Artigos

4: Frações e inteiros - Matemática


4: Frações e inteiros - Matemática

Inteiros

O ? conjunto de todos os inteiros? é frequentemente mostrado assim:

Os pontos em cada extremidade do conjunto significam que você pode continuar contando em qualquer direção. O conjunto também pode ser mostrado como um linha numérica:

As setas em cada extremidade da reta numérica significam que você pode continuar contando em qualquer direção.

É um número inteiro?

Os inteiros são números inteiros e seus opostos negativos. Portanto, esses números nunca podem ser inteiros:

Adicionando e subtraindo inteiros

Olhar para uma linha numérica pode ajudá-lo quando você precisa adicionar ou subtrair inteiros.

Esteja você adicionando ou subtraindo dois inteiros, comece usando a reta numérica para encontrar o primeiro número. Ponha o dedo nisso. Digamos que o primeiro número seja 3.

    Então, se você é adicionando um número positivo, mova seu dedo para a direita tantos lugares quanto o valor desse número. Por exemplo, se você estiver adicionando 4, mova seu dedo 4 lugares para a direita.

Aqui estão dois regras para lembrar:

    Adicionar um número negativo é como subtrair um número positivo.

Multiplicando e dividindo inteiros

Se vocês multiplique ou divida dois números positivos, o resultado será positivo.

Se vocês multiplique ou divida um número positivo por um número negativo, o resultado será negativo.

Se vocês multiplique ou divida dois números negativos, o resultado será positivo - os dois negativos se anulam.

Regras inteiras: um vídeo



Clique abaixo para ver as contribuições de outros visitantes a esta página.

Um problema de palavra de teste
Um teste de múltipla escolha contém 25 questões. Respostas corretas valem 4 pontos a cada 2 pontos são deduzidos para cada resposta errada e perguntas não respondidas.

Desigualdade e orçamento de uma festa Ainda não avaliado
Terri tem um orçamento de US $ 750 para gastar em uma festa. O custo do aluguel do quarto é de US $ 200 e ela espera 40 pessoas presentes. Qual desigualdade descreve & hellip

Resolva a equação para x Ainda não avaliado
(x + 13) / y = 9 Multiplique ambos os lados da equação por y y & # 215 (x + 13) / y = 9 & # 215 y Simplifique x + 13 = 9y Menos 13 de ambos os lados de & hellip

Transações bancárias e álgebra Ainda não avaliado
O banco da APC cobra 11 dólares para usuários de caixas eletrônicos que são titulares de contas de bancos locais. Custa 26 dólares para correntistas de banco internacional. Depois de & hellip


4: Frações e inteiros - Matemática

Nesta unidade, usaremos a divisão para encontrar taxas e proporções unitárias em relações proporcionais. Vamos estimar e encontrar soluções para problemas de aplicação envolvendo relações proporcionais. Usaremos atributos críticos para definir a simetria e usar a razão e as proporções em desenhos e modelos em escala.

Durante esta unidade, aprenderemos:

1) Uma taxa unitária é uma taxa cujo denominador é 1 quando escrito como uma fração.
2) Uma taxa média de velocidade é a relação entre a distância percorrida e o tempo. A proporção é uma taxa porque as unidades que estão sendo comparadas são diferentes.
3) Se duas razões são equivalentes, elas são consideradas proporcional, ou na proporção.
4) Você pode encontrar uma proporção equivalente multiplicando ou dividindo os dois termos de uma proporção pelo mesmo número.
5) Você pode usar produtos cruzados para resolver proporções com variáveis.
6) Figuras semelhantes são figuras que têm a mesma forma, mas não necessariamente do mesmo tamanho.
7) A medição indireta é um método de usar proporções para encontrar um comprimento ou distância desconhecida em figuras semelhantes.
8) Você pode usar os comprimentos ou alturas para encontrar o fator de escala.
9) As escalas podem usar as mesmas unidades ou unidades diferentes.
10) Tanto os desenhos em escala quanto os modelos em escala podem ser menores ou maiores do que os objetos que representam.


Aritmética - Aulas e recursos

Precisa de ajuda para aprender ou ensinar aritmética e operações básicas com números? Ou pensando em aprimorar suas habilidades matemáticas básicas para se preparar para outros estudos?

Tópicos populares em aritmética
Números Frações Decimais
Inteiros Problemas de palavras Planilhas de matemática

Aritmética é provavelmente uma das primeiras matérias que você aprendeu na escola. Ele lida com números e computação numérica. É a base para estudar outros ramos da matemática.

Tópicos em aritmética incluem números inteiros, valores de posição, adição, subtração, multiplicação, divisão, fatoração, frações, decimais, expoentes, notações científicas, porcentagens, inteiros, proporções e problemas de palavras.

Planilhas aritméticas gratuitas estão disponíveis para fornecer prática em alguns dos seguintes tópicos, por exemplo, números, valores de posição, dinheiro, adição, subtração, multiplicação, divisão, PEMDAS, frações, decimais e porcentagens.

Tópicos aritméticos

Para mais prática de adição, subtração, multiplicação e divisão, você pode ir para a nossa Zona de Matemática Interativa, onde pode gerar planilhas de acordo com suas necessidades e marcá-las online.


4: Frações e inteiros - Matemática

Nesta unidade, usaremos a divisão para encontrar taxas e proporções unitárias em relações proporcionais. Vamos estimar e encontrar soluções para problemas de aplicação envolvendo relações proporcionais. Usaremos atributos críticos para definir a simetria e usar a razão e as proporções em desenhos e modelos em escala.

Durante esta unidade, aprenderemos:

1) Uma taxa unitária é uma taxa cujo denominador é 1 quando escrito como uma fração.
2) Uma taxa média de velocidade é a relação entre a distância percorrida e o tempo. A proporção é uma taxa porque as unidades que estão sendo comparadas são diferentes.
3) Se duas razões são equivalentes, elas são consideradas proporcional, ou na proporção.
4) Você pode encontrar uma proporção equivalente multiplicando ou dividindo os dois termos de uma proporção pelo mesmo número.
5) Você pode usar produtos cruzados para resolver proporções com variáveis.
6) Figuras semelhantes são figuras que têm a mesma forma, mas não necessariamente do mesmo tamanho.
7) A medição indireta é um método de usar proporções para encontrar um comprimento ou distância desconhecida em figuras semelhantes.
8) Você pode usar os comprimentos ou alturas para encontrar o fator de escala.
9) As escalas podem usar as mesmas unidades ou unidades diferentes.
10) Tanto os desenhos em escala quanto os modelos em escala podem ser menores ou maiores do que os objetos que representam.


Explore as planilhas de fração em detalhes

Abra a porta para a compreensão das frações para os primeiros alunos do jardim de infância até a 3ª série com nossas planilhas de metades, terceiras e quartas! Ilustrações para crianças, exercícios envolventes e atividades práticas permitem que as crianças absorvam tudo sobre metades, terços e quartos.

Ajude as crianças da 3ª e 4ª séries a entender as frações como partes iguais de um todo usando formas, objetos da vida real, fatias de pizza e muitos modelos visuais de fração! Eles identificam frações adequadas, frações unitárias, números mistos e fazem muito mais.

Quer que a criança seja adepta da identificação de frações em um instante? Use grandes armas para encontrar numeradores e denominadores, completar a tabela formando frações e muito mais com essas planilhas de PDF dinâmicas.

Que tipo de fração é 1/4? Sim, é uma fração unitária. Identifique uma fração adequada, fração imprópria, número misto, fração unitária, como frações, ao contrário de frações como um profissional com esses tipos de planilhas de frações imprimíveis.

Reduza a fração adequada, a fração imprópria e os números mistos ao seu termo mais baixo.

O que é mais fácil de interpretar, 1 1/4 ou 5/4? Alguns alunos podem achar que trabalhar com números mistos é mais difícil do que frações impróprias, para outros podem achar que frações impróprias são mais fáceis. Prepare a conversão entre os dois com essas planilhas em PDF!

Planilhas interativas que usam tiras de fração, modelo de pizza, gráficos visuais e muito mais.

Essas planilhas de fração em linha numérica ajudam as crianças a compreender visualmente as frações.

Adicione frações semelhantes, diferentes, adequadas, impróprias e mistas. Frações especiais como unidade e fração recíproca incluídas.

As planilhas de subtração grátis incluem todos os tipos de frações construídas com vários níveis de habilidade.

Discernir a multiplicação de frações por números inteiros usando adições repetidas, matrizes, modelos de linha numérica, grupos iguais e modelos de área. Progresso multiplicando duas e três frações, multiplicando frações por números mistos, etc. resolver uma série de problemas de multiplicação de frações.

Conecte-se às nossas planilhas de divisão de frações para impressão e pratique a divisão de frações por números inteiros, frações por frações, número misto por frações e muito mais!

Aprenda como a fração é aplicada e usada na vida real, praticando esses problemas de palavras.

Explore nossas planilhas de comparação de fração para comparar sem esforço duas frações com denominadores semelhantes e diferentes. Com uma ampla variedade de modelos e exercícios, esses PDFs são uma ótima ferramenta de prática para crianças.

Qual é maior, 1 2/5 ou 2 5/6? Compare esses números mistos instantaneamente e perfeitamente com uma prática devota de nossas planilhas de comparação de números mistos!

Organize as frações em ordem crescente ou decrescente.

Arredonde as frações para o número inteiro mais próximo ou para a metade mais próxima. Linhas numéricas também estão incluídas.


Representando e comparando números (N)

Parte A (Lições 1–7)
Os tópicos incluem representar e comparar números racionais positivos (inteiros, frações e decimais), encontrar múltiplos e fatores de inteiros positivos e determinar o mínimo múltiplo comum (LCM) e o maior fator comum (GCF) de um par de inteiros positivos.

Parte B (Lições 8-12)
Os tópicos incluem a representação de frações negativas e decimais negativos, comparando os valores de quaisquer dois números racionais, notação exponencial e usando árvores de fator e fatorações principais para encontrar o LCM ou o GCF de um par de inteiros positivos.

Esta lição examina três sistemas numéricos diferentes: números inteiros, inteiros e números racionais. As conexões entre diferentes sistemas numéricos são destacadas para estabelecer a base para comparações e operações.

Os matemáticos costumam usar a reta numérica para resolver problemas. Nesta lição, revisamos a reta numérica, concentrando-nos na plotagem de frações.

Em matemática, os símbolos são importantes para a comunicação. Nesta lição, revisamos os símbolos “maior que” e “menor que”. Além disso, apresentamos duas técnicas utilizadas para comparar frações.

Os números racionais podem ser escritos como frações ou decimais. Nesta lição, discutimos as conexões entre representações fracionárias e representações decimais, especificamente, quando se trata de plotar números na reta numérica.

Nesta lição, revisamos como gerar uma lista de múltiplos de um inteiro. Usando nossas listas, identificamos múltiplos comuns de dois inteiros, prestando atenção especial ao mínimo múltiplo comum (LCM).

Fatores, como múltiplos, têm a ver com multiplicação. Nesta lição, resolvemos problemas identificando fatores de inteiros positivos.

Expandindo a lição de fatores, comparamos os fatores de dois inteiros positivos para encontrar fatores comuns especificamente, muitas vezes estamos interessados ​​em identificar o maior fator comum (GCF). Concluímos resolvendo problemas de palavras que exigem que apliquemos fatores a diferentes contextos.

As quantidades fracionárias podem ser positivas ou negativas. Semelhante aos inteiros negativos, as frações negativas ficam à esquerda de zero na reta numérica. Nesta lição, representamos as frações negativas na reta numérica para nos ajudar a compreender e comparar os valores desses números.

Os números racionais podem ser escritos como frações ou decimais. Nesta lição, comparamos números decimais negativos, plotando-os na reta numérica. Em seguida, comparamos as frações negativas com decimais negativos. Os equivalentes decimais de frações comuns são determinados e as estratégias para converter uma fração em decimal são mostradas. Finalmente, aprendemos como comparar quaisquer dois números racionais.

Nesta lição, aprendemos a representar a multiplicação repetida usando a notação exponencial. A notação exponencial é então usada para representar números inteiros na forma expandida usando potências de dez. Números quadrados e números de cubo são investigados.

Nesta lição, revisamos os números primos e compostos. Aprendemos como representar um número composto como um produto de seus fatores primos usando uma árvore de fatores.

As fatorações principais podem ser usadas para determinar o maior fator comum (GCF) e o mínimo múltiplo comum (LCM) de um par de inteiros positivos. Exploramos como isso pode ser feito e usamos essas estratégias para resolver problemas com palavras.

Operações (N)

Parte A (Lições 1–11)
Os tópicos incluem adicionar e subtrair números racionais, multiplicar e dividir um número inteiro por um número racional positivo e avaliar expressões usando a ordem das operações.

Parte B (Lições 12–19)
Os tópicos incluem multiplicação e divisão de inteiros, frações e números decimais, aproximação de raízes quadradas de inteiros positivos e avaliação de expressões que incluem expoentes usando a ordem das operações.

Começamos nossa discussão sobre adição estudando como as linhas numéricas podem ser usadas para mostrar adição. Nesta lição, enfocamos a adição de inteiros, especificamente como números positivos e negativos podem ser adicionados usando uma reta numérica.

Podemos adicionar inteiros sem usar uma calculadora ou uma linha numérica. Nesta lição, estendemos nossa discussão anterior sobre adição de inteiros e examinamos estratégias para realizar a adição de inteiros mentalmente.

Esta lição explora frações equivalentes em preparação para quando devemos adicionar e subtrair frações. No processo de localização de frações equivalentes, você terá a oportunidade de praticar a localização de múltiplos comuns, usando frações impróprias e números mistos, plotando na reta numérica e comparando números racionais.

Nesta lição, construímos nosso entendimento de adição para incluir números racionais. Para fazer isso, revisitamos a reta numérica e incorporamos nossas estratégias para traçar números racionais de modo que possamos encontrar sua soma.

Esta lição apresenta estratégias para a adição de frações sem o uso de uma reta numérica. Usamos as retas numéricas como motivação para encontrar um denominador comum, depois passamos a somar frações sem o uso de recursos visuais.

Começamos nossa discussão sobre subtração focalizando os inteiros. Nesta lição, revisamos a operação de subtração, mostramos a subtração na reta numérica e aprendemos como subtrair inteiros com e sem uma reta numérica.

Continuando nossa discussão sobre subtração, nesta lição exploramos estratégias para subtrair frações. Nosso objetivo é usar frações equivalentes para resolver problemas de subtração sem o uso de uma calculadora ou da reta numérica.

Esta lição explora estratégias para multiplicar números inteiros por frações e decimais. Resolvemos exemplos e destacamos regras para realizar cálculos sem usar uma calculadora.

Multiplicação é a operação usada para dimensionar ou redimensionar uma quantidade. Nesta lição, exploramos os fatores de escala e discutimos por que devemos começar a pensar sobre a multiplicação em termos de escala.

Nesta lição, aprendemos como resolver cálculos que envolvem a divisão de números inteiros por frações e decimais. Por meio de exemplos, destacamos as regras para realizar esses cálculos sem calculadora.

A ordem das operações é revisada e usada para realizar cálculos envolvendo números inteiros, frações e decimais. Além disso, exploramos a importância dos colchetes quando eles são necessários e quando podem ser removidos de uma expressão. Concluímos usando a propriedade distributiva para simplificar os cálculos.

Nesta lição, aprendemos como multiplicar inteiros mentalmente. Especificamente, observamos como o sinal de cada número inteiro em um produto impacta o sinal do produto.

Divisão é a operação oposta da multiplicação e, portanto, as estratégias que aprendemos para dividir números inteiros serão semelhantes às que usamos ao multiplicar números inteiros. Nesta lição, examinamos como os sinais do dividendo e divisor impactam o sinal do quociente.

Começamos esta lição revisando como multiplicar uma fração por um número inteiro. Em seguida, expandimos nosso entendimento para incluir a multiplicação de quaisquer duas frações. Além disso, algum foco é dado à estimativa dos valores dos produtos.

Nesta lição, veremos como dividir um número inteiro por uma fração. Em seguida, exploramos como adaptar essa estratégia para dividir uma fração por outra, sem o uso de uma calculadora.

Começamos esta lição examinando a multiplicação de números decimais por potências de dez, incluindo uma discussão sobre notação científica. Em seguida, aprendemos como multiplicar dois números decimais, primeiro convertendo os números em frações e, depois, trabalhando com os próprios números decimais.

Nesta lição, desenvolvemos estratégias para avaliar expressões de divisão que envolvem números inteiros e números decimais. Também estendemos essas estratégias para discutir a divisão com dois números decimais.

Esta lição enfoca a relação entre elevar um número ao quadrado e obter a raiz quadrada de um número. Discutimos quadrados perfeitos e examinamos como aproximar a raiz quadrada de um inteiro positivo que não é um quadrado perfeito.

Nesta lição, revisitaremos a ordem das operações para a aritmética. Resolvemos problemas envolvendo números inteiros, frações e decimais, dando atenção especial aos expoentes.

Razões, taxas e proporções (N)

Parte A (Lições 1–5)
Os tópicos incluem escrever e interpretar proporções, encontrando proporções equivalentes, convertendo entre frações, decimais e porcentagens, convertendo entre unidades de medida e resolvendo problemas envolvendo taxas de unidade.

Parte B (Lições 6–10)
Os tópicos incluem o reconhecimento de situações proporcionais em problemas de palavras, tabelas e gráficos que conectam unidades relacionam-se a relações proporcionais e suas representações em tabelas, gráficos e equações e porcentagens fracionárias e porcentagens maiores que 100 por cento.

Esta lição discute o significado de uma proporção e mostra como escrever e interpretar proporções. Concluímos resolvendo problemas que requerem uma razão a ser aplicada a grandes quantidades.

Começamos nossa discussão sobre razões equivalentes usando diagramas e explorando como duas razões podem representar a mesma relação entre duas quantidades. Em seguida, desenvolvemos estratégias para encontrar razões equivalentes numericamente. Esta lição termina com a solução de problemas de proporção.

Nesta lição, definimos uma porcentagem e exploramos as relações entre frações, decimais e porcentagens. Concluímos resolvendo alguns problemas de palavras envolvendo porcentagens.

Esta lição explora estratégias para converter entre diferentes unidades métricas de comprimento, massa e capacidade. Em seguida, aplicamos essas estratégias para converter unidades de tempo em unidades de área.

Nesta lição, aprendemos sobre taxas que são comparações de duas medições com unidades diferentes. Nós nos concentramos em como escrever taxas por unidade e como taxas por unidade podem ser usadas para resolver problemas de palavras. Também estão incluídos alguns exemplos de como converter uma taxa em unidades diferentes.

Nesta lição, exploramos a noção de proporcionalidade usando exemplos como ampliação de imagem e mistura de tintas. Exploramos relações proporcionais entre duas quantidades e aprendemos como reconhecer quando uma situação é ou não proporcional.

Nesta lição, examinamos como reconhecer uma relação proporcional entre duas quantidades quando os dados são exibidos em uma tabela ou gráfico.

A relação entre as quantidades proporcionais é freqüentemente dada na forma de uma taxa unitária. Nesta lição, exploramos como essa taxa de unidade se manifesta em uma equação, uma tabela ou um gráfico que representa a relação entre as duas quantidades.

Nesta lição, discutiremos as porcentagens fracionárias e as porcentagens maiores que 100%. É dado algum enfoque a onde as porcentagens aparecem na vida cotidiana e como a estimativa pode ser útil ao trabalhar com porcentagens.

As situações proporcionais podem ser apresentadas de várias maneiras, incluindo: taxas de unidade, tabelas, gráficos ou equações. Nesta lição, praticamos a comparação de relações proporcionais que são apresentadas de maneiras diferentes.

Bissetores e propriedades de formas (G)

Parte A (Lições 1–6)
Os tópicos incluem construções de bissetores de ângulo e bissetores perpendiculares e as várias propriedades de triângulos, quadriláteros e polígonos mais gerais. Em particular, diferentes polígonos são classificados com base em seus comprimentos laterais e medidas de ângulo.

Parte B (Lições 7–10)
Os tópicos incluem diagonais quadriláteros, terminologia e construção de círculos e aplicações de círculos no mundo real.

Esta lição apresenta a terminologia e notação de objetos geométricos básicos, com foco na comunicação escrita e oral.

Revisamos como classificar triângulos de acordo com comprimentos laterais e medidas de ângulo. Em seguida, investigamos a relação do ângulo lateral em triângulos. Esta lição termina com uma aplicação das propriedades do triângulo para construir um ângulo de 60 graus usando uma bússola.

Uma bússola e uma régua podem ser usadas para dividir um ângulo ao meio perfeitamente, sem nunca fazer uma medição. Nesta lição, discutimos as propriedades das bissetoras do ângulo e como usar essas propriedades para construir uma bissetriz do ângulo de um determinado ângulo usando apenas um compasso e uma régua. Estendemos nossa discussão aos triângulos e exploramos a relação das três bissetoras dos ângulos em qualquer triângulo.

Continuando nossa discussão sobre construções, veremos as propriedades das bissetoras perpendiculares e como usar essas propriedades para construir uma bissetriz perpendicular de um determinado segmento de linha usando apenas um compasso e uma régua. Estendemos nossa discussão aos triângulos e exploramos a relação das três bissetoras perpendiculares em qualquer triângulo.

Nesta lição, examinamos as propriedades de seis quadriláteros especiais. Examinamos as semelhanças e diferenças entre cada um e usamos um diagrama para representar todos os relacionamentos que discutimos.

Expandindo os quadriláteros, nesta lição discutimos as propriedades dos polígonos gerais. Em particular, investigamos a soma dos ângulos internos em um polígono e como os polígonos estão conectados aos prismas. Esta lição termina com uma extensão que explora como os prismas podem ser fatiados para produzir várias faces poligonais.

Nesta lição, investigamos várias propriedades das diagonais nos quadriláteros. Em particular, consideramos quando as diagonais se dividem entre si, são perpendiculares entre si ou são iguais em comprimento. Em seguida, usamos essas propriedades para nos ajudar a classificar quadriláteros.

Esta lição começa com uma discussão sobre como descrever um círculo. Como os círculos são muito diferentes dos polígonos, apresentamos uma nova terminologia para usar ao estudar os círculos. Em particular, definimos o centro, raio, diâmetro e circunferência de um círculo. Também exploramos como usar polígonos para nos ajudar a estimar a circunferência e a área delimitada por um círculo.

Nesta lição, discutimos estratégias para desenhar círculos precisos. Especificamente, olhamos para desenhar círculos quando dados um centro e um raio, um centro e um ponto que devem estar no círculo, e também dados dois ou mais pontos que devem estar todos no círculo. Discutimos onde círculos maiores aparecem no mundo real e quais ferramentas e estratégias podem ser usadas para criá-los.

Nesta lição, pegamos a aplicação de círculos além da roda e discutimos o papel dos círculos no projeto de rotatórias, o uso de círculos no projeto de estruturas e como os círculos de diâmetros diferentes interagem em máquinas que usam engrenagens.

Área, volume e ângulos (G)

Parte A (Lições 1–5)
Os tópicos incluem o cálculo da área de paralelogramos, triângulos, trapézios e formas compostas, calculando a área da superfície, o volume e a capacidade dos prismas e representando objetos 3D de diferentes maneiras.

Parte B (Lições 6–10)
Os tópicos incluem o cálculo da circunferência e da área dos círculos, o cálculo do volume e da área da superfície dos cilindros e as propriedades dos ângulos formados pela intersecção de linhas, incluindo linhas paralelas e transversais.

Esta lição revisa a definição de área e como calcular a área de um retângulo. Em seguida, desenvolvemos e aplicamos as fórmulas para encontrar as áreas de paralelogramos, triângulos e trapézios.

Continuando nossa discussão sobre área, exploramos como decompor e calcular a área de formas compostas.

Nesta lição, aprendemos como visualizar a superfície de um sólido 3D usando uma rede. Em seguida, calculamos a área da superfície dos prismas e resolvemos problemas de palavras envolvendo a área da superfície.

Nesta lição, desenvolvemos e aplicamos a fórmula para encontrar o volume de um prisma. Relacionamos volume e capacidade e exploramos como converter unidades de volume.

Concluímos nossa discussão sobre prismas e sólidos compostos, aprendendo como desenhá-los em papel de pontos triangulares. Também aprendemos como reconhecer e esboçar diferentes visualizações 2D de um objeto 3D.

Nesta lição, revisamos a circunferência e a área dos círculos. Em seguida, desenvolvemos e aplicamos as fórmulas para calcular a circunferência e a área de um círculo dado o raio (ou diâmetro) do círculo.

Começamos nossa discussão sobre cilindros comparando cilindros a prismas. Desenvolvemos e aplicamos a fórmula para encontrar o volume de um cilindro e resolver problemas de palavras envolvendo o volume ou a capacidade de um cilindro.

Continuando nossa discussão sobre cilindros, nesta lição, exploramos a rede de um cilindro e usamos a rede para desenvolver uma fórmula para a área da superfície de um cilindro. Em seguida, calculamos a área de superfície dos cilindros e resolvemos problemas de palavras envolvendo a área de superfície.

Nesta lição, começamos nossa discussão sobre linhas que se cruzam explorando as propriedades dos ângulos formados por duas linhas que se cruzam. Definimos ângulos suplementares, complementares e opostos e usamos relações de ângulos para encontrar ângulos desconhecidos em um diagrama.

Continuando nossa discussão sobre linhas que se cruzam, nesta lição exploramos os ângulos formados por linhas paralelas e transversais. Definimos ângulos correspondentes, alternativos e co-interiores e usamos relações de ângulos para resolver ângulos desconhecidos em um diagrama.

Transformações de formas (G)

Parte A (Lições 1–7)
Os tópicos incluem congruência de polígonos, regras de congruência de triângulo, pontos de plotagem no plano cartesiano, a imagem de um polígono no plano cartesiano sob translações, reflexos e / ou rotações no plano cartesiano e tesselações.

Parte B (Lições 8-11)
Os tópicos incluem similaridade de polígonos, regras de similaridade de triângulos, dilatações de polígonos e medidas indiretas.

Nesta lição, revisamos a definição de congruência e combinamos os lados e ângulos de dois polígonos congruentes. Também damos uma olhada no perímetro e na área de polígonos congruentes.

Continuando nossa discussão sobre congruência, nesta lição, exploramos as regras de congruência para triângulos. Nosso objetivo é mostrar que dois triângulos são congruentes combinando apenas três partes correspondentes.

Esta lição apresenta o plano cartesiano. Examinamos como construir o sistema de coordenadas cartesianas, como plotar pontos no plano cartesiano, bem como examinar as distâncias vertical / horizontal entre dois pontos no plano cartesiano.

Nesta lição, começamos nossa discussão sobre transformações explorando as traduções de polígonos. Aprendemos como desenhar a imagem de um polígono sob uma tradução e relacionar a definição de congruência com as traduções.

Continuando nossa discussão sobre transformações, agora exploramos reflexões de polígonos. Nesta lição, aprendemos como representar graficamente a imagem de um polígono sob uma reflexão no plano cartesiano e explicar como a imagem é congruente com o polígono original.

Nesta lição, aprendemos como representar graficamente a imagem de um polígono sob uma rotação. Também combinamos todas as três transformações e representamos graficamente a imagem de um polígono sob uma translação, reflexão e rotação no plano cartesiano.

Esta lição explora a arte das tesselações. Definimos uma tesselação e exploramos quais polígonos podem tesselar o plano. Em seguida, usando polígonos que sabemos que tesselam o plano, exploramos como criar designs interessantes que tesselam.

Em geometria, a palavra “semelhante” é usada para indicar quando dois objetos têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Nesta lição, aprendemos a definição precisa de polígonos semelhantes, exploramos o fator de escala entre dois polígonos semelhantes e aprendemos como usar o fator de escala para resolver problemas.

Cada triângulo tem três ângulos e três lados, mas não precisamos saber as medidas de cada um para determinar a forma do triângulo. Nesta lição, exploramos as condições mínimas necessárias para verificar se dois triângulos são semelhantes. Aprendemos as regras de similaridade Ângulo-Ângulo, Lado-Lado-Lado e Lado-Ângulo-Lado e praticamos a construção de triângulos semelhantes.

Nesta lição, exploramos como desenhar polígonos semelhantes sem medir ângulos. Isso pode ser feito executando um tipo específico de transformação: uma dilatação.

As medições indiretas nos permitem encontrar comprimentos desconhecidos sem realmente medir os segmentos de linha. Nesta lição, exploramos como usar as regras de similaridade do triângulo para fazer medições indiretas em diferentes cenários.

Representando Padrões (A)

Parte A (Lições 1–6)
Os tópicos incluem a representação de sequências usando tabelas, termos gerais e gráficos, descrevendo padrões usando variáveis ​​e expressões, estendendo sequências e resolvendo problemas envolvendo quantidades desconhecidas.

Parte B (Lições 7-11)
Os tópicos incluem expressões equivalentes para o termo geral de uma sequência, descrevendo relacionamentos e padrões usando equações e sequências decrescentes e de ocorrência natural.

Começamos nossa discussão sobre padronização examinando sequências de números e imagens. Nesta lição, nos concentramos em declarar a regra de padrão que descreve como gerar o próximo termo em uma sequência.

Esta lição explora a relação entre o número do termo e o valor do termo, ou seja, a relação entre um termo em uma sequência e sua posição nessa sequência. Em seguida, usamos o termo geral para encontrar o valor de um termo em uma sequência, dado seu número de termo.

Continuamos a encontrar o termo geral de sequências, com ênfase em como usar uma variável para representar uma quantidade desconhecida. Esta lição conclui com uma discussão sobre substituição, onde avaliamos expressões substituindo um número por uma variável no termo geral.

Nesta lição, encontramos sequências que têm um tipo de relacionamento diferente do que vimos anteriormente. Você continuará a praticar a localização do termo geral de uma sequência, concluindo a lição com alguns problemas de aplicação.

Nesta lição, exploramos como representar uma sequência graficamente. Com uma sequência representada em um gráfico, usamos o gráfico para determinar o número do termo que corresponde a um determinado termo na sequência. Finalmente, você praticará como encontrar o termo geral de uma sequência dado seu gráfico.

Nesta lição, conectamos as diferentes sequências que estudamos até agora. Continuamos usando tabelas, gráficos e termos gerais para estudar os padrões que as sequências representam.

Nesta lição, revisamos como representar uma sequência usando uma tabela, um termo geral ou um gráfico. A ênfase é colocada em determinar qual dessas três representações é a mais apropriada em uma determinada situação de resolução de problemas.

Nesta lição, analisamos diferentes padrões que geram a mesma sequência de números. Geramos várias expressões para representar as diferentes interpretações de um padrão e aprendemos como determinar se duas expressões são equivalentes.

In this lesson, we learn the difference between an expression and an equation, and explore how each can be used when describing patterns. In particular, we use expressions for the general term of a sequence to form equations to represent relationships in sequences.

In this lesson, we define and explore decreasing sequences. You are challenged to consider how strategies for finding the general terms of increasing sequences can be used to write an equation representing a decreasing sequence. We also examine how some sequences of numbers that arise from physical situations cannot continue forever due to real-world boundaries.

In this lesson, we look beyond the typical sequences discussed in this unit and explore more naturally occurring sequences. The examples focus on popular puzzles and real-life growth and depreciation scenarios. We conclude by discussing, through an example, how apparent patterns can sometimes be deceiving.

Equations and the Pythagorean Theorem (A)

Part A (Lessons 1–5)
Topics include using variables in expressions and equations, identifying and exploring linear relationships, and solving equations by inspection, trial and error, and using visual models.

Part B (Lessons 6–10)
Topics include solving equations using algebraic techniques, comparing the differences between evaluating an expression and solving an equation, exploring equations with multiple variables, and the Pythagorean Theorem.

In this lesson, we review variables and expressions. We discuss common notation for operations in algebra and practice translating English phrases to mathematical expressions.

In this lesson, we explore linear relationships between two quantities. We learn how to identify a linear relationship represented in a graph, in a table of values, or in an equation.

In this lesson, we use expressions and equations to model and solve real-world problems.

In this lesson, we use graphs and a visual model of weights on a scale to help solve equations. We also practise solving simple equations by inspection.

In this lesson, we practise solving equations by trial and error. These methods are applied to solve word problems and to solve equations that have fractional solutions.

In this lesson, we visualize equations using weights and a balanced scale. We solve equations with one operation using algebraic techniques and learn how to verify a solution of an equation.

We continue to solve equations using algebra by extending our strategies to solve equations with more than one operation.

This lesson explores the forwards and backwards movement through a math machine, and makes connections to the differences between evaluating an expression and solving an equation.

In this lesson, we find solutions to equations with two or more unknown quantities using trial and error and algebra.

In this lesson, we investigate the relationship between the side lengths of a right triangle. We will develop the Pythagorean Theorem and use it to solve for the missing side length of a right triangle.

Data Collection and Graphs (D)

Part A (Lessons 1–5)
Topics include different types of data population, sample and census bias in data collection arising from question wording, accepted answers and choice of sample group frequency and relative frequency tables and graphs reading and creating circle graphs choosing an appropriate graph type for a data set bias in data representation arising from the chosen graph type, graph structure and shape, and axis labels and scales.

Part B (Lessons 6–9)
Topics include organizing continuous data into stem-and-leaf plots and frequency tables with intervals as well as creating and reading histograms, and scatter plots.

In this lesson, we discuss different types of data including primary, secondary, categorical, and numerical data. We discuss the terms population, sample, and census and learn the difference between discrete and continuous numerical data.

In this lesson, we explore how data can be influenced by the wording of survey questions, the types of answers accepted in a survey, and the sample group that is being used in the survey to represent the population.

In this lesson, we learn how to organize data into frequency tables, calculate relative frequencies, and create and compare frequency and relative frequency graphs.

In this lesson, we focus on reading and creating circle graphs (or pie charts). We also discuss the appropriate graph types (circle, bar, or line) that can be used to display various data sets.

In this lesson, we explore how choices made while creating a graph can lead to a misrepresentation of the underlying data. In particular, we discuss how the type of graph, the structure and shape of the graph, or the axis labels and scales of the graph can potentially mislead the viewer.

In this lesson, we focus on working with continuous data sets. We explore different ways in which continuous data might be organized and graphed as well as discuss how to display paired data sets.

In this lesson, we study different ways to organize numerical data sets into intervals. We start by organizing data using stem-and-leaf plots and then exploring how frequency tables can be used if we divide the data into intervals. We discuss the advantages and disadvantages of these organization tools and practise choosing appropriate intervals for given data sets.

Standard bar graphs are not always an appropriate way to display a given numerical data set. A histogram is a similar type of graph in which numerical data are first grouped into ranges and then the frequency of each range is plotted using a bar. In this lesson, we discuss the features of a histogram and practise creating histograms from numerical data sets. We discuss what information might be gained or lost by presenting data in a histogram, and explore the effects of interval choice on the shape of the graph.

A scatter plot is a graph consisting of points which are formed using the values of two variable quantities. Scatter plots are used to display a relationship between the two variables in question. In this lesson, we discuss the features of a scatter plot and practise creating scatter plots from paired data sets. We discuss the roles that the two variables play in a scatter plot and explore what information might be revealed when we consider the shape formed by the data points as a whole.

Data Analysis (D)

Part A (Lessons 1–4)
Topics include determining the mean, median, and mode of data sets studying the effects of adding data to a data set or removing data from a data set exploring the effect of outliers on the mean, median, and mode and practising drawing conclusions and making predictions from data in graphs.

Part B (Lessons 5–8)
Topics include interpreting data, histograms, and scatter plots and drawing conclusions from these graphs describing relationships between the two variables in a scatter plot estimating rates of change associated with scatter plots making predictions supported by the data in histograms and scatter plots and using appropriate measures of central tendency to compare two data sets.

It can be helpful to use a single value to summarize the information in a large data set. Measures of central tendency, like the mean, median, and mode, attempt to summarize data by measuring the middle (or centre) of a data set. In this lesson, we will learn how to determine the mean, median, and mode of different data sets and discuss how they can be used to analyze data.

In this lesson, we discuss the effects of adding data to (or removing data from) a data set. We focus on how this might affect the mean, median, and mode in different ways.

Some data sets contain outliers, which is data that is separated from the rest of the values in the data set. In this lesson, we discuss the effect of outliers on the mean, median, and mode of data sets, and explore different contexts in which one particular measure might be the most appropriate for summarizing the given data.

In this lesson, we practise interpreting the underlying data displayed in different graphs. We discuss the difference between statements that can be verified using the information in a graph and predictions that are supported by the trends in the graph but cannot be verified using the graph alone.

In this lesson, we practise identifying and interpreting information provided in a histogram, and drawing conclusions supported by the histogram. We also explore how the interval size of a histogram can affect the conclusions drawn by someone who is analyzing the data in a histogram.

In this lesson, we practise identifying and interpreting information provided in a scatter plot, and drawing conclusions supported by the scatter plot. We explore how to identify and describe a general relationship that might exist between the two variables in a scatter plot.

Scatter plots are often used to identify and study a relationship between two variables. When the data points in a scatter plot seem to roughly follow the path of a line, we can use our knowledge of linear patterns to study the data and make predictions. In this lesson, we explore drawing lines that approximate the trend observed in a scatter plot, and estimating rates of change associated to scatter plots. We compare rates of change of different scatter plots and use them to make predictions.

In this lesson, we practise using measures of central tendency to compare two data sets, draw conclusions, and discuss factors that might influence which measure of central tendency is most appropriate for a particular comparison. We also explore how to compare data presented in histograms.

Probability (D)

Part A (Lessons 1–4)
Topics include random experiments, outcomes, and events calculating theoretical probabilities of single events comparing probabilities of different events independent events experimental probability and using probabilities to make predictions.

Part B (Lessons 5&ndash8)
Topics include comparing theoretical probabilities and experimental probabilities exploring how the number of trials impacts probability estimates complementary events setting up and running simulations using probability models and revisiting independent events.

A random experiment is an experiment where the set of possible outcomes is known but the actual outcome cannot be predicted with any certainty. Probability theory is the study of random experiments including different ways to measure the likelihood that a particular outcome or event will occur. In this lesson, we review the notion of probability and practise calculating theoretical probabilities of different events in various experiments.

Often random experiments include more than one object, for example, an experiment might include tossing a fair coin and rolling a standard die. In this lesson, we explore how to calculate the probability that two independent events occur, for example, the probability that a head is tossed and an even number is rolled. We define and identify independent events and use tables and tree diagrams to systematically list all outcomes of an experiment in order to calculate probabilities of various events.

Theoretical probability is a ratio that describes what we expect to happen in an experiment and experimental probability is a ratio that describes what actually happened during trials of an experiment. In this lesson, we calculate experimental probabilities of different events and explore how these compare to known theoretical probabilities. We also explore situations where experimentation is our only option for studying probabilities.

If you can determine the chances that a particular event will occur in an experiment, then you can use this information to make predictions involving this experiment. In this lesson, we use theoretical and experimental probabilities to make predictions. We discuss how reliable, or unreliable, our predictions might be and explore how we might design experiments in a way that makes our predictions as reliable as possible.

In this lesson, we compare theoretical probabilities to probability estimates found through experimentation, and explore how the number of trials performed in an experiment might impact probability estimates.

In this lesson, we define and explore the notion of complementary events. We learn how identifying complementary events can be helpful when calculating probabilities.

For many real-world situations involving probabilities, it can be difficult to collect data directly by running real experiments. In these situations, mathematicians often run simulations that resemble the real situation in terms of probabilities. In this lesson, we will learn how to choose appropriate models for simulations and practise running simulations to obtain probability estimates.

In this lesson, we review how to determine probabilities of independent events using lists, tables, and tree diagrams to display all possible outcomes. We also explore how to count the number of possible outcomes and favourable outcomes without explicitly writing them down. These skills can be helpful for experiments with too many outcomes to list efficiently.


Lesson 3-2: Add Integers

Apply and extend previous understandings of addition and subtraction to add and subtract rational numbers represent addition and subtraction on a horizontal or vertical number line diagram.

Describe situations in which opposite quantities combine to make 0. For

example, a hydrogen atom has 0 charge because its two constituents are

Understand p + q as the number located a distance |q| from p, in the positive or negative direction depending on whether q is positive or negative. Show that a number and its opposite have a sum of 0 (are additive inverses). Interpret sums of rational numbers by describing real- world contexts.

Understand subtraction of rational numbers as adding the additive inverse, p – q = p + (–q). Show that the distance between two rational numbers on the number line is the absolute value of their difference, and apply this principle in real-world contexts.

Apply properties of operations as strategies to add and subtract rational numbers.

Apply and extend previous understandings of multiplication and division and of fractions to multiply and divide rational numbers.

Understand that multiplication is extended from fractions to rational

numbers by requiring that operations continue to satisfy the properties of operations, particularly the distributive property, leading to products such as (–1)(–1) = 1 and the rules for multiplying signed numbers. Interpret products of rational numbers by describing real-world contexts.

Understand that integers can be divided, provided that the divisor is not zero, and every quotient of integers (with non-zero divisor) is a rational number. If p and q are integers, then –(p/q) = (–p)/q = p/(–q). Interpret quotients of rational numbers by describing real-world contexts.

Apply properties of operations as strategies to multiply and divide rational numbers.

Convert a rational number to a decimal using long division know that the decimal form of a rational number terminates in 0s or eventually repeats.

Solve real-world and mathematical problems involving the four operations with rational numbers.


The integer word is derived from the Latin word “Integer” which represents the whole. Integers are the positive, negative numbers, or zero. Integer values cannot be in decimals, fractions, percents, and we can perform various operations(arithmetic operations) like subtraction, addition, multiplication, division, etc. Examples of integers are 1,2,3,-4,-5, etc. Integers also include various sets like

Integers also include various sets like zero, whole numbers, natural numbers, additive inverses, etc. These are the subset of real numbers.
Example of integer set: -5,-3, -1, 0, 2, 5

Representation of Integers

As integers contain various numbers and sets and are the subset of real numbers, they are represented with the letter “Z”.

Types of numbers in Integers

  • Natural Numbers
  • Whole Numbers
  • Real Numbers
  • Rational Numbers
  • Irrational Numbers
  • Odd Numbers
  • Even Numbers

Integers Rules

  • The Sum of 2 positive integer numbers is an integer number
  • The Sum of 2 negative integer numbers is an integer number
  • Product of 2 positive integer numbers is an integer number
  • Product of 2 negative integer numbers is an integer number
  • Sum of an integer number and its inverse equals zero
  • Product of an integer number and its reciprocal equals 1

Addition of Integer Numbers

While adding 2 positive or negative integers(with the same sign), add the absolute values and note down the sum of those numbers with the sign provided with numbers.

While adding 2 integers with a different sign, subtract the absolute values and note down the difference of those numbers with the sign provided with numbers.

Subtraction of Integer Numbers

While subtracting we follow the rules of addition but change the 2nd number which is being subtracted.

Division and Multiplication of Integer Numbers

The rule is simple while dividing and multiplying 2 integer numbers.

  • If both the integers have the same sign, the result is positive.
  • If both the integers have a different sign, the result is negative.

Integer Properties

There are 7 properties of integers. The major properties are

1. Associative Property
2. Distributive Property
3. Closure Property
4. Commutative Property
5. Identity Property
6. Multiplicative Inverse Property
7. Additive Inverse Property

1. Associative Property

This property refers to grouping and rules can be applied for addition and multiplication.

Associative Property of Addition

Associative property enables the special feature of grouping the numbers in your own way and still, you get the same answer.

In the above example, if we consider the first equation you can solve it in either way i.e., First you take the difference of 4 and 2 and then add 3 to it or you can first add 2 and 3 and then subtract 4 from it. In both ways, you get a constant answer.

Associative Property of Multiplication

This property also refers to the same as the addition property. In whatever way you group numbers, you still get the same answer.

In the above example, you can solve it 2 ways and still find the same answer. First, you can multiply 2,4 and then multiply that with 3 or you can first multiply 4,3 and then multiply it with 4.

2. Distributive Property

The distributive property is used when the expression involving addition is then multiplied by a number. This property tells us that we can multiply first and then add or add first and multiply then. In both ways, the multiplication is distributed for all the terms in parentheses.

In the above example, we can first add 2 and 3, then multiply it with 4 or we can multiply 4 with 2 and 3 separately and then add it, still you get the same answer.

3. Closure Property

Closure property for addition or subtraction states that the sum or difference of any 2 integers will be an integer value.

a + b = integer
a x b = integer

The closure property for multiplication also states that the product of any two integer numbers is an integer number.

The closure property for division does not hold true that the division of two integers is an integer value.

(-3)/(-12)=1/4, which is not an integer

4. Commutative Property

The commutative property for addition states that when two integer numbers undergo swapping, the result remains unchanged.

a+b=b+a
a*b=b*a

The commutative property for multiplication also states the same that if two integers are swapped, the result remains unchanged.

The commutative property doesn’t hold true for subtraction.

5. Identity Property

Identity Property states that any number that is added with zero will give the same number. Zero is called additive identity.

a+0=a
a*1=a

The identity property for multiplication also states the same that the integer number multiplied by 1 will give the same number. 1 is called the additive identity.

6. Multiplicative Inverse Property

Consider “a” as an integer, then as per the multiplicative inverse property of integers,

Here, 1/a is the multiplicative inverse of integer a.

7. Additive Inverse Property

Consider “a” as an integer, then as per the additive inverse property of integers,

Here, “-a” is the additive inverse of the integer a

Applications of Integers in Real Life

Integers have many real-life applications. We use them in different situations to quantify things. For example, to check the temperature, positive numbers are used to indicate the temperature above zero and negative numbers are used to indicate the temperature below zero. Integers are also mainly used in real-life situations like hockey, football tournaments, rating for a movie, bank credits and debits, etc.

We have mentioned all the important information about Integers. Hope, the above-provided details will help you in your preparation. Stay tuned to our site to get instant updates on various mathematical concepts.