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1: Equações Lineares e Linhas


No final do século XX, os valores das ações de empresas de internet e tecnologia aumentaram dramaticamente. O Índice Standard and Poor’s rastreia o valor desse investimento inicial de pouco menos de $ 100 ao longo dos 40 anos. O resultado causou a queda acentuada representada no gráfico a partir do final de 2000.

Observe, ao considerarmos este exemplo, que há uma relação definida entre o ano e a média do mercado de ações. Para qualquer ano que escolhermos, podemos determinar o valor correspondente da média do mercado de ações. Neste capítulo, exploraremos esses tipos de relacionamentos e suas propriedades.

objetivos de aprendizado

Neste capítulo, você aprenderá a:

  1. Resolva equações lineares
  2. Resolva desigualdades lineares, expressando soluções em uma reta numérica e em notação de intervalo
  3. Equações lineares do gráfico
  4. Encontre a equação de uma linha
  5. Aplicar modelos lineares aos dados

Equação de uma linha reta

A equação de uma linha reta é geralmente escrita desta forma:

O que isso representa?

Declive ou
Gradiente
y quando x = 0
(ver interceptação Y)

m = Inclinação ou Gradiente (quão íngreme é a linha)

b = valor de y quando x = 0

Como você encontra & quotm & quot e & quotb & quot?

  • b é fácil: basta ver onde a linha cruza o eixo Y.
  • m (a inclinação) precisa de alguns cálculos:

Sabendo disso, podemos calcular a equação de uma linha reta:

Exemplo 1

m = 2 1 = 2

b = 1 (valor de y quando x = 0)

Com essa equação você pode agora.

. escolha qualquer valor para x e encontre o valor correspondente para y

Verifique você mesmo se x = 1 ey = 3 está realmente na linha.

Ou podemos escolher outro valor para x, como 7:

E então quando x = 7 você terá y = 15


1: Equações Lineares e Linhas

Nesta seção, precisamos dar uma olhada na equação de uma linha em (< mathbb^ 3> ). Como vimos na seção anterior, a equação (y = mx + b ) não descreve uma linha em (< mathbb^ 3> ), em vez disso, descreve um plano. Isso não significa, entretanto, que não podemos escrever uma equação para uma linha no espaço 3-D. Precisamos apenas de uma nova maneira de escrever a equação de uma curva.

Portanto, antes de entrarmos nas equações das retas, primeiro precisamos examinar brevemente as funções vetoriais. Vamos dar uma olhada mais aprofundada nas funções vetoriais mais tarde. Neste ponto, tudo com que precisamos nos preocupar são as questões de notação e como elas podem ser usadas para fornecer a equação de uma curva.

A melhor maneira de ter uma ideia do que é uma função vetorial e de como é seu gráfico é examinar um exemplo. Portanto, considere a seguinte função vetorial.

[ vec r left (t right) = left langle right rangle ]

Uma função vetorial é uma função que recebe uma ou mais variáveis, uma neste caso, e retorna um vetor. Observe também que uma função vetorial pode ser uma função de duas ou mais variáveis. No entanto, nesses casos, o gráfico pode não ser mais uma curva no espaço.

O vetor que a função fornece pode ser um vetor em qualquer dimensão necessária. No exemplo acima, ele retorna um vetor em (< mathbb^ 2> ). Quando chegarmos ao assunto real desta seção, equações de linhas, estaremos usando uma função vetorial que retorna um vetor em (< mathbb^3>)

Agora, queremos determinar o gráfico da função vetorial acima. Para encontrar o gráfico de nossa função, vamos pensar no vetor que a função vetorial retorna como um vetor de posição para pontos no gráfico. Lembre-se de que um vetor de posição, digamos ( vec v = left langle right rangle ), é um vetor que começa na origem e termina no ponto ( left ( certo)).

Portanto, para obter o gráfico de uma função vetorial, tudo o que precisamos fazer é inserir alguns valores da variável e, em seguida, plotar o ponto que corresponde a cada vetor de posição que obtemos da função e jogarmos conectar os pontos. Aqui estão algumas avaliações para nosso exemplo.

[ vec r left (<- 3> right) = left langle <- 3,1> right rangle hspace <0.25in> hspace <0.25in> vec r left (<- 1> right) = left langle <- 1,1> right rangle hspace <0.25in> hspace <0.25in> vec r left (2 right) = left langle <2, 1> right rangle hspace <0.25in> hspace <0.25in> vec r left (5 right) = left langle <5,1> right rangle ]

Portanto, cada um desses são vetores de posição que representam pontos no gráfico de nossa função vetorial. Os pontos,

são todos os pontos que estão no gráfico de nossa função vetorial.

Se fizermos mais algumas avaliações e plotarmos todos os pontos, obteremos o seguinte esboço.

Neste esboço, incluímos o vetor de posição (em cinza e tracejado) para várias avaliações, bem como o (t ) (acima de cada ponto) que usamos para cada avaliação. Parece que, neste caso, o gráfico da equação vetorial é na verdade a reta (y = 1 ).

Aqui está outro exemplo rápido. Aqui está o gráfico de ( vec r left (t right) = left langle <6 cos t, 3 sin t> right rangle ).

Neste caso, obtemos uma elipse. É importante não sair desta seção com a ideia de que as funções vetoriais representam apenas linhas. Veremos as linhas nesta seção, mas os gráficos das funções vetoriais não precisam ser linhas, como mostra o exemplo acima.

Deixaremos esta breve discussão sobre funções vetoriais com outra maneira de pensar no gráfico de uma função vetorial. Imagine que um lápis / caneta está anexado ao final do vetor de posição e conforme aumentamos a variável, o vetor de posição resultante se move e conforme ele move o lápis / caneta na extremidade desenha a curva para a função do vetor.

Ok, agora precisamos passar para o tópico real desta seção. Queremos escrever a equação de uma linha em (< mathbb^ 3> ) e como sugerido pelo trabalho acima, precisaremos de uma função vetorial para fazer isso. Para ver como faremos isso, vamos pensar sobre o que precisamos para escrever a equação de uma linha em (< mathbb^ 2> ). Em duas dimensões, precisamos da inclinação ( (m )) e um ponto que estava na linha para escrever a equação.

Em (< mathbb^ 3> ) isso ainda é tudo de que precisamos, exceto que, neste caso, a "inclinação" não será um número simples, pois era em duas dimensões. Nesse caso, precisaremos reconhecer que uma linha pode ter uma inclinação tridimensional. Portanto, precisamos de algo que nos permita descrever uma direção que está potencialmente em três dimensões. Já temos uma quantidade que fará isso por nós. Os vetores fornecem direções e podem ser objetos tridimensionais.

Então, vamos começar com as seguintes informações. Suponha que conheçamos um ponto que está na linha, ( = left (<,,> right) ), e que ( vec v = left langle right rangle ) é algum vetor paralelo à linha. Observe, com toda a probabilidade, ( vec v ) não estará na própria linha. Precisamos apenas de ( vec v ) para ser paralelo à linha. Finalmente, deixe (P = left ( direita) ) ser qualquer ponto da linha.

Agora, uma vez que nossa "inclinação" é um vetor, vamos também representar os dois pontos da linha como vetores. Faremos isso com vetores de posição. Então, vamos ( overrightarrow <> ) e ( vec r ) são os vetores de posição para P0 e (P ) respectivamente. Além disso, sem razão aparente, vamos definir ( vec a ) como o vetor com representação ( overrightarrow <P> ).

Agora temos o seguinte esboço com todos esses pontos e vetores nele.

Agora, mostramos o vetor paralelo, ( vec v ), como um vetor de posição, mas não precisa ser um vetor de posição. Pode estar em qualquer lugar, um vetor de posição, na linha ou fora da linha, ele só precisa ser paralelo à linha.

Em seguida, observe que podemos escrever ( vec r ) da seguinte forma,

[ vec r = overrightarrow <> + vec a ]

Se você não tem certeza sobre isso, volte e verifique o esboço para adição de vetor na seção de aritmética vetorial. Agora, observe que os vetores ( vec a ) e ( vec v ) são paralelos. Portanto, há um número, (t ), tal que

Isso é chamado de forma vetorial da equação de uma linha. A única parte desta equação que não é conhecida é o (t ). Observe que (t , vec v ) será um vetor que se encontra ao longo da linha e nos diz a que distância do ponto original devemos nos mover. Se (t ) for positivo, nos afastamos do ponto original na direção de ( vec v ) (bem em nosso esboço) e se (t ) for negativo nos afastamos do ponto original no direção oposta de ( vec v ) (à esquerda em nosso esboço). Como (t ) varia em todos os valores possíveis, cobriremos completamente a linha. O esboço a seguir mostra essa dependência de (t ) de nosso esboço.

Existem várias outras formas de equação de uma reta. Para obter a primeira forma alternativa, vamos começar com a forma vetorial e fazer uma pequena reescrita.

[começar vec r & = left langle <,,> right rangle + t left langle right rangle left langle right rangle & = left langle <+ ta, + tb, + tc> right rangle end]

A única maneira de dois vetores serem iguais é os componentes serem iguais. Em outras palavras,

Este conjunto de equações é chamado de forma paramétrica da equação de uma linha. Observe também que isso nada mais é do que uma extensão das equações paramétricas que vimos anteriormente. A única diferença é que agora estamos trabalhando em três dimensões, em vez de duas dimensões.

Para obter um ponto na linha, tudo o que fazemos é escolher um (t ) e conectar em qualquer uma das formas da linha. Na forma vetorial da linha, obtemos um vetor de posição para o ponto e na forma paramétrica, as coordenadas reais do ponto.

Existe mais uma forma da linha que queremos examinar. Se assumirmos que (a ), (b ) e (c ) são todos números diferentes de zero, podemos resolver cada uma das equações na forma paramétrica da linha para (t ). Podemos então definir todos eles iguais uns aos outros, uma vez que (t ) será o mesmo número em cada um. Isso dá o seguinte,

Isso é chamado de equações simétricas da linha.

Se um de (a ), (b ) ou (c ) for zero, ainda podemos escrever as equações simétricas. Para ver isso, vamos supor que (b = 0 ). Neste caso, (t ) não existirá na equação paramétrica para (y ) e, portanto, só resolveremos as equações paramétricas para (x ) e (z ) para (t ). Em seguida, definimos aqueles iguais e reconhecemos a equação paramétrica para (y ) como segue,

Vamos dar uma olhada em um exemplo.

Para fazer isso, precisamos do vetor ( vec v ) que será paralelo à linha. Este pode ser qualquer vetor, desde que seja paralelo à linha. Em geral, ( vec v ) não mentirá na própria linha. No entanto, neste caso, sim. Tudo o que precisamos fazer é deixar que ( vec v ) seja o vetor que começa no segundo ponto e termina no primeiro ponto. Uma vez que esses dois pontos estão na linha, o vetor entre eles também estará na linha e, portanto, será paralelo à linha. Então,

[ vec v = left langle <1, - 5,6> right rangle ]

Observe que a ordem dos pontos foi escolhida para reduzir o número de sinais negativos no vetor. Nós poderíamos facilmente ter seguido o outro caminho.

Uma vez que temos ( vec v ), realmente não há mais nada a fazer. Para usar a forma vetorial, precisamos de um ponto na linha. Temos dois e podemos usar qualquer um. Usaremos o primeiro ponto. Aqui está a forma vetorial da linha.

[ vec r = left langle <2, - 1,3> right rangle + t left langle <1, - 5,6> right rangle = left langle <2 + t, - 1 - 5t, 3 + 6t> right rangle ]

Uma vez que temos essa equação, seguem-se as outras duas formas. Aqui estão as equações paramétricas da linha.

[começarx & = 2 + t y & = - 1 - 5t z & = 3 + 6t end]

Aqui está a forma simétrica.

Para responder a isso, primeiro precisamos escrever a equação da reta. Conhecemos um ponto na linha e só precisamos de um vetor paralelo. Sabemos que a nova linha deve ser paralela à linha dada pelas equações paramétricas na definição do problema. Isso significa que qualquer vetor que seja paralelo à linha dada também deve ser paralelo à nova linha.

Agora lembre-se de que na forma paramétrica da linha, os números multiplicados por (t ) são as componentes do vetor que é paralelo à linha. Portanto, o vetor,

[ vec v = left langle <3,12, - 1> right rangle ]

é paralelo à linha fornecida e, portanto, também deve ser paralelo à nova linha.

A equação da nova linha é, então,

[ vec r = left langle <0, - 3,8> right rangle + t left langle <3,12, - 1> right rangle = left langle <3t, - 3 + 12t, 8 - t> right rangle ]

Se esta linha passar pelo plano (xz ), então sabemos que a coordenada (y ) desse ponto deve ser zero. Então, vamos definir o componente (y ) da equação igual a zero e ver se podemos resolver para (t ). Se pudermos, isso fornecerá o valor de (t ) para o qual o ponto passará pelo plano (xz ).

[- 3 + 12t = 0 hspace <0,5in> Rightarrow hspace <0,5in> t = frac <1> <4> ]

Portanto, a linha passa pelo plano (xz ). Para obter as coordenadas completas do ponto, tudo o que precisamos fazer é inserir (t = frac <1> <4> ) em qualquer uma das equações. Usaremos a forma vetorial.

[ vec r = left langle <3 left ( <4>> right), - 3 + 12 left ( <4>> right), 8 - frac <1> <4>> right rangle = left langle <4>,0,frac<<31>> <4>> right rangle ]

Lembre-se de que este vetor é o vetor de posição para o ponto na linha e, portanto, as coordenadas do ponto onde a linha passará pelo plano (xz ) - são ( left ( <4> , 0, frac <<31>> <4>> right) ).


Ponto médio de um segmento de linha

Ponto médio de um segmento de linha O ponto médio de um segmento de linha é o ponto intermediário entre os pontos finais do segmento. As coordenadas do ponto médio de um segmento de linha cujos pontos finais estão em (x1, y1) e (x2, y2) são dados por

O ponto médio de um segmento é M (2, 3) e um ponto final é B (-1, 5). Encontre as coordenadas do outro ponto final.

Forme duas equações, definindo as coordenadas x iguais entre si e as coordenadas y iguais entre si.


Matemática Pré-cálculo Matemática em Nebraska

Até este ponto, aprendemos como criar gráficos que refletem equações lineares e como construir equações lineares dados gráficos. Nesta seção, apresentaremos duas características que os pares de retas podem ter para que possamos continuar a construir equações lineares com várias propriedades.

Nesta seção, você vai.

aprenda o que significa duas linhas ser

aprenda o que significa duas linhas ser

determinar se as linhas são paralelas, perpendiculares ou nenhuma de suas equações

construir equações lineares para linhas com várias propriedades

Subseção Paralela e Linhas Perpendiculares

são linhas no mesmo plano que nunca se cruzam. Duas linhas diferentes no mesmo plano são paralelas se suas inclinações são iguais em símbolos, se a inclinação da primeira linha é (m_1 ) e a inclinação de uma linha diferente é (m_2 text <,> ) então as encostas são paralelas se (m_1 = m_2 text <.> )

Exemplo 90

Encontre uma equação da linha que passa por ((4,1) ) e paralela a (x-2y = -2 text <.> )

Para encontrar a inclinação da linha dada, resolva para (y text <.> )

Aqui, a linha dada tem inclinação (m_1 = frac <1> <2> text <.> ) A linha que estamos construindo é paralela a esta linha e, portanto, terá a mesma inclinação, então (m_2 = frac <1> <2> text <.> ) Como nos é dado um ponto e agora temos a inclinação, escolheremos usar a forma ponto-inclinação de uma equação linear para determinar a forma inclinação-interceptação da equação.

Nosso ponto é ((4,1) ) e nossa inclinação é (m = frac <1> <2> text <.> )

A equação da linha é dada por (y-1 = dfrac <1> <2> (x-4) text <.> )

É importante ter uma compreensão geométrica dessa questão. A linha que nos foi dada, (x-2y = -2 text <,> ) é mostrada em azul. A linha que construímos, (y-1 = frac <1> <2> (x-4) text <,> ) é mostrada em magenta. observe que a inclinação é a mesma na linha dada, mas são linhas distintas (ou seja, não têm o mesmo (y ) - interceptação).

são linhas no mesmo plano que se cruzam em ângulos retos (90 graus). Duas linhas não verticais, no mesmo plano com inclinações (m_1 ) e (m_2 text <,> ) são perpendiculares se o produto de suas inclinações for (- 1 text <,> ) (m_1 cdot m_2 = -1 text <.> ) Podemos resolver para (m_1 ) e obter (m_1 = - frac <1> text <.> ) Neste formulário, vemos que as linhas perpendiculares têm inclinações que são. Em geral, dados números reais diferentes de zero (a ) e (b text <,> ) se a inclinação da primeira linha for dada por (m_1 = frac text <,> ) então a inclinação da linha perpendicular é (m_2 = - frac text <.> )

Por exemplo, o inverso oposto de (m_1 = - frac <3> <5> ) é (m_2 = frac <5> <3> text <.> ) Podemos verificar que duas inclinações produzem perpendicular linhas se o produto for (- 1 text <.> )

Exemplo 91

Encontre uma equação da linha que passa por ((- 5, -2) ) e perpendicular ao gráfico de (x + 4y = 4 text <.> )

Para encontrar a inclinação da linha dada, resolva para (y text <.> )

A linha dada tem inclinação (m_1 = - frac <1> <4> text <.> ) Como estamos construindo uma reta que é perpendicular a esta reta, suas inclinações devem ser recíprocas opostas e, portanto, a linha nós estão construindo deve ter uma inclinação de (m_2 = + frac <4> <1> = 4 text <.> ) Agora podemos substituir a inclinação, (m_2 = 4 text <,> ) e o determinado ponto, ((- 5, -2) text <,> ) na forma de ponto-inclinação:

A equação da reta perpendicular é dada por (y + 2 = 4 (x + 5) text <.> )

Geometricamente, vemos que o gráfico de (y = 4x + 18 text <,> ) mostrado como a linha tracejada no gráfico, passa por ((- 5, -2) ) e é perpendicular ao gráfico de (y = - frac <1> <4> x + 1 text <.> )

Exemplo 92

Encontre uma equação da linha que passa por ((- 5, -1) ) e perpendicular a ( frac <1> <3> x- frac <1> <2> y = -2 text <. > )

Para encontrar a inclinação de uma linha dada, resolvemos para (y text <:> )

A linha fornecida tem inclinação (m_1 = frac <2> <3> text <,> ), portanto, a linha que estamos construindo deve ter uma inclinação de (m_2 = - frac <3> <2> text <.> ) Usando este e o ponto ((- 5, -1) text <,> ), podemos usar a forma ponto-inclinação para escrever a seguinte equação:


A seguir estão algumas das dicas básicas a serem seguidas pelos alunos em termos de resolução de equações lineares:

  • Sempre que os alunos estão interessados ​​em resolver as equações lineares na variável com o método de substituição, eles devem isolar as duas variáveis ​​em uma das equações e a substituição da expressão deve ser realizada que será igual à variável isolada do passo um para a outra equação. Isso sempre resultará em uma equação linear com apenas uma variável na qual as pessoas podem resolver muito facilmente com a variável restante.
  • A solução da etapa acima deve ser utilizada em termos de cálculo do valor da outra variável no sistema com a ajuda das equações originais.
  • Nos casos de utilização do método de eliminação, os alunos podem optar por configurar o sistema de eliminação dos termos semelhantes através da adição e vários outros tipos de operações ou podem optar por definir e eliminar os X termos com a ajuda de diferentes tipos de operações a serem utilizadas. Em primeiro lugar, os alunos precisam identificar o par de termos que têm a mesma variável e coeficientes com a mesma magnitude para que possam ser escritos na forma de equações perfeitamente.
  • Depois disso, os alunos precisam realizar diferentes tipos de operações como adição ou subtração nas duas equações do sistema para eliminar os termos identificados na etapa acima e isso resultará em uma equação linear com apenas uma variável.
  • Depois os alunos estarão resolvendo questões para obter um valor para a variável e agora eles estarão descobrindo o valor de uma variável para que ela possa ser inserida na outra equação para descobrir o valor da outra variável muito facilmente.
  • Fica totalmente a critério dos alunos qual método eles devem utilizar sempre que não for mencionado na pergunta, mas por outro lado, se o método at tiver sido mencionado na pergunta, então eles terão que depender apenas daquele método particular. O método de substituição será mais fácil quando as variáveis ​​forem facilmente isoladas, pois ajudará a cumprir o processo geral em um número menor de etapas. Por outro lado, a eliminação será muito fácil quando ambas as equações contiverem termos idênticos e também contiverem os termos opostos. A equação que contém um termo que é múltiplo inteiro de um termo na outra equação também deve ser verificada em todo o processo.

É responsabilidade dos alunos descobrir com que método se sentem confortáveis ​​para que possam implementar as coisas perfeitamente. Além dessas opções, outro método é o gráfico em que as retas serão representadas pelas equações e se cruzarão em um ponto que será a solução das equações. Portanto, dependendo de todo o conceito de resolver as equações lineares, cabe apenas aos alunos e é muito aconselhável que os alunos tenham a opção de se registrar em plataformas como o Cuemath para que tenham uma ideia clara sobre os sistemas associados a equações lineares em duas variáveis ​​e podem se tornar mestres neste tópico específico.


Representando graficamente equações lineares

Quando se trata de gráficos de equações lineares, existem algumas maneiras simples de fazer isso. A maneira mais simples é encontrar os valores de interceptação para os eixos xe y. Em seguida, basta desenhar uma linha que passe por esses dois pontos. Essa linha é a solução da equação e sua representação visual. A forma mais apropriada para isso é a forma declive-interceptação, uma vez que é a mais fácil de obter informações sobre os valores de interceptação. Problemas que podem ocorrer com esta abordagem para gráficos de equações lineares acontecem quando você tem linhas quase verticais ou quase horizontais. Nestes casos, os valores de interceptação serão muito altos e muito difíceis de desenhar. A segunda abordagem é um pouco diferente. Em vez de interceptar, escolha valores baixos para uma das coordenadas (por exemplo: x = 1, 2, 3 e # 8230) e calcule a outra coordenada usando esses valores.
Usaremos um exemplo para dar uma pequena demonstração. Digamos que você tenha que desenhar o gráfico desta equação:

Primeiro calcularemos a interceptação y definindo o valor de x em 0 e, em seguida, calcularemos a interceptação x definindo o valor de y em 0.

y = 6 * 0 + 2
y = 2
0 = 6x + 2
6x = -2 |: 6
x = -1/3

Portanto, o valor de interceptação para o eixo y é 2 e para o eixo x é (- 1/3). A única coisa que resta a fazer é traçar uma linha que passa por esses dois pontos e você encontrou a solução.

Agora, vamos tentar outra abordagem para gráficos de equações lineares. Usaremos a mesma equação de antes, mas desta vez tentaremos calcular o valor de uma coordenada usando valores predeterminados da outra coordenada. Como y é muito maior do que x, inseriremos diferentes valores de x na equação (para evitar lidar com frações). Vamos escolher x = 1 e x = (0) nesta situação.

Portanto, agora temos dois pontos & # 8211 P1 (1, 8) e P2 (0,2). Tudo o que resta fazer é traçar a linha que passa por esses dois pontos.
O mesmo procedimento é usado para representar graficamente as desigualdades. A única diferença é que a solução da equação não é necessariamente a linha em si, mas a área acima ou abaixo da linha. Isso depende do sinal de desigualdade. Nesta tabela, daremos uma breve visão geral das soluções possíveis. Os três pontos representam todos os elementos do outro lado da expressão.

Desigualdade Solução
y & gt ... A área acima da linha
sim ... A área sob a linha
y ≥ ... A área acima da linha e a própria linha
y ≤ ... A área sob a linha e a própria linha
x & gt ... A área à direita da linha
x & lt ... A área à esquerda da linha
x ≥… A área à direita da linha e a própria linha
x ≤ ... A área à esquerda da linha e a própria linha

Estas são as regras básicas para representar graficamente equações lineares e desigualdades lineares. Se você deseja praticar a representação gráfica de equações lineares, sinta-se à vontade para usar as planilhas de matemática abaixo.


Linhas horizontais e verticais

Quando uma equação de uma linha tem apenas uma variável, o gráfico resultante é uma linha horizontal ou vertical.

O gráfico da linha x = uma, Onde uma é uma constante, é uma linha vertical que passa pelo ponto ( uma, 0). Cada ponto nesta linha tem a coordenada x uma, independentemente da coordenada y.

O gráfico da linha y = b, Onde b é uma constante, é uma linha horizontal que passa pelo ponto (0, b) Cada ponto nesta linha tem a coordenada y b, independentemente da coordenada x.

Observação: A maioria dos alunos acha que as coordenadas dos pontos devem ser sempre inteiros. Isso não é verdade e, em situações da vida real, nem sempre é possível. Não se deixe intimidar se seus pontos incluírem números que são frações ou decimais.


Linhas perpendiculares

Um par de linhas é perpendicular se as linhas se encontram em um ângulo de 9 0 ∘ 90 ^ circ 9 0 ∘. Dadas duas linhas não verticais em forma de declive-interceptação

Na imagem acima, a forma inclinação-interceptação das duas linhas são

e uma vez que as duas inclinações são recíprocas negativas uma da outra, as linhas são perpendiculares.

Qual é a equação da linha que passa pelo ponto (- 7, 3) (-7, 3) (- 7, 3) e é perpendicular à linha y = 1 5 x - 2? y = frac x-2? y = 5 1 x - 2?

Qual é a soma de todas as constantes k k k tal que as duas retas (k + 1) x - 3 y + 2 = 0, (k - 2) x + 4 y - 1 = 0 começam& amp (k + 1) x-3y + 2 = 0, & amp (k-2) x + 4y-1 = 0 end (K + 1) x - 3 y + 2 = 0, (k - 2) x + 4 y - 1 = 0 são perpendiculares entre si?


O diagrama abaixo ilustra duas linhas arbitrárias mostrando onde elas se cruzam, conforme descrito pelo par ordenado left ( certo) . Nesta lição, estamos interessados ​​em resolver manualmente esse ponto comum.

Exemplos de como resolver sistemas de equações pelo método de substituição

Exemplo 1: Use o método de substituição para resolver o sistema de equações lineares abaixo.

A ideia é escolher uma das duas equações fornecidas e resolver para qualquer uma das variáveis, x ou y. O resultado de nossa primeira etapa será substituído na outra equação. O efeito será uma única equação com uma variável que pode ser resolvida normalmente.

Depende totalmente de qual equação você acha que será muito mais fácil de lidar. A escolha é sua.

Observe que a equação superior contém uma variável x que é & # 8220 sozinha & # 8221 & # 8211, o que significa que seu coeficiente é +1. Lembre-se de sempre procurar por essa característica (uma variável & # 8220 sozinha & # 8221) porque ela tornará sua vida muito mais fácil.

Agora, começo resolvendo a equação superior de x.

Como sei a que x é igual em termos de y, posso inserir essa expressão na outra equação. Com isso, vou acabar resolvendo uma equação com uma única variável.

Felizmente, você obtém o mesmo valor de y = - , 5. Agora que sei qual é o valor exato de y, resolverei para a outra variável (neste caso, x) avaliando seu valor em qualquer uma das duas equações originais. Não importa qual equação original você escolha porque, no final das contas, ela dará a mesma resposta.

No entanto, devo dizer que a rota & # 8220melhor & # 8221 para resolver x é usar a equação revisada que resolvi anteriormente, pois tenho & # 8220 x = algum y & # 8220. Certo?

Aqui eu obtenho x = 1. Na forma de notação de pontos, a resposta final pode ser escrita como left (<1, - , 5> right). Lembre-se de que este é o ponto em que as duas linhas se cruzam.

É sempre um bom hábito verificar esses valores nas equações originais para verificar se eles são realmente as respostas corretas. Eu sugiro que você os verifique o tempo todo.

Graficamente, a solução se parece com isso.

Exemplo 2: Use o método de substituição para resolver o sistema de equações lineares.

A escolha óbvia aqui é escolher a equação inferior porque a variável y tem um coeficiente positivo left (<+ 1> right). Agora posso resolver facilmente para y em termos de x. Para começar, vou subtrair os dois lados em 3x.

Depois de resolver y a partir da equação de baixo, agora passo para a equação de cima e substituo y pela expressão em termos de x. O resultado será uma equação de várias etapas com uma única variável.

Resolva esta equação simplificando os parênteses primeiro. Depois disso, combine termos semelhantes em ambos os lados e isole a variável à esquerda. Sua solução deve ser semelhante abaixo.

Se você resolveu corretamente para x, também deve chegar ao valor x = 3.

Como a equação de baixo revisada já está escrita da forma que gosto, vou usá-la para resolver o valor exato de y.

Com o valor obtido, y = 1, agora posso escrever a resposta final como o par ordenado left (<3,1> right).

Como mencionei antes, sempre verifique as respostas finais você mesmo para ver se eles verificam usando as equações originais.

No gráfico, a solução é o ponto de intersecção das duas linhas fornecidas.

Exemplo 3: Use o método de substituição para resolver o sistema de equações.

Este é um ótimo exemplo porque tenho duas maneiras de abordar o problema. As variáveis ​​xey têm um positivo left (<+ 1> right) como seus coeficientes. Isso significa que posso ir de qualquer maneira.

Para este exemplo, vou resolver para y. Posso fazer isso facilmente subtraindo ambos os lados por xe reorganizar.

Em seguida, vou escrever a outra equação e substituir seu y por y = - x + 3.

Depois de resolver a equação de várias etapas acima, obtenho x = 5. Agora, volto para a versão transformada da equação superior para resolver para y.

Aqui eu obtenho y = - , 2. A resposta final então é left ( right) = left (<5, - ​​, 2> right).

Na verdade, as duas linhas se cruzam no ponto que calculamos!

Exemplo 4: Use o método de substituição para resolver o sistema de equações.

Acho esse problema interessante porque não consigo encontrar uma situação em que a variável esteja & # 8220 sozinha & # 8221. Novamente, nossa definição de ser & # 8220 sozinho & # 8221 é ter um coeficiente de +1. Lembrar?

Ambas as equações superior e inferior aqui contêm uma variável com um símbolo negativo. Eu sugiro que sempre que você vir algo assim, mude aquele símbolo negativo para textbf <- 1>. Estou colocando uma seta azul bem ao lado para dar ênfase (veja abaixo).

A partir daqui, posso prosseguir para resolver para y usando a equação superior ou para x usando a inferior. Para este exercício, irei trabalhar na equação de baixo.

Observe que para resolver para x, eu divido a equação inteira por - 1. Você pode ver aqui que a aparência da equação mudou drasticamente.

Espero que você tenha y = - , 4 também. Caso contrário, verifique e verifique novamente suas etapas para resolver a equação de várias etapas.

Em seguida, use esse valor de y e substitua-o na versão transformada da equação inferior para resolver para x.

Portanto, obtenho x = - , 2. A resposta final no par ordenado é left ( right) = left (<- , 2, - , 4> right).

O gráfico concorda conosco sobre onde as duas linhas se cruzam. Ótimo!

Exemplo 5: Use o método de substituição para resolver o sistema de equações lineares.

A primeira coisa que observei aqui é que não há nenhum caso em que o coeficiente da variável seja + 1 ou -1. Para alguns, isso pode parecer confuso.

Neste problema, é possível isolar y na equação de cima e fazer o mesmo para x na equação de baixo. Faça um trabalho de arranhões e isso fará muito mais sentido.

Você perceberá que x ou y podem ser resolvidos facilmente porque nenhuma fração é gerada no processo. Para este exercício, escolho lidar com a equação superior para resolver para y.

Como previsto, resolver para y saiu muito bem. Agora, vou usar esse valor para y e substituí-lo no y da equação inferior. Em seguida, prosseguirei com a resolução da equação resultante como de costume.

Se você fez isso corretamente, sua resposta deve ser x = 2. Plug this value of x into the revised version of the top equation to solve for the exact value of y .

Here I got y = - ,5 . That makes our final answer as the ordered pair left( <2, - ,5> ight) .


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EQUATIONS OF LINE PART 1

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