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11.8: Resolvendo Sistemas com a Regra de Cramer


objetivos de aprendizado

  • Avalie os determinantes 2 × 2.
  • Use a regra de Cramer para resolver um sistema de equações em duas variáveis.
  • Avalie os determinantes 3 × 3.
  • Use a regra de Cramer para resolver um sistema de três equações em três variáveis.
  • Conheça as propriedades dos determinantes.

Aprendemos como resolver sistemas de equações em duas variáveis ​​e três variáveis, e por vários métodos: substituição, adição, eliminação de Gauss, usando o inverso de uma matriz e gráficos. Alguns desses métodos são mais fáceis de aplicar do que outros e são mais apropriados em certas situações. Nesta seção, estudaremos mais duas estratégias para resolver sistemas de equações.

Avaliando o determinante de uma matriz 2 × 2

Um determinante é um número real que pode ser muito útil em matemática porque tem várias aplicações, como cálculo de área, volume e outras quantidades. Aqui, usaremos determinantes para revelar se uma matriz é invertível usando as entradas de uma matriz quadrada para determinar se há uma solução para o sistema de equações. Talvez uma das aplicações mais interessantes, entretanto, seja seu uso em criptografia. Sinais ou mensagens seguros às vezes são enviados codificados em uma matriz. Os dados só podem ser descriptografados com uma matriz invertível e o determinante. Para nossos propósitos, focamos no determinante como uma indicação da invertibilidade da matriz. O cálculo do determinante de uma matriz envolve seguir os padrões específicos descritos nesta seção.

ENCONTRE O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 2 × 2

O determinante de uma matriz 2 × 2, dado

(A = begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} )

é definido como

Observe a mudança na notação. Existem várias maneiras de indicar o determinante, incluindo ( det (A) ) e substituindo os colchetes em uma matriz por linhas retas, (| A | ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando o determinante de uma matriz (2 × 2 )

Encontre o determinante da matriz fornecida.

(A = begin {bmatrix} 5 e 2 - 6 e 3 end {bmatrix} )

Solução

[ begin {align *} det (A) & = begin {vmatrix} 5 & 2 - 6 & 3 end {vmatrix} & = 5 (3) - (- 6) (2) & = 27 end {align *} ]

Usando a regra de Cramer para resolver um sistema de duas equações em duas variáveis

Vamos agora apresentar um método final para resolver sistemas de equações que usam determinantes. Conhecido como Regra de Cramer, esta técnica data de meados do século XVIII e recebeu o nome de seu inovador, o matemático suíço Gabriel Cramer (1704-1752), que a introduziu em 1750 em Introdução à l'Analyse des lignes Courbes algébriques. A regra de Cramer é um método viável e eficiente para encontrar soluções para sistemas com um número arbitrário de incógnitas, desde que tenhamos o mesmo número de equações que incógnitas.

A regra de Cramer nos dará a solução única para um sistema de equações, se ele existir. Porém, se o sistema não tiver solução ou um número infinito de soluções, isso será indicado por um determinante zero. Para descobrir se o sistema é inconsistente ou dependente, outro método, como a eliminação, terá que ser usado.

Para entender a Regra de Cramer, vamos olhar de perto como resolvemos sistemas de equações lineares usando operações básicas de linha. Considere um sistema de duas equações em duas variáveis.

[ begin {align} a_1x + b_1y & = c_1 (1) label {eq1} a_2x + b_2y & = c_2 (2) label {eq2} end {align} ]

Eliminamos uma variável usando operações de linha e resolvemos a outra. Digamos que desejamos resolver para (x ). Se a Equação ref {eq2} for multiplicada pelo oposto do coeficiente de (y ) na Equação ref {eq1}, a Equação ref {eq1} será multiplicada pelo coeficiente de (y ) na Equação ref {eq2}, e adicionarmos as duas equações, a variável (y ) será eliminada.

[ begin {align *} & b_2a_1x + b_2b_1y = b_2c_1 & text {Multiply} R_1 text {by} b_2 - & underline {b_1a_2x − b_1b_2y = −b_1c_2} & text {Multiply} R_2 text { por} −b_1 & b_2a_1x − b_1a_2x = b_2c_1 − b_1c_2 end {align *} ]

Agora, resolva para (x ).

[ begin {align *} b_2a_1x − b_1a_2x & = b_2c_1 − b_1c_2 x (b_2a_1 − b_1a_2) & = b_2c_1 − b_1c_2 x & = dfrac {b_2c_1 − b_1c_2} {b_2a_1 − b_1a_2} = dfrac_1 begin {bmatrix} c_1 & b_1 c_2 & b_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {bmatrix}} end {align *} ]

Da mesma forma, para resolver para (y ), eliminaremos (x ).

[ begin {align *} & a_2a_1x + a_2b_1y = a_2c_1 & text {Multiply} R_1 text {by} a_2 - & underline {a_1a_2x − a_1b_2y = −a_1c_2} & text {Multiply} R_2 text {por} −a_1 & a_2b_1y − a_1b_2y = a_2c_1 − a_1c_2 end {align *} ]

Resolver para (y ) dá

[ begin {align *} a_2b_1y − a_1b_2y & = a_2c_1 − a_1c_2 y (a_2b_1 − a_1b_2) & = a_2c_1 − a_1c_2 y & = dfrac {a_2c_1 − a_1c_2} {a_2b_1 − a_1b_2} = dfrac_1 − a_1b_2} a_1c_2 − a_2c_1} {a_1b_2 − a_2b_1} = dfrac { begin {bmatrix} a_1 & c_1 a_2 & c_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {bmatrix}} end {align *} ]

Observe que o denominador de (x ) e (y ) é o determinante da matriz de coeficientes.

Podemos usar essas fórmulas para resolver (x ) e (y ), mas a Regra de Cramer também introduz uma nova notação:

  • (D ): determinante da matriz de coeficiente
  • (D_x ): determinante do numerador na solução de (x )

    [x = dfrac {D_x} {D} ]

  • (D_y ): determinante do numerador na solução de (y )

    [y = dfrac {D_y} {D} ]

A chave para a regra de Cramer é substituir a coluna variável de interesse pela coluna constante e calcular os determinantes. Podemos então expressar (x ) e (y ) como um quociente de dois determinantes.

REGRA DO CRAMER PARA SISTEMAS (2 × 2 )

A regra de Cramer é um método que usa determinantes para resolver sistemas de equações que têm o mesmo número de equações que variáveis.

Considere um sistema de duas equações lineares em duas variáveis.

[ begin {align *} a_1x + b_1y & = c_1 a_2x + b_2y & = c_2 end {align *} ]

A solução usando a regra de Cramer é dada como

[ begin {align} x & = dfrac {D_x} {D} = dfrac { begin {bmatrix} c_1 & b_1 c_2 & b_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {bmatrix }} ; , D neq 0 y & = dfrac {D_y} {D} = dfrac { begin {bmatrix} a_1 & c_1 a_2 & c_2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_1 & b_1 a_2 & b_2 end {bmatrix }} ; , D neq 0 end {align} ]

Se estivermos resolvendo para (x ), a coluna (x ) é substituída pela coluna constante. Se estivermos resolvendo para (y ), a coluna (y ) será substituída pela coluna constante.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Usando a regra de Cramer para resolver um sistema (2 × 2 )

Resolva o seguinte sistema (2 × 2 ) usando a Regra de Cramer.

[ begin {align *} 12x + 3y & = 15 2x-3y & = 13 end {align *} ]

Solução

Resolva para (x ).

[ begin {align *} x & = dfrac {D_x} {D} & = dfrac { begin {bmatrix} 15 e 3 13 & -3 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 12 e 3 2 & -3 end {bmatrix}} & = dfrac {-45-39} {- 36-6} & = dfrac {-84} {- 42} & = 2 end { alinhar*}]

Resolva para (y ).

[ begin {align *} y & = dfrac {D_y} {D} & = dfrac { begin {bmatrix} 12 & 15 2 & 13 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 12 & 3 2 & -3 end {bmatrix}} & = dfrac {156-30} {- 36-6} & = - dfrac {126} {42} & = -3 end {align *} ]

A solução é ((2, −3) ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Use a regra de Cramer para resolver o sistema de equações (2 × 2 ).

[ begin {align *} x + 2y & = -11 -2x + y & = -13 end {align *} ]

Responder

((3,−7))

Avaliando o determinante de uma matriz 3 × 3

Encontrar o determinante de uma matriz 2 × 2 é simples, mas encontrar o determinante de uma matriz 3 × 3 é mais complicado. Um método é aumentar a matriz 3 × 3 com uma repetição das duas primeiras colunas, resultando em uma matriz 3 × 5. Em seguida, calculamos a soma dos produtos das entradas baixa cada uma das três diagonais (superior esquerdo para inferior direito) e subtraia os produtos das entradas pra cima cada uma das três diagonais (inferior esquerdo para superior direito). Isso é mais facilmente compreendido com um visual e um exemplo.

Encontre o determinante da matriz 3 × 3.

(A = begin {bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end {bmatrix} )

  1. Aumente (A ) com as duas primeiras colunas.

    ( det (A) = left | begin {array} {ccc | cc} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 & b_1 a_2 & b_2 & c_2 & a_2 & b_2 a_3 & b_3 & c_3 & a_3 & b_3 end {array} right | )

  2. Da esquerda superior para a direita inferior: Multiplique as entradas na primeira diagonal. Adicione o resultado ao produto das entradas na segunda diagonal. Adicione esse resultado ao produto das entradas na terceira diagonal.
  3. Da esquerda inferior para a direita superior: Subtraia o produto das entradas na primeira diagonal. Deste resultado, subtraia o produto das entradas até a segunda diagonal. Deste resultado, subtraia o produto das entradas até a terceira diagonal.

A álgebra é a seguinte:

(| A | = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 − a_3b_2c_1 − b_3c_2a_1 − c_3a_2b_1 )

Exemplo ( PageIndex {3} ): Encontrando o Determinante de uma Matriz 3 × 3

Encontre o determinante da matriz (3 × 3 ) dada

(A = begin {bmatrix} 0 & 2 & 1 3 & −1 & 1 4 & 0 & 1 end {bmatrix} )

Solução

Aumente a matriz com as duas primeiras colunas e siga a fórmula. Desse modo,

[ begin {align *} | A | & = left | begin {array} {ccc | cc} 0 & 2 & 1 & 0 & 2 3 & -1 & 1 & 3 & -1 4 & 0 & 1 & 4 & 0 end {array} right | & = 0 (−1) (1) +2 (1) (4) +1 (3) (0) −4 (−1) (1) −0 (1) (0) −1 (3) (2) & = 0 + 8 + 0 + 4−0−6 & = 6 end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre o determinante da matriz 3 × 3.

( det (A) = begin {vmatrix} 1 & −3 & 7 1 & 1 & 1 1 & −2 & 3 end {vmatrix} )

Responder

(−10)

P&R: Podemos usar o mesmo método para encontrar o determinante de uma matriz maior?

Não, este método só funciona para matrizes 2 × 2 e 3 × 3. Para matrizes maiores, é melhor usar um utilitário gráfico ou software de computador.

Usando a regra de Cramer para resolver um sistema de três equações em três variáveis

Agora que podemos encontrar o determinante de uma matriz (3 × 3 ), podemos aplicar a Regra de Cramer para resolver um sistema de três equações em três variáveis. A Regra de Cramer é direta, seguindo um padrão consistente com a Regra de Cramer para matrizes (2 × 2 ). Conforme a ordem da matriz aumenta para (3 × 3 ), no entanto, há muitos outros cálculos necessários.

Quando calculamos o determinante como zero, a Regra de Cramer não dá nenhuma indicação se o sistema não tem solução ou um número infinito de soluções. Para descobrir, temos que realizar a eliminação no sistema.

Considere um sistema de equações (3 × 3 ).

[ begin {align} a_1x + b_1y + c_1z & = color {blue} d_1 a_2x + b_2y + c_2z & = color {blue} d_2 a_3x + b_3y + c_3z & = color {blue} d_3 end {align} ]

(x = dfrac {D_x} {D} ), (y = dfrac {D_y} {D} ), (z = dfrac {D_z} {D} ), (D ≠ 0 )

Onde

[D = begin {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end {vmatrix} ; , ; D_x = begin {vmatrix} color {blue} d_1 & b_1 & c_1 color {blue} d_2 & b_2 & c_2 color {blue} d_3 & b_3 & c_3 end {vmatrix} ; , ; D_y = begin {vmatrix} a_1 & color {blue} d_1 & c_1 a_2 & color {blue} d_2 & c_2 a_3 & color {blue} d_3 & c_3 end {vmatrix} ; , ; D_z = begin {vmatrix} a_1 & b_1 & color {blue} d_1 a_2 & b_2 & color {blue} d_2 a_3 & b_3 & color {blue} d_3 end {vmatrix} ]

Se estivermos escrevendo o determinante (D_x ), substituímos a coluna (x ) pela coluna constante. Se estivermos escrevendo o determinante (D_y ), substituímos a coluna y pela coluna constante. Se estivermos escrevendo o determinante (D_z ), substituímos a coluna (z ) pela coluna constante. Sempre verifique a resposta.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Resolvendo um sistema (3 × 3 ) usando a regra de Cramer

Encontre a solução para o sistema (3 × 3 ) fornecido usando a Regra de Cramer.

[ begin {align *} x + y-z & = 6 3x-2y + z & = -5 x + 3y-2z & = 14 end {align *} ]

Solução

Use a regra de Cramer.

(D = begin {vmatrix} 1 & 1 & −1 3 & −2 & 1 1 & 3 & −2 end {vmatrix} ), (D_x = begin {vmatrix} 6 & 1 & −1 - 5 & −2 & 1 14 & 3 & −2 end {vmatrix} ), (D_y = begin {vmatrix} 1 & 6 & −1 3 & −5 & 1 1 & 14 & −2 end {vmatrix} ), (D_z = begin {vmatrix} 1 & 1 & 6 3 & −2 & −5 ​​1 & 3 & 14 end {vmatrix} )

Então,

[ begin {align *} x & = dfrac {D_x} {D} & = dfrac {-3} {- 3} & = 1 y & = dfrac {D_y} {D} & = dfrac { -9} {- 3} & = 3 z & = dfrac {D_z} {D} & = dfrac {6} {- 3} & = -2 end {alinhar *} ]

A solução é ((1,3, −2) ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Use a regra de Cramer para resolver a matriz (3 × 3 ).

[ begin {align *} x-3y + 7z & = 13 x + y + z & = 1 x-2y + 3z & = 4 end {align *} ]

Responder

( left (−2, dfrac {3} {5}, dfrac {12} {5} right) )

Exemplo ( PageIndex {5A} ): Usando a regra de Cramer para resolver um sistema inconsistente

Resolva o sistema de equações usando a Regra de Cramer.

[ begin {align} 3x-2y & = 4 label {eq3} 6x-4y & = 0 label {eq4} end {align} ]

Solução

Começamos encontrando os determinantes (D ), (D_x ) e (D_y ).

(D = begin {vmatrix} 3 & −2 6 & −4 end {vmatrix} = 3 (−4) −6 (−2) = 0 )

Sabemos que um determinante de zero significa que ou o sistema não tem solução ou tem um número infinito de soluções. Para ver qual deles, usamos o processo de eliminação. Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis.

  1. Multiplique a equação ref {eq3} por (- 2 ).
  2. Adicione o resultado à Equação ref {eq4}.

[ begin {align *} & −6x + 4y = −8 & ; ; ; underline {6x − 4y = 0} & ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0 = −8 end {align *} ]

Obtemos a equação (0 = −8 ), que é falsa. Portanto, o sistema não tem solução. A representação gráfica do sistema revela duas linhas paralelas. Veja a Figura ( PageIndex {1} ).

Exemplo ( PageIndex {5B} ): Use a regra de Cramer para resolver um sistema dependente

Resolva o sistema com um número infinito de soluções.

[ begin {align} x-2y + 3z & = 0 label {eq5} 3x + y-2z & = 0 label {eq6} 2x-4y + 6z & = 0 label {eq7} end { alinhar}]

Solução

Vamos encontrar o determinante primeiro. Configure uma matriz aumentada pelas duas primeiras colunas.

( left | begin {array} {ccc | cc} 1 & −2 & 3 & 1 & -2 3 & 1 & −2 & 3 & 1 2 & −4 & 6 & 2 & -4 end {array} right | )

Então,

(1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)(1)−6(3)(−2)=0)

Como o determinante é igual a zero, não há solução ou há um número infinito de soluções. Temos que realizar a eliminação para descobrir.

1. Multiplique a Equação ref {eq5} por (- 2 ) e adicione o resultado à Equação ref {eq7}:

[ begin {align *} & −2x + 4y − 6x = 0 & ; ; underline {2x − 4y + 6z = 0} & ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0 = 0 end {alinhar *} ]

2. Obter uma resposta de (0 = 0 ), uma afirmação sempre verdadeira, significa que o sistema possui um número infinito de soluções. Representando graficamente o sistema, podemos ver que dois dos planos são iguais e ambos cruzam o terceiro plano em uma linha. Veja a Figura ( PageIndex {2} ).

Compreendendo as propriedades dos determinantes

Existem muitas propriedades dos determinantes. Listadas aqui estão algumas propriedades que podem ser úteis no cálculo do determinante de uma matriz.

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

  1. Se a matriz está na forma triangular superior, o determinante é igual ao produto das entradas na diagonal principal.
  2. Quando duas linhas são trocadas, o determinante muda de sinal.
  3. Se duas linhas ou duas colunas são idênticas, o determinante é igual a zero.
  4. Se uma matriz contém uma linha de zeros ou uma coluna de zeros, o determinante é igual a zero.
  5. O determinante de uma matriz inversa (A ^ {- 1} ) é o recíproco do determinante da matriz (A ).
  6. Se qualquer linha ou coluna for multiplicada por uma constante, o determinante será multiplicado pelo mesmo fator.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Ilustrando Propriedades de Determinantes

Ilustre cada uma das propriedades dos determinantes.

Solução

A propriedade 1 afirma que se a matriz está na forma triangular superior, o determinante é o produto das entradas na diagonal principal.

(A = begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & 2 & 1 0 & 0 & −1 end {bmatrix} )

Aumente (A ) com as duas primeiras colunas.

(A = left [ begin {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & −1 & 0 & 0 end {array} right] )

Então

[ begin {align *} det (A) & = 1 (2) (- 1) +2 (1) (0) +3 (0) (0) -0 (2) (3) -0 ( 1) (1) +1 (0) (2) & = -2 end {alinhar *} ]

A propriedade 2 afirma que a troca de linhas muda o sinal. Dado

[ begin {align *} B & = begin {bmatrix} 4 & -3 - 1 & 5 end {bmatrix} det (B) & = (4) (5) - (- 1) (- 3 ) & = 20-3 & = 17 end {align *} ]

A propriedade 3 afirma que, se duas linhas ou duas colunas são idênticas, o determinante é igual a zero.

[ begin {align *} A & = left [ begin {array} {ccc | cc} 1 & 2 & 2 & 1 & 2 2 & 2 & 2 & 2 & 2 - 1 & 2 & 2 & -1 & 2 end {array} right] det (A) & = 1 (2) (2) +2 (2) (- 1) +2 (2) (2) +1 (2) (2) -2 (2) (1) -2 (2) (2) & = 4-4 + 8 + 4-4-8 & = 0 end {align *} ]

A propriedade 4 afirma que se uma linha ou coluna for igual a zero, o determinante será igual a zero. Desse modo,

[ begin {align *} A & = begin {bmatrix} 1 & 2 0 & 0 end {bmatrix} det (A) & = 1 (0) -2 (0) & = 0 end { alinhar*}]

A propriedade 5 afirma que o determinante de uma matriz inversa (A ^ {- 1} ) é o recíproco do determinante (A ). Desse modo,

[ begin {align *} A ^ {- 1} & = begin {bmatrix} -2 & 1 dfrac {3} {2} & - dfrac {1} {2} end {bmatrix} det (A ^ {- 1}) & = - 2 left (- dfrac {1} {2} right) - dfrac {3} {2} (1) & = - dfrac {1 } {2} end {align *} ]

A propriedade 6 afirma que se qualquer linha ou coluna de uma matriz for multiplicada por uma constante, o determinante será multiplicado pelo mesmo fator. Desse modo,

Exemplo ( PageIndex {7} ): Usando a regra de Cramer e propriedades determinantes para resolver um sistema

Encontre a solução para o sistema (3 × 3 ) fornecido.

Solução

Usando a regra de Cramer, temos

(D = begin {bmatrix} 2 & 4 & 4 3 & 7 & 7 1 & 2 & 2 end {bmatrix} )

Observe que a segunda e a terceira colunas são idênticas. De acordo com a Propriedade 3, o determinante será zero, portanto, não há solução ou há um número infinito de soluções. Multiplique a Equação ref {eq10} por (- 2 ) e adicione o resultado à Equação ref {eq8}.

Obter uma afirmação contraditória significa que o sistema não tem solução.

Conceitos chave

  • O determinante para ( begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} ) é (ad − bc ). Veja Exemplo ( PageIndex {1} ).
  • A regra de Cramer substitui uma coluna variável pela coluna constante. As soluções são (x = dfrac {D_x} {D} ), (y = dfrac {D_y} {D} ). Veja Exemplo ( PageIndex {2} ).
  • Para encontrar o determinante de uma matriz (3 × 3 ), aumente com as duas primeiras colunas. Adicione as três entradas diagonais (superior esquerdo para inferior direito) e subtraia as três entradas diagonais (inferior esquerdo para superior direito). Veja Exemplo ( PageIndex {3} ).
  • Para resolver um sistema de três equações em três variáveis ​​usando a Regra de Cramer, substitua uma coluna de variável pela coluna constante para cada solução desejada: (x = dfrac {D_x} {D} ), (y = dfrac {D_y } {D} ), (z = dfrac {D_z} {D} ). Veja Exemplo ( PageIndex {4} ).
  • A regra de Cramer também é útil para encontrar a solução de um sistema de equações sem solução ou soluções infinitas. Veja Exemplo ( PageIndex {5} ) e Exemplo ( PageIndex {6} ).
  • Certas propriedades dos determinantes são úteis para resolver problemas. Por exemplo:
    • Se a matriz está na forma triangular superior, o determinante é igual ao produto das entradas na diagonal principal.
    • Quando duas linhas são trocadas, o determinante muda de sinal.
    • Se duas linhas ou duas colunas são idênticas, o determinante é igual a zero.
    • Se uma matriz contém uma linha de zeros ou uma coluna de zeros, o determinante é igual a zero.
    • O determinante de uma matriz inversa (A ^ {- 1} ) é o recíproco do determinante da matriz (A ).
    • Se qualquer linha ou coluna for multiplicada por uma constante, o determinante será multiplicado pelo mesmo fator. Veja Exemplo ( PageIndex {7} ) e Exemplo ( PageIndex {8} ).

Resolvendo qualquer sistema com a calculadora de regras de Cramer

Você pode calcular passo a passo qualquer sistema de equações lineares, homogêneos e não homogêneos com qualquer número de incógnitas pelo método de Cramer. Como resultado, além da solução, você também obtém uma análise completa e apresentação dos cálculos passo a passo.
Para obter o resultado, insira os coeficientes em células vazias ou clicando em células / texto, mude para o campo de texto e insira os coeficientes separados por um espaço. Você também pode inserir equações completas com incógnitas no campo de texto (clique no exemplo abaixo).

Você pode adicionar ou subtrair outra equação e coeficientes usando os botões + e menos ou posicionar o cursor sobre uma célula na última linha ou coluna e pressionar a seta na direção apropriada no teclado.

Você pode mover as células usando tabulações, espaços ou setas no teclado.

Em cada campo da calculadora você pode inserir números decimais, frações simples, operações matemáticas básicas, por exemplo: 1,5 1/2 5 + 2 5-2 5 * 2 1/2 + 5 5 * (8 + 2) (5- 2) / 2 1,5e-3 1,5 (3) (2/5) * (1/2) 5 + 2 * (5 / 3-2) etc.

Você também pode inserir dados na calculadora a partir do resultado obtido, basta pegar qualquer matriz dos resultados e soltá-la nas células ou em um campo de texto.


11.8: Resolvendo Sistemas com a Regra de Cramer

  • Avalie os determinantes 2 × 2.
  • Use a regra de Cramer para resolver um sistema de equações em duas variáveis.
  • Avalie os determinantes 3 × 3.
  • Use a regra de Cramer para resolver um sistema de três equações em três variáveis.
  • Conheça as propriedades dos determinantes.

Aprendemos como resolver sistemas de equações em duas variáveis ​​e três variáveis, e por vários métodos: substituição, adição, eliminação de Gauss, usando o inverso de uma matriz e gráficos. Alguns desses métodos são mais fáceis de aplicar do que outros e são mais apropriados em certas situações. Nesta seção, estudaremos mais duas estratégias para resolver sistemas de equações.

Avaliando o determinante de uma matriz 2 × 2

Um determinante é um número real que pode ser muito útil em matemática porque tem várias aplicações, como cálculo de área, volume e outras quantidades. Aqui, usaremos determinantes para revelar se uma matriz é invertível usando as entradas de uma matriz quadrada para determinar se há uma solução para o sistema de equações. Talvez uma das aplicações mais interessantes, entretanto, seja seu uso em criptografia. Sinais ou mensagens seguros às vezes são enviados codificados em uma matriz. Os dados só podem ser descriptografados com uma matriz invertível e o determinante. Para nossos propósitos, focamos no determinante como uma indicação da invertibilidade da matriz. O cálculo do determinante de uma matriz envolve seguir os padrões específicos descritos nesta seção.

Encontre o determinante de uma matriz 2 × 2

O determinante de uma matriz [latex] , 2 text <> × text <> 2 , [/ latex], dado

Observe a mudança na notação. Existem várias maneiras de indicar o determinante, incluindo [latex] , mathrm left (A right) , [/ latex] e substituindo os colchetes em uma matriz por linhas retas, [latex] , | A |. [/ latex]

Encontrando o Determinante de uma Matriz 2 × 2

Encontre o determinante da matriz fornecida.

Usando a regra de Cramer para resolver um sistema de duas equações em duas variáveis

Vamos agora apresentar um método final para resolver sistemas de equações que usam determinantes. Conhecida como Regra de Cramer, esta técnica remonta a meados do século 18 e tem o nome de seu inovador, o matemático suíço Gabriel Cramer (1704-1752), que a introduziu em 1750 na Introdução à l & # 8217Analyse des lignes Courbes algébriques. A regra de Cramer é um método viável e eficiente para encontrar soluções para sistemas com um número arbitrário de incógnitas, desde que tenhamos o mesmo número de equações que incógnitas.

A regra de Cramer nos dará a solução única para um sistema de equações, se ele existir. Porém, se o sistema não tiver solução ou um número infinito de soluções, isso será indicado por um determinante zero. Para descobrir se o sistema é inconsistente ou dependente, outro método, como a eliminação, terá que ser usado.

Para entender a Regra de Cramer, vamos olhar de perto como resolvemos sistemas de equações lineares usando operações básicas de linha. Considere um sistema de duas equações em duas variáveis.

Eliminamos uma variável usando operações de linha e resolvemos a outra. Digamos que desejamos resolver para [latex] , x. , [/ Latex] Se a equação (2) for multiplicada pelo oposto do coeficiente de [latex] , y , [/ latex] na equação (1 ), a equação (1) é multiplicada pelo coeficiente de [latex] , y , [/ latex] na equação (2), e adicionamos as duas equações, a variável [latex] , y , [/ latex ] será eliminado.

Da mesma forma, para resolver para [latex] , y, [/ latex], eliminaremos [latex] , x. [/ Latex]

Observe que o denominador de [latex] , x , [/ latex] e [latex] , y , [/ latex] é o determinante da matriz de coeficiente.

Podemos usar essas fórmulas para resolver para [latex] , x , [/ latex] e [latex] , y, , [/ latex], mas a regra de Cramer também introduz uma nova notação:

  • [latex] , , D: [/ latex] determinante da matriz de coeficiente
  • [látex]_: [/ latex] determinante do numerador na solução de [latex] x [/ latex]

A chave para a regra de Cramer é substituir a coluna variável de interesse pela coluna constante e calcular os determinantes. Podemos então expressar [latex] , x , [/ latex] e [latex] , y , [/ latex] como um quociente de dois determinantes.

Regra de Cramer para sistemas 2 × 2

A regra de Cramer é um método que usa determinantes para resolver sistemas de equações que têm o mesmo número de equações que variáveis.

Considere um sistema de duas equações lineares em duas variáveis.

A solução usando a regra de Cramer é dada como

Se estivermos resolvendo para [latex] , x, , [/ latex], a coluna [latex] , x , [/ latex] é substituída pela coluna constante. Se estivermos resolvendo para [latex] , y, , [/ latex], a coluna [latex] , y , [/ latex] é substituída pela coluna constante.

Usando a regra de Cramer para resolver um sistema 2 × 2

Resolva o seguinte sistema [latex] , 2 text <> × text <> 2 , [/ latex] usando a Regra de Cramer.

A solução é [latex] , left (2, -3 right). [/ Latex]

Tente

Use a regra de Cramer para resolver o sistema de equações 2 × 2.

Avaliando o determinante de uma matriz 3 × 3

Encontrar o determinante de uma matriz 2 × 2 é simples, mas encontrar o determinante de uma matriz 3 × 3 é mais complicado. Um método é aumentar a matriz 3 × 3 com uma repetição das duas primeiras colunas, resultando em uma matriz 3 × 5. Em seguida, calculamos a soma dos produtos das entradas baixa cada uma das três diagonais (superior esquerdo para inferior direito) e subtraia os produtos das entradas pra cima cada uma das três diagonais (inferior esquerdo para superior direito). Isso é mais facilmente compreendido com um visual e um exemplo.

Encontre o determinante da matriz 3 × 3.

A álgebra é a seguinte:

Encontrando o Determinante de uma Matriz 3 × 3

Encontre o determinante da matriz 3 × 3 dada

Aumente a matriz com as duas primeiras colunas e siga a fórmula. Desse modo,

Tente

Encontre o determinante da matriz 3 × 3.

Podemos usar o mesmo método para encontrar o determinante de uma matriz maior?

Não, este método só funciona para [latex] , 2 text <> × text <> 2 , [/ latex] e [latex] , text <3> text <> × text <> 3 Matrizes , [/ latex]. Para matrizes maiores, é melhor usar um utilitário gráfico ou software de computador.

Usando a regra de Cramer para resolver um sistema de três equações em três variáveis

Agora que podemos encontrar o determinante de uma matriz 3 × 3, podemos aplicar a Regra de Cramer para resolver um sistema de três equações em três variáveis. A regra de Cramer é direta, seguindo um padrão consistente com a regra de Cramer para matrizes 2 × 2. À medida que a ordem da matriz aumenta para 3 × 3, entretanto, muitos outros cálculos são necessários.

Quando calculamos o determinante como zero, a Regra de Cramer não dá nenhuma indicação se o sistema não tem solução ou um número infinito de soluções. Para descobrir, temos que realizar a eliminação no sistema.

Considere um sistema de equações 3 × 3.

Se estivermos escrevendo o determinante [látex] ,_, [/ latex] substituímos a coluna [latex] , x , [/ latex] pela coluna constante. Se estivermos escrevendo o determinante [látex]_, [/ latex] substituímos a coluna [latex] , y , [/ latex] pela coluna constante. Se estivermos escrevendo o determinante [látex] ,_, [/ latex] substituímos a coluna [latex] , z , [/ latex] pela coluna constante. Sempre verifique a resposta.


Usando a regra de Cramer para resolver um sistema de duas equações em duas variáveis

Vamos agora apresentar um método final para resolver sistemas de equações que usam determinantes. Conhecido como Regra de Cramer, essa técnica remonta a meados do século 18 e recebeu o nome de seu inovador, o matemático suíço Gabriel Cramer (1704–1752), que a introduziu em 1750 na Introdução à l & # 8217Analyse des lignes Courbes algébriques. A regra de Cramer é um método viável e eficiente para encontrar soluções para sistemas com um número arbitrário de incógnitas, desde que tenhamos o mesmo número de equações que incógnitas.

A regra de Cramer nos dará a solução única para um sistema de equações, se ele existir. Porém, se o sistema não tiver solução ou um número infinito de soluções, isso será indicado por um determinante zero. Para descobrir se o sistema é inconsistente ou dependente, outro método, como a eliminação, terá que ser usado.

Para entender a Regra de Cramer, vamos olhar de perto como resolvemos sistemas de equações lineares usando operações básicas de linha. Considere um sistema de duas equações em duas variáveis.

Eliminamos uma variável usando operações de linha e resolvemos a outra. Digamos que desejamos resolver para [latex] x [/ latex]. Se a equação (2) é multiplicada pelo oposto do coeficiente de [látex] y [/ látex] na equação (1), a equação (1) é multiplicada pelo coeficiente de [látex] y [/ látex] na equação (2 ), e adicionarmos as duas equações, a variável [latex] y [/ latex] será eliminada.

Agora, resolva para [latex] x [/ latex].

Da mesma forma, para resolver para [latex] y [/ latex], eliminaremos [latex] x [/ latex].

Resolver para [latex] y [/ latex] dá

Observe que o denominador de [latex] x [/ latex] e [latex] y [/ latex] é o determinante da matriz de coeficiente.

Podemos usar essas fórmulas para resolver para [latex] x [/ latex] e [latex] y [/ latex], mas a regra de Cramer também introduz uma nova notação:

  • [latex] D: [/ latex] determinante da matriz de coeficiente
  • [látex]_: [/ latex] determinante do numerador na solução de [latex] x [/ latex]

A chave para a regra de Cramer é substituir a coluna variável de interesse pela coluna constante e calcular os determinantes. Podemos então expressar [latex] x [/ latex] e [latex] y [/ latex] como um quociente de dois determinantes.

Uma nota geral: Regra de Cramer para sistemas 2 × 2

Regra de Cramer é um método que usa determinantes para resolver sistemas de equações que possuem o mesmo número de equações que variáveis.

Considere um sistema de duas equações lineares em duas variáveis.

A solução usando a regra de Cramer é dada como

Se estivermos resolvendo para [latex] x [/ latex], a coluna [latex] x [/ latex] é substituída pela coluna constante. Se estivermos resolvendo para [latex] y [/ latex], a coluna [latex] y [/ latex] é substituída pela coluna constante.

Exemplo 2: Usando a regra de Cramer para resolver um sistema 2 × 2

Resolva o seguinte sistema [latex] 2 text <> times text <> 2 [/ latex] usando a Regra de Cramer.

Solução

A solução é [latex] left (2, -3 right) [/ latex].

Experimente 1

Use a regra de Cramer para resolver o sistema de equações 2 × 2.


Perguntas com solução

  • Parte 1
    Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações lineares.
    a) ( left < begin5 x - dfrac <2> <3> y & = & dfrac <1> <3> - x + dfrac <1> <2> y & = & - dfrac <1> <2> fim certo. ) b) ( left < begin0,1 x - 0,3 y & = & 1,1 - 0,2 x + 1,3 y & = & - 1,5 end certo. )

c) ( left < begin - 3x + 5 y - z & = & dfrac <1> <2> dfrac <1> <5> x - 5 y - dfrac <3> <5> z & = & 0 -4 x + dfrac <4> <5> y - z & = & - 7 end certo. )

b) Use sua resposta para a) para resolver os sistemas
1) ( left < begin - x - 3 y & = & 10 - 2 x - 5 y & = & - 4 end certo. ) 2) ( left < begin - x - 3 y & = & 5/2 - 2 x - 5 y & = & - 2 end certo. ) 3) ( left < begin - x - 3 y & = & 50 - 2 x - 5 y & = & 6 end certo. )


Exemplo de regra de Cramer e # 8217s

Em primeiro lugar, construímos a matriz A com os coeficientes das incógnitas:

Agora aplicamos a regra de Cramer & # 8217s para resolver o sistema de equações.Para fazer isso, primeiro temos que encontrar o determinante da matriz A:

Para calcular o x desconhecido com a regra de Cramer & # 8217s, substituímos a primeira coluna do determinante de A pela coluna de constantes e a dividimos pelo determinante de A:

Para encontrar o y desconhecido com a regra de Cramer & # 8217s, mudamos a segunda coluna do determinante de A para a coluna de constantes e a dividimos pelo determinante de A:

E, finalmente, para calcular a variável z com a regra de Cramer & # 8217s, trocamos a terceira coluna do determinante de A com a coluna de constantes e a dividimos pelo determinante da matriz A:

Portanto, a solução do sistema de equações lineares é:


Avaliando o determinante de uma matriz 2 × 2

Um determinante é um número real que pode ser muito útil em matemática porque tem várias aplicações, como cálculo de área, volume e outras quantidades. Aqui, usaremos determinantes para revelar se uma matriz é invertível usando as entradas de a para determinar se há uma solução para o sistema de equações. Talvez uma das aplicações mais interessantes, entretanto, seja seu uso em criptografia. Sinais ou mensagens seguros às vezes são enviados codificados em uma matriz. Os dados só podem ser descriptografados com um e o determinante. Para nossos propósitos, focamos no determinante como uma indicação da invertibilidade da matriz. O cálculo do determinante de uma matriz envolve seguir os padrões específicos descritos nesta seção.

Encontre o determinante de uma matriz 2 × 2:

O de uma matriz 2 × 2 2 × 2, dado

Observe a mudança na notação. Existem várias maneiras de indicar o determinante, incluindo det (A) det (A) e substituindo os colchetes em uma matriz por linhas retas, | A | . | A | .

Exemplo 3

Problema 1

Encontrando o Determinante de uma Matriz 2 × 2

Encontre o determinante da matriz fornecida.

Solução

66 Resolvendo sistemas com Cramer & regra # 8217s

Aprendemos como resolver sistemas de equações em duas variáveis ​​e três variáveis, e por vários métodos: substituição, adição, eliminação de Gauss, usando o inverso de uma matriz e gráficos. Alguns desses métodos são mais fáceis de aplicar do que outros e são mais apropriados em certas situações. Nesta seção, estudaremos mais duas estratégias para resolver sistemas de equações.

Avaliando o determinante de uma matriz 2 × 2

Um determinante é um número real que pode ser muito útil em matemática porque tem várias aplicações, como cálculo de área, volume e outras quantidades. Aqui, usaremos determinantes para revelar se uma matriz é invertível usando as entradas de uma matriz quadrada para determinar se há uma solução para o sistema de equações. Talvez uma das aplicações mais interessantes, entretanto, seja seu uso em criptografia. Sinais ou mensagens seguros às vezes são enviados codificados em uma matriz. Os dados só podem ser descriptografados com uma matriz invertível e o determinante. Para nossos propósitos, enfocamos o determinante como uma indicação da invertibilidade da matriz. O cálculo do determinante de uma matriz envolve seguir os padrões específicos descritos nesta seção.

O determinante de ummatriz, dado

Observe a mudança na notação. Existem várias maneiras de indicar o determinante, incluindoe substituindo os colchetes em uma matriz por linhas retas,

Encontre o determinante da matriz fornecida.

Usando a regra de Cramer para resolver um sistema de duas equações em duas variáveis

Vamos agora apresentar um método final para resolver sistemas de equações que usam determinantes. Conhecida como Regra de Cramer, essa técnica remonta a meados do século 18 e recebeu o nome de seu inovador, o matemático suíço Gabriel Cramer (1704-1752), que a introduziu em 1750 na Introdução à l & # 8217Analyse des lignes Courbes algébriques. A regra de Cramer é um método viável e eficiente para encontrar soluções para sistemas com um número arbitrário de incógnitas, desde que tenhamos o mesmo número de equações que incógnitas.

A regra de Cramer nos dará a solução única para um sistema de equações, se ele existir. Porém, se o sistema não tem solução ou tem um número infinito de soluções, isso será indicado por um determinante zero. Para descobrir se o sistema é inconsistente ou dependente, outro método, como a eliminação, terá que ser usado.

Para entender a Regra de Cramer, vamos olhar de perto como resolvemos sistemas de equações lineares usando operações básicas de linha. Considere um sistema de duas equações em duas variáveis.

Eliminamos uma variável usando operações de linha e resolvemos a outra. Digamos que desejamos resolver paraSe a equação (2) for multiplicada pelo oposto do coeficiente dena equação (1), a equação (1) é multiplicada pelo coeficiente dena equação (2), e adicionamos as duas equações, a variávelserá eliminado.

Agora, resolva para

Da mesma forma, para resolver paravamos eliminar

Resolvendo para

Observe que o denominador para amboseé o determinante da matriz de coeficientes.

Podemos usar essas fórmulas para resolveremas a regra de Cramer também introduz uma nova notação:

  • determinante da matriz de coeficiente
  • determinante do numerador na solução de

A chave para a regra de Cramer é substituir a coluna variável de interesse pela coluna constante e calcular os determinantes. Podemos então expressarecomo um quociente de dois determinantes.

A regra de Cramer é um método que usa determinantes para resolver sistemas de equações que têm o mesmo número de equações que variáveis.

Considere um sistema de duas equações lineares em duas variáveis.

A solução usando a regra de Cramer é dada como

Se estamos resolvendo paraacoluna é substituída pela coluna constante. Se estamos resolvendo paraacoluna é substituída pela coluna constante.

Resolva o seguintesistema usando a regra de Cramer.

Resolva para

Resolva para

A solução é

Use a regra de Cramer para resolver o sistema de equações 2 × 2.

Avaliando o determinante de uma matriz 3 × 3

Encontrar o determinante de uma matriz 2 × 2 é simples, mas encontrar o determinante de uma matriz 3 × 3 é mais complicado. Um método é aumentar a matriz 3 × 3 com uma repetição das duas primeiras colunas, resultando em uma matriz 3 × 5. Em seguida, calculamos a soma dos produtos das entradas baixa cada uma das três diagonais (superior esquerdo para inferior direito) e subtraia os produtos das entradas pra cima cada uma das três diagonais (inferior esquerdo para superior direito). Isso é mais facilmente compreendido com um visual e um exemplo.

Encontre o determinante da matriz 3 × 3.

  1. Aumentarcom as duas primeiras colunas.

A álgebra é a seguinte:

Encontre o determinante da matriz 3 × 3 dada

Aumente a matriz com as duas primeiras colunas e siga a fórmula. Desse modo,

Encontre o determinante da matriz 3 × 3.

Podemos usar o mesmo método para encontrar o determinante de uma matriz maior?

Não, este método só funciona paraematrizes. Para matrizes maiores, é melhor usar um utilitário gráfico ou software de computador.

Usando a regra de Cramer para resolver um sistema de três equações em três variáveis

Agora que podemos encontrar o determinante de uma matriz 3 × 3, podemos aplicar a Regra de Cramer para resolver um sistema de três equações em três variáveis. A regra de Cramer é direta, seguindo um padrão consistente com a regra de Cramer para matrizes 2 × 2. À medida que a ordem da matriz aumenta para 3 × 3, entretanto, muitos outros cálculos são necessários.

Quando calculamos o determinante como zero, a Regra de Cramer não dá nenhuma indicação se o sistema não tem solução ou um número infinito de soluções. Para descobrir, temos que realizar a eliminação no sistema.

Considere um sistema de equações 3 × 3.

Se estivermos escrevendo o determinantenós substituímos ocoluna com a coluna constante. Se estivermos escrevendo o determinantenós substituímos ocoluna com a coluna constante. Se estivermos escrevendo o determinantenós substituímos ocoluna com a coluna constante. Sempre verifique a resposta.

Encontre a solução para o sistema 3 × 3 fornecido usando a regra de Cramer.

A solução é

Use a regra de Cramer para resolver a matriz 3 × 3.

Resolva o sistema de equações usando a Regra de Cramer.

Começamos encontrando os determinantes

Sabemos que um determinante de zero significa que ou o sistema não tem solução ou tem um número infinito de soluções. Para ver qual, usamos o processo de eliminação. Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis.

  1. Multiplique a equação (1) por
  2. Adicione o resultado à equação

Nós obtemos a equaçãoo que é falso. Portanto, o sistema não tem solução. A representação gráfica do sistema revela duas linhas paralelas. Veja a figura).

Resolva o sistema com um número infinito de soluções.

Vamos encontrar o determinante primeiro. Configure uma matriz aumentada pelas duas primeiras colunas.

Como o determinante é igual a zero, não há solução ou há um número infinito de soluções. Temos que realizar a eliminação para descobrir.

    Multiplique a equação (1) pore adicione o resultado à equação (3):

Compreendendo as propriedades dos determinantes

Existem muitas propriedades dos determinantes. Listadas aqui estão algumas propriedades que podem ser úteis no cálculo do determinante de uma matriz.

  1. Se a matriz está na forma triangular superior, o determinante é igual ao produto das entradas na diagonal principal.
  2. Quando duas linhas são trocadas, o determinante muda de sinal.
  3. Se duas linhas ou duas colunas são idênticas, o determinante é igual a zero.
  4. Se uma matriz contém uma linha de zeros ou uma coluna de zeros, o determinante é igual a zero.
  5. O determinante de uma matriz inversaé o recíproco do determinante da matriz
  6. Se qualquer linha ou coluna for multiplicada por uma constante, o determinante será multiplicado pelo mesmo fator.

Ilustre cada uma das propriedades dos determinantes.

A propriedade 1 afirma que se a matriz está na forma triangular superior, o determinante é o produto das entradas na diagonal principal.

Aumentarcom as duas primeiras colunas.

A propriedade 2 afirma que a troca de linhas muda o sinal. Dado

A propriedade 3 afirma que, se duas linhas ou duas colunas são idênticas, o determinante é igual a zero.

A propriedade 4 afirma que se uma linha ou coluna for igual a zero, o determinante será igual a zero. Desse modo,

A propriedade 5 afirma que o determinante de uma matriz inversaé o recíproco do determinanteDesse modo,

A propriedade 6 afirma que, se qualquer linha ou coluna de uma matriz for multiplicada por uma constante, o determinante será multiplicado pelo mesmo fator. Desse modo,

Encontre a solução para o sistema 3 × 3 fornecido.

Usando a regra de Cramer, temos

Observe que a segunda e a terceira colunas são idênticas. De acordo com a Propriedade 3, o determinante será zero, portanto, não há solução ou há um número infinito de soluções. Temos que realizar a eliminação para descobrir.

    Multiplique a equação (3) por –2 e adicione o resultado à equação (1).

Obter uma afirmação contraditória significa que o sistema não tem solução.

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com a Regra de Cramer.

Conceitos chave

  • O determinante paraéVeja a figura).
  • A regra de Cramer substitui uma coluna variável pela coluna constante. Soluções sãoVeja a figura).
  • Para encontrar o determinante de uma matriz 3 × 3, aumente com as duas primeiras colunas. Adicione as três entradas diagonais (superior esquerdo para inferior direito) e subtraia as três entradas diagonais (inferior esquerdo para superior direito). Veja a figura).
  • Para resolver um sistema de três equações em três variáveis ​​usando a Regra de Cramer, substitua uma coluna de variável pela coluna constante para cada solução desejada:Veja a figura).
  • A regra de Cramer também é útil para encontrar a solução de um sistema de equações sem solução ou soluções infinitas. Veja (Figura) e (Figura).
  • Certas propriedades dos determinantes são úteis para resolver problemas. Por exemplo:
    • Se a matriz está na forma triangular superior, o determinante é igual ao produto das entradas na diagonal principal.
    • Quando duas linhas são trocadas, o determinante muda de sinal.
    • Se duas linhas ou duas colunas são idênticas, o determinante é igual a zero.
    • Se uma matriz contém uma linha de zeros ou uma coluna de zeros, o determinante é igual a zero.
    • O determinante de uma matriz inversaé o recíproco do determinante da matriz
    • Se qualquer linha ou coluna for multiplicada por uma constante, o determinante será multiplicado pelo mesmo fator. Veja (Figura) e (Figura).

    Exercícios de seção

    Verbal

    Explique por que sempre podemos avaliar o determinante de uma matriz quadrada.

    Um determinante é a soma e os produtos das entradas na matriz, portanto, você sempre pode avaliar esse produto - mesmo se acabar sendo 0.

    Examinando a Regra de Cramer, explique por que não há uma solução única para o sistema quando o determinante de sua matriz é 0. Para simplificar, use ummatriz.

    Explique o que significa, em termos de inverso, uma matriz ter um determinante 0.

    O inverso não existe.

    O determinante dematrizé 3. Se você trocar as linhas e multiplicar a primeira linha por 6 e a segunda linha por 2, explique como encontrar o determinante e fornecer a resposta.

    Algébrico

    Para os exercícios a seguir, encontre o determinante.

    Para os exercícios a seguir, resolva o sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer.

    Para os exercícios a seguir, resolva o sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer.

    Tecnologia

    Para os exercícios a seguir, use a função determinante em um utilitário de representação gráfica.

    Aplicativos do mundo real

    Para os exercícios a seguir, crie um sistema de equações lineares para descrever o comportamento. Em seguida, calcule o determinante. Haverá uma solução única? Em caso afirmativo, encontre a solução exclusiva.

    Dois números somam 56. Um número é 20 a menos que o outro.

    Dois números somam 104. Se você adicionar duas vezes o primeiro número mais duas vezes o segundo número, seu total é 208

    Três números somam 106. O primeiro número é 3 a menos que o segundo número. O terceiro número é 4 a mais que o primeiro número.

    Três números somam 216. A soma dos primeiros dois números é 112. O terceiro número é 8 a menos que os dois primeiros números combinados.

    Para os exercícios a seguir, crie um sistema de equações lineares para descrever o comportamento. Em seguida, resolva o sistema para todas as soluções usando a regra de Cramer.

    Você investe £ 10.000 em duas contas, que recebem 8% de juros e 5% de juros. No final de um ano, você tinha £ 10.710 em suas contas combinadas. Quanto foi investido em cada conta?

    £ 7.000 na primeira conta, £ 3.000 na segunda conta.

    Você investe £ 80.000 em duas contas, £ 22.000 em uma conta e £ 58.000 na outra. Ao final de um ano, assumindo juros simples, você ganhou £ 2.470 em juros. A segunda conta recebe meio por cento menos do que o dobro dos juros da primeira conta. Quais são as taxas de juros para suas contas?

    Uma sala de cinema precisa saber quantos ingressos para adultos e quantos ingressos para crianças foram vendidos em um total de 1.200 ingressos. Se os ingressos infantis custam? 5,95, os ingressos para adultos custam? 11,15, e o valor total da receita foi? 12.756, quantos bilhetes infantis e adultos foram vendidos?

    Uma sala de concertos vende ingressos individuais por £ 40 cada e ingressos para casais por £ 65. Se a receita total fosse £ 18.090 e os 321 ingressos fossem vendidos, quantos ingressos individuais e quantos ingressos de casal foram vendidos?

    Você decide pintar sua cozinha de verde. Você cria a cor da tinta misturando tintas amarelas e azuis. Você não consegue se lembrar quantos galões de cada cor entraram em sua mistura, mas você sabe que eram 10 galões no total. Além disso, você guardou seu recibo e sabe que o valor total gasto foi £ 29,50. Se cada galão de amarelo custa £ 2,59 e cada galão de azul custa £ 3,19, quantos galões de cada cor vão para sua mistura verde?

    Você vendeu dois tipos de lenços em um mercado de agricultores e gostaria de saber qual era o mais popular. O número total de lenços vendidos foi 56, o lenço amarelo custou 10 libras e o lenço roxo custou 11 libras. Se você tivesse uma receita total de £ 583, quantos lenços amarelos e quantos lenços roxos foram vendidos?

    Seu jardim produziu dois tipos de tomate, um verde e outro vermelho. O vermelho pesa 10 onças e o verde pesa 4 onças. Você tem 30 tomates e um peso total de 13 libras e 14 onças. Quantos de cada tipo de tomate você tem?

    13 tomates verdes, 17 tomates vermelhos

    No mercado, os três vegetais mais populares representam 53% das vendas de vegetais. O milho tem vendas 4% maiores do que o brócolis, que tem vendas 5% maiores do que as cebolas. Qual a porcentagem de cada vegetal na participação de mercado?

    No mesmo mercado, as três frutas mais populares representam 37% do total de frutas vendidas. Os morangos vendem o dobro das laranjas e os kiwis vendem um ponto percentual a mais do que as laranjas. Para cada fruta, encontre a porcentagem do total de frutas vendidas.

    Morangos 18%, laranjas 9%, kiwi 10%

    Três bandas se apresentaram em uma sala de concerto. A primeira banda cobrava? 15 por bilhete, a segunda banda cobrava? 45 por bilhete e a banda final cobrava? 22 por bilhete. Foram 510 ingressos vendidos, para um total de? 12.700. Se a primeira banda tivesse 40 membros a mais na audiência do que a segunda banda, quantos ingressos foram vendidos para cada banda?

    Um cinema vendia ingressos para três filmes. Os ingressos para o primeiro filme custavam 5 libras, os ingressos para o segundo filme custavam 11 libras e o terceiro custava 12 libras. 100 ingressos foram vendidos para o primeiro filme. O número total de ingressos vendidos foi 642, para uma receita total de? 6.774. Quantos ingressos para cada filme foram vendidos?

    100 para o filme 1, 230 para o filme 2, 312 para o filme 3

    Homens de 20 a 29 anos, 30 a 39 anos e 40 a 49 anos representavam 78% da população carcerária no ano passado. Neste ano, as mesmas faixas etárias representavam 82,08% da população. O grupo de 20-29 anos aumentou 20%, o grupo de 30-39 anos aumentou 2% e o grupo de 40-49 anos diminuiu parade sua população anterior. Originalmente, o grupo de 30 a 39 anos tinha 2% mais prisioneiros do que o grupo de 20 a 29 anos. Determine a porcentagem da população carcerária para cada faixa etária no ano passado.

    Em uma prisão feminina na estrada, o número total de presidiárias com idade entre 20 e 49 anos totalizava 5.525. Este ano, o grupo de 20 a 29 anos aumentou 10%, o grupo de 30 a 39 anos diminuiu 20% e o grupo de 40 a 49 anos dobrou. Existem agora 6.040 prisioneiros. Originalmente, havia mais 500 na faixa etária de 30 a 39 anos do que na faixa de 20 a 29 anos. Determine a população carcerária para cada faixa etária no ano passado.

    20–29: 2,100, 30–39: 2,600, 40–49: 825

    Para os exercícios a seguir, use este cenário: Uma empresa preocupada com a saúde decide fazer uma mistura de amêndoas, cranberries secas e cajus cobertos com chocolate. As informações nutricionais desses itens são apresentadas na (Figura).

    Gordura (g) Proteína (g) Carboidratos (g)
    Amêndoas (10) 6 2 3
    Cranberries (10) 0.02 0 8
    Cajus (10) 7 3.5 5.5

    Para a mistura de trilha especial “low-carb”, existem 1.000 peças de mistura. O número total de carboidratos é 425 g, e a quantidade total de gordura é 570,2 g. Se houver mais 200 pedaços de caju do que cranberries, quantos de cada item está na mistura da trilha?

    Para a mistura “caminhada”, são 1.000 peças na mistura, contendo 390,8 g de gordura e 165 g de proteína. Se houver a mesma quantidade de amêndoas que o caju, quantos de cada item está na mistura da trilha?

    300 amêndoas, 400 cranberries, 300 cajus

    Para a mistura “booster de energia”, são 1.000 peças na mistura, contendo 145 g de proteínas e 625 g de carboidratos. Se o número de amêndoas e cajus somados for equivalente à quantidade de cranberries, quantos de cada item está na mistura da trilha?

    Exercícios de revisão

    Sistemas de equações lineares: duas variáveis

    Para os exercícios a seguir, determine se o par ordenado é uma solução para o sistema de equações.

    e

    e

    Para os exercícios a seguir, use a substituição para resolver o sistema de equações.

    Para os exercícios a seguir, use a adição para resolver o sistema de equações.

    Para os exercícios a seguir, escreva um sistema de equações para resolver cada problema. Resolva o sistema de equações.

    Uma fábrica tem um custo de produçãoe uma função de receitaQual é o ponto de equilíbrio?

    Um artista cobraOndeé o número total de participantes em um show. O local cobra? 75 por ingresso. Depois de quantas pessoas compram ingressos, o local fica empatado e qual é o valor do total de ingressos vendidos naquele momento?

    Sistemas de equações lineares: três variáveis

    Para os exercícios a seguir, resolva o sistema de três equações usando substituição ou adição.

    Para os exercícios a seguir, escreva um sistema de equações para resolver cada problema. Resolva o sistema de equações.

    Três números ímpares somam 61. O menor é um terço do maior e o número do meio é 16 menor que o maior. Quais são os três números?

    Um teatro local se esgota para seu show. Eles vendem todos os 500 ingressos por uma bolsa total de? 8.070,00. Os ingressos custavam 15 libras para estudantes, 12 libras para crianças e 18 libras para adultos. Se a banda vendeu três vezes mais ingressos adultos do que ingressos infantis, quantos de cada tipo foram vendidos?

    Sistemas de equações não lineares e desigualdades: duas variáveis

    Para os exercícios a seguir, resolva o sistema de equações não lineares.

    Para os exercícios a seguir, represente graficamente a desigualdade.

    Para os exercícios a seguir, represente graficamente o sistema de desigualdades.

    Frações Parciais

    Para os exercícios a seguir, decomponha em frações parciais.

    Matrizes e operações de matriz

    Para os exercícios a seguir, execute as operações solicitadas nas matrizes fornecidas.

    dimensões indefinidas não correspondem

    dimensões internas indefinidas não correspondem

    dimensões internas indefinidas não correspondem

    Resolvendo Sistemas com Eliminação Gaussiana

    Para os exercícios a seguir, escreva o sistema de equações lineares da matriz aumentada. Indique se haverá uma solução única.

    com infinitas soluções

    Para os exercícios a seguir, escreva a matriz aumentada do sistema de equações lineares.

    Para os exercícios a seguir, resolva o sistema de equações lineares usando a eliminação de Gauss.

    Resolvendo Sistemas com Inversos

    Para os exercícios a seguir, encontre o inverso da matriz.

    Para os exercícios a seguir, encontre as soluções calculando o inverso da matriz.

    Para os exercícios a seguir, escreva um sistema de equações para resolver cada problema. Resolva o sistema de equações.

    Os alunos foram convidados a trazer suas frutas favoritas para a aula. 90% das frutas consistiam de banana, maçã e laranja. Se as laranjas fossem tão populares quanto as bananas e as maçãs 5% mais populares do que as bananas, quais seriam as porcentagens de cada fruta individual?

    17% laranjas, 34% bananas, 39% maçãs

    Uma irmandade fez uma venda de bolos para arrecadar dinheiro e vendeu brownies e biscoitos de chocolate. Eles custavam os brownies a £ 2 e os biscoitos de chocolate a £ 1. Eles levantaram £ 250 e venderam 175 itens. Quantos brownies e quantos biscoitos foram vendidos?

    Resolvendo sistemas com Cramer & regra # 8217s

    Para os exercícios a seguir, encontre o determinante.

    Para os exercícios a seguir, use a regra de Cramer para resolver os sistemas lineares de equações.

    Teste prático

    O seguinte par ordenado é uma solução para o sistema de equações?

    com

    Para os exercícios a seguir, resolva os sistemas de equações lineares e não lineares usando substituição ou eliminação. Indique se não existe solução.

    Para os exercícios a seguir, represente graficamente as seguintes desigualdades.

    Para os exercícios a seguir, escreva a decomposição da fração parcial.

    Para os exercícios a seguir, execute as operações de matriz fornecidas.

    Se qual seria o determinante se você trocasse as linhas 1 e 3, multiplicasse a segunda linha por 12 e obtivesse o inverso?

    Reescreva o sistema de equações lineares como uma matriz aumentada.

    Reescreva a matriz aumentada como um sistema de equações lineares.

    Para os exercícios a seguir, use a eliminação de Gauss para resolver os sistemas de equações.

    Para os exercícios a seguir, use o inverso de uma matriz para resolver os sistemas de equações.

    Para os exercícios a seguir, use a regra de Cramer para resolver os sistemas de equações.

    Para os exercícios a seguir, resolva usando um sistema de equações lineares.

    Uma fábrica de telefones celulares tem as seguintes funções de custo e receita:eQual é a gama de telefones celulares que eles devem produzir a cada dia para que haja lucro? Arredonde para o número mais próximo que gera lucro.

    32 ou mais telefones celulares por dia

    Uma pequena feira cobra £ 1,50 para estudantes, £ 1 para crianças e £ 2 para adultos. Em um dia, compareceram três vezes mais crianças do que adultos. Um total de 800 ingressos foram vendidos para uma receita total de? 1.050. Quantos ingressos de cada tipo foram vendidos?

    Glossário


    • Você pode inserir apenas números inteiros ou frações nesta calculadora online. Informações mais detalhadas lidas nessas regras
    • Para alterar os sinais de "+" para "-" na equação, insira números negativos.
    • Se em sua equação alguma variável estiver ausente, então neste lugar da calculadora, insira zero.
    • Se antes da variável na equação não houver número, no campo apropriado, insira o número "1".

    Por exemplo, a equação linear x 1 - 7 x 2 - x 4 = 2



    Este curso abrangente contém 13 seções com 91 lições de autoavaliação, incluindo avaliações finais. A seção 9 está disponível para avaliação gratuita.

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    Pré-requisitos


    Pré-requisitos - Avaliação Final


    Esta é a avaliação final para Pré-requisitos. (Disponível quando você se inscreve.)

    Equações e desigualdades


    2.1. Os sistemas e gráficos de coordenadas retangulares
    2.2. Equações lineares em uma variável
    2.3. Modelos e aplicativos
    2.4. Números complexos
    2,5. Equações quadráticas
    2.6. Outros tipos de equações
    2.7. Desigualdades lineares e desigualdades de valor absoluto
    Avaliação final

    Funções


    3.1. Funções e notação de função
    3.2. Domínio e alcance
    3.3. Taxas de mudança e comportamento dos gráficos
    3.4. Composição de Funções
    3,5. Transformação de funções
    3,6. Funções de valor absoluto
    3,7. Funções Inversas
    Avaliação final

    Funções Lineares


    4.1. Funções Lineares
    4.2. Modelagem com funções lineares
    4.3. Ajustando Modelos Lineares aos Dados
    Avaliação final

    Funções polinomiais e racionais


    5.1. Funções Quadráticas
    5,2 Funções de potência e funções polinomiais
    5.3. Gráficos de funções polinomiais
    5,4 Dividindo Polinômios
    5.5. Zeros de funções polinomiais
    5,6. Funções Racionais
    5.7. Funções Inversas e Radicais
    5,8. Modelagem com Variação
    Avaliação final

    Funções Exponenciais e Logarítmicas


    6.1. Funções Exponenciais
    6,2 Gráficos de funções exponenciais
    6.3. Funções logarítmicas
    6,4 Gráficos de funções logarítmicas
    6,5. Propriedades Logarítmicas
    6,6. Equações Exponenciais e Logarítmicas
    6,7. Modelos Exponenciais e Logarítmicos
    6,8. Ajustando Modelos Exponenciais aos Dados
    Avaliação final

    O Círculo de Unidade: Funções Seno e Cosseno


    7.1. Ângulos
    7,2 Trigonometria do Triângulo Direito
    7.3. Círculo de Unidade
    7,4 As outras funções trigonométricas
    Avaliação final

    Funções Periódicas


    8,1 Gráficos das funções seno e cosseno
    8,2. Gráficos das outras funções trigonométricas
    8,3. Funções trigonométricas inversas
    Avaliação final


        • Verifique as identidades trigonométricas fundamentais.
        • Simplifique as expressões trigonométricas usando álgebra e as identidades.

        9.2. Identidades de soma e diferença
        9,3. Fórmulas de duplo ângulo, meio ângulo e redução
        9,4. Fórmulas de soma para produto e de produto para soma
        9,5. Resolvendo Equações Trigonométricas

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        Assista o vídeo: - Segunda Lei de Newton para Rotações (Outubro 2021).