Artigos

5.3: Declive de uma linha


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Encontre a inclinação de uma linha
  • Represente graficamente uma linha a partir de um ponto e da inclinação
  • Represente graficamente uma linha usando sua inclinação e interceptação
  • Escolha o método mais conveniente para representar graficamente uma linha
  • Representar graficamente e interpretar aplicações de declive-interceptação
  • Use inclinações para identificar linhas paralelas e perpendiculares

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Simplifique: ( frac {(1–4)} {(8−2)} ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].
  2. Divida: ( frac {0} {4} ), ( frac {4} {0} ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].
  3. Simplifique: ( frac {15} {- 3} ), ( frac {-15} {3} ), ( frac {-15} {- 3} ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].

Encontre a inclinação de uma linha

Ao representar graficamente as equações lineares, você pode notar que algumas linhas se inclinam para cima conforme vão da esquerda para a direita e algumas linhas se inclinam para baixo. Algumas linhas são muito íngremes e algumas linhas são mais planas.

Em matemática, a medida da inclinação de uma linha é chamada de declive da linha.

O conceito de inclinação tem muitas aplicações no mundo real. Na construção, a inclinação do telhado, a inclinação dos encanamentos e a inclinação das escadas são todas aplicações da inclinação. e enquanto você esquia ou desce uma colina, você definitivamente experimenta uma inclinação.

Podemos atribuir um valor numérico à inclinação de uma linha, encontrando a razão entre a elevação e o movimento. O elevação é o quanto a distância vertical muda enquanto o corre mede a mudança horizontal, conforme mostrado nesta ilustração. A inclinação é uma taxa de variação. Ver Figura.

INCLINAÇÃO DE UMA LINHA

A inclinação de uma linha é (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).

O aumento mede a mudança vertical e a corrida mede a mudança horizontal.

Para encontrar a inclinação de uma linha, localizamos dois pontos na linha cujas coordenadas são inteiros. Em seguida, esboçamos um triângulo retângulo onde os dois pontos são vértices e um lado é horizontal e um lado é vertical.

Para encontrar a inclinação da linha, medimos a distância ao longo dos lados vertical e horizontal do triângulo. A distância vertical é chamada de elevação e a distância horizontal é chamada de corre,

ENCONTRE A INCLINAÇÃO DE UMA LINHA A PARTIR DE SEU GRÁFICO USANDO (m = frac { text {rise}} { text {run}} )

  1. Localize dois pontos na linha cujas coordenadas são inteiros.
  2. Começando com um ponto, esboce um triângulo retângulo, indo do primeiro ponto ao segundo ponto.
  3. Conte a subida e a corrida nas pernas do triângulo.
  4. Pegue a proporção de subida para correr para encontrar a inclinação: (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).

Exemplo ( PageIndex {1} )

Encontre a inclinação da linha mostrada.

Responder
Localize dois pontos no gráfico cujo
coordenadas são inteiros.
((0,5) ) e ((3,3) )
Começando em ((0,5) ), esboce um triângulo retângulo para
((3,3) ) conforme mostrado neste gráfico.
Conte a subida - uma vez que diminui, é negativo.O aumento é (- 2 ).
Conte a corrida.A corrida é de 3.
Use a fórmula de inclinação. (m = frac { text {rise}} { text {run}} )
Substitua os valores da ascensão e execução. (m = −23 )
Simplificar. (m = −23 )
A inclinação da linha é (- 23 ).
Então y diminui em 2 unidades conforme x aumenta em 3 unidades.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Encontre a inclinação da linha mostrada.

Responder

(- frac {4} {3} )

Exemplo ( PageIndex {3} )

Encontre a inclinação da linha mostrada.

Responder

(- frac {3} {5} )

Como encontramos a inclinação das linhas horizontais e verticais? Para encontrar a inclinação da linha horizontal, (y = 4 ), poderíamos representar graficamente a linha, encontrar dois pontos nela e contar a subida e a corrida. Vamos ver o que acontece quando fazemos isso, conforme mostrado no gráfico abaixo.

( begin {array} {ll} { text {Qual é a elevação?}} & { text {A elevação é} 0.} { text {O que é a corrida?}} & { text {A corrida é} 3.} { text {Qual é a inclinação?}} & {M = frac { text {ascensão}} { text {run}}} {} & {m = frac {0} {3}} {} & {m = 0} {} & { text {A inclinação da linha horizontal} y = 4 text {é} 0.} end {array} nonumber )

Vamos considerar também uma linha vertical, a linha (x = 3 ), conforme mostrado no gráfico.

( begin {array} {ll} { text {Qual é a elevação?}} & { text {A elevação é} 0.} { text {O que é a corrida?}} & { text {A corrida é} 3.} { text {Qual é a inclinação?}} & {M = frac { text {ascensão}} { text {run}}} {} & {m = frac {2} {0}} end {array} nonumber )

A inclinação é indefinida, pois a divisão por zero é indefinida. Portanto, dizemos que a inclinação da linha vertical (x = 3 ) é indefinida.

Todas as linhas horizontais têm inclinação 0. Quando o y-coordenadas são as mesmas, o aumento é 0.

A inclinação de qualquer linha vertical é indefinida. Quando o x-coordenadas de uma linha são todas iguais, a corrida é 0.

INCLINAÇÃO DE UMA LINHA HORIZONTAL E VERTICAL

A inclinação de uma linha horizontal, (y = b ), é 0.

A inclinação de uma linha vertical, (x = a ), é indefinida.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Encontre a inclinação de cada linha: ⓐ (x = 8 ) ⓑ (y = −5 ).

Responder

Ⓐ (x = 8 )
Esta é uma linha vertical. Sua inclinação é indefinida.
Ⓑ (y = −5 )
Esta é uma linha horizontal. Possui inclinação 0.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Encontre a inclinação da linha: (x = −4 ).

Responder

Indefinido

Exemplo ( PageIndex {6} )

Encontre a inclinação da linha: (y = 7 ).

Responder

0

GUIA RÁPIDO PARA AS INCLINAÇÕES DE LINHAS

Às vezes, precisamos encontrar a inclinação de uma linha entre dois pontos quando não temos um gráfico para contar a subida e a corrida. Poderíamos traçar os pontos em um papel quadriculado e, em seguida, contar a subida e a corrida, mas, como veremos, há uma maneira de encontrar a inclinação sem representar graficamente. Antes de chegarmos a isso, precisamos apresentar algumas notações algébricas.

Vimos que um par ordenado (x, y) (x, y) fornece as coordenadas de um ponto. Mas quando trabalhamos com inclinações, usamos dois pontos. Como pode o mesmo símbolo (x, y) (x, y) ser usado para representar dois pontos diferentes? Os matemáticos usam subscritos para distinguir os pontos.

( begin {array} {ll} {(x_1, y_1)} & { text {leia “} x text {sub} 1, space y text {sub} 1 text {”}} {(x_2, y_2)} & { text {leia “} x text {sub} 2, espaço y text {sub} 2 text {”}} end {array} nonumber )

Usaremos ((x_1, y_1) ) para identificar o primeiro ponto e ((x_2, y_2) ) para identificar o segundo ponto.

Se tivéssemos mais de dois pontos, poderíamos usar ((x_3, y_3) ), ((x_4, y_4) ) e assim por diante.

Vamos ver como a subida e a corrida se relacionam com as coordenadas dos dois pontos dando uma outra olhada na inclinação da linha entre os pontos ((2,3) ) e ((7,6) ), como mostrado neste gráfico.

( begin {array} {ll} { text {Uma vez que temos dois pontos, usaremos notação subscrita.}} & { begin {pmatrix} x_1, & y_1 2 & 3 end {pmatrix} begin {pmatrix} x_2, & y_2 6 & 6 end {pmatrix}} {} & {m = frac { text {rise}} { text {run}}} { text { No gráfico, contamos o aumento de 3 e a corrida de 5.}} & {m = frac {3} {5}} { text {Observe que o aumento de 3 pode ser encontrado subtraindo o} } & {} {y text {-coordenadas, 6 e 3, e a execução de 5 pode ser encontrada}} & {} { text {subtraindo as coordenadas x 7 e 2.}} & {} { text {Reescrevemos a subida e corremos colocando as coordenadas.}} & {m = frac {6-3} {7-2}} {} & {} { text {Mas 6 é} y_2 text {, a coordenada y do segundo ponto e 3 é} y_1 text {, a coordenada y}} & {} { text {do primeiro ponto. Então, nós pode reescrever a inclinação usando a notação subscrita.}} & {m = frac {y_2-y_1} {7-2}} { text {Também 7 é a coordenada x do segundo ponto e 2 é x- coordenar}} & {} { text {do primeiro ponto. Então, novamente nós reescrevemos a inclinação usando notação subscrita.}} & {m = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1}} end {array} nonumber )

Mostramos que (m = frac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} ) é realmente outra versão de (m = frac { text {rise}} { text {run}} ) . Podemos usar esta fórmula para encontrar a inclinação de uma linha quando temos dois pontos na linha.

INCLINAÇÃO DE UMA LINHA ENTRE DOIS PONTOS

A inclinação da linha entre dois pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ) é:

(m = frac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} ).

A inclinação é:

[y text {do segundo ponto menos} y text {do primeiro ponto} nonumber ] [ text {over} nonumber ] [x text {do segundo ponto menos} x texto {do primeiro ponto} não numérico ]

Exemplo ( PageIndex {7} )

Use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da reta através dos pontos ((- 2, −3) ) e ((- 7,4) ).

Responder

( begin {array} {ll} { text {Iremos chamar (−2, −3) ponto # 1 e (−7,4) ponto # 2.}} & { begin {pmatrix} x_1, & y_1 -2 & -3 end {pmatriz} begin {pmatrix} x_2, & y_2 -7 & 4 end {pmatrix}} { text {Use a fórmula de inclinação.}} & {m = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1}} { text {Substitua os valores.}} & {} { text {y do segundo ponto menos y do primeiro ponto}} & { } { text {x do segundo ponto menos x do primeiro ponto}} & {m = frac {4 - (- 3)} {- 7 - (- 2)}} { text { Simplifique}} & {m = frac {7} {- 5}} {} & {m = frac {-7} {5}} end {array} nonumber )

Vamos verificar essa inclinação no gráfico mostrado.

[m = frac { text {rise}} { text {run}} nonumber ] [m = frac {7} {- 5} nonumber ] [m = frac {−7 } {5} nonumber ]

Use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da reta através do par de pontos: ((- 3,4) ) e ((2, −1) ).

Responder

(-1)

Exemplo ( PageIndex {9} )

Use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da reta através do par de pontos: ((- 2,6) ) e ((- 3, −4) ).

Responder

10

Represente graficamente uma linha dada um ponto e a inclinação

Até agora, neste capítulo, representamos linhas graficamente traçando pontos, usando interceptações e reconhecendo linhas horizontais e verticais.

Também podemos representar graficamente uma linha quando sabemos um ponto e a inclinação da linha. Começaremos traçando o ponto e então usaremos a definição de inclinação para desenhar o gráfico da reta.

Exemplo ( PageIndex {10} ): Como representar graficamente uma linha dada um ponto e a inclinação

Represente graficamente a linha que passa pelo ponto ((1, −1) ) cuja inclinação é (m = frac {3} {4} ).

Responder

Você pode verificar seu trabalho encontrando um terceiro ponto. Como a inclinação é (m = 34 ), ela também pode ser escrita como (m = frac {−3} {- 4} ) (negativo dividido por negativo é positivo!). Volte para ((1, −1) ) e conte a subida, (- 3 ), e a corrida, (- 4 ).

Exemplo ( PageIndex {11} )

Represente graficamente a linha que passa pelo ponto ((2, −2 ) com a inclinação (m = frac {4} {3} ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {12} )

Represente graficamente a reta que passa pelo ponto ((- 2,3) ) com a inclinação (m = frac {1} {4} ).

Responder

GRÁFICO UMA LINHA DADA UM PONTO E A INCLINAÇÃO.

  1. Trace o ponto dado.
  2. Use a fórmula de inclinação (m = frac { text {subida}} { text {corrida}} ) para identificar a subida e a corrida.
  3. Começando no ponto determinado, conte a subida e corra para marcar o segundo ponto.
  4. Conecte os pontos com uma linha.

Faça o gráfico de uma linha usando sua inclinação e interceptação

Representamos graficamente as equações lineares traçando pontos, usando interceptações, reconhecendo linhas horizontais e verticais e usando um ponto e a inclinação da linha. Depois de ver como uma equação na forma de declive-interceptação e seu gráfico estão relacionados, teremos mais um método que podemos usar para representar as linhas do gráfico.

Ver Figura. Vamos olhar para o gráfico da equação (y = 12x + 3 ) e encontrar sua inclinação e y-interceptar.

As linhas vermelhas no gráfico nos mostram que a subida é 1 e a corrida é 2. Substituindo na fórmula de inclinação:

[m = frac { text {rise}} { text {run}} nonumber ] [m = frac {1} {2} nonumber ]

O y-intercept é ((0,3) ).

Observe a equação desta linha.

Olhe para a inclinação e y-interceptar.

Quando uma equação linear é resolvida para y, o coeficiente do x termo é a inclinação e o termo constante é o y-coordenada do y-interceptar. Dizemos que a equação (y = 12x + 3 ) está na forma de declive-interceptação. Às vezes, a forma de declive-interceptação é chamada de “y-Formato."

FORMA DE INTERCEPÇÃO DE INCLINAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DE UMA LINHA

A forma de inclinação-interceptação de uma equação de uma linha com inclinação m e y-intercept, ((0, b) ) é (y = mx + b ).

Vamos praticar encontrar os valores da inclinação e y-intercepta a partir da equação de uma linha.

Exemplo ( PageIndex {14} )

Identifique a inclinação e y-intercepte a partir da equação da linha.

Ⓐ (y = frac {2} {5} x − 1 ) ⓑ (x + 4y = 8 )

Responder

Ⓐ (m = frac {2} {5} ); ((0, -1) )
Ⓑ (m = - frac {1} {4} ); ((0,2) )

Exemplo ( PageIndex {15} )

Identifique a inclinação e y-intercepte a partir da equação da linha.

Ⓐ (y = - frac {4} {3} x + 1 ) ⓑ (3x + 2y = 12 )

Responder

Ⓐ (m = - frac {4} {3} ); ((0,1) )
Ⓑ (m = - frac {3} {2} ); ((0,6) )

Traçamos o gráfico de uma linha usando a inclinação e um ponto. Agora que sabemos como encontrar a inclinação e y-interceptação de uma linha de sua equação, podemos usar o y-intercepte como o ponto e, em seguida, conte a inclinação a partir daí.

Exemplo ( PageIndex {16} )

Represente graficamente a linha da equação (y = −x + 4 ) usando sua inclinação e y-interceptar.

Responder
(y = mx + b )
A equação está na forma de declive-interceptação. (y = −x + 4 )
Identifique a inclinação e y-interceptar. (m = -1 )
y-intercept é ((0,4) )
Plote o y-interceptar.Veja o gráfico.
Identifique a subida ao longo da corrida. (m = −11 )
Conte a subida e corra para marcar o segundo ponto.subir (- 1 ), correr (1 )

Desenhe a linha conforme mostrado no gráfico.

Exemplo ( PageIndex {17} )

Represente graficamente a linha da equação (y = −x − 3 ) usando sua inclinação e y-interceptar.

Responder

Exemplo ( PageIndex {18} )

Represente graficamente a linha da equação (y = −x − 1 ) usando sua inclinação e y-interceptar.

Responder

Agora que traçamos as linhas usando a inclinação e y-intercept, vamos resumir todos os métodos que usamos para representar as linhas do gráfico.

Escolha o método mais conveniente para representar graficamente uma linha

Agora que vimos vários métodos que podemos usar para representar as linhas do gráfico, como sabemos qual método usar para uma dada equação?

Embora possamos traçar pontos, use a forma de interceptação de declive ou encontre as interceptações para algum equação, se reconhecermos a maneira mais conveniente de representar graficamente um certo tipo de equação, nosso trabalho será mais fácil.

Geralmente, plotar pontos não é a maneira mais eficiente de representar graficamente uma linha. Vamos procurar alguns padrões para ajudar a determinar o método mais conveniente para representar graficamente uma linha.

Aqui estão cinco equações que representamos graficamente neste capítulo e o método que usamos para representar graficamente cada uma delas.

[ begin {array} {lll} {} & { textbf {Equation}} & { textbf {Method}} { text {# 1}} & {x = 2} & { text {Vertical line}} { text {# 2}} & {y = −1} & { text {Linha horizontal}} { text {# 3}} & {- x + 2y = 6} & { text {Intercepta}} { text {# 4}} & {4x − 3y = 12} & { text {Intercepta}} { text {# 5}} & {y = −x + 4 } & { text {Inclinação – interceptar}} end {array} nonumber ]

Cada uma das Equações 1 e 2 possui apenas uma variável. Lembre-se, em equações desta forma, o valor dessa variável é constante; não depende do valor da outra variável. As equações desta forma têm gráficos que são linhas verticais ou horizontais.

Nas equações # 3 e # 4, ambos x e y estão do mesmo lado da equação. Essas duas equações têm a forma Ax + By = C.Ax + By = C. Substituímos y = 0y = 0 para encontrar o x- interceptar e x = 0x = 0 para encontrar o y-interceptar e, em seguida, encontrou um terceiro ponto, escolhendo outro valor para x ou y.

A Equação # 5 é escrita na forma de declive-interceptação. Depois de identificar a inclinação e y-interceptar a partir da equação, nós os usamos para representar graficamente a linha.

Isso leva à seguinte estratégia.

ESTRATÉGIA PARA ESCOLHER O MÉTODO MAIS CONVENIENTE PARA GRÁFICAR UMA LINHA

Considere a forma da equação.

  • Se tiver apenas uma variável, é uma linha vertical ou horizontal.
    • (x = a ) é uma linha vertical que passa pelo x-eixo em uma.
    • (y = b ) é uma linha horizontal que passa pelo y-eixo em b.
  • Se y é isolado em um lado da equação, na forma (y = mx + b ), gráfico usando a inclinação e y-interceptar.
    • Identifique a inclinação e y-interceptar e, em seguida, representar graficamente.
  • Se a equação tiver a forma (Ax + By = C ), encontre as interceptações.
    • Encontre o x- e y-intercepta, um terceiro ponto e, em seguida, gráfico.

Exemplo ( PageIndex {19} )

Determine o método mais conveniente para representar graficamente cada linha:

Ⓐ (y = 5 ) ⓑ (4x − 5y = 20 ) ⓒ (x = −3 ) ⓓ (y = - frac {5} {9} x + 8 )

Responder

Ⓐ (y = 5 )
Esta equação tem apenas uma variável, y. Seu gráfico é uma linha horizontal cruzando o y-eixo em (5 ).
Ⓑ (4x − 5y = 20 )
Esta equação tem a forma (Ax + By = C ). A maneira mais fácil de fazer um gráfico será encontrar as interceptações e mais um ponto.
Ⓒ (x = −3 )
Existe apenas uma variável, x. O gráfico é uma linha vertical cruzando o x-eixo em (- 3 ).
Ⓓ (y = - frac {5} {9} x + 8 )
Uma vez que esta equação está na forma (y = mx + b ), será mais fácil representar graficamente esta linha usando a inclinação e y-intercepts.

Exemplo ( PageIndex {20} )

Determine o método mais conveniente para representar graficamente cada linha:

Ⓐ (3x + 2y = 12 ) ⓑ (y = 4 ) ⓒ (y = frac {1} {5} x − 4 ) ⓓ (x = −7 ).

Responder

Ⓐ intercepta ⓑ linha horizontal ⓒ declive-intercepta ⓓ linha vertical

Exemplo ( PageIndex {21} )

Determine o método mais conveniente para representar graficamente cada linha:

Ⓐ (x = 6 ) ⓑ (y = - frac {3} {4} x + 1 ) ⓒ (y = −8 ) ⓓ (4x − 3y = −1 ).

Responder

Ⓐ linha vertical ⓑ declive-interceptação ⓒ linha horizontal
Ⓓ intercepta

Gravar e interpretar aplicações de inclinação-interceptação

Muitos aplicativos do mundo real são modelados por equações lineares. Vamos dar uma olhada em algumas aplicações aqui para que você possa ver como as equações escritas na forma de declive-interceptação se relacionam com situações do mundo real.

Normalmente, quando um modelo de equação linear usa dados do mundo real, letras diferentes são usadas para as variáveis, em vez de usar apenas x e y. Os nomes das variáveis ​​nos lembram quais quantidades estão sendo medidas.

Além disso, frequentemente precisaremos estender os eixos em nosso sistema de coordenadas retangulares para números positivos e negativos maiores para acomodar os dados no aplicativo.

Exemplo ( PageIndex {22} )

A equação (F = frac {9} {5} C + 32 ) é usada para converter temperaturas, C, na escala Celsius para temperaturas, F, na escala Fahrenheit.

Ⓐ Encontre a temperatura Fahrenheit para uma temperatura Celsius de 0.

Ⓑ Encontre a temperatura Fahrenheit para uma temperatura Celsius de 20.

Ⓒ Interprete a inclinação e F-intercepto da equação.

Ⓓ Represente graficamente a equação.

Responder

( begin {array} {ll} { text {Encontre a temperatura Fahrenheit para uma temperatura Celsius de 0}} & {F = frac {9} {5} C + 32} { text {Find F quando C = 0.}} & {F = frac {9} {5} (0) +32} { text {Simplifique.}} & {F = 32} end {array} nenhum número)

( begin {array} {ll} { text {Encontre a temperatura Fahrenheit para uma temperatura Celsius de 20.}} & {F = frac {9} {5} C + 32} { text {Find F quando C = 20.}} & {F = frac {9} {5} (20) +32} { text {Simplifique.}} & {F = 36 + 32} { text { Simplifique.}} & {F = 68} end {array} nonumber )


Interprete a inclinação e F-intercepto da equação.
Mesmo que esta equação use F e C, ainda está em forma de declive-interceptação.

A inclinação, ( frac {9} {5} ), significa que a temperatura Fahrenheit (F) aumenta 9 graus quando a temperatura Celsius (C) aumenta 5 graus.
O F-intercept significa que quando a temperatura é (0 ° ) na escala Celsius, é (32 ° ) na escala Fahrenheit.
Ⓓ Represente graficamente a equação.
Precisamos usar uma escala maior do que o normal. Comece no F-intercepte ((0,32) ) e, em seguida, conte o aumento de 9 e a sequência de 5 para obter um segundo ponto, conforme mostrado no gráfico.

Exemplo ( PageIndex {23} )

A equação (h = 2s + 50 ) é usada para estimar a altura de uma mulher em polegadas, h, com base no tamanho do sapato dela, s.

Ⓐ Estime a altura de uma criança que usa sapato feminino tamanho 0.

Ⓑ Estime a altura de uma mulher com tamanho de sapato 8.

Ⓒ Interprete a inclinação e h-intercepto da equação.

Ⓓ Represente graficamente a equação.

Responder

Ⓐ 50 polegadas
Ⓑ 66 polegadas
Ⓒ A inclinação, 2, significa que a altura, h, aumenta em 2 polegadas quando o tamanho do sapato, s, aumenta em 1. O h-intercept significa que quando o tamanho do sapato é 0, a altura é 50 polegadas.

Exemplo ( PageIndex {24} )

A equação (T = frac {1} {4} n + 40 ) é usada para estimar a temperatura em graus Fahrenheit, T, com base no número de sons de críquete, n, em um minuto.

Ⓐ Estime a temperatura quando não houver sinais sonoros.

Ⓑ Estime a temperatura quando o número de sinais sonoros em um minuto for 100.

Ⓒ Interprete a inclinação e T-intercepto da equação.

Ⓓ Represente graficamente a equação.

Responder

Ⓐ 40 graus
Ⓑ 65 graus
Ⓒ A inclinação, ( frac {1} {4} ), significa que a temperatura Fahrenheit (F) aumenta 1 grau quando o número de chilros, n, aumenta em 4. O T-intercept significa que quando o número de sinais é 0, a temperatura é 40 °.

O custo de funcionamento de alguns tipos de negócios tem dois componentes - um custo fixo e um custo variável. O custo fixo é sempre o mesmo, independentemente de quantas unidades são produzidas. É o custo do aluguel, seguro, equipamento, publicidade e outros itens que devem ser pagos regularmente. O custo variável depende do número de unidades produzidas. É para o material e mão de obra necessários para produzir cada item.

Exemplo ( PageIndex {25} )

Sam dirige uma van de entrega. A equação (C = 0,5m + 60 ) modela a relação entre seu custo semanal, C, em dólares e o número de milhas, m, que ele dirige.

Ⓐ Encontre o custo de Sam por uma semana quando ele dirige 0 milhas.

Ⓑ Descubra o custo por uma semana quando ele dirige 250 milhas.

Ⓒ Interprete a inclinação e C-intercepto da equação.

Ⓓ Represente graficamente a equação.

Responder


( begin {array} {ll} { text {Encontre o custo de Sam por uma semana quando ele dirigir 0 milhas.}} & {C = 0,5m + 60} { text {Encontre C quando m = 0. }} & {C = 0,5 (0) +60} { text {Simplifique.}} & {C = 60} {} & { text {Os custos de Sam são} $ text {60 quando ele dirige 0 milhas.}} end {array} nonumber )

( begin {array} {ll} { text {Encontre o custo de Sam por uma semana quando ele dirigir 250 milhas.}} & {C = 0,5m + 60} { text {Encontre C quando m = 250. }} & {C = 0,5 (250) +60} { text {Simplifique.}} & {C = 185} {} & { text {Os custos de Sam são} $ text {185 quando ele dirige 250 milhas.}} end {array} nonumber )
Ⓒ Interprete a inclinação e C-intercepto da equação.

A inclinação, 0,5, significa que o custo semanal, C, aumenta em US $ 0,50 quando o número de milhas percorridas, n, aumenta em 1.
O C-intercept significa que quando o número de milhas percorridas é 0, o custo semanal é de $ 60.
Ⓓ Represente graficamente a equação.
Precisamos usar uma escala maior do que o normal. Comece no C-intercept ((0,60) ).

Para contar a inclinação (m = 0,5 ), nós a reescrevemos como uma fração equivalente que tornará nossa representação gráfica mais fácil.

( begin {array} {ll} {} & {m = 0,5} { text {Reescrever como uma fração.}} & {m = frac {0,5} {1}} { text { Multiplique o numerador e}} & {} { text {denominador por 100}} & {m = frac {0,5 (100)} {1 (100)}} { text {Simplifique.}} & { m = frac {50} {100}} end {array} nonumber )

Portanto, para representar graficamente o próximo ponto, suba 50 da interceptação de 60 e, em seguida, para 100 à direita. O segundo ponto será ((100, 110) ).

Exemplo ( PageIndex {26} )

Stella tem uma casa comercial que vende pizzas gourmet. A equação (C = 4p + 25 ) modela a relação entre seu custo semanal, C, em dólares e o número de pizzas, p, que ela vende.

Ⓐ Encontre o custo de Stella por uma semana, quando ela não vende pizzas.

Ⓑ Calcule o custo de uma semana quando ela vender 15 pizzas.

Ⓒ Interprete a inclinação e C-intercepto da equação.

Ⓓ Represente graficamente a equação.

Responder

ⓐ $25
ⓑ $85
Ⓒ A inclinação, 4, significa que o custo semanal, C, aumenta em US $ 4 quando o número de pizzas vendidas, p, aumenta em 1. O C-intercept significa que quando o número de pizzas vendidas é 0, o custo semanal é de $ 25.

Exemplo ( PageIndex {27} )

Loreen tem um negócio de caligrafia. A equação (C = 1,8n + 35 ) modela a relação entre seu custo semanal, C, em dólares e o número de convites de casamento, n, que ela escreve.

Ⓐ Descubra o custo de Loreen por uma semana quando ela não escreve convites.

Ⓑ Descubra o custo de uma semana quando ela escrever 75 convites.

Ⓒ Interprete a inclinação e C-intercepto da equação.

Ⓓ Represente graficamente a equação.

Responder

ⓐ $35
ⓑ $170
Ⓒ A inclinação, (1,8 ), significa que o custo semanal, C, aumenta em ($ 1,80 ) quando o número de convites, n, aumenta em 1.
O C-intercept significa que quando o número de convites é 0, o custo semanal é de $ 35.

Use inclinações para identificar linhas paralelas e perpendiculares

Duas linhas que têm a mesma inclinação são chamadas linhas paralelas. As linhas paralelas têm a mesma inclinação e nunca se cruzam.

Dizemos isso mais formalmente em termos do sistema de coordenadas retangulares. Duas linhas que têm a mesma inclinação e diferentes y-intercepts são chamados de linhas paralelas. Ver Figura.

Verifique se ambas as linhas têm a mesma inclinação, (m = frac {2} {5} ), e diferentes y-intercepts.

E quanto às linhas verticais? A inclinação de uma linha vertical é indefinida, portanto, as linhas verticais não se encaixam na definição acima. Dizemos que as linhas verticais que têm diferentes x-intercepts são paralelos, como as linhas mostradas neste gráfico.

LINHAS PARALELAS

Linhas paralelas são linhas no mesmo plano que não se cruzam.

  • Linhas paralelas têm a mesma inclinação e diferentes y-intercepts.
  • Se m1m1 e m2m2 são as inclinações de duas linhas paralelas, então m1 = m2.m1 = m2.
  • Linhas verticais paralelas têm diferentes x-intercepta

Uma vez que as linhas paralelas têm a mesma inclinação e diferentes y-interceptos, podemos agora apenas olhar para a forma de interceptação da inclinação das equações das retas e decidir se as retas são paralelas.

Exemplo ( PageIndex {28} )

Use declives e y-intercepta para determinar se as linhas são paralelas:

Ⓐ (3x − 2y = 6 ) e (y = frac {3} {2} x + 1 ) ⓑ (y = 2x − 3 ) e (- 6x + 3y = −9 ) .

Responder


( begin {array} {llll} {} & {3x − 2y = 6} & { text {and}} & {y = frac {3} {2} x + 1} {} & { −2y = −3x + 6} & {} & {} { text {Resolva a primeira equação para y.}} & { Frac {-2y} {- 2} = frac {-3x + 6} {-2}} & {} & {} { text {A equação está agora na forma de declive-interceptação.}} & {Y = frac {3} {2} x − 3} & {} & { } { text {A equação da segunda linha já está}} & {} & {} & {} { text {na forma de declive-interceptação.}} & {} & {} & {y = frac {3} {2} x + 1} {} & {} & {} & {} {} & {y = frac {3} {2} x − 3} & {} & { y = frac {3} {2} x + 1} {Identifique a inclinação e a interceptação y de ambas as linhas.} & {y = mx + b} & {} & {y = mx + b} { } & {m = frac {3} {2}} & {} & {y = frac {3} {2}} {} & { text {interceptação de y é} (0, −3) } & {} & { text {interceptação de y é} (0,1)} end {array} nonumber )
As linhas têm a mesma inclinação e diferentes y-intercepta e então eles são paralelos.
Você pode querer representar graficamente as linhas para confirmar se elas são paralelas.


( begin {array} {llll} {} & {y = 2x − 3} & { text {and}} & {- 6x + 3y = −9} { text {A primeira equação já está em forma de declive-interceptação.}} & {y = 2x − 3} & {} & {} {} & {} & {} & {- 6x + 3y = −9} {} & {} & { } & {3y = 6x − 9} { text {Resolva a segunda equação para y.}} & {} & {} & { Frac {3y} {3} = frac {6x − 9} {3 }} {} & {} & {} & {y = 2x − 3} { text {A segunda equação está agora na forma de declive-interceptação.}} & {} & {} & {y = 2x −3} {} & {} & {} & {} {} & {y = 2x − 3} & {} & {y = 2x − 3} { text {Identifique a inclinação andy- interceptar ambas as linhas.}} & {y = mx + b} & {} & {y = mx + b} {} & {m = 2} & {} & {m = 2} {} & { text {a interceptação de y é} (0, −3)} & {} & { text {a interceptação de y é} (0, -3)} end {array} nonumber )
As linhas têm a mesma inclinação, mas também têm o mesmo y-intercepts. Suas equações representam a mesma linha e dizemos que as linhas são coincidentes. Eles não são paralelos; eles são da mesma linha.

Exemplo ( PageIndex {29} )

Use declives e y-intercepta para determinar se as linhas são paralelas:

Ⓐ (2x + 5y = 5 ) e (y = - frac {2} {5} x − 4 ) ⓑ (y = - frac {1} {2} x − 1 ) e (x + 2y = −2 ).

Responder

Ⓐ paralelo ⓑ não paralelo; mesma linha

Exemplo ( PageIndex {30} )

Use declives e y-intercepta para determinar se as linhas são paralelas:

Ⓐ (4x − 3y = 6 ) e (y = frac {4} {3} x − 1 ) ⓑ (y = frac {3} {4} x − 3 ) e (3x −4y = 12 ).

Responder

Ⓐ paralelo ⓑ não paralelo; mesma linha

Exemplo ( PageIndex {31} )

Use declives e y-intercepta para determinar se as linhas são paralelas:

Ⓐ (y = −4 ) e (y = 3 ) ⓑ (x = −2 ) e (x = −5 ).

Responder

Ⓐ (y = −4 ) e (y = 3 )

Reconhecemos imediatamente a partir das equações que essas são linhas horizontais e, portanto, sabemos que suas inclinações são 0.
Uma vez que as linhas horizontais cruzam o y-eixo em y = −4y = −4 e em y = 3, y = 3, sabemos o y-interceptos são (0, −4) (0, −4) e (0,3). (0,3).
As linhas têm a mesma inclinação e diferentes y-intercepta e então eles são paralelos.

Ⓑ (x = −2 ) e (x = −5 )

Reconhecemos imediatamente a partir das equações que essas são linhas verticais e, portanto, sabemos que suas inclinações são indefinidas.
Uma vez que as linhas verticais cruzam o x-eixo em (x = −2 ) e (x = −5 ), sabemos o y-interceptações são ((- 2,0) ) e ((- 5,0) ).
As linhas são verticais e têm diferentes x-intercepta e então eles são paralelos.

Exemplo ( PageIndex {32} )

Use declives e y-intercepta para determinar se as linhas são paralelas:

Ⓐ (y = 8 ) e (y = −6 ) ⓑ (x = 1 ) e (x = −5 ).

Responder

Ⓐ paralelo ⓑ paralelo

Exemplo ( PageIndex {33} )

Use declives e y-intercepta para determinar se as linhas são paralelas:

Ⓐ (y = 1 ) e (y = −5 ) ⓑ (x = 8 ) e (x = −6 ).

Responder

Ⓐ paralelo ⓑ paralelo

Vejamos as linhas cujas equações são (y = frac {1} {4} x − 1 ) e (y = −4x + 2 ), mostradas em Figura.

Essas linhas estão no mesmo plano e se cruzam em ângulos retos. Chamamos essas linhas perpendiculares.

Se olharmos para a inclinação da primeira linha, (m_1 = frac {1} {4} ), e a inclinação da segunda linha, (m_2 = −4 ), podemos ver que eles são recíprocos negativos de cada um. Se os multiplicarmos, seu produto será (- 1 ).

[ begin {array} {l} {m_1 · m_2} {14 (−4)} {−1} end {array} nonumber ]

Isso sempre é verdade para linhas perpendiculares e nos leva a esta definição.

LINHAS PERPENDICULARES

Linhas perpendiculares são linhas no mesmo plano que formam um ângulo reto.

  • Se (m_1 ) e (m_2 ) são as inclinações de duas retas perpendiculares, então:
    • suas inclinações são recíprocas negativas entre si, (m_1 = - frac {1} {m_2} ).
    • o produto de suas inclinações é (- 1 ), (m_1 · m_2 = −1 ).
  • Uma linha vertical e uma linha horizontal são sempre perpendiculares uma à outra

Fomos capazes de olhar para a forma de interceptação da inclinação das equações lineares e determinar se as linhas eram paralelas ou não. Podemos fazer a mesma coisa para linhas perpendiculares.

Encontramos a forma inclinação-interceptação da equação e, em seguida, vemos se as inclinações são recíprocas opostas. Se o produto das inclinações for (- 1 ), as linhas são perpendiculares.

Exemplo ( PageIndex {34} )

Use inclinações para determinar se as linhas são perpendiculares:

Ⓐ (y = −5x − 4 ) e (x − 5y = 5 ) ⓑ (7x + 2y = 3 ) e (2x + 7y = 5 )

Responder


A primeira equação está na forma de inclinação-interceptação. Resolva a segunda equação para y. Identifique a inclinação de cada linha.y = −5x − 4yym1 = −5x − 4 = mx + b = −5x − 5y − 5y − 5y − 5y = 5 = −x + 5 = −x + 5−5 = 15x − 1yym2 = 15x − 1 = mx + b = 15 A primeira equação está na forma de declive-interceptação.y = −5x − 4 Resolva a segunda equação paray.x − 5y = 5−5y = −x + 5−5y − 5 = −x + 5−5y = 15x − 1 Identifique a inclinação de cada linha.y = −5x − 4y = mx + bm1 = −5y = 15x − 1y = mx + bm2 = 15
As inclinações são recíprocas negativas entre si, então as linhas são perpendiculares. Verificamos multiplicando as inclinações, Dado que −5 (15) = - 1, −5 (15) = - 1, ele verifica.


Resolva as equações para y. Identifique a inclinação de cada linha.7x + 2y2y2y2y = 3 = −7x + 3 = −7x + 32 = −72x + 32ym1 = mx + b = −722x + 7y7y7y7y = 5 = −2x + 5 = - 2x + 57 = −27x + 57ym1 = mx + b = −27 Resolva as equações fory.7x + 2y = 32y = −7x + 32y2 = −7x + 32y = −72x + 322x + 7y = 57y = −2x + 57y7 = - 2x + 57y = −27x + 57 Identifique a inclinação de cada linha.y = mx + bm1 = −72y = mx + bm1 = −27
As encostas são recíprocas, mas têm o mesmo sinal. Como não são recíprocos negativos, as linhas não são perpendiculares.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Use inclinações para determinar se as linhas são perpendiculares:

Ⓐ (y = −3x + 2 ) e (x − 3y = 4 ) ⓑ (5x + 4y = 1 ) e (4x + 5y = 3 ).

Responder

Ⓐ perpendicular ⓑ não perpendicular

Exemplo ( PageIndex {3} )

Use inclinações para determinar se as linhas são perpendiculares:

Ⓐ (y = 2x − 5 ) e (x + 2y = −6 ) ⓑ (2x − 9y = 3 ) e (9x − 2y = 1 ).

Responder

Ⓐ perpendicular ⓑ não perpendicular

Conceitos chave

  • Declive de uma linha
    • A inclinação de uma linha é (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).
    • O aumento mede a mudança vertical e a corrida mede a mudança horizontal.
  • Como encontrar a inclinação de uma linha em seu gráfico usando (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).
    1. Localize dois pontos na linha cujas coordenadas são inteiros.
    2. Começando com um ponto, esboce um triângulo retângulo, indo do primeiro ponto ao segundo ponto.
    3. Conte a subida e a corrida nas pernas do triângulo.
    4. Pegue a razão de subida para correr para encontrar a inclinação: (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).
  • Inclinação de uma linha entre dois pontos.
    • A inclinação da linha entre dois pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ) é:

      [m = frac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} nonumber ].

  • Como representar graficamente uma linha a partir de um ponto e da inclinação.
    1. Trace o ponto dado.
    2. Use a fórmula de inclinação (m = frac { text {subida}} { text {corrida}} ) para identificar a subida e a corrida.
    3. Começando no ponto determinado, conte a subida e corra para marcar o segundo ponto.
    4. Conecte os pontos com uma linha.
  • Forma de Interceptação de Inclinação de uma Equação de uma Linha
    • A forma de inclinação-interceptação de uma equação de uma linha com inclinação m e y-intercept, ((0, b) ) é (y = mx + b )
  • Linhas paralelas
    • Linhas paralelas são linhas no mesmo plano que não se cruzam.
      Linhas paralelas têm a mesma inclinação e diferentes y-intercepts.
      Se (m_1 ) e (m_2 ) são as inclinações de duas linhas paralelas, então (m_1 = m_2 ).
      Linhas verticais paralelas têm diferentes x-intercepts.
  • Linhas perpendiculares
    • As linhas perpendiculares são linhas no mesmo plano que formam um ângulo reto.
    • Se (m_1 ) e (m_2 ) são as inclinações de duas retas perpendiculares, então:
      suas inclinações são recíprocas negativas entre si, (m_1 = - frac {1} {m_2} ).
      o produto de suas inclinações é (- 1 ), (m_1 · m_2 = −1 ).
    • Uma linha vertical e uma linha horizontal são sempre perpendiculares entre si.

Glossário

linhas paralelas
Linhas paralelas são linhas no mesmo plano que não se cruzam.
linhas perpendiculares
As linhas perpendiculares são linhas no mesmo plano que formam um ângulo reto.

5.3: Interpretando a inclinação de uma linha

  • Contribuição de Larry Green
  • Professor (matemática) no Lake Tahoe Community College

Um problema comum quando aprendemos sobre a equação de uma reta em álgebra é declarar a inclinação como um número, mas não temos ideia do que ela representa no mundo real. A inclinação de uma linha é a subida ao longo do percurso. Se a inclinação for dada por um valor inteiro ou decimal, podemos sempre colocá-la sobre o número 1. Nesse caso, a linha aumenta pela inclinação quando é 1. & quotCorrida 1 & quot significa que o valor x aumenta em 1 unidade. Portanto, a inclinação representa o quanto o valor de y muda quando o valor de x muda em 1 unidade. Em estatística, especialmente na análise de regressão, o valor x tem significado na vida real, assim como o valor y.

Foi feito um estudo para ver a relação entre o tempo que leva, (x ), para concluir um diploma universitário e a dívida de empréstimo do estudante contraída, (y ). A equação da linha de regressão foi considerada:

Interprete a inclinação da linha de regressão no contexto do estudo.

Primeiro, observe que a inclinação é o coeficiente na frente de (x ). Portanto, a inclinação é 14.329. Em seguida, a inclinação é a elevação sobre o lance, portanto, ajuda a escrever a inclinação como uma fração:

O aumento é a variação em (y ) e (y ) representa a dívida do empréstimo estudantil. Assim, o numerador representa um aumento de $ 14.329 da dívida de empréstimos estudantis. A corrida é a mudança em (x ) e (x ) representa o tempo que leva para completar um diploma universitário. Assim, o denominador representa um acréscimo de 1 ano para a conclusão do curso superior. Podemos juntar tudo isso e interpretar a inclinação como nos dizendo que, para cada ano adicional necessário para concluir um diploma universitário, em média, a dívida do empréstimo estudantil aumenta em $ 14.329.

Suponha que um grupo de pesquisa testasse o nível de colesterol de uma amostra de mulheres de 40 anos e depois esperasse muitos anos para ver a relação entre o nível de colesterol HDL de uma mulher em mg / dl, (x ), e sua idade de morte, (y ). A equação da linha de regressão foi considerada:

Interprete a inclinação da linha de regressão no contexto do estudo.

A inclinação da linha de regressão é -0,3. A inclinação como uma fração é:

O aumento é a mudança em (y ) e (y ) representa a idade da morte. Como a inclinação é negativa, o numerador indica uma diminuição na vida útil. Assim, o numerador representa uma diminuição na expectativa de vida de 0,3 anos. A corrida é a mudança em (x ) e (x ) representa o nível de colesterol HDL. Assim, o denominador representa um aumento do nível de colesterol HDL de 1 mg / dl. Agora, junte tudo isso e interprete a inclinação como nos dizendo que para cada 1 mg / dl adicional de colesterol HDL, em média as mulheres morrem 0,3 anos mais jovens.

Um pesquisador perguntou a vários funcionários que trabalhavam horas extras & quotQuantas horas extras você trabalhou na semana passada? & Quot e & quotEm uma escala de 1 a 10 quão satisfeito você está com seu trabalho? & Quot. O gráfico de dispersão e a linha de regressão deste estudo são mostrados abaixo.

Interprete a inclinação da linha de regressão no contexto do estudo.

Primeiro, precisamos determinar a inclinação da linha de regressão. Para encontrar a inclinação, obtemos dois pontos com as melhores coordenadas possíveis. No gráfico, vemos que a reta passa pelos pontos (10,6) e (15,4). A inclinação da linha de regressão agora pode ser encontrada usando a fórmula de aumento da corrida:

O aumento é a mudança em (y ) e (y ) representa o índice de satisfação no trabalho. Como a inclinação é negativa, o numerador indica uma diminuição na satisfação com o trabalho. Assim, o numerador representa uma diminuição na satisfação no trabalho de 2 na escala de 1 a 10. A corrida é a mudança em (x ) e (x ) representa as horas extras de trabalho. Assim, o denominador representa um acréscimo de 5 horas extras de trabalho. Agora, junte tudo isso e interprete a inclinação como nos dizendo que para cada 5 horas extras de trabalho que os funcionários são solicitados a fazer, sua satisfação no trabalho cai em média 2 pontos.

O gráfico de dispersão e a linha de regressão abaixo são de um estudo que coletou dados sobre a população (em centenas de milhares) de cidades e o número médio de horas por semana que os residentes da cidade passam ao ar livre.


Inclinação Negativa

Os exemplos abaixo mostram que à medida que x aumenta, y diminui. Isso resulta em uma inclinação negativa que desce da esquerda para a direita.

Gerador de gráfico!

Insira a inclinação (m) e a interceptação em y (b) abaixo, em seguida, clique Desenhar linha

Desenho da equação y = 2x & # 8211 1


Qual é a inclinação de uma linha?

As linhas são usadas para rastrear muitas informações, como quanto dinheiro uma empresa ganha. De cara, qual das linhas acima você gostaria de descrever os lucros da SUA empresa? Se a linha está inclinada para cima ou para baixo, de repente, torna-se MUITO importante!

Agora vou apresentá-lo a

Pierre, a formiga alpinista

(Ele é um super-herói matemático patético.)

Para encostas, Pierre vai andar nas linhas da esquerda para a direita
- assim como lemos.

As encostas subidas são positivas.
A inclinação será um número positivo como 5 ou 2/3.

As encostas em declive são negativas.
A inclinação será um número negativo como -7 ou -1/3.

Existem três maneiras de encontrar a inclinação de uma linha. Dois deles estão nas próximas duas lições e o terceiro vem depois.


5.3: Declive de uma linha

Encontrar (m1)(m2) usando (7) e (9):

A inclinação da linha do ângulo PQ formulários com o x-eixo é 2,32. Qual é a medida desse ângulo?

Solução. Denote a medida do ângulo por d. Então,

Usando a definição do inverso da função tangente,

Determinar d usando a tecla [tan & ndash1] em uma calculadora científica:

Vídeo Instrução
* A disponibilidade dos links de vídeo do You Tube pode variar. A eTAP não tem controle desses materiais.

para alunos, pais e professores

Nas Lições 5-1, 5-2 e 5-3, aprendemos as definições e aplicações dos seguintes conceitos:

Inversa da Função Seno: para a função y = pecado x, a função inversa é definida por x = sin & ndash1 y, onde & ndash1 y 1. Inversa da função cosseno: deixando y = cos x, o inverso da função y é a função g = x = cos & ndash1 y. Isso significa que x ou g é uma função tal que seu cosseno é igual y. As funções g e y são equivalentes. Ou seja, podemos deduzir um do outro.

Computações trigonométricas: além das fórmulas que aprendemos até agora, existem grupos de outras fórmulas trigonométricas que são vitais em computações trigonométricas.

Tangente como inclinação de uma linha: a inclinação de uma linha é a tangente do ângulo que ela forma com o x-eixo. (topo)


Você pode encontrar a inclinação de qualquer linha seguindo estas três etapas fáceis:

Passo um: Determine se a inclinação é positiva (crescente) ou negativa (decrescente)

Passo dois: Usando dois pontos na linha, calcule a subida e a corrida e expresse-os como uma fração (subida sobre a corrida).

Passo três: Simplifique a fração, se possível.

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos!

EXEMPLO: Encontre a inclinação da linha abaixo.

Passo um: Determine se a inclinação é positiva (crescente) ou negativa (decrescente)

Observe que a linha está aumentando da esquerda para a direita, então sabemos que essa linha tem uma inclinação positiva!

Passo dois: Usando dois pontos na linha, calcule a subida e a corrida e expresse-os como uma fração (subida sobre a corrida).

Para este exemplo, vamos começar escolhendo o ponto mais distante à esquerda (-9, -6) e o ponto mais distante à direita (9,6).

Para encontrar a subida sobre a corrida, desenhe uma linha vertical que sobe de (-9,6) e uma linha horizontal que vai para (9,6), então conte quantas unidades você teve que viajar para cima (subir) e quantas até o direita (executar) e expressá-lo como uma fração da seguinte forma:

Rise over run é como construir uma escada!

Passo três: Simplifique a fração, se possível.

Agora, você pode dizer que a inclinação da linha é 12/18. Mas 6/9 também é equivalente a 12/18, então vamos ver como ficaria no gráfico começando do primeiro ponto (-9, -6) e desta vez subindo 6 e correndo para a direita 9 unidades repetidamente do seguinte modo:

Observe como você acaba no mesmo lugar!

Neste ponto, está claro que a linha tem uma inclinação de 12/18 e uma inclinação de 6/9.

Mas não queremos ter várias inclinações para a mesma linha, então você sempre expressará a inclinação de uma linha da forma mais simples ou reduzida.

Neste exemplo, as inclinações de 18/12 e 9/6 podem ser simplificadas para 2/3 da seguinte forma:

E como 2/3 não pode ser mais simplificado, você pode concluir que:

Resposta final: A linha tem uma inclinação positiva de 2/3


2 respostas 2

Em duas dimensões, costumamos escrever uma linha no formato $ y = mx + b. $

No entanto, existem outras formas equivalentes. Dado um ponto $ (x_0, y_0) $ em uma linha e a inclinação da linha, também podemos escrever $ y - y_0 = m (x - x_0). $

Uma desvantagem desta fórmula é que ela não pode expressar linhas onde $ x $ é constante, por exemplo, a linha $ x = 3 $ (este problema surge porque definimos $ y $ como uma função de $ x $). Para remediar este problema, podemos escrever a linha na forma paramétrica: $ left < begin<> y = y_0 + m_yt x = x_0 + m_xt end certo. $

Podemos tornar esta fórmula um pouco mais compacta usando a notação vetorial:

$ langle x, y rangle = langle x_0, y_0 rangle + t langle m_x, m_y rangle. $

Nesta forma, chamamos o vetor $ langle m_x, m_y rangle $ de vetor de direção. Acontece que o vetor de direção é um análogo útil da inclinação em dimensões superiores: em duas dimensões, a razão entre a mudança em $ x $ e $ y $ é $ Delta x: Delta y = m_x: m_y $, e isso é verdadeiro mesmo se $ Delta x = 0, Delta y not = 0 $.

Em três dimensões, temos

$ langle x, y, z rangle = langle x_0, y_0, z_0 rangle + t langle m_x, m_y, m_z rangle. $

Para o seu exemplo específico, podemos escolher $ langle x_0, y_0, z_0 rangle = langle 5,5,5 rangle $, $ langle m_x, m_y, m_z rangle = langle 1,2,3 rangle - langle5,5,5 rangle = langle-4, -3, -2 rangle $, então a linha pode ser expressa como

$ langle x, y, z rangle = langle 5,5,5 rangle + t langle -4, -3, -2 rangle, $

e a linha tem o vetor de direção $ langle -4, -3, -2 rangle $. Observe que variando o valor de $ t $, podemos obter outros pontos na linha: $ t = 0 $ corresponde a $ p_1 $, $ t = 1 $ corresponde a $ p_2 $ e outros valores de $ t $ corresponderão para outros pontos.

Você pode encontrar mais informações sobre como escrever linhas em três dimensões como funções vetoriais aqui.


A INCLINAÇÃO DE ALINHA RETA

NA LIÇÃO ANTERIOR, pegamos a equação de uma linha reta. Desenhar o gráfico da equação de uma linha deve ser uma habilidade básica.

Considere esta linha reta. As coordenadas (x, y) em B mudaram das coordenadas em A. Pelo símbolo & Delta x ("delta x") queremos dizer a mudança na coordenada x -co & ouml. Isso é,

(Quanto ao uso dos subscritos 1 e 2, consulte a Lição 32, a seção A distância entre dois pontos quaisquer.)

Da mesma forma, & Delta y ("delta y") significa a mudança resultante nas coordenadas y -co & ouml.

& Delta x é a perna horizontal desse triângulo retângulo & Delta y é a perna vertical.

Por inclinação de uma linha reta, então, queremos dizer este número:

Se o valor de y mudar em 2 unidades quando o valor de x mudar em 3, então a inclinação dessa linha é.

O que significa inclinação? Ele indica a taxa na qual uma mudança no valor de x produz uma mudança no valor de y. 2 unidades de y por - para cada - 3 unidades de x.

Para cada 3 unidades que a linha se move para a direita, ela se moverá para cima 2. Isso acontecerá entre quaisquer dois pontos dessa linha. Acima de 6 e acima de 4, acima de 15 e acima de 10. Porque uma linha reta tem uma e somente uma inclinação. (Teorema 8.1 do Pré-cálculo.)

Em cada linha acima, o x -co & oumlrdinate aumentou em 1 unidade. Na linha da esquerda, entretanto, o valor de y aumentou muito mais do que na linha da direita. A linha da esquerda tem uma inclinação maior do que a linha da direita. O valor de y mudou a uma taxa muito maior.

Se o eixo x representa o tempo e a distância do eixo y, como é o caso em muitas aplicações, então a taxa de variação de y em relação a x - da distância em relação ao tempo - é chamada de velocidade ou velocidade. Tantas milhas por hora ou metros por segundo.

Qual linha dizemos que está inclinada "para cima"? E qual é a inclinação "para baixo"?

Uma vez que imaginamos nos mover ao longo do eixo x da esquerda para a direita, dizemos que a linha da esquerda está se inclinando para cima e a linha da direita para baixo.

Além disso, uma linha que sobe tem uma inclinação positiva. Enquanto uma linha que desce tem uma inclinação negativa.

Pois, tanto as coordenadas x - ey - co & oumlrdinates de B são maiores do que as co & oumlrdinates de A, de modo que ambas & Delta xe & Delta y são positivas. Portanto, seu quociente, que é a inclinação, é positivo.

Mas enquanto o x -co & coordenada de D é maior que o x -co & coordenado de C, de modo que & Delta x é positivo, o y -co & coordenado de D é menor que o y -co & coordenado de C & Delta y, 5 & menos 8, é negativo . Portanto, esse quociente é negativo.

Exemplo 1. Qual é o número da inclinação de cada linha?

Você deve ver imediatamente que esta é uma linha de inclinação positiva. Não se deixe enganar pelo x-co & oumlrdinate & minus2. & Deltax ainda é positivo. Na verdade, você deve sempre considerar o & Deltax como positivo. Deixe o & Deltay determinar o sinal.

A inclinação desta linha é & frac12.

Você deve ver que esta é uma linha de inclinação negativa. Seu valor é & menos3.

Problema 1. Qual é o número da inclinação de cada linha?

Para ver a resposta, passe o mouse sobre a área colorida.
Para cobrir a resposta novamente, clique em "Atualizar" ("Atualizar").
Resolva o problema sozinho primeiro!

a) b)
2
3
& menos 1
c) d)
4 & menos 3
e)
0

Linhas horizontais e verticais

Qual é o número da inclinação de uma linha horizontal - ou seja, uma linha paralela ao eixo x? E qual é a inclinação de uma linha vertical?

Uma linha horizontal tem inclinação 0, porque embora o valor de x mude, o valor de y não muda. & Delta y = 0.

Uma linha vertical, entretanto, não tem inclinação. A inclinação mostra como y -co & oumlrdinate muda quando x -co & oumlrdinate muda. Mas o x -co & oumlrdinate não muda. & Delta x = 0.

a) Quais linhas numeradas têm inclinação positiva? 2 e 4.

b) Quais linhas numeradas têm inclinação negativa? 1 e 3.

c) Qual declive tem a linha horizontal 5? 0

d) Qual é a inclinação da linha vertical 6? Não tem declive.

Exemplo 2. Calcule a inclinação da reta que passa pelos pontos (3, 6) e (1, 2).

Solução Para resolver este problema, aqui está novamente a definição da inclinação. É este número:

Portanto, a inclinação da linha que passa por (3, 6) e (1, 2) é:

& Delta y
& Delta x
= 6 e menos 2
3 e menos 1
= 4
2
= 2
1
= 2.

Nota: Não importa qual ponto chamamos de primeiro e qual é o segundo. Mas se calcularmos & Delta y começando com (3, 6), devemos calcular & Delta x também começando com (3, 6).

Quanto ao significado da inclinação 2: Na reta que une esses dois pontos, para cada 1 unidade o valor de x muda, o valor de y muda em 2 unidades. Essa é a taxa de variação de y em relação a x. 2 para cada 1.

Problema 3. Calcule a inclinação da reta que une esses pontos.

a) (1, 5) e (4, 17) b) (& menos 3, 11) e (& menos 5, 15)
17 e menos 5
4 e menos 1
= 12
3
= 4 _ 15 e menos 11 _
& menos5 e menos (& menos3)
= 4
& menos 2
= & menos2.
c) (1, & menos1) e (& menos7, & menos5) d) (2, & menos9) e (& menos2, & menos5)
& menos5 e menos (& menos1)
& menos7 e menos 1
= & menos 4
& menos8
= & frac12 & menos9 e menos (& menos5)
2 e menos (e menos 2)
= & menos 4
4
= & menos1

é chamada de forma declive-interceptação da equação de uma linha reta. Porque, como podemos provar (Tópico 9 do Pré-cálculo): a é a inclinação da reta eb é o intercepto y.

Problema 4. Qual é o número da inclinação de cada linha e qual é o significado de cada inclinação?

A inclinação é 5. Isso significa que y aumenta 5 unidades para cada 1 unidade x aumenta. Essa é a taxa de variação de y em relação a x.

Isso significa que y diminui 2 unidades para cada 3 unidades de x ..

a) Escreva a equação da reta cuja inclinação é 3 e cujo intercepto y é 1.

b) Escreva a equação da reta cuja inclinação é & menos1 e cujo intercepto y é & menos2.

c) Escreva a equação da reta cuja inclinação é e que passa pela origem.
y = 2
3
x. O intercepto y b é 0.

Problema 6. No Problema 1, escreva a equação de cada linha.

a) y = 2
3
x e menos 2. b) y = & menos x + 1.
c) y = 4 x + 2. d) y = & menos 3 x & menos 3.
e) y = 0.

onde A, B, C são inteiros (Lição 2), é chamada a forma geral da equação de uma linha reta.

Problema 7. Qual é o número da inclinação de cada linha e qual é o significado de cada inclinação?

Esta linha está na forma geral. Somente quando a linha está na forma de declive-interceptação, y = ax + b, é que a inclinação é a. Portanto, ao resolver y: y = & menos x + 5. A inclinação, portanto, é & menos1. Isso significa que o valor de y diminui 1 unidade para cada unidade que o valor de x aumenta.

5, aliás, é b, o intercepto y.

b) 2 x e menos 3 y + 6 = 0
& menos 3 anos = & menos 2 x & menos 6
y = 2
3
x + 2, sobre a divisão de cada termo por & menos3.

a linha ultrapassa, sobe 2.

c) A x + B y + C = 0
De = & menosA x & menos C
y = &menos UMA
B
x &menos C
B
, sobre a divisão de cada termo por B.

Podemos ver isso como uma fórmula para a inclinação quando a equação está na forma geral. Por exemplo, se a equação for

Linhas paralelas e perpendiculares

As linhas retas serão paralelas se tiverem a mesma inclinação. A seguir estão as equações de linhas paralelas:

Eles têm a mesma inclinação 3.

As linhas retas serão perpendiculares se

Se m é a inclinação de uma linha, então uma linha perpendicular tem inclinação e menos.

Para ser específico, se uma linha tem inclinação 4, então toda linha perpendicular a ela tem inclinação e menos e frac14.

Problema 8. Quais dessas linhas são paralelas e quais são perpendiculares?

a) y = 2 x + 3 b) y = & menos 2 x + 3 c) y = & frac12 x + 3 d) y = 2 x e menos 3

a) ed) são paralelos. b) ec) são perpendiculares.

Problema 9. Se uma linha tem inclinação 5, então qual é a inclinação de uma linha perpendicular a ela?

Problema 10. Se uma linha tem inclinação e menos, então qual é a inclinação de uma linha perpendicular?

Problema 11. Se uma linha tem a equação y = 6 x & menos 5, então qual é a inclinação de uma linha perpendicular?

Teorema: As inclinações das linhas perpendiculares

Se duas linhas retas são perpendiculares uma à outra, o produto de suas inclinações é & menos1.

Ou seja: Se a inclinação de uma linha é m, então a inclinação da perpendicular

Seja L 1 uma linha reta, e deixe a reta perpendicular L 2 cruzar L 1 no ponto A.

Seja L 1 a inclinação m 1, e seja L 2 a inclinação m 2. Suponha que m 1 seja positivo. Então m 2, como veremos, deve ser negativo.

Desenhe uma linha reta AB de comprimento 1 paralela ao eixo xe desenhe BC perpendicularmente a AB igual em comprimento a m 1.

Estenda CB em linha reta para juntar-se a L 2 em D.

Agora, como a linha reta L 2 tem uma inclinação m 2 (Teorema 8.1 do Pré-cálculo), o comprimento de BD será | m 2 |. Pois, ao ir de A para D em L 2, vamos além de 1 e para baixo | m 2 |.

Ou seja, m 2 é um número negativo.

Ângulo CAD é um ângulo reto. Portanto, o ângulo a é o complemento do ângulo & # 223.

Mas o triângulo ABD é retângulo e, portanto, o ângulo em D também é o complemento do ângulo & # 223

portanto, o ângulo em D é igual ao ângulo a.

Os triângulos retângulos ABC, ABD, portanto, são semelhantes (Tópico 5 de Trigonometria),

e os lados opostos aos ângulos iguais são proporcionais:

Mas m 2 é negativo. Portanto,

Que é o que queríamos provar.

Faça uma doação para manter o TheMathPage online.
Mesmo $ 1 ajudará.


1) Escolha dois pontos quaisquer na linha. (Escolha pontos com coordenadas inteiras para tornar sua vida mais fácil.)

2) Desenhe uma linha vertical descendo do ponto mais alto.

3) Desenhe uma linha horizontal a partir do outro ponto de forma que ela encontre a linha vertical.

4) Agora você tem um triângulo retângulo, chamado de triângulo de inclinação. Encontre os comprimentos das pernas verticais e horizontais.

5) Divida o comprimento da perna vertical (a “subida”) pelo comprimento da perna horizontal (a “corrida”). Este quociente é a inclinação da linha.

Portanto, a inclinação da linha neste exemplo é 1 3.

Se o ângulo direito estiver no lado esquerdo do triângulo, a inclinação é negativa.


Relacionado

Se você gosta da Calculadora de Formulário de Interceptação de Inclinação, considere adicionar um link para esta ferramenta copiando / colando o seguinte código:

Faça-nos um favor e responda a 3 perguntas rápidas

Obrigado por participar no nosso inquérito. Sua opinião nos ajudará a melhorar nossos serviços.

SUPORTE MINIWEBTOOL

Gastamos muito tempo e dinheiro todos os anos para que você possa acessar, GRATUITAMENTE, centenas de ferramentas e calculadoras. Isso só é possível graças à publicidade em nosso site.

Por favor, ajude-nos a continuar a fornecer a você ferramentas online gratuitas e de qualidade desativando seu bloqueador de anúncios ou assinando nossa versão Premium 100% gratuita de anúncios. Para obter instruções sobre como desativar seu bloqueador de anúncios, clique aqui.


Matemática Pré-cálculo Matemática em Nebraska

Na seção anterior, vimos que os gráficos de equações lineares em duas variáveis ​​formam linhas retas. Ao representar graficamente as linhas, existem duas características definidoras dos gráficos: onde a linha se encontra no plano e como a linha se encontra no plano. Nesta seção, estamos principalmente preocupados em como as linhas se situam no plano, ou seja, o quão íngreme a linha é em relação aos eixos.

Nesta seção, você vai.

identificar a inclinação de uma linha de seu gráfico

calcule a inclinação de uma linha dados dois pontos nessa linha

explore as diferentes possibilidades geométricas de linhas, incluindo linhas verticais e horizontais

calcular o dado um cenário do mundo real modelado por uma equação linear

Subseção Significado da Inclinação

A inclinação de qualquer inclinação pode ser medida como a proporção da mudança vertical em relação à mudança horizontal. Por exemplo, uma inclinação de (5 )% pode ser escrita como ( frac <5> <100> text <,> ) o que significa que para cada 100 pés à frente, a altura aumenta 5 pés.

Em matemática, chamamos a inclinação de uma linha de, denotada pela letra (m text <.> ) A mudança vertical é chamada de subida e a mudança horizontal é chamada de corrida. Dados quaisquer dois pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) text <,> ) podemos obter a subida e a corrida subtraindo as coordenadas correspondentes.

Isso nos leva à fórmula da inclinação. Dados quaisquer dois pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) text <,> ) a inclinação é dada pela seguinte fórmula:

A letra grega delta (( Delta) ) é freqüentemente usada para descrever a mudança em uma quantidade. Portanto, a inclinação às vezes é descrita usando a notação ( frac < Delta y> < Delta x> text <,> ) que representa a mudança em (y ) dividida pela mudança em (x texto <.> )

Exemplo 82

Encontre a inclinação da linha que passa por ((- 3, -5) ) e ((2, 1) text <.> )

Dados ((- 3, -5) ) e ((2, 1) text <,> ) calcule a diferença dos (y ) - valores divididos pela diferença de (x ) -valores. Tome cuidado para ser consistente ao subtrair as coordenadas.

A inclinação é dada por (m = frac <6> <5> text <.> )

Não importa qual ponto você considera o primeiro e o segundo ao calcular a inclinação. No entanto, como a subtração não é comutativa, você deve ter o cuidado de subtrair as coordenadas do primeiro ponto das coordenadas do segundo ponto na mesma ordem. Para demonstrar isso, obtemos o mesmo resultado no exemplo acima se aplicarmos a fórmula da inclinação com os pontos trocados.

Podemos verificar que a inclinação é ( frac <6> <5> ) traçando o gráfico da equação linear descrita no exemplo anterior.

Certamente, o gráfico é opcional - a beleza da fórmula da inclinação é que, dados quaisquer dois pontos, podemos obter a inclinação usando apenas álgebra.

Exemplo 83

Encontre o valor (y ) - para o qual a inclinação da linha que passa por ((6, -3) ) e ((- 9, y) ) é (- frac <2> <3 > text <.> )

Substitua as informações fornecidas na fórmula de inclinação.

Temos (m = - frac <2> <3> ) e podemos deixar ((x_1, y_1) = (6, -3) ) e ((x_2, y_2) = (- 9, y) text <.> )

Depois de substituir as informações fornecidas, a única variável restante é (y text <.> ) Resolva para (y text <.> )

O valor (y ) - que satisfaz as condições acima é (y = 7 text <.> )

Existem quatro casos geométricos para o valor da inclinação.

Lendo o gráfico da esquerda para a direita, as linhas com inclinação para cima têm inclinações positivas e as linhas com inclinação para baixo têm inclinações negativas. Os outros dois casos envolvem linhas horizontais e verticais. Se (c ) é um número real, temos

Por exemplo, se representarmos um gráfico de (y = 2 ), obteremos uma linha horizontal, e se representarmos um gráfico de (x = -4 ), obteremos uma linha vertical.

A partir dos gráficos, podemos determinar dois pontos e calcular a inclinação usando a fórmula da inclinação.

Observe que os pontos na linha horizontal compartilham os mesmos valores (y ). Portanto, o aumento é zero e, portanto, a inclinação é zero. Os pontos na linha vertical compartilham os mesmos valores (x ). Consequentemente, a corrida é zero, levando a uma inclinação indefinida. Isso nos dá os dois últimos casos.

Taxa de variação média da subseção

Quando uma situação do mundo real pode ser representada por uma equação linear, a inclinação da linha às vezes é chamada de média. Por exemplo, suponha que tenhamos representado graficamente a distância (em milhas) que um carro percorre ao longo do tempo (em horas). Se o carro dirigir a uma velocidade consistente, ele formará uma linha reta. A inclinação desta linha mede a taxa média de variação da distância do carro em relação ao tempo, em outras palavras, a inclinação mede a velocidade do carro.

Considere a equação (C = 4 + 2t ) que representa o custo de uma locação de filme em termos do número de dias de locação. Se representarmos graficamente esta equação, podemos escolher quaisquer dois pontos na linha para calcular sua inclinação. Por exemplo, se escolhermos os pontos ((0,4) ) e ((4,12) ), então temos a seguinte inclinação.

A inclinação da linha é (2 text <.> ) Em termos de aluguel de um filme, nossa expressão de inclinação está nos dizendo

Em outras palavras, se aumentássemos a duração do aluguel em (4 ) dias, o custo do aluguel aumentaria em (8 ) dólares. A inclinação dá a taxa de aumento da taxa de aluguel, ($ 2 ) por dia.

Em geral, dizemos que a inclinação de uma linha ou equação mede a taxa de variação da variável de saída em relação à variável de entrada. Dependendo das unidades envolvidas, essa taxa pode ser interpretada como uma taxa de crescimento ou uma taxa de velocidade. Uma inclinação negativa pode representar uma taxa de diminuição ou uma taxa de consumo. A inclinação, ou taxa de variação, de um gráfico pode nos fornecer informações valiosas sobre as variáveis.

Exemplo 84

Nathan fez caminhadas e fez algumas trilhas. Depois de caminhar (2,5 ) milhas, ele comeu (3 ) onças de mistura de trilha. Em média, quantos gramas de mistura de trilha Nathan comeu por quilômetro?

A quantidade de mistura de trilha que Nathan comeu depende de quão longe ele caminhou. Isso nos diz que a variável independente é a distância que ele percorreu, em milhas, e a variável dependente são os gramas de mistura da trilha. Estamos procurando a taxa média de mudança de onças de mistura de trilha por milha.

Isso nos diz que Nathan comeu (1,2 ) onças de mistura de trilha por milha em sua caminhada.


Assista o vídeo: Preparar Exame Nacional Matemática 2018 - Declive - Reta Tangente (Outubro 2021).