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11.5: Matrizes e operações de matriz


objetivos de aprendizado

  • Encontre a soma e a diferença de duas matrizes.
  • Encontre múltiplos escalares de uma matriz.
  • Encontre o produto de duas matrizes.

Dois times de futebol, os Wildcats e os Mud Cats, esperam obter novos equipamentos para a próxima temporada. A tabela ( PageIndex {1} ) mostra as necessidades de ambas as equipes.

Tabela ( PageIndex {1} )
WildcatsGatos da lama
Metas610
Bolas3024
Camisas1420

Uma meta custa ($ 300 ); uma bola custa ($ 10 ); e uma camisa custa ($ 30 ). Como podemos saber o custo total dos equipamentos necessários para cada equipe? Nesta seção, descobrimos um método no qual os dados na tabela de equipamentos de futebol podem ser exibidos e usados ​​para calcular outras informações. Então, poderemos calcular o custo do equipamento.

Encontrando a Soma e a Diferença de Duas Matrizes

Para resolver um problema como o descrito para os times de futebol, podemos usar uma matriz, que é uma matriz retangular de números. Uma coluna em uma matriz é um conjunto de números alinhados verticalmente. Cada número é uma entrada, às vezes chamada de elemento, da matriz. Matrizes (plural) são colocadas entre [] ou () e geralmente são nomeadas com letras maiúsculas. Por exemplo, três matrizes denominadas (A ), (B ) e (C ) são mostradas abaixo.

Uma matriz é freqüentemente referida por seu tamanho ou dimensões: (m × n ) indicando (m ) linhas e (n ) colunas. As entradas da matriz são definidas primeiro por linha e depois por coluna. Por exemplo, para localizar a entrada na matriz (A ) identificada como (a_ {ij} ), procuramos a entrada na linha (i ), coluna (j ). Na matriz (A ), mostrada abaixo, a entrada na linha (2 ), coluna (3 ) é (a_ {23} ).

[A = begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} end {bmatrix} nonumber ]

  • UMA matriz quadrada é uma matriz com dimensões (n × n ), o que significa que tem o mesmo número de linhas que colunas. A matriz (3 × 3 ) acima é um exemplo de matriz quadrada.
  • UMA matriz de linha é uma matriz que consiste em uma linha com dimensões (1 × n ). [ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} end {bmatrix} nonumber ]
  • UMA matriz de coluna é uma matriz que consiste em uma coluna com dimensões (m × 1 ). [ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {21} a_ {31} end {bmatrix} nonumber ]

Uma matriz pode ser usada para representar um sistema de equações. Nestes casos, os números representam os coeficientes das variáveis ​​do sistema. As matrizes costumam tornar a solução de sistemas de equações mais fácil porque não estão sobrecarregados com variáveis. Investigaremos essa ideia mais detalhadamente na próxima seção, mas primeiro veremos os aspectos básicos operações de matriz.

Definição: MATRICES

UMA matriz é uma matriz retangular de números que geralmente é nomeada por uma letra maiúscula: (A ), (B ), (C ) e assim por diante. Cada entrada em uma matriz é referida como (a_ {ij} ), de modo que (i ) representa a linha e (j ) representa a coluna. As matrizes são freqüentemente referidas por suas dimensões: (m × n ) indicando (m ) linhas e (n ) colunas.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando as dimensões da matriz fornecida e localizando entradas

Matriz dada (A ):

  1. Quais são as dimensões da matriz (A )?
  2. Quais são as entradas em (a_ {31} ) e (a_ {22} )?

[A = begin {bmatrix} 2 & 1 & 0 2 & 4 & 7 3 & 1 & −2 end {bmatrix} nonumber ]

Solução

  1. As dimensões são (3 vezes 3 ) porque há três linhas e três colunas.
  2. A entrada (a_ {31} ) é o número na linha 3, coluna 1, que é (3 ). A entrada (a_ {22} ) é o número na linha 2, coluna 2, que é (4 ). Lembre-se de que a linha vem primeiro, depois a coluna.
Adicionando e subtraindo matrizes

Usamos matrizes para listar dados ou representar sistemas. Como as entradas são números, podemos realizar operações em matrizes. Adicionamos ou subtraímos matrizes adicionando ou subtraindo entradas correspondentes. Para fazer isso, as entradas devem corresponder. Portanto, adição e subtração de matrizes só é possível quando as matrizes têm as mesmas dimensões. Podemos adicionar ou subtrair uma matriz (3 vezes 3 ) e outra matriz (3 vezes 3 ), mas não podemos adicionar ou subtrair uma matriz (2 vezes 3 ) e uma (3 vezes 3 ) matriz porque algumas entradas em uma matriz não terão uma entrada correspondente na outra matriz.

ADICIONANDO E SUBTRAINDO MATRIZES

Dadas as matrizes (A ) e (B ) de dimensões semelhantes, adição e subtração de (A ) e (B ) produzirão a matriz (C ) ou matriz (D ) dimensão.

[A + B = C ]

de modo que (a_ {ij} + b_ {ij} = c_ {ij} )

[A − B = D ]

de modo que (a_ {ij} −b_ {ij} = d_ {ij} )

Adição de matriz é comutativo.

[A + B = B + A ]

Isso é também associativo.

[(A + B) + C = A + (B + C) ]

Exemplo ( PageIndex {2A} ): Encontrando a soma das matrizes

Encontre a soma de (A ) e (B ), dado

[A = begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} nonumber ]

e

[B = begin {bmatrix} e & f g & h end {bmatrix} nonumber ]

Solução

Adicione entradas correspondentes.

[ begin {align} A + B & = begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} + begin {bmatrix} e & f g & h end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} a + e & b + f c + g & d + h end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {2B} ): Adicionando Matriz (A ) e Matriz (B )

Encontre a soma de (A ) e (B ).

[A = begin {bmatrix} 4 e 1 3 & 2 end {bmatrix} nonumber ]

e

[B = begin {bmatrix} 5 e 9 0 & 7 end {bmatrix} nonumber ]

Solução

Adicione entradas correspondentes. Adicione a entrada na linha 1, coluna 1, (a_ {11} ), da matriz (A ) à entrada na linha 1, coluna 1, (b_ {11} ), de (B ) Continue o padrão até que todas as entradas tenham sido adicionadas.

[ begin {align} A + B & = begin {bmatrix} 4 & 1 3 & 2 end {bmatrix} + begin {bmatrix} 5 & 9 0 & 7 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 4 + 5 & 1 + 9 3 + 0 & 2 + 7 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 9 e 10 3 & 9 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {2C} ): Encontrando a diferença de duas matrizes

Encontre a diferença de (A ) e (B ).

(A = begin {bmatrix} −2 & 3 0 & 1 end {bmatrix} ) e (B = begin {bmatrix} 8 & 1 5 & 4 end {bmatrix} )

Solução

Subtraímos as entradas correspondentes de cada matriz.

[ begin {align} A − B & = begin {bmatrix} −2 & 3 0 & 1 end {bmatrix} - begin {bmatrix} 8 & 1 5 & 4 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −2−8 & 3−1 0−5 & 1−4 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −10 & 2 - 5 & −3 end {bmatrix } nonumber end {align} nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {2D} ): Encontrando a Soma e a Diferença de Duas Matrizes 3 x 3

Dado (A ) e (B ):

  1. Encontre a soma.
  2. Encontre a diferença.

[A = begin {bmatrix} 2 & −10 & −2 14 & 12 & 10 4 & −2 & 2 end {bmatrix} nonumber ]

e

[B = begin {bmatrix} 6 e 10 & −2 0 & −12 & −4 - 5 & 2 & −2 end {bmatrix} nonumber ]

Solução

  1. Adicione as entradas correspondentes.

[ begin {align} A + B & = begin {bmatrix} 2 & −10 & −2 14 & 12 & 10 4 & −2 & 2 end {bmatrix} + begin {bmatrix} 6 & 10 & −2 0 & −12 & −4 - 5 & 2 & −2 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 2 + 6 & −10 + 10 & −2−2 14 + 0 & 12−12 & 10−4 4−5 & −2 + 2 & 2−2 end {bmatriz} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 8 & 0 & −4 14 & 0 & 6 - 1 & 0 & 0 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

  1. Subtraia as entradas correspondentes.

[ begin {align} A − B & = begin {bmatrix} 2 & −10 & −2 14 & 12 & 10 4 & −2 & 2 end {bmatrix} - begin {bmatrix} 6 & 10 & −2 0 & −12 & - 4 - 5 & 2 & −2 end {bmatriz} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 2−6 & −10−10 & −2 + 2 14−0 & 12 + 12 & 10 +4 4 + 5 & −2−2 & 2 + 2 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −4 & −20 & 0 14 & 24 & 14 9 & −4 & 4 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Adicione a matriz (A ) e a matriz (B ).

[A = begin {bmatrix} 2 & 6 1 & 0 1 & −3 end {bmatrix} nonumber ]

e

[B = begin {bmatrix} 3 & −2 1 & 5 - 4 e 3 end {bmatrix} nonumber ]

Responder

[ begin {align} A + B & = begin {bmatrix} 2 & 6 1 & 0 1 & −3 end {bmatrix} + begin {bmatrix} 3 & -2 1 & 5 - 4 & 3 end { bmatriz} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 2 + 3 & 6 + (- 2) 1 + 1 & 0 + 5 1 + (- 4) & - 3 + 3 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 5 & 4 2 & 5 - 3 & 0 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Encontrando Múltiplos Escalares de uma Matriz

Além de adicionar e subtrair matrizes inteiras, existem muitas situações em que precisamos multiplicar uma matriz por uma constante chamada escalar. Lembre-se de que um escalar é uma quantidade de número real que tem magnitude, mas não direção. Por exemplo, tempo, temperatura e distância são quantidades escalares. O processo de multiplicação escalar envolve a multiplicação de cada entrada em uma matriz por um escalar. Um múltiplo escalar é qualquer entrada de uma matriz que resulta da multiplicação escalar.

Considere um cenário do mundo real em que uma universidade precisa adicionar ao seu estoque de computadores, mesas de computador e cadeiras em dois dos laboratórios do campus devido ao aumento de matrículas. Eles estimam que (15% ) mais equipamentos são necessários em ambos os laboratórios. O estoque atual da escola é exibido na Tabela ( PageIndex {2} ).

Tabela ( PageIndex {2} )
Laboratório ALaboratório B
Computadores1527
Mesas de computador1634
Cadeiras1634

Convertendo os dados em uma matriz, temos

[C_ {2013} = begin {bmatrix} 15 e 27 16 & 34 16 & 34 end {bmatrix} nonumber ]

Para calcular quanto equipamento de computador será necessário, multiplicamos todas as entradas na matriz (C ) por (0,15 ).

[(0,15) C_ {2013} = begin {bmatrix} (0,15) 15 & (0,15) 27 (0,15) 16 & (0,15) 34 (0,15) 16 & (0,15) 34 end {bmatrix} = begin {bmatrix} 2.25 e 4.05 2.4 e 5.1 2.4 e 5.1 end {bmatrix} nonumber ]

Devemos arredondar para o próximo inteiro, então a quantidade de novos equipamentos necessários é

[ begin {bmatrix} 3 e 5 3 e 6 3 e 6 end {bmatrix} nonumber ]

Adicionando as duas matrizes conforme mostrado abaixo, vemos os novos valores de estoque.

[ begin {bmatrix} 15 e 27 16 & 34 16 & 34 end {bmatrix} + begin {bmatrix} 3 & 5 3 & 6 3 & 6 end {bmatrix} = begin {bmatrix} 18 e 32 19 & 40 19 & 40 end {bmatrix} nonumber ]

Isso significa

[C_ {2014} = begin {bmatrix} 18 e 32 19 & 40 19 & 40 end {bmatrix} nonumber ]

Assim, o Laboratório A terá (18 ) computadores, (19 ) mesas de computador e (19 ) cadeiras; O Laboratório B terá (32 ) computadores, (40 ) mesas de computador e (40 ) cadeiras.

MULTIPLICAÇÃO ESCALAR

A multiplicação escalar envolve encontrar o produto de uma constante por cada entrada na matriz. Dado

[A = begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} & a_ {22} end {bmatrix} nonumber ]

o múltiplo escalar (cA ) é

[cA = c begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} & a_ {22} end {bmatrix} nonumber ]

[= begin {bmatrix} ca_ {11} & ca_ {12} ca_ {21} & ca_ {22} end {bmatrix} nonumber ]

A multiplicação escalar é distributiva. Para as matrizes (A ), (B ) e (C ) com escalares (a ) e (b ),

[a (A + B) = aA + aB ]

[(a + b) A = aA + bA ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Multiplicando a matriz por um escalar

Multiplique a matriz (A ) pelo escalar (3 ).

[A = begin {bmatrix} 8 e 1 5 & 4 end {bmatrix} nonumber ]

Solução

Multiplique cada entrada em (A ) pelo escalar (3 ).

[ begin {align} 3A & = 3 begin {bmatrix} 8 & 1 5 & 4 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 3⋅8 & 3⋅1 3⋅5 & 3⋅4 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 24 & 3 15 & 12 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Dada matriz (B ), encontre (- 2B ) onde

[B = begin {bmatrix} 4 e 1 3 & 2 end {bmatrix} nonumber ]

Responder

[- 2B = begin {bmatrix} −8 & −2 - 6 & −4 end {bmatrix} nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {4} ): Encontrando a soma de múltiplos escalares

Encontre a soma (3A + 2B ).

[A = begin {bmatrix} 1 & −2 & 0 0 & −1 & 2 4 & 3 & −6 end {bmatrix} nonumber ]

e

[B = begin {bmatrix} −1 & 2 & 1 0 & −3 & 2 0 & 1 & −4 end {bmatrix} nonumber ]

Solução

Primeiro, encontre (3A ), depois (2B ).

[ begin {align} 3A & = begin {bmatrix} 3⋅1 & 3 (−2) & 3⋅0 3⋅0 & 3 (−1) & 3⋅2 3⋅4 & 3⋅3 & 3 (−6) end { bmatriz} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 3 & −6 & 0 0 & −3 & 6 12 & 9 & −18 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

[ begin {align} 2B & = begin {bmatrix} 2 (−1) & 2⋅2 & 2⋅1 2⋅0 & 2 (−3) & 2⋅2 2⋅0 & 2⋅1 & 2 (−4) end { bmatriz} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −2 & 4 & 2 0 & −6 & 4 0 & 2 & −8 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Agora, adicione (3A + 2B ).

[ begin {align} 3A + 2B & = begin {bmatrix} 3 & −6 & 0 0 & −3 & 6 12 & 9 & −18 end {bmatrix} + begin {bmatrix} −2 & 4 & 2 0 & −6 & 4 0 & 2 & −8 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 3−2 & −6 + 4 & 0 + 2 0 + 0 & −3−6 & 6 + 4 12 + 0 & 9 + 2 & −18 −8 end {bmatriz} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & −2 & 2 0 & −9 & 10 12 & 11 & −26 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Encontrando o Produto de Duas Matrizes

Além de multiplicar uma matriz por um escalar, podemos multiplicar duas matrizes. Encontrar o produto de duas matrizes só é possível quando as dimensões internas são iguais, o que significa que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Se (A ) é uma matriz (m × r ) e (B ) é uma matriz (r × n ), então a matriz do produto (AB ) é uma (m × n ) matriz. Por exemplo, o produto (AB ) é possível porque o número de colunas em (A ) é igual ao número de linhas em (B ). Se as dimensões internas não corresponderem, o produto não está definido.

Multiplicamos as entradas de (A ) com as entradas de (B ) de acordo com um padrão específico, conforme descrito abaixo. O processo de multiplicação da matriz torna-se mais claro ao trabalhar um problema com números reais.

Para obter as entradas na linha (i ) de (AB ), multiplicamos as entradas na linha (i ) de (A ) pela coluna (j ) em (B ) e adicionamos . Por exemplo, dadas as matrizes (A ) e (B ), onde as dimensões de (A ) são (2 vezes 3 ) e as dimensões de (B ) são (3 vezes 3 ), o produto de (AB ) será uma matriz (2 vezes 3 ).

[A = begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} end {bmatrix} nonumber ]

e

[B = begin {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} & b_ {13} b_ {21} & b_ {22} & b_ {23} b_ {31} & b_ {32} & b_ {33} fim {bmatrix} nonumber ]

Multiplique e some como segue para obter a primeira entrada da matriz do produto (AB ).

  1. Para obter a entrada na linha 1, coluna 1 de (AB ), multiplique a primeira linha em (A ) pela primeira coluna em (B ) e adicione.

    [ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} end {bmatrix} ⋅ begin {bmatrix} b_ {11} b_ {21} b_ {31} end {bmatrix } = a_ {11} ⋅b_ {11} + a_ {12} ⋅b_ {21} + a_ {13} ⋅b_ {31} nonumber ]

  2. Para obter a entrada na linha 1, coluna 2 de (AB ), multiplique a primeira linha de (A ) pela segunda coluna em (B ) e adicione.

    [ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} end {bmatrix} ⋅ begin {bmatrix} b_ {12} b_ {22} b_ {32} end {bmatrix } = a_ {11} ⋅b_ {12} + a_ {12} ⋅b_ {22} + a_ {13} ⋅b_ {32} não numérico ]

  3. Para obter a entrada na linha 1, coluna 3 de (AB ), multiplique a primeira linha de (A ) pela terceira coluna em (B ) e adicione.

    [ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} end {bmatrix} ⋅ begin {bmatrix} b_ {13} b_ {23} b_ {33} end {bmatrix } = a_ {11} ⋅b_ {13} + a_ {12} ⋅b_ {23} + a_ {13} ⋅b_ {33} nonumber ]

Procedemos da mesma maneira para obter a segunda linha de (AB ). Em outras palavras, linha 2 de (A ) vezes coluna 1 de (B ); linha 2 de (A ) vezes coluna 2 de (B ); linha 2 de (A ) vezes coluna 3 de (B ).Quando concluído, a matriz do produto será

[AB = begin {bmatrix} a_ {11} ⋅b_ {11} + a_ {12} ⋅b_ {21} + a_ {13} ⋅b_ {31} & a_ {11} ⋅b_ {12} + a_ { 12} ⋅b_ {22} + a_ {13} ⋅b_ {32} & a_ {11} ⋅b_ {13} + a_ {12} ⋅b_ {23} + a_ {13} ⋅b_ {33} a_ { 21} ⋅b_ {11} + a_ {22} ⋅b_ {21} + a_ {23} ⋅b_ {31} e a_ {21} ⋅b_ {12} + a_ {22} ⋅b_ {22} + a_ {23 } ⋅b_ {32} & a_ {21} ⋅b_ {13} + a_ {22} ⋅b_ {23} + a_ {23} ⋅b_ {33} end {bmatrix} nonumber ]

PROPRIEDADES DE MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZ

Para a matriz (A, B ) e (C ), as seguintes propriedades são válidas.

  • A multiplicação da matriz é associativo: [(AB) C = A (BC). ]
  • A multiplicação da matriz é distributivo: [C (A + B) = CA + CB ] [(A + B) C = AC + BC. ]

Observe que a multiplicação da matriz não é comutativa.

Exemplo ( PageIndex {5A} ): Multiplicando duas matrizes

Multiplique a matriz (A ) e a matriz (B ).

[A = begin {bmatrix} 1 e 2 3 & 4 end {bmatrix} nonumber ]

e

[B = begin {bmatrix} 5 e 6 7 e 8 end {bmatrix} nonumber ]

Solução

Primeiro, verificamos as dimensões das matrizes. Matriz (A ) tem dimensões (2 × 2 ) e matriz (B ) tem dimensões (2 × 2 ). As dimensões internas são as mesmas para que possamos realizar a multiplicação. O produto terá as dimensões (2 × 2 ).

Realizamos as operações descritas anteriormente.

Exemplo ( PageIndex {5B} ): Multiplicando duas matrizes

Dado (A ) e (B ):

  1. Encontre (AB ).
  2. Encontre (BA ).

[A = begin {bmatrix} −1 & 2 & 3 4 & 0 & 5 end {bmatrix} nonumber ]

e

[B = begin {bmatrix} 5 & −1 - 4 & 0 2 & 3 end {bmatrix} nonumber ]

Solução

  1. Como as dimensões de (A ) são (2 vezes 3 ) e as dimensões de (B ) são (3 vezes 2 ), essas matrizes podem ser multiplicadas juntas porque o número de colunas em (A ) corresponde ao número de linhas em (B ). O produto resultante será uma matriz (2 vezes 2 ), o número de linhas em (A ) pelo número de colunas em (B ).

[ begin {align} AB & = begin {bmatrix} −1 & 2 & 3 4 & 0 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 5 & −1 - 4 & 0 2 & 3 end {bmatrix} nonumber [4pt ] & = begin {bmatrix} −1 (5) +2 (−4) +3 (2) & - 1 (−1) +2 (0) +3 (3) 4 (5) +0 ( −4) +5 (2) & 4 (−1) +0 (0) +5 (3) end {bmatriz} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −7 & 10 30 & 11 end { bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

  1. As dimensões de (B ) são (3 vezes 2 ) e as dimensões de (A ) são (2 vezes 3 ). As dimensões internas correspondem para que o produto seja definido e será uma matriz (3 vezes 3 ).

[ begin {align} BA & = begin {bmatrix} 5 & −1 - 4 & 0 2 & 3 end {bmatrix} begin {bmatrix} −1 & 2 & 3 4 & 0 & 5 end {bmatrix} nonumber [4pt ] & = begin {bmatrix} 5 (−1) + - 1 (4) & 5 (2) + - 1 (0) & 5 (3) + - 1 (5) - 4 (−1) +0 ( 4) & - 4 (2) +0 (0) & - 4 (3) +0 (5) 2 (−1) +3 (4) & 2 (2) +3 (0) & 2 (3) +3 (5) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −9 e 10 & 10 4 & −8 & −12 10 & 4 & 21 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

Análise

Observe que os produtos (AB ) e (BA ) não são iguais.

[AB = begin {bmatrix} −7 & 10 30 & 11 end {bmatrix} ≠ begin {bmatrix} −9 e 10 & 10 4 & −8 & −12 10 & 4 & 21 end {bmatrix} = BA nonumber ]

Isso ilustra o fato de que a multiplicação da matriz é não comutativo.

P&R: É possível definir AB, mas não BA?

Sim, considere uma matriz (A ) com dimensão (3 × 4 ) e matriz (B ) com dimensão (4 × 2 ). Para o produto (AB ) as dimensões internas são (4 ) e o produto é definido, mas para o produto (BA ) as dimensões internas são (2 ) e (3 ), então o produto é indefinido.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Usando matrizes em problemas do mundo real

Voltemos ao problema apresentado no início desta seção. Temos a Tabela ( PageIndex {3} ), representando as necessidades de equipamentos de dois times de futebol.

Tabela ( PageIndex {3} )
WildcatsGatos da lama
Metas610
Bolas3024
Camisas1420

Também nos são fornecidos os preços dos equipamentos, conforme mostrado na Tabela ( PageIndex {4} ).

Tabela ( PageIndex {4} )
Meta$300
Bola$10
Jersey$30

Vamos converter os dados em matrizes. Assim, a matriz de necessidade de equipamento é escrita como

[E = begin {bmatrix} 6 e 10 30 e 24 14 e 20 end {bmatrix} nonumber ]

A matriz de custo é escrita como

[C = begin {bmatrix} 300 e 10 e 30 end {bmatrix} nonumber ]

Realizamos multiplicação de matrizes para obter os custos do equipamento.

[ begin {align} CE & = begin {bmatrix} 300 & 10 e 30 end {bmatrix} ⋅ begin {bmatrix} 6 e 10 30 & 24 14 & 20 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin { bmatriz} 300 (6) +10 (30) +30 (14) & 300 (10) +10 (24) +30 (20) end {bmatriz} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 2.520 & 3.840 end {bmatrix} nonumber end {align} nonumber ]

O custo total do equipamento para os Wildcats é ($ 2.520 ) e o custo total do equipamento para os Mud Cats é ($ 3.840 ).

Como: Dada uma operação de matriz, avalie usando uma calculadora

  1. Salve cada matriz como uma variável de matriz ([A], [B], [C], ... )
  2. Insira a operação na calculadora, acessando cada variável de matriz conforme necessário.
  3. Se a operação for definida, a calculadora apresentará a matriz de solução; se a operação for indefinida, será exibida uma mensagem de erro.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Usando uma calculadora para realizar operações de matriz

Encontrar (AB − C ) fornecido

(A = begin {bmatrix} −15 & 25 & 32 41 & −7 & −28 10 & 34 & −2 end {bmatrix} ), (B = begin {bmatrix} 45 & 21 & −37 - 24 & 52 & 19 6 & −48 e −31 end {bmatrix} ), e (C = begin {bmatrix} −100 & −89 & −98 25 & −56 & 74 - 67 & 42 & −75 end {bmatrix} )

Solução

Na página de matriz da calculadora, inserimos matriz (A ) acima como a variável de matriz ([A] ), matriz (B ) acima como variável de matriz ([B] ) e a matriz (C ) acima como a variável de matriz ([C] ).

Na tela inicial da calculadora, digitamos o problema e chamamos cada variável da matriz conforme necessário.

[[A] × [B] - [C] não numérico ]

A calculadora nos dá a seguinte matriz.

[ begin {bmatrix} −983 & −462 & 136 1.820 e 1.897 & −856 - 311 e 2.032 & 413 end {bmatrix} nonumber ]

Conceitos chave

  • Uma matriz é uma matriz retangular de números. As entradas são organizadas em linhas e colunas.
  • As dimensões de uma matriz referem-se ao número de linhas e ao número de colunas. Uma matriz (3 × 2 ) possui três linhas e duas colunas. Veja Exemplo ( PageIndex {1} ).
  • Adicionamos e subtraímos matrizes de dimensões iguais adicionando e subtraindo entradas correspondentes de cada matriz. Veja Exemplo ( PageIndex {2} ), Exemplo ( PageIndex {3} ), Exemplo ( PageIndex {4} ) e Exemplo ( PageIndex {5} ).
  • A multiplicação escalar envolve a multiplicação de cada entrada em uma matriz por uma constante. Veja Exemplo ( PageIndex {6} ).
  • A multiplicação escalar é freqüentemente necessária antes que a adição ou subtração possa ocorrer. Veja Exemplo ( PageIndex {7} ).
  • A multiplicação de matrizes é possível quando as dimensões internas são iguais - o número de colunas na primeira matriz deve corresponder ao número de linhas na segunda.
  • O produto de duas matrizes, (A ) e (B ), é obtido multiplicando cada entrada na linha 1 de (A ) por cada entrada na coluna 1 de (B ); em seguida, multiplique cada entrada da linha 1 de (A ) por cada entrada nas colunas 2 de (B ) e assim por diante. Veja Exemplo ( PageIndex {8} ) e Exemplo ( PageIndex {9} ).
  • Muitos problemas do mundo real muitas vezes podem ser resolvidos usando matrizes. Veja Exemplo ( PageIndex {10} ).
  • Podemos usar uma calculadora para realizar operações de matriz depois de salvar cada matriz como uma variável de matriz. Veja Exemplo ( PageIndex {11} ).

Propriedades de operações matriciais

As principais propriedades das operações de matriz, como adição, multiplicação, transposição e inversa são apresentadas.
A seguir, (A, B ) e (C ) são matrizes cujos tamanhos são tais que as operações são bem definidas e (k ) e (m ) são escalares.
(I_n ) é a matriz de identidade de tamanho (n vezes n ) cujas entradas diagonais são todas iguais a 1 e todas as entradas não diagonais iguais a zero.
(0 ) é a matriz zero cujas entradas são todas zeros.


Operações de matriz

Este exemplo mostra como usar operadores aritméticos em matrizes. Você pode usar essas operações aritméticas para realizar cálculos numéricos.

O MATLAB permite processar todos os valores em uma matriz usando um único operador aritmético ou função.

Você pode adicionar um escalar a cada elemento da matriz com um único operador.

Você pode calcular o seno para cada um desses valores usando uma única função.

Para transpor uma matriz, use aspas simples (').

Você também pode realizar a multiplicação de matriz padrão, que calcula os produtos internos entre linhas e colunas, usando o operador de multiplicação '*'. Este exemplo confirma que uma matriz multiplicada por seu inverso retorna a matriz identidade.

Para realizar a multiplicação em cada elemento individual, use o operador de multiplicação elemento a elemento '. *'.


O produto de duas matrizes não é definido para quaisquer duas matrizes, nem mesmo é definido para duas matrizes das mesmas dimensões.

Em primeiro lugar, considere a multiplicação do vetor linha pelo vetor coluna. Sejam as dimensões do vetor $ mathbf $ $ 1 vezes n $ e $ n vezes 1 $ do vetor $ mathbf$. Então seu produto é:

Seu produto é um escalar.

Usaremos anteriormente no exemplo:

$ begin 2 e 4 e 4 e 1 e 3 e 3 fim cdot begin -1 6 -2 0 fim = 2 cdot (-1) + 4 cdot 6 + (-1) cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2 + 24 +2 +0 = 24. $

A definição adequada segue.

Isso significa que o elemento $ c_$ é o produto escalar dos elementos que estão localizados em $ i $ -ésima linha da matriz $ mathbf $ e em $ j $ -ésima coluna da matriz $ mathbf$.

Multiplique as seguintes matrizes:

$ = begin 1 cdot 2 + (-3) cdot 0 + (-2) cdot 7 + (- 1) cdot (-1) & amp 1 cdot (-1) + (-3) cdot 3 + (- 2) cdot 1 + (- 1) cdot (-8) 6 cdot 2 + 0 cdot 0 + 5 cdot 7 + 2 cdot (-1) & amp 6 cdot (-1) + 0 cdot 3 + 5 cdot 1 + 2 cdot (-8) -1 cdot 2 + 7 cdot 0 + 4 cdot 7 + 0 cdot (-1) & amp -1 cdot (-1) + 7 cdot 3 + 4 cdot 1 + 0 cdot (-8) end =$

$ = begin 2 + 0 -14 +1 & amp -1 -9 -2 +8 12 + 0 +35 -2 & amp -6 + 0 +5 -16 -2 + 0 +28 + 0 & amp 1 +21 +4 + 0 fim = begin -11 e amp -4 45 e amp -17 26 e amp 26 end. $

A multiplicação das matrizes não é comutativa, como podemos ver no exemplo anterior. O produto $ mathbf mathbf $ nem mesmo está definido, porque a matriz $ mathbf$ tem duas colunas e uma matriz $ mathbf $ três linhas.

As seguintes propriedades são válidas para a multiplicação de matrizes (se os produtos especificados forem bem definidos):


Matrizes e operações de matriz

Dois times de futebol, os Wildcats e os Mud Cats, esperam obter novos equipamentos para a próxima temporada. [link] mostra as necessidades de ambas as equipes.

Wildcats Gatos da lama
Metas 6 10
Bolas 30 24
Camisas 14 20

Um gol custa $ 300 a bola custa $ 10 e uma camisa custa $ 30. Como podemos saber o custo total dos equipamentos necessários para cada equipe? Nesta seção, descobrimos um método no qual os dados na tabela de equipamentos de futebol podem ser exibidos e usados ​​para calcular outras informações. Então, poderemos calcular o custo do equipamento.

Encontrando a Soma e a Diferença de Duas Matrizes

Para resolver um problema como o descrito para os times de futebol, podemos usar um matriz, que é uma matriz retangular de números. UMA fileira em uma matriz é um conjunto de números alinhados horizontalmente. UMA coluna em uma matriz há um conjunto de números alinhados verticalmente. Cada número é um entrada, às vezes chamado de elemento, da matriz. As matrizes (plural) são colocadas entre [] ou () e geralmente são nomeadas com letras maiúsculas. Por exemplo, três matrizes chamadas A, B,

Descrevendo Matrizes

Uma matriz é muitas vezes referida por seu tamanho ou dimensões: m × n

colunas. As entradas da matriz são definidas primeiro por linha e depois por coluna. Por exemplo, para localizar a entrada na matriz A

procuramos a entrada na linha i,

mostrado abaixo, a entrada na linha 2, coluna 3 é um 23.

UMA matriz quadrada é uma matriz com dimensões n × n,

o que significa que tem o mesmo número de linhas que colunas. O 3 × 3

matriz acima é um exemplo de uma matriz quadrada.

UMA matriz de linha é uma matriz que consiste em uma linha com dimensões 1 × n.

UMA matriz de coluna é uma matriz que consiste em uma coluna com dimensões m × 1.

Uma matriz pode ser usada para representar um sistema de equações. Nestes casos, os números representam os coeficientes das variáveis ​​do sistema. As matrizes geralmente facilitam a resolução de sistemas de equações porque não estão sobrecarregados com variáveis. Investigaremos essa ideia com mais detalhes na próxima seção, mas primeiro veremos os operações de matriz.

UMA matriz é uma matriz retangular de números que geralmente é nomeada por uma letra maiúscula: A, B, C,

e assim por diante. Cada entrada em uma matriz é referida como a i j,

representa a coluna. As matrizes são frequentemente referidas por suas dimensões: m × n

  1. Quais são as dimensões da matriz A?
  2. Quais são as entradas em um 31

porque existem três linhas e três colunas.

é o número na linha 3, coluna 1, que é 3. A entrada

é o número na linha 2, coluna 2, que é 4. Lembre-se, a linha vem primeiro, depois a coluna.

Adicionando e subtraindo matrizes

Usamos matrizes para listar dados ou representar sistemas. Como as entradas são números, podemos realizar operações em matrizes. Adicionamos ou subtraímos matrizes adicionando ou subtraindo entradas correspondentes.

Para fazer isso, as entradas devem corresponder. Portanto, adição e subtração de matrizes só é possível quando as matrizes têm as mesmas dimensões. Podemos adicionar ou subtrair um 3 × 3

matriz, mas não podemos adicionar ou subtrair 2 × 3

matriz porque algumas entradas em uma matriz não terão uma entrada correspondente na outra matriz.

de dimensões semelhantes, adição e subtração de A

A adição da matriz é comutativa.

Adicione entradas correspondentes.

Adicione entradas correspondentes. Adicione a entrada na linha 1, coluna 1, a 11,

à entrada na linha 1, coluna 1, b 11,

Continue o padrão até que todas as entradas tenham sido adicionadas.

Subtraímos as entradas correspondentes de cada matriz.

Encontrando Múltiplos Escalares de uma Matriz

Além de adicionar e subtrair matrizes inteiras, existem muitas situações em que precisamos multiplicar uma matriz por uma constante chamada escalar. Lembre-se de que um escalar é uma quantidade de número real que tem magnitude, mas não direção. Por exemplo, tempo, temperatura e distância são quantidades escalares. O processo de multiplicação escalar envolve a multiplicação de cada entrada em uma matriz por um escalar. UMA múltiplo escalar é qualquer entrada de uma matriz que resulta da multiplicação escalar.

Considere um cenário do mundo real em que uma universidade precisa adicionar ao seu estoque de computadores, mesas de computador e cadeiras em dois dos laboratórios do campus devido ao aumento de matrículas. Eles estimam que 15% a mais de equipamentos são necessários em ambos os laboratórios. O inventário atual da escola é exibido em [link].

Laboratório A Laboratório B
Computadores 15 27
Mesas de computador 16 34
Cadeiras 16 34

Convertendo os dados em uma matriz, temos

Para calcular quanto equipamento de informática será necessário, multiplicamos todas as entradas na matriz C

Devemos arredondar para o próximo inteiro, então a quantidade de novos equipamentos necessários é

Adicionando as duas matrizes conforme mostrado abaixo, vemos os novos valores de estoque.

Assim, o Laboratório A terá 18 computadores, 19 mesas de computador e 19 cadeiras. O Laboratório B terá 32 computadores, 40 mesas de computador e 40 cadeiras.

A multiplicação escalar envolve encontrar o produto de uma constante por cada entrada na matriz. Dado


Índice

O uso de várias técnicas disponíveis em álgebra linear é impossível sem operações de matriz. Vamos ver quais são essas operações de matriz e suas propriedades em detalhes.

Igualdade de Matrizes

As condições para igualdade de duas matrizes (A ) e (B ) são:

  1. As matrizes (A ) e (B ) devem ser da mesma ordem, ou seja, o número de linhas ( (m )) de (A ) deve ser igual ao de (B ) , e o número de colunas ( (n )) de (A ) deve ser igual ao de (B ).
  2. Todos os elementos da matriz (A ) devem ser iguais aos elementos correspondentes de (B ).

Aqui, as matrizes (A ) e (B ) são iguais.

Adição e subtração de matrizes

A ordem das duas matrizes deve ser a mesma para poder realizar a operação de adição ou subtração.

A soma (A ) + (B ) é definida, de modo que cada elemento na matriz (A ) adiciona ao elemento correspondente na matriz (B ).

Da mesma forma, podemos subtrair a matriz (B ) da matriz (A ), subtraindo cada elemento de (B ) do elemento correspondente de (A ).

Propriedades da operação de adição e subtração

A seguir estão as propriedades da operação de adição e subtração:

  • A adição de matrizes é comutativo. $ begin A + B = B + A end $
  • A adição e subtração de matrizes é associativo. $ begin (A + B) -C = A + (B-C) end$
  • A Matriz Nula ( (O )) da mesma ordem é um aditivo (e subtrativo) identidade, ou seja, a matriz permanece a mesma após adição ou subtração pela matriz (O ). $ begin A + O = A hspace <1em> e hspace <1em> A-O = A end$
  • O inverso aditivo de uma matriz é uma matriz, quando adicionada à matriz original, resulta na Matriz Nula. Ela pode ser calculada negando todos os elementos da matriz, ou seja, alterando o sinal do elemento. O inverso aditivo da matriz (A ) é denotado por (- A ). $ Begin
    A =
    começar
    a & amp b
    c & amp d
    e & amp f
    fim hspace <2em>
    -A =
    começar
    -a & amp -b
    -c e amp -d
    -e & amp -f
    fim [2em]
    A + (- A) = O =
    começar
    0 & amp 0
    0 & amp 0
    0 e 0
    fim
    hspace <2em>
    fim$

Matriz multiplicada por um escalar

Quando a matriz é multiplicada por um valor escalar, digamos (p ), obtemos a matriz resultante multiplicando cada elemento da matriz pelo escalar (p ).

Observação: Quando o determinante de uma matriz é multiplicado por um valor escalar, então apenas uma linha (linha ou coluna) é multiplicada por esse valor.

Propriedades da operação de multiplicação escalar

A matriz multiplicada por um valor escalar é um distributivo Operação.

Multiplicação de matrizes

Podemos multiplicar duas matrizes (o produto (AB ) é definido) apenas quando eles são adaptável, ou seja, o número de colunas na primeira matriz deve ser igual ao número de linhas na segunda.

A matriz resultante tem o número de linhas igual à primeira matriz e o número de colunas igual à segunda matriz.

Na multiplicação da matriz (AB ), a matriz (A ) é pós-multiplicado pela matriz (B ) e na multiplicação (BA ), a matriz (A ) é pré-multiplicado pela matriz (B ).

A multiplicação da matriz (BA ) é definida apenas quando o número de linhas na matriz (A ) ( (m )) é igual ao número de colunas na matriz (B ) ( (k ) )

Em geral, se (A_) e B_) são duas matrizes conformáveis, então a matriz ((AB) _) é definido como:

onde o termo (c_) é chamado de produto interno do (i ^) linha de (A ) e o (j ^) coluna de (B ) e é obtido pela soma da multiplicação dos elementos da (i ^) linha pelos elementos correspondentes do (j ^) coluna.

Propriedades da multiplicação de matrizes

A seguir estão as propriedades da operação de multiplicação de matrizes:

  • Multiplicação de matrizes é NÃO comutativo. $ begin AB neq BA end$ fornecido (BA ) é definido. Além disso, (AB ) pode ser igual a (BA ) para alguns casos de (A ) e (B ), mas é muito raro.
  • A multiplicação da matriz é associativo. $ begin (AB) C = A (BC) end$ onde A, B e B, C devem ser conformes para os produtos AB e BC a serem definidos, respectivamente.
  • A multiplicação da matriz é distributivo. $ begin
    A (B + C) & amp = AB + AC [0,5em] (A + B) C & amp = AC + BC end$

Poder de uma matriz

Podemos definir o poder de uma matriz como a multiplicação de duas matrizes. O quadrado da matriz (A ) pode ser definido como o produto (AA ) e o cubo da matriz (A ) é definido como a multiplicação de (A ) e (A ^ 2 ).

Em geral, o (n ^) potência da matriz (A ) é definida como:

Propriedades da operação de energia

  • Se o quadrado de uma matriz é uma matriz de identidade, então essa matriz é considerada uma Matriz Involutória, ou seja, (A ^ 2 = I ).
  • Se o quadrado da matriz resulta na mesma matriz, ou seja, se (A ^ 2 = A ), então a matriz A é chamada de Matriz Idempotente
  • Se o quadrado da matriz resulta na Matriz Nula, ou seja, se (A ^ 2 = 0 ), então a matriz A é chamada de Matriz Nilpotente

Matrizes e operações de matriz

Figura 1. (crédito: “SD Dirk,” Flickr)

Dois times de futebol, os Wildcats e os Mud Cats, esperam obter novos equipamentos para a próxima temporada. (Figura) mostra as necessidades de ambas as equipes.

Wildcats Gatos da lama
Metas 6 10 Bolas 30 24 Camisas 14 20

Um gol custa $ 300 a bola custa $ 10 e uma camisa custa $ 30. Como podemos saber o custo total dos equipamentos necessários para cada equipe? Nesta seção, descobrimos um método no qual os dados na tabela de equipamentos de futebol podem ser exibidos e usados ​​para calcular outras informações. Então, poderemos calcular o custo do equipamento.

Encontrando a Soma e a Diferença de Duas Matrizes

Para resolver um problema como o descrito para os times de futebol, podemos usar uma matriz, que é uma matriz retangular de números. Uma linha em uma matriz é um conjunto de números alinhados horizontalmente. Uma coluna em uma matriz é um conjunto de números alinhados verticalmente. Cada número é uma entrada, às vezes chamada de elemento, da matriz. Matrizes (plural) são colocadas entre [] ou () e geralmente são nomeadas com letras maiúsculas. Por exemplo, três matrizes chamadasesão mostrados abaixo.

Descrevendo Matrizes

Uma matriz é muitas vezes referida por seu tamanho ou dimensões:indicandolinhas ecolunas. As entradas da matriz são definidas primeiro por linha e depois por coluna. Por exemplo, para localizar a entrada na matrizidentificado comoprocuramos a entrada na linhacolunaEm matrizmostrado abaixo, a entrada na linha 2, coluna 3 é

Uma matriz quadrada é uma matriz com dimensõeso que significa que tem o mesmo número de linhas que colunas. Omatriz acima é um exemplo de uma matriz quadrada.

Uma matriz de linha é uma matriz que consiste em uma linha com dimensões

Uma matriz de coluna é uma matriz que consiste em uma coluna com dimensões

Uma matriz pode ser usada para representar um sistema de equações. Nestes casos, os números representam os coeficientes das variáveis ​​do sistema. As matrizes costumam tornar a solução de sistemas de equações mais fácil porque não estão sobrecarregados com variáveis. Investigaremos essa ideia com mais detalhes na próxima seção, mas primeiro examinaremos as operações básicas de matriz.

Matrizes

Uma matriz é uma matriz retangular de números que geralmente é nomeada por uma letra maiúscula:e assim por diante. Cada entrada em uma matriz é referida comode tal modo querepresenta a linha erepresenta a coluna. As matrizes são frequentemente referidas por suas dimensões:indicandolinhas ecolunas.

Encontrando as Dimensões da Matriz Dada e Localizando Entradas

Matriz dada

  1. Quais são as dimensões da matriz
  2. Quais são as entradas eme

  1. As dimensões sãoporque existem três linhas e três colunas.
  2. Entradaé o número na linha 3, coluna 1, que é 3. A entradaé o número na linha 2, coluna 2, que é 4. Lembre-se, a linha vem primeiro, depois a coluna.

Adicionando e subtraindo matrizes

Usamos matrizes para listar dados ou representar sistemas. Como as entradas são números, podemos realizar operações em matrizes. Adicionamos ou subtraímos matrizes adicionando ou subtraindo entradas correspondentes.

Para fazer isso, as entradas devem corresponder. Portanto, adição e subtração de matrizes só é possível quando as matrizes têm as mesmas dimensões. Podemos adicionar ou subtrair ummatriz e outramatriz, mas não podemos adicionar ou subtrair ummatriz e ummatriz porque algumas entradas em uma matriz não terão uma entrada correspondente na outra matriz.

Adicionando e subtraindo matrizes

Matrizes dadasede dimensões semelhantes, adição e subtração deeirá produzir matrizou

A adição da matriz é comutativa.

Encontrando a Soma das Matrizes

Encontre a soma deedado

Adicione entradas correspondentes.

[/ resposta-oculta]

Adicionando Matrix UMA e Matrix B

Encontre a soma dee

Adicione entradas correspondentes. Adicione a entrada na linha 1, coluna 1,de matrizà entrada na linha 1, coluna 1,doContinue o padrão até que todas as entradas tenham sido adicionadas.

[/ resposta-oculta]

Encontrando a Diferença de Duas Matrizes

Encontre a diferença dee

Subtraímos as entradas correspondentes de cada matriz.

[/ resposta-oculta]

Encontrando a Soma e a Diferença de Duas Matrizes 3 x 3

Dadoe

    Adicione as entradas correspondentes.

Tente

Adicionar matrize matriz

[/ resposta-oculta]

Encontrando Múltiplos Escalares de uma Matriz

Além de adicionar e subtrair matrizes inteiras, existem muitas situações em que precisamos multiplicar uma matriz por uma constante chamada escalar. Lembre-se de que um escalar é uma quantidade de número real que tem magnitude, mas não direção. Por exemplo, tempo, temperatura e distância são quantidades escalares. O processo de multiplicação escalar envolve a multiplicação de cada entrada em uma matriz por um escalar. Um múltiplo escalar é qualquer entrada de uma matriz que resulta da multiplicação escalar.

Considere um cenário do mundo real em que uma universidade precisa adicionar ao seu estoque de computadores, mesas de computador e cadeiras em dois dos laboratórios do campus devido ao aumento de matrículas. Eles estimam que 15% a mais de equipamentos são necessários em ambos os laboratórios. O inventário atual da escola é exibido na (Figura).

Laboratório A Laboratório B
Computadores 15 27
Mesas de computador 16 34
Cadeiras 16 34

Convertendo os dados em uma matriz, temos

Para calcular quanto equipamento de informática será necessário, multiplicamos todas as entradas na matrizem 0,15.

Devemos arredondar para o próximo inteiro, então a quantidade de novos equipamentos necessários é

Adicionando as duas matrizes conforme mostrado abaixo, vemos os novos valores de estoque.

Assim, o Laboratório A terá 18 computadores, 19 mesas de computador e 19 cadeiras. O Laboratório B terá 32 computadores, 40 mesas de computador e 40 cadeiras.

Multiplicação escalar

A multiplicação escalar envolve encontrar o produto de uma constante por cada entrada na matriz. Dado

o múltiplo escalaré

A multiplicação escalar é distributiva. Para as matrizese com escalarese

Multiplicando a matriz por um escalar

Matriz de multiplicaçãopelo escalar 3.

Multiplique cada entrada empelo escalar 3.

[/ resposta-oculta]

Tente

Matriz dadaencontrarOnde

Encontrando a Soma de Múltiplos Escalares

Encontre a soma

Primeiro, encontreentão

Agora, adicione

[/ resposta-oculta]

Encontrando o Produto de Duas Matrizes

Além de multiplicar uma matriz por um escalar, podemos multiplicar duas matrizes. Encontrar o produto de duas matrizes só é possível quando as dimensões internas são iguais, o que significa que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Seé ummatriz eé ummatriz, então a matriz do produtoé ummatriz. Por exemplo, o produtoé possível porque o número de colunas emé o mesmo que o número de linhas emSe as dimensões internas não corresponderem, o produto não está definido.

Nós multiplicamos as entradas decom entradas dede acordo com um padrão específico, conforme descrito abaixo. O processo de multiplicação de matrizes se torna mais claro quando se trabalha um problema com números reais.

Para obter as entradas em linhadonós multiplicamos as entradas em linhado por colunaeme adicione. Por exemplo, determinadas matrizes eonde as dimensões deestáe as dimensões deestáo produto deserá umamatriz.

Multiplique e some como segue para obter a primeira entrada da matriz do produto

    Para obter a entrada na linha 1, coluna 1 demultiplique a primeira linha empela primeira coluna eme adicione.

Procedemos da mesma maneira para obter a segunda linha deEm outras palavras, linha 2 devezes coluna 1 delinha 2 devezes coluna 2 delinha 2 devezes coluna 3 deQuando concluído, a matriz do produto será

Propriedades da multiplicação de matrizes

Para as matrizeseas seguintes propriedades são válidas.

  • A multiplicação da matriz é associativa:
  • A multiplicação da matriz é distributiva:

Observe que a multiplicação da matriz não é comutativa.

Multiplicando duas matrizes

Matriz de multiplicaçãoe matriz

Primeiro, verificamos as dimensões das matrizes. Matriztem dimensõese matriztem dimensõesAs dimensões internas são as mesmas para que possamos realizar a multiplicação. O produto terá as dimensões

Realizamos as operações descritas anteriormente.

[/ resposta-oculta]

Multiplicando duas matrizes

Dadoe

  1. Encontrar
  2. Encontrar

    Como as dimensões deestáe as dimensões deestáessas matrizes podem ser multiplicadas juntas porque o número de colunas emcorresponde ao número de linhas emO produto resultante será ummatriz, o número de linhas empelo número de colunas em

Análise

Observe que os produtosenão são iguais.

Isso ilustra o fato de que a multiplicação da matriz não é comutativa.

É possível para AB a ser definido, mas não BA?

Sim, considere uma matriz A com dimensãoe a matriz B com dimensãoPara o produto AB as dimensões internas são 4 e o produto é definido, mas para o produto BA as dimensões internas são 2 e 3, então o produto é indefinido.

Usando matrizes em problemas do mundo real

Voltemos ao problema apresentado no início desta seção. Temos (Figura), representando as necessidades de equipamentos de dois times de futebol.

Wildcats Gatos da lama
Metas 6 10
Bolas 30 24
Camisas 14 20

Também nos são fornecidos os preços dos equipamentos, conforme mostrado na (Figura).

Meta $300
Bola $10
Jersey $30

Vamos converter os dados em matrizes. Assim, a matriz de necessidade de equipamento é escrita como

A matriz de custo é escrita como

Realizamos multiplicação de matrizes para obter os custos do equipamento.

O custo total do equipamento para os Wildcats é de $ 2.520, e o custo total do equipamento para os Mud Cats é de $ 3.840.

Como

Dada uma operação de matriz, avalie usando uma calculadora.

  1. Salve cada matriz como uma variável de matriz
  2. Insira a operação na calculadora, acessando cada variável de matriz conforme necessário.
  3. Se a operação for definida, a calculadora apresentará a matriz de solução se a operação for indefinida, ela exibirá uma mensagem de erro.

Usando uma calculadora para realizar operações de matriz

Encontrar dado

[Revelar-resposta q = & # 8221301100 & # 8243] Mostrar Solução [/ Revelar-resposta]
[resposta oculta a = & # 8221301100 & # 8243] Na página de matriz da calculadora, inserimos a matrizacima como a variável de matrizmatrizacima como a variável de matrize matrizacima como a variável de matriz

Na tela inicial da calculadora, digitamos o problema e chamamos cada variável da matriz conforme necessário.

A calculadora nos dá a seguinte matriz.

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com matrizes e operações com matrizes.

Conceitos chave

  • Uma matriz é uma matriz retangular de números. As entradas são organizadas em linhas e colunas.
  • As dimensões de uma matriz referem-se ao número de linhas e ao número de colunas. UMAmatriz possui três linhas e duas colunas. Veja a figura).
  • Adicionamos e subtraímos matrizes de dimensões iguais adicionando e subtraindo entradas correspondentes de cada matriz. Consulte (Figura), (Figura), (Figura) e (Figura).
  • A multiplicação escalar envolve a multiplicação de cada entrada em uma matriz por uma constante. Veja a figura).
  • A multiplicação escalar é freqüentemente necessária antes que a adição ou subtração possa ocorrer. Veja a figura).
  • A multiplicação de matrizes é possível quando as dimensões internas são iguais - o número de colunas na primeira matriz deve corresponder ao número de linhas na segunda.
  • O produto de duas matrizes,eé obtido multiplicando cada entrada na linha 1 depor cada entrada na coluna 1 deem seguida, multiplique cada entrada da linha 1 depor cada entrada nas colunas 2 dee assim por diante. Veja (Figura) e (Figura).
  • Muitos problemas do mundo real muitas vezes podem ser resolvidos usando matrizes. Veja a figura).
  • Podemos usar uma calculadora para realizar operações de matriz depois de salvar cada matriz como uma variável de matriz. Veja a figura).

Exercícios de seção

Verbal

Podemos adicionar quaisquer duas matrizes juntas? Se sim, explique o porquê, se não, explique por que não e dê um exemplo de duas matrizes que não podem ser somadas.

Não, eles devem ter as mesmas dimensões. Um exemplo incluiria duas matrizes de dimensões diferentes. Não se pode adicionar as seguintes duas matrizes porque a primeira é umamatriz e a segunda é umamatriz.não tem soma.

Podemos multiplicar qualquer matriz de coluna por qualquer matriz de linha? Explique por que ou por que não.

Podem ambos os produtoseser definida? Se sim, explique como, se não, explique por quê.

Sim, se as dimensões deestáe as dimensões deestáambos os produtos serão definidos.

Duas matrizes do mesmo tamanho podem ser multiplicadas? Se sim, explique o porquê e, se não, explique o porquê e dê um exemplo de duas matrizes do mesmo tamanho que não podem ser multiplicadas juntas.

A multiplicação da matriz comuta? Ou seja, fazEm caso afirmativo, prove o porquê. Se não, explique por que não.

Não necessariamente. Encontrarnós multiplicamos a primeira linha depela primeira coluna depara obter a primeira entrada deEncontrarnós multiplicamos a primeira linha depela primeira coluna depara obter a primeira entrada dePortanto, se esses forem desiguais, a multiplicação da matriz não comuta.

Algébrico

Para os exercícios a seguir, use as matrizes abaixo e execute a adição ou subtração da matriz. Indique se a operação é indefinida.

Dimensões não identificadas não correspondem

Para os exercícios a seguir, use as matrizes abaixo para realizar a multiplicação escalar.

Para os exercícios a seguir, use as matrizes abaixo para realizar a multiplicação de matrizes.

Para os exercícios a seguir, use as matrizes abaixo para realizar a operação indicada, se possível. Se não for possível, explique por que a operação não pode ser realizada.

Dimensões indefinidas não correspondem.

[Revelar-resposta q = & # 8221fs-id1165134389851 & # 8243] Mostrar solução [/ revelar-resposta]
[resposta oculta a = & # 8221fs-id1165134389851 & # 8243]
[/ resposta-oculta]

Para os exercícios a seguir, use as matrizes abaixo para realizar a operação indicada, se possível. Se não for possível, explique por que a operação não pode ser realizada. (Dica:)

Dimensões internas indefinidas não correspondem.

[Revelar-resposta q = & # 8221fs-id1165135618051 & # 8243] Mostrar Solução [/ Revelar-resposta]
[resposta oculta a = & # 8221fs-id1165135618051 & # 8243]
[/ resposta-oculta]

Para os exercícios a seguir, use as matrizes abaixo para realizar a operação indicada, se possível. Se não for possível, explique por que a operação não pode ser realizada. (Dica:)

Tecnologia

Para os exercícios a seguir, use as matrizes abaixo para realizar a operação indicada, se possível. Se não for possível, explique por que a operação não pode ser realizada. Use uma calculadora para verificar sua solução.

Extensões

Para os exercícios a seguir, use a matriz abaixo para realizar a operação indicada na matriz fornecida.

Usando as perguntas acima, encontre uma fórmula paraTeste a fórmula paraeusando uma calculadora.


Operações Múltiplas

Para facilitar a exposição, geralmente restringimos nossos exemplos a uma operação de matriz ou matriz. Às vezes colocamos o resultado à esquerda e às vezes à direita. Além disso, usamos uma seta quando parecia útil e um sinal de igualdade em outras ocasiões. Ao escrever comandos para serem executados por um sistema de programação, é claro, regras de sintaxe bastante rígidas devem ser seguidas. Geralmente, o resultado deve ser escrito primeiro, seguido por um sinal de igualdade, seguido por um expressão indicando os cálculos desejados. Tais expressões podem incluir múltiplas operações de matriz e / ou matriz, se desejado. Por exemplo:

Isso seria perfeitamente legal se as dimensões de UMA, b e c eram apropriados. O sentido do sinal de igualdade é o de atribuição. Assim, a declaração realmente diz: & quotD deve ser atribuído o resultado obtido pela multiplicação do inverso de UMA vezes o produto de b e c. & quot

Declarações como essa, que são projetadas para serem operadas por um sistema de programação, geralmente são escritas sem fontes em negrito, uma vez que tais sutilezas seriam perdidas no processador, mesmo que pudessem ser apresentadas a ele.


O que é R Matrix?

Em uma matriz, os números são organizados em um número fixo de linhas e colunas e, geralmente, os números são os números reais. Com a ajuda de uma função de matriz, uma representação de memória da matriz pode ser facilmente reproduzida.

Portanto, todos os elementos de dados devem compartilhar um tipo básico comum.

Um elemento no ma linha e na coluna de nossa matriz & # 8216mat & # 8217 pode ser criada usando esta expressão mat [m, n].

Para extrair apenas o ma linha de nossa matriz & # 8216mat & # 8217, podemos usar a expressão mat [m,].

E, para extrair apenas o na coluna de nossa matriz & # 8216mat & # 8217, usamos a expressão mat [, n].

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História das Matrizes em R

Podemos rastrear as origens das matrizes nos tempos antigos! No entanto, não foi até 1850, quando o conceito de matriz foi realmente aplicado.

“Matrix” é a palavra latina para útero. Geralmente, também pode significar qualquer lugar em que algo é formado ou produzido. A palavra foi usada de maneiras incomuns por pelo menos dois autores de importância histórica. Eles propuseram este axioma como um meio de reduzir qualquer função a um dos tipos inferiores, de forma que no “fundo” (ordem 0) a função seja idêntica à sua extensão.

Usando o processo de generalização, qualquer função possível diferente de uma matriz da matriz é verdadeira. No entanto, só é verdade se a proposição que afirma a função em questão for considerada. Além disso, é verdadeiro para todos ou um dos valores do argumento quando outro (s) argumento (s) é (m) indeterminado (s).

Espere! Você verificou o & # 8211 R List Tutorial


Matrizes numéricas no Matlab podem se estender a um número arbitrário de dimensões, não apenas 2. Podemos usar o zeros (), uns(), rand (), randn () funções para criar matrizes n-dimensionais simplesmente especificando n parâmetros. Nós também podemos usar repmat () para replicar matrizes ao longo de qualquer número de dimensões, ou o gato() função, que é uma generalização da concatenação [] que vimos anteriormente. Indexação, atribuição e extensão funcionam como antes, apenas com n índices, em oposição a apenas dois. Finalmente, podemos usar funções como soma(), significar(), max () ou min () especificando a dimensão sobre a qual queremos que a função opere. soma (A, 3) por exemplo, soma ou marginaliza a 3ª dimensão.

Tomando a média de, digamos, uma matriz 4 por 4 por 2 por 2 ao longo da 3ª dimensão resulta em uma matriz de tamanho 4 por 4 por 1 por 2. Se quisermos remover a 3ª dimensão do singleton, (que está atuando apenas agora como um marcador de posição), podemos usar o espremer() função.

O ndims () funções indica quantas dimensões um array tem. As dimensões singleton finais são ignoradas, mas as dimensões singleton que ocorrem antes das dimensões não singleton não são.

O meshgrid () função que vimos anteriormente se estende a 3 dimensões. Se você precisa de uma grade de espaço n-dimensional, use o ndgrid () função, mas tenha em mente que o número de elementos cresce exponencialmente com a dimensão.


11.5: Matrizes e operações de matriz

MATLAB & # x00AE tem dois tipos diferentes de operações aritméticas: operações de matriz e operações de matriz. Você pode usar essas operações aritméticas para realizar cálculos numéricos, por exemplo, somar dois números, elevar os elementos de uma matriz a uma determinada potência ou multiplicar duas matrizes.

As operações de matriz seguem as regras da álgebra linear. Por outro lado, as operações de array executam operações elemento a elemento e oferecem suporte a arrays multidimensionais. O caractere ponto (.) Distingue as operações de matriz das operações de matriz. No entanto, como as operações de matriz e array são iguais para adição e subtração, os pares de caracteres. + E .- são desnecessários.

Operações de matriz

As operações de array executam operações elemento a elemento em elementos correspondentes de vetores, matrizes e arrays multidimensionais. Se os operandos tiverem o mesmo tamanho, cada elemento no primeiro operando será combinado com o elemento no mesmo local no segundo operando. Se os operandos tiverem tamanhos compatíveis, cada entrada será expandida implicitamente conforme necessário para corresponder ao tamanho da outra. Para obter mais informações, consulte Tamanhos de matriz compatíveis para operações básicas.


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