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5: Adição e subtração de frações, comparação de frações e frações complexas


5: Adição e subtração de frações, comparação de frações e frações complexas

Calculadora de frações

O resultado escrito em palavras é dezenove sextos (ou três e um sexto).

Como você resolve as frações passo a passo?

  1. Adicionar: 1/2 + 1/5 = 1 · 5/2 · 5 + 1 · 2/5 · 2 = 5/10 + 2/10 = 5 + 2/10 = 7/10
    Para adicionar, subtrair e comparar frações, é adequado ajustar ambas as frações a um denominador comum (igual, idêntico). O denominador comum que você pode calcular como o mínimo múltiplo comum de ambos os denominadores - LCM (2, 5) = 10. Na prática, é suficiente encontrar o denominador comum (não necessariamente o mais baixo) multiplicando os denominadores: 2 & vezes 5 = 10. Na próxima etapa intermediária, o resultado da fração não pode ser mais simplificado pelo cancelamento.
    Em palavras - metade mais um quinto = sete décimos.
  2. Adicionar: o resultado da etapa nº 1 + 4/5 = 7/10 + 4/5 = 7/10 + 4 · 2/5 · 2 = 7/10 + 8/10 = 7 + 8/10 = 15 / 10 = 5 · 3/5 · 2 = 3/2
    Para adicionar, subtrair e comparar frações, é adequado ajustar ambas as frações a um denominador comum (igual, idêntico). O denominador comum que você pode calcular como o mínimo múltiplo comum de ambos os denominadores - LCM (10, 5) = 10. Na prática, é suficiente encontrar o denominador comum (não necessariamente o mais baixo) multiplicando os denominadores: 10 & vezes 5 = 50. Na próxima etapa intermediária,, cancelar por um fator comum de 5 resulta em 3/2.
    Em palavras - sete décimos mais quatro quintos = três metades.
  3. Conversão de um número misto 1 2/3 em uma fração imprópria: 1 2/3 = 1 2/3 = 1 · 3 + 2/3 = 3 + 2/3 = 5/3

Para encontrar um novo numerador:
a) Multiplique o número inteiro 1 pelo denominador 3. Número inteiro 1 igualmente 1 * 3/3 = 3/3
b) Adicione a resposta da etapa 3 anterior ao numerador 2. O novo numerador é 3 + 2 = 5
c) Escreva uma resposta anterior (novo numerador 5) sobre o denominador 3.

Regras para expressões com frações:

Frações - use a barra “/” entre o numerador e o denominador, ou seja, para cinco centésimos, insira 5/100. Se você estiver usando números mistos, certifique-se de deixar um único espaço entre o todo e a parte fracionária.
A barra separa o numerador (número acima de uma linha de fração) e denominador (número abaixo).

Numerais mistos (frações mistas ou números mistos) são escritos como inteiros diferentes de zero separados por um espaço e fração, ou seja, 1 2/3 (tendo o mesmo sinal). Um exemplo de uma fração mista negativa: -5 1/2.
Como a barra é um sinal de linha de fração e divisão, recomendamos o uso de dois pontos (:) como o operador de frações de divisão, ou seja, 1/2 : 3.

Decimais (números decimais) entram com um ponto decimal . e eles são automaticamente convertidos em frações - ou seja, 1.45.

O cólon : e barra / é o símbolo da divisão. Pode ser usado para dividir números mistos 1 2/3 : 4 3/8 ou pode ser usado para escrever frações complexas, ou seja, 1/2 : 1/3.
Um asterisco * ou × é o símbolo de multiplicação.
Mais + é adição, sinal de menos - é subtração e ()[] é parênteses matemáticos.
O símbolo de exponenciação / potência é ^ - por exemplo: (7/8-4/5)^2 = (7/8-4/5) 2

Exemplos:

A calculadora segue regras bem conhecidas para ordem de operações. Os mnemônicos mais comuns para lembrar essa ordem de operações são:
PEMDAS - Parênteses, expoentes, multiplicação, divisão, adição, subtração.
BEDMAS - Parênteses, expoentes, divisão, multiplicação, adição, subtração
BODMAS - Parênteses, de ou ordem, divisão, multiplicação, adição, subtração.
GEMDAS - Símbolos de agrupamento - colchetes () <>, expoentes, multiplicação, divisão, adição, subtração.
Tenha cuidado, sempre faça multiplicação e divisão antes da adição e subtração. Alguns operadores (+ e -) e (* e /) têm a mesma prioridade e devem ser avaliados da esquerda para a direita.


Adição, subtração e frações complexas - Apresentação PPT do PowerPoint

Adição, subtração e frações complexas Fração complexa uma fração com uma fração no numerador e / ou denominador. Tais como: Como você simplificaria. & ndash Apresentação PPT do PowerPoint

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Revisão de adição e subtração de frações e introdução à simplificação de frações complexas - Apresentação PPT em PowerPoint

Título: 10.5 Adição, subtração e frações complexas Última modificação por: Allan H. Bredenfoerder Formato de apresentação do documento: Na tela Mostrar outros títulos & ndash PowerPoint PPT apresentação

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Avalie Expressões Variáveis ​​com Frações

Já avaliamos expressões antes, mas agora podemos avaliar expressões com frações. Lembre-se, para avaliar uma expressão, substituímos o valor da variável na expressão e, em seguida, simplificamos.

Avalie quando um) b) .

  1. Avaliar quando , substituto para na expressão.
    Simplificar.0

Avalie quando um) b) .

a) b)

Avalie quando um) b) .

a) b)

Avalie quando .

Reescreva como frações equivalentes com o LCD, 6.
Subtrair.
Simplificar.

Avalie quando .

Avalie quando .

Avalie quando e .

Substitua os valores na expressão.

Simplifique os expoentes primeiro.
Multiplicar. Divida os fatores comuns. Observe que escrevemos 16 como para facilitar a remoção de fatores comuns.
Simplificar.

Avalie quando e .

Avalie quando e .

O próximo exemplo terá apenas variáveis, sem constantes.

Avalie quando .

Avaliar quando , substituímos os valores na expressão.

Adicione o numerador primeiro.
Simplificar.

Avalie quando .

Avalie quando .


Frações complexas - apresentação PPT do PowerPoint

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Adição e subtração de frações

Os alunos precisam reconhecer a magnitude dos números da fração para poder somar e subtrair frações com fluência. Isso requer que eles entendam a notação de fração, em que a / b tem um numerador (a), que representa quantas partes e um denominador (b), que representa o tamanho das partes. A fração 5/8 pode ser considerada como 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8, onde os alunos somam repetidamente um oitavo. Isso pode ser representado em uma linha numérica ou usando um modelo de região.

É importante que os alunos usem uma variedade de modelos, bem como estimativas, para que possam entender o algoritmo e as respostas que obtêm. No problema: a Srta. F estava tirando comida depois da festa da aula. Ela notou que sobrou 3/8 do bolo de chocolate e sobrou 7/8 do bolo de baunilha. Os dois bolos eram do mesmo tamanho, a única diferença era o sabor. Quanto bolo ficou sem comer?

Nesse problema, um mal-entendido comum para os alunos é não ser capaz de reconhecer a magnitude ou o tamanho das frações.

Por exemplo, os alunos podem ser capazes de calcular 3/8 + 7/8 = 10/8, no entanto, quando solicitados a identificar qual número dez-oitavos está mais próximo de (0, 1/2, 8, 10 ou 1 1/2 ) alguns alunos ainda irão reverter para o pensamento de números inteiros e afirmar que a resposta é mais próxima de 10 ou 8. Isso demonstra que, embora eles possam executar os métodos de cálculo corretos, eles ainda carecem de compreensão conceitual. Uma maneira de superar isso é primeiro estimar e dar significado ao contexto, desenhar elementos visuais e, em seguida, comunicar as descobertas por meio de símbolos abstratos.

O problema pode ser resolvido usando a subtração 2 - 5/8 - 1/8 que mostra as peças comidas sendo subtraídas dos dois inteiros, ou adição 3/8 + 7/8 que mostra as peças restantes sendo somadas. Isso é demonstrado na linha numérica abaixo. Usando o segundo método, certifique-se de que os alunos primeiro façam uma estimativa e usem recursos visuais, para ajudá-los a identificar que 7/8 está perto de um todo e 3/8 está perto da metade. Disto eles podem concluir que a resposta deve ser maior que 1, mas menor que 1 1/2.

Ao escrever o algoritmo, a linguagem também é importante, ou seja, eles precisam ler as frações corretamente: 3/8 + 7/8 = 10/8, três oitavos + sete oitavos é quantos oitavos? (dez oitavos).

Currículo vitoriano

Investigar estratégias para resolver problemas envolvendo adição e subtração de frações com o mesmo denominador (VCMNA188)

Programa de Amostra VCAA: Um conjunto de programas de amostra cobrindo o Currículo de Matemática de Victoria.

VCAA Mathematics glossary: ​​Um glossário compilado da terminologia específica do assunto encontrada nas descrições de conteúdo do Victorian Curriculum Mathematics.

Padrões de realização

Os alunos resolvem problemas simples envolvendo as quatro operações usando uma variedade de estratégias, incluindo tecnologia digital. Eles estimam para verificar a razoabilidade das respostas e respostas aproximadas por arredondamento.

Os alunos identificam e descrevem fatores e múltiplos. Eles explicam planos para orçamentos simples.

Os alunos ordenam decimais e frações unitárias e os localizam em uma linha numérica.

Os alunos somam e subtraem frações com o mesmo denominador. Eles encontram quantidades desconhecidas em sentenças numéricas e continuam os padrões adicionando ou subtraindo frações e decimais.


6.2 Multiplicação e divisão de frações

Multiplicação: número inteiro x fração

Você deve se lembrar dos anos anteriores que a multiplicação é uma forma de adição. Por exemplo, significa.

Exemplo trabalhado 6.6: Multiplicando: número inteiro x fração

Etapa 1: escreva a multiplicação como uma adição.

Etapa 2: O denominador mostra em quantas partes um todo deve ser dividido. Represente isso em um diagrama.

Neste caso, deve haver 4 partes.

Etapa 3: sombreie o número de peças mostrado pelo primeiro numerador.

Etapa 4: sombreie o número de peças mostrado pelo restante dos numeradores.

Devemos sombrear outras partes.

Existem apenas 3 "lacunas" na forma que podem ser sombreadas. Portanto, precisamos adicionar outra forma.

Etapa 6: escreva a parte sombreada total como uma fração.

Lembre-se, o denominador mostra em quantas partes um todo é dividido. O numerador mostra o número total das peças com as quais estamos lidando.

Etapa 7: Escreva a resposta em sua forma mais simples ou como um número misto.

Etapa 8: Escreva todo o cálculo.

Multiplicação: fração x número inteiro

A esta altura você já sabe que um bolo pode ser representado da seguinte forma:

Suponha que Azubuike comesse três bolos. Quanto bolo ele realmente comeu? Devemos multiplicar por 3 bolos:.

Exemplo trabalhado 6.7: Multiplicando: fração x número inteiro

Etapa 1: use um diagrama para representar a fração.

Etapa 2: adicione diagramas conforme exigido pelo número inteiro.

O número inteiro é 3. Isso significa que temos.

Etapa 3: coloque todas as partes sombreadas juntas em uma forma o máximo possível e, em seguida, comece a usar a próxima forma necessária.

Etapa 4: escreva a parte sombreada total como uma fração.

Lembre-se, o denominador mostra em quantas partes um todo é dividido. O numerador mostra o número total das peças com as quais estamos lidando.

Etapa 5: Escreva a resposta em sua forma mais simples ou como um número misto.

Etapa 8: Escreva todo o cálculo.

Exercício 6.4: Multiplique frações e números inteiros

Calcule cada um dos seguintes.

Depois de entender como multiplicar números inteiros e frações, você pode usar este método curto.
Exemplo:
Denominador (permanece o mesmo):
Numerador:
Cálculo:

Multiplicação: fração x fração

Quando escrevemos, isso significa dois terços,, de três quartos,.

A esta altura você já sabe que um bolo pode ser representado da seguinte forma:

Agora queremos saber quanto é da parte sombreada.

Exemplo trabalhado 6.8: Multiplicando usando um diagrama: fração x fração

Etapa 1: use um diagrama para representar uma das frações.

Etapa 2: divida ainda mais a forma, de acordo com o denominador da outra fração.

O denominador de é 3. Isso significa que devemos dividir cada parte da forma em 3 partes.

Etapa 3: use outra cor para sombrear a parte correta da parte sombreada, de acordo com o numerador da fração usado na etapa 2.

O numerador é 2. Isso significa que estamos interessados ​​em 2 de cada 3 partes. Lembre-se de que queremos apenas a parte que já está sombreada,.

Etapa 4: escreva a parte recém-sombreada como uma fração de toda a forma.

Lembre-se de que a forma agora está dividida em 12 partes. O novo sombreamento cobre 6 dessas partes.

Etapa 5: Escreva a resposta em sua forma mais simples ou como um número misto.

Etapa 6: escreva todo o cálculo.

Se você usar o mesmo método para determinar, obterá a mesma resposta.

Veja se você percebe um padrão quando escrevemos as duas primeiras linhas do cálculo na Etapa 6 do exemplo anterior trabalhado da seguinte maneira:

Quando multiplicamos duas frações, podemos seguir este método:

Exemplo trabalhado 6.9: Calculando fração x fração diretamente

Etapa 1: multiplique os dois numeradores e multiplique os dois denominadores.

Etapa 2: encontre o numerador e o denominador da resposta.

Etapa 3: Escreva a resposta em sua forma mais simples ou como um número misto.

Exercício 6.5: Multiplique frações com frações

Use um diagrama para determinar.

Mostre com um diagrama:

Observe: O denominador 2 significa que cada parte deve ser dividida em 2:

O numerador 1 significa que queremos 1 em cada 2 partes da área sombreada:

O novo sombreamento representa.

Calcule cada um dos seguintes diretamente.

Divisão: número inteiro e fração # 247

Suponha que haja 4 bolos disponíveis para a festa de aniversário de Oluchi. Os bolos são bem pequenos, então ela quer que cada pessoa receba um bolo. Como o Oluchi saberá quantas pessoas ganharão bolo?

Oluchi deve calcular. Como ela deseja que cada pessoa obtenha dois terços, ela deve começar cortando cada bolo em 3 pedaços.

Agora ela deve descobrir quantas pessoas cada uma pode receber de um bolo.

Exemplo trabalhado 6.10: Dividindo usando diagramas: número inteiro e fração # 247

Etapa 1: represente todas as partes do número inteiro, de acordo com o denominador da fração.

O denominador da fração é 3. Devemos dividir 4 formas em 3 partes cada.

Etapa 2: Determine quantas vezes o numerador da fração pode ser contado.

O numerador é 2. Isso significa que cada 2 partes representa uma contagem.

Etapa 3: Escreva a resposta.

Existem 6 cores diferentes. Podemos contar a cada seis vezes. Isso significa que na festa de aniversário de Oluchi, 6 pessoas podem ganhar um bolo cada uma.

Recíprocos de frações

A divisão pode ser vista como outra forma de multiplicação. Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo "oposto" da fração. O "oposto" de uma fração é chamado de recíproca. O recíproco é a fração que obtemos quando trocamos o numerador e o denominador. Por exemplo, o recíproco de é e o recíproco de é.

recíproca O "oposto" de uma fração, que obtemos trocando o numerador e o denominador.

Números inteiros também têm recíprocos. Podemos escrever qualquer número inteiro como uma fração imprópria com o denominador 1. Por exemplo, e. Agora obtemos o recíproco trocando o numerador e o denominador. O recíproco de 5 é e o recíproco de 13 é.

O recíproco de uma fração também é chamado de seu inverso multiplicativo. Quando você multiplica uma fração e seu inverso multiplicativo, a resposta é 1.

Podemos usar recíprocos na divisão que envolve frações.

Exemplo trabalhado 6.11: Usando um recíproco para dividir: número inteiro e fração # 247

Etapa 1: considere a divisão como outra forma de multiplicação.

Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo recíproco da fração.

Etapa 2: siga o método curto para multiplicar números inteiros e frações.

Denominador:
Numerador:
Cálculo:

Exercício 6.6: Divida números inteiros por frações

Calcule cada um dos seguintes.

Multiplique pelo recíproco da fração.

Multiplique pelo recíproco da fração.

Multiplique pelo recíproco da fração.

Divisão: fração & # 247 número inteiro

Na festa de aniversário de Ifetayo, sobra apenas um bolo. Ifetayo quer compartilhar isso igualmente entre suas duas melhores amigas, para que possam levar para casa.

O bolo que resta pode ser representado da seguinte forma:

Agora Ifetayo deve descobrir como ela vai compartilhar isso igualmente entre seus dois amigos.

Exemplo trabalhado 6.12: Dividindo usando um diagrama: fração & # 247 número inteiro

Etapa 1: use um diagrama para representar a fração.

Etapa 2: divida ainda mais a forma, de acordo com o número inteiro.

O número inteiro é 2. Se quisermos compartilhar a parte sombreada entre 2 pessoas, devemos dividir cada parte sombreada em 2 partes.

Etapa 3: Compartilhe as partes sombreadas igualmente, de acordo com o número inteiro.

O número inteiro é 2. Se quisermos compartilhar as partes sombreadas igualmente entre 2 pessoas, simplesmente as alocamos para a pessoa 1 e a pessoa 2.

Etapa 4: anote a fração que cada pessoa recebe.

Se dividirmos entre duas pessoas, cada pessoa recebe.

Etapa 5: Escreva a resposta.

Exemplo trabalhado 6.13: Usando um recíproco para dividir: fração & # 247 número inteiro

Etapa 1: considere a divisão como outra forma de multiplicação.

Dividir por um número inteiro é o mesmo que multiplicar pelo recíproco de todo o número.

Etapa 2: siga o método curto para multiplicar frações por frações.

Exercício 6.7: Divida as frações por números inteiros

Calcule cada um dos seguintes.

Multiplique pelo recíproco de todo o número.

Multiplique pelo recíproco de todo o número.

Multiplique pelo recíproco de todo o número.

Divisão: fração e fração # 247

Lembre-se que sobrou apenas um bolo na festa de aniversário de Ifetayo. Suponha que, em vez de dividir isso entre suas duas melhores amigas, ela decida dar o bolo para o maior número de pessoas possível.

Já sabemos que o bolo que resta pode ser representado da seguinte forma:

Agora Ifetayo precisa descobrir quantas pessoas podem pegar o bolo para levar para casa. Ela deve calcular.

Exemplo trabalhado 6.14: Usando um diagrama para dividir: fração e fração # 247

Etapa 1: use um diagrama para representar a primeira fração.

Passo 2: Divida ainda mais a forma, até que as partes sejam iguais ao denominador da segunda fração.

O denominador da segunda fração é 8.

Etapa 3: Determine quantas vezes o numerador da segunda fração pode ser contado a partir das partes sombreadas.

O numerador da segunda fração é 1. Isso significa que cada parte representa uma contagem. Lembre-se de que só podemos contar as partes sombreadas.

Etapa 4: Escreva a resposta.

Existem seis cores diferentes. Podemos contar a cada seis vezes. Isso significa que 6 pessoas podem levar o bolo para casa cada uma.

Exemplo trabalhado 6.15: Usando um recíproco para dividir: fração e fração # 247

Etapa 1: considere a divisão como outra forma de multiplicação.

Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo recíproco da fração.

Etapa 2: siga o método curto para multiplicar frações por frações.

Exercício 6.8: Divida frações por frações

Calcule cada um dos seguintes.

Multiplique pelo recíproco da segunda fração.

Multiplique pelo recíproco da segunda fração.

Multiplique pelo recíproco da segunda fração.

Multiplicando e dividindo números mistos

Existem vários métodos que podem ser usados ​​para multiplicar e dividir números mistos. É recomendável que você converta primeiro todos os números mistos em frações impróprias antes de multiplicar ou dividir.

Se necessário, volte ao Capítulo 4 e revise como converter números mistos em frações impróprias.

Simplificando antes de multiplicar

As frações impróprias às vezes envolvem números grandes que não são tão fáceis de multiplicar. Para tornar as coisas mais fáceis, você deve tentar simplificar os numeradores e denominadores antes da você os multiplica.

Observe que a ordem em que multiplicamos os números não afeta a resposta. Por exemplo:

No Capítulo 4, você aprendeu que fatores equivalentes têm o mesmo valor. Encontramos fatores equivalentes multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número. Por exemplo:

Exemplo trabalhado 6.16: Dividindo números mistos

Etapa 1: converta os números mistos em frações impróprias.

Etapa 2: considere a divisão como outra forma de multiplicação.

Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo recíproco da fração.

Etapa 3: anote a primeira etapa para multiplicar frações por frações. Em seguida, veja se há pares de numerador e denominador com fatores comuns.

O HCF de 4 e 8 é 4.
O HCF de 21 e 15 é 3.

Se necessário, volte ao Capítulo 2 para revisar como encontrar o maior fator comum (HCF) de dois ou mais números.

Escreva os pares um embaixo do outro. Lembre-se de que podemos multiplicar os números em qualquer ordem.

Etapa 4: divida pelos fatores comuns identificados na Etapa 3.

Podemos encontrar frações equivalentes dividindo um numerador e denominador pelo mesmo número.

Etapa 5: Escreva a expressão simplificada e calcule a resposta.

Etapa 6: Verifique se a resposta está em sua forma mais simples. Escreva frações impróprias como números mistos.

Nesse caso, a resposta é em sua forma mais simples de.

Se necessário, volte ao Capítulo 4 e revise como converter frações impróprias em números mistos.

Exercício 6.9: Multiplique e divida números mistos

O HCF de 18 e 9 é 9.
O HCF de 15 e 5 é 5.

O HCF de 4 e 8 é 4.
O HCF de 57 e 19 é 19.

O HCF de 6 e 9 é 3.
O HCF de 35 e 25 é 5.

O HCF de 5 e 10 é 5.
O HCF de 63 e 9 é 9.


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Por que precisamos saber a diferença entre frações semelhantes e frações diferentes?

Ao adicionar ou subtrair frações, devemos saber a diferença entre frações semelhantes e diferentes. & # Xa0

Porque adicionar ou subtrair duas ou mais frações semelhantes é sempre mais fácil. Mas quando queremos adicionar ou subtrair duas ou mais frações diferentes, temos que usar o método de multiplicação cruzada ou o método LCM (mínimo múltiplo comum) para adicionar ou subtrair duas ou mais frações. & # Xa0


Adição e subtração de frações - Apresentação PPT em PowerPoint

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