Artigos

7.8: Resolvendo o Tempo - Matemática


Freqüentemente, estamos interessados ​​em quanto tempo levará para acumular dinheiro ou quanto tempo precisaríamos estender um empréstimo para reduzir os pagamentos a um nível razoável.

Nota: Esta seção pressupõe que você cobriu a resolução de equações exponenciais usando logaritmos, seja em aulas anteriores ou no capítulo de modelos de crescimento.

Exemplo 15

Se você investir $ 2.000 a 6% compostos mensalmente, quanto tempo levará para a conta dobrar de valor?

Este é um problema de juros compostos, já que estamos depositando dinheiro uma vez e permitindo que cresça. Neste problema,

P0 = $ 2.000 o depósito inicial

r = 0,06 6% taxa anual

k = 12 12 meses em 1 ano

Portanto, nossa equação geral é

ParseError: EOF esperado (clique para obter detalhes)

Callstack: em (Cursos / Lumen_Learning / Livro: _Mathematics_for_the_Liberal_Arts_ (Lumen) /07:_Finance/07.8:_Solving_for_Time), / content / body / div [1] / div [1] / p [6] / img / @ alt, line 1, coluna 4

. Também sabemos que queremos que nosso valor final seja o dobro de $ 2.000, que é $ 4.000, então estamos procurando N de modo a PN = 4000. Para resolver isso, definimos nossa equação para PN igual a 4000.

Divida os dois lados por 2.000

Para resolver o expoente, pegue o log de ambos os lados

Use a propriedade expoente de registros no lado direito

Agora podemos dividir os dois lados por 12log (1,005)

Aproximando isso a uma casa decimal

N = 11.581

Levará cerca de 11.581 anos para a conta dobrar de valor. Observe que sua resposta pode sair um pouco diferente se você avaliou os logs para decimais e arredondados durante os cálculos, mas sua resposta deve ser próxima. Por exemplo, se você arredondou log (2) para 0,301 e log (1,005) para 0,00217, sua resposta final teria sido cerca de 11,577 anos.

Exemplo 16

Se você investir $ 100 por mês em uma conta que ganha 3% compostos mensalmente, quanto tempo levará para que a conta cresça para $ 10.000?

Este é um problema de anuidade de poupança, pois estamos fazendo depósitos regulares na conta.

d = $ 100 o depósito mensal

r = 0,03 taxa anual de 3%

k = 12 já que estamos fazendo depósitos mensais, vamos acumular mensalmente

Não sabemos N, mas nós queremos PN a ser $ 10.000.

Colocando isso na equação:

Simplificando um pouco as frações

Queremos isolar o termo exponencial, 1,002512N, então multiplique ambos os lados por 0,0025

Divida os dois lados por 100

Adicione 1 a ambos os lados

Agora pegue o log de ambos os lados

Use a propriedade expoente dos registros

Divida por 12log (1,0025)

Aproximando com uma casa decimal

N = 7,447 anos

Levará cerca de 7.447 anos para aumentar a conta para US $ 10.000.

Experimente agora 6

Joel está considerando colocar a compra de um laptop de $ 1.000 em seu cartão de crédito, que tem uma taxa de juros de 12% composta mensalmente. Quanto tempo ele levará para pagar a compra se fizer pagamentos de $ 30 por mês?

Experimente agora respostas

1.

eu = $ 30 de juros

P0 = $ 500 principal

r = desconhecido

t = 1 mês

Usando I = P0rt, obtemos 30 = 500 ·r· 1. Resolvendo, nós temos r = 0,06 ou 6%. Como o tempo era mensal, esse é o juro mensal. A taxa anual seria 12 vezes isso: 72% de juros.

2.

d = $ 5 o depósito diário

r = 0,03 taxa anual de 3%

k = 365 já que estamos fazendo depósitos diários, vamos acumular diariamente

N = 10 queremos o valor após 10 anos

$21,282.07

Teríamos depositado um total de $ 5 · 365 · 10 = $ 18.250, então $ 3.032,07 são de juros

3.

d = desconhecido

r = 0,04 4% taxa anual

k = 1, pois estamos concedendo bolsas anuais

N = 20 20 anos

P0 = 100.000 estamos começando com $ 100.000

Resolvendo para d dá $ 7.358,18 a cada ano que eles podem doar em bolsas de estudo.

É importante notar que normalmente os doadores especificam que apenas os juros devem ser usados ​​para a bolsa de estudos, o que faz com que a doação original dure indefinidamente. Se este doador tivesse especificado isso, $ 100.000 (0,04) = $ 4.000 por ano estariam disponíveis.

Experimente agora Respostas continuação

4.

d = desconhecido

r = 0,16 taxa anual de 16%

k = 12, pois estamos fazendo pagamentos mensais

N = 2 2 anos para reembolsar

P0 = 3.000, estamos começando com um empréstimo de $ 3.000

Resolvendo para d dá $ 146,89 como pagamentos mensais.

No total, ela pagará $ 3.525,36 à loja, o que significa que pagará $ 525,36 de juros ao longo dos dois anos.

5.

6.

d = $ 30 Os pagamentos mensais

r = 0,12 taxa anual de 12%

k = 12, pois estamos fazendo pagamentos mensais

P0 = 1.000 estamos começando com um empréstimo de $ 1.000

Estamos resolvendo para N, a hora de pagar o empréstimo

Resolvendo para N dá 3,396. Levará cerca de 3,4 anos para pagar a compra.