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4: Resolvendo Sistemas de Desigualdades


objetivos de aprendizado

Neste capítulo, você aprenderá a:

  1. Desenhe as desigualdades lineares em duas variáveis
  2. Sistemas de gráfico de desigualdades lineares
  3. Use desigualdades lineares em aplicativos de maximização e minimização

RESOLVER SISTEMAS DE DESIGUALDADES COM UMA VARIÁVEL

As etapas a seguir serão úteis para resolver o sistema de desigualdades com uma variável.

Resolva cada desigualdade dada e encontre os conjuntos de solução. Também represente a solução na reta numérica.

Encontre a interseção dos conjuntos de soluções obtidos na primeira etapa, com a ajuda da representação gráfica dos conjuntos de soluções.

O conjunto de soluções obtido no passo 2 é o conjunto de soluções requerido para o sistema de desigualdades dado.

Resolva o seguinte sistema de desigualdades lineares & # xa0

Resolvendo as equações separadamente

Divida por 3 em ambos os lados

Divida por 4 em ambos os lados

O conjunto de solução da primeira desigualdade dada é [2, & # xa0 & # xa0 ∞).

O conjunto de solução da segunda desigualdade dada é (-∞, 4]

A interseção desses conjuntos de soluções é o conjunto [2, 4].

Resolva o seguinte sistema de desigualdades lineares & # xa0

Resolvendo a primeira desigualdade fornecida & # xa0

Multiplicando por 8 nas equações

O conjunto de soluções da primeira desigualdade dada é (3, & # xa0 ∞)

Resolvendo a segunda desigualdade dada:

Multiplique 12 em ambos os lados

Subtraia 9x em ambos os lados

Divida por -1 em ambos os lados

O conjunto de solução da desigualdade dada é (0, & # xa0 ∞)

A interseção dos dois conjuntos de soluções é (3, & # xa0 ∞).

Portanto, a solução das desigualdades dadas é (3, & # xa0 ∞).

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Dado um conjunto de M desigualdades em N variáveis, onde cada desigualdade tem a forma reurjk para valores inteiros de k, um dos algoritmos de caminho mais curto no Apêndice A pode ser usado para determinar se uma solução existe e para encontrar uma solução se ela realmente existir. Isso é feito usando o seguinte procedimento.

(a) Desenhe o nó eu para cada um dos N variáveis reu, eu = 1, 2, … , N.

(b) Desenhe o nó N + 1.

(c) Para cada desigualdade reurjk, desenhe a borda jeu do nó j para o nó eu com comprimento k.

(d) Para cada nó eu, eu = 1, 2, … , n, desenhe a borda N + 1 → eu do nó N + 1 para o nó eu com comprimento 0.

Fig. 4.3 O gráfico de restrição do Exemplo 4.3.1.

(a) O sistema de inequações tem solução se e somente se o gráfico de restrição não contém ciclos negativos.

(b) Se uma solução existe, uma solução é onde reu é o caminho de comprimento mínimo do nó N + 1 para o nó eu.

Exemplo 4.3.1 Neste exemplo, demonstramos como algoritmos de caminho mais curto podem ser usados ​​para resolver um sistema de M = 5 desigualdades

Pousada = 4 variáveis. O primeiro passo é desenhar o gráfico de restrição, que é mostrado em Fig. 4.3.

Usando o algoritmo Bellman-Ford (descrito na Seção A.2 do Apêndice A

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  • Represente graficamente a linha limite para a primeira desigualdade.
  • Use um ponto de teste para determinar qual meio plano deve ser sombreado. Sombreie o meio plano que contém as soluções para a primeira desigualdade.
  • Represente graficamente a linha limite para a segunda desigualdade.
  • Use um ponto de teste para determinar qual meio plano deve ser sombreado. Sombreie o meio plano que contém as soluções para a segunda desigualdade.
  • Analise seu sistema de desigualdades e determine qual área está sombreada por AMBAS as desigualdades. Esta área é a solução para o sistema de desigualdades.

O próximo exemplo demonstrará como representar graficamente uma linha horizontal e uma linha vertical.


4: Resolvendo Sistemas de Desigualdades

Isso é muito semelhante a resolver sistemas de equações, tópico 3. A única diferença é que o sinal de igual será alterado para um sinal de desigualdade. Em vez de procurar um ponto específico de intersecção como nossa resposta, procuraremos uma região (área) do gráfico que forneça todos os pontos que tornarão o sistema de desigualdades verdadeiro.

Por exemplo, já vimos como resolver problemas como este abaixo.

Agora, vamos tentar resolver quando mudamos o sinal de igual para um sinal de desigualdade. Primeiro, lembre-se de algumas idéias. Um, que a linha é pontilhada quando a desigualdade é menor ou maior que, e a linha é sólida quando a linha é menor ou igual ou maior ou igual a.

Veja o exemplo abaixo.

Você vê algum problema em como o computador representa graficamente a desigualdade? Com base na equação y & lt x + 1, a linha deve ser pontilhada. O programa de computador usa apenas a linha como um limite, mas não leva em consideração se o limite faz parte do conjunto de soluções ou não. Portanto, ao representar graficamente essas desigualdades usando a tecnologia, deve-se prestar muita atenção às linhas de fronteira.

Portanto, agora que vemos como representar graficamente uma desigualdade, encontrar a solução para um sistema de desigualdades torna-se muito fácil. Representamos graficamente duas desigualdades no mesmo plano de coordenadas e encontramos onde as regiões sombreadas se cruzam, em vez de apenas um ponto de intersecção.

Por exemplo: contamos as linhas de cima e mudamos os sinais de igual para menos de um.

Portanto, a solução é a região que parece um tom profundo de vermelho. Isso significa que qualquer ponto daquela região tornará ambas as desigualdades verdadeiras. Então, vamos dar uma olhada em mais um.

Aqui, novamente, a área vermelha escura é a solução definida para este sistema de desigualdades. Agora, como usamos a TI-83 para resolver sistemas de desigualdades.

Usando a TI-83

Isso é muito semelhante ao que acontece na calculadora gráfica de um programa de computador. Assim como o computador, a TI-83 não mostrará a linha sólida ou pontilhada. Você terá que cuidar disso. Então, aqui estão as etapas:

Etapa 1: Pressione a tecla Y =. A tela agora deve ser semelhante a Y 1 =.

Etapa 2: Use as teclas de seta para mover o cursor para a barra invertida () na frente de Y. A barra agora deve estar piscando.

Etapa 3: Use a tecla Enter para percorrer as diferentes opções. Quando alguém pressiona Enter, a barra invertida muda. Alteramos isso para fazer com que a TI-83 sombreie o gráfico.

Maior que: parece uma seta sólida apontando para cima. .

Menor que: parece uma seta sólida apontando para baixo,.

Agora, vamos tentar um juntos. Use a TI-83 para encontrar a solução para o seguinte sistema de desigualdades.


Sistemas de Desigualdades - Problema 4

Para resolver um problema de palavras usando um sistema de desigualdades, comece usando as informações do problema para configurar duas desigualdades que modelam o problema. Certifique-se de identificar corretamente qual é a variável independente (x) e qual é a variável dependente (y). Resolva por y. Em seguida, represente graficamente cada desigualdade, primeiro plotando a interceptação y (a constante) e, a partir daí, usando a inclinação (o coeficiente da variável x) para plotar um segundo ponto. Se a desigualdade for menor ou igual, ou maior ou igual a, desenhe uma linha contínua. Se a desigualdade for menor ou maior que (mas não igual a), desenhe uma linha pontilhada. Para determinar a região que deve ser sombreada, escolha um ponto em qualquer lugar no plano de coordenadas e substitua os valores na inequação. Se a desigualdade for verdadeira, sombreie a região de onde o ponto foi retirado. Se a desigualdade for falsa, sombreie a região do outro lado da linha de desigualdade. Execute os mesmos passos com a outra desigualdade do sistema. A área onde as regiões sombreadas das duas desigualdades se sobrepõem representa todas as soluções possíveis. Lembre-se de que a solução deve fazer sentido para o problema. Por exemplo, se o problema é perguntar sobre quantidades, tempo ou dinheiro, a solução não pode ser negativa.

Certo, rapazes, vamos resolver um problema de sistema de desigualdades de palavras. Você compra carne moída e peru moído a granel para fazer diferentes tipos de frio em seu restaurante. Sim, carne moída fria custa US $ 1,50 o quilo e peru moído custa US $ 2,50 o quilo. Você não quer gastar mais do que 9,50 no total e precisa de pelo menos 4 libras de carne. Escreva um sistema de desigualdades, represente graficamente o sistema para mostrar todas as soluções possíveis.

Ok, vamos lá, vamos conversar sistema. Vou deixar y ser carne, y ser libras de carne moída ex quilos de peru moído. Então, aqui está o que eu sei, eu sei que preciso de pelo menos 4 libras, então, quanto bife eu conseguir mais quanto peru eu conseguir, tem que ser 4 libras ou mais, então vou escrever assim. Essa vai ser a primeira equação em meu sistema de desigualdades.

Agora preciso lidar com as coisas dos custos. A quantia que vou gastar em carne bovina será $ 1,50 vezes y, certo? Tenho que pagar $ 1,50 para cada libra que compro e y representa o número de libras. Para a Turquia, vou gastar US $ 2,50 para cada libra de x que não precisa ser mais do que US $ 9,50, então isso tem que ser 9,50 ou menos. Este é o meu sistema de desigualdades que representa quanto eu mas e quanto gasto.

Agora estou pronto para fazer meu gráfico para mostrar todas as soluções possíveis. Vou apenas fazer um gráfico no primeiro quadrante porque só tenho valores positivos. Não estou usando números negativos nesta situação. Para o meu valor x, estou indo, mas não tenho certeza de quão longe ainda, meu valor y, eu não tenho certeza de até onde vou ainda, mas quando estou fazendo com a barra, estou apenas subindo para cerca de 4 em cada um porque 4 é a minha maior quantidade.

Vamos percorrer e representar graficamente esta linha, vou reescrevê-la na forma de interceptação de declive subtraindo x de ambos os lados. Y é maior ou igual a -x mais 4. 1, 2, 3, 4 I & # 39m vou usar -1 para minha inclinação para baixo um sobre um, abaixo um sobre um, vocês sempre usam papel milimetrado, então o seu será um muito mais preciso do que o meu.

Lá vamos nós, minha primeira linha, vamos examinar a segunda linha. Quero resolver esse cara para y e agora tenho esse negócio de $ 1,50 em andamento. Para eliminar aquele $ 1,50, eu & # 39m vou passar e dividir cada uma dessas quantidades por 1,5. Dessa forma, terei você sozinho. Deixe-me pegar minha calculadora e terei, vamos, marcador, lá vamos nós. Y mais o que quer que 2,50 dividido por 1,50 é o que é 1,66x e então será menor ou igual a qualquer coisa que 9,50 dividido por 1,50 seja e eu obtenho 6,3.

A propósito, se você fosse usar frações em vez de decimais aqui, você seria mais preciso. Mas, para meus propósitos, estou apenas fazendo um gráfico aproximado, vou usá-lo assim. Ainda preciso resolver isso para y, o que significa obter y por si só 1,66x mais 6,33 e terei que estender um pouco meu gráfico para que ele se encaixe.

Perdoe-me quando eu apago essa equação, você anotou isso? OK. Vou apagar isso e deixar meu gráfico um pouco mais alto do que o eixo y. 4, 5, 6 dólares e 33 centavos acima. Começando na minha interceptação y, preciso descer 1.6 caixas e mais uma. Desça 1,6 caixas e mais uma. Novamente, este é um esboço realmente grosseiro, desça um vírgula seis caixas mais ou menos assim e mais uma.

Se eu conseguir alguns pontos positivos aí, poderei me conectar e ter uma ideia de onde minha linha vai. Estou fazendo uma linha contínua porque este é o menor ou igual ao sinal. Assim como eu tive um sinal maior e ou igual.

Ok, quando fiz meu primeiro gráfico, esqueci de fazer o sombreamento, então vamos voltar a esse cara e sombrear apropriadamente. Vamos testar o ponto (0,0). É verdade que o é maior que 4? Não.

Isso significa que, para esta primeira linha que tracei o gráfico, não quero sombrear em direção a 00, quero sombrear longe de (0,0) ou acima dessa linha. Para a segunda desigualdade, vou tentar 0,0 e verei que 0 é sim menor que 6,33. Isso significa que, para a segunda equação, quero sombrear em direção a 0, I & # 39 vou sombrear abaixo dela.

Minha região de solução é onde as duas sombras se sobrepõem. Está neste pequeno triângulo bem aqui. Isso significa que qualquer ponto ali representa a quantidade de peru e carne que eu poderia comprar.

Lembra como no começo eu chamei x um número de peru? E liguei para o número da minha carne ou para a quantidade de peru e carne? O que isso significa é que se eu usasse meio quilo de peru e 1, 2, 3, 4 quilos de carne bovina, estaria certo na minha região de solução.

Essa é uma quantia possível que eu poderia comprar. Eu também poderia comprar 3/4 libras de peru. E 1, 2, 3, 4 libras de carne bovina que funcionaria também porque está na minha região de solução. Qualquer quantidade de libras de carne bovina e de peru, mesmo que sejam fracionárias, me daria soluções para esse sistema de desigualdades, contanto que os pontos caíssem nessa região de solução.

Portanto, este foi um grande problema de palavras intimidantes e eu tive que usar muitas habilidades matemáticas diferentes, mas é realmente aplicável à vida real, especialmente se você for alguém que vai para o marketing no seu futuro, isso ainda ajudará você a manter o controle de como quanto você pode gastar em diferentes itens para sua loja, seu negócio ou qualquer outra coisa.


Resolva sistemas de desigualdades e desenhe intervalos em uma reta numérica

A solução para uma desigualdade linear é um intervalo, que também é verdadeiro ou sistemas de desigualdades, mas a solução é o intervalo comum a ambas as desigualdades. O procedimento é o seguinte: resolva ambas as desigualdades e então busque sua interseção, que é a solução para o sistema de desigualdades.

Exemplo 1. Resolva o sistema de desigualdades lineares.

Resolva as desigualdades individualmente.

A solução dessa desigualdade é o intervalo $ [1, + infty & gt $, que é representado graficamente:

A solução da segunda desigualdade:

A solução para o sistema das duas desigualdades dadas é a interseção de $ [1, + infty & gt $ e lt- infty, 4 & gt $, que é $ [1, 4 & gt $.

Exemplo 2. O que aconteceria se alterássemos este sistema um pouco? Se tivermos um sistema:

A primeira desigualdade é a mesma, então é sua solução: $ [1, + infty & gt $.

Mas a segunda desigualdade mudou, vamos encontrar sua solução.

Obtivemos o intervalo lt- infty, 0 & gt $. Vamos desenhar esses dois intervalos.

Da foto podemos concluir que esses dois intervalos não têm interseção, o que significa que esse sistema de desigualdades não tem solução.

Exemplo 3. Resolva a desigualdade:

Se fosse uma igualdade, multiplicaríamos a expressão por $ (x + 2) $, mas não podemos fazer isso aqui. Quando a desigualdade é multiplicada por um número negativo, o sinal de desigualdade é alterado. Como $ (x + 2) $ é positivo para todo $ x $ estritamente maior que 2, e negativo para todo $ x $ estritamente menor que 2. É por isso que este problema é considerado como o sistema de desigualdades. Para resolver essa desigualdade, devemos resolver os dois:

A condição é $ x + 2 & gt 0 $ ou $ x & gt-2 $. Essas duas desigualdades formam um sistema de desigualdades. Vamos desenhar essas soluções em uma linha numérica:

A solução para este caso é o intervalo lt-2, - frac <4> <4> & gt $.

A condição é $ x + 2 & lt 0 $ ou $ x & lt-2 $.

A solução para este caso é um conjunto vazio ou $ emptyset $.

A solução da nossa desigualdade inicial é a união desses dois intervalos:


Resolvendo Sistemas de Desigualdades Lineares

Etapa 1 Resolva a primeira desigualdade para y. Em seguida, represente graficamente a desigualdade.

Para resolver 2x + y & # 8804 -4 para y, subtraia 2x de ambos os lados. O resultado é y & # 8804 - 2x - 4.

Para representar graficamente y & # 8804 - 2x - 4, primeiro represente graficamente a equação y = - 2x - 4.

â € ¢ Trace a interceptaçà £ o y (0, -4). Em seguida, use a inclinação para plotar um segundo ponto em (1, -6).

Para a inequação y & # 8804 - 2x - 4, o símbolo da inequação é “& # 8804”. Significa â € œé menor ou igual aâ €.

• Para representar “igual a”, desenhe uma linha contínua através de (0, - 4) e (1, - 6).

â € ¢ Para representar â € œmenos queâ €, sombreie a regià £ o abaixo da linha.

Etapa 2 Resolva a segunda desigualdade para y. Em seguida, represente graficamente a desigualdade.

Para resolver 6x + 3y & gt 0 para y, faça o seguinte:

Subtraia 6x de ambos os lados. 3y & gt - 6x + 0

Divida os dois lados por 3. y & gt - 2x + 0

Para representar graficamente y & gt - 2x + 0, primeiro represente graficamente a equação y = 2x + 0.

â € ¢ Trace a interceptaçà £ o y (0, 0). Em seguida, use a inclinação,, para traçar um segundo ponto em (1, -2).

Para a desigualdade y & gt - 2x, o símbolo de desigualdade é “& gt”. Significa “é maior que”.

• Como o símbolo de desigualdade “& gt” não contém “igual a”, desenhe uma linha pontilhada em (0, 0) e (1, -2).

â € ¢ Para representar â € œmaior queâ €, sombreie a regià £ o acima da linha.

Etapa 3 Sombreie a região onde os dois gráficos se sobrepõem.

As regiões sombreadas não se sobrepõem.

Portanto, o sistema de desigualdades não tem solução.

Represente graficamente o sistema de desigualdades.

Etapa 1 Resolva a primeira desigualdade para y. Em seguida, faça um gráfico.

O gráfico de y & # 8804 x + 5 é mostrado.

Etapa 2 Resolva a segunda desigualdade para y. Em seguida, faça um gráfico.

O gráfico de y & lt x - 3 é mostrado.

Etapa 3 Sombreie a região onde os dois gráficos se sobrepõem. A solução é a região abaixo da linha y = x - 3, pois é onde os gráficos se sobrepõem.

A solução dos sistemas é a região escura onde o gráfico se sobrepõe.

Dado o seguinte sistema de desigualdades lineares:

b. Encontre as coordenadas de três pontos que satisfaçam todas as quatro desigualdades.

c. Encontre os pontos de intersecção de cada par de linhas correspondentes.

d. Encontre a área da região cujos pontos são a solução do sistema.

uma. Represente graficamente cada desigualdade e sombreie a região onde os gráficos se sobrepõem.

b. Cada ponto na região sombreada é uma solução do sistema. Por exemplo, (0, 0), (-2, 1) e (-4, 1) cada um satisfaz o sistema.


Exemplo 1 - Problema de palavra de sistemas de desigualdades

Sarah está vendendo pulseiras e brincos para ganhar dinheiro para as férias de verão. As pulseiras custam $ 2 e os brincos custam $ 3. Ela precisa ganhar pelo menos $ 500.

  • Escreva uma desigualdade para representar a receita das joias vendidas.
  • Sarah sabe que verá mais de 50 pulseiras. Escreva uma desigualdade para representar esta situação.
  • Represente graficamente as duas desigualdades e sombreie a interseção.
  • Identifique uma solução. Quantas pulseiras e brincos Sarah pode vender?

Solução

Passo 1: Destaque as informações importantes do problema.

Sarah está vendendo pulseiras e brincos para ganhar dinheiro para as férias de verão. As pulseiras custam $ 2 e os brincos custam $ 3. Ela precisa ganhar pelo menos $ 500.

Passo 2: Identifique suas variáveis. & # Xa0 Pense no que você não sabe e precisa saber para resolver o problema.

Seja x = o número de pulseiras vendidas.

Seja y = o número de brincos vendidos.

Etapa 3: Escreva uma desigualdade para representar a receita das joias vendidas.

Veja como eu vim com essa desigualdade.

Passo 4: Sarah sabe que venderá mais de 50 pulseiras. Escreva uma desigualdade para representar esta situação.

Etapa 5: Represente graficamente as duas desigualdades e sombreie a interseção.

Para a maioria dos problemas do mundo real, será mais fácil representar graficamente as desigualdades usando as interceptações xey. Certifique-se de dimensionar sua grade para que ambas as desigualdades possam ser representadas graficamente na mesma grade.

Aqui estão algumas dicas para ajudá-lo a resolver seus problemas de palavras.


Trabalho Colaborativo: Crie seu próprio Sistema de Desigualdades Lineares

Os alunos continuam a trabalhar em pequenos grupos no Trabalho colaborativo para a próxima seção, mas agora mudamos para uma habilidade de pensamento de ordem superior de criação para a lição. Neste momento, quero ver a maioria dos alunos se familiarizando com gráficos e sistemas de sombreamento de desigualdades. Se este não for o caso, eu ensinaria novamente e revisaria um ou dois exemplos de problemas adicionais para fornecer suporte adicional para toda a classe ou diferenciar a instrução com base nas necessidades de cada aluno.

Com isso dito, cada grupo tem a tarefa de criar um cenário que possa ser modelado por um sistema. Eu só exijo que pelo menos uma das funções no sistema seja uma desigualdade porque eu quero equilibrar a necessidade de praticar a habilidade com permitir a criatividade e dar aos alunos a chance de pensar se uma determinada regra ou parâmetro de um cenário é melhor modelado com uma equação ou desigualdade.

A tarefa pode ser realizada com papel e lápis, com tecnologia ou com equilíbrio entre os dois. Pessoalmente, gosto de fornecer a cada grupo dois ipads - um para focar na criação do gráfico e na captura do sistema que eles representam, e um segundo para escrever as explicações e o raciocínio do grupo. Usando uma tecnologia como Google Drive pode ser útil para tornar o processo de compartilhamento do trabalho entre os membros do grupo e o professor mais eficiente e gerenciável.