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9.7: Resolva Desigualdades Racionais


objetivos de aprendizado

  • Resolva desigualdades racionais
  • Resolva uma desigualdade com funções racionais

Esteja preparado

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Encontre o valor de (x-5 ) quando ⓐ (x = 6 ) ⓑ (x = -3 ) ⓒ (x = 5 )
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 1.2.16.
  2. Resolva: (8-2 x <12 )
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 2.6.13.
  3. Escreva em notação de intervalo: (- 3 leq x <5 )
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 2.6.4.

Resolva Desigualdades Racionais

Aprendemos a resolver desigualdades lineares depois de aprender a resolver equações lineares. As técnicas eram praticamente as mesmas, com uma exceção importante. Quando multiplicamos ou dividimos por um número negativo, o sinal de desigualdade se inverteu.

Tendo acabado de aprender a resolver equações racionais, agora estamos prontos para resolver desigualdades racionais. Uma desigualdade racional é uma desigualdade que contém uma expressão racional.

Desigualdade Racional

Uma desigualdade racional é uma desigualdade que contém uma expressão racional.

Desigualdades como ( quad dfrac {3} {2 x}> 1, quad dfrac {2 x} {x-3} <4, quad dfrac {2 x-3} {x-6} geq x, quad ) e ( quad dfrac {1} {4} - dfrac {2} {x ^ {2}} leq dfrac {3} {x} quad ) são racionais desigualdades, pois cada uma contém uma expressão racional.

Quando resolvermos uma desigualdade racional, usaremos muitas das técnicas que usamos para resolver desigualdades lineares. Devemos lembrar especialmente que, quando multiplicamos ou dividimos por um número negativo, o sinal de desigualdade deve ser invertido.

Outra diferença é que devemos considerar cuidadosamente qual valor pode tornar a expressão racional indefinida e, portanto, deve ser excluído.

Quando resolvemos uma equação e o resultado é (x = 3 ), sabemos que existe uma solução, que é 3.

Quando resolvemos uma desigualdade e o resultado é (x> 3 ), sabemos que existem muitas soluções. Representamos graficamente o resultado para ajudar a mostrar melhor todas as soluções e começamos com 3. Três se torna um ponto crítico e então decidimos se devemos sombrear à esquerda ou à direita dele. Os números à direita de 3 são maiores que 3, então sombreamos à direita.

Para resolver uma desigualdade racional, primeiro devemos escrever a desigualdade com apenas um quociente à esquerda e 0 à direita.

Em seguida, determinamos os pontos críticos a serem usados ​​para dividir a reta numérica em intervalos. UMA ponto crítico é um número que torna a expressão racional zero ou indefinida.

Em seguida, avaliaremos os fatores do numerador e denominador e encontraremos o quociente em cada intervalo. Isso identificará o intervalo, ou intervalos, que contém todas as soluções da desigualdade racional.

Escrevemos a solução em notação de intervalo, tendo o cuidado de determinar se os terminais estão incluídos.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {x-1} {x + 3} geq 0 )

Solução

Passo 1. Escreva a desigualdade como um quociente à esquerda e zero à direita.

Nossa desigualdade está neste formato. [ Dfrac {x-1} {x + 3} geq 0 nonumber ]

Passo 2. Determine os pontos críticos - os pontos onde a expressão racional será zero ou indefinida.

A expressão racional será zero quando o numerador for zero. Como (x-1 = 0 ) quando (x = 1 ), então 1 é um ponto crítico.

A expressão racional será indefinida quando o denominador for zero. Como (x + 3 = 0 ) quando (x = -3 ), então -3 é um ponto crítico.

Os pontos críticos são 1 e -3.

etapa 3. Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

A linha numérica é dividida em três intervalos:

[(- infty, -3) quad (-3,1) quad (1, infty) nonumber ]

Passo 4. Teste um valor em cada intervalo. Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator da expressão racional em cada intervalo. Abaixo da linha numérica, mostra o sinal do quociente.

Para encontrar o sinal de cada fator em um intervalo, escolhemos qualquer ponto nesse intervalo e o usamos como um ponto de teste. Qualquer ponto no intervalo dará à expressão o mesmo sinal, portanto, podemos escolher qualquer ponto no intervalo.

[ text {Intervalo} (- infty, -3) nonumber ]

O número -4 está no intervalo ((- infty, -3) ). Teste (x = -4 ) na expressão no numerador e no denominador.

O numerador:

[ begin {array} {l} {x-1} {-4-1} {-5} { text {Negativo}} end {array} nonumber ]

O denominador:

[ begin {array} {l} {x + 3} {-4 + 3} {-1} { text {Negativo}} end {array} nonumber ]

Acima da reta numérica, marque o fator (x-1 ) negativo e marque o fator (x + 3 ) negativo.

Como um negativo dividido por um negativo é positivo, marque o quociente positivo no intervalo ((- infty, -3) )

[ text {Intervalo} (-3,1) nonumber ]

O número 0 está no intervalo ((- 3,1) ). Teste (x = 0 ).

O numerador:

[ begin {array} {l} {x-1} {0-1} {-1} { text {Negativo}} end {array} nonumber ]

O denominador:

[ begin {array} {l} {x + 3} {0 + 3} {3} { text {Positive}} end {array} nonumber ]

Acima da reta numérica, marque o fator (x-1 ) negativo e marque (x + 3 ) positivo.

Como um negativo dividido por um positivo é negativo, o quociente é marcado como negativo no intervalo ((- 3,1) ).

[ text {Intervalo} (1, infty) nonumber ]

O número 2 está no intervalo ((1, infty) ). Teste (x = 2 ).

O numerador:

[ begin {array} {l} {x-1} {2-1} {1} { text {Positive}} end {array} nonumber ]

O denominador:

[ begin {array} {l} {x + 3} {2 + 3} {5} { text {Positive}} end {array} nonumber ]

Acima da reta numérica, marque o fator (x-1 ) positivo e marque (x + 3 ) positivo.

Visto que um positivo dividido por um positivo é positivo, marque o quociente positivo no intervalo ((1, infty) ).

Etapa 5. Determine os intervalos em que a desigualdade está correta. Escreva a solução em notação de intervalo.

Queremos que o quociente seja maior ou igual a zero, então os números nos intervalos ((- infty, -3) ) e ((1, infty) ) são soluções.

Mas e os pontos críticos?

O ponto crítico (x = -3 ) torna o denominador 0, portanto deve ser excluído da solução e o marcamos com um parêntese.

O ponto crítico (x = 1 ) torna toda a expressão racional 0. A desigualdade requer que a expressão racional seja maior ou igual a. Portanto, 1 é parte da solução e vamos marcá-lo com um colchete.

Lembre-se de que, quando temos uma solução composta por mais de um intervalo, usamos o símbolo de união, ( cup ), para conectar os dois intervalos. A solução na notação de intervalo é ((- infty, -3) cup [1, infty) ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {x-2} {x + 4} geq 0 )

Responder

((- infty, -4) cup [2, infty) )

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {x + 2} {x-4} geq 0 )

Responder

((- infty, -2] cup (4, infty) )

Resumimos as etapas para facilitar a consulta.

Como resolver uma desigualdade racional

Etapa 1. Escreva a inequação como um quociente à esquerda e zero à direita.

Etapa 2. Determine os pontos críticos - os pontos onde a expressão racional será zero ou indefinida.

Etapa 3. Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

Passo 4. Acima da reta numérica, mostre o sinal de cada fator do numerador e denominador em cada intervalo. Abaixo da linha numérica, mostra o sinal do quociente.

Etapa 5. Escreva a solução em notação de intervalo.

O próximo exemplo requer que primeiro coloquemos a desigualdade racional na forma correta.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {4 x} {x-6} <1 )

Solução

[ dfrac {4 x} {x-6} <1 não numérico ]

Subtraia 1 para obter zero à direita.

[ dfrac {4 x} {x-6} -1 <0 não numérico ]

Reescreva 1 como uma fração usando o LCD.

[ dfrac {4 x} {x-6} - frac {x-6} {x-6} <0 não numérico ]

Subtraia os numeradores e coloque a diferença sobre o denominador comum.

[ dfrac {4 x- (x-6)} {x-6} <0 não numérico ]

Simplificar.

[ dfrac {3 x + 6} {x-6} <0 não numérico ]

Fatore o numerador para mostrar todos os fatores.

[ dfrac {3 (x + 2)} {x-6} <0 não numérico ]

Encontre os pontos críticos.

O quociente será zero quando o numerador for zero. O quociente é indefinido quando o denominador é zero.

[ begin {array} {rlrl} {x + 2} & {= 0} & {x-6} & {= 0} {x} & {= -2} & {x} & {= 6 } end {array} nonumber ]

Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

Teste um valor em cada intervalo.

((- infty, -2) )((-2,6)) ((6, infty) )
(x + 2) )

x + 2

-3+2

-1

-

x + 2

0+2

2

+

x + 2

7+2

9

+

(x-6 )

x-6

-3-6

-9

-

x-6

0-6

-6

-

x-6

7-6

1

+

Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator da expressão racional em cada intervalo. Abaixo da linha numérica, mostra o sinal do quociente.

Determine os intervalos em que a desigualdade está correta. Queremos que o quociente seja negativo, então a solução inclui os pontos entre −2 e 6. Como a desigualdade é estritamente menor que, os pontos finais não são incluídos.

Escrevemos a solução em notação de intervalo como (−2, 6).

Exercício ( PageIndex {3} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {3 x} {x-3} <1 ).

Responder

( left (- dfrac {3} {2}, 3 right) )

Exercício ( PageIndex {4} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {3 x} {x-4} <2 ).

Responder

((-8,4))

No próximo exemplo, o numerador é sempre positivo, então o sinal da expressão racional depende do sinal do denominador.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {5} {x ^ {2} -2 x-15}> 0 ).

Solução

A desigualdade está na forma correta.

[ dfrac {5} {x ^ {2} -2 x-15}> 0 não numérico ]

Fatore o denominador.

[ dfrac {5} {(x + 3) (x-5)}> 0 não numérico ]

Encontre os pontos críticos. O quociente é 0 quando o numerador é 0. Como o numerador é sempre 5, o quociente não pode ser 0.

O quociente será indefinido quando o denominador for zero.

[ begin {alinhado} & (x + 3) (x-5) = 0 & x = -3, x = 5 end {alinhado} nonumber ]

Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

Valores de teste em cada intervalo. Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator do denominador em cada intervalo. Abaixo da reta numérica, mostre o sinal do quociente.

Escreva a solução em notação de intervalo.

[(- infty, -3) cup (5, infty) nonumber ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {1} {x ^ {2} +2 x-8}> 0 ).

Responder

((- infty, -4) cup (2, infty) )

Exercício ( PageIndex {6} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {3} {x ^ {2} + x-12}> 0 ).

Responder

((- infty, -4) cup (3, infty) )

O próximo exemplo requer algum trabalho para colocá-lo na forma necessária.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {1} {3} - dfrac {2} {x ^ {2}} < dfrac {5} {3 x} ).

Solução

[ dfrac {1} {3} - dfrac {2} {x ^ {2}} < dfrac {5} {3 x} não numérico ]

Subtraia ( dfrac {5} {3 x} ) para obter zero à direita.

[ dfrac {1} {3} - dfrac {2} {x ^ {2}} - dfrac {5} {3 x} <0 não número ]

Reescreva para obter cada fração com o LCD

[ dfrac {1 cdot x ^ {2}} {3 cdot x ^ {2}} - dfrac {2 cdot 3} {x ^ {2} cdot 3} - dfrac {5 cdot x} {3 xx} <0 não numérico ]

Simplificar.

[ dfrac {x ^ {2}} {3 x ^ {2}} - dfrac {6} {3 x ^ {2}} - dfrac {5 x} {3 x ^ {2}} <0 enhum número ]

Subtraia os numeradores e coloque a diferença sobre o denominador comum.

[ dfrac {x ^ {2} -5 x-6} {3 x ^ {2}} <0 não numérico ]

Fatore o numerador.

[ dfrac {(x-6) (x + 1)} {3 x ^ {2}} <0 não numérico ]

Encontre os pontos críticos.

[ begin {array} {rlrl} {3 x ^ {2} = 0} && {x-6 = 0} && {x + 1 = 0} {x = 0} && {x = 6} && {x = -1} end {array} nonumber ]

Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator em cada intervalo. Abaixo da reta numérica, mostre o sinal do quociente.

Uma vez que 0 é excluído, a solução são os dois intervalos ((- 1,0) cup (0,6) ), ((- 1,0) ) e ((0,6) ) .

Exercício ( PageIndex {7} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {1} {2} + dfrac {4} {x ^ {2}} < dfrac {3} {x} ).

Responder

((2,4))

Exercício ( PageIndex {8} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {1} {3} + dfrac {6} {x ^ {2}} < dfrac {3} {x} ).

Responder

((3,6))

Resolva uma desigualdade com funções racionais

Ao trabalhar com funções racionais, às vezes é útil saber quando a função é maior ou menor que um determinado valor. Isso leva a uma desigualdade racional.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Dada a função (R (x) = dfrac {x + 3} {x-5} ), encontre os valores de x que tornam a função menor ou igual a 0.

Solução

Queremos que a função seja menor ou igual a 0.

[R (x) leq 0 nonumber ]

Substitua a expressão racional por (R (x) ).

[ dfrac {x + 3} {x-5} leq 0 quad x neq 5 nonumber ]

Encontre os pontos críticos.

[ begin {array} {rlrl} {x + 3 = 0} && {x-5 = 0} {x = -3} && {x = 5} end {array} nonumber ]

Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

Valores de teste em cada intervalo. Acima da reta numérica, mostre o sinal de cada fator em cada intervalo. Abaixo da reta numérica, mostre o sinal do quociente. Escreva a solução em notação de intervalo. Como 5 é excluído, não o incluímos no intervalo.

[[- 3,5) nonumber ]

Exercício ( PageIndex {9} )

Dada a função (R (x) = dfrac {x-2} {x + 4} ), encontre os valores de (x ) que tornam a função menor ou igual a 0.

Responder

((-4,2])

Exercício ( PageIndex {10} )

Dada a função (R (x) = dfrac {x + 1} {x-4} ), encontre os valores de (x ) que tornam a função menor ou igual a 0.

Responder

([-1,4))

Em economia, a função (C (x) ) é usada para representar o custo de produção de (x ) unidades de uma mercadoria. O custo médio por unidade pode ser encontrado dividindo (C (x) ) pelo número de itens (x ). Então, o custo médio por unidade é (c (x) = dfrac {C (x)} {x}).

Exemplo ( PageIndex {6} )

A função (C (x) = 10 x + 3000 ) representa o custo para produzir (x ), número de itens. Encontrar:

  1. A função de custo médio, (c (x) )
  2. Quantos itens devem ser produzidos para que o custo médio seja inferior a $ 40.

Solução

  1. [C (x) = 10 x + 3000 nonumber ]

A função de custo médio é (c (x) = dfrac {C (x)} {x}) ). Para encontrar a função de custo médio, divida a função de custo por (x ).

[ begin {alinhado} & c (x) = dfrac {C (x)} {x} & c (x) = dfrac {10 x + 3000} {x} end {alinhado} nonumber ]

A função de custo médio é (c (x) = dfrac {10 x + 3000} {x} )

  1. Queremos que a função (c (x) ) seja menor que 40.

[c (x) <40 não numérico ]

Substitua a expressão racional por c (x).

[ dfrac {10 x + 3000} {x} <40, quad x neq 0 nonumber ]

Subtraia 40 para obter 0 à direita.

[ dfrac {10 x + 3000} {x} -40 <0 nonumber ]

Reescreva o lado esquerdo como um quociente encontrando o LCD e realizando a subtração.

[ begin {alinhado} dfrac {10 x + 3000} {x} -40 left ( dfrac {x} {x} right) & <0 dfrac {10 x + 3000} {x} - dfrac {40 x} {x} & <0 dfrac {10 x + 3000-40 x} {x} & <0 dfrac {-30 x + 3000} {x} & <0 fim {alinhado} não numérico ]

Fatore o numerador para mostrar todos os fatores.

[ begin {array} {ll} { dfrac {-30 (x-100)} {x} <0} {-30 (x-100) = 0} && {x = 0} end { array} nonumber ]

Encontre os pontos críticos.

[ begin {array} {rl} {-30 neq 0} & {x-100 = 0} & {x = 100} end {array} nonumber ]

Mais de 100 itens devem ser produzidos para manter o custo médio abaixo de US $ 40 por item.

Exercício ( PageIndex {11} )

A função (C (x) = 20 x + 6000 ) representa o custo para produzir (x ), número de itens. Encontrar:

  1. A função de custo médio, (c (x) )
  2. Quantos itens devem ser produzidos para que o custo médio seja inferior a $ 60.
Responder
  1. (c (x) = dfrac {20 x + 6000} {x} )
  2. Mais de 150 itens devem ser produzidos para manter o custo médio abaixo de US $ 60 por item.

Exercício ( PageIndex {12} )

A função (C (x) = 5 x + 900 ) representa o custo para produzir (x ), número de itens. Encontrar:

  1. A função de custo médio, (c (x) )
  2. Quantos itens devem ser produzidos para que o custo médio seja inferior a $ 20.
Responder
  1. (c (x) = dfrac {5 x + 900} {x} )
  2. Mais de 60 itens devem ser produzidos para manter o custo médio abaixo de US $ 20 por item.

9.7 Expoentes racionais (dificuldade aumentada)

Simplificar as equações de expoentes racionais que são mais difíceis geralmente envolve duas etapas. Primeiro, reduza dentro dos colchetes. Em segundo lugar, multiplique a potência fora dos colchetes para todos os termos internos.

Simplifique a seguinte expressão expoente racional:

Primeiro, a simplificação dentro dos colchetes dá:

Em segundo lugar, pegar o expoente 2 fora dos colchetes e aplicá-lo à expressão reduzida dá:

Simplifique a seguinte expressão expoente racional:

Primeiro, simplificar dentro dos colchetes dá:

Em segundo lugar, pegar o expoente −3 fora dos colchetes e aplicá-lo à expressão reduzida dá:

Simplifique a seguinte expressão expoente racional:

Primeiro, a simplificação dentro dos colchetes dá:

Em segundo lugar, tomando o expoente fora dos colchetes e aplicá-lo à expressão reduzida dá:


Resolver desigualdades é muito parecido com resolver equações. você faz a maioria das mesmas coisas.

Quando resolvemos desigualdades
nós tentamos encontrar intervalo (s),
como os marcados com "& lt0" ou "& gt0"

  • encontre "pontos de interesse":
    • os pontos "= 0" (raízes), e
    • "assíntotas verticais" (onde a função é indefinida)

    Exemplo: 3x e menos 10x e menos 4 & gt 2

    Primeiro, vamos simplificar!

    Mas você não pode multiplicar por (x & menos4)

    Porque "x e menos4" pode ser positivo ou negativo. não sabemos se devemos mudar a direção da desigualdade ou não. Tudo isso é explicado em Resolvendo Desigualdades.

    Em vez disso, traga "2" para a esquerda:

    Agora temos um denominador comum, vamos juntar tudo:

    Segundo, vamos encontrar "pontos de interesse".

    Em x = 2, temos: (0) / (x & menos4) & gt 0, que é um ponto "= 0", ou raiz

    Em x = 4, temos: (x e menos 2) / (0) & gt 0, que é Indefinido

    Terceiro, faça pontos de teste para ver o que acontece entre:

    • x & menos2 = & menos2, que é negativo
    • x & menos4 = & menos4, que também é negativo
    • Portanto, (x e menos2) / (x e menos4) deve ser positivo

    Podemos fazer o mesmo por x = 3 e x = 5e obtêm estes resultados:


    Passos para escrever as desigualdades racionais na notação de intervalo

    Escrever desigualdades simples, compostas e duplas na notação de intervalo é direto. Visto que as desigualdades racionais também envolvem denominador, portanto, escrevê-las na notação de intervalo é complicado. Lembre-se de que usamos parênteses ou colchetes para escrever as equações ou desigualdades na notação de intervalo.

    Neste artigo, veremos como representar o conjunto solução de desigualdades racionais na notação de intervalo e representá-las na reta numérica. Para isso, precisamos seguir alguns passos antes de escrever os conjuntos de solução na notação de intervalo. Essas etapas são explicadas abaixo:

    Para resolver a desigualdade racional, simplifique-a usando operações aritméticas simples e encontre os zeros ou raízes do numerador e denominador.

    Usando essas raízes, divida a reta numérica em mais de um intervalo.

    Pegue os pontos de cada intervalo e substitua-os na inequação para verificar se os pontos satisfazem a desigualdade ou não. Recomenda-se construir uma tabela conforme mostrado nos exemplos abaixo.

    Usando a tabela do passo 3, escreva a inequação na notação de intervalo e represente-a na reta numérica.

    Os exemplos a seguir mostram como resolver desigualdades racionais e expressá-las em notação de intervalo.


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    9.7: Resolva Desigualdades Racionais

    Sou estudante da Texas State University. Comprei o seu produto Algebrator e posso dizer honestamente que é por isso que estou passando na minha aula de matemática!
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    As equações mais odiadas em Álgebra para mim são as radicais, não consegui resolver nenhuma equação radical até comprar o seu software. Agora, aprendi como resolvê-los e como verificar se minhas respostas são válidas.
    David E. Coates, AZ

    Estou escrevendo este comentário porque sou grato por este programa, especialmente os gráficos que podem ser mostrados para soluções de desigualdade, obrigado.
    Sally Adair, KS


    Resolva Desigualdades Racionais

      Encontre o valor de quando ⓐ

    Resolva Desigualdades Racionais

    Aprendemos a resolver desigualdades lineares depois de aprender a resolver equações lineares. As técnicas eram praticamente as mesmas, com uma exceção importante. Quando multiplicamos ou dividimos por um número negativo, o sinal de desigualdade se inverteu.

    Tendo acabado de aprender a resolver equações racionais, agora estamos prontos para resolver desigualdades racionais. Uma desigualdade racional é uma desigualdade que contém uma expressão racional.

    UMA desigualdade racional é uma desigualdade que contém uma expressão racional.

    Desigualdades como e são desigualdades racionais, pois cada uma contém uma expressão racional.

    Quando resolvermos uma desigualdade racional, usaremos muitas das técnicas que usamos para resolver desigualdades lineares. Devemos lembrar especialmente que, quando multiplicamos ou dividimos por um número negativo, o sinal de desigualdade deve ser invertido.

    Outra diferença é que devemos considerar cuidadosamente qual valor pode tornar a expressão racional indefinida e, portanto, deve ser excluído.

    Quando resolvemos uma equação e o resultado é sabemos que existe uma solução, que é 3.

    Quando resolvemos uma desigualdade e o resultado é sabemos que existem muitas soluções. Representamos graficamente o resultado para ajudar a mostrar melhor todas as soluções e começamos com 3. Três se torna um ponto crítico e então decidimos se devemos sombrear à esquerda ou à direita dele. Os números à direita de 3 são maiores que 3, então sombreamos à direita.

    Para resolver uma desigualdade racional, primeiro devemos escrever a desigualdade com apenas um quociente à esquerda e 0 à direita.

    Em seguida, determinamos os pontos críticos a serem usados ​​para dividir a reta numérica em intervalos. UMA ponto crítico é um número que torna a expressão racional zero ou indefinida.

    Em seguida, avaliaremos os fatores do numerador e denominador e encontraremos o quociente em cada intervalo. Isso identificará o intervalo, ou intervalos, que contém todas as soluções da desigualdade racional.

    Escrevemos a solução em notação de intervalo, tendo o cuidado de determinar se os terminais estão incluídos.

    Resolva e escreva a solução em notação de intervalo:

    Passo 1. Escreva a desigualdade como um quociente à esquerda e zero à direita.

    Nossa desigualdade está nesta forma.

    Passo 2. Determine os pontos críticos - os pontos onde a expressão racional será zero ou indefinida.

    A expressão racional será zero quando o numerador for zero. Desde quando então é um ponto crítico.

    A expressão racional será indefinida quando o denominador for zero. Desde quando então é um ponto crítico.

    Os pontos críticos são 1 e

    Etapa 3. Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

    A linha numérica é dividida em três intervalos:

    Passo 4. Teste um valor em cada intervalo. Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator da expressão racional em cada intervalo. Abaixo da linha numérica, mostra o sinal do quociente.

    Para encontrar o sinal de cada fator em um intervalo, escolhemos qualquer ponto nesse intervalo e o usamos como um ponto de teste. Qualquer ponto no intervalo dará à expressão o mesmo sinal, portanto, podemos escolher qualquer ponto no intervalo.

    O número está no intervalo Teste na expressão no numerador e no denominador.

    Acima da linha numérica, marque o fator negativo e marque o fator negativo.

    Uma vez que um negativo dividido por um negativo é positivo, marque o quociente positivo no intervalo

    O número 0 está no intervalo Teste

    Acima da linha numérica, marque o fator negativo e marca positivo.

    Uma vez que um negativo dividido por um positivo é negativo, o quociente é marcado como negativo no intervalo

    O número 2 está no intervalo Teste

    Acima da linha numérica, marque o fator positivo e marca positivo.

    Visto que um positivo dividido por um positivo é positivo, marque o quociente positivo no intervalo

    Etapa 5. Determine os intervalos em que a desigualdade está correta. Escreva a solução em notação de intervalo.

    Queremos que o quociente seja maior ou igual a zero, então os números nos intervalos e são soluções.

    Mas e os pontos críticos?

    O ponto crítico torna o denominador 0, então ele deve ser excluído da solução e nós o marcamos com um parêntese.

    O ponto crítico torna toda a expressão racional 0. A desigualdade requer que a expressão racional seja maior ou igual a. Portanto, 1 é parte da solução e vamos marcá-lo com um colchete.

    Lembre-se de que quando temos uma solução composta por mais de um intervalo, usamos o símbolo de união, para conectar os dois intervalos. A solução em notação de intervalo é

    Resolva e escreva a solução em notação de intervalo:

    Resolva e escreva a solução em notação de intervalo:

    Resumimos as etapas para facilitar a consulta.

    1. Escreva a desigualdade como um quociente à esquerda e zero à direita.
    2. Determine os pontos críticos - os pontos onde a expressão racional será zero ou indefinida.
    3. Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.
    4. Teste um valor em cada intervalo. Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator do numerador e denominador em cada intervalo. Abaixo da linha numérica, mostra o sinal do quociente.
    5. Determine os intervalos em que a desigualdade está correta. Escreva a solução em notação de intervalo.

    O próximo exemplo requer que primeiro coloquemos a desigualdade racional na forma correta.

    Resolva e escreva a solução em notação de intervalo:

    Subtraia 1 para obter zero à direita.
    Reescreva 1 como uma fração usando o LCD.
    Subtraia os numeradores e coloque o

    Resolva e escreva a solução em notação de intervalo:

    Resolva e escreva a solução em notação de intervalo:

    No próximo exemplo, o numerador é sempre positivo, então o sinal da expressão racional depende do sinal do denominador.

    Resolva e escreva a solução em notação de intervalo:

    A desigualdade está na forma correta.
    Fatore o denominador.
    Encontre os pontos críticos.

    O quociente é 0 quando o numerador é 0.

    Acima da linha numérica mostra o sinal de cada

    fator do denominador em cada intervalo.

    Resolva e escreva a solução em notação de intervalo:

    Resolva e escreva a solução em notação de intervalo:

    O próximo exemplo requer algum trabalho para colocá-lo na forma necessária.

    Resolva e escreva a solução em notação de intervalo:

    Subtrair para obter zero à direita.
    Reescreva para obter cada fração com o LCD
    Simplificar.
    Subtraia os numeradores e coloque o

    Resolva e escreva a solução em notação de intervalo:

    Resolva e escreva a solução em notação de intervalo:

    Resolva uma desigualdade com funções racionais

    Ao trabalhar com funções racionais, às vezes é útil saber quando a função é maior ou menor que um determinado valor. Isso leva a uma desigualdade racional.

    Dada a função encontre os valores de x que tornam a função menor ou igual a 0.

    Queremos que a função seja menor ou igual a 0.

    linha numérica, mostra o sinal de cada fator

    em cada intervalo. Abaixo da linha numérica,

    Dada a função encontre os valores de x que tornam a função menor ou igual a 0.

    Dada a função encontre os valores de x que tornam a função menor ou igual a 0.

    Em economia, a função é usado para representar o custo de produção x unidades de uma mercadoria. O custo médio por unidade pode ser encontrado dividindo pelo número de itens Então, o custo médio por unidade é

    A função representa o custo de produção número de ítens. Encontre ⓐ a função de custo médio, Ⓑ quantos itens devem ser produzidos para que o custo médio seja inferior a? 40.

    Mais de 100 itens devem ser produzidos para manter o custo médio abaixo de £ 40 por item.

    A função representa o custo de produção número de ítens. Encontre ⓐ a função de custo médio, Ⓑ quantos itens devem ser produzidos para que o custo médio seja inferior a? 60?

    Ⓑ Mais de 150 itens devem ser produzidos para manter o custo médio abaixo de? 60 por item.

    A função representa o custo de produção número de ítens. Encontre ⓐ a função de custo médio, Ⓑ quantos itens devem ser produzidos para que o custo médio seja inferior a? 20?

    Ⓑ Mais de 60 itens devem ser produzidos para manter o custo médio abaixo de £ 20 por item.

    Conceitos chave

    • Resolva uma desigualdade racional.
      1. Escreva a desigualdade como um quociente à esquerda e zero à direita.
      2. Determine os pontos críticos - os pontos onde a expressão racional será zero ou indefinida.
      3. Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.
      4. Teste um valor em cada intervalo. Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator da expressão racional em cada intervalo. Abaixo da linha numérica, mostra o sinal do quociente.
      5. Determine os intervalos em que a desigualdade está correta. Escreva a solução em notação de intervalo.

    Exercícios de seção

    A prática leva à perfeição

    Resolva Desigualdades Racionais

    Nos exercícios a seguir, resolva cada desigualdade racional e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resolva uma desigualdade com funções racionais

    Nos exercícios a seguir, resolva cada desigualdade de função racional e escreva a solução em notação de intervalo.

    Dada a função encontre os valores de que tornam a função menor ou igual a 0.

    Dada a função encontre os valores de que tornam a função menor ou igual a 0.

    Dada a função , encontre os valores de x que tornam a função menor ou igual a 0.

    Dada a função encontre os valores de x que tornam a função menor ou igual a 0.

    Exercícios de escrita

    Escreva os passos que você usaria para explicar como resolver as desigualdades racionais para seu irmão mais novo.

    Crie uma desigualdade racional cuja solução é

    Auto-verificação

    Ⓐ Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

    Ⓑ Depois de revisar esta lista de verificação, o que você fará para se tornar confiante para todos os objetivos?

    Exercícios de revisão de capítulo

    Simplifique, multiplique e divida expressões racionais

    Determine os valores para os quais uma expressão racional é indefinida

    Nos exercícios a seguir, determine os valores para os quais a expressão racional é indefinida.

    Simplifique as Expressões Racionais

    Nos exercícios a seguir, simplifique.

    Multiplique Expressões Racionais

    Nos exercícios a seguir, multiplique.

    Divide Expressões Racionais

    Nos exercícios a seguir, divida.

    Multiplicar e dividir funções racionais

    Encontrar Onde e

    Encontrar Onde e

    Adicionar e subtrair expressões racionais

    Adicionar e subtrair expressões racionais com um denominador comum

    Nos exercícios a seguir, execute as operações indicadas.

    Adicionar e subtrair expressões racionais cujos denominadores são opostos

    Nos exercícios a seguir, some e subtraia.

    Encontre o mínimo denominador comum de expressões racionais

    Nos exercícios a seguir, encontre o LCD.

    Adicionar e subtrair expressões racionais com denominadores diferentes

    Nos exercícios a seguir, execute as operações indicadas.

    Adicionar e subtrair funções racionais

    Nos exercícios a seguir, encontre Onde e são dados.

    Nos exercícios a seguir, encontre Onde e são dados.

    Simplifique Expressões Racionais Complexas

    Simplifique uma Expressão Racional Complexa Escrevendo-a como Divisão

    Nos exercícios a seguir, simplifique.

    Simplifique uma expressão racional complexa usando o LCD

    Nos exercícios a seguir, simplifique.

    7.4 Resolver Equações Racionais

    Resolva Equações Racionais

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    Resolva Equações Racionais que Envolvem Funções

    Para função racional, Ⓐ encontre o domínio da função ⓑ resolva Ⓒ encontre os pontos no gráfico com este valor de função.

    Ⓐ O domínio contém todos os números reais, exceto e

    Para função racional, Ⓐ encontre o domínio da função ⓑ resolva Ⓒ encontre os pontos no gráfico com este valor de função.

    Resolva uma equação racional para uma variável específica

    Nos exercícios a seguir, resolva para a variável indicada.

    para

    para

    para

    para

    Resolva aplicativos com equações racionais

    Resolva Proporções

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    Resolva usando proporções

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    Rachael tinha um shake de morango de 21 onças que tem 739 calorias. Quantas calorias tem um batido de 32 onças?

    calorias

    Leo foi para o México nas férias de Natal e trocou 525 dólares por pesos mexicanos. Naquela época, a taxa de câmbio era de? 1 US é igual a 16,25 pesos mexicanos. Quantos pesos mexicanos ele ganhou com a viagem?

    Resolva aplicativos de figuras semelhantes

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    é similar a Os comprimentos dos dois lados de cada triângulo são dados na figura. Encontre os comprimentos dos terceiros lados.

    Em um mapa da Europa, Paris, Roma e Viena formam um triângulo cujos lados são mostrados na figura abaixo. Se a distância real de Roma a Viena for 700 milhas, encontre a distância de

    Francesca tem 1,75 metros de altura. No final de uma tarde, sua sombra tinha 2,5 metros de comprimento. Ao mesmo tempo, a sombra de uma árvore próxima tinha 10 metros de comprimento. Encontre a altura da árvore.

    A altura de um farol em Pensacola, Flórida, é de 150 pés. De pé ao lado da estátua, Natasha de 5,5 pés de altura projetou uma sombra de 1,1 pé. Quanto tempo duraria a sombra do farol?

    Resolva aplicativos de movimento uniforme

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    Ao fazer a viagem de 5 horas para casa depois de visitar seus pais, Lolo correu para o mau tempo. Ela foi capaz de dirigir 176 milhas enquanto o tempo estava bom, mas dirigindo 10 mph mais devagar, foi 81 milhas quando ficou ruim. Quão rápido ela dirigia quando o tempo estava ruim?

    mph

    Mark está viajando em um avião que pode voar 490 milhas com um vento de cauda de 20 mph, ao mesmo tempo em que pode voar 350 milhas contra um vento de 20 mph. Qual é a velocidade do avião?

    Josue pode andar de bicicleta 8 mph mais rápido do que Arjun pode andar de bicicleta. Luke leva 3 horas a mais do que Josué para cavalgar 48 milhas. Quão rápido John consegue andar de bicicleta?

    mph

    Curtis estava treinando para um triatlo. Ele correu 8 quilômetros e pedalou 32 quilômetros em um total de 3 horas. Sua velocidade de corrida era 8 quilômetros por hora a menos do que sua velocidade de bicicleta. Qual era sua velocidade de corrida?

    Resolva aplicativos de trabalho

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    Brandy pode enquadrar uma sala em 1 hora, enquanto Jake leva 4 horas. Quanto tempo eles poderiam estruturar uma sala funcionando juntos?

    hora

    Prem leva 3 horas para cortar a grama, enquanto sua prima, Barb, leva 2 horas. Quanto tempo vai demorar para eles trabalharem juntos?

    Jeffrey pode pintar uma casa em 6 dias, mas se ele conseguir um ajudante, ele pode pintar em 4 dias. Quanto tempo levaria para o ajudante pintar a casa sozinho?

    dias

    Marta e Deb trabalham juntas escrevendo um livro que leva 90 dias. Se Sue trabalhasse sozinha, levaria 120 dias. Quanto tempo Deb demoraria para escrever o livro sozinha?

    Resolva Problemas de Variação Direta

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    Se varia diretamente como quando e encontrar quando

    Se varia inversamente como quando e encontrar quando

    Vanessa está viajando para ver seu noivo. A distancia, varia diretamente com a velocidade, ela dirige. Se ela viajar 258 milhas dirigindo a 60 mph, quão longe ela viajaria indo a 70 mph?

    mph

    Se o custo de uma pizza varia diretamente com seu diâmetro, e se uma pizza de 8 ”de diâmetro custa 12, quanto custaria uma pizza de 6” de diâmetro?

    A distância para parar um carro varia diretamente com o quadrado de sua velocidade. São necessários 200 pés para parar um carro a 80 km / h. Quantos pés seriam necessários para parar um carro a 60 mph?

    pés

    Resolva Problemas de Variação Inversa

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    Se varia inversamente com o quadrado de quando e encontrar quando

    O número de ingressos para uma arrecadação de fundos de música varia inversamente com o preço dos ingressos. Se Madelyn tiver dinheiro suficiente para comprar 12 ingressos por £ 6, quantos ingressos Madelyn poderá comprar se o preço aumentar para £ 8?

    ingressos

    Em um instrumento de cordas, o comprimento de uma corda varia inversamente com a frequência de suas vibrações. Se uma corda de 11 polegadas em um violino tem uma freqüência de 360 ​​ciclos por segundo, que freqüência tem uma corda de 12 polegadas?

    Resolva Desigualdades Racionais

    Resolva Desigualdades Racionais

    Nos exercícios a seguir, resolva cada desigualdade racional e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resolva uma desigualdade com funções racionais

    Nos exercícios a seguir, resolva cada desigualdade de função racional e escreva a solução em notação de intervalo

    Dada a função, encontre os valores de que tornam a função maior ou igual a 0.

    Dada a função, encontre os valores de que tornam a função menor ou igual a 0.

    representa o custo de produção número de ítens. Encontre ⓐ a função de custo médio, Ⓑ quantos itens devem ser produzidos para que o custo médio seja inferior a? 160.

    Ⓑ Mais de 10.000 itens devem ser produzidos para manter o custo médio abaixo por item.

    Tillman está começando seu próprio negócio vendendo tacos na praia. Contabilizando o custo de seu food truck e ingredientes para os tacos, a função representa o custo para Tillman produzir tacos. Encontre ⓐ a função de custo médio, para os Tacos da Tillman ⓑ quantos tacos a Tillman deve produzir para que o custo médio seja inferior a £ 4.

    Teste prático

    Nos exercícios a seguir, simplifique.

    Nos exercícios a seguir, execute a operação indicada e simplifique.

    Nos exercícios a seguir, resolva cada equação.

    Nos exercícios a seguir, resolva cada desigualdade racional e escreva a solução em notação de intervalo.

    Nos exercícios a seguir, encontre dado e

    encontre os valores de que tornam a função menor ou igual a 0.

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    Se varia diretamente com , e quando encontrar quando

    Se varia inversamente com o quadrado de e quando encontrar quando

    Matheus pode andar de bicicleta por 30 milhas com o vento na mesma quantidade de tempo que ele pode andar 21 milhas contra o vento. Se a velocidade do vento é de 6 mph, qual é a velocidade de Matheus em sua bicicleta?

    Oliver pode dividir um caminhão de toras em 8 horas, mas trabalhando com seu pai, eles conseguem fazer isso em 3 horas. Quanto tempo o pai de Oliver levaria trabalhando sozinho para dividir as toras?

    O pai de Oliver levaria horas para dividir os logs ele mesmo.

    O volume de um gás em um recipiente varia inversamente com a pressão do gás. Se um recipiente de nitrogênio tem um volume de 29,5 litros com 2.000 psi, qual é o volume se o tanque tem uma classificação de 14,7 psi? Arredondar para o número inteiro mais próximo.

    As cidades de Dayton, Columbus e Cincinnati formam um triângulo no sul de Ohio. O diagrama fornece as distâncias do mapa entre essas cidades em polegadas.

    A distância real de Dayton a Cincinnati é de 48 milhas. Qual é a distância real entre Dayton e Columbus?

    A distância entre Dayton e Columbus é de 64 milhas.

    Glossário


    9.7: Resolva Desigualdades Racionais

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Encontre o valor de x & # 8722 5 x & # 8722 5 quando & # 9424 x = 6 x = 6 & # 9425 x = & # 87223 x = & # 87223 & # 9426 x = 5. x = 5.
      Se você não percebeu este problema, revise [link].
    2. Resolva: 8 & # 8722 2 x & lt 12. 8 e # 8722 2 x & lt 12.
      Se você não percebeu este problema, revise [link].
    3. Escreva na notação de intervalo: & # 87223 & # 8804 x & lt 5. & # 87223 & # 8804 x & lt 5.
      Se você não percebeu este problema, revise [link].

    Resolva Desigualdades Racionais

    Aprendemos a resolver desigualdades lineares depois de aprender a resolver equações lineares. As técnicas eram praticamente as mesmas, com uma exceção importante. Quando multiplicamos ou dividimos por um número negativo, o sinal de desigualdade se inverteu.

    Tendo acabado de aprender a resolver equações racionais, agora estamos prontos para resolver desigualdades racionais. Uma desigualdade racional é uma desigualdade que contém uma expressão racional.

    UMA desigualdade racional é uma desigualdade que contém uma expressão racional.

    Quando resolvermos uma desigualdade racional, usaremos muitas das técnicas que usamos para resolver desigualdades lineares. Devemos lembrar especialmente que, quando multiplicamos ou dividimos por um número negativo, o sinal de desigualdade deve ser invertido.

    Outra diferença é que devemos considerar cuidadosamente qual valor pode tornar a expressão racional indefinida e, portanto, deve ser excluído.

    Quando resolvemos uma equação e o resultado é x = 3, x = 3, sabemos que há uma solução, que é 3.

    Para resolver uma desigualdade racional, primeiro devemos escrever a desigualdade com apenas um quociente à esquerda e 0 à direita.

    Em seguida, determinamos os pontos críticos a serem usados ​​para dividir a reta numérica em intervalos. UMA ponto crítico é um número que torna a expressão racional zero ou indefinida.

    Em seguida, avaliaremos os fatores do numerador e denominador e encontraremos o quociente em cada intervalo. Isso identificará o intervalo, ou intervalos, que contém todas as soluções da desigualdade racional.

    Escrevemos a solução em notação de intervalo, tendo o cuidado de determinar se os terminais estão incluídos.

    Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: x & # 8722 1 x + 3 & # 8805 0. x & # 8722 1 x + 3 & # 8805 0.

    Passo 1. Escreva a desigualdade como um quociente à esquerda e zero à direita.

    Nossa desigualdade está nesta forma. x & # 8722 1 x + 3 & # 8805 0 x & # 8722 1 x + 3 & # 8805 0

    Passo 2. Determine os pontos críticos & # 8212os pontos onde a expressão racional será zero ou indefinida.

    A expressão racional será zero quando o numerador for zero. Como x & # 8722 1 = 0 x & # 8722 1 = 0 quando x = 1, x = 1, então 1 1 é um ponto crítico.

    A expressão racional será indefinida quando o denominador for zero. Como x + 3 = 0 x + 3 = 0 quando x = & # 87223, x = & # 87223, então & # 87223 & # 87223 é um ponto crítico.

    Os pontos críticos são 1 e & # 87223. & # 87223.

    Etapa 3. Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

    A linha numérica é dividida em três intervalos:

    Passo 4. Teste um valor em cada intervalo. Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator da expressão racional em cada intervalo. Abaixo da linha numérica, mostra o sinal do quociente.

    Para encontrar o sinal de cada fator em um intervalo, escolhemos qualquer ponto nesse intervalo e o usamos como um ponto de teste. Qualquer ponto no intervalo dará à expressão o mesmo sinal, portanto, podemos escolher qualquer ponto no intervalo.

    Como um negativo dividido por um negativo é positivo, marque o quociente positivo no intervalo (& # 8722 & # 8734, & # 87223). (& # 8722 & # 8734, & # 87223).

    O número 0 está no intervalo (& # 87223, 1). (& # 87223, 1). Teste x = 0. x = 0.

    Como um negativo dividido por um positivo é negativo, o quociente é marcado como negativo no intervalo (& # 87223, 1). (& # 87223, 1).

    O número 2 está no intervalo (1, & # 8734). (1, & # 8734). Teste x = 2. x = 2.

    Visto que um positivo dividido por um positivo é positivo, marque o quociente positivo no intervalo (1, & # 8734). (1, & # 8734).

    Etapa 5. Determine os intervalos em que a desigualdade está correta. Escreva a solução em notação de intervalo.

    Queremos que o quociente seja maior ou igual a zero, de modo que os números nos intervalos (& # 8722 & # 8734, & # 87223) (& # 8722 & # 8734, & # 87223) e (1, & # 8734 ) (1, & # 8734) são soluções.

    Mas e os pontos críticos?

    Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: x & # 8722 2 x + 4 & # 8805 0. x & # 8722 2 x + 4 & # 8805 0.


    Symbolab Blog

    Na última postagem, falamos sobre como resolver desigualdades quadráticas. Neste post, vamos falar sobre desigualdades racionais. Vamos relembrar que funções racionais são uma fração algébrica que contém polinômios no numerador e no denominador. Resolver desigualdades racionais é um pouco diferente de resolver desigualdades quadráticas. Ambos compartilham o conceito de uma tabela e valores de teste.

    Vamos ver como resolver desigualdades racionais.

    1. Mova tudo para o lado do sinal de desigualdade
    2. Simplifique a função racional
    3. Encontre os zeros no numerador e pontos indefinidos no denominador
    4. Intervalos de derivação
    5. Encontre o sinal da função racional em cada intervalo
    6. Selecione a desigualdade adequada

    Certifique-se de combinar tudo em uma função racional.

    Passo 2: Simplifique a função racional

    Ele já está simplificado. Nada para cancelar.

    Etapa 3: encontre os zeros no numerador e os pontos indefinidos no denominador

    Etapa 5: Encontre o sinal da função racional em cada intervalo

    Cabeçalho da Tabela x lt3 3 ltx lt4 x gt4
    frac <-3x + 12> frac <-3 (0) +12> <(0) -3> = - 4 frac <-3 (3,5) +12> <(3,5) -3> = 3 frac <-3 (5) +12> <(5) -3> = - frac
    Assinar quad quad quad quad- quad quad quad quad + quad quad quad quad-

    Alteramos o formato dos intervalos para desigualdades. Escolhemos um número no intervalo, inserimos o número na função racional e vemos qual é o sinal da resposta (negativa ou positiva).

    Etapa 6: selecione a desigualdade adequada

    Nós nos referimos à desigualdade original e vemos qual desigualdade satisfaz a desigualdade original. Procuramos um número que produza um número negativo. Voltamos à tabela e vemos que x & lt3 e x & gt4 satisfazem isso.

    Tudo bem, isso foi demais. Vamos & # 8217s ver mais alguns exemplos agora & # 8230

    Certifique-se de verificar novamente se há erros de cálculo em seu trabalho, porque é aí que é muito fácil cometer um erro. Para obter mais prática, consulte a prática do Symbolab & # 8217s.


    Resolvendo desigualdades racionais

    O problema é relativamente simples, mas sou um professor-aluno e os alunos estavam trabalhando para resolver desigualdades racionais.

    Eu recomendei que eles movessem tudo para um lado e encontrassem um denominador comum, e então determinassem quais valores de x farão a função igual a 0 e as assíntotas verticais.

    Meu professor mentor, entretanto, sugeriu que eles multiplicassem ambos os lados pelo denominador para simplificar e então simplesmente se referissem ao problema original para obter as assíntotas verticais. Pelo que posso dizer, seu método parece chegar à resposta correta.

    Estou preocupado com a possibilidade de que a multiplicação por este denominador possa ter consequências para certos problemas, uma vez que não há como saber de antemão se é positivo ou negativo e, portanto, poderia mudar a direção da desigualdade.

    Alguém pode esclarecer isso? Seu método sempre chegará à resposta correta? Se não, você poderia fornecer um exemplo em que a resposta errada será alcançada? Obrigado por qualquer ajuda, só quero ter certeza de que isso seja ensinado corretamente aos alunos para que eles entendam o que estão fazendo.


    Resolvendo Desigualdades Racionais

    Uma desigualdade racional é uma desigualdade que contém uma expressão racional. Ao resolver essas desigualdades racionais, existem etapas que nos levam à solução.

    Para resolver desigualdades racionais:
    (1) Escreva a inequação como uma equação e resolva a equação.
    (2) Determine quaisquer valores que tornem o denominador igual a 0.
    (3) Em uma linha numérica, marque cada um dos valores críticos das etapas 1 e 2.
    Esses valores criarão intervalos na reta numérica.
    (4) Selecione um ponto de teste em cada intervalo e verifique se esse ponto de teste
    satisfaz a desigualdade. (Encontre os intervalos que satisfazem a desigualdade).
    (5) Marque a reta numérica para refletir os valores e intervalos que satisfazem
    a desigualdade.
    (6) Declare sua resposta usando a forma de notação desejada.

    Quando o numerador da inequação é uma expressão quadrática, combine o
    Método de Desigualdade Quadrática de solução com este método de Desigualdade Racional.
    Veja este exemplo.