos, quebra-cabeças e outros recursos para a resolução de problemas e centros de matemática. Y Y N N
Desafio de matemática de verão - um programa gratuito que fornece acesso a atividades divertidas diárias e recursos projetados para a série e nível de habilidade do seu aluno. O 2020 Summer Math Challenge abriu cedo para apoiar os alunos que estão aprendendo em casa. Y Y Y N
CK-12 - livro online, prática adaptativa e exemplos de vídeo Y Y Y Y
NCTM Illuminations - inclui vários interativos que incentivam os alunos do ensino fundamental e médio a explorar, aprender e aplicar a matemática. Navegadores habilitados para Java (ou seja, Internet Explorer, Firefox, Chrome ou Safari) podem ser usados ​​para acessá-los. Y Y Y Y
Open Middle - apresenta problemas matemáticos que terminam com a mesma resposta, mas possuem múltiplas formas de abordar e resolver o problema. Y Y Y Y
Biblioteca Nacional de Manipulativos Virtuais - inclui atividades e manipuladores interativos para os alunos explorarem a matemática. Y Y Y Y
PBS Learning Media - inclui interativos, vídeos e planos de aula gratuitos. Além disso, inclui recursos do PreK-12 para fechamentos de emergência. Y Y Y Y
Khan Academy Math - oferece aulas online gratuitas. Os alunos só precisam criar uma conta se desejar salvar seu trabalho. Y Y Y Y
Você prefere matemática - solicita aos alunos que construam um argumento matemático para escolher entre duas ou mais opções. Y Y Y Y
VDOE Desmos Activity Log - inclui uma planilha para cada nível de série que lista as atividades do Desmos alinhadas ao SOL com uma breve descrição e link direto para a atividade na página da Desmos Classroom Activity. N Y Y Y
FigureThis! NCTM - oferece atividades e desafios matemáticos para alunos e famílias. Alguns desafios também estão disponíveis em espanhol. Dicas para os pais são fornecidas no Family Corner. N Y Y Y

Aprendizagem no local - Listas de reprodução online eMediaVA

O gráfico a seguir contém links para listas de reprodução de recursos selecionados do eMediaVA alinhados às séries K-8 2016 Padrões de Aprendizagem da Matemática. Listas expandidas de coleções de recursos do eMediaVA voltadas para a matemática estão disponíveis abaixo.

Tema Lista de reprodução da série K-1 Lista de reprodução da 2ª série Lista de reprodução da 3ª série Lista de reprodução da 4ª série Lista de reprodução da 5ª série Lista de reprodução da 6ª série Lista de reprodução da 7ª série Lista de reprodução da 8ª série
Número e sentido numérico Grau K-1 Grau 2 3ª série 4ª série 5ª série 6ª série Nota 7 8ª série
Cálculo e Estimativa Grau K-1 Grau 2 3ª série 4ª série 5ª série 6ª série Nota 7 8ª série
Medição e geometria Grau K-1 Grau 2 3ª série 4ª série 5ª série 6ª série Nota 7 8ª série
Probabilidade e Estatística Grau K-1 Grau 2 3ª série 4ª série 5ª série 6ª série Nota 7 8ª série
Padrões, funções e álgebra Grau K-1 Grau 2 3ª série 4ª série 5ª série 6ª série Nota 7 8ª série

Aprendizagem no local - Coleções adicionais de recursos de matemática do eMediaVA por faixa escolar

Série K - 2

    - Esta série de vídeos para as séries PreK-3 apresenta dois fantoches, Blossom e Snappy, que adoram encontrar matemática em situações cotidianas. Muitas vezes você pode encontrá-los fazendo compras, bolos, planejamento de eventos, decoração e atrações turísticas. - Esta série de vídeos de matemática e ambientais para as séries K-8 desperta curiosidade nos conceitos STEM e aumenta as habilidades de resolução de problemas. - Esta série de vídeos digitais para adultos apresenta os métodos, vocabulário e processos que seus filhos aprendem na escola. Esses vídeos curtos, claros e divertidos ajudarão a explicar os tópicos de matemática que são ensinados na 4ª série pré-escolar. - Em cada episódio de 11 minutos desta série animada baseada em matemática para as séries Pré-2ª série, Peg e Cat se veem no meio de um problema de palavras maluco. Esta série inclui o aprendizado de matemática para as séries PreK - 1. - Cante junto com The Count from Sesame Street com foco no número do dia de hoje para as séries PreK - 1.

3ª - 5ª série

    - Esta série de vídeos para as séries PreK-3 apresenta dois fantoches, Blossom e Snappy, que adoram encontrar matemática em situações cotidianas. Muitas vezes você pode encontrá-los fazendo compras, panificação, planejamento de eventos, decoração e atrações turísticas. - Esta série de vídeos de matemática e ambientais para as séries K-8 desperta curiosidade nos conceitos STEM e aumenta as habilidades de resolução de problemas. - Esta série de vídeos digitais para adultos apresenta os métodos, vocabulário e processos que seus filhos aprendem na escola. Esses vídeos curtos, claros e divertidos ajudarão a explicar os tópicos de matemática ensinados na pré-escola ao ensino médio. - Esta série apresenta conceitos da matemática da 4ª à 8ª série para desenvolver a compreensão de & ldquohow & rdquo e & ldquowhy & rdquo da solução de problemas matemáticos. - Esta coleção inclui vídeos exemplares que se conectam aos padrões de matemática da 3ª à 12ª série e são projetadas para fornecer aos alunos uma compreensão clara de operações matemáticas e princípios para resolução de problemas.

6ª - 8ª série

    - Esta série de vídeos de matemática e ambientais para as séries K-8 desperta curiosidade nos conceitos STEM e aumenta as habilidades de resolução de problemas. - Esta série apresenta conceitos de matemática da 4ª à 8ª série para desenvolver a compreensão do & ldquohow & rdquo e & ldquowhy & rdquo da resolução de problemas matemáticos. - Essas atividades integradas e de mídia são projetadas para alunos do ensino médio da 6ª à 8ª série de diversos estilos de aprendizagem e experiências. Coleção - Esta coleção inclui problemas do dia a dia que requerem uma mente curiosa, determinação e um pouco de senso numérico para serem resolvidos. Math Messes podem aparecer quando você menos espera - e em cada curta, animada Bagunça matemática vídeo, você conhece alguns personagens com desafios matemáticos que estão bem no meio de um deles. - Esta coleção inclui interativos e vídeos abordando tópicos algébricos da 4ª à 9ª série. - Esta coleção inclui interativos e vídeos abordando tópicos geométricos nas séries 6-10.

Learning in Place - VA TV Classroom On-Demand

Blue Ridge PBS, VPM, WETA e WHRO Public Media trabalharam com o VDOE para criar VA TV Classroom para fornecer instrução a alunos do K-10 que não conseguem acessar outras opções de ensino à distância devido à falta de internet de alta velocidade. Esses programas educacionais também estão disponíveis sob demanda. Segmentos de ambos Aprenda e cresça com WHRO (graus K-3) e Continue a saber com WHRO (graus 4-7) agora estão disponíveis no eMediaVA.

Aprendizagem no local - Sugestão de atividades off-line para envolver os alunos

A lista a seguir contém apenas alguns dos muitos recursos disponíveis gratuitamente para professores, pais e alunos.

Jardim de infância - 2ª série

  • Faça um gráfico dos tipos de pássaros que você vê em seu quintal ou pela janela. (Use marcas de contagem para coletar seus dados e organizá-los em um gráfico de imagem ou um gráfico de barras.)
  • Jogue jogos de cartas matemáticas. Um exemplo, Vai pescar (tente fazer pares que somam 10).
  • Meça o comprimento de sua cama usando cinco unidades diferentes do padrão. Por exemplo, minha cama mede 14 sapatos, qual é o comprimento da sua cama?

Classes 3-5

  • Meça a área e o perímetro de cada cômodo da sua casa. Quais quartos são os maiores e os menores? Faça uma lista de quando você precisaria saber a área de uma sala? Perímetro de uma sala?
  • Construa 3 aviões de papel diferentes. Teste cada um para determinar qual deles voa a maior distância. Meça a distância que cada avião voa.
  • Jogue jogos de cartas matemáticas. Um exemplo, Guerra de frações (cada pessoa recebe 2 cartas e forma uma fração com a intenção de tentar formar a maior fração).

Do 6º ao 8º ano

  • Escolha sua receita favorita e metade dela. Decida quanto de cada ingrediente você precisará para fazer uma guloseima para sua família.
  • Encontre o volume e a área de superfície de diferentes itens em seus armários, como caixas de cereais e enlatados.
  • Use um jornal de vendas da loja para criar uma lista de compras. Em seguida, encontre o custo total de seus itens com descontos e impostos sobre vendas incluídos.
  • Jogue jogos de cartas matemáticas. Um exemplo, Ordem de operações, cada pessoa pega quatro cartas e usa as regras de ordem de operações para fazer um número o mais próximo de um certo número.

Do 9º ao 12º ano

  • Calcule a inclinação de um conjunto de escadas (subir / correr) e compare o que acontece se a altura de cada degrau for aumentada ou diminuída. Quais lances de escada são mais fáceis de subir?
  • Faça uma estimativa do volume de vários itens de formato irregular em sua casa, usando o que você sabe sobre volume e área de superfície. O que aconteceria com a área da superfície se o item fosse cortado verticalmente ao meio?

Adicione dois números e calcule o módulo da soma e um terceiro número, M.

Em outras palavras, ele retorna (A + B)% M. Ele é projetado como um mecanismo compacto para incrementar um switch de 'modo' e voltar ao 'modo 0' quando o switch ultrapassa o final do intervalo disponível. por exemplo. se você tiver sete modos, ele alterna para o próximo e termina se necessário: modo = addmod8 (modo, 1, 7) LIB8STATIC_ALWAYS_INLINESVer 'mod8' para notas sobre desempenho.

Definição na linha 276 do arquivo math8.h.

Calcule uma média inteira de dois inteiros de 15 bits com sinal (int16_t) Se o primeiro argumento for par, o resultado será arredondado para baixo.

Se o primeiro argumento for ímpar, o resultado é resultado acima.

Definição na linha 217 do arquivo math8.h.

Calcule uma média inteira de dois valores inteiros de 16 bits sem sinal (uint16_t).

Os resultados fracionários são arredondados para baixo, por ex. média 16 (20,41) = 30

Definição na linha 169 do arquivo math8.h.

Calcule uma média inteira de dois inteiros de 7 bits com sinal (int8_t) Se o primeiro argumento for par, o resultado será arredondado para baixo.

Se o primeiro argumento for ímpar, o resultado é resultado acima.

Definição na linha 196 do arquivo math8.h.

Calcule uma média inteira de dois valores inteiros de 8 bits sem sinal (uint8_t).

Os resultados fracionários são arredondados para baixo, por ex. média8 (20,41) = 30

Definição na linha 148 do arquivo math8.h.

Calcule o restante de um valor de 8 bits sem sinal dividido por outro, também conhecido como A% M.

Implementado por subtração repetida, que é muito compacta e muito rápida se A for 'provavelmente' menor que M. Se A for um grande múltiplo de M, o loop terá que ser executado várias vezes. No entanto, mesmo nesse caso, o loop tem apenas duas instruções no AVR, ou seja, rápido.

Definição na linha 249 do arquivo math8.h.

Adicione um byte a outro, saturando em 0x7F.

Parâmetros

eu- primeiro byte a adicionar
j- segundo byte para adicionar
Retorna a soma de i & amp j, limitado a 0xFF

Definição na linha 54 do arquivo math8.h.

adicione um byte a outro, saturando em 0xFF

Parâmetros

eu- primeiro byte a adicionar
j- segundo byte para adicionar
Retorna a soma de i & amp j, limitado a 0xFF

Definição na linha 21 do arquivo math8.h.

saturação de multiplicação de 8x8 bits, com resultado de 8 bits

Retorna o produto de i * j, limitando em 0xFF

Definição na linha 320 do arquivo math8.h.

subtraia um byte de outro, saturando em 0x00

Retorna i - j com um piso de 0

Definição na linha 86 do arquivo math8.h.

raiz quadrada para inteiros de 16 bits Cerca de três vezes mais rápido e cinco vezes menor do que o sqrt geral do Arduino no AVR.

Definição na linha 379 do arquivo math8.h.


Avaliação preliminar de segurança do sistema

5.7.1 Funções da Análise da Árvore de Falhas na Avaliação de Segurança

O FTA pode servir como uma medida eficaz para investigar as razões das falhas após a ocorrência de uma falha grave ou acidente, pode ser usado como orientação para o diagnóstico de falhas e para melhorar os cenários de uso e planos de manutenção, também pode ser usado para detectar falhas de confiabilidade e segurança e tomar medidas para melhorá-los.

A representação gráfica do FTA é hierárquica e nomeada de acordo com seus ramos. Ele tem boa legibilidade e é fácil de entender, o que torna o FTA uma ferramenta útil para conduzir projetos de segurança pela indústria e autoridades de certificação. No processo de avaliação de segurança, o FTA tem as seguintes funções:

analisar os motivos de falha dos principais eventos combinados com a arquitetura do sistema

quantificar as probabilidades dos principais eventos

alocar os requisitos de segurança dos eventos principais para os eventos de nível inferior

avaliar os efeitos dos erros de desenvolvimento através da combinação de métodos qualitativos e quantitativos

avaliar os efeitos de falhas únicas e combinadas

avaliar os efeitos do tempo de exposição das falhas ocultas na segurança do sistema

avaliar a fonte de falhas de causa comum

avaliar a natureza do design à prova de falhas (tolerância a falhas e tolerância a erros)

avaliar os efeitos da mudança de design na segurança

em comparação com outros métodos de análise de segurança, o FTA é usado mais amplamente na indústria aeronáutica.

A FTA é feita no processo de PASA / ASA e PSSA / SSA.

No processo de PASA, FTA é usado para determinar os motivos de falha das condições de falha no AFHA. Os principais eventos das árvores de falha são as condições de falha no AFHA e os eventos básicos geralmente são as condições de falha no SFHA.

No processo de PSSA, o FTA é usado para alocar os requisitos de segurança das condições de falha identificadas no SFHA para itens de nível inferior, combinando a arquitetura do sistema proposta e os resultados do CCA.

As informações obtidas no projeto detalhado podem causar alterações nas árvores de falhas. Portanto, no processo SSA, as taxas de falha do FMES ou outros corresponderão aos eventos básicos das árvores de falha, e o evento principal calculado é a probabilidade das condições de falha identificadas no SFHA para verificar se o projeto do sistema atende aos objetivos de segurança .

Além disso, os problemas expostos durante os testes de protótipo e de vôo podem levar a mudanças no hardware ou software, bem como mudanças nas árvores de falhas e, portanto, as árvores de falhas finais serão consideradas como parte do documento de avaliação de segurança.


6. Dois modelos clássicos para explicação matemática: Steiner e Kitcher

Na seção 4, foi apontado que duas formas principais de busca de explicações na prática matemática ocorrem no nível da comparação entre diferentes provas do mesmo resultado e na reformulação conceitual de áreas principais. Esses dois tipos de atividade explicativa levam a duas concepções diferentes de explicação. Essas concepções podem ser caracterizadas como locais e globais. A questão é que, no primeiro caso, a explicabilidade é principalmente uma propriedade (local) das provas, enquanto no último é uma propriedade (global) de toda a teoria ou estrutura e as provas são julgadas explicativas por serem parte da estrutura . Embora esses dois tipos de atividade explicativa não esgotem as variedades de explicações matemáticas que ocorrem na prática, a contraposição entre local e global captura bem a principal diferença entre os dois principais relatos clássicos da explicação matemática, os de Steiner e Kitcher (relatos mais recentes será discutido na seção 7). Embora devamos enfatizar a dicotomia local / global, é importante acrescentar que existem outras maneiras de conceituar as principais alternativas na teoria da explicação matemática. Por exemplo, Kim 1994 usa a contraposição entre & lsquoexplanatory internalism & rsquo e & lsquoexplanatory externalism & rsquo para fornecer uma taxonomia dos diferentes relatos de explicação científica. Enquanto que para o "internalismo explicativo" as explicações são atividades internas a um corpus epistêmico (uma teoria ou conjunto de crenças), um "externalista explicativo" procura algumas relações ônticas que fundamentam as relações explicativas refletidas nas atribuições linguísticas de explicabilidade. Essa taxonomia é ortogonal à taxonomia local / global e mencionamos aqui apenas que o espírito da teoria da explicação de Kitcher & rsquos é & lsquointernalista & rsquo, enquanto que o de Steiner é & lsquoexternalista & rsquo.

Antes de discuti-los, também deve ser apontado que outros modelos de explicação científica podem se estender à explicação matemática. Eles serão discutidos na seção 7.

6.1 Um modelo local de explicação: Steiner

Steiner propôs seu modelo de explicação matemática em 1978a. Ao desenvolver sua própria descrição da prova explicativa em matemática, ele discute & mdashand rejeita & mdasha um número de critérios inicialmente plausíveis para explicação, por ex. o (maior grau de) abstração ou generalidade de uma prova, sua visualizabilidade e seu aspecto genético que daria origem à descoberta do resultado. Em contraste, Steiner adota a idéia de que, para explicar o comportamento de uma entidade, deduz-se o comportamento da essência ou natureza da entidade & rdquo (Steiner 1978a, 143). Para evitar as notórias dificuldades na definição dos conceitos de essência e propriedade essencial (ou necessária), que, aliás, não parecem ser úteis em contextos matemáticos de qualquer maneira, uma vez que todas as verdades matemáticas são consideradas necessárias, Steiner introduz o conceito de caracterização propriedade. (Deixe-me mencionar como um aparte que Kit Fine distingue entre propriedades essenciais e necessárias e que talvez a distinção pudesse ser explorada neste contexto). Ao caracterizar propriedade, Steiner significa & ldquoa propriedade única para uma determinada entidade ou estrutura dentro de uma família ou domínio de tais entidades ou estruturas & rdquo, onde a noção de família é considerada como indefinida. Portanto, o que distingue uma prova explicativa de uma não explicativa é que apenas a primeira envolve tal propriedade caracterizadora. Nas palavras de Steiner & rsquos: & ldquoan a prova explicativa faz referência a uma propriedade caracterizante de uma entidade ou estrutura mencionada no teorema, de modo que a partir da prova é evidente que o resultado depende da propriedade & rdquo. Além disso, uma prova explicativa é generalizável no seguinte sentido. Variando a característica relevante (e, portanto, uma certa propriedade caracterizante) em tal prova dá origem a um arranjo de teoremas correspondentes, que são provados & mdashand explicados & mdashby um arranjo de & ldquodeformações & rdquo da prova original. Assim, Steiner chega a dois critérios para provas explicativas, isto é, dependência de uma propriedade de caracterização e generalização por meio da variação dessa propriedade (Steiner 1978a, 144, 147).

O modelo de Steiner & rsquos foi criticado por Resnik & amp Kushner 1987, que questionou a distinção absoluta entre provas explicativas e não explicativas e argumentou que tal distinção só pode ser dependente do contexto. Eles também forneceram contra-exemplos aos critérios defendidos por Steiner. Em Hafner & amp Mancosu 2005, é argumentado que as críticas de Resnik e Kushner & rsquos são insuficientes como um desafio para Steiner, pois eles se baseiam em atribuir explicitação a provas específicas com base não em avaliações dadas por matemáticos praticantes, mas sim nas intuições dos autores. Em contraste, Hafner e Mancosu constroem seu caso contra Steiner usando um caso de explicação da análise real, reconhecida como tal na prática matemática, que diz respeito à prova do critério de convergência de Kummer & rsquos. Eles argumentam que a explicitação da prova do resultado em questão não pode ser considerada no modelo de Steiner & rsquos e esta crítica é fundamental para dar um exame cuidadoso e detalhado de vários componentes conceituais do modelo. Além disso, uma discussão mais aprofundada da conta Steiner & rsquos é fornecida em Weber & amp Verhoeven 2002, Pincock 2015b, Salverda 2017 e Gijsbers 2017.

6.2 Um modelo holístico de explicação: Kitcher

Kitcher é um conhecido defensor de uma explicação da explicação científica como unificação teórica. Kitcher vê uma das virtudes de seu ponto de vista ser que ele também pode ser aplicado à explicação na matemática, ao contrário de outras teorias da explicação científica cujos conceitos centrais, digamos causalidade ou leis da natureza, não parecem relevantes para a matemática. Kitcher não dedicou nenhum artigo à explicação matemática e, portanto, sua posição só pode ser obtida a partir do que ele diz sobre a matemática em seus principais artigos sobre explicação científica. Em Kitcher 1989, ele usa a unificação como o modelo abrangente para explicação tanto na ciência quanto na matemática:

Kitcher afirma que por trás da explicação dada por Hempel & rsquos cobrindo o modelo jurídico & mdash o modelo oficial de explicação para o positivismo lógico & mdash, havia um modelo não oficial que via a explicação como unificação. O que se deve esperar de uma explicação? Kitcher em 1981 aponta duas coisas. Primeiro, uma teoria da explicação deve dar conta de como a ciência avança em nossa compreensão do mundo. Em segundo lugar, deve nos ajudar a avaliar ou arbitrar disputas na ciência. Ele afirma que o modelo de lei de cobertura falha em ambos os casos e propõe que sua conta de unificação se sai muito melhor.

Kitcher encontrou inspiração em Friedman 1974, onde Friedman apresentou a ideia de que a compreensão do mundo é alcançada pela ciência, reduzindo o número de fatos que consideramos brutos:

Friedman tentou tornar essa intuição mais precisa, substituindo descrições linguísticas no lugar de um apelo a fenômenos e leis. Kitcher discorda dos detalhes específicos da proposta de Friedman & rsquos, mas pensa que a intuição geral está correta. Ele modifica a proposta de Friedman & rsquos, enfatizando que o que está por trás da unificação é a redução do número de padrões de argumento usados ​​no fornecimento de explicações, sendo o mais abrangente possível no número de fenômenos explicados:

Vamos tornar isso um pouco mais formal. Vamos começar com um conjunto K de crenças assumidas como consistentes e dedutivamente fechadas (informalmente, pode-se pensar nisso como um conjunto de afirmações endossadas por uma comunidade científica ideal em um momento específico no tempo Kitcher 1981, p.75). Uma sistematização de K é qualquer conjunto de argumentos que derivam algumas sentenças em K de outras sentenças de K. O estoque explicativo acabou K, E(K), é a melhor sistematização de K (Kitcher aqui faz uma idealização ao afirmar que E(K) é único). Correspondendo a diferentes sistematizações, temos diferentes graus de unificação. O maior grau de unificação é aquele dado por E(K) Mas de acordo com quais critérios uma sistematização pode ser considerada a melhor? Existem três fatores: o número de padrões, a severidade dos padrões e o conjunto de consequências deriváveis ​​da unificação.

Não podemos entrar aqui nos detalhes técnicos do modelo Kitcher & rsquos. Ao contrário do modelo de explicação matemática de Steiner e rsquos, a explicação de Kitcher e rsquos para a explicação matemática não foi amplamente discutida (em contraste com a extensa discussão de seu modelo no contexto da filosofia geral da ciência). Uma discussão geral é encontrada em Tappenden 2005, mas não uma análise detalhada. A única exceção é Hafner & amp Mancosu 2008, onde o modelo Kitcher & rsquos é testado à luz do caso Brumfiel & rsquos da geometria algébrica real, descrito na seção 4. Os autores argumentam que o modelo Kitcher & rsquos faz previsões sobre explicabilidade que vão contra casos específicos na prática matemática (ver também Pincock 2015b).


Planilhas e materiais para impressão da quarta série

Quando as crianças terminam a terceira série, elas têm uma compreensão fundamental dos quatro princípios da matemática: adição, subtração, multiplicação e divisão. O verdadeiro trabalho desafiador começa na quarta série, onde conceitos como multiplicação de vários dígitos e problemas complexos de palavras são introduzidos. Não há dúvida de que a matemática da quarta série pode ser um pouco opressiva, então ajude seu filho a se colocar em pé nesta nova aventura aritmética com nossas planilhas de matemática da quarta série.

Com uma variedade de tópicos para escolher e instruções fáceis de entender, nossas planilhas de matemática da quarta série são perfeitas para aprimorar os conceitos ensinados em sala de aula. There are even worksheets that require your student to solve a set of problems within a given time limit—ideal for chapter exam preparation.

Of course, just like at earlier grade levels, fourth graders are more likely to embrace math practice if they find it enjoyable. Be sure to supplement the tough stuff with such activities as multiplication crossword, fraction fruit, and hexagon mazes. That’s just a small sample of the printable puzzles and games that you’ll find in our database of fourth grade math worksheets.


3.1: Basics and the FTA - Mathematics

Welcome to WEB MATH MINUTE. This website will help you print math sheets to practice math.

What's a MATH MINUTE sheet?
It's a sheet of paper with 50 math questions. The goal is to see how many answers a student can calculate in one minute.

Why Paper?
Some students are still required to write tests with pencils on paper in school, so this website can generate sheets you can print on your printer. You can also practice math minutes online if you prefer.

Okay, what do we do?
To begin, choose whether you want to Print Sheets on Paper, or Practice Online by clicking one of the buttons below.


ou

NEW FEATURES
&bull Half-sheets - Print 2 math tests on a single paper, so you can cut it in half and save paper.
&bull Specific number - Select a specific number to practice multiplication or any other equation.
&bull Mix it up - Select addition and subtraction, or multiplication and division, all on the same test.


Symbolab Blog

Integration is the inverse of differentiation. Even though derivatives are fairly straight forward, integrals are not. Some integration problems require techniques such as substitution, integration by parts, trigonometric substitutions, or possibly more than one method. We will walk you through slowly, starting with the basic integration rules: the constant multiplication rule, the power rule, and the sum rule.

Some common functions you should get familiar with (we’ll show you more later):
int a dx = ax + C
int x dx = frac <2>+ C

One more thing to remember, always add the constant of integration C.

Let’s start with the Power Rule: int x^n dx = frac<>> + C,quad n e-1
The power rule simply tells you to divide by n+1 (the power + 1) and increase the power by 1, it’s that simple. Here’s an example of how it works (click here):

Let’s continue with the constant multiplication rule (click here):
int af(x) dx = aint f(x)dx

The constant multiplication rule simply tells to take out the constant

Moving on to the Sum Rule (click here):

That wasn’t too bad. If you’d like to take a pick at some more advanced integrals click here


Assista o vídeo: tom jobim - aula de matemática (Outubro 2021).