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2.5E: Exercícios para a Seção 2.5 - Matemática


Para os exercícios 1 - 5, examine os gráficos. Identifique onde as assíntotas verticais estão localizadas.

1)

Responder
(x = 1 )

2)

3)

Responder
(x = -1, ; x = 2 )

4)

5)

Responder
(x = 0 )

Para as funções (f (x) ) nos exercícios 6 - 10, determine se há uma assíntota em (x = a ). Justifique sua resposta sem fazer gráficos em uma calculadora.

6) (f (x) = dfrac {x + 1} {x ^ 2 + 5x + 4}, quad a = −1 )

7) (f (x) = dfrac {x} {x − 2}, quad a = 2 )

Responder
Sim, há uma assíntota vertical em (x = 2 ).

8) (f (x) = (x + 2) ^ {3/2}, quad a = −2 )

9) (f (x) = (x − 1) ^ {- 1/3}, quad a = 1 )

Responder
Sim, há assíntota vertical em (x = 1 ).

10) (f (x) = 1 + x ^ {- 2/5}, quad a = 1 )

Nos exercícios 11-20, avalie o limite.

11) ( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {1} {3x + 6} )

Responder
( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {1} {3x + 6} = 0 )

12) ( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {2x − 5} {4x} )

13) ( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {x ^ 2−2x + 5} {x + 2} )

Responder
( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {x ^ 2−2x + 5} {x + 2} = ∞ )

14) ( displaystyle lim_ {x → −∞} frac {3x ^ 3−2x} {x ^ 2 + 2x + 8} )

15) ( displaystyle lim_ {x → −∞} frac {x ^ 4−4x ^ 3 + 1} {2−2x ^ 2−7x ^ 4} )

Responder
( displaystyle lim_ {x → −∞} frac {x ^ 4−4x ^ 3 + 1} {2−2x ^ 2−7x ^ 4} = - frac {1} {7} )

16) ( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {3x} { sqrt {x ^ 2 + 1}} )

17) ( displaystyle lim_ {x → −∞} frac { sqrt {4x ^ 2−1}} {x + 2} )

Responder
( displaystyle lim_ {x → −∞} frac { sqrt {4x2−1}} {x + 2} = -2 )

18) ( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {4x} { sqrt {x ^ 2−1}} )

19) ( displaystyle lim_ {x → −∞} frac {4x} { sqrt {x ^ 2−1}} )

Responder
( displaystyle lim_ {x → −∞} frac {4x} { sqrt {x ^ 2−1}} = -4 )

20) ( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {2 sqrt {x}} {x− sqrt {x} +1} )

Para os exercícios 21 - 25, encontre as assíntotas horizontais e verticais.

21) (f (x) = x− dfrac {9} {x} )

Responder
Horizontal: nenhum,
Vertical: (x = 0 )

22) (f (x) = dfrac {1} {1 − x ^ 2} )

23) (f (x) = dfrac {x ^ 3} {4 − x ^ 2} )

Responder
Horizontal: nenhum,
Vertical: (x = ± 2 )

24) (f (x) = dfrac {x ^ 2 +} {3x ^ 2 + 1} )

25) (f (x) = sin (x) sin (2x) )

Responder
Horizontal: nenhum,
Vertical: nenhum

26) (f (x) = cos x + cos (3x) + cos (5x) )

27) (f (x) = dfrac {x sin (x)} {x ^ 2−1} )

Responder
Horizontal: (y = 0, )
Vertical: (x = ± 1 )

28) (f (x) = dfrac {x} { sin (x)} )

29) (f (x) = ( dfrac {1} {x ^ 3 + x ^ 2} )

Responder
Horizontal: (y = 0, )
Vertical: (x = 0 ) e (x = −1 )

30) (f (x) = dfrac {1} {x − 1} −2x )

31) (f (x) = dfrac {x ^ 3 + 1} {x ^ 3−1} )

Responder
Horizontal: (y = 1, )
Vertical: (x = 1 )

32) (f (x) = dfrac { sin x + cos x} { sin x− cos x} )

33) (f (x) = x− sin x )

Responder
Horizontal: nenhum,
Vertical: nenhum

34) (f (x) = dfrac {1} {x} - sqrt {x} )

Para os exercícios 35 - 38, construa uma função (f (x) ) que tem as assíntotas fornecidas.

35) (x = 1 ) e (y = 2 )

Responder
As respostas irão variar, por exemplo: (y = dfrac {2x} {x − 1} )

36) (x = 1 ) e (y = 0 )

37) (y = 4, ; x = −1 )

Responder
As respostas variam, por exemplo: (y = dfrac {4x} {x + 1} )

38) (x = 0 )

Nos exercícios 39-43, represente graficamente a função em uma calculadora gráfica na janela (x = [- 5,5] ) e estimar a assíntota ou limite horizontal. Em seguida, calcule a assíntota ou limite horizontal real.

39) [T] (f (x) = dfrac {1} {x + 10} )

Responder
( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {1} {x + 10} = 0 ) então (f ) tem uma assíntota horizontal de (y = 0 ).

40) [T] (f (x) = dfrac {x + 1} {x ^ 2 + 7x + 6} )

41) [T] ( displaystyle lim_ {x → −∞} x ^ 2 + 10x + 25 )

Responder
( displaystyle lim_ {x → −∞} x ^ 2 + 10x + 25 = ∞ )

42) [T] ( displaystyle lim_ {x → −∞} frac {x + 2} {x ^ 2 + 7x + 6} )

43) [T] ( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {3x + 2} {x + 5} )

Responder
( displaystyle lim_ {x → ∞} frac {3x + 2} {x + 5} = 3 ) então esta função tem uma assíntota horizontal de (y = 3 ).