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5. Combinações - Matemática


Os tópicos a seguir estão incluídos nesta série de seis vídeos.

  1. Introdução às combinações
  2. Notação de Combinação
  3. Combinação ou permutação?
  4. Combinações com Casos
  5. Combinações com estágios
  6. Combinações com Complementos

O problema no vídeo a seguir é resolvido de duas maneiras: primeiro usando casos e estágios e, em seguida, usando complementos.

PRÉ TRABALHO:

  1. Avalie (C (10,4) ).
  2. Um estudante se ofereceu para trazer as fichas para uma festa da sorte. Ela está com pressa e corre até uma mercearia para comprar 3 tipos diferentes de batatas fritas. Existem 10 tipos diferentes de chips na prateleira. De quantas maneiras ela pode escolher os 3 sacos de batatas fritas se todos eles têm que ser de tipos diferentes?
  3. De Sarah, Jennifer, Jason e Quentin, eu seleciono aleatoriamente pelo menos uma pessoa, mas no máximo três pessoas para fazer a pesquisa, quantos grupos eu poderia escolher?
  4. Se uma fechadura de combinação tem 40 números, quantas "combinações" diferentes existem (suponha que uma fechadura de combinação padrão requer 3 números para desbloquear)? Deveríamos realmente usar a palavra "combinação"?

Soluções:

  1. (C (10,4) = frac {10!} {6! 4!} = Frac {10 cdot9 cdot8 cdot7 cdot6 cdot5 cdot4 cdot3 cdot2 cdot1} {6 cdot5 cdot4 cdot3 cdot2 cdot1 cdot4 cdot3 cdot2 cdot1} = 210. )

  2. Como o aluno está recebendo diferentes tipos de chips, as repetições não são permitidas. Além disso, a ordem em que ela compra as fichas não importa, pois todas irão para a festa. Portanto, usamos uma combinação, então a resposta é (C (10,3) ).

  3. Podemos usar combinações aqui, pois ninguém responderá à pesquisa mais de uma vez (sem repetições) e porque todos os participantes têm o mesmo papel: responder à pesquisa. Há três casos a serem considerados: exatamente 1 pessoa responde à pesquisa, exatamente 2 pessoas respondem à pesquisa, exatamente 3 pessoas respondem à pesquisa. Portanto, a resposta é (C (4,1) + C (4,2) + C (4,3) ).

  4. A resposta numérica depende de como uma fechadura de combinação funciona. Em primeiro lugar, observe que a ordem em que os números são inseridos nessa fechadura é definitivamente importante. Se todos os números puderem ser repetidos, existem opções (40 cdot 40 cdot 40 ). Se as repetições não forem permitidas, a resposta é (P (40,3) ). Se as repetições forem permitidas, mas não consecutivas, a resposta será (40 cdot 39 cdot 30 ). Independentemente disso, nenhuma dessas são combinações!


Combinações

Nessas lições, aprenderemos o conceito de combinações, a fórmula de combinação e a solução de problemas que envolvem combinações.

O que é combinação em matemática?

Um arranjo de objetos em que a ordem não é importante é chamado de combinação. Isso é diferente da permutação em que a ordem é importante. Por exemplo, suponha que estejamos organizando as letras A, B e C. Em uma permutação, o arranjo ABC e ACB são diferentes. Mas, em uma combinação, os arranjos ABC e ACB são os mesmos porque a ordem não é importante.

Qual é a fórmula de combinação?

O número de combinações de n coisas tomadas r por vez é escrito como C (n, r).

O diagrama a seguir mostra a fórmula de combinação. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções sobre como usar a fórmula de combinação.


Se você não está familiarizado com o n! (notação fatorial n), então dê uma olhada na lição fatorial

Como usar a fórmula de combinação para resolver problemas com palavras?

Exemplo:
De quantas maneiras um técnico pode escolher três nadadores entre cinco nadadores?

Solução:
Há 5 nadadores a serem levados, 3 de cada vez.
Usando a fórmula:

O técnico pode escolher os nadadores de 10 maneiras.

Exemplo:
Seis amigos querem jogar xadrez o suficiente para ter certeza de que todos jogam com os outros. Quantos jogos eles terão que jogar?

Solução:
Existem 6 jogadores para serem escolhidos, 2 de cada vez.
Usando a fórmula:

Eles precisarão jogar 15 jogos.

Exemplo:
Em uma loteria, cada bilhete tem 5 números de um dígito de 0 a 9.
a) Você ganha se o seu bilhete tiver os dígitos em qualquer ordem. Quais são as suas mudanças para vencer?
b) Você só ganharia se o seu bilhete tivesse os dígitos do pedido exigido. Quais são suas chances de ganhar?

Solução:
Existem 10 dígitos a serem tomados, 5 de cada vez.

As chances de vitória são de 1 em 252.

b) Como a ordem é importante, devemos usar permutação em vez de combinação.
P (10, 5) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240

As chances de vitória são de 1 em 30240.

Como avaliar combinações, bem como resolver problemas de contagem usando combinações?

Uma combinação é um agrupamento ou subconjunto de itens. Para uma combinação, a ordem não importa.

Quantas comissões de 3 podem ser formadas a partir de um grupo de 4 alunos?
Esta é uma combinação e pode ser escrita como C (4,3) ou 4C3 ou ( left (< begin<*<20>> 4 3 fim> right) ).

  1. O time de futebol conta com 20 jogadores. Sempre há 11 jogadores em campo. Quantos grupos diferentes de jogadores podem estar em campo ao mesmo tempo?
  2. Um aluno precisa de mais 8 aulas para concluir seu diploma. Se ela atendeu aos pré-requisitos para todos os cursos, de quantas maneiras ela pode assistir a 4 aulas no próximo semestre?
  3. Há 4 homens e 5 mulheres em um pequeno escritório. O cliente deseja uma visita ao local de um grupo de 2 homens e 2 mulheres. Quantos grupos diferentes podem ser formados a partir do escritório?

Como resolver problemas de combinação que envolvem a seleção de grupos com base em critérios condicionais?

Exemplo: Um balde contém os seguintes berlindes: 4 vermelhos, 3 azuis, 4 verdes e 3 amarelos, totalizando 14 berlindes. Cada mármore é etiquetado com um número para que possam ser distinguidos.

  1. Quantos conjuntos / grupos de 4 bolinhas são possíveis?
  2. Quantos conjuntos / grupos de 4 existem, de modo que cada um tem uma cor diferente?
  3. Quantos conjuntos de 4 existem em que pelo menos 2 são vermelhos?
  4. Quantos conjuntos de 4 existem em que nenhum é vermelho, mas pelo menos um é verde?

Como resolver problemas de palavras envolvendo permutações e combinações?

  1. Um museu tem 7 pinturas de Picasso e deseja colocar 3 delas na mesma parede. Quantas maneiras existem para fazer isso?
  2. De quantas maneiras você pode organizar as letras na palavra LOLLIPOP?
  3. Uma pessoa que joga pôquer recebe 5 cartas. Quantas mãos diferentes o jogador poderia ter recebido?

Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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5 respostas 5

Existem $ binom <5> <1> $ combinações com 1 item, $ binom <5> <2> $ combinações com $ 2 $ itens.

Então, você quer: $ binom <5> <1> + cdots + binom <5> <5> = left ( binom <5> <0> + cdots + binom <5> <5> right ) -1 = 2 ^ 5-1 = 31 $

Deixe $ nCr = binom= frac$ Lembre-se de que o $ frac<(n-k)!> $ fornece todas as permutações e $ k! $ no denominador é o que desconsidera as duplicatas.

Agora você quer todas as maneiras de escolher $ (1 text 5) + (2 text 5) + dots + (5 text 5) $ ie $ binom <5><1>+inom<5><2>+inom<5><3>+inom<5><4>+inom<5> <5> = 2 ^ 5-1 = 31 $ Observe que isso decorre do fato de que $ (1 + 1) ^ n = binom<0> + binom<1> + cdots + binom+ binom= 2 ^ n $ Subtraindo $ binom<0> $ de ambos os lados nos dá $ binom<1> + cdots + binom+ binom= 2 ^ n- binom<0> $ Mas desde $ binom<0> = 1, para todos n em mathbb$ nós temos aquele $ binom<1> + cdots + binom+ binom= 2 ^ n-1 $ Quando $ n = 5 $ obtemos a resposta acima.

Termo aditivo: Para responder à sua preocupação de que parece haver mais de $ 31 $ combinações, aqui está uma lista de todas as possibilidades: $ begin <| c | c | c | c | c | c | c |> & amp 1 text & amp 2 text & amp 3 text & amp 4 text & amp 5 text < categorias> & amp texto hline & amp A & amp AB & amp ABC & amp ABCD & amp ABCDE hline & amp B & amp AC & amp ABD & amp ABCE hline & amp C & amp AD & amp ABE & amp ABDE hline & amp D & amp AE e amp ACD & amp ACDE hline & amp E & amp BC & amp ACE & amp BCDE hline & amp & amp BD & amp ADE hline & amp & amp BE & amp BCD hline & amp & amp CD & amp BCE hline & amp & amp CE & amp BDE hline & amp & amp DE & amp CDE hline text & amp 5 & amp 10 & amp 10 & amp 5 & amp 1 & amp 31 hline end$


As 5 renas - permutações e combinações de amplificadores

Você precisa colocar sua rena, Gloopin, Balthazar, Bloopin, Prancer e Quentin, em uma fila única para puxar seu trenó. No entanto, Prancer e Balthazar são melhores amigos, então você tem que colocá-los próximos um do outro, ou eles não voarão.

De quantas maneiras você pode organizar suas renas?

Eu sei que há outra pergunta fazendo a mesma coisa, mas minha pergunta não é o que aquela pessoa estava perguntando. O meu é diferente.

Eu sei e entendo isso:

Portanto, o número total de escolhas únicas que poderíamos fazer para chegar a um arranjo de renas é $ 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 $. Outra maneira de escrever isso é 5! ou 5 fatoriais. Mas ainda não pensamos nas duas renas que precisam ficar juntas.

Podemos contar o número de arranjos em que Prancer e Balthazar estão juntos, tratando-os como uma rena dupla. Agora podemos usar a mesma ideia de antes para chegar a $ 4⋅3⋅2⋅1 = 24 $ arranjos diferentes. Mas isso não está certo.

Por quê? Porque você pode arranjar a rena dupla com Prancer na frente ou com Balthazar na frente, e esses são arranjos diferentes! Portanto, o número real de acordos com Prancer e Balthazar juntos é $ 24⋅2 = 48 $

Não entendo por que você tem que multiplicar 24 por 2 para obter a resposta. Alguém pode me ajudar a entender isso?


Padrões combinatórios na EuroMilhões

Deixe-me descrever um método matemático que irá catapultar você para o sucesso do Euro Million & # 8217s. No fundo dos conjuntos finitos de números da EuroMilhões estão os padrões combinatórios que devem indicar as melhores combinações para jogar e as piores para evitar.

A imagem acima descreve a aleatoriedade completa de um jogo de loteria. Mostra que as loterias são compostas por sorteios aleatórios independentes que, quando somados ao tempo, apresentam um comportamento matematicamente determinístico, dada a lei dos grandes números. Veja a análise visual de uma loteria aleatória verdadeira com resultado determinístico

Deixe-me esclarecer que não precisamos de estatísticas para determinar as melhores combinações em um jogo de loteria. A estatística não é a ferramenta certa para analisar um jogo de loteria.

Portanto, se a análise estatística não fornecer a melhor pista, qual será?

Bem, como a loteria tem uma estrutura de conjuntos finitos, qualquer pergunta que fizermos é um problema combinatório e de probabilidade a ser resolvido, e não estatístico.

Portanto, em vez de estatísticas, precisamos do conceito de combinatória e teoria da probabilidade. Essas duas ferramentas matemáticas ajudarão a prever o resultado geral do jogo da EuroMilhões da perspectiva da lei dos grandes números.

Essa previsão é possível porque uma loteria verdadeiramente aleatória segue o ditado da probabilidade.

Novamente, podemos explicar isso melhor a partir do contexto dos padrões combinatórios.

& # 8220 Qual é a probabilidade de que os próximos números vencedores sejam 1-2-3-4-5? & # 8221

Para resolver esta questão combinatoriamente, podemos reformular a questão desta forma:

& # 8220 Qual é a probabilidade de que os próximos números vencedores sejam três probabilidades e dois números pares? & # 8221

Você pode ver isso? A composição é importante.

E a composição de uma combinação é melhor descrita usando um padrão combinatório. Você pode observar os padrões combinatórios de muitas maneiras diferentes. Existem padrões simples e padrões avançados.

Falaremos sobre padrões avançados mais tarde (você não quer perder esta seção).

Vamos discutir os mais simples primeiro.


5. Combinações - Matemática

A matemática para calcular o custo dos tíquetes Pick-3, Pick-4, Pick-5 e até Pick-6 é, na verdade, bastante simples. A tarefa mais complicada é determinar quais cavalos você vai incluir nesses bilhetes e em que incremento de dólares você vai fazer suas apostas. Além disso, no caso de apostas Pick-3, determinar qual sequência de três corridas é ideal para fazer uma aposta. A maioria das pistas oferece apostas & # 8220rolling & # 8221 Pick-3, o que significa que você pode começar uma Pick-3 em qualquer corrida, desde que haja mais duas corridas após essa corrida.

No entanto, as oportunidades Pick-4, Pick-5 e Pick-6 existem apenas em uma sequência específica de corridas que é determinada pela pista de corrida. Por exemplo, muitas faixas oferecem um Pick-4 inicial, um Pick-4 atrasado e um único Pick-5 e / ou Pick-6. Se houver dez corridas, o Pick-4 inicial pode estar nas corridas de 2 a 5, o Pick-4 tardio nas corridas de 7 a 10 e um Pick-6 nas corridas de 5 a 10. Você deve examinar o programa para determinar exatamente quais apostas estão disponíveis em cada corrida.

Antes de entrarmos na matemática, lembre-se de que em qualquer sequência do Pick-X, nos referimos a cada corrida na sequência como um & # 8220 Perna . & # 8221 Assim, em uma sequência de Pick-3 que começa na Corrida 7, a primeira etapa é a Corrida 7, a 2ª etapa é a Corrida 8 e a terceira e última etapa é a Corrida 9. A mesma noção se aplica a outros Pick X joga, com a adição de uma ou mais pernas.

A resposta simples para a questão matemática é calcular o número de combinações em jogo e, em seguida, multiplicar pelo incremento em dólares da aposta. Vamos considerar uma jogada de Pick-3 e supor que você gosta de três cavalos na primeira perna, dois cavalos na segunda perna e quatro cavalos na terceira perna. O número total de combinações é calculado da seguinte forma:

Escolha-3: 3 x 2 x 4 = 24 combinações no total.

Se você estiver fazendo apostas de $ 2, seu custo total será de 24 x $ 2 = $ 48 de tíquete.

A maioria das faixas oferece apostas mínimas para apostas Pick-X inferiores a $ 2. Na verdade, muitos oferecem apostas tão baixas quanto 50 centavos. Portanto, no exemplo acima:

24 combinações x 0,50 = bilhete de $ 12.

Cada faixa é diferente em relação às apostas mínimas que oferecem aos jogadores de cavalos. Alguns permitem apostas Pick-4 de 50 centavos, mas apostas Pick-3 de $ 1. Alguns permitem apostas de 50 centavos em todas as apostas, exceto Pick-6. Há uma grande variedade de apostas mínimas por aí, então certifique-se de verificar antes de montar seu primeiro tíquete Pick-X.

Obviamente, quanto mais corridas estiverem envolvidas em uma série Pick-X, maior será o número de combinações. Por exemplo, estendendo o exemplo acima para uma sequência Pick-4 e adicionando uma quarta perna totalmente aberta com 6 cavalos vencedores possíveis, resulta no seguinte:

Escolha-4: 3 x 2 x 4 x 6 = 144 combinações no total.

Se você estiver fazendo apostas de $ 2, seu custo total será 144 x $ 2 = $ 288 tíquete.

Você pode ver, quanto mais corridas, mais combinações, maior será o custo do bilhete. Então, como você pode torná-los acessíveis e ainda ter a chance de ganhar um bilhete premiado?

Conforme mencionado em artigos anteriores, um bom lugar para começar é lendo o livro de Steve Crist & # 8217s, Apostas exóticas: como fazer apostas em vários cavalos e várias raças que ganham os maiores prêmios em corridas e # 8217s. Ele tem muitas abordagens criativas, incluindo seu famoso sistema de classificação ABC, que é empregado por muitos jogadores de Pick-X.

Neste artigo, oferecemos algo um pouco mais simples, mas ainda eficaz, chamado de & # 8220MKS & # 8221 Estratégia de apostas . & # 8220M & # 8221 significa & # 8220main & # 8221 ticket, & # 8220K & # 8221 significa & # 8220key & # 8221 ticket e & # 8220S & # 8221 significa múltiplos tickets & # 8220saver & # 8221.

Vamos considerar um exemplo de Pick-4 e assumir que há uma aposta mínima de 50 centavos disponível. O gráfico a seguir detalha as quatro pernas com nosso & # 8220 Principal & # 8221 candidatos.

1ª perna 2ª perna 3ª perna 4ª perna
1,3,5 2,4 1,2,3,4 2,4,6,7,8,9

Dos cavalos incluídos em nosso ingresso & # 8220 Principal & # 8221, vamos & # 8217s identificar os & # 8220 Chave & # 8221 seleções ou os cavalos que consideramos mais prováveis ​​de vencer.

1ª perna 2ª perna 3ª perna 4ª perna
1,3 2,4 1,4 6,9

Finalmente, identificamos alguns & # 8220 Saver & # 8221 cavalos não incluídos em nossa lista de candidatos principais, mas achamos que talvez & # 8230 apenas talvez eles tenham uma chance de vencer. Explicaremos a seguir como utilizamos esses cavalos.

1ª perna 2ª perna 3ª perna 4ª perna
7,8 5 6 Nenhum

Usando as seleções acima, agora criaremos nossos tíquetes Pick-4 da seguinte maneira:

Bilhete 1ª perna 2ª perna 3ª perna 4ª perna Combos Unidades Custo do bilhete
Principal 1,3,5 2,4 1,2,3,4 2,4,6,7,8,9 3 x 2 x 4 x 6 = 144 50 centavos $72.00
Chaves 1,3 2,4 1,4 6,9 2 x 2 x 2 x 2 = 16 $1.50 $24.00
Saver 1 7,8 2,4 1,4 6,9 2 x 2 x 2 x 2 = 16 50 centavos $8.00
Saver 2 1,3 5 1,4 6,9 2 x 1 x 2 x 2 = 16 50 centavos $4.00
Saver 3 1,3 2,4 6 6,9 2 x 2 x 1 x 2 = 16 50 centavos $4.00
Custo total $112.00

Portanto, vamos traduzir os tíquetes acima em uma explicação de bom senso. The & # 8220 Principal & # 8221 o ingresso se espalha por todos os cavalos que consideramos verdadeiros competidores. The & # 8220 Chaves & # 8221 tíquete se concentra nos candidatos que mais gostamos. Isso aumenta nosso tíquete & # 8220Main & # 8221 e efetivamente aumenta nosso pagamento para um tíquete de $ 2 se o nosso handicap for bom. The & # 8220 Saver 1 & # 8221 bilhete cobre nossos planos gerais na 1ª etapa com nossos cavalos-chave nas pernas 2,3,4. The & # 8220 Saver 2 & # 8221 bilhete cobre nosso tiro longo na perna 2 com nossos cavalos-chave nas pernas 1,3,4. E o & # 8220 Saver 3 & # 8221 bilhete cobre nosso tiro longo na perna 3 com os cavalos-chave nas pernas 1,2,4.

The & # 8220 Saver & # 8221 tíquetes nos permitem descontar um tíquete vencedor Pk4 se um de nossos cavalos Saver conseguir vencer, contanto que um de nossos cavalos-chave ganhe em todas as outras três etapas da sequência Pick-4. Isso torna nossa seleção de cavalos & # 8220Key & # 8221 importante não apenas do ponto de vista de aumentar nosso pagamento no tíquete & # 8220Keys & # 8221, mas nos dando uma chance quando um de nossos cavalos & # 8220Saver & # 8221 conseguir vencer.

Este geral & # 8220 Estratégia MKS & # 8221 mantém nossos custos de ingressos acessíveis, enquanto nos recompensa extra se nossos cavalos-chave ganharem e nos permite uma chance de ganhar dinheiro se um de nossos cavalos Saver ganhar. Claro, se o seu orçamento permitir um investimento maior, você pode aumentar as unidades para qualquer nível que se sinta confortável para jogar.


Combinações

Problemas de combinação, como o que envolve a seleção de 3 indivíduos de um grupo de 5, não precisam ser resolvidos desenhando todos os cenários possíveis. A fórmula genérica para selecionar k objetos de um pool de n objetos quando a ordem em que os n objetos são escolhidos não importa é dada pela seguinte fórmula:

Fórmula de Combinações

Exemplos

Tanto as permutações quanto as combinações são mais bem aprendidas por meio de exemplos práticos.

Quantos grupos diferentes de 10 alunos um professor pode selecionar em sua sala de aula de 15 alunos?

Etapa 1: determine se a pergunta se refere a permutações ou combinações.
Visto que alterar a ordem dos alunos selecionados não criaria um novo grupo, este é um problema de combinações.

Etapa 2: Determine n e k
n = 15 já que o professor está escolhendo entre 15 alunos
k = 10, pois o professor está selecionando 10 alunos

Para formar uma equipe mista de pólo aquático para competir em uma liga comercial local, um gerente deve selecionar 3 homens e 4 mulheres entre 4 homens e 6 mulheres. Quantas combinações diferentes de equipes o gerente pode formar?

Etapa 1: determine se a pergunta se refere a permutações ou combinações.
Como alterar a ordem em que os membros da equipe são selecionados não produz um novo arranjo, esse é um problema de combinação.


5. Combinações - Matemática

É muito importante que os alunos sejam fluentes com as combinações de 5, 10, 20 e 100. Já escrevi várias vezes sobre alguns dos jogos e rotinas rápidas e fáceis que faço com os alunos para ajudar nessas habilidades.

Aqui está um jogo em que você só precisa de 2 marcadores de cores ou moedas. SEM PREP!
Aqui está como estender o último jogo para combinações de 20
Aqui estão várias maneiras rápidas e fáceis de trabalhar em combinações de 100
Aqui está como fazer 100 cordões de contas que realmente ajudarão seus alunos com combinações de 100
Aqui está uma lista de 8 maneiras diferentes de construir numeracia com 20 frames

Hoje, quero compartilhar com vocês como uso o clássico jogo de cartas de go fish para trabalhar com combinações de números. Isso também pode ser feito para combinações de 5, 10 ou 100, dependendo das cartas que você usou. Este dia eu estava trabalhando com alunos da segunda série e estava trabalhando em combinações de 20.

Eu tenho dez cartões de quadro que tirei deste livro (que é meu livro favorito para todas as coisas de dez quadros!). O livro também tem o dobro de dez quadros (também conhecido como 20 quadros), mas não os tem em tamanho de cartão. Como sou completamente incompetente no uso da copiadora para encolher as coisas, acabei de fazer as minhas.

Aqui está uma olhada em meus 20 cartões de quadro. Se você quiser usá-los com seus alunos, clique aqui para baixá-los do Google Drive.
Fiz 2 cópias de cada página para cada deck. Fiz os baralhos em cartolina de cores diferentes para evitar que se misturassem.

Mostrei este jogo a um pequeno grupo de crianças e pedi que o compartilhassem com seus colegas. Cada criança tem 5 cartas para começar. Eles procuram por qualquer combinação. Uma combinação é qualquer 2 cartas (tem que ser 2 cartas!) Que perfazem 20. Depois que todos checaram seu próprio deck para combinar, eles escolhem alguém e pedem uma carta. Eles perguntam assim. "Você tem um 12 para ir com o meu 8 para fazer 20?" e a outra pessoa responde "sim, tenho (ou não) tenho um 12 para ir com o seu 8 para fazer 20." Sei que isso é incrivelmente específico, mas acho importante que as crianças verbalizem essas combinações. Eles geralmente precisam de alguns lembretes quando começam a jogar, mas rapidamente percebem e isso se torna parte do jogo.


Combinações com Repetição

Você deseja distribuir 7 doces indistinguíveis para 4 crianças. Se toda criança deve receber pelo menos um doce, de quantas maneiras você pode fazer isso?

Primeiro, você dá um doce a cada uma das 4 crianças para cumprir o requisito de que todas as crianças devem receber pelo menos um doce. Então você fica com 3 doces para distribuir pelas 4 crianças, o que é equivalente a um problema de colocar k = 3 k = 3 k = 3 bolas indistinguíveis em n = 4 n = 4 n = 4 urnas rotuladas, que é conhecido como bolas e urnas ou estrelas e bares. Assim, nossa resposta é (n + k - 1 k) = (n + k - 1 n - 1) = (3 + 4 - 1 3) = 20. □ binom = binom= binom <3 + 4-1> <3> = 20. _ square (k n + k - 1) = (n - 1 n + k - 1) = (3 3 + 4 - 1) = 2 0. □

Winston deve escolher 4 classes para seu último semestre de escola. Ele deve ter pelo menos 1 aula de ciências e pelo menos 1 aula de artes. Se sua escola oferece 4 (distintas) aulas de ciências, 3 (distintas) aulas de artes e 3 outras (distintas) aulas, quantas opções diferentes de aulas ele tem?


Assista o vídeo: 5 akcji Mikea Tysona (Outubro 2021).