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8.4E: Exercícios - Valor Presente de uma Anuidade e Pagamento Parcelado


CONJUNTO DE PROBLEMAS: VALOR ATUAL DE UM PAGAMENTO DE ANUIDADE E PARCELAMENTO

Para os problemas a seguir, mostre todo o trabalho.

1) Shawn ganhou na loteria pagando a ele $ 10.000 por mês pelos próximos 20 anos. Ele prefere ter todo o valor em uma única quantia hoje. Se a taxa de juros atual é de 8,2%, quanto dinheiro ele espera conseguir?

2) Sonya comprou um carro por $ 15.000. Encontre o pagamento mensal se o empréstimo for amortizado em 5 anos a uma taxa de 10,1%.

3) Você determina que pode pagar US $ 250 por mês por um carro. Qual é o valor máximo que você pode pagar por um carro se a taxa de juros for de 9% e você quiser pagar o empréstimo em 5 anos?

4) Calcule o pagamento mensal para um empréstimo de $ 200.000 a ser financiado em 30 anos a uma taxa de juros de 10%.

5) Se o empréstimo de $ 200.000 no problema anterior for financiado em 15 anos em vez de 30 anos a 10%, qual será o pagamento mensal?

6) A Friendly Auto oferece a Jennifer um carro por $ 2.000 e $ 300 por mês durante 5 anos. Jason quer comprar o mesmo carro, mas quer pagar em dinheiro. Quanto Jason deve pagar se a taxa de juros for de 9,4%?

7) A família Gomez comprou uma casa por $ 450.000. Eles pagaram 20% de entrada e amortizaram o restante em 5,2% em um período de 30 anos. Encontre seu pagamento mensal.

8) O Sr. e a Sra. Wong compraram sua nova casa por $ 350.000. Eles deram um pagamento inicial de 15% e amortizaram o restante em 30 anos. Se a taxa de juros for 5,8%, calcule o pagamento mensal.

9) Uma empresa necessita de um maquinário que tenha uma vida útil de 5 anos. Ele tem a opção de arrendar por $ 10.000 ao ano ou comprá-lo por $ 40.000 em dinheiro. Se a taxa de juros for de 10%, qual opção é melhor?

10) Jackie quer comprar um carro de $ 19.000, mas ela pode pagar apenas $ 300 por mês durante 5 anos. Se a taxa de juros for de 6%, quanto ela precisa pagar?

11) A mensalidade de Vijay na faculdade para o próximo ano é de $ 32.000. Seus pais decidiram pagar as mensalidades com nove prestações mensais. Se a taxa de juros for 6%, qual é o pagamento mensal?

12) Glen emprestou $ 10.000 para sua educação universitária a 8% compostos trimestralmente. Três anos depois, após se formar e encontrar um emprego, ele decidiu começar a pagar o empréstimo. Se o empréstimo for amortizado em cinco anos a 9%, calcule seu pagamento mensal pelos próximos cinco anos.


8.4E: Exercícios - Valor Presente de uma Anuidade e Pagamento Parcelado

É bastante comum em finanças avaliar uma série de fluxos de caixa futuros (CF), talvez uma série de saques de uma conta de aposentadoria, pagamentos de juros de um título ou depósitos para uma conta de poupança. O valor presente (VP) da série de fluxos de caixa é igual à soma do valor presente de cada fluxo de caixa, então a avaliação é direta: encontre o valor presente de cada fluxo de caixa e então some-os.

Freqüentemente, a série de fluxos de caixa é tal que cada fluxo de caixa tem o mesmo valor futuro. Quando há pagamentos regulares em intervalos regulares e cada pagamento é o mesmo valor, essa série de fluxos de caixa é um anuidade [1]. A maioria dos reembolsos de empréstimos ao consumidor são anuidades, como são, normalmente, compras a prazo, hipotecas, investimentos de aposentadoria, planos de poupança e pagamentos de planos de aposentadoria. Os pagamentos de juros de títulos de taxa fixa são uma anuidade, assim como os dividendos de ações estáveis ​​por longos períodos de tempo. Você pode pensar no seu salário como uma anuidade, assim como muitas despesas pessoais, como mantimentos e serviços públicos, pelos quais você paga aproximadamente a mesma quantia regularmente.

Para calcular o valor presente de uma anuidade, você precisa saber

  • o valor dos fluxos de caixa futuros (o mesmo para cada um),
  • a frequência dos fluxos de caixa,
  • o número de fluxos de caixa (t),
  • a taxa na qual o tempo afeta o valor (r).

Quase qualquer calculadora e os muitos aplicativos de software disponíveis podem fazer as contas para você, mas é importante que você entenda as relações entre tempo, risco, custo de oportunidade e valor.

Se você ganhar na loteria, por exemplo, normalmente é oferecida uma escolha de pagamentos para seus ganhos: uma quantia fixa ou um pagamento anual ao longo de vinte anos.

A agência de loteria preferiria que você recebesse o pagamento anual porque não teria que abrir mão de tanta liquidez de uma só vez que poderia reter sua liquidez por mais tempo. Para tornar o pagamento anual mais atraente para você - não é, porque você gostaria de ter mais liquidez mais cedo - a opção de montante fixo é descontada para refletir o valor presente da anuidade de pagamento. A taxa de desconto, que determina esse valor presente, é escolhida a critério da agência lotérica.

Digamos que você ganhe $ 10 milhões. A agência de loteria oferece uma escolha: receba $ 500.000 por ano ao longo de 20 anos ou receba um pagamento único de $ 6.700.000. Você escolheria a alternativa com o maior valor. O valor presente do pagamento global é de $ 6.700.000. O valor da anuidade não é simplesmente $ 10 milhões ou $ 500.000 × 20, porque os pagamentos de $ 500.000 recebidos ao longo do tempo afetam a liquidez e, portanto, o valor. Portanto, a questão é: quanto vale a anuidade para você?

Sua taxa de desconto ou custo de oportunidade determinará o valor da anuidade para você, conforme mostra a Figura 4.8 & # 8220Valor presente da loteria com diferentes taxas de desconto & # 8221.

Figura 4.8 Valor presente da loteria com diferentes taxas de desconto

Como esperado, o valor presente da anuidade é menor se sua taxa de desconto - ou custo de oportunidade ou a próxima melhor opção - for maior. A anuidade teria o mesmo valor para você que o pagamento total se sua taxa de desconto fosse de 4,16%.

Em outras palavras, se sua taxa de desconto for cerca de 4 por cento ou menos - se você não tiver opções mais lucrativas do que ganhar 4 por cento com essa liquidez - então a anuidade vale mais para você do que o pagamento imediato. Você pode se dar ao luxo de esperar por essa liquidez e recebê-la ao longo de vinte anos porque não tem escolha melhor. Por outro lado, se sua taxa de desconto for superior a 4 por cento, ou se você sentir que o uso dessa liquidez lhe renderia mais de 4 por cento, então você tem coisas mais lucrativas para fazer com esse dinheiro e o quer agora: a anuidade vale menos para você do que o pagamento.

Para uma anuidade, como ao relacionar o valor presente e futuro de um fluxo de caixa, quanto maior a taxa na qual o tempo afeta o valor, maior o efeito sobre o valor presente. Quando o custo ou risco de oportunidade é baixo, esperar pela liquidez não importa tanto quanto quando os custos ou riscos de oportunidade são maiores. Quando os custos de oportunidade são baixos, você não tem nada melhor para fazer com sua liquidez, mas quando os custos de oportunidade são mais altos, você pode sacrificar mais por não ter liquidez. A liquidez é valiosa porque permite que você faça escolhas. Afinal, se não houver escolhas mais valiosas a fazer, você pouco perde ao abrir mão da liquidez. Quanto mais alta a taxa na qual o tempo afeta o valor, mais custa esperar pela liquidez e mais opções passam por você enquanto espera pela liquidez.

Quando o risco é baixo, não é realmente importante ter sua liquidez firmemente sob controle mais cedo, porque você a terá mais cedo ou mais tarde de qualquer maneira. Mas quando o risco é alto, obter liquidez mais cedo torna-se mais importante porque diminui a chance de não obtê-la. Quanto mais alta a taxa na qual o tempo afeta o valor, maior é o risco de esperar por liquidez e mais chance de você não conseguir.

Você também pode examinar a relação entre tempo e fluxo de caixa e o valor da anuidade. Suponha que seu pagamento tenha sido mais (ou menos) a cada ano, ou suponha que seu pagamento tenha ocorrido em mais (ou menos) anos (Figura 4.9 & # 8220Valores presentes de pagamento de loteria & # 8221).

Figura 4.9 Valores presentes de pagamento de loteria

Conforme visto na Figura 4.9 & # 8220Lottery Payout Present Values ​​& # 8221, o valor de cada pagamento ou fluxo de caixa afeta o valor da anuidade porque mais dinheiro significa mais liquidez e maior valor.

Embora o tempo aumente a distância da liquidez, com uma anuidade, também aumenta o número de pagamentos porque os pagamentos ocorrem periodicamente. Quanto mais períodos na anuidade, mais fluxos de caixa e mais liquidez haverá, aumentando assim o valor da anuidade.

É comum no planejamento financeiro calcular o VF de uma série de fluxos de caixa. Este cálculo é útil ao economizar para uma meta em que uma quantia específica será exigida em um ponto específico no futuro (por exemplo, economizar para a faculdade, um casamento ou aposentadoria).

Acontece que as relações entre tempo, risco, custo de oportunidade e valor também são previsíveis no futuro. Digamos que você decida receber o pagamento da loteria anual de $ 500.000 por vinte anos. Se você depositar esse pagamento em uma conta bancária que ganhe 4%, quanto terá em vinte anos? E se a conta ganhasse mais juros? Menos interesse? E se você ganhasse mais (ou menos) de forma que o pagamento fosse maior (ou menor) a cada ano?

E se você ganhasse $ 15 milhões e o pagamento fosse de $ 500.000 por ano durante trinta anos, quanto você teria então? Ou se você ganhasse $ 5 milhões e o pagamento fosse de apenas dez anos? A Figura 4.10 & # 8220Lottery Payout Future Values ​​& # 8221 mostra como os valores futuros mudariam.

Figura 4.10 Valores Futuros de Pagamento de Loteria

No futuro, a taxa na qual o tempo afeta o valor (r) é a taxa na qual o valor cresce ou a taxa na qual o seu valor é composto. Também é chamado de taxa de composição [2]. Quanto maior o efeito do tempo sobre o valor, mais valor você terá, porque mais tempo afetou o valor do seu dinheiro enquanto ele crescia enquanto esperava por você. Portanto, olhando para o futuro valor de uma anuidade:

O valor de cada pagamento ou fluxo de caixa afeta o valor da anuidade porque mais dinheiro significa mais liquidez e maior valor. Se você estivesse recebendo mais dinheiro a cada ano e depositando em sua conta, acabaria com mais valor.

Quanto mais tempo houver, mais tempo pode afetar o valor. Como os pagamentos ocorrem periodicamente, quanto mais fluxos de caixa houver, mais liquidez haverá. Quanto mais períodos na anuidade, mais fluxos de caixa e maior o efeito do tempo, aumentando assim o valor futuro da anuidade.

Também existe um tipo especial de anuidade chamada perpetuidade [3], que é uma anuidade que dura para sempre (ou seja, uma série de fluxos de caixa de valores iguais ocorrendo em intervalos regulares que nunca terminam). É difícil imaginar um fluxo de caixa que nunca termina, mas na verdade não é tão raro quanto parece. Os dividendos de uma ação de ações corporativas são uma perpetuidade, porque, em teoria, uma empresa tem uma vida infinita (como uma entidade legal separada de seus acionistas ou proprietários) e porque, por muitas razões, as empresas gostam de manter um dividendo constante para seus acionistas.

A perpetuidade representa o valor máximo da anuidade, ou o valor da anuidade com a maioria dos fluxos de caixa e, portanto, a maior liquidez e, portanto, o maior valor.


Uma anuidade é um acordo vinculativo entre você e uma seguradora que ajuda a cumprir suas metas monetárias na aposentadoria. Geralmente, eles exigem que você faça um pagamento global inicial ou uma série de pagamentos programados, em troca da seguradora pagar a você pagamentos periódicos em uma data futura.

As anuidades geralmente diferem os impostos sobre os ganhos de investimento, mas depois as retiradas de impostos da anuidade às taxas de renda normais. Eles também costumam incluir um benefício por morte no caso de você morrer e não puder sacar o dinheiro como renda na aposentadoria.

Tipos de anuidades

Uma anuidade vencida é o tipo de anuidade que requer um pagamento no início de um período. O pagamento de um carro ou o pagamento de uma casa seriam bons exemplos de anuidade devida. Você faz um pagamento no primeiro dia de cada mês, e todos os meses subsequentes na mesma data, até o final do prazo definido. Você não recebe um pagamento em troca neste tipo de anuidade.

O outro tipo de pagamento de anuidade é o pagamento de anuidade comum. Esse é o tipo de pagamento a que nos referiremos ao calcular o valor presente de um pagamento de anuidade. Essas anuidades pagam dinheiro a você depois que você cumpre as obrigações do contrato.

Os títulos geralmente são anuidades comuns porque são pagos no final de um período. Os títulos geralmente são financiados por meio de um pagamento de cupom. Os pagamentos são feitos no final de cada período em uma conta até o vencimento do título. Os valores pagos em um título são fixos. A taxa de juros e o período de tempo antes do vencimento também são fixos.

Para ser uma anuidade normal, três premissas devem estar presentes.

  • O pagamento feito não muda
  • a taxa de juros é fixa
  • o primeiro pagamento está a um período de distância

Calculando o valor presente

Ao calcular o valor presente de um pagamento de anuidade, uma fórmula específica é usada, com base nas três premissas acima.

O valor presente de uma anuidade é determinado usando as seguintes variáveis ​​no cálculo.

  • PV = o valor presente
  • C1 = fluxo de caixa no primeiro período
  • r = taxa de retorno
  • n = número de períodos

PV = C1 / (1 + r) n

Quando alguém precisa descobrir quanto dinheiro é necessário como investimento inicial para ter um valor fixo em uma determinada data, ele calculará o valor necessário dividido pelo pagamento multiplicado pelos juros calculados.

Para que um valor presente de $ 1000 seja pago um ano após o investimento inicial, a uma taxa de juros de 5%, o investimento inicial precisaria ser $ 952,38.

Às vezes, a fórmula do valor presente inclui o valor futuro (FV). O resultado é o mesmo e as mesmas variáveis ​​se aplicam. As três variáveis ​​constantes são o fluxo de caixa no primeiro período, a taxa de retorno e o número de períodos.

O valor futuro de uma anuidade é uma equação difícil de dominar se você não for um contador. Para ajudá-lo a entender melhor como calcular valores futuros, uma calculadora online para investidores pode ajudá-lo a entender melhor como as anuidades são calculadas.

FV = PV * [((1 + i) n - 1) / i]

Onde,
PV = valor presente de uma anuidade
i = taxa de juros efetiva
n = número de períodos restantes


O valor presente da fórmula de anuidade é calculado determinando o valor presente que é calculado pelos pagamentos de anuidade ao longo do período de tempo dividido por um mais a taxa de desconto e o valor presente da anuidade é determinado pela multiplicação dos pagamentos mensais equacionados por um menos o valor presente dividido pelo desconto avaliar.

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Por exemplo:
Fonte: Valor Presente de uma Fórmula de Anuidade (wallstreetmojo.com)

  • C é o fluxo de caixa por período
  • eu é a taxa de juros
  • n é a frequência de pagamentos

Explicação

A fórmula PV determinará, em um determinado período, o valor presente de vários pagamentos futuros em intervalos oportunos. O VP da fórmula de anuidade pode ser visto a partir da fórmula que depende do conceito de valor do dinheiro no tempo, em que uma quantia de um dólar em dinheiro no dia atual é mais valiosa do que o mesmo dólar que vencerá em uma data que vai acontecer no futuro. Além disso, o VP da fórmula de anuidade cuida da frequência do pagamento, seja ele anual, semestral, mensal etc. e, portanto, faz cálculos ou, digamos, compostos.

Exemplos

Exemplo 1

Suponha que haja um pagamento de anuidade de $ 1.000 pelos próximos 25 anos, começando em cada final do ano. Você deve calcular o valor presente da anuidade, supondo que a taxa de juros seja de 5%.

Aqui, as anuidades começam no final do ano e, portanto, n será 25, C é $ 1.000 pelos próximos 25 anos e i é 5%.

Use os seguintes dados para o cálculo do VP de uma anuidade.

  • Fluxo de caixa por período (C): 1000,00
  • Número do período (n): 25,00
  • Taxa de juros (i): 5,00%

Portanto, o cálculo do VP de uma anuidade pode ser feito da seguinte forma -

O valor presente da anuidade será & # 8211

Valor Presente de uma Anuidade = 14.093,94

Exemplo # 2

John está atualmente trabalhando em uma multinacional onde recebe US $ 10.000 por ano. Em sua remuneração, há uma parcela de 25%, que será paga uma anuidade pela empresa. Este dinheiro é depositado duas vezes por ano, a partir de 1 ° de julho e o vencimento 2 ° dia 1 ° de janeiro e continuará até os próximos 30 anos e, no momento do resgate, estaria isento de impostos.

Ele também teve a opção de aceitar $ 60.000 de uma só vez, mas isso estaria sujeito a imposto à alíquota de 40%. Você deve avaliar se John deve pegar o dinheiro agora ou esperar até 30 anos para recebê-lo, supondo que ele não esteja na necessidade de fundos e que a taxa livre de risco no mercado seja de 6%.

Aqui, as anuidades começam no final do semestre e, portanto, n será 60 (30 * 2), C é $ 1.250 ($ 10.000 * 25% / 2) para os próximos 30 anos ei é 2,5% (5% / 2 )

Use os dados a seguir para o cálculo do valor presente de uma anuidade.

Portanto, o cálculo do valor presente (PV) de uma fórmula de anuidade pode ser feito da seguinte forma -

O valor presente da anuidade será & # 8211

Valor presente de uma anuidade = $ 38.635,82

Portanto, se John optar por uma anuidade, ele receberá $ 38.635,82.

A segunda opção é que ele opte por $ 60.000, que é antes dos impostos, e se deduzirmos um imposto de 40%, o valor em mãos será de $ 36.000.

Portanto, John deve optar pela anuidade, pois há um benefício de $ 2.635,82

Exemplo # 3

Dois produtos de aposentadoria diferentes estão sendo oferecidos à Sra. Carmella quando ela está se aproximando da aposentadoria. Ambos os produtos iniciarão seu fluxo de caixa na idade de 60 anos e continuarão a anuidade até os 80 anos de idade. Abaixo estão mais detalhes dos produtos. Você deve calcular o valor presente da anuidade e aconselhar, qual é o melhor produto para a Sra. Carmella?

Suponha que a taxa de juros seja de 7%.

Valor da anuidade = $ 2.500 por período. Frequência de pagamento = Trimestral. O pagamento será no início do período.

Valor da anuidade = 5.150 por período. Frequência de pagamento = Semestral. O pagamento será no final do período

= $ 2.500 x [(1 - (1 + 1,75%) -79) / 0,0175]

Valor Presente da Anuidade = $ 106.575,83

A 2ª opção é o pagamento semestral. Portanto, n será 40 (20 * 2), i será 3,50% (7% / 2) e C será $ 5.150.

Portanto, o cálculo do VP de uma anuidade para um produto Y pode ser feito da seguinte forma -

O valor presente da anuidade para o produto Y será & # 8211

= $ 5.150 x [(1 - (1 + 3,50%) -40) / 0,035]

Valor presente da anuidade = $ 109.978,62

Há apenas $ 902,79 a mais quando opta pela opção 2. Portanto, a Sra. Carmella deve selecionar a opção 2.

Relevância e usos

A fórmula é muito importante não apenas no cálculo das opções de aposentadoria, mas também pode ser usada para saídas de caixa no caso de orçamento de capital, onde poderia haver um exemplo de aluguel ou juros periódicos pagos, que são em sua maioria estáticos, portanto, podem ser descontados usando esta fórmula de anuidade. Além disso, deve-se ter cautela ao usar a fórmula, pois é necessário determinar se os pagamentos são feitos no início ou no final do período, pois o mesmo pode afetar os valores dos fluxos de caixa devido aos efeitos compostos.

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Exemplo 2.2 & # 8212 Resolução para o valor do pagamento

Freqüentemente, precisamos resolver os pagamentos de anuidades. Por exemplo, você pode querer saber quanto custará o pagamento de uma hipoteca ou empréstimo de automóvel. Ou talvez você queira saber quanto precisará economizar a cada ano para atingir uma meta específica (economizar para a faculdade ou aposentadoria, talvez). Na página anterior, vimos um exemplo sobre como economizar para a faculdade. Vamos examinar esse problema novamente, mas desta vez vamos tratá-lo como um problema de anuidade em vez de um montante fixo:

Suponha que você esteja planejando mandar sua filha para a faculdade em 18 anos. Além disso, suponha que você determinou que precisará de $ 100.000 naquele momento para pagar as mensalidades, hospedagem e alimentação, suprimentos para festas, etc. Se você acredita que pode ganhar uma taxa média de retorno anual de 8% ao ano, quanto dinheiro você precisaria investir no final de cada ano para atingir sua meta?

Lembre-se de que determinamos anteriormente que, se você fizesse um investimento de quantia total hoje, teria de investir $ 25.024,90. Isso é uma grande mudança. Nesse caso, economizar para a faculdade será mais fácil porque vamos distribuir o investimento em 18 anos, ao invés de tudo de uma vez. (Observe que, por enquanto, estamos assumindo que o primeiro investimento será feito daqui a um ano. Em outras palavras, é uma anuidade normal.)

Abra uma nova planilha e insira os dados conforme mostrado abaixo:

Neste problema, queremos resolver um pagamento de anuidade anual, então usaremos a função PMT. Selecione B5 e digite: = PMT (B3, B2,0, B1). Observe que inserimos 0 para o argumento PV porque o problema não especifica um investimento inicial. Você descobrirá que precisa investir $ 2.670,21 por ano durante os próximos 18 anos para cumprir sua meta de ter $ 100.000.

Agora, vamos mudar um pouco o problema, incluindo um investimento de quantia global feito hoje:

Suponha que você acabou de receber um presente de um dos avós de sua filha. Eles deram a você $ 5.000 para serem investidos para ajudar a pagar as mensalidades da faculdade. Como isso muda o valor que você teria que investir a cada ano?

Já que você agora estará investindo $ 5.000 hoje (o PV), a quantia que você precisa economizar nos anos futuros será reduzida. Para descobrir o novo pagamento anual necessário, precisamos modificar um pouco a planilha. Primeiro, selecione a linha 1 e insira uma nova linha. Agora, em A1 digite: Present Value e em B1 digite: 5.000.

Finalmente, precisamos alterar a fórmula em B6 para: = PMT (B4, B3, -B1, B2). Observe que o argumento PV foi alterado de 0 para -B1. Deve ser inserido como um número negativo porque os $ 5.000 serão investidos (uma saída de caixa). Se você tivesse colocado como um número positivo, obteria a resposta errada ($ 3.203,72). Você deve detectar esse erro porque o resultado é maior do que se você não tivesse os $ 5.000 para investir. Novamente, você sempre deve pensar sobre a direção dos fluxos de caixa ao usar essas funções.


Valor presente de uma anuidade

O valor presente da anuidade é o valor presente dos fluxos de caixa futuros ajustados ao valor do dinheiro no tempo, considerando todos os fatores relevantes, como a taxa de desconto (taxa específica). Descobrir o valor presente dos fluxos de caixa futuros ajuda os investidores a entender quanto dinheiro eles receberão ao longo do período de tempo no termo do dólar de hoje e tomar decisões de investimento informadas.

Por causa da inflação, o poder de compra do dinheiro diminui, então, por causa do conceito de valor do dinheiro no tempo, o dinheiro recebido hoje tem mais valor do que o dinheiro, que será recebido amanhã. Em termos simples, podemos dizer que se alguém tem dinheiro agora, ele pode investir esse dinheiro e obter retornos sobre esse dinheiro, de modo que automaticamente o valor do dinheiro é apreciado. Pela mesma lógica, $ 10.000 em dinheiro recebidos hoje valem mais do que $ 10.000 recebidos amanhã.

Fórmula

Depois de simplificar este valor presente da fórmula de anuidade, podemos obter

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Por exemplo:
Fonte: Valor Presente de uma Anuidade (wallstreetmojo.com)

Exemplo 1

O Sr. ABC é um servidor público aposentado de 60 anos. Ele vem pagando em sua conta de aposentadoria por mês nos últimos 30 anos e agora, após sua aposentadoria, ele pode começar a sacar fundos da conta de aposentadoria. De acordo com o acordo, a empresa de aposentadoria está dando a ele o pagamento de $ 30.000 no primeiro dia de cada ano pelos próximos 25 anos, ou outra opção é um pagamento único de $ 500.000. Agora o Sr. ABC quer saber qual é o valor dos pagamentos anuais de $ 30.000 feitos a ele em comparação com um pagamento único. Ele tem a opção de escolher, e ele quer escolher, o que lhe dá mais dinheiro.

Usando o cálculo do valor presente da fórmula de anuidade acima, podemos ver agora que os pagamentos de anuidades valem cerca de $ 400.000 hoje, assumindo a taxa de juros ou a taxa de desconto de 6%. Portanto, o Sr. ABC deveria tirar $ 500.000 hoje e investir sozinho para obter melhores retornos.

Usando a fórmula do valor presente acima, podemos ver que os pagamentos da anuidade valem cerca de US $ 400.000 hoje, supondo uma taxa de juros média de 6%. Portanto, é melhor o Sr. Johnson pegar a quantia total hoje e investir em si mesmo.

Aqui, se alterarmos a taxa de desconto, o valor presente muda drasticamente. O fator de desconto Fator de desconto Fator de desconto é um fator de ponderação usado com mais frequência para encontrar o valor presente dos fluxos de caixa futuros, ou seja, para calcular o valor presente líquido (NPV). É determinado por, 1 / leia mais pode ser feito com base nas taxas de juros ou custo dos fundos para a empresa. Depende do uso do fator de desconto. Assim, quanto menor a taxa de desconto, maior o valor presente.

Exemplo # 2

Descubra a anuidade de $ 500 paga no final de cada mês dos anos civis durante um ano. A taxa de juros anual é de 12%.

i - Frequência de ocorrências

Fator de anuidade de valor presente

Para simplificar e facilitar o uso de modelos financeiros, os profissionais geralmente calculam os fatores de anuidade de valor presente, o que os ajuda a ficar de olho nas taxas de desconto, bem como nos fatores de anuidade total.

Esse fator é mantido em formas tabulares para descobrir o valor presente por dólar de fluxo de caixa com base nos períodos e no período da taxa de desconto. Uma vez que o valor dos fluxos de caixa em dólares seja conhecido, os fluxos de caixa do período real são multiplicados pelo fator de anuidade para descobrir o valor presente da anuidade.

Calcular o valor presente de uma anuidade devida

Até agora, vimos que o pagamento da anuidade era feito no final de cada período. E se o pagamento for feito no início do período, a fórmula acima nos enganará. A fórmula da anuidade vencida pode nos ajudar a descobrir o valor presente da anuidade cujo pagamento é feito na data de início do período.

Conclusão

O valor presente da anuidade é um dos conceitos muito importantes para descobrir o valor real dos fluxos de caixa futuros. A mesma fórmula pode ser usada para entradas e saídas de caixa. Para entradas de caixa, você pode usar a taxa de desconto a termo, enquanto, para saídas de caixa, você pode usar a taxa de juros a termo. Usando o mesmo conceito, você pode descobrir o valor presente dos fluxos de caixa futuros, tanto de entrada quanto de saída. A fórmula normal pode nos ajudar a encontrar o valor presente de uma anuidade se os fluxos de caixa estiverem no final do período. Mas se os fluxos de caixa estiverem no início do período, a fórmula de anuidade devida ajudará.

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Valor presente de uma análise de anuidade

Na maioria das vezes, o planejamento da aposentadoria será a razão por trás da necessidade de calcular o valor presente de uma anuidade. Indivíduos que planejam sua aposentadoria vão querer saber quanto eles precisam investir hoje para receber uma certa quantia de cada pagamento de sua anuidade.

Esse cálculo também pode ser útil ao trabalhar com uma anuidade de loteria ou planejar uma anuidade para uma propriedade, como no exemplo acima. As anuidades podem ser muito atraentes porque têm o potencial de gerar renda para o resto da vida de alguém.

Além disso, ter uma taxa de juros fixa e pagamentos confiáveis ​​pode remover parte do estresse do planejamento da aposentadoria. No entanto, é importante lembrar que os impostos ainda devem ser pagos sobre o dinheiro distribuído em uma anuidade, e taxas adicionais também podem torná-los mais caros.

Ao calcular o valor presente de uma anuidade, o investimento inicial precisa estar a um período de distância do início da anuidade, ou então mudaria o valor dos pagamentos feitos no futuro. Se o investimento inicial estiver a mais de um período de pagamento do início da anuidade, você poderá usar o valor presente de uma fórmula de anuidade vencida ou o valor presente de uma anuidade diferida.


Uma anuidade, em termos muito simples, é basicamente um contrato entre duas partes em que uma parte paga o montante fixo no início ou série de pagamentos inicialmente e em troca receberá o pagamento do período da outra parte. Portanto, é basicamente um produto financeiro em que uma série de pagamentos que são feitos em intervalos regulares. Este contrato de anuidade é dividido em duas partes. Primeiro é a acumulação e nesta fase você investe seu dinheiro no instrumento financeiro escolhido e a seguir é a anuitização, na qual você estará recebendo pagamentos constantes pelo prazo estipulado. Este é um método muito comum usado por muitos investidores para garantir sua aposentadoria. Eles economizam hoje e escolhem a anuidade para que, quando ficarem velhos, tenham um fluxo constante de renda.

Baixe Avaliação Corporativa, Banco de Investimento, Contabilidade, Calculadora CFA e outros

Geralmente, as seguradoras vendem esses contratos de anuidade. As seguradoras assumem o valor do depósito e assumem o risco de garantir pagamentos futuros regulares aos investidores. A anuidade também dá aos investidores a flexibilidade de fazer pagamentos e isso pode ser feito em montante fixo, mensal, trimestral, etc.

A fórmula para anuidade é a seguinte:

Podemos definir a fórmula de anuidade de muitas maneiras, e isso depende do que desejamos calcular.

  1. Se quisermos ver qual é o valor global que temos que pagar hoje para que possamos ter um fluxo de caixa estável no futuro, usamos a fórmula abaixo:
  • P - Valor presente da anuidade ou o montante fixo
  • C - Fluxo de caixa futuro
  • r - Taxa de juro
  • n - Número de períodos
  1. Da mesma forma, se você quiser descobrir qual será o fluxo de caixa, podemos usar a fórmula ligeiramente modificada:

Exemplos de fórmula de anuidade (com modelo Excel)

Vamos dar um exemplo para entender o cálculo da Anuidade de uma maneira melhor.

Fórmula de anuidade - Exemplo # 1

Digamos que você queira ter o pagamento de $ 2.000 de anuidade a partir do próximo ano por 10 anos. A taxa de mercado atual é de 10%. Vamos calcular quanto você tem que depositar hoje:

O valor presente da anuidade é calculado usando a fórmula fornecida abaixo

P = C * [(1 & # 8211 (1 + r) -n) / r]

  • Valor presente da anuidade = $ 2.000 * ((1 - (1 + 10%) -10) / 10%)
  • Valor Presente da Anuidade = $12,289.13

Portanto, você tem que pagar $ 12.289,13 hoje para receber o pagamento de $ 2.000 a partir do próximo ano por 10 anos.

Fórmula de anuidade - Exemplo # 2

Digamos que sua idade seja 30 anos e você deseja se aposentar aos 50 anos e espera viver mais 25 anos. Você tem 20 anos de serviço restantes e deseja que, ao se aposentar, receba um pagamento anual de $ 10.000 até morrer (ou seja, por 25 anos após a aposentadoria). Para isso, queremos economizar dinheiro hoje. A taxa de juros do mercado é de 10%. Você tem $ 15.000 que pode investir hoje. Vamos verificar se isso será suficiente para cumprir as metas.

Now we want to get $10,000 starting from year 51 to year 75 (25 years).

Present Value of Annuity is calculated using the formula given below

P = C * [(1 – (1 + r) -n ) / r]

  • Present Value of Annuity at Year 50 = $10,000 * ((1 – (1 + 10%) -25 ) / 10%)
  • Present Value of Annuity at Year 50 = $90,770.40

But that value you need at year 50 i.e. 20 years from now. You want to see the money you need today. So we need to calculate the present value of that amount today.

Present Value of Annuity is calculated as:

  • Present Value of Annuity = $90,770.40 / (1 + 10%) 20
  • Present Value of Annuity = $13,492.44

Since you have $15,000 with you and you only need $13,492.44, you are covered and will be able to achieve your target.

Explicação

There are basically 2 types of annuities we have in the market:

  1. Fixed Annuity: It is the traditional financial instrument which we discussed above. You invest a specific amount and the institution will guarantees you fixed periodic payments.
  2. Variable Annuity: It is very different than the traditional fixed annuity. In this model, it does not guarantee you fixed payments, rather pays you based on the performance of the investments. So if an investment does well, you can have higher returns and vice versa.

Annuities, as we discussed above, provide a fixed series of payments once you pay the amount to the financial institutes. But how institutes able to pay the investor the fixed amount on a periodic basis is that they invest that amount in the financial instruments which are high in quality and provide fixed-income to the institutes. These instruments are generally high rated bonds and T-bills.

Relevance and Uses of Annuity Formula

Annuities are a great financial instrument for the investors who want to secure their future and want to have constant income coming in once they retire. Although annuity is a secure stream of payment which one gets to buy this financial instrument is not relevant for everyone. If you have enough income and not bothered that you will be short of money in the future, an annuity is not meant for you. You can choose other lucrative investments.

Also, there are some risks associated with an annuity which investors should also keep in mind. First is the opportunity cost. In an annuity, the market rates get locked and if the rate increase in the future, you will lose out those opportunities. But this can be mitigated up to an extent by not entering into long term annuity and doing gradual annuity. It will give you more room to play and make use of an increasing interest rate.

Annuity Formula Calculator

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What is Present Value of Annuity Formula?

The term “present value of annuity” refers to the series of equal future payments that are discounted to the present day. However, the payment can be received either at the beginning or at the end of each period and accordingly there are two different formulations. In case the cash flow is to be received at the beginning, then it is known as the present value of an annuity due and the formula can be derived based on the periodic payment, interest rate, number of years and frequency of occurrence in a year. Mathematically, it is represented as,

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  • PVA = Present Value of Annuity
  • P = Periodic Payment
  • r = Interest Rate
  • t = Number of Years
  • n = Frequency of Occurrence in a year

In case the cash flow is to be received at the end of each period, then it is known as the present value of the ordinary annuity and the formula is slightly different and it is expressed as,

Examples of Present Value of Annuity Formula (With Excel Template)

Let’s take an example to understand the calculation of Present Value of Annuity in a better manner.

Present Value of Annuity Formula – Example #1

Let us take the example of an annuity of $5,000 which is expected to be received annually for the next three years. Calculate the present value of the annuity if the discount rate is 4% while the payment is received at the beginning of each year.

Present Value of Annuity Due is calculated using the formula given below

PVA Due = P * [1 – (1 + r/n) -t*n ] * [(1 + r/n) / (r/n)]

  • Present Value of Annuity Due = $5,000 * [1 – (1 + (4%/1)) -3*1 ] * [(1 + (4%/1)) / (4%/1)]
  • Present Value of Annuity Due =$14,430

Therefore, the present value of the annuity is $14,430.

Present Value of Annuity Formula – Example #2

Let us take the example of David who is expected to receive a series of equal quarterly future cash inflow of $1,000 for the next six years. Calculate the present value of the future cash inflow if the relevant discounting rate based on the ongoing market rate is 5% while the payment is received:

  1. At the beginning of each quarter
  2. At the End of each quarter

At the beginning of each quarter

Present Value of Annuity Due is calculated using the formula given below

PVA Due = P * [1 – (1 + r/n) -t*n ] * [(1 + r/n) / (r/n)]

  • Present Value of Annuity Due = $1,000 * [1 – (1 + (5%/4)) -6*4 ] * ((1 + (5%/4)) / (5%/4))
  • Present Value of Annuity Due = $20,882

At the End of each quarter

Present Value of Ordinary Annuity is calculated using the formula given below

PVA Ordinary = P * [1 – (1 + r/n) -t*n ] / (r/n)

  • Present Value of Ordinary Annuity = $1,000 * [1 – (1 + 5%/4) -6*4 ] / (5%/4)
  • Present Value of Ordinary Annuity = $20,624

Therefore, the present value of the cash inflow to be received by David is $20,882 and $20,624 in case the payments are received at the start or at the end of each quarter respectively.

Explicação

Let us first look at the formula for the present value of an annuity due and then the one for the present value of the ordinary annuity and each of them can be derived by using the following steps:

Passo 1: Firstly, figure out the equal periodic payment which is expected to be made either at the beginning or end of each period. It is denoted by P.

Passo 2: Next, figure out the interest rate on the basis of the ongoing market rates and it will be used to discount each periodic payment to the present day. It is denoted by r.

Etapa 3: Next, figure out the number of years for which the future payments are expected to be received and it is denoted by t.

Passo 4: Next, determine the frequency or occurrence of the payments in a year and it is denoted by n. It can be used to calculate the effective rate of interest and number of periods as shown below.

Effective Interest Rate = r / n

Number of Periods = t* n

Etapa 5: In case the cash flow is to be received at the beginning of each period, then the formula for present value of annuity due can be derived on the basis of periodic payment (step 1), effective interest rate (step 4) and number of periods (step 4) as shown below.

PVA Due = P * [1 – (1 + r/n) -t*n ] * (1 + r/n) / (r/n)

On the other hand, if the cash flow is to be received at the end of each period, then the formula for the present value of an ordinary annuity can be expressed as shown below.

PVA Ordinary = P * [1 – (1 + r/n) -t*n ] / (r/n)

Relevance and Uses of Present Value of Annuity Formula

Although the concept of the present value of an annuity is simply another expression of the theory of time value of money, it is an important concept from the perspective of valuation of retirement planning. In fact, it is predominantly used by accountants, actuaries and insurance personnel to calculate the present value of structured future cash flows. It is also useful in the decision – whether a lump sum payment is better than a series of future payments based on the discount rate. Further, the above-mentioned decision is also influenced by the fact that whether the payment is received at the beginning or at the end of each period.

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What is the present value of an annuity of $2,000 per year, with the first cash flow received three years from today and the last one received 8 years from today? Use a discount rate of eight percent.

Solução:

PVA6 = $9,245.76

Answer: $7,926.75


How Good Are Annuity Calculators for Estimating Present Value?

Many websites, including Annuity.org, offer online calculators to help you find the present value of your annuity or structured settlement payments. These calculators use a time value of money formula to measure the current worth of a stream of equal payments at the end of future periods.

Simply enter data found in your annuity contract to get started. In just a few minutes, you’ll have a quote that reflects the impact of time, interest rates and market value.

  • Payment type
  • Date of next payment
  • How much each payment is worth
  • Number of payments remaining
  • How frequently you receive payments

This estimate is a great first step. It gives you an idea of how much you may receive for selling future periodic payments.

Learning the true market value of your annuity begins with recognizing that secondary market buyers use a combination of variables unique to each customer.

That’s why an estimate from an online calculator will likely differ somewhat from the result of the present value formula discussed earlier.

  • Fees and extra charges
  • Current annuity market rates
  • Specific company guidelines
  • Amount of money left in your annuity
  • When annuity payments began

Use your estimate as a starting point for conversation with a financial professional. Discuss your quote with one of our trusted partners, who can explain the present value of your payments in more detail.

It’s also important to keep in mind that our online calculator cannot give an accurate quote if your annuity includes increasing payments or a market value adjustment based on fluctuating interest rates.

Email or call our representatives to find the worth of these more complex annuity payment types.